ANÁLISE DA EXATIDÃO VOLUMÉTRICA DE MÁQUINAS DE MEDIÇÃO POR COORDENADAS (MMCs)

ANÁLISE DA EXATIDÃO VOLUMÉTRICA DE MÁQUINAS DE MEDIÇÃO POR COORDENADAS (MMCs) Lesso Benedito dos Santos Centro Federal de Educação Tecnológica de Alagoas CEFET AL. Email: Lesso@cefet-al.br João Bosco de Aquino Silva Departamento de Engenharia Mecânica UFPB, João Pessoa, PB. Resumo. A principal função das Máquinas de Medição por Coordenadas (MMCs) é inspecionar componentes produzidos por máquinas-ferramenta, processos de fundição, etc., no sentido de verificar se as dimensões dos componentes atendem aos requisitos de tolerância especificados no projeto. As MMCs as quais são usadas para inspecionar os componentes produzidos através dos modernos processos de fabricação devem ser capazes de atender aos requisitos de tolerância especificados no projeto. Nesse sentido, a calibração, a verificação e periódica reverificação de MMCs é uma essencial necessidade para garantir e manter o desempenho destas máquinas. O objetivo deste trabalho é o desenvolvimento e aplicação de uma sistema computacional capaz de quantificar as componentes do erro volumétrico de uma MMC tipo ponte móvel. Palavras chaves: Máquinas de medição por coordenadas 1. INTRODUÇÃO Com o advento da era da informação, é possível constatar uma crescente e importante demanda por processos de medição de alta exatidão. Isto é observado devido a melhoria da exatidão das máquinas-ferramenta e a exigência de tolerâncias cada vez mais estreitas (Bosch, 1995). O conceito de alta exatidão está em constante processo de mudança em função do desenvolvimento tecnológico. Segundo Taniguchi (1994), em torno do ano 1920 uma tolerância na faixa de 1µ m ( 1,0 x 10-6 m) era considerada de ultra exatidão. Entretanto, no início do terceiro milênio para uma tolerância ser considerada de ultra exatidão ela deve ser da ordem de 1nm (1,0 x 10-9 m), enquanto que uma tolerância na faixa de 1 µ m ( 1,0 x 10-6 m) é considerada de exatidão normal. A automação das máquinas-ferramenta criou a necessidade de sistemas de medição mais rápidos e flexíveis. Estes requisitos proporcionaram o surgimento de uma nova indústria de máquinas de medição tridimensional. Recentemente, a ênfase no controle de processo estatístico para melhoria da qualidade acelerou a demanda por medições mais rápidas e exatas. As máquinas de medição por coordenadas (MMCs) têm demonstrado que são capazes de atender a todos estes requisitos (Bosch, 1995). Estas máquinas operam segundo o princípio da metrologia de coordenadas. É importante destacar que estas máquinas, como qualquer outro instrumento de medição, necessitam ser periodicamente calibradas. Entretanto, a avaliação do desempenho destas máquinas é um processo muito mais complexo que aquele necessário para calibrar a maioria dos instrumentos de medição convencionais (Silva, 1999). Nesse sentido é fundamental o estudo, desenvolvimento e aplicação de técnicas de fácil uso e baixo custo para a calibração das referidas máquinas. O objetivo do presente trabalho é desenvolver um sistema computacional, baseado em técnicas de calibração existentes, para analisar a exatidão volumétrica de MMCs.

2. FONTES DE ERROS EM MÁQUINAS DE MEDIÇÃO POR COORDENADAS (MMCs) As MMCs estão sujeitas a diversas fontes de erros as quais contribuem para a incerteza de medição. De uma forma geral, as principais fontes de erros são: condições ambientais, sistema de coordenadas, sistemas de medição de deslocamento, apalpador, software, mensurando e unidade de controle. O erro geométrico de uma MMC é o erro induzido na posição do apalpador causado pelos erros dimensionais e de forma dos componentes das máquinas, tais como as guias. As deformações geométricas de movimento de um componente da máquina pode ser definido por 6 (seis) parâmetros. Isto é similar a um corpo rígido em um espaço que tem 6 (seis) graus de liberdade (Silva, 1996). Estes são 3 (três) de translação e 3 (três) de rotação. Considerando uma máquina com três eixos, isto significa um total de 18 erros. Considerando os erros de perpendicularidade entre cada dois eixos, então, uma máquina de medição por coordenadas apresenta vinte uma componentes de erros geométricos. Estes erros são chamados de erros paramétricos. Assim, pode-se dizer que os erros paramétricos de uma MMC são do tipo: erros de translação, erros angulares e erros de perpendicularidades. 3. PRINCIPAIS TÉCNICAS EXISTENTES PARA AVALIAÇÃO DO DESEMPENHO DE MÁQUINAS DE MEDIÇÃO POR COORDENADAS (MMCs) Nas duas últimas décadas, muitos métodos para avaliar a exatidão de MMCs têm sido propostos e aplicados. De uma forma geral estes métodos podem ser classificados em três grupos: técnica de padrão de transferência, técnica de calibração paramétrica ou método de síntese e técnica de padrão de referência cinemática. Técnica de padrão de transferência. Esta é uma técnica pela qual uma estrutura espacial de dimensão exatamente conhecida, como placa de esfera e tetraedro, é medida pela máquina a ser avaliada. O erro é definido como sendo a divergência entre o resultado da medida da máquina e o valor verdadeiro das dimensões do padrão. A técnica de padrão de transferência apresenta algumas limitações. Em primeiro lugar, é difícil fabricar artefatos mecânicos que tenham as seguintes propriedades: baixo peso; alta estabilidade térmica; fácil calibração e de baixo custo. Em segundo lugar, são requeridos vários tamanhos de padrões para máquinas de tamanhos diferentes, e os problemas de armazenamento, manipulação e transporte também podem surgir (Pahk e Burdekim, 1991). Apesar de tais limitações, a técnica de padrão de transferência tem a vantagem de obter dados da medição bem semelhante ao modo como as MMCs executam suas tarefas de medição. Esta técnica é muito útil, em particular, quando as MMCs incorporam software com sistema de compensação de erros geométricos. As Figuras 1 e 2, mostram, típicos padrões de transferência ou padrões corporificados os quais podem ser usados para avaliar o desempenho das MMCs. Mesa a MMC FIGURA 1 - Padrão tetraedro (Silva, 2002) FIGURA 2 Bloco Padrão Escalonado (Klen, 2000) Técnica de calibração paramétrica ou método de síntese. Esta é uma técnica na qual a estrutura da máquina é considerada como um modelo cinemático, e então analisada usando a

cinemática de corpo rígido. Cada componente de erro, como yaw, roll, pitch, retilineidade, perpendicularidade e erro de posicionamento, é medida por equipamento de medição convencional, por exemplo, laser interferométrico, nível eletrônico e esquadro. Nesta técnica, os erros paramétricos podem ser combinados para dar as componentes do erro volumétrico usando um modelo geométrico baseado em cinemática de corpo rígido (Burdekin e Voutsadopoulos, 1981; Pahk e Burdekim, 1991; Huang e Ni, 1995). A técnica paramétrica tem a vantagem de prover informação para o diagnóstico do erro da máquina. Porém esta técnica consume tempo, requer alto custo em equipamentos e habilidade especial para operar estes equipamentos, por exemplo, sistema laser interferométrico. Convém ressaltar, que o erro obtido através da técnica de calibração paramétrica pode não representar as reais componentes do erro na posição do apalpador. Isso pode acontecer, especialmente, quando as MMCs tiverem um software com sistema de compensação. Isto se verifica porque esses dados de erro podem ser mudados ou reduzidos devido à compensação do software (Pahk e Burdekim, 1991). A Figura 3 mostra a aplicação de um sistema laser interferométrico para medição de erros paramétricos. Técnica de padrão de referência cinemática. Esta é uma técnica baseada em medição de erros volumétrico com algum tipo de padrão de referência cinemático como uma barra de esferas (Bryan, +1982; Kunzmann, 1995; Burdekin e Jywe, 1991). A técnica de padrão de referência cinemática é particularmente simples para aquisição de dados. Porém, é difícil cobrir todo o volume de medição como também é difícil interpolar entre os pontos medidos. A Figura 4 mostra um padrão de referência cinemática aplicada a uma máquina-ferramenta. É importante ressaltar que, nenhuma das técnicas existentes, descritas acima, satisfazem todas as exigências em termos de tempo de execução, simplicidade para usar e medir, diagnóstico de erros. Então, existe atualmente uma necessidade crítica para superar as desvantagens das técnicas existentes, na avaliação da exatidão das MMCs. Assim sendo, é necessário desenvolver uma nova técnica que seja capaz de avaliar o desempenho das modernas MMCs que incorporam sistemas de compensação de erros. Também, a técnica deve ser capaz de efetuar a verificação e calibração de qualquer tipo de MMC. Adicionalmente, uma nova técnica dever requerer um número mínimo de padrão de transferência e ser de simples utilização. Convém ressaltar que várias normas têm sido propostas no sentido de estabelecer diferentes procedimentos para a avaliação das máquinas de medição por coordenadas, os quais podem ser utilizados tanto pelos fabricantes quanto pelos usuários. Dentre elas a norma Britânica (BS 6808, 1987), a norma Alemã (VDI/VDE 2617, 1986), a norma Americana (ASME B89. 1.12M, 1990) e a norma ISO 10360-2 (1994) a qual foi proposta com o intuito de ser o referencial para todo o processo de verificação e calibração destas máquinas (Silva e Burdekim, 1997). FIGURA 3 - Laser interferométrico FIGURA 4 Padrão de referência cinemático

4. DESENVOLVIMENTO DE UM SISTEMA COMPUTACIONAL PARA DETERMINAÇÃO DO ERRO VOLUMÉTRICO DAS MÁQUINAS DE MEDIÇÃO POR COORDENADAS (MMCs) Neste trabalho foi desenvolvido um sistema computacional, chamado SISMMC (Santos, 2002), que possibilita a determinação dos erros volumétricos de uma máquina de medição por coordenadas (MMC) a partir dos seus erros paramétricos. Este sistema usa equações matemáticas que permitem transformar os erros paramétricos de uma MMC em um mapa de erros volumétricos para os diferentes tipo de configurações de MMCs. O cálculo do erro volumétrico de uma MMC depende da sua configuração cinemática (Santos, 2002). Nesta pesquisa aquelas de uso mais comuns foram consideradas para a determinação do mapeamento do erro volumétrico. O método, usado nesta pesquisa para sintetizar as 21 componentes dos erros paramétricos, para obter o mapa de erro volumétrico de uma MMC através da cinemática de corpo rígido, é semelhante ao que é descrito por Pahk et al. (1998). A seção seguinte apresenta o procedimento usado para a obtenção das equações que representam as componentes dos erros volumétricos E x, E y e E z. 4.1. Obtenção das Equações das Componentes do Erro Volumétrico a Partir dos Erros Paramétricos Nesta seção, uma máquina de medição por coordenadas (MMC) tipo ponte móvel, como mostrado na Figura 6, foi selecionada para estabelecer a análise da cinemática de corpo rígido. Neste tipo de máquina a ponte move-se na direção Y ao longo da guia localizada sobre a mesa. O carro que se movimenta na direção X está montado sobre a ponte. O cabeçote está montado sobre o carro e movimenta-se na direção Z. O apalpador está montado na extremidade do cabeçote. A coordenada real (X R, Y R, Z R ) de um ponto dentro do volume de trabalho pode ser calculado como função da coordenada nominal (X, Y, Z) usando a definição de cadeia cinemática ou transformações de matrizes. Como mostrado por Zhang et al. (1985) quando a máquina move-se de uma origem para o ponto de medição quatro passos devem ser considerados, a saber: movimento da ponte, movimento do carro, movimento do cabeçote e movimento da ponteira do apalpador. Portanto, é necessário estabelecer quatro sistemas de coordenadas independente como mostrado na Figura 6, os quais são: sistema da mesa (O, X, Y, Z), sistema da ponte (O 1, X 1, Y 1, Z 1 ), sistema do carro (O 2, X 2, Y 2, Z 2 ) e sistema do cabeçote (O 3, X 3,Y 3,Z 3 ). Também, considera-se que no início do movimento os eixos dos quatro sistemas estão alinhados e os quatro sistemas têm a mesma origem. Apalpador Cabeçote Carro Ponte Mesa FIGURA 6 Maquina de medição por coordenadas tipo ponte móvel

Inicialmente, considera-se como primeiro movimento a ponte se movimentando para a posição nominal Y. Então, a coordenada real da origem O, da ponte, no sistema de coordenada da mesa, é definido pelo vetor OO 1, o qual é dado por: δ X ( Y ) OO1 = Y δy ( Y) + (1) δ Z ( Y ) δ X ( Y ) = erro de retilineidade em X quando o movimento ocorre na direção Y; Y = posição nominal Y; δ Y ( Y ) = erro de posicionamento em Y quando o movimento ocorre na direção Y; δ Z ( Y ) = erro de retilineidade em Z quando o movimento ocorre na direção Y. Ao mesmo tempo, o sistema de coordenada da ponte gira com relação ao sistema de coordenada da mesa por erros angulares ao longo dos eixos. A matriz de rotação R 1 é definida considerando os erros angulares E x (Y), E y (Y), E z (Y), a qual é: R 1 = 1 EZ( Y) EY( Y) EZ( Y) 1 EX( Y) EY( Y) EX( Y) 1 (2) E Z (Y) = erro angular yaw quando o movimento ocorre na direção Y; E Y (Y) = erro angular roll quando o movimento ocorre na direção Y; E X (Y) = erro angular pitch quando o movimento ocorre na direção Y. Considerando, em seguida, que o carro se movimenta para a posição nominal X e no próximo passo para a posição nominal Z, como mostrado em (Santos, 2002) é possível obter as equações dos erros geométricos no sistema absoluto de coordenadas (O,X,Y,Z). Assim o vetor das coordenadas reais pode ser expresso pela seguinte equação: OP = OO 1 +R -1 1 ( OO -1-1 1 2 +R2 ( OO 2 3 +R3 OP 3 )) (3) O que em termos de coordenadas escalares pode ser representado por: E x = δ X (X) + δ X (Y) + δ X (Z) - Z β 1 + Z[E Y (X) + E Y (Y)] -Y P [E Z (X) + E Z (Y) + E Z (Z)] + Z P [E Y (X) + E Y (X) + E Y (Z)] (4) E Y = δ Y (Y) + δ Y (X) + δ Y (Z) + Xα - XE Z (Y) + Z[ -E X (X) E X (Y) - β 2] + X P [E Z (X) + E Z (Y) + E Z (Z)] Z P [E X (X) + E X (Y) + E X (Z)] (5) E Z = δ Z (Z) + δ Z (Y) + δ Z (X) XE Y (Y) X P [E Y (X) + E Y (Y) + E Y (Z)] -X P [E Y (X) + E Y (Y) + E Y (Z)] + Y P [E X (X) + E X (Y) + E X (Z)] (6) As equações 4, 5 e 6 representam as componentes do erro volumétrico de uma MMC do tipo ponte móvel e levam em consideração todas as vinte e uma componentes de erros paramétricos. As equações que representam as componentes dos erros volumétricos para outros tipo de MMCs podem ser deduzidas de forma similar desde que os sistemas de coordenadas sejam escolhidos de forma apropriada. 4.2 Gráficos dos Erros E x, E y e E z Calculado pelo Sistema Computacional SISMMC

O SISMMC calculou as componentes do erro volumétrico E X, E Y e E Z usando os erros paramétricos, obtidos em pesquisa anterior (Silva, 1996). O método proposto por Silva(1996) permite a determinação das vinte e uma componentes dos erros paramétricos, de uma MMC tipo móvel, a partir das componentes dos erros volumétricos (E X, E Y, E Z) as quais foram determinadas usando um artefato mecânico em forma de tetraedro. A Figura 6 mostra o gráfico da componente do erro volumétrico na direção X. Os gráfico das componentes do erro volumétrico nas direção Y e Z podem também serem facilmente obtidas como mostrado por Santos(2002). É importante ressaltar que o gráfico mostrado na Figuras 6 representa a componente do erro volumétrico, E X apenas em pontos discretos de um determinado plano de referência nos quais as 21 (vinte e uma) componentes dos erros paramétricos foram medidos (Santos, 2002). A determinação das vinte e uma componentes dos erros paramétricos requer muito tempo para ser executada o que impede na prática de medir os erros paramétricos em um maior numero de pontos dentro do volume de medição de uma MMC. Nesse sentido, é necessário a obtenção de um modelo matemático que permita determinar com exatidão as componentes dos erros volumétricos E X, E Y e E Z em pontos do volume de medição nos quais as componentes dos erros paramétricos não sejam conhecidas. Nesta pesquisa a metodologia de superfície de resposta (RSM, Response Surface Methodology) foi aplicada para a obtenção de equações matemáticas que representam o mapeamento do erro volumétrico em todo o volume de medição. FIGURA 6 Gráfico da componente do erro volumétrico na direção X 5. DETERMINAÇÃO DE UM MODELO MATEMÁTICO PARA ANÁLISE DA EXATIDÃO VOLUMÉTRICA DE UMA MÁQUINA DE MEDIÇÃO POR COORDENADA (MMC). Nesta pesquisa uma metodologia para análise de exatidão volumétrica de máquinas de medição por coordenadas (MMCs) foi desenvolvida. Esta metodologia consiste em um modelo matemático geral para representar as componentes do erro volumétrico de MMCs. Adicionalmente, a metodologia proposta é capaz de obter as componentes dos erros paramétricos a partir dos dados do erro volumétrico. Metodologia de Superfície de Resposta (RSM) foi aplicada para ajustar um modelo matemático para representar as componentes do erro volumétrico de uma MMC. Metodologia de superfície de resposta, ou RSM, é uma coletânea de técnicas matemáticas e estatísticas que são úteis para a modelagem e análise de problemas nos quais uma resposta de interesse é influenciada por várias variáveis e o objetivo é aperfeiçoar esta resposta (Montgomery, 1991). Na prática, a maioria dos problemas de metodologia de superfície de resposta pode ser estabelecida através da utilização de um modelo de primeira ordem tal como: g(x, β)= β0+ β1x+ 1 β2x+...+ 2 β kxk (7)

ou um modelo de segunda ordem como: k k k k 2 o i i ii ii ij i j i= 1 i= 1 i= 1 i= 1 (8) gx (, β) = β + β X + β X + β XX 5.1 Ajustando Modelos Matemáticos para Apresentar a Exatidão Volumétrica A equação geral que representa cada componente do erro volumétrico (E x, E y, E z ) pode ser escrita usando um modelo matemático de primeira ordem, tal como: E k (X 1,X 2,X 3 ) = βk0 + βk1x1 + βk 2X2 + βk 3X3 (9) ou usando um modelo matemático de segunda ordem, dado por: E k (X 1,X 2,X 3 ) = β + β X + β X + β X + β X + β X + β X 2 2 2 k0 k1 1 k2 2 k3 3 k4 1 k5 2 k6 3 + β XX + β XX + β X X (10) k7 1 2 k 8 1 3 k 9 2 3 onde: k=x, y ou z Em ambas Equações (5.5) e (5.6) os coeficientes β s serão calculados pelo método dos mínimos quadrados onde a fórmula básica é determinada pela equação seguinte: β k 1 ( T T = X X) X Yk (11) K = x, y ou z e está relacionado a direção X, Y e Z, respectivamente. Y K = o vetor da componente do erro Ex, Ey ou Ez na direção X, Y ou Z, respectivamente. X T = Transposta da matriz X X = a matriz de variáveis independente X 1, X 2 e X 3. 5.2 Resultado da Utilização de RSM para Representar as Componentes do Erro Volumétrico de uma MMC do Tipo Ponte Móvel. De acordo com Silva e Burdekim (2002) um modelo de segunda ordem (Equação 10) melhor representa as componentes do erro volumétrico de uma MMC. Por esta razão, nesta pesquisa foi utilizado um modelo matemático de segunda ordem para representar as componentes do erro volumétrico de uma MMC do tipo ponte móvel. A análise de variância dos modelos matemáticos obtidos para representar as componentes E X, E Y e E Z (Equação 8) é usada para estabelecer o teste F, o qual consiste em verificar se a regressão é estatisticamente significativa. a) Modelo Matemático para Representar as Componente E X, E Y, e E Z,. Usando os dados apresentados por Santos (2002), o sistema SISMMC determinou que a equação matemática que melhor representa a componente do erro volumétrico E X, E Y e E Z os quais são dados por: E X (X, Y, Z) = 1.1559 0.0751X +0.0688Y 0.0000Z +0.0002X 2 0.0006Y 2 +0.0000Z 2 +0.0002XY +0.0000XZ +0.0000YZ (12) E Y (X, Y, Z) = 0.9315 0.0360X +0.0336Y -0.0000Z +0.0001X 2 +0.0003Y 2 +0.0000Z 2 +0.0007XY +0.0000XZ +0.0000YZ (13) E Z (X, Y, Z) = -1.1444 0.1767X 0.1178Y +0.0000Z +0.0009X 2 +0.0000Y 2 +0.0000Z 2 +0.0007XY +0.0000XZ +0.0000YZ (14)

onde: X, Y e Z são as coordenadas de um ponto dentro do volume de medição. 5.3 Representação das Componentes do Erro Volumétrico das Máquinas de Medição por Coordenadas(MMCs) Uma vez que as equações que representam o erro volumétrico foram estabelecidas, é possível construir o mapa de erro volumétrico de uma máquina de medição por coordenadas(mmc) sob teste. Por exemplo, usando as equações 12, 13 e 14 as componentes do erro volumétrico E x, E y e E z podem ser calculadas em qualquer ponto dentro do volume medição (Silva, 2002). Assim, o mapa do erro volumétrico pode ser obtido usando a equação de regressão que define a componente do erro volumétrico e as coordenadas (X i,y i, Z i ) do pontos que definem um grid ou malha em um plano de referência selecionado dentro do volume medição. Superfícies de Resposta que representam as componentes de erro volumétrico também podem ser mostradas como linhas de contorno ou diagrama de contorno. Esta característica facilita a visualização na forma de uma superfície de resposta. Na prática, as linhas de contorno são obtidas considerando porções da superfície de resposta em vários níveis horizontais e projetando-as sobre a base a qual é definida pelo plano de referência selecionado (Box e Hunter, 1978). Linhas de contorno permitem a identificação de qual região do plano referência selecionado os valores mínimos e máximos das componentes do erro volumétrico são encontrados. Considerando uma linha no eixo de movimento é possível obter alguns erros paramétricos, como por exemplo o erro de retilineidade e posicionamento, usando os diagramas de linha de contorno. A Figura 7 mostra a superfície de resposta que representa a componente de erro de volumétrico na direção X no plano Z=0. Figura 8 mostras as linhas de contorno que foram obtidas da Figura 7. Da Figura 8 é possível obter o erro de posicionamento, δ X ( X ), ao longo do eixo X em Y=0. Isso é indicado pelos pontos de interseção entre as linhas de contorno e o eixo X. Também, da Figura 8 o erro de retilineidade, δ X ( Y ), pode ser obtido. Este erro é obtido considerando os pontos de interseção entre as linhas de contorno e o eixo de Y. A Figura 9 mostra a superfície de resposta que representa a componente de erro volumétrico na direção Y no plano Z=0. A Figura 10 mostra as linhas de contorno que foram obtidas da Figura 9. Usando a Figura 10 é possível obter o erro de posicionamento, δ Y ( Y ), ao longo do eixo Y em X = 0. Isso é indicado pelos pontos de interseção entre as linhas de contorno e o eixo de Y. Também, na Figura 10 o erro de retilineidade, δ Y ( X ), pode ser obtido. Este erro é obtido considerando os pontos de interseção entre as linhas de contorno e o eixo de X. A superfície de resposta que representa a componente de erro volumétrico na direção Z no plano Z = 0 é mostrada na Figura 11. As linhas de contorno que foram obtidas desta figura são mostradas na Figura 12. O erro de retilineidade, δ Z ( X ), pode ser obtido da Figura 12. Este erro é obtido considerando os pontos de interseção entre as linhas de contorno e o eixo X. Também, da Figura 12 o erro de retilinidade, δ Z ( Y ), pode ser obtido. Este erro é obtido considerando os pontos de interseção entre as linhas de contorno e o eixo Y. FIGURA 7 Componente do erro volumétrico na direção X. FIGURA 8 Linhas de contorno da componente do erro volumétrico na direção X.

FIGURA 9 Componente do erro volumétrico na direção Y. FIGURA 10 Linhas de contorno da componente do erro volumétrico na direção Y. FIGURA 11 Componente do erro volumétrico na direção Z. 6. CONCLUSÕES. FIGURA 12 Linhas de contorno da componente do erro volumétrico na direção Z. Este trabalho teve como principal objetivo o desenvolvimento de um sistema computacional capaz de auxiliar no estabelecimento da exatidão volumétrica das máquinas de medição por coordenadas. O sistema computacional demonstrou ser uma importante ferramenta para a determinação das componentes do erro volumétrico das máquinas de medição por coordenadas (MMCs). Uma vez que as vinte e uma componentes dos erros paramétricos tenham sido determinadas para um plano de referência, então, através do sistema "SISMMC", facilmente, é possível obter as componentes E X, E Y e E Z. O "SISMMC" permite a realização de uma análise comparativa do desempenho de diferentes configurações de MMCs. A aplicação da Metodologia de Superfície de Resposta (RSM) mostrou que esta ferramenta matemática adequadamente representa o mapa das componentes do erro volumétrico E X, E Y e E Z. Os valores das componentes E X, E Y e E Z obtidas através dos modelos matemáticos, usando RSM, podem ser utilizados para efetuar a compensação dos erros volumétricos das MMCs, isto será o foco da próxima etapa da presente pesquisa. REFERÊNCIA BLIBIOGRÁFICA ASME B89.1.12m An American National Standard, Methods for Performance Evaluation of Co-ordinate Measuring Machines. The American Society of Mechanical Engineers, 1990. Bosch, J. A Coordinate measuring Machines. Marcel Dekker, Inc. 1995 Box, G. E., Hunter, W. G., Statistics for Experimenters. New York: Wiley 1978 Bryan, J. B. A simple method for testing measuring machines and machine tools Part 1: Principles and applications. Precision Engineering, 4(2), 61-68, Part 2: Construction details. Precision Engineering, 4(3), 125-138, 1982.

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