TRABALHO PRÁTICO Nº 4 - LICENCIATURA EM FÍSICA CONDENSADORES E DIELÉCTRICOS Objectivo - Este trabalho pretende ilustrar a constituição e o funcionamento de um condensador, bem como determinar, de uma forma simples, a constante dieléctrica que o caracteriza. 1. Introdução 1.1 Noções básicas Considerem-se dois condutores A e B, isolados e inicialmente e descarregados, colocados a uma certa distância um do outro (conforme exemplifica a figura 1) e entre os quais se estabelece, de alguma forma, uma diferença de potencial V. O estabelecimento de uma carga +Q no condutor ao potencial maior e de uma carga -Q no condutor ao potencial menor surge associada à diferença de potencial V. A carga Q depende apenas, para um dado valor V da diferença de potencial Figura 1. Condensador constituído aplicada, do meio e das características geométricas dos dois por dois condutores planos de área A e condutores, variando linearmente com V. Define-se então a colocados paralelamente, no vazio, a capacidade C do sistema de dois condutores (designado neste uma distância d um do outro contexto por condensador) como sendo o quociente entre a carga Q e a diferença de potencial V: Q C = (1) V A unidade S.I. de capacidade é o Farad (F), que corresponde à capacidade de um condensador que acumula uma carga de 1 Coulomb quando se lhe aplica uma diferença de potencial de 1 Volt. No caso exemplificado na figura 1, de um condensador plano e de placas paralelas, constituído por dois condutores planos de área A e colocados paralelamente, no vazio, a uma distância d um do outro, pode-se demonstrar que a capacidade vem dada pela seguinte expressão: ε A C = 0 (2) d em que 12 ε = 8.854187817 10 F / m é a permitividade eléctrica do vazio. Se as placas estiverem 0 separadas por um meio isolador dieléctrico, a capacidade vem aumentada de um factor κ, designado constante dieléctrica do meio: ε0 A εa C = κ =, ε = κε0 (3) d d ε designa-se então por permitividade eléctrica do meio dieléctrico. Neste trabalho prático determinar-se-á a constante dieléctrica de um filme de poliéster (a vulgar "folha de acetato"). 1.2. Carga e descarga de um condensador através de uma resistência 1.2.1. Carga Considere-se o circuito da figura 2 que é apresentado na página seguinte. Departamento de Física da FCTUC 1/6
Figura 2. Circuito série de uma bateria de força electromotriz E com um condensador de capacidade C e uma resistência R. Inicialmente, o condensador encontra-se descarregado e o interruptor S encontra-se aberto. Em t = 0, fecha-se o interruptor, iniciando-se o processo de carga do condensador. Quando se fecha o interruptor, a diferença de potencial devida à pilha força o estabelecimento de uma corrente i da placa do condensador ligada ao positivo da pilha para a placa ligada ao negativo. À medida que se vai armazenando a carga q nas placas do condensador (+q numa das placas e -q na outra), estabelece-se no circuito uma diferença de potencial que contraria a força electromotriz da pilha (E). Quando estas duas diferenças de potencial se igualam, cessa a corrente no circuito e a carga nas placas atinge o valor máximo Q f = CE (+Q f na placa positiva e -Q f na placa negativa). A corrente no circuito e a carga do condensador variam no tempo de acordo com as equações: q ( ) R i t + = E (4) C dq ( ) i t = (5) dt A solução destas equações, conforme pode ser facilmente verificado (admitindo que o condensador está inicialmente descarregado), tem as formas seguintes: q t CE exp = 1 (6) RC E t i = exp R RC (7) A evolução temporal prevista por estas equações está representada graficamente nas figuras 3 e 4. Saliente-se a importância do factor τ = RC, que tem dimensões de tempo (verifique!). τ corresponde ao tempo que o condensador levaria a carregar até à carga final Q f = CE, se a corrente se mantivesse constantemente igual a I 0 = E/R. No entanto, uma vez que a corrente diminui exponencialmente com o tempo, a carga acumulada em t = RC é (1-1/e)Q f, tendo nesse instante a corrente decrescido para I 0 /e. De qualquer forma, RC caracteriza o tempo típico que o condensador leva a carregar (ou a descarregar, como veremos adiante). Para tempos t >> RC, pode-se considerar o condensador completamente carregado. Figura 3. Evolução temporal da carga do condensador do circuito da figura 2. O condensador carrega desde a carga inicial Q(0)=0 até à carga final Q f = CE. Em t = RC, acumulou já a carga Q f (1-1/e). Figura 4. Evolução temporal da corrente no circuito da figura 2. A corrente diminui exponencialmente desde o valor inicial I(0)=E/R até zero, no limite. Em t = RC, diminui de um factor e para I 0 /e. Departamento de Física da FCTUC 2/6
1.2.2. Descarga de um condensador Consideremos agora que temos um condensador inicialmente carregado com uma carga Q 0 e que o ligamos em série com uma resistência R, conforme esquematiza a figura 5. Figura 5. Condensador inicialmente carregado com a carga Q 0 ligado em série a uma resistência R. Em t = 0, fecha-se o interruptor S, iniciando-se o processo de descarga do condensador. Quando se fecha o interruptor S, a diferença de potencial existente entre as placas do condensador motiva o estabelecimento de uma corrente i através da qual ocorre a descarga do condensador. Este processo é regido pelas equações: q R i t + = 0 (8) C A solução das equações (8) e (9) é, agora, i q i ( ) dq = (9) dt t = 0 (10) RC Q exp Q t = RC RC 0 exp Agora, quer a carga do condensador, quer a corrente i no circuito diminuem exponencialmente desde os seus valores iniciais. τ = RC corresponde, analogamente ao processo de carga, ao tempo que o condensador levaria a descarregar completamente se a corrente se mantivesse constantemente igual a Q 0 /RC em todo o processo de descarga. Não sendo i constante, τ corresponde agora ao tempo que a carga e a corrente levam até verem os respectivos valores iniciais diminuídos de um factor e. (11) Figura 6. Evolução temporal da carga do condensador do circuito da figura 5. O condensador descarrega exponencialmente desde a carga inicial Q 0 até zero. Em t = RC, a carga diminuiu de um factor e para Q 0 /e. Figura 7. Evolução temporal da corrente no circuito da figura 5. A corrente diminui exponencialmente desde o valor inicial I(0) = Q 0 /RC até zero. Em t = RC, diminui de um factor e para I 0 /e. Departamento de Física da FCTUC 3/6
1.2.3. Estudo da carga e descarga de condensadores usando ondas quadradas Se, em vez de uma fonte de tensão contínua, usarmos um gerador de tensão fornecendo ondas quadradas como a idealizada na figura 8, o processo de carga e descarga do condensador será, em geral, mais complicado do que os processos de carga e descarga simples descritos anteriormente. Tensão (unidades arbitrárias) 1.0 0.8 0.6 T 0.4 0.2 0.0 0 2 4 6 8 10 Tempo (unidades arbitrárias) Figura 8. Idealização de uma onda quadrada de período T (neste caso T = 2). Na realidade, o gerador é obviamente incapaz de fazer subir ou descer a tensão de um modo infinitamente rápido. A tensão leva um certo tempo para conseguir elevar-se desde zero até ao valor máximo, bem como para efectuar o processo inverso, conforme se discute nas notas de introdução ao osciloscópio e noutro trabalho prático (Medição de grandezas eléctricas. Utilização do osciloscópio e do multímetro). Se for escolhido um período T da onda quadrada suficientemente grande, em comparação com τ = RC (T >> RC), então pode admitir-se que o condensador carrega completamente nos intervalos de tempo em que a tensão aplicada é não nula e que também descarrega completamente nos intervalos de tempo em que a tensão aplicada é nula. No caso de uma tensão como a da figura 8, por exemplo, o condensador carregará no intervalo de tempo [0,1], descarregará no intervalo [1,2], etc. Vemos assim que, em rigor, devemos escolher o período T de forma que seja T/2 >> RC e não T >> RC. Pode, com o auxílio do osciloscópio, estudar-se simultaneamente os dois processos. Note-se que este instrumento mede diferenças de potencial e não cargas eléctricas. No entanto, da equação (1) temos que a diferença de potencial nos terminais de um condensador é directamente proporcional à sua carga, pelo que o comportamento temporal da tensão é idêntico ao da carga. 2. Realização experimental Material necessário: folhas de alumínio; folhas de acetato; osciloscópio; resistências; gerador de sinais; condensadores comerciais; fita cola. 2.1. Determinação da constante dieléctrica através da medição do tempo característico de carga e descarga do condensador 2.1.1. Verifique, e descreva no seu relatório, o modo como está preparado o condensador. Anote os materiais de que são formadas as placas e o dieléctrico. Faça as medidas necessárias e calcule a área de cada uma das placas. 2.1.2. Meça, com o auxílio de um multímetro, o valor da resistência (da ordem de 10 kω) que utilizará no circuito. Considere o erro nesta determinação desprezável. Anote o valor na folha de registo de dados. 2.1.3. Monte o circuito esquematizado na figura ao lado. Substitua o gerador E e o interruptor S pelo sinal obtido de um gerador de sinais. Isto é, ligue os terminais do gerador de sinais ao terminal livre de C e ao terminal também livre de R. Tenha o cuidado de forçar um bom contacto entre as folhas de Departamento de Física da FCTUC 4/6
alumínio e a folha de acetato (PORQUÊ?), colocando um peso em cima do conjunto (distribuído uniformemente). 2.1.4. Ajuste o gerador de sinais para que forneça ondas quadradas com frequência de 1 khz. Anote na folha de registo de dados o valor da frequência e também da amplitude. 2.1.5. Observe, com o auxílio do osciloscópio, a tensão aos terminais do condensador e a tensão à saída do gerador. Para isso, observe no canal 1 do osciloscópio, com o auxílio da ponta de prova adequada, a tensão à saída do gerador e no canal 2 a tensão nos terminais do condensador. Estabilize a imagem da tensão no condensador, fazendo o trigger no canal 1. (Importante: o osciloscópio mede a diferença de potencial relativamente à massa do aparelho, ligada, por sua vez, à terra. Tenha o cuidado de ligar os contactos das pontas de prova correspodentes à massa (em forma de crocodilo) ao mesmo ponto do circuito e também à massa do gerador de sinais, como se mostra nas figuras ao lado). Ajustando o trigger e a base de tempos de forma adequada, obtenha no ecrã imagens de aproximadamente dois períodos do sinal. Faça um esboço dos sinais numa folha de papel quadriculado ou milimétrico indicando as escalas. 2.1.6 Observe agora a diferença de potencial aos terminais do gerador e aos da resistência. Para isso é preciso alterar o circuito trocando a resistência com o condensador (ver a figura). Faça um esboço (à escala) dos sinais e explique a forma destes tendo em conta as equações (10) e (11). a) Medição de RC usando o processo de descarga 2.1.7. A partir das imagens obtidas no ponto anterior, pode estimar o tempo característico τ=rc. Para tal, ajuste as escalas do osciloscópio para obter uma imagem semelhante à da Fig.6. Use os seguintes 4 métodos (não se esqueça de indicar as respectivas incertezas): 1) pela abcissa de intercepção da tangente ao sinal, observado aos terminais do condensador, no instante t=0 (ver Fig.6); pode fazé-lo com o auxílio de um pequeno papel; 2) medindo o tempo em que a diferença de potencial nos terminais do condensador diminui por um factor de e (2,7183); 3) pela abcissa de intercepção da tangente ao sinal, observado nos terminais da resistência, no instante t=0; 4) medindo o tempo em que a diferença de potencial aos terminais da resistência diminui por um factor de e; 2.1.8. Compare os 4 valores de RC medidos e comente. Calcule a capacidade do condensador, C. Usando um multímetro apropriado, faça a medida da mesma capacidade. Compare os valores obtidos através da medição da constante do tempo RC com o valor da capacidade obtida com o multímetro. 2.1.9. Determine, usando a equação (3), a permitividade eléctrica e a constante dieléctrica do meio, com as respectivas incertezas. Para isso, calcule a espessura média das folhas de acetato com o auxílio de uma craveira (ou um micrómetro), medindo a espessura de um conjunto de folhas (cerca de 10). Departamento de Física da FCTUC 5/6
b) Medição do RC usando o processo de carga 2.1.10. Verifique que também pode extrair RC a partir da imagem correspondente à carga do condensador. Meça a constante de tempo usando um dos métodos sugeridos no ponto 2.1.7, da sua escolha. Como devia ser modificado o método 2 (a partir da forma do sinal nos terminais do condensador) para determinar o valor de RC? 2.2. Dependência da capacidade com a espessura 2.2.1. Repita a medição da capacidade do condensador por um dos métodos usados no ponto 2.1 da sua escolha usando, sucessivamente, 2, 4 e 8 folhas de acetato entre as folhas de alumínio (anote no relatório o método usado). 2.2.2. Em gráfico (a incluir no relatório) represente a variação da capacidade em função de 1/d. A partir do gráfico, determine o valor da permeabilidade eléctrica e da constante dieléctrica do meio. Compare com os valores obtidos no ponto anterior e comente. 2.3. Variação da capacidade com a área das placas 2.3.1. Repita a medição da capacidade do condensador formado por uma única folha de acetato, para pelo menos um valor diferente da área das folhas de alumínio. Descreva o modo como procedeu. 2.3.2. Compare o resultado com valor anteriormente obtido. Qual o efeito da área das placas sobre a capacidade de um condensador paralelo? 2.4. Comparação com condensadores comerciais 2.4.1. No circuito eléctrico que vem utilizando, substitua o condensador de acetato por um ou vários dos condensadores comerciais disponibilizados. 2.4.2. Compare a forma dos sinais de carga e descarga com os do condensador artesanal e comente. 2.4.3. Meça a capacidade de um dos condensadores comerciais usando um dos métodos utilizados anteriormente e compare com o valor da capacitância indicado no condensador. Relatório O relatório deste trabalho vai ser elaborado num formato livre. Bibliografia [1] M.M.R.R. Costa e M.J.B.M. de Almeida, Fundamentos de Física, 2ª edição, Coimbra, Livraria Almedina (2004). [2] Paul Tipler, Física, Editora Guanabara-Koogan, 4ª Edição (2000). [3] M. Alonso e E. Finn, Física, Addison-Wesley Iberoamericana (1999) [4] Introdução à análise de dados nas medidas de grandezas físicas, Coimbra, Departamento de Física da Universidade (2005/06). [5] M.C. Abreu, L. Matias e L.F. Peralta, Física Experimental - Uma introdução, Lisboa, Editorial Presença (1994). Departamento de Física da FCTUC 6/6