Onde está o peso extra? Série Problemas e Soluções Objetivos 1. Estudar uma estratégia que valoriza ao máximo as informações disponíveis.
Onde está o peso extra? Série Problemas e soluções Conteúdos Lógica, divisibilidade por 3. Duração Aprox. 10 minutos. Objetivos 1. Estudar uma estratégia que valoriza ao máximo as informações disponíveis. Sinopse Dois funcionários devem descobrir onde está um saco de cimento que pesa um pouco menos que os demais. Este saco está em um fardo com muitos sacos, todos aparentemente iguais. Como usar uma balança de equilíbrio em pratos, com o menor número de pesagens, para descobrir qual é o saco de cimento com peso inferior aos demais? Este é o problema deste programa que também apresenta a solução e uma generalização. Material relacionado Áudios: Como descobrir a verdade?; Experimentos: Mágica das cartas; Softwares: Programação linear, Caminhos e grafos; Vídeos: Mágico das arábias.
Introdução Sobre a série A série Problemas e Soluções trata de problemas típicos de matemática do Ensino Médio contextualizados por uma ficção. Em cada programa, um ou dois problemas são interpretados no primeiro bloco de cinco minutos, ao final do qual o leitor é convidado a tentar resolvê-los. No contexto da sala de aula, o professor então tem a oportunidade de discutir os métodos ou as formas possíveis de resolver o problema. O segundo bloco programa apresenta as soluções e alguns comentários ou informações adicionais. Durante o programa, os alunos devem exercitar a abstração, pois estarão apenas ouvindo os problemas e suas soluções, mas é sempre recomendável que os ouvintes façam anotações para melhor aproveitar o conteúdo. Sobre o programa Dois trabalhadores recebem a tarefa de encontrar um saco diferente apenas no peso em um carregamento de muitos sacos. Todos eles iguais, exceto um que pesa um pouco menos do que os outros. O chefe passa a tarefa e uma balança de dois pratos. Não interessa saber o peso, só é preciso saber qual é o diferente. A balança é idealizada, pois pode comportar tantos sacos quantos se queira ou um saco por vez. No primeiro bloco, os ouvintes devem entender o problema e perceber a solução para os casos mais simples: no caso de dois sacos, três sacos etc. Como proceder? No segundo bloco, os trabalhadores explicam o procedimento. Este é um problema clássico e há um texto bíblico que indica o uso da balança de dois pratos para fazer medidas há milênios: Pesado foste na balança e foste achado em falta (Daniel 5:27). Onde está o peso extra? 3/6
O procedimento para encontrar o peso diferente com o menor número de medições pode seguir duas rotas, que podem ser combinadas. Dividir igualmente o fardo entre os dois pratos. A balança vai mostrar em qual metade o saco mais leve está. Isso pode ser feito até restar apenas dois ou três sacos. Dividir o fardo em três partes. As duas partes com o mesmo número de sacos devem ser colocadas na balança, uma parte em cada prato. O restante fica fora da pesagem. Podem acontecer duas coisas: 1. A balança pende para um lado e pode-se dizer em que prato está o saco diferente. 2. A balança se equilibra e pode-se dizer que o saco diferente está na parte que ficou de fora da pesagem. Além de encontrar o saco de peso diferente, deve-se tentar efetuar o menor número de pesagens possíveis. A solução do problema é obvia no caso em que existam apenas dois sacos de cimento. Neste caso, uma única pesada é suficiente para identificar o saco mais leve. Se existirem 3 sacos, uma pesagem também é suficiente para resolver o problema. Assim, sempre que tivermos grupos de, no máximo 3 sacos, sabemos que uma pesagem é suficiente para identificar o saco mais leve. Desta forma, conseguimos construir uma tabela com o número mínimo de pesagens necessárias para resolver o problema com diferentes quantidades de sacos de cimento. Nº de sacos Nº de pesagens p 2, 3 1 4, 5, 6, 7, 8, 9 2 Onde está o peso extra? 4/6
10, 11, 12, 13,..., 26, 27 3 28, 29,... 80, 81 4 3 n + 1,...,3 n+ 1 n+1 Em geral, se existem X sacos de cimentos, podemos encontrar aquele com peso diferente, efetuando, no máximo p = Log 3 X pesagens, onde k indica o menor número inteiro maior ou igual a k. Sugestões de atividades Antes da execução O programa é de conteúdo muito simples, mas o procedimento sistemático e a lógica devem ser valorizados. Durante a execução No final do primeiro bloco (por volta de 4min 40s), é dito que, se a balança se equilibrar com quatro sacos em cada lado, deve-se repetir o processo com dois sacos em cada prato ficando um de fora. Isso não acontece, pois são quatro sacos e não cinco. Os funcionários não estavam pensando bem! Mas, na volta do almoço, no segundo bloco, eles fazem a divisão correta. Depois da execução Sugira aos alunos resolver o problema para fardos com 8, 9, 10, 11, 13, 14, 17 e 100 sacos, sendo que um deles é diferente apenas no peso. No máximo, quantas pesagens são suficientes para se encontrar o saco de peso diferente em cada caso? Onde está o peso extra? 5/6
Este problema é classicamente colocado para encontrar uma moeda de ouro que é falsa, pelo peso. Ficha técnica Autor Samuel Rocha de Oliveira Revisor Cristiano Torezzan Coordenador de audiovisual Prof. Dr. José Eduardo Ribeiro de Paiva Coordenador acadêmico Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira Universidade Estadual de Campinas Reitor Fernando Ferreira Costa Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Diretor Jayme Vaz Jr. Vice-diretor Edmundo Capelas de Oliveira Onde está o peso extra? 6/6