O que é número primo? Série O que é? Objetivos 1. Discutir o significado da palavra número primo no contexto da Matemática; 2. Apresentar idéias básicas sobre criptografia.
O que é número primo? Série O que é? Conteúdos Número primo, divisores. Criptografia. Duração Aprox. 10 minutos. Objetivos 1. Discutir o significado da palavra número primo no contexto da Matemática; 2. Apresentar idéias básicas sobre criptografia. Sinopse Neste programa, o apresentador discute com um convidado especial, contando com algumas participações de ouvintes, o significado da palavra número primo no contexto da Matemática. Material relacionado Experimentos: Morto ou Vivo, Jogo dos Divisores; Áudio: 21 divisores naturais; Vídeo: Uma surpresa para os calouros, Venda segura.
Introdução Sobre a série A proposta da série O que é? é fazer uma discussão introdutória e sem grandes aprofundamentos de alguns conceitos do currículo de Matemática do Ensino Médio que contenham palavras incomuns fora do contexto da Matemática, como logaritmo, baricentro, hipérbole, etc. A série simula um programa de entrevistas em uma rádio, na qual o entrevistador apresenta a palavra que servirá de tema e chama um convidado relacionado com Matemática para explicar o significado da tal palavra. Nessa conversa, são discutidos significados dentro e fora do contexto da Matemática, apresentada alguma aplicação daquele conceito e, no final do programa, é feita uma sugestão de pesquisa ou aprofundamento em torno do tema. Devido a sua proposta, os programas desta série são mais adequados para introduzir os conceitos discutidos. Uma outra possibilidade é usá-los como tarefa, para que os alunos ouçam e, na aula seguinte, iniciem com uma discussão sobre os significados da palavra em questão. Sobre o programa Este programa explora o significado do termo número primo, cuja definição é: Número primo: Todo número natural divisível apenas por 1 e por ele mesmo. Um número que não é primo é chamado de número composto. A importância dos números primos, em poucas palavras, reside no fato deles servirem como unidade básica para a construção e análise O que é número primo? 3/7
de todos os números naturais e essa afirmação vem do seguinte teorema: Teorema Fundamental da Aritmética: todo número natural pode ser decomposto de maneira única como uma multiplicação de números primos. Em termos de aplicações, o caso dos números primos ilustra muito bem um fenômeno comum quando se trata de aplicações práticas de conteúdos matemáticos. Na Grécia Antiga, há mais de 2000 anos, os números primos já eram matéria de interesse de matemáticos. Por exemplo, Euclides demonstrou teoremas envolvendo estes números em seu célebre compêndio Os Elementos, é o caso do próprio Teorema Fundamental da Aritmética e da afirmação que diz que existem infinitos números primos. Desde então, diversos matemáticos se dedicaram a esse assunto, sendo Pierre de Fermat outro que merece menção. Ele levantou diversas conjecturas envolvendo números primos, algumas das quais permanecem sem resposta até hoje. Porém, foi apenas no século XX, com a necessidade de criptografar informações de maneira mais eficiente do que um computador pudesse decifrar, que surgiu o que pode ser considerada como a primeira aplicação prática dos números primos: a criptografia. Mais especificamente, os números primos são os elementos chave do método de criptografia chamado de RSA, o mais usado para proteger informações na internet. Em linhas gerais, o método RSA consiste no seguinte: 1) Quem deseja enviar uma mensagem secreta tem acesso a uma chave pública, que é um número composto muito grande. Com esse número, é possível criptografar a mensagem e enviar ao destinatário; 2) Esse destinatário, e apenas ele, conhece a chave privada, que é basicamente a decomposição da chave pública. Em posse O que é número primo? 4/7
dessa chave primária, é simples decifrar a mensagem criptografada; 3) Uma pessoa que intercepte a mensagem criptografada também pode ter acesso à chave pública, mas é impossível decifrar a mensagem sem conhecer a chave privada e como o número que compõe a chave pública é muito grande, a decomposição deste em fatores primos é praticamente impossível até mesmo para um computador; Esse é o princípio que garante o funcionamento da criptografia RSA: mesmo com ajuda de computadores, é muito demorado decompor um número muito grande em fatores primos. Para que se tenha uma idéia mais clara, o número que compõe a chave pública deve ter cerca de 200 algarismos! A apostila Criptografia, de S. C. Coutinho, escrita para os alunos premiados na Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (vide Bibliografia), aborda a criptografia RSA com todos os detalhes de conteúdo necessários. Sugestões de atividades Antes da execução Uma possibilidade de atividade com os alunos em torno deste áudio é pedir que eles escrevam em um papel qual o significado que eles atribuem à palavra que será discutida antes e depois de ouvirem o programa. Essa pode ser uma boa maneira de conhecer melhor a formação prévia dos seus alunos e, no final, o que eles entenderam daquilo que ouviram. O que é número primo? 5/7
Depois da execução Depois da execução do áudio, vislumbramos duas possibilidades de atividades: uma focada em números primos, divisores e conteúdos dessa natureza (normalmente ensinados no Ensino Fundamental) e outra focada em criptografia (que possibilita um trabalho mais interdisciplinar). Para a primeira opção, apontamos os seguintes recursos educacionais que podem ser utilizados: 1) Jogo dos Divisores: experimento que propõe um jogo com dados comuns, mas com faces alteradas, no qual os jogadores marcam pontos de acordo com o número de divisores comuns entre as faces obtidas em dois lançamentos; 2) Morto ou Vivo: experimento no qual os estudantes serão levados a entender como contar a quantidade de divisores de um determinado número natural e reconhecer certas regularidades nessas quantidades; 3) 21 divisores naturais: áudio que propõe um problema avançado sobre número de divisores; Para a segunda opção, sugerimos os seguintes recursos educacionais: 1) A Carta: vídeo que mostra o método de criptografia chamado de Cifra de Vigenère, que exige poucos conhecimentos prévios e é acessível a alunos de Ensino Médio; 2) Gabarito secreto: vídeo que mostra um método de criptografia envolvendo matrizes; 3) Mensagens secretas com matrizes: experimento que propõe outro método de criptografia, ainda mais simples que o anterior, envolvendo matrizes; O que é número primo? 6/7
Todos esses recursos educacionais podem ser encontrados no portal www.m3.mat.br. Outra opção sobre Criptografia é a apostila Atividades de contagem a partir de criptografia, de Pedro Luiz Malagutti, escrita para os alunos premiados na Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (vide Bibliografia). Essa apostila aborda métodos simples de criptografia, como a Cifra de César. Sugestões de leitura A. HEFEZ (2008). Iniciação à aritmética. Disponível em http://www.obmep.org.br/export/sites/default/arquivos/apostilas_pic 2008/Apostila1-aritmetica.pdf Ficha técnica Autor Leonardo Barichello Revisor Samuel Rocha de Oliveira Coordenador de audiovisual Prof. Dr. José Eduardo Ribeiro de Paiva Coordenador acadêmico Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira Universidade Estadual de Campinas Reitor Fernando Ferreira Costa Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Diretor Jayme Vaz Jr. Vice-diretor Edmundo Capelas de Oliveira O que é número primo? 7/7