UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS UNIDADE UNIVERSITÁRIA DE JUSSARA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA ANA PAULA ALVES MACHADO DE LIMA

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS UNIDADE UNIVERSITÁRIA DE JUSSARA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA ANA PAULA ALVES MACHADO DE LIMA A HISTÓRIA DA CRIPTOGRAFIA E A APLICAÇÃO DE TEORIA DOS NÚMEROS EM CRIPTOGRAFIA RSA JUSSARA-GO 2010

2 Ana Paula Alves Machado de Lima A HISTÓRIA DA CRIPTOGRAFIA E A APLICAÇÃO DE TEORIA DOS NÚMEROS EM CRIPTOGRAFIA RSA Trabalho apresentado para fins de conclusão de curso na Universidade Estadual de Goiás, Unidade Universitária de Jussara, no curso de Licenciatura em Matemática, sob orientação do professor Deusaguimar Divino da Silva. Jussara-GO 2010

3 ANA PAULA ALVES MACHADO DE LIMA A HISTÓRIA DA CRIPTOGRAFIA E A APLICAÇÃO DE TEORIA DOS NÚMEROS EM CRIPTOGRAFIA RSA Monografia aprovada como requisito parcial para a obtenção do grau de Licenciado em Matemática na Universidade Estadual de Goiás UEG, pela banca examinadora: Orientador: professor Deusaguimar Divino da Silva Examinador Examinador Jussara-GO 11/2010

4 Dedico este trabalho aos meus pais e à minha irmã por todo apoio, pela educação... Ao meu marido pelo apoio e incentivo... Aos amigos e familiares que estiveram ao meu lado em momentos difíceis, me ajudando a encontrar forças para ir em frente... Aos professores, pelo auxílio, orientação e por despertarem o meu interesse pela matemática... E aos colegas de curso que deixarão saudades.

5 AGRADECIMENTOS Agradeço, principalmente, a Deus que me deu sabedoria. Depois aos amigos, professores e familiares pela paciência que, muitas vezes tiveram comigo.

6 "Ciência é conhecimento organizado. Sabedoria é vida organizada." (Immanuel Kant)

7 RESUMO Este trabalho foi realizado no ano de 2010, em Jussara-GO. Nesta pesquisa se encontram fatos históricos e aspectos relacionados à criptografia. Quais os primeiros métodos de criptografia, como surgiram e com que objetivos, como eram utilizados, quem foram seus inventores. Esta pesquisa também aborda assuntos a respeito de criptografia RSA e sua relação com Álgebra. A criptografia estuda técnicas matemáticas de enviar mensagens secretas com segurança, codificando essas mensagens para que apenas um usuário legítimo possa decifrar. O primeiro algoritmo de criptografia de que se tem notícia, a transposição, surgiu em meados de 400 a.c. A partir de então vários métodos diferentes foram inventados com diferentes objetivos. Entre eles a Cifra de César, a Cifra de Vigenère, o ROT 13, o PLAYFAIR, o ADFGVX, o LUCIFER, o DES, e o RSA. A maioria desses métodos deixou de ser usada por não oferecer segurança. É possível decifrar alguns desses códigos com um mínimo de conhecimento matemático. A Cifra de César, por exemplo, pode ser decifrada fazendo uma análise de freqüência de letras ou de padrões de palavras em um determinado idioma. Os métodos de criptografia são classificados em dois tipos: simétrico e assimétrico. A criptografia simétrica utiliza uma única chave para codificar e decodificar a mensagem. A criptografia assimétrica, ou de chave pública, utiliza duas chaves, uma para codificar e outra para decodificar, sendo uma delas de conhecimento geral, por isso chamada de chave pública. O RSA é um dos métodos mais seguros e, por isso, o mais utilizado atualmente. É um método de criptografia de chave pública. Utiliza fundamentos matemáticos como números primos, aritmética modular, máximo divisor comum, fatoração, etc. Seus fundadores são Ronald Rivest, Leonard Adleman e Adi Shamir. Os três trabalharam juntos no MIT (Massachussets Institute of Technology), por volta de 1978, quando inventaram o método. PALAVRAS CHAVE: Criptografia, teoria dos números, códigos, chave.

8 SUMÁRIO INTRODUÇÃO 08 CAPÍTULO 1 CRIPTOGRAFIA: FATOS HISTÓRICOS E MÉTODOS Primeiros métodos Cifra de César Cifra de Vigenère Vida e obra de Gauss O método RSA 23 CAPÍTULO 2 A APLICAÇÃO DE TEORIA DOS NÚMEROS NO RSA E APLICAÇÕES Aritmética modular Aplicação de congruência modular na Cifra de César Teoria dos números e RSA Aplicações do RSA Assinatura digital Identificação 37 CONSIDERAÇÕES FINAIS 38 BIBLIOGRAFIA 39

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