MATEMÁTICA 2 o Ano Eduardo 1. (Enem 2012) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada. O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas 2. (Unicamp 2012) O grêmio estudantil do Colégio Alvorada é composto por 6 alunos e 8 alunas. Na última reunião do grêmio, decidiu-se formar uma comissão de 3 rapazes e 5 moças para a organização das olimpíadas do colégio. De quantos modos diferentes pode-se formar essa comissão? a) 6720. b) 100800. c) 806400. d) 1120. 3. (Enem 2009) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante. A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de a) uma combinação e um arranjo, respectivamente. b) um arranjo e uma combinação, respectivamente. c) um arranjo e uma permutação, respectivamente. d) duas combinações. e) dois arranjos. 4. (Ufsm 2013) As doenças cardiovasculares aparecem em primeiro lugar entre as causas de morte no Brasil. As cirurgias cardíacas são alternativas bastante eficazes no tratamento dessas doenças. Supõe-se que um hospital dispõe de 5 médicos cardiologistas, 2 médicos anestesistas e 6 instrumentadores que fazem parte do grupo de profissionais habilitados para realizar cirurgias cardíacas. Quantas equipes diferentes podem ser formadas com 3 cardiologistas, 1 anestesista e 4 instrumentadores? a) 200. b) 300. c) 600. d) 720. e) 1.200. 5. (Pucrj 2013) Em uma sorveteria, há sorvetes nos sabores morango, chocolate, creme e flocos. De quantas maneiras podemos montar uma casquinha, com dois sabores diferentes, nessa sorveteria? a) 6 maneiras b) 7 maneiras c) 8 maneiras d) 9 maneiras e) 10 maneiras 6. (Upe 2014) Na comemoração de suas Bodas de Ouro, Sr. Manuel e D. Joaquina resolveram registrar o encontro com seus familiares através de fotos. Uma delas sugerida pela família foi dos avós com seus 8 netos. Por sugestão do fotógrafo, na organização para a foto, todos os netos deveriam ficar entre os seus avós. De quantos modos distintos Sr. Manuel e D. Joaquina podem posar para essa foto com os seus netos? a) 100 b) 800 c) 40 320 d) 80 640 e) 3 628 800 7. (G1 - ifpe 2012) Por questão de segurança os bancos instalaram ao lado da maçaneta da porta, que dá acesso à área por trás dos caixas, um teclado como o da figura abaixo.
Para entrar nessa área, cada funcionário tem a sua própria senha. Suponha que esta senha seja composta por quatro dígitos distintos. Quantas senhas poderão ser criadas se forem usados apenas os números primos que aparecem no teclado? a) 6 b) 24 c) 80 d) 120 e) 720 8. (Enem 2004) No Nordeste brasileiro, é comum encontrarmos peças de artesanato constituídas por garrafas preenchidas com areia de diferentes cores, formando desenhos. Um artesão deseja fazer peças com areia de cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo o mesmo desenho, mas variando as cores da paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a figura. O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a mesma cor nem da casa nem da palmeira, por uma questão de contraste, então o número de variações que podem ser obtidas para a paisagem é a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10. 9. (Enem 2ª aplicação 2010) Considere que um professor de arqueologia tenha obtido recursos para visitar 5 museus, sendo 3 deles no Brasil e 2 fora do país. Ele decidiu restringir sua escolha aos museus nacionais e internacionais relacionados na tabela a seguir. d) 24 e) 36 10. (Enem 2013) Considere o seguinte jogo de apostas: Numa cartela com 60 números disponíveis, um apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os números disponíveis, serão sorteados apenas 6. O apostador será premiado caso os 6 números sorteados estejam entre os números escolhidos por ele numa mesma cartela. O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quantidade de números escolhidos. Quantidade de números escolhidos em uma Preço da cartela (R$) cartela 6 2,00 7 12,00 8 40,00 9 125,00 10 250,00 Cinco apostadores, cada um com R$500,00 para apostar, fizeram as seguintes opções: - Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos; - Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com 6 números escolhidos; - Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas com 6 números escolhidos; - Douglas: 4 cartelas com 9 números escolhidos; - Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos. Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são a) Caio e Eduardo. b) Arthur e Eduardo. c) Bruno e Caio. d) Arthur e Bruno. e) Douglas e Eduardo. 11. (Uerj 2013) Na ilustração abaixo, as 52 cartas de um baralho estão agrupadas em linhas com 13 cartas de mesmo naipe e colunas com 4 cartas de mesmo valor. Museus nacionais Masp São Paulo MAM São Paulo Ipiranga São Paulo Imperial Petrópolis Museus internacionais Louvre Paris Prado Madri British Museum Londres Metropolitan Nova York De acordo com os recursos obtidos, de quantas maneiras diferentes esse professor pode escolher os 5 museus para visitar? a) 6 b) 8 c) 20 Denomina-se quadra a reunião de quatro cartas de mesmo valor. Observe, em um conjunto de cinco cartas, um exemplo de quadra:
O número total de modos distintos de consumir os picolés equivale a: a) 6 b) 90 c) 180 d) 720 O número total de conjuntos distintos de cinco cartas desse baralho que contêm uma quadra é igual a: a) 624 b) 676 c) 715 d) 720 12. (Unisinos 2012) Num restaurante, são oferecidos 4 tipos de carne, 5 tipos de massa, 8 tipos de salada e 6 tipos de sobremesa. De quantas maneiras diferentes podemos escolher uma refeição composta por 1 carne, 1 massa, 1 salada e 1 sobremesa? a) 23. b) 24. c) 401. d) 572. e) 960. 15. (Uemg 2014) Na Copa das Confederações de 2013, no Brasil, onde a seleção brasileira foi campeã, o técnico Luiz Felipe Scolari tinha à sua disposição 23 jogadores de várias posições, sendo: 3 goleiros, 8 defensores, 6 meio-campistas e 6 atacantes. Para formar seu time, com 11 jogadores, o técnico utiliza 1 goleiro, 4 defensores, 3 meio-campistas e 3 atacantes. Tendo sempre Júlio César como goleiro e Fred como atacante, o número de times distintos que o técnico poderá formar é a) 14 000. b) 480. c) 8! + 4! d) 72 000. 16. (Uemg 2010) Observe a tirinha de quadrinhos, a seguir: 13. (Uerj 2011) Uma rede é formada de triângulos equiláteros congruentes, conforme a representação abaixo. A Mônica desafia seus amigos, numa brincadeira de cabo de guerra. Uma formiga se desloca do ponto A para o ponto B sobre os lados dos triângulos, percorrendo X caminhos distintos, cujos comprimentos totais são todos iguais a d. Sabendo que d corresponde ao menor valor possível para os comprimentos desses caminhos, X equivale a: a) 20 b) 15 c) 12 d) 10 14. (Uerj 2015) Uma criança ganhou seis picolés de três sabores diferentes: baunilha, morango e chocolate, representados, respectivamente, pelas letras B, M e C. De segunda a sábado, a criança consome um único picolé por dia, formando uma sequência de consumo dos sabores. Observe estas sequências, que correspondem a diferentes modos de consumo: (B, B, M, C, M, C) ou (B, M, M, C, B, C) ou (C, M, M, B, B, C) Supondo que a posição da Mônica pode ser substituída por qualquer um de seus amigos, e que ela pode ocupar o outro lado, junto com os demais, mantendo-se em qualquer posição, o número de maneiras distintas que podem ocorrer nessa brincadeira será igual a a) 60. b) 150. c) 600. d) 120. 17. (Pucrs 2010) Uma melodia é uma sequência de notas musicais. Para compor um trecho de três notas musicais sem repeti-las, um músico pode utilizar as sete notas que existem na escala musical. O número de melodias diferentes possíveis de serem escritas é: a) 3 b) 21 c) 35 d) 210 e) 5040 18. (Ufjf 2012) Uma empresa escolherá um chefe para cada uma de suas repartições A e B. Cada chefe deve ser escolhido entre os funcionários das
respectivas repartições e não devem ser ambos do mesmo sexo. Abaixo é apresentado o quadro de funcionários das repartições A e B. FUNCIONÁRIOS REPARTIÇÕES A Mulheres 4 7 Homens 6 3 De quantas maneiras é possível ocupar esses dois cargos? a) 12. b) 24. c) 42. d) 54. e) 72. 19. (Pucrj 2013) Em uma sorveteria há sorvetes nos sabores morango, chocolate, creme e flocos. De quantas maneiras podemos montar uma casquinha com duas bolas nessa sorveteria? a) 10 maneiras b) 9 maneiras c) 8 maneiras d) 7 maneiras e) 6 maneiras 20. (Uece 2014) Sejam r e s duas retas distintas e paralelas. Se fixarmos 10 pontos em r e 6 pontos em s, todos distintos, ao unirmos, com segmentos de reta, três quaisquer destes pontos não colineares, formam-se triângulos. Assinale a opção correspondente ao número de triângulos que podem ser formados. a) 360 b) 380 c) 400 d) 420 21. (Uerj 2010) B Considere como um único conjunto as 8 crianças 4 meninos e 4 meninas personagens da tirinha. A partir desse conjunto, podem-se formar n grupos, não vazios, que apresentam um número igual de meninos e de meninas. O maior valor de n é equivalente a: a) 45 b) 56 c) 69 d) 81
Gabarito: Resposta da questão 1: Pelo PFC, existem 5 6 9 = 270 respostas possíveis. Portanto, o diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há 280 270 = 10 alunos a mais do que o número de respostas possíveis. Resposta da questão 2: 6! 8! C 6,3.C8,5 = = 20.56 = 1120 3!.3! 5!.3! Resposta da questão 3: Para o grupo A a ordem dos elementos não importa o que nos leva a pensar numa combinação. Mas no jogo de abertura existe o time que jogará em sua caso, então temos um arranjo. Logo a alternativa A é a correta. Resposta da questão 4: O resultado pedido é dado por 5 2 6 5! 6! 2 3 = 1 4 3! 2! 4! 2! = 20 15 = 300. Resposta da questão 5: O número de maneiras possíveis de montar uma casquinha, com dois sabores distintos, sabendo que existem quatro sabores disponíveis, é dado por 4 4! = = 6. 2 2! 2! Resposta da questão 6: Supondo que todos aparecerão na foto lado a lado, temos 2 possibilidades para os avós e P8 = 8! = 40320 possibilidades para os netos. Portanto, pelo Princípio Fundamental da Contagem, existem 2 40320 = 80640 maneiras distintas de fazer a foto. Resposta da questão 7: Números primos do teclado: 2, 3, 5 e 7. Número de senhas: 4.3.2.1 = 24. Resposta da questão 8: Se o fundo for azul, teremos 2 escolhas para a casa e 2 escolhas para a palmeira. Se o fundo for cinza, teremos 3 escolhas para a casa e 1 escolha para a palmeira. Portanto, existem 2 2+ 3 1= 7 variações possíveis. Resposta da questão 9: O professor pode escolher 3 museus no Brasil de 4 = 4 modos distintos e pode escolher 2 museus no 3 exterior de 4 4! = = 6 maneiras. Portanto, pelo 2 2!2! PFC, o professor pode escolher os 5 museus para visitar de 4 6 = 24 maneiras diferentes. Resposta da questão 10: Supondo que duas cartelas de um mesmo jogador não possuem 6 dezenas iguais, segue-se que Arthur, Bruno, Caio, Douglas e Eduardo possuem, respectivamente, as seguintes possibilidades de serem premiados: 7 250; 41 + 4 = 291; 6 10 2 = 420. 6 8 12 + 10 = 346; 6 9 4 = 336 e 6 Portanto, como o número de casos possíveis para o resultado do sorteio é o mesmo para todos, podemos concluir que Caio e Eduardo são os que têm as maiores probabilidades de serem premiados. Resposta da questão 11: Temos 13 conjuntos de quatro valores iguais e para cada um destes conjuntos temos 48 (52 4) cartas Logo, 48. 13 = 624. Resposta da questão 12: [E] Aplicando o princípio fundamental da contagem, temos: 4.5.8.6 = 960. Resposta da questão 13:
uma mulher da repartição B. Assim, existem 6 7 = 42 modos de escolher um homem da repartição A e uma mulher da repartição B. Por conseguinte, é possível ocupar os dois cargos de 12 + 42 = 54 maneiras. Resposta da questão 19: O menor caminho será formado por dois lados inclinados (decidas) e quatro lados horizontais. 2,4 6! P 6 = = 15 2!.4! Resposta da questão 14: Sabendo que a criança ganhou dois picolés de cada sabor, tem-se que o resultado pedido é dado por (2, 2, 2) 6! P6 = 90. 2! 2! 2! = Resposta da questão 15: O número de maneiras que podemos montar uma casquinha com duas bolas corresponde ao número de combinações completas de 4 sabores tomados 2 a 2, isto é, 2 2 5 5! 5 4 CR4 = C4+ 2 1 = = = = 10. 2 2! 3! 2 Resposta da questão 20: Número de combinações do total de pontos três a 16! três: C16,3 = = 560 3!(16 3)! Número de combinações dos 10 pontos de uma reta 10! três a três: C10,3 = = 120 3!(10 3)! Número de combinações dos 6 pontos da outra reta 6! três a três: C6,3 = = 20 3!(6 3)! Portanto, o total de triângulos será dado por: 560 120 20 = 420. Logo, o número de times distintos é: 170 2010 = 14000. Resposta da questão 16: Cinco crianças para cinco posições. P5 = 5! = 120 Resposta da questão 17: 7 6 5 = 210 Resposta da questão 21: [C] 8 crianças ( 4meninos e quatro meninas) 1 menino e uma menina C4,1. C4,1 = 4.4 = 16 2 meninos e 2 meninas C4,2. C4,2 = 6.6 = 36 3meninos e 3 meninas C4,3. C4,3 = 4.4 = 16 4 meninos e 4meninas C4,4. C4,4 = 1.1 = 1 Somando, temos: 15 + 36 + 16 + 1 = 69 Resposta da questão 18: Existem 4 maneiras de escolher uma mulher da repartição A, e 3 maneiras de escolher um homem da repartição B. Logo, pelo PFC, existem 4 3 = 12 modos de escolher uma mulher da repartição A e um homem da repartição B. Por outro lado, existem 6 maneiras de escolher um homem da repartição A, e 7 maneiras de escolher