Onde está a Matemática? A aprendizagem da Matemática na Serralharia Elsa Fernandes Universidade da Madeira, Portugal elsa@uma.pt João Filipe Matos Universidade de Lisboa, Portugal jfmatos@fc.ul.pt Resumo Este artigo relata parte de estudo mais amplo cujo objectivo é identificar e caracterizar a actividade matemática dos alunos em práticas não socialmente definidas como Matemática e perceber como é que essa actividade matemática pode ser ligada ao currículo da Matemática escolar e ao seu desenvolvimento. O foco deste artigo é o reportório partilhado (Wenger, 1998) pela comunidade de prática dos aprendizes de serralheiro da Escola de Formação Profissional CAMPO. Este artigo pretende apontar pistas de desenvolvimento e reflexão sobre o que pode significar ser matematicamente competente na sociedade actual, questão que consideramos fundamental na educação matemática. Introdução Este artigo refere-se a uma pequena parte de um estudo mais lato cujo objectivo é identificar e caracterizar a actividade matemática dos alunos em práticas não socialmente definidas como Matemática e perceber como é que essa actividade matemática pode ser ligada ao currículo da Matemática escolar e ao seu desenvolvimento. O conteúdo deste artigo foca-se essencialmente na segunda das quatro questões de investigação formuladas: 1- Quais as diferenças (semelhanças) entre a actividade matemática dos alunos numa prática não socialmente definida como Matemática e a actividade matemática escolar? Existe uma fronteira? 2 - De onde vem o conhecimento matemático que os alunos evidenciam em actividades matemáticas pertencentes a práticas não socialmente definidas como matemáticas? 3 - Se a Matemática é uma actividade socialmente definida, quem valida o que é o conhecimento matemático? 4 - Porque é que alunos que falham na aprendizagem da Matemática escolar, têm sucesso em actividades não escolares envolvendo conhecimento matemático, mas que não são socialmente definidas como Matemática? Os dados empíricos foram recolhidos numa Escola de Formação Profissional CAMPO, num curso de serralharia, olhando para algumas das actividades da prática em que os alunos participaram, como sejam as disciplinas de Práticas de Serralharia e Matemática Aplicada, bem como as pausas para almoço e intervalos das aulas. As várias actividades que compõem a prática desta comunidade bebem de dois sistemas de actividades com lógicas bastante distintas. Algumas destas actividades estão bastante relacionados com a lógica de produção, como sejam as
disciplinas de Práticas de Serralharia e Estágio, apesar de estarem integradas no currículo de um curso de uma Escola de Formação Profissional. Outras actividades têm tudo da lógica escolar, como sejam as diferentes disciplinas a que os alunos chamam de teóricas tais como a Matemática Aplicada, o Desenho Técnico, o Inglês, etc. O suporte teórico para a análise dos dados tem duas vertentes. Por um lado a teoria de Basil Bernstein (1990, 1996, 2000), por outro a teoria da aprendizagem situada, com ênfase nos estudos de Lave (1988), Lave e Wenger (1991), Wenger (1998, 2002). Neste artigo será apresentada e discutida uma pequena parte da análise feita, usando a teoria da aprendizagem situada. A estrutura da comunidade de prática Wenger (2002) afirma que uma comunidade de prática é uma combinação única de três elementos fundamentais; um domínio de conhecimento, que define um conjunto de questões e problemas; uma comunidade de pessoas que se preocupam com esse domínio; e uma prática partilhada que desenvolvem para ser efectivos no seu domínio (p. 27). O domínio cria uma base comum e o sentido de identidade comum. Um domínio bem definido legitima a comunidade afirmando os seus propósitos e o valor para os membros e outros interessados. O domínio inspira os membros para contribuir e participar, guia a sua aprendizagem e dá significado às suas acções (p.28). A comunidade cria a fábrica social da aprendizagem. (...) A comunidade é importante porque a aprendizagem é uma questão de pertença, bem como um processo individual, envolvendo o coração assim como a cabeça (p.28). A prática é um conjunto de estruturas, ideias, ferramentas, informação, estilos, linguagem, histórias e documentos que os membros da comunidade partilham. Enquanto o domínio se refere ao tópico específico em que a comunidade se foca, a prática é o conhecimento específico que a comunidade desenvolve, partilha e mantém (p.29). O domínio desta comunidade é a aprendizagem da serralharia. Este grupo de jovens juntou-se porque queriam tornar-se serralheiros. Para atingirem o seu objectivo tinham duas opções: (1) auto proporem-se ao dono de uma serralharia para serem aprendizes daquela arte ou (2) inscreverem-se num curso de formação profissional de serralharia. Esta foi a opção destes alunos. Por terem tomado esta opção tiveram que fazer um percurso diferente de uma outra
pessoa que opte pela primeira opção. Esse percurso inclui a participação em diferentes actividades, tais como as disciplinas: Práticas de Serralharia, Matemática Aplicada, Desenho Técnico, Estágio, assim como nos momentos de lazer como sejam a hora do almoço, os intervalos, etc. O elemento comunidade é crítico para uma estrutura de conhecimento efectivo. A comunidade de prática identificada nos dados recolhidos é a comunidade dos aprendizes de serralheiro da Escola de Formação Profissional CAMPO. Os alunos deste curso, mesmo quando não estavam na disciplina de Práticas de Serralharia falavam de si próprios como os serralheiros. Isto acontecia na aula de Matemática Aplicada, bem como com a funcionária da secretaria. Era um modo de se distinguirem e serem distinguidos dos outros alunos da escola que frequentavam o curso de gestão no mesmo espaço em que os aprendizes de serralheiro tinham as aulas teóricas. Era também um primeiro passo na construção das suas identidades como serralheiros. Neste processo de aprendizagem da serralharia, a comunidade de prática dos aprendizes de serralharia teve acesso à participação de uma comunidade de prática de serralharia que, por razões inerentes ao espaço onde os aprendizes tinham as aulas da disciplina de Práticas de Serralharia, cobriu parcialmente a comunidade dos aprendizes de serralheiro e foi determinante nos percurso destes alunos, bem como construção das suas identidades. O terceiro elemento da comunidade de prática é a Prática. O conceito de prática inclui tanto o explícito como o tácito. Inclui o que é dito e o que fica por dizer, o que é representado e o que é assumido. Inclui a linguagem, ferramentas, documentos, imagens, símbolos, regras bem definidas, critérios específicos, procedimentos codificados, regulações. Inclui também todas as relações implícitas, convenções tácitas, percepções específicas e visões partilhadas sobre o mundo. Denota um conjunto de modos de fazer as coisas, socialmente definido num domínio específico: um conjunto de abordagens e normas partilhadas que criam a base para a acção, comunicação, resolução de problemas, desempenho e responsabilidade. Estes recursos comuns incluem uma variedade de tipos de conhecimento: casos e histórias, teorias, regras, estruturas, modelos, princípios, ferramentas, artigos, lições aprendidas, melhores práticas e heurísticas (Wenger, 1998, p. 47).
Wenger (1998) apresenta três dimensões da relação entre comunidade e prática pela qual a prática é a fonte de coerência da comunidade: 1) engajamento mútuo; 2) um empreendimento conjunto; 3) um reportório partilhado (p.73). O foco deste artigo é o reportório partilhado pela comunidade de prática dos aprendizes de serralheiro da Escola de Formação Profissional CAMPO. Devido ao facto da prática desta comunidade ser composta por várias actividades, o desenvolvimento do reportório partilhado desta comunidade é composto por elementos da Serralharia, da Matemática, da Matemática escolar, do Desenho Técnico, bem como por elementos das outras actividades em que os alunos participaram. Neste artigo, apenas serão referidos os elementos que advém da actividade de serralharia. O reportório partilhado pela comunidade de prática dos aprendizes de serralheiro A terceira característica da prática, descrita por Wenger (1998) como fonte de coerência da comunidade é o desenvolvimento de um reportório partilhado. O reportório de uma comunidade de prática inclui rotinas, palavras, ferramentas, modos de fazer as coisas, histórias, gestos, símbolos, acções ou conceitos que a comunidade produziu ou adoptou no curso da sua existência, e que se tornaram parte da sua prática. O reportório combina aspectos reificativos e participativos. Inclui o discurso pelo qual os membros criam afirmações significativas sobre o mundo, bem como os estilos pelos quais expressam as suas formas de ser membro e a sua identidade como membros (Wenger, 1998, p. 83). A actividade de Serralharia tem várias rotinas tais como cortar, medir, soldar, calcular, etc. Estas diferentes rotinas estão bastante relacionadas umas com as outras. Ou seja, para cortar um bocado de alumínio é preciso medi-lo. Antes de soldar, os aprendizes fazem também várias medições para perceber se o objecto está em esquadria (se for esse o caso) ou se tem as medidas pretendidas. Os cálculos que os aprendizes têm que efectuar também estão bastante ligados ao objecto que estão a construir. E medir pode ter diferentes significados consoante a situação. Medir pode significar comparar dois objectos distintos, nomeadamente dois ângulos, dois comprimentos ou duas áreas. Por vezes os aprendizes usam um bocado de alumínio já cortado como molde para outras peças. Por vezes usam um esquadro para aferir se uma peça está ou não em esquadria, ou seja, fazem uma comparação entre dois ângulos. Para além deste processo usado para medir ângulos, usam também o Teorema de Pitágoras como processo para aferir se o
objecto em construção se encontra em esquadria, como podemos ler do episódio O Teorema de Pitágoras escondido. O Teorema de Pitágoras escondido Os aprendizes construíam uma peça com a forma rectangular que iria servir de tampo para uma cadeira. O Paulo mede 6 cm num dos lados e faz um pequeno traço na peça. Depois mede 8 cm no lado perpendicular ao primeiro medido e faz de novo uma marcação. Finalmente mede a distância entre a primeira marcação e a segunda. Depois comenta com o João: Paulo: Não está. Temos que desmanchar. Investigadora: Porquê? Paulo: Tem 102 mm. Investigadora: E então? Mauro: Tinha que ter 100. Investigadora: Porquê? Paulo: Nós usamos sempre estas medidas 6, 8 e 10.Investigadora: Mas... Mauro: Normalmente usamos o esquadro. É mais fácil. Vê-se logo. Mas não havia aqui nenhum. Investigadora: Mas porquê 6, 8 e 10? Paulo: Se tiver essas medidas, está em esquadria. Investigadora: Como é que sabem? Silêncio. Nesse momento o Mestre, que escutava atentamente a nossa conversa, aproxima-se e diz: Mestre: Quando vos ensinei isso, expliquei que era o Teorema de Pitágoras, não expliquei? Ao lado encontrava-se Richard a construir uma outra peça. Richard: Trinta e seis mais sessenta e quatro dá cem. Mestre: Pois. Para medir comprimentos usam a fita métrica. Estes procedimentos foram-se tornando rotinas e modos de fazer as coisas através do engajamento nesta actividade da prática. Surgiram de necessidades emergentes da mesma. A Matemática surge entrançada nestes procedimentos. Não existe uma aprendizagem da Matemática isoladamente do resto dos segmentos de actividade que compõem a serralharia. Ela emerge dos procedimentos desta actividade da prática e incorporada neles.
Vejamos agora o que significa cortar. Cortar um bocado de alumínio para ser usado num determinado objecto, pode ser feito usando um modelo já existente. Mas para cortar, por vezes é necessário saber outras coisas, como ilustra o episódio abaixo. As medidas do grelhador do Paulo Paulo está a construir um grelhador. Já fez o suporte para o mesmo. Agora tem de fazer a parte central do grelhador. Dirige-se ao mestre e pede ajuda no sentido de saber as dimensões da placa de alumínio que terá de cortar para fazer essa parte do grelhador (matematicamente falando é metade de um cilindro). Paulo: Mestre António, que dimensões deve ter a placa que vou cortar? Mestre António faz um esquema no quadro. Desenha metade de um cilindro. Mestre António: Quanto é que tem o grelhador de comprimento? Paulo: 800 Mestre António escreve 800 ao lado do comprimento, no esquema desenhado. Mestre António: E de diâmetro? Paulo: 400. Mestre António: E então como fazes? É muito simples. Paulo fica a olhar para o mestre. Não diz nada. Mestre António: Como é que fazes o perímetro da circunferência? Paulo fica a pensar (20 segundos) O mestre António escreve no quadro: P = D x 3,14 Paulo fica a olhar para o quadro como se nunca tivesse visto aquela fórmula. Mestre António: Como precisas só de metade fica P = D x 3,14 2 Paulo: Sobre 2? Mestre António: Sim porque só vais precisar de metade. Depois tens que dar a tolerância. Paulo faz os cálculos no quadro. Mestre António: Além disto tens de acrescentar uma espessura [da folha] porque como o material vai ser dobrado, como vamos trabalhar com 180º, para enrolar o material, perdese um pouco. Depois tens que aumentar 150 mm à folha porque como é a ponta de entrada, a ponta da folha que vai entrar na máquina, não fica virada. Só depois de um certo espaço é que ela começa a ficar virada. Depois de estar enrolada corta-se esses 150 mm que demos a mais. Portanto se fosse para uma circunferência inteira seria P+2esp.+150. Como é só metade fica P/2 + 1 esp + 150 mm.
Quando o mestre António acabou a sua explicação a investigadora questionou o Paulo. Investigadora: Onde aprendes a Matemática que precisas para a serralharia? Paulo: Na aula de Matemática. Sim, na aula de Matemática. Cortar, tal como medir, não se resume apenas aquilo que se possa, num primeiro olhar, acreditar. Nestes processos estão envolvidos uma série de procedimentos que envolvem mais do que uma medição simples, usando apenas a fita métrica. Estes processos vão se tornando rotinas, com a repetição e à medida que vão fazendo sentido para os aprendizes. É de acrescentar que os alunos resolveram, na actividade da Matemática escolar, tarefas bastante semelhantes às que surgem nos episódios As medidas do grelhador do Paulo e O Teorema de Pitágoras encondido. Essas tarefas eram bastante semelhantes em termos de forma, mas muito diferentes em termos de função. Talvez por esse motivo, o Paulo não tenha identificado o que o mestre lhe dizia, com o que aprendeu num outro contexto com características muito diferentes. No entanto, é difícil afirmar que, em alunos escolarizados, não existem reminiscências da Matemática escolar, fora desse contexto. As ferramentas também fazem parte do reportório desta prática. A construção do cavalete O João construia um cavalete que serviria de suporte à sua mesa de trabalho. O cavalete estava colocado em posição invertida, sobre uma mesa. Estava preso por um aparelho próprio para tal. Esquematicamente o cavalete pode ser representado do seguinte modo: α β A C B Investigadora: Como é que colocaste estes ferros (B e C) de maneira que esta abertura (α na imagem) fosse igual a esta (β na imagem)? João: Medi esta peça de ferro (apontando para A) e marquei o meio. Depois soldei este
bocado de ferro (apontando para B). Depois peguei na suta e medi este ângulo (apontando para α) e depois com a mesma medida marquei este (apontando para β) Investigadora: Mas não sabes quanto medem os ângulos, pois não? João: Não. Isso não é importante. Só preciso que sejam iguais. O mestre António que ouvia a nossa conversa, disse: Mestre António: Esta ferramenta é mais conhecida por suta, mas o nome correcto é transportador de ângulos. E serve exactamente para transportar ângulos. Este episódio ilustra a utilização de uma ferramenta na actividade de serralharia. A transparência desta ferramenta está fortemente relacionada com a prática e com a organização social desta prática, na qual é suposto a ferramenta funcionar. A noção de transparência constitui a organização cultural do acesso (Lave e Wenger, 1991, p.102). Lave e Wenger elaboram o conceito de transparência envolvendo duas características duais a visibilidade e a invisibilidade. (...) invisibilidade na forma de uma interpretação e integração não problemática na actividade e visibilidade na forma do acesso alargado à informação. Isto não é uma simples distinção dicotómica, visto que estas duas características estão numa complexa interacção (p.102). Acesso a uma prática relaciona a visibilidade e invisibilidade dos recursos. Por exemplo, a Matemática que está envolvida nesta actividade e incorporada na suta ou transportador de ângulos é invisível para que esta ferramenta possa apoiar a visibilidade da Serralharia. Compreender a tecnologia da prática é mais do que aprender a usar as tecnologias; é um modo de conectar com a história da prática e de participar mais directamente na sua vida cultural (Lave e Wenger, 1991, p. 101). Outro episódio também interessante e que ilustra igualmente a visibilidade e invisibilidade dos recursos é o seguinte: O Carro para transportar lixo O Vasco e o Abreu construiam um carro para transportar lixo. Apenas tinham em cima da bancada onde trabalhavam, uma folha de alumínio, uma régua, um esquadro, um riscador, um bocado de ferro que servia de régua (não graduada) para traçar linhas rectas e uma fitas métrica.
O Vasco desenhava várias linhas na folha de alumínio. O esquema acima ilustra algumas delas. Investigadora: Porque traçou estas duas linhas (apontando para as diagonais do trapézio). Vasco: Para encontrar o meio destes (apontando para os lados paralelos do trapézio). Investigadora: O meio? Vasco: Sim (e desenhou uma perpendicular aos lados paralelos do trapézio passando pelo ponto de encontro das diagonais). Investigadora: Mas como é que tem a certeza que isso que marcou é mesmo o meio de cada um dos lados. Abreu pega na fita métrica mede o lado maior do trapézio. Depois mede a distância entre um dos extremos do trapézio e a última linha desenhada pelo Vasco. Não falou. Apenas olhou para a investigadora, pois viu que ela o observava. Investigadora: Sim. Mas porquê? Vasco: Porque é assim que fazemos sempre. Todos fazem assim. Investigadora: Todos quem? Vasco: Nós, o mestre e aqueles também (referindo-se aos outros serralheiros que trabalhavam naquela oficina). Este episódio evidencia a utilização de uma propriedade importante da Geometria (o ponto de encontro das diagonais de um paralelogramo ou de um trapézio isósceles é também ponto da mediatriz dos lados opostos ou dos lados paralelos entre si respectivamente) mas que os aprendizes desconhecem teoricamente. Esta propriedade não é válida para outro tipo de quadriláteros, mas de facto os aprendizes não trabalharam com outro tipo de quadriláteros. Logo, para o tipo de construção que os aprendizes utilizam, a regra funciona sempre. Os aprendizes apenas a utilizam porque aprenderam com os de dentro da comunidade que aquele processo funcionava. A invisibilidade das ferramentas mediadoras permitiu aos aprendizes focarem-se e apoiarem-se na visibilidade no seu objectivo a construção do carro para transporte de lixo. Destacamos ainda o facto de que nas actividades em que a Matemática estava escondida o mestre não falava de Matemática. Este facto levou-nos a inquirir se alguma da Matemática que foi trazida à discussão pelo mestre, não terá sido pelo facto de saber os objectivos da investigadora.
O episódio anterior é também revelador de um modo de fazer as coisas característico daquela comunidade. Estes aprendizes de serralheiro adoptaram também um estilo que expressava a sua forma de ser membro e a sua identidade como membros da comunidade dos aprendizes de serralheiro e da comunidade dos serralheiros (em que queriam tornar-se). No início usavam sempre o fato de macaco. Talvez por ainda não se sentirem como serralheiros precisavam de algo que os identificasse (para eles e para os outros) como serralheiros. No Verão, quase no final do curso, alguns deles (poucos) usavam o fato, apenas vestido até à cintura e com um T-shirt sem mangas a cobrir o corpo. Este facto pode estar relacionado com o calor que se fazia sentir. Mas também pode significar que os aprendizes que não usavam o fato completamente vestido, já se sentissem como membros plenos da comunidade dos serralheiros e não necessitassem da indumentária para verem-se e serem vistos como serralheiros. Considerações Finais A Matemática usada e aprendida na Serralharia surge entrançada nas ferramentas e na própria prática e as ferramentas têm um papel importante na formação das ideias matemáticas dos serralheiros. Não existe uma aprendizagem da Matemática isoladamente do resto dos segmentos de actividade que compõem a serralharia. Ela emerge dos procedimentos desta actividade da prática e incorporada neles. A acção é vital na Matemática dos serralheiros. Há um conhecimento matemático tácito nas suas acções físicas. A Matemática não surge na forma convencional (escolar) mas nas acções dos serralheiros estão autênticas experiências de uso da Matemática no contexto da serralharia. Muita da Matemática que foi identificada no contexto da serralharia, nem o mestre nem os aprendizes a vêm como Matemática, devido a ela ser invisível para que as ferramentas possam apoiar a visibilidade da Serralharia. Só aquilo que o mestre identifica como Matemática é que explícita para os seus alunos como tal e afirma que já deviam saber porque aprenderam na aula de Matemática. O professor de Matemática tenta introduzir elementos daquilo que ele acredita que é a Serralharia, na aula de Matemática. Mas nem o professor de Matemática nem o mestre têm o conhecimento suficiente da prática um do outro de tal modo que sejam capazes de ligar as duas actividades da prática facilitando transacções entre elas e causando aprendizagem introduzindo
numa prática elementos de outra. No entanto, é difícil afirmar que, em alunos escolarizados, não existem reminiscências da Matemática escolar, fora desse contexto. O que podemos nós aprender com a Serralharia como modelo de aprendizagem? Na actividade de serralharia não existem respostas certas ou erradas, visto que o processo é também parte da solução. O objectivo é criar objectos sem defeitos, mas supõem-se que aconteçam erros no percurso. A construção da experiência faz-se nestes avanços e recuos, no qual a aprendizagem ocorre. Nas aulas de Matemática os alunos, muitas vezes, têm por objectivo encontrar a resposta correcta o mais rapidamente possível. O produto, neste caso, é mais importante que o processo. A Matemática escolar tende a ignorar a Matemática que é gerada em contextos diários dos jovens e a trabalhar essencialmente os aspectos formais e reificados. Ultrapassar esta situação implica trabalhar com os professores no sentido de se apropriarem da ideia do que pode significar ser matematicamente competente na sociedade actual. Este artigo pretendeu apontar pistas de desenvolvimento e reflexão sobre esta questão que consideramos fundamental na educação matemática. Bibliografia Lave, J. & Wenger, E. (1991) Situated learning: Legitimate peripherial participation. Cambridge University Press. Wenger, E. (1998) Communities of Practice: Learning, Meaning and Identity. Cambridge, UK: Cambridge University Press. Wenger, E., McDermott, R. Snyder, W. M. (2002) Cultivating communities of practice. Boston, Massachusetts, USA: Harvard Business School Press.