TEMAS DIFÍCEIS DE ENSINAR EM MATEMÁTICA: RELATO DE UMA DISCUSSÃO SOBRE NÚMEROS Veridiana Rezende 1 Clélia Maria Ignatius Nogueira 2 Resumo: Este trabalho relata os resultados apresentados no Seminário de Números realizado na disciplina Tópicos de Educação Matemática III, ofertada pelo Programa de Pós-Graduação em Educação para a Ciência e Matemática, PCM, da Universidade Estadual de Maringá, UEM. As aulas foram ministradas por meio de seminários, pelas doutorandas, e sob a orientação dos professores. O objetivo da disciplina foi investigar temas de Matemática difíceis de ensinar, bem como discutir resultados de pesquisas formais ou não; como teses de doutorado, dissertações de mestrado, relatos de experiências e artigos em revistas e anais de eventos de Educação Matemática, encontrados atualmente, e que abordam o assunto. Os seminários estavam abertos para quem quisesse participar. Foram convidados alunos e professores do Mestrado e Doutorado do PCM, alunos de graduação em Matemática da UEM e professores da Educação Básica membros do Grupo Interdisciplinar de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática, GIEPEM. Palavras-chave: Educação Matemática; Números; Seminário. Apresentação No primeiro semestre de 2009 o Programa de Pós-Graduação em Educação para a Ciência e a Matemática, PCM, da Universidade Estadual de Maringá, UEM, ofertou pela primeira vez aos alunos de doutorado a disciplina Tópicos de Educação Matemática III, cujo objetivo foi investigar temas de Matemática difíceis de ensinar. Quatro professores foram responsáveis pela disciplina e três alunas a cursaram. As aulas foram ministradas por meio de seminários, pelas doutorandas, e sob a orientação dos professores. Os temas abordados foram: Álgebra; Análise Combinatória; 1 Professora do Departamento de Matemática da Faculdade Estadual de Ciências e Letras de Campo Mourão (FECILCAM) e doutoranda do Programa de Pós-graduação em Educação para a Ciência e a Matemática da Universidade Estadual de Maringá (UEM). rezendeveridiana@gmail.com. 2 Professora Doutora do Programa de Pós-graduação em Educação para a Ciência e a Matemática da Universidade Estadual de Maringá (UEM). clelia@wnet.com.br. 645
Funções; Geometria Espacial; Geometrias Não-Euclidianas; Logaritmos e Exponenciais; Matrizes; Números; Trigonometria. Cada aluna ficou responsável por três temas e para cada tema (que resultou num seminário) contou-se com a orientação de um dos professores responsáveis pela disciplina. Os seminários constaram da teoria de aprendizagem ou tendência de sustentação mais adequada para o ensino do tema, do conteúdo matemático, do nível de ensino a que se destina, das principais dificuldades dos processos de ensino e de aprendizagens referentes aos temas pesquisados, bem como de sugestões de atividades, formas de avaliação e resultados de pesquisas, dissertações e teses atuais sobre o tema. Os seminários aconteceram quinzenalmente e foram abertos para quem quisesse participar. Foram convidados alunos e professores do Mestrado e Doutorado do PCM, alunos de graduação em Matemática da UEM e professores da Educação Básica membros do Grupo Interdisciplinar de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática, GIEPEM. Este trabalho é resultado do Seminário de Números apresentado pela primeira autora, sob orientação da segunda, e conta com a mesma estrutura abordada no seminário: Sistema de Numeração Decimal (SND) e Números Decimais, Frações, Números Inteiros, Números Racionais, Números Irracionais, Números Reais; as tendências em Educação Matemática que podem sustentar teoricamente o fazer pedagógico com tais conteúdos e modos adequados de avaliação. Os seminários objetivaram também discutir resultados de pesquisas formais ou não; como teses de doutorado, dissertações de mestrado, relatos de experiência e artigos publicados em revistas e anais de eventos de Educação Matemática, encontrados atualmente e que abordam o assunto. O tema Números é abrangente, por isso, considerando o foco dos seminários no aspecto difícil de ensinar, optamos por alguns recortes, de tal forma que atribuímos especial atenção ao Sistema de Numeração Decimal - SND, às Frações e aos Números Racionais. A motivação pela escolha do tema Números e o Seminário Na primeira aula da disciplina Tópicos de Educação Matemática III os nove temas sugeridos para os seminários foram expostos no quadro, por uma das professoras, para que cada aluna escolhesse três temas que tivesse preferência em pesquisar. A primeira autora é professora da disciplina Análise Real 3 e no primeiro bimestre, desta disciplina, é 3 Disciplina ofertada aos alunos do 4º ano do Curso de Licenciatura em Matemática, da FECILCAM. 646
abordado, dentre outros conteúdos, o de Números Reais que contemplam os Racionais, Irracionais e Reais, e por isto escolheu o tema Números, com a expectativa de que os resultados desta pesquisa viessem a enriquecer suas aulas e, consequentemente, contribuir para o aprendizado de seus alunos futuros professores de Matemática. O Seminário: A doutoranda iniciou o Seminário relatando um fato que ocorreu em suas aulas de Análise Real. Antes de iniciar o conteúdo Números Reais e de falar qualquer coisa sobre Números, pediu para que os alunos escrevessem o que eles entendiam por Conjunto dos Números Racionais, Irracionais e Reais, e que fizessem um diagrama para representar a inclusão dos Conjuntos Numéricos (Naturais, Inteiros, Racionais Irracionais e Reais). De acordo com o que os alunos escreveram, podemos dizer que em geral eles desconheciam os conceitos de Números Racionais e Irracionais e cabe ressaltar que os registros sobre os Números Irracionais deixaram muito mais a desejar que os registros sobre os Números Racionais. E quanto ao diagrama que representa a inclusão dos conjuntos numéricos, apenas um foi considerado adequado 4. Os alunos entregaram os registros e, após as aulas referentes aos Números Reais e a avaliação sobre tais conteúdos, a professora pediu que escrevessem novamente o que eles entendiam por Conjunto dos Números Racionais, Irracionais e Reais e que fizessem o diagrama que representa a inclusão dos Conjuntos Numéricos. Os registros dos alunos melhoraram significativamente, porém, quanto aos diagramas, apesar de terem melhorado, ainda deixaram a desejar, talvez porque este não foi abordado em nenhum momento no decorrer das aulas. Depois que a professora recolheu os registros, um aluno fez a representação do diagrama no quadro, não estava adequado, mas com a participação e opinião dos alunos, a professora representou o diagrama corretamente no quadro. Os registros dos alunos foram levados para o seminário para que os professores presentes pudessem observá-los. E algumas questões foram levantadas pela doutoranda: Se os livros didáticos apresentam o diagrama da inclusão dos conjuntos numéricos, por que alunos do quarto ano de Licenciatura em Matemática não o fazem de modo correto? Será que as representações que aparecem nos livros didáticos estão adequadas? Os professores transmitem a representação adequadamente a seus alunos? Ou são os alunos que não dão a devida atenção ao diagrama? Vários comentários surgiram sobre estas questões, porém, para respondê-las acreditamos que seja viável uma pesquisa envolvendo livros didáticos, 4 O aluno que representou adequadamente o diagrama é formado em Ciências e ministra aulas de Matemática. 647
professores e alunos. Acreditamos que a má interpretação desse diagrama é preocupante uma vez que não compreender a inclusão dos conjuntos implica em não conhecer os números que pertencem a cada um desses conjuntos. O Sistema de Numeração Decimal (SND) e os Números Decimais Vários sistemas de numeração surgiram desde a Antiguidade - sistema de numeração romano, egípcio, babilônio, maia, entre outros. O sistema de numeração que utilizamos hoje é o Sistema de Numeração Decimal, também conhecido como Sistema Indo-Arábico, por ter sido descoberto pelos hindus e divulgado pelos árabes. No Seminário foi contemplado um Histórico mais elaborado sobre o SND, porém, aqui houve a necessidade de deixá-lo bem sucinto. Os Decimais sob o ponto de vista da rua: No dia a dia nos deparamos com diversas situações em que aparecem Números Decimais preços de mercadorias, distâncias, tempo, temperatura, entre outras. Em tais situações encontramos números com vírgula que separa a parte inteira da parte fracionária. Porém, é comum nos depararmos com Números Decimais que são escritos sem vírgula, por exemplo, meio quilo, cuja representação na forma decimal é 0,5kg, pode ser escrito como 500 gramas, que é um número sem vírgula. A conversão de unidade pode levar a uma interpretação errada dos Números Decimais, acarretando uma confusão com Números Inteiros (CUNHA, 2002). Neste momento do seminário a discussão foi intensa entre os professores presentes. Todos sabiam o que são números decimais, sabiam operar com eles, ordená-los, mas foram grandes as dúvidas e hesitações quando se tratou de defini-los. Cunha (2002) destaca que Na linguagem comum, costuma-se confundir a expressão número racional decimal e a escrita com vírgula, aplicando-se ambiguamente a locução número decimal (p. 56). E cabe ressaltar que alguns autores, como Ávila (2006), chamam de decimal a parte fracionária dos Números Racionais. Para o autor um Número Racional pode ter decimal finita ou infinita. Talvez seja este o motivo das dúvidas e hesitações surgidas no seminário, ao tratarmos de Números Decimais. Os Números Decimais são apresentados aos alunos no segundo ciclo do Ensino Fundamental. Surgiu uma questão entre os professores presentes: Será que os professores que ensinam este conteúdo tem uma concepção bem clara do que é um Número Decimal? E para os alunos, o que é um Número Decimal? 648
Frações Aspectos de frações são encontrados desde a Antiguidade com os povos egípcios, babilônicos, sumérios, gregos, romanos e chineses. Tais aspectos foram evoluindo com o decorrer do tempo e resultaram no conceito e notação de frações que são utilizados atualmente. A notação que atualmente utilizamos para frações deve-se aos hindus pela numeração decimal e aos árabes que inventaram a barra horizontal que separa o numerador do denominador. No seminário foi abordado um histórico maior sobre as Frações, porém, aqui optamos por não abordá-lo. Sobre Frações apresentamos no seminário os resultados de algumas pesquisas, das quais descreveremos apenas o contido no artigo de Machado & Menezes, intitulado Concepções de professores que ensinam Matemática sobre números fracionários, suas experiências e as implicações em suas práticas na 5ª série do Ensino Fundamental, publicado na Educação Matemática em Revista, em dezembro de 2008, cujo objetivo foi investigar a existência de relações entre as concepções de professores que ensinam Matemática sobre números fracionários e o processo de ensino desse conteúdo na 5ª série do Ensino Fundamental. Para isso, fizeram uma comparação entre o que dez professores dizem fazer e o que eles fazem em sala de aula. As informações para tal comparação foram obtidas por meio de questionários, entrevistas, Círculo Hermenêutico-Dialético e observações em aulas dos professores. A entrevista com os professores foi constituída de oito questões, das quais comentaremos apenas a segunda e a sexta. A segunda questão da entrevista era: Considerando concepção como uma faculdade de perceber o conhecimento, qual a sua concepção de fração? Para respondê-la os professores poderiam escolher a(s) alternativa(s) que se identificasse(m) com suas concepções de frações: a) relação parte/todo; b) resultado de uma divisão; c) medidas; d) razão; e) operador. Vários professores diziam ter apenas uma alternativa correta; apenas três professores disseram ter mais de uma concepção de fração; não apareceu fração como operador e surgiu a concepção de fração como certo número de partes de um todo dividido em partes iguais. A sexta questão foi: Você tem dificuldades de ensinar o conceito de fração? Os dez professores entrevistados disseram não ter dificuldades com o ensino de frações. Vejamos algumas respostas dos professores: Não, acho, inclusive, um dos conteúdos mais fáceis de se ensinar (P4); Não, não tenho nenhuma dificuldade, nem os meus alunos (P5); Eu não tenho dificuldades de ensinar, mas as crianças tem dificuldades em 649
aprender por falta de base (P6); Não tenho dificuldades, não. Na 4ª série eles usam material concreto; quando chegam à 5ª série a gente faz mais exercícios de livro e quadro P(10). Apesar de falas como estas, dos professores, nas observações que Machado & Meneses (2008) fizeram, nas aulas que assistiram dos professores, foram detectados alguns acontecimentos: a. Havia professores que não respeitavam o tempo dos alunos. Colocavam exercícios no quadro e logo após queriam corrigi-los, sem esperar que os alunos pensassem para responder. b. Referiam-se a número de baixo e numero de cima correspondendo ao denominador e numerador respectivamente. c. Um professor definiu fração para um aluno dizendo: São partes de um todo que você pode retirar, podem ser partes iguais e não ser partes iguais. d. Um professor tinha material concreto em cada banca do quadro e não soube explorá-lo, ficou representando os desenhos do quadro, valorizando a abstração o tempo todo. d. Na primeira aula de introdução de frações eram dadas: frações próprias, impróprias e aparentes; equivalência, simplificação; adição e subtração. e. Já começavam a aula dizendo: Hoje vamos estudar frações, e colocavam a palavra fração no quadro e começavam a discorrer sobre o assunto (p. 19). Diante das falas e atitudes dos professores, nos perguntamos: Será que estes professores não têm mesmo dificuldades com o ensino de frações conforme afirmaram? Será que a culpa por não aprender é apenas do aluno? Machado & Meneses concluem que os alunos têm dificuldades em compreender o conceito de frações e que os professores mostraram ter dificuldade em ensinar frações, ainda que não admitam. Números Inteiros Os números que não possuem casas decimais e que não são munidos de sinal (positivo ou negativo), são denominados por Fernandes (2004) como Inteiros Naturais. O conjunto dos Números Inteiros Naturais é fechado para as operações de adição e multiplicação, ou seja, ao somarmos ou multiplicarmos números inteiros naturais o resultado destas operações será sempre um número inteiro natural. Porém, ao subtrairmos dois destes números o resultado poderá ser um número negativo, isto ocorre sempre que um número inteiro natural maior for subtraído de um inteiro natural menor. O conjunto de todos os números inteiros dotados de sinal (positivo ou negativo), unido com o número zero, Fernandes (2004) denomina como Inteiros Relativos 5. 5 Os conjuntos dos Inteiros Naturais e Inteiros Negativos são comumente denotados por Conjunto dos Números Naturais e Conjunto dos Números Inteiros, respectivamente. 650
As expectativas das Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná (DCE) são de que os alunos do Ensino Fundamental compreendam os conceitos da adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação de números pertencentes ao Conjunto dos Números Inteiros. Levando em consideração que no primeiro contato que os alunos têm com os Números Inteiros eles apresentam dificuldades em operar com tais Números, Bini (2008), em sua pesquisa de mestrado, investigou se uma abordagem metodológica de ensino, priorizando situações interativas, baseada na Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud, poderia contribuir para a construção do conhecimento de alunos de 6ª série, no campo conceitual dos Números Inteiros (Z). Para isto, a autora introduziu os conteúdos por meio de situações do cotidiano (temperaturas negativas, dívidas, aumento e perda de peso, situações históricas antes e depois de Cristo, etc). Conduziu os alunos a organizarem os Números Inteiros na Reta, trabalhou com questões contextualizadas e vários jogos e atividades interativas (Labirinto Relativo, o Baralho de Números Inteiros e a Reta Numérica, a Calculadora de Papel, Completando Pirâmides, Trilha com Z, Quebra-Cabeça Triangular, etc). Conforme introduzia os conteúdos, Bini realizava Diagnósticos para perceber o desempenho dos alunos. Diante de tais Diagnósticos, da entrevista com os alunos e das observações em sala de aula, a pesquisadora assegura que uma abordagem metodológica de ensino, priorizando situações interativas, pode contribuir para a construção do conhecimento dos alunos de 6ª série no campo conceitual dos números inteiros. Consideramos abordagens metodológicas, como a de Bini (2008), importantes, uma vez que os alunos tendem a se envolverem e a considerarem interessantes este tipo de abordagem, acarretando a aprendizagem. Números Racionais e Dízimas Ao adicionarmos, subtrairmos e multiplicarmos números inteiros, os resultados destas operações configuram-se sempre em números inteiros. Porém, a divisão de dois números inteiros nem sempre resulta num inteiro, pois pode acontecer do resultado ser um número com vírgula. Os números com vírgulas, resultantes da divisão de dois números inteiros, têm uma propriedade especial: ou o número tem finitas casas decimais, ou, a partir de determinada posição, estas são periódicas (FERNANDES, 2004). Denominamos como Números Racionais os números que são resultados da divisão de dois números inteiros e, por consequência, apresentam dízima periódica a partir de determinada posição. Os 651
p Números Racionais geralmente são representados por frações do tipo, q com p e q números inteiros. O conjunto dos Números Racionais é fechado para as quatro operações elementares da Matemática. As DCE recomendam que no segundo ciclo do Ensino Fundamental deve-se introduzir o conceito de Números Racionais às crianças. Neste ciclo, os professores de Matemática geralmente são pedagogos que nem sempre apresentam concepções bem claras a respeito dos Números Racionais, é o que aponta a pesquisa de doutorado de Bukowitz (2008). Parte desta pesquisa está relatada no artigo intitulado Uma abordagem Geométrica à compreensão dos Números Racionais, publicado na Educação Matemática em Revista, de junho de 2008. O artigo refere-se a uma pesquisa realizada em 2003, 2004 e 2005, com estudantes das disciplinas Prática Pedagógica e Prática Supervisionada e Conteúdo e Metodologia do Ensino de Matemática, do Curso de Pedagogia de duas instituições privadas na cidade de Petrópolis. A pesquisadora era a professora destas disciplinas e sua pesquisa visava intervir nas concepções e práticas de seus alunos em relação à compreensão e ao ensino dos Números Racionais, uma vez que seus alunos apresentavam comentários do tipo: Sempre tive sérias dificuldades com frações e números decimais na vida escolar ; Não sei isto nem pra mim, quanto mais para ensinar aos alunos. Em relação à Geometria, os comentários também não eram favoráveis: Não sei geometria ; É a parte mais difícil da Matemática, Não gosto de geometria porque nunca aprendi. Devido a comentários como estes, a pesquisadora optou, em sua pesquisa, por uma abordagem geométrica à compreensão dos Números Racionais e elaborou uma proposta de práticas investigativas em Matemática por meio de oficinas. No artigo são relatadas três dessas oficinas, dentre elas uma nos chamou a atenção, a que a autora denominou por oficina 3: Representem geometricamente, na folha quadriculada um quadrado de área 100 utilizando um quadradinho como unidade de medida. Apesar de possuir um grau de dificuldade muito simples, mesmo porque os alunos dispunham de papeis quadriculados, tal atividade consistiu em um considerável desafio para os alunos. Posteriormente, foi pedido que os alunos colorissem vinte e cinco centésimos da figura, e o resultado foi satisfatório. Porém, quando o problema proposto foi: Desenhem vinte e cinco décimos, na malha quadriculada, utilizando o raciocínio semelhante ao procedimento do problema anterior, surgiram comentários como: 652
Professora, como é que pode? ou Não dá pra fazer!, Não entendo, não sei fazer!. De acordo com a pesquisadora, a solução para este problema demorou bastante tempo e somente após várias discussões e reflexões o problema foi solucionado. Bukowitz (2008) considerou que os resultados obtidos pelas oficinas foram favoráveis em função das observações realizadas e dos depoimentos dos alunos. Acreditamos que atividades como as desenvolvidas nas oficinas que Bukowitz realizou com seus alunos permitem que os futuros professores das séries inicias adquiram maiores habilidades, segurança e confiança em seus conhecimentos matemáticos, contribuindo para a melhoria da qualidade do Ensino de Matemática. Números Irracionais Denominamos como Números Irracionais os números que não possuem dízimas periódicas, ou seja, aos números que não são racionais. Segundo as DCE, os Números Irracionais devem ser introduzidos no Ensino fundamental e tal abordagem estende-se ao Ensino Médio. Este fato nos leva a supor que ao concluírem o Ensino Médio os alunos tenham familiaridade com tais números. Porém, uma pesquisa realizada por Melo (1999), com 178 alunos de quatro cursos de ciências exatas de universidades de Pernambuco, revelou que os alunos concluem o Ensino Médio sem saber ao menos diferenciar Números Irracionais de Números Racionais. Tal pesquisa é relatada no artigo intitulado A compreensão do conceito de números irracionais e sua história: um estudo junto a alunos dos cursos de ciências exatas e teve por objetivo investigar o conceito de Números Irracionais em alunos de Ensino Superior de Pernambuco. Para a pesquisa, foram escolhidos alunos que cursavam Engenharia, Ciências da Computação, Informática e Matemática. A opção por cursos distintos surgiu da intenção de investigar se os alunos possuíam o mesmo conhecimento em relação aos aspectos conceituais e históricos dos Números Irracionais. A coleta das informações foi feita por meio de um questionário (questões abertas e fechadas) referente à história dos Números e à compreensão dos Números Racionais e Irracionais. Alguns pontos obtidos na pesquisa de Melo (1999): 95% dos alunos que responderam o questionário desconhecem o motivo pelo qual os Números Irracionais foram criados. Segundo o pesquisador, isso é grave, à medida que representa o desconhecimento de uma história que enriqueceu a Matemática ao longo de 25 séculos, servindo de catalisador para sua construção (p. 32). Uma contradição apareceu entre os 653
dados da pesquisa: 0,6% de acerto para a diferença entre Número Racional e Irracional e 77,2% na classificação de Número Racional ou Irracional. Tal percentual nos leva a pensar que o modo como estão sendo abordados os conceitos de Números Racionais e Irracionais, tanto no Ensino Fundamental quanto no Ensino Médio, não está adequado. De modo geral, Melo considera que não houve disparidade entre os grupos investigados, e comenta que esse fato confirma que as deficiências com relação a aspectos conceituais e históricos são bastante gerais (p. 33). Nas considerações finais, Melo apresenta algumas sugestões em relação ao ensino dos Números Irracionais, como atividades relacionadas ao lado e à diagonal do quadrado, com origem na Escola Pitgórica, divisões áureas, duplicação do cubo e determinação de raiz quadrada por meio do cubo. Acreditamos que atividades como as sugeridas pelo autor, aliadas à discussão de aspectos históricos, podem proporcionar aos alunos uma aprendizagem significativa referente a esses conceitos, de modo a contribuir com a formação intelectual e cultural deles. Considerando os poucos textos que conseguimos, apesar de pesquisa insistente para a elaboração do Seminário sobre Números, concluímos que poucas pesquisas têm sido realizadas abordando Números Irracionais. E pelos resultados da pesquisa da Melo (1999), constatamos que este é um assunto que necessita de maior atenção e dedicação por parte de professores e pesquisadores, de modo a contribuir com os resultados das salas de aula. Números Reais O Conjunto dos Números Reais é obtido da união do conjunto dos Números Racionais com o conjunto dos Números Irracionais. O conjunto dos Números Reais também é fechado para as quatro operações elementares. Fundamentados por Fernandes (2004), apresentamos uma imagem dos Números na Reta: associamos um ponto na reta como sendo a origem (zero), em seguida associamos os Números Inteiros onde cada número representa sua distância, até a origem e pontos consecutivos, que possuem uma unidade de distância. Conforme os pontos estiverem à direita ou à esquerda da origem, receberão o sinal de mais ou de menos, respectivamente. p Para representar os Números Racionais na reta, marcamos os Números da forma 2 ( p Z ), cuja distância entre os pontos consecutivos é 2 1, os Racionais consecutivos da 654
forma p 1 p 1, distam ; os da forma, distam ; e assim por diante. Seguindo este 3 3 4 4 procedimento, podemos associar cada vez mais pontos racionais por toda a reta, cujas distâncias entre os pontos consecutivos serão sempre menores. Por algum momento este procedimento pode nos levar a acreditar que a reta pode ser preenchida apenas com Números Racionais, uma vez que podemos fazer a distância entre pontos consecutivos do p tipo ( p, n Z ) tão pequena quanto desejarmos. Porém, afirmar que a reta está n preenchida por Números Racionais é falso. Entre dois Números Racionais existe uma infinidade de Números Irracionais. O Conjunto dos Irracionais é tão numeroso que sequer conseguimos fazer uma representação dele na reta, ou seja, não conseguimos estabelecer uma ordem para seus elementos, assim como apresentamos para os conjuntos dos Números Inteiros e dos Números Racionais. Um conjunto com esta característica é dito como não-enumerável. E por isto podemos dizer que existem muito mais números irracionais do que números racionais. Acreditamos que a ideia da imagem dos números na reta, que descrevemos acima, pode ser apresentada para alunos de Ensino Médio, contribuindo para a compreensão de reta real, relação de ordem entre os números, distância entre os números, noção intuitiva de densidade dos racionais e conjunto dos reais, além das ideias do infinitamente grande e pequeno, entre outros conceitos que o professor desejar explorar. Tendências de sustentação, modos de avaliação e materiais encontrados atualmente Em relação às tendências de sustentação que podem ser utilizadas para o ensino dos Números, acreditamos que não exageramos ao sugerirmos que todas as tendências podem ser adequadas. Pois não é difícil observarmos que Resolução de Problemas, Modelagem Matemática, uso das tecnologias de informação e comunicação, jogos, investigações, História da Matemática, uso de materiais manipuláveis e Etnomatemática podem apoiar o fazer pedagógico com Números em sala de aula. Quanto aos modos de avaliações, sugerimos que os alunos possam ser avaliados por meio de trabalhos individuais e em grupos, porém, acreditamos que as avaliações formativas sejam a melhor opção. Pois é necessário que o professor detecte os resultados da aprendizagem de cada aluno. 655
Vários materiais são encontrados a respeito do conteúdo Números: dissertações de mestrado; teses de doutorado; livros O Mundo dos Números (FERNANDES), Número: A linguagem da Ciência (DANTZIG), A Magia dos Números (KARLSON), entre outros; artigos em revistas Bolema, Zetetikè, Educação Matemática em Revista, Revista do Professor de Matemática, Symposium, entre outras. Considerações Todos os professores que estavam presentes no Seminário tinham familiaridade com os Números, e, mesmo assim, acreditamos que as reflexões, as discussões e troca de informações que surgiram no decorrer do Seminário, de algum modo enriqueceram seus conhecimentos. De modo especial para a doutoranda cuja intenção já era desenvolver sua pesquisa de doutorado relacionada aos Números, mas que ainda não estava com o recorte definido, a breve pesquisa sobre Números que realizou para o seminário permitiu que definisse a trajetória a ser seguida para a pesquisa que resultará em sua tese de doutorado. Referências ÁVILA, G. S. S. Análise Matemática para Licenciatura. 3. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2006. BINI, M. B. Atividades Interativas como Geradoras de Situações no Campo Conceitual da Matemática. Dissertação (Mestrado em Educação em Ciências e Matemática). Faculdade de Física, PUCRS. Porto Alegre, RS, 2009. BUKOWITZ, N. S. Uma abordagem Geométrica à Compreensão dos Números Racionais. Educação Matemática em Revista. Nº 24, Ano 13, p. 7-15. SBEM 2008. CUNHA, M. R. K. A Quebra da Unidade e o Número Decimal: Um Estudo Diagnóstico nas Primeiras Séries do Ensino Fundamental. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). PUCSP, 2002. FERNANDES, B. O Mundo dos Números. Instituto Piaget. Lisboa, 2004. MACHADO, C. T. O, MENEZES, J. E. Concepções de Professores que Ensinam Matemática sobre Números Fracionários, suas Experiências e as Implicações em suas Práticas na 5ª série do Ensino Fundamental. Educação Matemática em Revista. Nº 25, Ano 13, p. 5-20. SBEM 2008. MELO, S. B. A compreensão do conceito de números irracionais e sua história: um estudo junto a alunos dos cursos de ciências exatas. Revista Symposium. Ano 3, nº 1, p. 27-36. Recife. 1999. 656
PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica: em revisão. Curitiba, 2007. 657