Utilização de RNA s na Construção do Diagrama de Vida Constante de Probabilidade de Materiais Compósitos

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA Utilização de RNA s na Construção do Diagrama de Vida Constante de Probabilidade de Materiais Compósitos Tese submetida à UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE como parte dos requisitos para a obtenção do grau de DOUTOR EM ENGENHARIA MECÂNICA CANDIDATO ADRIANO SILVA BELÍSIO ORIENTADOR Prof. Dr. RAIMUNDO CARLOS SILVERIO FREIRE JÚNIOR Natal, 30 de Novembro de 2012.

Seção de Informação e Referência Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / Biblioteca Central Zila Mamede Belísio, Adriano Silva Utilização de RNA s na construção do diagrama de vida constante de probabilidade de materiais compósitos / Adriano Silva Belísio. Natal, RN, 2012. 146 f. : il. Orientador: Raimundo Carlos Silverio Freire Junior. Tese (Doutorado) Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Tecnologia. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. 1. Fadiga Tese. 2. Compósitos Tese. 3. Rede molecular Tese. I. Freire Junior, Raimundo Carlos Silverio. II. Universidade Federal do Rio Grande do Norte. III. Título.

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA Utilização de RNA s na Construção do Diagrama de Vida Constante de Probabilidade de Materiais Compósitos ADRIANO SILVA BELÍSIO Esta Tese foi julgada adequada para a obtenção do grau de DOUTOR EM ENGENHARIA MECÃNICA Sendo aprovada em sua forma final. Prof. Dr. Raimundo Carlos Silvério Freire Júnior Orientador - UFRN BANCA EXAMINADORA Prof. Dr. Marco Antônio dos Santos - UFCG Prof. Dr. Wanderley Ferreira de Amorim Júnior - UFCG Prof. Dr. Rubens Maribondo do Nascimento - UFRN Prof. Dr. Wallace Moreira Bessa - UFRN

Dedico este trabalho à: Deus, minha, sempre, amada Florizes, minha Mãe e Irmã, e ao meu Pai, Agenor (In memoriam).

Agradecimentos À Deus por tudo que sou e tenho; Aos Meus Pais, por tudo que sou; À minha amada Florizes pelo incentivo, apoio e companheirismo e amor; Ao professor Gilvan Luiz Borba (DFTE-UFRN) pela amizade e incentivo; Ao professor Enivaldo Bonelli (DFTE-UFRN) pela amizade e incentivo; Ao professor Rui Tertuliano de Medeiros (DFTE-UFRN) pela amizade e incentivo; Ao professor João Alves de Lima (DEM-UFRN) pela amizade e por acreditar no meu potencial; Ao professor Raimundo Carlos Silvério Freire Júnior (DEM-UFRN) pela amizade e por acreditar no meu potencial; A todos que contribuíram para o desenvolvimento deste trabalho direta e indiretamente. A Capes, através do projeto REUNI pelo apoio financeiro;

v Sumário Lista de Figuras... viii Lista de Tabelas... xii Abreviaturas e Símbolos... xiii Resumo... xvii Abstract... xviii INTRODUÇÃO... 01 CAPÍTULO 1 - Redes Neurais Artificiais... 06 1 - Redes Neurais Artificias... 07 1.1 - Arquitetura da Redes Neurais Artificiais... 08 1.2 - Redes Perceptrons de Múltiplas Camadas... 09 1.3 - Redes Modulares... 11 1.4 - Treinamento de uma Redes Neural... 13 1.4.1 - Treinamento Supervisionando... 14 1.4.1.1- Algoritmo de Retropropagação (Back-Propagation)... 17 1.5.- Aplicação de Redes Neurais... 23 CAPÍTULO 2 - Vida à Fadiga... 25 2.1 - Introdução... 26 2.2 - Revisão Histórica... 27 2.3 - Simbologia Utilizada na Análise de Vida à Fadiga... 29 2.4 - Análise da Vida Útil à Fadiga de Compósitos Laminados... 34 2.4.1 - Diagrama de Goodman... 37 2.5 - Previsão de Vida à Fadiga em Compósitos... 41 2.5.1- Modelos Matemáticos para Definir as Curvas S-N... 42 2.5.2- Modelos Matemáticos para Construção do Diagrama de Goodman... 44 2.6 - Formulação do Modelo PieceWise Non-Linear (PNL)... 49 2.7 - Modelos Utilizando Redes Neurais Artificiais... 52 2.8 - Análise Estatística do Comportamento à Fadiga de Materiais Compósitos... 55 2.8.1 - Histórico... 56 2.8.2 - Função de Distribuição de Weilbull... 57 2.8.2.1 - Distribuição de Weilbull com Três Parâmetros... 58 2.8.2.2 - Distribuição de Weilbull com Dois e Um Parâmetros... 62

vi 2.8.3 - Método da Máxima Verossimilhança (maximum-likelihood estimation- MLE)... 63 2.8.4 - Método Não Parametrizado de Thiel-Cacciaru... 65 CAPÍTULO 3 - Metodologia... 68 3.1 - Materiais Obtidos da Literatura... 70 3.2 - Curvas S-N de Probabilidade... 71 3.3 - Arquitetura da Rede Modular Utilizada... 75 3.3.1 - Pré-Processamento do Conjunto de Dados... 75 3.3.2 - Arquitetura das Redes Utilizadas no Modelamento à Fadiga... 78 CAPÍTULO 4 - Resultados e Discussões... 83 4.1 Resultados e Discussões... 84 4.1 - Modelamento das Curvas S-N de Probabilidade... 83 4.1.1 - Curvas S-N de Probabilidade Baseada na Equação Exponencial... 85 4.1.2 - Curvas S-N de Probabilidade Baseada na Lei de Potência... 92 4.2 - Obtenção de Diagramas de Vida Constante para 5% de Falha Utilizando uma Rede Modular... 98 4.2.1 - Análise da Robustez e da Capacidade de Generalização da Rede Modular para 5% de falha... 99 4.2.2 - Análise dos Melhores Resultados Apresentados Pela Rede Modular...... 103 4.3 - Estudo Comparativo Entre o modelo PNL e a Rede Modular para Um Número de Ciclos Médio... 106 4.3.1 - Compósitos à Base de Fibra de Vidro... 107 4.3.2 - Compósitos à base de Fibra de Carbono... 114 CAPÍTULO 5 - Conclusões... 122 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 126 APÊNDICE... 138

vii Lista de Figuras Figura 1.1 - Modelo de uma rede neural. (Akira, et al., 1999)... 09 Figura 1.2 Neurônio biológico. (Freire Júnior, 2005)... 11 Figura 1.3 Exemplo prático de uma rede modular... 12 Figura 1.4 Diagrama esquemático demonstrando o processo de aprendizado de uma rede neural, onde (a) é método de treinamento da RNA e (b) é modelo obtido pelo treinamento da RNA (Silva et al., 2001)... 16 Figura 1.5 Rede perceptron de T camadas... 19 Figura 2.1 Diagrama esquemático da vida à fadiga de várias estruturas (Sutherland, 1999).... 27 Figura 2.2 Tensão cíclica aleatória... 30 Figura 2.3 Tensão cíclica senoidal.... 30 Figura 2.4 Tensão cíclica quadrada.... 31 Figura 2.5 Tipos de tensões cíclicas que podem ser aplicadas em um material... 32 Figura 2.6 Simbologia utilizada para definir os componentes de tensões cíclicas... 32 Figura 2.7 Gráfico da amplitude de tensão ( a ) versus a tensão média ( med ), apresentando a variação da razão de fadiga (R) e Q r... 34 Figura 2.8 Curva S-N Materiais metálicos ferrosos (Shigley, 1989)... 35 Figura 2.9 Formas mais comuns de curvas S-N para laminados compósitos (plástico reforçado com fibra)... 36 Figura 2.10 Diagrama de Goodman demonstrando as regiões nas quais o material suportará o número de ciclos especificado sem romper... 38 Figura 2.11 Diagrama de Goodman utilizando vários valores de R (Mandell et al., 1997).... 39 Figura 2.12 Fatores de importância no projeto de pás de cata vento (Sutherland et al., 1995)... 40

viii Figura 2.13 Diagrama de Goodman utilizando vários valores de R para 5% de probabilidade de falha (Mandell, 2010)... 41 Figura 2.14 Diagrama Goodman normalizado criado a partir de Equação (4.5) (Beheshty et al., 1999)... 45 Figura 2.15 u em função do número de ciclos N, apresentado na Equação (2.14) (Shokrieh et al., 1997).... 48 Figura 2.16 Densidade de Weilbul com diferentes valores para o parâmetro de localização (Rinne, 2009)... 59 Figura 2.17 Densidade de Weilbul com diferentes valores para o parâmetro de escala β e os outros parâmetros constantes (x 0 = 0; α = 2) (Rinne, 2009)... 60 Figura 2.18 Densidade de Weilbul com diferentes valores para o parâmetro de forma a e com os outros parâmetros constantes (x 0 =0; =1) (Rinne, 2009)... 61 Figura 3.1 Fluxograma metodologia utilizada na determinação do diagrama de vida constante na análise de fadiga.... 69 Figura 3.2 Distribuição do número de ciclos após a normalização dos dados: (a) normalizado em relação a um valor de número de ciclos máximo (N max ), (b) normalizado após a logaritimização dos dados)... 76 Figura 3.3 Arquitetura da rede modular utilizada... 78 Figura 3.4 Modelo de rede perceptron utilizada no trabalho... 79 Figura 3.5 Diagrama de fluxo que demonstra o treinamento da rede neural de 2 módulos proposta nesta tese... 80 Figura 3.6 Curvas dos ganhos da rede de passagem para uma rede com 2 módulos... 82 Figura 4.1 Comparação das curvas S-N de probabilidade com os resultados individuais à 1 e 5 % de probabilidade de falha para o material T800-5245 com R = 0.1. A curva S-N de probabilidade utilizada aqui é baseada na equação exponencial restrita.... 86 Figura 4.2 - Comparação das curvas S-N de probabilidade com os resultados individuais à 1 e 5 % de probabilidade de falha para o material DD16 com R = -0.5. A curva S-N de probabilidade utilizada aqui é baseada na equação exponencial generalizada... 87

ix Figura 4.3 - Comparação das curvas S-N de probabilidade com os resultados individuais à 1 e 5 % de probabilidade de falha para o material DD16 com R = -0.5. A curva S-N de probabilidade utilizada aqui é baseada na equação exponencial restrita (equação 3.9)... 88 Figura 4.4 Erro médio quadrático para 1%, 5% e 10 % de probabilidade de falha das equações exponenciais generalizadas e restrita para os materiais DD16, IM7-977 e T800-5245... 89 Figura 4.5 Dispersão dos resultados obtidos entre a Curva S-N de probabilidade (exponencial generalizada) e as probabilidades de cada nível de tensão para 1 % de falha do material DD16... 90 Figura 4.6 Dispersão dos resultados obtidos entre a Curva S-N de probabilidade (exponencial restrita) e as probabilidades de cada nível de tensão para 10 % de falha do material DD16... 91 Figura 4.7 Comparação das curvas S-N de probabilidade com os resultados individuais à 1 e 5 % de probabilidade de falha para o material IM7-977 com R = -0.3. A curva S-N de probabilidade utilizada aqui é baseada na equação exponencial restrita (equação 3.9)... 92 Figura 4.8 Comparação das curvas S-N de probabilidade com os resultados individuais à 1 e 5 % de probabilidade de falha para o material DD16 com R = -2. A curva S-N de probabilidade utilizada aqui é baseada na power law generalizada (equação 3.8)... 93 Figura 4.9 Comparação das curvas S-N de probabilidade com os resultados individuais à 1 e 5 % de probabilidade de falha para o material DD16 com R = -2. A curva S-N de probabilidade utilizada aqui é baseada na power law restrita (equação 3.10)... 94 Figura 4.10 Erro médio quadrático para 1%, 5% e 10 % de probabilidade de falha da Li de potencia generalizada e restrita para os materiais DD16, IM7-977 e T800-5245... 95 Figura 4.11 Dispersão dos resultados obtidos entre a curva S-N de probabilidade (Lei de potência generalizada) e as probabilidades de cada nível de tensão para 1 % de falha do material DD16... 96 Figura 4.12 Dispersão dos resultados obtidos entre a curva S-N de probabilidade (Lei de potência restrita) e as probabilidades de cada nível de tensão para 1 % de falha do material DD16)... 97 Figura 4.13 Comparação das curvas S-N de probabilidade com os resultados individuais à 1 e 5 % de probabilidade de falha para o material IM7-977 com R = -0.3. A curva S-N de probabilidade utilizada aqui é baseada na Lei de potência restrita (equação 3.8)... 98

x Figura 4.14 Comparação das curvas S-N de probabilidade com os resultados individuais à 1 e 5 % de probabilidade de falha para o material IM7-977 com R = -0.3. A curva S-N de probabilidade utilizada aqui é baseada na Lei de potência restrita (equação 3.10)... 99 Figura 4.15 - Curvas de EMQ obtidas durante o treinamento de uma MN. A MN foi treinada com o conjunto de treinamento T800-5245 para 5% de probabilidade de falha... 101 Figura 4.16 - Dispersão do EMQ MIN obtido para o conjunto total de dados durante o treinamento realizado para a arquitetura da rede modular com um conjunto de treinamento DD16... 103 Figura 4.17 - Dispersão do EMQ MIN obtido para o conjunto total de dados durante o treinamento realizado para a arquitetura da rede modular com um conjunto de treinamento IM7-977... 103 Figura 4.18 - Dispersão do EMQ MIN obtido para o conjunto total de dados durante o treinamento realizado para a arquitetura da rede modular com um conjunto de treinamento T800-5245... 104 Figura 4.19 - Diagrama de Goodman obtido através da rede modular com um conjunto de treinamento T800-5245... 105 Figura 4.20 - Diagrama de Goodman obtido através da rede modular com um conjunto de treinamento IM7-977... 106 Figura 4.21 - Diagrama de Goodman obtido através da rede modular com um conjunto de treinamento DD16... 107 Figura 4.22 - Comparação entre os (EMQ) do modelo PNL 2R, PLN 3R e MN 3R para materiais de Fibra de vidro... 109 Figura 4.23 - Diagrama de vida constante obtido do modelo PNL 3R como o material Mat(0) 2... 111 Figura 4.24- Diagrama de vida constante obtido do modelo PNL 3R como o material DD16.... 111 Figura 4.25 - Diagrama de vida constante obtido do modelo PNL 3R como o material QQ1.... 112

xi Figura 4.26 - Diagrama de vida constante obtido do modelo PNL 3R como o material QQ1T... 112 Figura 4.27 - Diagrama de vida constante obtido do modelo MN como o material Mat(0) 2... 113 Figura 4.28 - Diagrama de vida constante obtido do modelo MN como o material QQ1T... 113 Figura 4.29 - Dispersão do EMQ MIN obtido para o conjunto total de dados durante o treinamento realizado para a MN com um com junto de treinamento QQ1 (R= 10, -0.5, 0.1).... 115 Figura 4.30 - Comparação entre os (RMS) do modelo PNL 2R, PLN 3R e MN 3R para materiais de fibra de carbono... 117 Figura 4.31-Diagrama de vida constante obtido do modelo PNL 3R para o Material IM7-977... 118 Figura 4.32 - Dispersão do EMQ MIN obtido para o conjunto total de dados durante o treinamento realizado para a MN com um com junto de treinamento T800/3631 (R= 10, - 0.681, 0.1)... 118 Figura 4.33 - Diagrama de vida constante obtido do modelo PNL 3R para o material T800-5245... 119 Figura 4.34 - Diagrama de vida constante obtido do modelo PNL 3R para o material HTA- 913... 119 Figura 4.35 - Diagrama de vida constante obtido do modelo MN Para o material IM7-977... 120 Figura 4.36 - Diagrama de vida constante obtido do modelo MN para o material HTA-913... 120

xii Tabelas Tabela 2.1 - Valores do percentil pivotal p * do parâmetro de forma para diferentes valores de NT... 66 Tabela 3.1 Curvas (S-N) usadas no treinamento da rede modular (RM)... 82 Tabela 4.1 Erros Médios Quadráticos para 1%, 5% e 10% de falha das equações exponencial generalizada e restrita para os materiais DD16, IM7-977 e T800-5245... 89 Tabela 4.2 Erros Médios Quadráticos de correlação para 1%, 5% e 10% de falha da lei de potência generalizada e restrita para os materiais DD16, IM7-977 e T800-5245... 95 Tabela 4.3 - Melhores resultados obtidos para cada conjunto de treinamento utilizado a MN treinadas até 5000 épocas... 102 Tabela 4.4 Resultados para o conjunto de treinamento 2R e 3R para o material de fibra de vidro usando os modelos PNL e MN... 109 Tabela 4.5 Resultados dos modelos PNL e MN para o conjunto de treinamento 2R e 3R para materiais de carbono... 116

xiii Abreviaturas e Símbolos a e c Constantes de ajuste A 1 e B 1 Constantes de ajuste A I, A IV, B I, B IV Constante de ajuste a 1, A e B Constantes de ajuste a 2 Parâmetro de inclinação da função sigmóide A 2, p 2, u 2 e v 2 Constantes de ajuste a i Parâmetro de inclinação da função sigmóide B i Valor estimado não parametrizado do parâmetro de forma (equação 2.43) b inclinação da curva (equação 2.7) C-C Região na qual a razão de fadiga varia de 1 a + COMP Subconjunto de treinamento de dados com cargas de compressão C-T Região na qual a razão de fadiga varia de - a -1 Curva S-N Curva da tensão máxima versus o número de ciclos de ruptura d p1 resposta desejada para o p-ésimo neurônio de saída z p1 resposta atual para o p-ésimo neurônio de saída d(q) q-ésimo elemento do vetor de saída de um conjunto de treinamento de tamanho Q d m (q) Resposta desejada parao o m-ésimo neurônio de saída e m (q) Sinal de erro EMQ Erro médio quadrático f, u e v Constantes de ajuste g k Vetor de peso da rede de passagem ao k-ésimo módulo da rede g 1 e g 2 Saídas da rede de passagem (equações 3.17 e 3.18) L Número total de sinais de entrada

xiv L() Função de verossimilhança m m-ésimo neurônio M Número total de pares N Número de ciclos de ruptura N - Número de ciclos médio N max Número de ciclos máximo para normalização (N max = 10 7 ) N nor Número de ciclos logaritmizado e normalizado NT Tamanho da amostra P Probabilidade de Bernoulli P 1 Número de neurônios da camada de saída P k k-ésimo percentil da distribuição da amostra de m P(x) Probabilidade de falha p* - Percentil pivotal PNL - Modelo PieceWise Non-Linear Q Tamanho do conjunto de dados Q r Razão de fadiga (equação 2.5) R Razão de fadiga (equação 2.4) RNA Rede neural artificial RM Modelo de rede modular S e Limite de resistência à fadiga t t-ésima camada da rede RNA T-C Região na qual a razão de fadiga varia de -1 a 0 T-T Região na qual a razão de fadiga varia de 0 a 1 UTS Limite de resistência à tração UCS Limite de resistência à compressão

xv V (t) m (q) Combinador linear obtido no m-ésimo neurônio na t-ésima camada da RNA, estimulado por x(q) w ( q ) m-ésimo peso sináptico do neurônio l t m x Variável aleatória (equação 3.1) x(q) q-ésimo elemento do vetor de entrada de um conjunto de treinamento de tamanho Q x m Sinal de entrada m y (t-1) l Sinal funcional obtido do l-ésimo sinal de saída y (t) m (q) Combinador linear obtido no m-ésimo neurônio na t-ésima camada da RNA, estimulado por x(q) X Tensão média normalizada x - Variável aleatória x 0 Parâmetro de localização z Amplitude de tensão normalizada z m (q) Sinal de saída da rede para o m-ésimo neurônio de saída Parâmetro de forma Parâmetro de forma não parametrizado de uma fdp de Weilbul (equação 2.42) m Valor de tentativa do fator de forma r e r Parâmetros usados no lugar de e para cada curva S-N Parâmetro de escala t ( q ) gradiente local da rede m Taxa de aprendizagem (x)função positiva crescente (v) Função de tangencial hiperbolica (. ) Função de ativação m(. ) Derivada da função de ativação do m-ésimo neurônio a Amplitude de tensão (MPa)

xvi amax Amplitude de tensão máxima para N = 1 (equação 3.12) (MPa) anor Amplitude de tensão normalizada max Tensão máxima (MPa) med Tensão média (MPa) mednor Tensão média normalizada min Tensão mínima (MPa) r Intervalo de tensão (MPa) ult Tensão última ou limite de resistência ou tensão de ruptura (MPa) ultc Limite de resistência à compressão (MPa) ultt Limite de resistência à tração (MPa)

xvii Resumo Quando da utilização de materiais em estruturas é comum à realização de ensaios estáticos e cíclicos. Para os ensaios cíclicos avalia-se o comportamento à fadiga do material e com isso obtêm-se as curvas S-N e estas são utilizadas para construir os diagramas de vida constante. Porém, estes diagramas, quando construídos com pequenas quantidades de curvas S-N, subestimam ou sobrestimam o comportamento real do compósito, havendo necessidade crescente de se fazer mais ensaios para a obtenção de maior precisão nos resultados. Pensando assim, uma forma de diminuir custos é a análise estatística do comportamento à fadiga. Assim, este trabalho possui o intuito de avaliar o comportamento probabilístico à fadiga de materiais compósitos e foi dividido em três partes. A primeira parte consiste em como associar a equação de probabilidade de Weilbull às equações comumente utilizadas no modelamento da curva S-N de matérias compósitos, quais sejam, a equação exponencial e a lei de potência e suas respectivas generalizações. Na segunda parte utilizou-se os resultados obtidos pela equação que melhor representa as curvas S-N de probabilidade e treinou-se uma rede modular à 5% de falha. Na terceira parte, realizou-se um estudo comparativo dos resultados obtidos usando o modelo não linear por partes (PNL) com os resultados de uma arquitetura de rede modular (MN) na análise do comportamento à fadiga. Para tanto utilizouse uma base de dados com dez materiais obtidos da literatura para se avaliar a capacidade de generalização da rede modular, bem como sua robustez. A partir dos resultados verificou-se que a lei de potência generalizada de probabilidade representa melhor o comportamento probabilístico à fadiga de compósitos e que apesar da capacidade de generalização da MN esta não se mostrou robusta para um treinamento com 5% de falha, porém para valores médios a MN apresentou resultados mais precisos que o modelo PNL. Palavras-chave: Fadiga; Compósitos, Rede modular, Curva S-N de probabilidade; Distribuição de Weibull.

xviii Abstract The static and cyclic assays are common to test materials in structures.. For cycling assays to assess the fatigue behavior of the material and thereby obtain the S-N curves and these are used to construct the diagrams of living constant. However, these diagrams, when constructed with small amounts of S-N curves underestimate or overestimate the actual behavior of the composite, there is increasing need for more testing to obtain more accurate results. Therewith,, a way of reducing costs is the statistical analysis of the fatigue behavior. The aim of this research was evaluate the probabilistic fatigue behavior of composite materials. The research was conducted in three parts. The first part consists of associating the equation of probability Weilbull equations commonly used in modeling of composite materials S-N curve, namely the exponential equation and power law and their generalizations. The second part was used the results obtained by the equation which best represents the S-N curves of probability and trained a network to the modular 5% failure. In the third part, we carried out a comparative study of the results obtained using the nonlinear model by parts (PNL) with the results of a modular network architecture (MN) in the analysis of fatigue behavior. For this we used a database of ten materials obtained from the literature to assess the ability of generalization of the modular network as well as its robustness. From the results it was found that the power law of probability generalized probabilistic behavior better represents the fatigue and composites that although the generalization ability of the MN that was not robust training with 5% failure rate, but for values mean the MN showed more accurate results than the PNL model. Keyword: Fatigue; Composites; Modular Network; S-N Curves Probability; Weibull Distribution.

Introdução

2 Introdução O estudo das propriedades mecânicas dos materiais compósitos vem sendo realizado desde sua concepção, com o intuito de verificar não só se as características do material se adequam à aplicação desejada, mas também adaptar estas características otimizando o material ao produto (Schijve, 2003). Dentre as propriedades mecânicas analisadas é muito comum o estudo das características que estão ligadas aos carregamentos estáticos, através de ensaios de tração, compressão e cisalhamento, entre outros. Estas características são mais estudadas devido à facilidade que se possui na análise e ao seu custo relativamente baixo (Vassilopoulos et al., 2010). Além dos carregamentos estáticos, outro tipo de carregamento muito frequente é o carregamento cíclico nos quais a carga varia ao longo do tempo. Para este caso a característica mais comumente avaliada é a vida útil do material devido à fadiga. Diferentemente do que ocorre nas análises estáticas, para avaliar o comportamento à fadiga o custo é elevado, pois além do material ser ensaiado por longos períodos de tempo (alto custo máquina-ensaio) o comportamento à fadiga possui alta dispersão nos resultados, sendo necessário ser realizado um estudo estatístico nos mesmos e com isso aumentando consequentemente o número de amostras analisadas (Schijve, 2003). Pensando desse modo, é muito comum dividir a análise do comportamento à fadiga de um material compósito em três etapas, quais sejam: 1) Realização de ensaios experimentais; 2) Construção de curvas S-N; 3) Construção dos diagramas de vida constante (Diagrama de Goodman). A realização dos ensaios experimentais normalmente é feita predefinindo-se razões de fadiga e um número de corpos de prova para ser ensaiado para cada nível de tensão.

3 Na etapa 2 define-se como se deve construir as curvas de tensão versus número de ciclos (curvas S-N) para cada razão de fadiga analisada. Neste caso existem diversas equações empíricas utilizadas pela literatura com este fim, quais sejam a lei de potência, a equação exponencial e suas generalizações. Vale salientar também que é possível neste ponto acrescentar a probabilidade de falha do material nas equações acima citadas, obtendo-se neste caso as curvas S-N de probabilidade. A partir dos resultados da etapa 2, passou-se para a etapa de construção dos diagramas de vida constante, obtendo-se o comportamento à fadiga do material completo. Nesta etapa existem vários métodos e equações atualmente utilizadas, tais como o modelo não-linear por partes ( piecewise nonlinear model), a equação de Adam e redes neurais artificiais. Assim, para uma melhor descrição do presente trabalho, o mesmo foi dividido em cinco capítulos típicos. O primeiro capítulo fornece uma fundamentação teórica sobre as redes neurais artificiais, treinamento e suas aplicações. O segundo capítulo apresenta fundamentações teóricas sobre vida à fadiga, formulação do modelo não-linear por partes ( piecewise nonlinear model), modelos que utilizão redes neurais artificiais, análise estatística do comportamento à fadiga de materiais compósitos, fundamentos da distribuição de Weibull, fundamentos do método da máxima verossimilhança e sobre método não parametrizado de Thiel-Cacciari. O terceiro capítulo apresenta a metodologia utilizada nos modelos estudados, bem como os materiais avaliados durante o trabalho, os equacionamentos possíveis de serem usados na análise da probabilidade à fadiga através das curvas S-N de probabilidade, e a

4 arquitetura de RNA aplicada para avaliar o comportamento global do comportamento à fadiga dos materiais compósitos. O quarto capítulo fornece os resultados obtidos pelo presente trabalho, realizando também a comparação com o modelo PNL para validação da arquitetura RNA, bem como das equações desenvolvidas neste trabalho. O quinto capítulo apresenta as conclusões do presente trabalho e, finalmente, são listadas as referências bibliográficas. Objetivos O objetivo principal desta Tese é a avaliação de métodos para análise do comportamento probabilístico à fadiga em materiais compósitos em uma base de dados com dez materiais compósitos obtidos da literatura, nas quais se utilizará de ferramentas matemáticas tais como, redes neurais artificiais, a função cumulativa de Weibull, modelos probabilísticos para o desenvolvimento das curvas S-N, entre outros. Objetivos Específicos Associar a equação de probabilidade de Weibull às equações exponenciais e de potencia (Power Law) e suas respectivas generalizações; Analisar como os modelos aqui apresentados se adequam à fadiga em materiais diferentes, como por exemplo, a base de fibra de vidro e fibra de carbono.

5 O estudo comparativo dos resultados obtidos usando o modelo não-linear por partes (piecewise nonlinear model) com os resultados de uma arquitetura rede modular (MN) no modelamento à fadiga e Utilizar no treinamento da rede modular a equação de probabilidade advinda da lei de potência (Power Law) generalizada para 5% de falha.

Capítulo I Redes Neurais Artificiais

7 1. Redes Neurais Artificiais As Redes Neurais Artificiais, também chamadas, por Haykin (2001) de Redes Neurais, são ferramentas eficientes na resolução dos problemas complexos, em que grandes quantidades de dados devem ser modeladas e analisadas, envolvendo simultaneamente, tanto os aspectos estatísticos e computacionais como os dinâmicos e de otimização. A ideia por traz das redes neurais é emular o funcionamento do cérebro diretamente em um computador. Dado uma determinada entrada, diferentes estados podem ocorrer como consequência de mudanças nas conexões, que podem ser inibidas ou ativadas, variando de acordo com a interação do sistema com o ambiente e com seus outros estados internos. Tais redes constituem um intrincado conjunto de conexões entre os neurônios que estão dispostos em camadas hierarquicamente organizadas. Segundo, Kishan et al. (2000), é creditado a McCulloch e Pitts (1943) (McCulloch e Pitts, 1943 apud Haykin, 2001) o primeiro modelo matemático de um neurônio. Esse modelo foi modificado e largamente aplicado em trabalhos subsequentes. Em 1949, houve um avanço com a publicação do livro The Organization of Behavior, do neuropsicólogo Hebb (Haykin, 1999), em que, pela primeira vez, foi apresentada uma regra de aprendizado fisiológico para as modificações sinápticas, que afirma que a eficiência de uma sinapse variável entre dois neurônios é aumentada pela ativação repetida de um neurônio, causado pelo outro neurônio, através daquela sinapse. Rosenblatt(1958) (Rosenblatt, 1958 apud Haykin, 2001) demonstrou o seu novo modelo, o Perceptron, e em 1962 apresentou o Teorema de Convergência do Perceptron. Nesse período, muitos pesquisadores deram contribuições ao campo de redes neurais, como

8 Widrow e Hoff(1960) ( Widrow e Hoff, 1960 apud Haykin, 2001), baseados no método do gradiente para minimização do erro na saída de um neurônio com resposta linear. Estas justificativas apresentaram uma regra de aprendizado conhecida como Regra de Widrow e Hoff ou Regra Delta. Mas em 1969, Minsky e Papert (Minsky e Papert, 1969 apud Haykin, 2001) demonstraram matematicamente que existem limites para o uso de perceptron de camada única e segundo este artigo se acreditava que estes limites também se aplicavam a múltiplas camadas. Durante os anos 70 muitos pesquisadores, exceto os psicólogos e neurocientistas, desistiram desse campo. Nos anos 80 ressurge o interesse por Rede Neural Artificial, com a publicação de vários trabalhos como: Hopfield (função de energia), Kohonen (self-organizing maps), Barto e Anderson (reinforced learning). Rumelhart et al. (1986), apresentaram a descrição do algoritmo retropropagação de erro, mostrando que a visão de Minsky e Papert sobre o perceptron era bastante pessimista para o caso de redes perceptron de múltiplas camadas. 1.1. Arquiteturas das Redes Neurais Artificiais As redes neurais artificiais se diferenciam pela sua arquitetura e pela forma como os pesos associados às conexões são ajustados durante o processo de aprendizado. A arquitetura de uma rede neural restringe o tipo de problema no qual ela poderá ser utilizada, e é definida pelo número de camadas (camada única ou múltiplas camadas), pelo número de nós em cada camada, pelo tipo de conexão entre os nós (feedforward ou feedback) e por sua topologia (Haykin, 2001). Para esta tese, se comentará apenas sobre as redes perceptrons de múltiplas

9 camadas e as redes modulares, pois são estas as arquiteturas aplicadas. 1.2. Redes Perceptrons de Múltiplas Camadas Este tipo de Rede Neural Artificial é constituído por uma camada de entrada, uma ou mais camadas ocultas e uma camada de saída. A função de ativação das unidades nas camadas ocultas é, em geral, não linear. A função das camadas ocultas é a recodificação dos padrões de entrada. A Figura 1.1 ilustra a estrutura de uma rede Perceptron de Múltiplas Camadas com duas camadas ocultas. O número de camadas ocultas pode ser maior do que um, mas normalmente não ultrapassa a três devido a grande dificuldade do treinamento quando o número de camadas ocultas aumenta (Akira, et al., 1999). Figura 1.1. Modelo de uma rede perceptron de múltiplas camadas neural.

10 Normalmente, os modelos de neurônio utilizados em redes perceptron de múltiplas camadas são do tipo apresentado na Figura 1.2 com função de ativação do tipo sigmóide expressa na Equação (1.1), ou a função tangente hiperbólica, conforme se mostra na Equação (1.2) (Haykin, 2001). 1 () v ai v 1 e (1.1) v b tanh c v (1.2) i i Nas Equações (1.1 e 1.2), a i representa o parâmetro de inclinação de função sigmoide, b i é a constante relacionada a amplitude máxima obtida pela tangente hiperbólica e c i é a inclinação da tangente hiperbólica. A grande vantagem da utilização destas funções na rede perceptron de múltiplas camadas está na suavidade, podendo-se desse modo obter suas derivadas, que são de grande importância no desenvolvimento do algoritmo de treinamento desse tipo de arquitetura de rede. Outra vantagem das funções tangente hiperbólica e sigmoide está relacionada à obtenção de suas derivadas a partir dos valores obtidos pela própria função. Isto é de grande importância durante o treinamento da rede, pois diminui o número de cálculos, diminuindo consequentemente o tempo de processamento durante o treinamento. A derivada em relação a v obtida pela função sigmóide pode ser vista na Equação (1.3). a e v a v v i 1 e ai v ' i 2 i 1 a v (1.3)

11 Figura 1.2. Neurônio biológico. (Freire Júnior, 2005) 1.3. Redes Modulares Um problema computacional complexo pode ser resolvido de maneira simples quando este pode ser dividido em n tarefas computacionais simples e em seguida combinadas as n soluções das tarefas. Esse método é baseado no princípio bastante usado em engenharia: dividir para conquistar (Haykin, 2002, Ronco et al., 1995). Na aprendizagem supervisionada, a simplicidade computacional é alcançada distribuindo-se a tarefa de aprendizagem entre um número de especialistas, que por sua vez, divide o espaço de entrada em um conjunto de subespaços (Haykin 2001). Sendo estas possíveis de serem verificadas em duas classes; máquinas de comitê estáticas (ensembles) e máquinas de comitê dinâmicas (redes modulares). A diferença básica entre as máquinas de comitê estática e dinâmica é o uso de uma rede de passagem no controle dos módulos especialistas, na qual a rede de passagem está presente somente nas redes modulares. Mostra-se na Figura 1.3 um exemplo de aplicação de uma rede modular.

12 Módulo 1 g 1 S y X Módulo 2 g 2 Módulo k g k Rede de Passagem Figura 1.3. Exemplo prático de uma rede modular. Apresenta-se na Equação (1.4) o vetor de saída da rede modular, onde g k representa o vetor de saída do k-ésimo módulo da rede, y k representa o peso dado pela rede de passagem ao k-ésimo vetor de saída, z representa o vetor de saída da rede e k o número total de módulos da rede. K k k (1.4) k1 Z g y É importante comentar que o vetor de pesos obtidos da rede de passagem deve sempre satisfazer os parâmetros mostrados na Equação (1.5). A importância desse critério está intimamente ligada à fração de responsabilidade que cada módulo possui na obtenção do resultado final de modo que o somatório das frações para qualquer caso analisando resulte sempre igual a um. K gk 1 0 gk1 (1.5) k1

13 1.4. Treinamento de uma Rede Neural A propriedade que é de importância primordial para uma rede neural é a sua habilidade de aprender a partir de regras pré-estabelecidas e melhorar conseguintemente o seu desempenho através dessa aprendizagem. A palavra aprendizagem possui múltiplas definições associadas a si, ficando difícil defini-la de modo preciso. Por isso utilizar-se-á a definição desta palavra relacionada ao treinamento de redes neurais adaptada de Mendel e McClaren (Mendel et al., 1970 apud Haykin, 2002). Aprendizagem é um processo na qual os parâmetros livres de uma rede neural são adaptados através de um processo de estimulação pelo ambiente onde a rede está inserida. O tipo de aprendizagem é determinado pela maneira como a modificação dos parâmetros ocorre. Desse modo, pode-se dizer que a ideia principal do treinamento de uma rede neural é a modificação gradual dos seus pesos sinápticos, seguindo uma regra de aprendizado que determina a forma como esses pesos serão alterados. O aprendizado é realizado utilizando-se um conjunto de dados de treinamento. Esses valores são apresentados à rede e após uma apresentação completa de todos os exemplos tem-se uma época de aprendizado. Um conjunto pré-estabelecido de regras bem definidas para a solução de um problema de aprendizagem é denominado de algoritmo de aprendizagem ou algoritmo de treinamento. Conforme é fácil de perceber, não existe somente um tipo de algoritmo de aprendizagem para o projeto de redes neurais. Ao invés disso, tem-se uma grande quantidade de algoritmos que podem ser aplicados aos mais diversos casos, cada qual possuindo vantagens e desvantagens. Basicamente, todos os algoritmos diferem somente na forma como se ajusta os pesos

14 sinápticos dos neurônios dentro da rede. Esse ajuste considera, inclusive, a forma como a Rede Neural se relaciona com o seu ambiente, nesse sentido pode-se classificar as formas de aprendizado ou treinamento da rede em três partes, conforme se mostra a seguir: - Treinamento supervisionado (aprendizado com um professor): o programador dispõe de um banco de dados de entrada e saída que o mesmo deseja que a rede reproduza. A partir disso, se modifica os pesos sinápticos da rede com o objetivo de diminuir o erro existente entre a saída desejada e a saída obtida na rede. - Treinamento semi-supervisionado (aprendizado por reforço): o programador possui apenas indicações imprecisas sobre o comportamento final desejado. Por exemplo, o programador indica sobre o sucesso ou insucesso da rede, porém não dá meios para obtenção de uma solução acurada. - Treinamento não-supervisionado (aprendizado sem um professor): o programador não influi no treinamento da rede e a mesma modifica seus pesos sinápticos utilizando critérios internos pré-estabelecidos. Esse tipo de treinamento é parecido com técnicas de análise de dados empregadas na estatística, como, por exemplo, diferenciar quadrados de triângulos, sem ter exemplos para a demonstração desses dois elementos. Devido a não utilização desses dois últimos treinamentos nesse trabalho, os mesmos não serão abordados, ficando somente reproduzido aqui o treinamento supervisionado ou aprendizado com um professor.

15 1.4.1. Treinamento Supervisionado Conforme o próprio nome já diz, o treinamento supervisionado é feito com um conjunto de dados de entrada e saída predeterminados, que servem para a supervisão da rede neural. Em outras palavras, existe um desejo de que a rede seja capaz de responder de maneira aproximada ao conjunto de dados apresentado a ela. Além disso, deseja-se também que a rede consiga generalizar, sendo capaz de apresentar resultados semelhantes aos do ambiente de estudo, obtendo resultados aproximados aos dados não apresentados durante o treinamento. Apresenta-se na Figura 1.4, um diagrama esquemático do treinamento supervisionado de uma RNA. Nesta Figura, percebe-se que durante o treinamento a matriz de pesos sinápticos w é uma variável que é modificada através de um algoritmo de treinamento, ou seja, a RNA é alterada para modelar os dados apresentados a rede. A alteração dos valores de w é feita no intuito de diminuir o erro existente entre os valores desejados (d) e os valores de saída (z) da RNA (Silva et al., 2001).

16 x DADOS DE TREINAMENTO d=f(x) RNA ALGORITMO DE TREINAMENTO (a) z=f(w,x) e=d-z + - + x RNA F(x) ~ f (x) (b) Figura 1.4. Diagrama esquemático demonstrando o processo de aprendizado de uma rede neural, onde (a) é método de treinamento da RNA e (b) é modelo obtido pelo treinamento da RNA (Silva et al., 2001). A forma de aprendizado descrita na Figura 1.4, também pode ser chamada de aprendizagem por correção de erro. Na qual, o algoritmo de treinamento busca minimizar o erro médio gerado entre a saída (z) da RNA e a resposta desejada (d). O erro é apresentado por uma função custo (cost function) e a minimização é feita até a obtenção de um valor mínimo de erro, que pode ser um mínimo global ou um mínimo local. A partir do uso de um algoritmo de treinamento projetado para minimizar o erro, um conjunto de treinamento adequado e um número de iterações suficiente para realizar o treinamento pode-se obter uma rede que seja capaz de realizar tarefas como a classificação de padrões e a aproximação de funções (Haykin, 2002). Conforme foi dito anteriormente, a escolha de um algoritmo de treinamento adequado é de grande importância para a obtenção de uma RNA que aproxime adequadamente uma função. Pensando desse modo, vários algoritmos foram criados na literatura especializada

17 com o intuito de possuir qualidades como evitar a descida para mínimos locais, rapidez no aprendizado e boa generalização. Dentre eles, pode-se destacar algoritmos como o RPROP (Riedmiller et al., 1993), o QuikProp (Fahlman et al., 1988) e o mais popular dentre todos eles, o algoritmo de Retropropagação (Back-Propagation) (Rumelhart et al., 1986 apud Haykin, 2002). Vale salientar que, todos os algoritmos aqui citados possuem vantagens e desvantagens, e que somente o tipo de aplicação e as características desejadas pelo programador é que vão definir o algoritmo que será escolhido para o treinamento do conjunto de dados a ser analisado. 1.4.1.1. Algoritmo de Retropropagação (Back-Propagation) Conforme foi dito anteriormente, esse é o algoritmo mais popular usado no treinamento de RNAs do tipo perceptron de múltiplas camadas e baseado na regra de treinamento por correção do erro. Esse algoritmo exige três características na arquitetura da rede para poder ser implementado: - O modelo de cada neurônio da RNA deve possuir uma função de ativação não-linear e esta não linearidade tem que ser suave, ou seja, a função deve ser diferenciável. Isto é uma característica importante a ser cumprida, já que, sem esse pré-requisito não se poderá utilizar o vetor gradiente, necessário na modificação dos pesos sinápticos. - A RNA deve conter uma ou mais camadas de neurônios ocultos. Esses neurônios habilitam a rede a aprender tarefas complexas por extrair progressivamente os fatores mais significantes dos vetores de entrada. - A RNA deve possuir alto grau de conectividade. Esta conectividade é determinada pelo número de sinapses entre os neurônios.

18 Com estas características satisfeitas, o objetivo do treinamento por retropropagação baseia-se, tão somente em minimizar o erro médio quadrático ou função custo apresentado na Equação 1.6: Q p 1 EMQ 2. Q 1 dp zp (1.6) 1 1 1 p 1 1 2 Na equação acima o EMQ é o erro médio quadrático, Q representa o tamanho do conjunto de dados, p 1 o número de neurônios da camada de saída, d p1 e z p1 são as respostas desejadas e a resposta atual do p-ésimo neurônio de saída, respectivamente. Para minimizar o EMQ, se faz necessário à modificação dos valores dos pesos sinápticos, conforme foi dito no item anterior. Isto é feito através da implementação do algoritmo de treinamento com propagação adiante e retropropagação. Esses dois passos computacionais podem ser interpretados como sinais, na qual tem-se o sinal funcional ou sinal que percorre o interior da rede, e o sinal de erro que é apresentado pelo algoritmo de treinamento modificando a estrutura interna da rede (pesos sinápticos). A modificação da estrutura interna da rede, ou especificamente dos pesos sinápticos, feito pelo sinal de erro (retro-propagação), é feita obedecendo a regras que são obtidas através da derivação da função custo em relação à variação dada aos pesos sinápticos. A partir das regras obtidas e considerando-se uma rede perceptron de múltiplas camadas com T camadas (Figura 1.5) pode-se dividir o treinamento da rede em 5 etapas. Antes de se apresentar as etapas de treinamento, é importante salientar que os índices l, m e n apresentados nas Equações (1.5) a (1.13), representam os neurônios de uma rede que se propaga da esquerda para a direita, na qual o neurônio l é o neurônio que se encontra em uma camada a esquerda do neurônio m (camada anterior ao neurônio m) e o neurônio n se

19 encontra uma camada a direita desse mesmo neurônio (camada posterior). Mostra-se na Figura 1.5 de modo mais claro esta notação, para uma rede perceptron de T camadas. Camada de Entrada x 2 x M 0 1 t-1 Camadas 1 x 1 1 1 2 z1 l w (t) ml L y l (t-1) Ocultas w nm m (t+1) (t) M y m t t+1 n N Camada de Saída T z 2 z P Figura 1.5. Rede perceptron de T camadas. 1. Início. A princípio devem ser escolhidos os valores dos pesos sinápticos aleatoriamente, de modo que a média dos seus valores seja zero e a variância se encontre próximo à saturação da função de ativação utilizada (a função de ativação utilizada pode ser sigmóide ou tangente hiperbólica). 2. Apresentação dos dados de treinamento. Apresenta-se uma época de exemplos de treinamento à rede. Para cada exemplo apresentado, realizam-se as sequências descritas nos itens 3 e 4, nas quais emite-se o sinal funcional e o sinal de erro. 3. Propagação adiante (sinal funcional). Suponha que um exemplo de treinamento seja representado por (x(q), d(q)), sendo x(q) o q-ésimo sinal (vetor) de entrada aplicado à camada de entrada da rede e d(q) o vetor que se deseja que a rede apresente na sua saída após o

20 treinamento (resposta desejada) para a entrada x(q) (ver Figura 1.4). Em seguida, são obtidos os combinadores lineares v (t) m (q) e os sinais funcionais y (t) m (q), nos quais as notações m e t representam o m-ésimo neurônio na t-ésima camada da RNA. As Equações (1.7) e (1.8) representam, respectivamente, o combinador linear e o sinal funcional. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1.7) ( ) ( ( )) (1.8) Nestas equações, L representa o número total de sinais de entrada vindos da camada anterior t-1 no m-ésimo neurônio da camada t, y (t-1) l representa o sinal funcional obtido do l- ésimo sinal de saída da camada anterior a t, y (t) m é o sinal de saída do m-ésimo neurônio da camada t e (. ) é a função de ativação da rede que pode ser a função sigmóide (Equação (1.1)) ou a tangente hiperbólica (Equação (1.2)). Se o neurônio m está na primeira camada oculta (t = 1), use a Equação (1.9) em (1.8). ( ) ( ) (1.9) Quando o neurônio m está na camada de saída (t = T), use a Equação (1.10), para a obtenção do sinal de saída da rede. ( ) ( ) (1.10) Com o sinal de saída da rede z m (q) e a resposta desejada d m (q) para o m-ésimo neurônio de saída calcule o sinal do erro e m (q), conforme a Equação (1.11). ( ) ( ) (1.11) () 4. Retropropagação (sinal do erro). Calcula-se os gradientes locais da rede t (Equação m

21 (1.12)). () t m e ( q) ( v ( q)) ( q) ( T) ( T) m m m neurônio m na camada de saída T ( t) ( t 1) ( t 1) 1.12 m( vm ( q)) n ( q) wnm ( q) neurônio m na camada oculta t n Na equação acima, m (. ) é a derivada da função de ativação do m-ésimo neurônio da camada t, para o caso da função sigmóide a derivada pode ser vista na Equação (1.3). Com os valores dos gradientes locais, modifique os pesos sinápticos usando a Equação (1.13). w ( t) ml ( q 1) w ( t) ml ( t) ( t) ( t) ( t1) w ( q) w ( q 1) ( q) y ( q) ( q) (1.13) ml ml m l Na Equação (1.13), e são a taxa de aprendizagem e a constante do momento, respectivamente. Tanto a taxa de aprendizagem quanto a constante do momento são valores escolhidos pelo programador e, de preferência, devem ficar entre 0 e 1. Esses valores podem, ou não, variar durante o treinamento da rede, objetivando diminuir o número de iterações e melhorar o resultado obtido pela mesma. 5. Iteração. A apresentação dos dados de treinamento deve ser feita várias vezes, o número de iterações, ou seja, o número de vezes que o conjunto de treinamento deve ser apresentado, vai depender do critério de parada escolhido pelo usuário. Apesar dos cinco passos descritos acima serem suficientes para o treinamento do algoritmo, existem algumas técnicas (heurísticas) que são importantes para melhorar o desempenho do algoritmo de retropropagação. Dentre elas pode-se destacar: - Atualização dos pesos sinápticos, sequencial ou por lote. Durante o treinamento, a modificação dos pesos sinápticos pode ser feita sequencialmente (após a apresentação de cada exemplo do conjunto de treinamento) ou por lote (após a apresentação de cada época de

22 treinamento). Cada uma dessas duas formas de treinamento possui vantagens e desvantagens, porém quando se deseja que a rede seja computacionalmente mais rápida, deve-se optar pela atualização sequencial. - Maximização do conteúdo de informação. Durante o treinamento é interessante que se apresente sempre um novo exemplo que seja totalmente diferente do anterior e que resulte um maior erro de treinamento (LeCun, 1993 apud Haykin, 2002), esse desejo é motivado pelo objetivo de ampliar a busca no espaço possível de pesos sinápticos, evitando desse modo problemas com mínimos locais e memorização dos resultados over-fitting. Um modo de se obter esse resultado é apresentar o conjunto de treinamento de modo diferente a cada iteração, ou seja, embaralhar os dados. - Normalização dos dados. Um ponto importante no treinamento de uma RNA é o préprocessamento do conjunto de treinamento, isto deve ser feito de modo que os dados não saturem os neurônios da rede e esses dados sejam os mais descorrelacionados possíveis. Para solucionar esse problema deve-se trabalhar com um conjunto de treinamento que varie seus valores entre -1 e +1. Além disso, pode-se ainda aplicar no pré-processamento a remoção da média, a descorrelação e a equalização da covariância, aplicados nesta ordem. - Início do treinamento. Uma boa escolha para os valores iniciais dos pesos sinápticos é de grande ajuda para um projeto bem sucedido. Nesta escolha deve-se evitar valores muito grandes que levem os neurônios à saturação, bem como, muito pequenos que ocasionem uma diminuição da velocidade do processo de aprendizagem. Assim, a escolha mais coerente encontra-se entre esses dois extremos e em termos probabilísticos, a média de todos os valores dos pesos sinápticos deve ser zero e a sua variância deve ser igual ao inverso do número de conexões sinápticas de um neurônio. - Aprendizagem por indícios. Durante o treinamento de uma função desconhecida pela RNA.

23 Existe a exploração da informação contida no conjunto de exemplos apresentados de modo que a rede infira um resultado aproximado dos resultados. Assim, pode-se generalizar esse procedimento fazendo com que a rede aprenda por indícios, isto é obtido adicionando-se ao aprendizado informação prévia sobre a função que se deseja modelar. Esta informação pode ser adicionada incluindo propriedades da função já conhecidas, tais como, valores constantes, simetrias entre outros. - Taxa de aprendizagem. A escolha e até a variação das taxas de aprendizagem da rede durante o treinamento pode facilitar o aprendizado, diminuindo, por exemplo, o número de iterações durante o treinamento. 1.5. Aplicação de Redes Neurais Devido as suas características de não linearidade e sua grande capacidade de obtenção de um mapeamento de entrada-saída através da utilização somente dos dados experimentais, sem conhecimento prévio do problema físico, as RNAs são aplicadas, com sucesso, em vários setores das engenharias, demonstrando-se, principalmente útil como aproximadores de funções não-lineares (Zhang et al., 2003; Lin et al., 2003; Choi et al., 2003; Genel, 2004; Jalham, 2003), classificação dos padrões(silva et al., 2010), controle (Fernandes et al, 2011, Silva et al., 2010) entre outros. A utilização de RNAs como aproximadores de função é especialmente útil quando não se possui um modelo físico ou empírico adequado na solução do problema. Assim, com uma RNA bem treinada pode-se obter resultados satisfatórios onde não existe solução conhecida, podendo-se com uma arquitetura e um treinamento adequado generalizar e extrapolar para

24 resultados ainda não conhecidos experimentalmente. Falando especificamente para análise de compósitos, Zhang et al.( 2003) fizeram uma revisão que demonstra o uso de RNA s em propriedades tribológicas de fadiga, carregamentos combinados, análise de propriedades mecânicas dinâmicas, otimização do processo de fabricação, entre outros. Uma outra análise realizada por Câmara et al. (2011) demostrou o uso de RNA na análise micromecânica do compósito, onde se encontrava as propriedades de uma lamina a partir das propriedades individuais dos elementos constituintes. Desse modo, percebe-se o grande campo de aplicação desta ferramenta nas áreas mais diversas da engenharia.

Capítulo II Vida à Fadiga

26 2. Vida à Fadiga 2.1. Introdução A maioria dos elementos estruturais encontra-se sob a ação de tensões que oscilam com o tempo, ou seja, as estruturas são submetidas a esforços cíclicos. Por conta da oscilação da tensão com o tempo, normalmente, essas estruturas se rompem com valores de tensão muito abaixo dos valores de limite de resistência (carregamento estático) suportados. Para esse tipo de ocorrência dá-se o nome de falha por fadiga (Shigley, 1989; Souza, 1982). Devido à falha por fadiga, todos os projetos estruturais ou de elementos de máquinas que sofrem a ação de cargas cíclicas devem ser dimensionados considerando a vida útil do material (pode-se medir a vida útil do material pelo tempo de uso ou pelo número de ciclos que o material deve suportar antes de falhar por fadiga, dando-se preferência a esse último). Por exemplo, componentes de aeronaves devem suportar pelo menos um milhão de ciclos (10 6 ) antes de apresentarem falhas, helicópteros devem suportar cem milhões de ciclos (10 8 ) e para projetos de estruturas que devem durar trinta anos o mesmo deve suportar cinco bilhões de ciclos (5x10 9 ) (Sutherland, 1999), conforme pode ser visto na Figura 2.1.

27 Figura 2.1. Diagrama esquemático da vida à fadiga de várias estruturas (Sutherland, 1999). 2.2. Revisão Histórica O interesse no estudo da fadiga começou a expandir com o aumento do uso do aço em estruturas, particularmente pontes em sistemas ferroviários. O primeiro estudo de fadiga em metais foi, segundo Suresh (1998), creditado a um engenheiro alemão chamado W. A. J. Albert em correntes de ferro (Albert, 1838 apud Suresh, 1997). A primeira pesquisa detalhada do esforço da fadiga nos metais foi iniciada em 1842 com um acidente ferroviário perto de Versailles na França que resultou em muitas mortes. A causa deste acidente foi motivada por uma falha por fadiga originada no eixo frontal da locomotiva. Em 1843, W. J. M. Rankine, um engenheiro ferroviário britânico que ficou famoso pela sua contribuição na engenharia mecânica, reconheceu características de ruptura por fadiga e percebeu o perigo das concentrações das tensões nos componentes das máquinas. O Instituto dos Engenheiros Mecânicos na Inglaterra começou a explorar a Teoria de Cristalização da fadiga. Esta foi considerada que o enfraquecimento dos materiais da falha por fadiga era causado pela cristalização da microestrutura subjacente. Em 1849, o governo britânico convocou E. A.

28 Hodgkinson para estudar a fadiga dos ferros fundidos usados nas pontes ferroviárias. Neste período, pesquisas sobre fratura por fadiga foram documentadas num trabalho de Braithwaite (1854) que empregou o termo fadiga exclusivamente para exprimir as rachaduras de metais sob repetição de carga. August Wöhler realizou pesquisas em eixos de locomotivas cujas falhas eram comuns na indústria ferroviária alemã. Os estudos de Wöhler envolviam cargas axiais, de flexão e de torção compreendendo testes de fadiga nos eixos das ferrovias em escala real para o Prussian Railway Service e na variedade dos componentes estruturais usados em pequenas máquinas. Seu trabalho levou à utilização de termos e construção de métodos na análise do comportamento da fadiga a partir das curvas de número de ciclos versus tensão aplicada (S-N) e ao conceito de limite de resistência à fadiga. A máquina de flexão rotativa usada ainda hoje na análise de fadiga é conceitualmente a mesma que foi projetada por Wöhler. Embora seu aparato de flexão rotativo tenha velocidade máxima de apenas 72 revoluções por minuto, um de seus corpos de prova de teste esteve submetido a 132.250.000 forças cíclicas sem a ocorrência de fratura (Suresh, 1998). Outro grande pesquisador sobre fadiga foi W. Fairbairn que realizou testes em ferro de vigas rebitado para a Junta de Comércio Britânico. Em vários casos, 3.100.000 cargas cíclicas foram aplicadas. De acordo com esse experimento, Fairbairn (1864) concluiu que ferro de vigas rebitadas, sujeito a forças cíclicas com máximo de 1/3 da resistência última irá falhar. Em 1874, o engenheiro alemão H. Gerger começou a desenvolver métodos para o projeto de fadiga; sua contribuição incluiu o desenvolvimento de métodos para calcular a vida de fadiga para diferentes níveis médios de forças cíclicas (Schijive, 2003). Em 1910, O. H. Basquin propôs leis empíricas para caracterizar a curva S-N dos metais. Ele mostrou que o logaritmo do número de repetições de carga pelos níveis de tensão resultaria em uma relação linear sobre um amplo limite de tensão (Schütz, 1996).

29 Nesta linha de raciocínio, as pesquisas ligadas à fadiga foram a posterior expandidas para outros materiais além dos metais, verificando-se que este comportamento se verifica em todos eles. O único diferencial existente é o processo físico de como ocorre o fenômeno, apesar de ser ainda comum se tentar avaliar este comportamento se tendo em mente os materiais metálicos. Devido a isto, Harris (2003) comentou que a percepção dos engenheiros do fenômeno da fadiga esta ligada ao comportamento dos metais e que frequentemente eles tratam os materiais compósitos como metais. No início os ensaios usados nos materiais compósitos eram os mesmos aplicados aos metais. A interpretação dos resultados desses ensaios tem sido muitas vezes obscurecida pelas ideias do que é a falha por fadiga nos metais. 2.3. Nomenclatura Utilizada na Análise de Vida à Fadiga Para a análise dos esforços cíclicos aplicados ao material, deve-se considerar quais tipos de tensões são aplicados (tensões de tração, compressão ou alternada) e como essas tensões variam com o tempo (a onda formada durante o esforço aplicado). Considerando as formas de onda mais comuns, tem-se: a aleatória (Figura 2.2), a senoidal (Figura 2.3) e a quadrada (Figura 2.4).

Tensão (MPa) Tensão (MPa) 30 250 200 150 100 50 0-50 -100-150 -200-250 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Tempo (s) Figura 2.2. Tensão cíclica aleatória. 250 200 150 100 50 0-50 -100-150 -200-250 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Tempo (s) Figura 2.3. Tensão cíclica senoidal.

Tensão (MPa) 31 250 200 150 100 50 0-50 -100-150 -200-250 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Tempo (s) Figura 2.4. Tensão cíclica quadrada. Entre os tipos de ondas citados, a mais utilizada na avaliação da resistência à fadiga nos materiais é a senoidal. O motivo de utilização desse tipo de onda se deve a sua característica de suavidade, evitando desse modo cargas de impacto, que poderiam mascarar os resultados analisados. Na prática, a ocorrência de tensões cíclicas aleatórias é bastante comum nas estruturas e elementos de máquinas, porém, testes utilizando esses tipos de onda só são utilizados em casos particulares (Souza, 1982). Durante o carregamento, as tensões a que o material será submetido podem se apresentar de três modos: tensões variáveis e ou pulsivas de tração, tensões variáveis e ou pulsivas de compressão ou tensões de modo alternado (tração e compressão) (Souza, 1982). A Figura 2.5 exemplifica os tipos de tensões cíclicas especificadas acima.

Tensão (MPa) Tensão (MPa) 32 200 100 Tensão Variável de Tração Tensão Pulsiva de Tração 0-100 Tensão Pulsiva de Compressão Tensão Alternada -200 Tensão Variável Compressiva 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Tempo (s) Figura 2.5. Tipos de tensões cíclicas que podem ser aplicadas em um material. Mostra-se na Figura 2.6 os componentes de tensão que devem ser analisados durante um carregamento cíclico, são eles: a tensão máxima ( max ), a tensão mínima ( min ), a tensão média ( med ), a amplitude de tensão ( a ) e o intervalo de tensão ( r ). 200 180 160 140 120 100 max a 80 60 40 m r 20 min 0 0 50 100 150 200 Tempo (s) Figura 2.6. Simbologia utilizada para definir os componentes de tensões cíclicas.

33 Os valores da tensão média ( med ), da amplitude de tensão ( a ) e do intervalo de tensão ( r ) podem ser definidos a partir dos valores de tensão máxima ( max ) e mínima ( min ) aplicados ao material (Equações (2.1) a (2.3)). Além dessas definições de valores de tensão, existem duas outras relações importantes: a razão de fadiga (R) e (Q r ), apresentadas nas Equações 2.4 e 2.5, respectivamente (Souza, 1982, Mayugo et al., 2002). max min med (2.1) 2 max min a (2.2) r max 2 (2.3) max min min R (2.4) Q a med r (2.5) A variação do valor de R e de Q r está relacionada com os tipos de tensões que podem ser aplicados ao material de modo que: entre 1 < R < (- < Qr < -1), as tensões vão de variáveis compressivas até as pulsivas de compressão (C-C); entre - < R < -1 (-1 < Qr < 0), o tipo de tensão é variável de tração/compressão com compressão dominante (C-T); entre -1 R < 0 (0 < Qr < 1), as tensões vão de alternadas até variáveis de tração/compressão com tração dominante (T-C); e entre 0 R < 1 (1 < Qr < ), as tensões são totalmente trativas (T- T). Um esquema dessas regiões delimitadas pela razão de fadiga (R), como também por (Qr) está exposta no gráfico de amplitude de tensão ( a ) versus a tensão média ( med ) na Figura 2.7.

Amplitude de Tensão (MPa) 34 R= - Q r = 0 R= -1 80 R= 0 Q r = -1 R= C-T 60 T-C Q r =1 C-C 40 T-T 20 R=1 Q r =- Q r = R=1-80 -60-40 -20 0 0 20 40 60 80 Tensão Média (MPa) Figura 2.7. Gráfico da amplitude de tensão ( a ) versus a tensão média ( med ), apresentando a variação da razão de fadiga (R) e Q r. 2.4. Análise da Vida Útil à Fadiga de Compósitos Laminados A forma mais comum de análise da vida útil de um material que sofre carregamento cíclico é através do diagrama da tensão máxima ( max ) versus o número de ciclos de ruptura (N), também conhecido como curva S-N (o S vem de stress ou tensão), que normalmente é representada em escala semi-logarítmica. A partir desse diagrama tem-se uma curva que demonstra o número de ciclos que o material suportará antes de romper para cada valor de tensão máxima aplicada ( max ). Para ilustrar o diagrama da tensão máxima ( max ) versus o número de ciclos de ruptura (N) tem-se as Figura 2.8 e Figura 2.9, as quais apresentam comportamentos distintos à fadiga para materiais que podem apresentar vida finita ou não. A obtenção desse tipo de diagrama pode ser feita de dois modos distintos: no primeiro considera-se a razão de fadiga (R) constante e faz-se o ensaio com cada corpo de prova

35 submetido a um determinado valor de tensão máxima ( max ). No segundo, considera-se novamente a razão de fadiga (R) constante, porém para o corpo de prova varia-se o valor de tensão máxima ( max ) antes da ruptura do mesmo. Essa segunda forma de se analisar o comportamento à fadiga do material é denominado de fadiga cumulativa. Nos dois casos, deve-se considerar que, para se obter o número de ciclos de ruptura para outros valores de R deve-se fazer novos ensaios, obtendo-se consequentemente outras curvas S-N. Mostra-se na Figura 2.8 um exemplo clássico (materiais ferrosos) da curva semilogarítmica da tensão máxima ( max ) versus o número de ciclos de ruptura (N), na qual percebe-se que, de 1 até 1000 ciclos, o valor da tensão máxima possui uma variação pouco significativa (fadiga de baixo ciclo). Após mil ciclos ocorre um decréscimo na resistência do material até um determinado valor de tensão máxima, na qual o material não rompe mais por fadiga independente do número de ciclos aplicado. Essa região é definida como fadiga de alto ciclo e o valor de tensão máxima é definido como o limite de resistência à fadiga do material (S e ) (Shigley, 1989). Figura 2.8. Curva S-N Materiais metálicos ferrosos (Shigley, 1989).

Tensão Máxima (MPa) 36 No caso dos materiais compósitos, a curva S-N possui comportamento distinto dos materiais convencionais, pois a maioria desses materiais não possui o limite de resistência à fadiga, ou seja, o material sempre romperá depois de um determinado número de ciclos, também porque o material compósito possui uma variação maior no valor de tensão máxima na fadiga de baixo ciclo, como é o caso dos materiais ferrosos. Esse fato ocorre devido a uma diminuição progressiva da resistência mecânica do material, denominada de resistência residual, em consequência da formação de danos no mesmo (Philippidis et al., 1999; Gamstedt et al. (a), 1999; Whitworth, 1998; Ding et al., 1995). Mostra-se na Figura 2.9 dois dos comportamentos mais comuns da curva S-N para materiais compósitos laminados (deve-se considerar que, os laminados aqui analisados possuem matriz polimérica reforçada com fibra) (Hartwing et al., 1998; Gassan et al., 2001; Mandell et al., 1992 e 1997). 600 500 400 300 Curva Linearmente Logarítmica 200 100 0 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9 10 10 Número de Ciclos Figura 2.9. Formas mais comuns de curvas S-N para laminados compósitos (plástico reforçado com fibra).

37 O tipo de tensão cíclica utilizada para a obtenção da curva S-N em compósitos laminados, normalmente é uniaxial, embora existam na literatura (DeTeresa et al., 1998; Francis et al., 1977; Caprino et al., 1999) alguns trabalhos que consideram a fadiga sob torção, sob flexão e a fadiga combinada (uniaxial e torção). 2.4.1. Diagrama de Goodman Na elaboração de projetos estruturais a prevenção de falha dos elementos envolvidos é fundamental para a garantia da segurança do sistema, seja qual for o tipo de solicitação externa. Para elementos estruturais envolvendo materiais compósitos sob ação de cargas cíclicas, a preocupação com a presença de falha aumenta, tendo em vista a complexidade do dano envolvido e os mais diversos parâmetros de influência direta no seu comportamento mecânico (Mandell et al., 1997). A literatura especializada tem demonstrado que os Diagramas de Falhas têm prestado um bom papel na solução do problema. Para o caso da prevenção de falha por fadiga em laminados compósitos, o Diagrama de Goodman tem sido utilizado com bons resultados, embora seja necessária a elaboração do mesmo para cada especificidade dos compósitos estudados. Por exemplo, um dos fatores de influência na elaboração do Diagrama de Goodman para laminados compósitos é o valor adotado para a razão de fadiga R, ou seja, a forma de aplicação da carga cíclica (Mandell et al., 1997; Bond, 1999; Beheshty et al., 1999). Para a elaboração do Diagrama Goodman se faz necessário, no mínimo, um modelo matemático para a curva S-N, referente aos dados experimentais obtidos nos ensaios de tensão alternada (R = 1), e os valores do limite de resistência à tração e à compressão do material (Bond, 1999). Com esses resultados, traça-se o diagrama da Figura 2.10, no qual utiliza-se o

Amplitude de Tensão (MPa) 38 modelo matemático para delimitar os valores da amplitude de tensão ( a ) e tensão média ( med ), para mil, dez mil, cem mil, um milhão e dez milhões de ciclos. Em seguida traça-se uma reta ligando esses pontos aos valores de limite de resistência à tração e à compressão do material. Deve-se salientar que essa reta é uma aproximação das curvas S-N de cada valor de R não analisados experimentalmente. Observa-se aqui que, para o caso de materiais compósitos, diferentemente dos metais, a tensão média de compressão tem influência na resistência à fadiga do material. 100 80 60 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 R=-1 Região Segura até 10 6 ciclos 40 20 0 Região Segura até 10 7 ciclos -150-100 -50 0 50 100 150 Tensão Média (MPa) Figura 2.10. Diagrama de Goodman demonstrando as regiões nas quais o material suportará o número de ciclos especificado sem romper. R=1 A grande utilidade do Diagrama de Goodman é a delimitação de regiões nas quais o material poderá ser carregado ciclicamente indicando o respectivo número de ciclos antes de sua ruptura. O Diagrama de Goodman da Figura 2.10 representa a prevenção de falha por fadiga em materiais compósitos, supondo que o conhecimento do comportamento do material apenas

39 para R = -1, (curva S-N), é suficiente para a segurança da peça. Posteriormente, se verificou (Mandell et al., 1997) que para resultados obtidos com outros valores de R, o Diagrama da Figura 2.10 mostra-se bastante conservador na prevenção de falha por fadiga para alguns laminados compósitos. Por exemplo, na Figura 2.11, na qual tem-se um Diagrama de Goodman feito por Mandell et al. (1997) para um laminado de plástico reforçado com fibra de vidro-e, feito com outros valores de R além de R = 1, percebe-se a influência dos outros valores de R quando se deseja uma análise mais criteriosa da falha do material a ser analisado, pois, conforme pode ser visto, a aproximação por uma linha reta conduz a resultados imprecisos. Figura 2.11. Diagrama de Goodman utilizando vários valores de R (Mandell et al., 1997). É importante salientar que a curva S-N e, consequentemente, o Diagrama de Goodman, normalmente são feitos através de corpos de prova ensaiados em laboratório, utilizando-se ciclos regulares de tensão através de um equipamento de ensaios mecânicos. Em

40 outras palavras, são resultados que não podem ser aplicados diretamente em projetos estruturais, pois, no caso das estruturas mecânicas, existem outros fatores que influenciam a sua vida útil, sendo necessário um estudo específico para a estrutura a ser analisada. Sutherland et al. (1995), que trabalhou com laminados compósitos de fibra de vidro- E/poliéster para fabricação de pás de cata vento, compara a influência de vários fatores na vida útil desses elementos estruturais, de modo que o Diagrama de Goodman possui, em torno de 50 % de importância no cálculo do dimensionamento dessas pás (Figura 2.12). Figura 2.12. Fatores de Importância no projeto de pás de cata vento (Sutherland et al., 1995). Dentre os fatores destacados na Figura 2.12, um fator que pode ser incorporado na análise do diagrama de Goodman é a probabilidade de falha do compósito. Neste sentido Mandell (2010) construiu novos diagramas de Goodman considerando esta probabilidade a 5% de falha, conforme se verifica na Figura 2.13.

41 Figura 2.13. Diagrama de Goodman utilizando vários valores de R para 5% de probabilidade de falha (Mandell, 2010). 2.5. Previsão de Vida à Fadiga em Compósitos Conforme foi dito anteriormente o conhecimento prévio do comportamento à fadiga do material é um fator de grande importância em qualquer projeto estrutural que esteja submetido a carregamentos cíclicos. Assim, é bastante desejável um modelo matemático que defina de modo claro e com certa precisão este comportamento. Existe na literatura especializada grande quantidade de equações matemáticas que representam o comportamento à fadiga dos materiais compósitos, porém nenhuma destas equações consegue ser ampla o suficiente para representar satisfatoriamente o comportamento à fadiga de qualquer material compósito. Isto faz com que a busca por um modelo matemático que represente este tipo de comportamento ainda seja um campo de estudo em aberto.

42 Uma boa representação matemática para a análise do comportamento à fadiga deveria considerar, pelo menos, três variáveis, o número de ciclos médio de ruptura do material ( N ), um valor de tensão () e a razão de fadiga (R). É claro que estas variáveis poderiam ser outras, como por exemplo, N, e dois componentes de tensão, como por exemplo, med e a. Uma forma de demonstrar este último caso é representada na Equação (2.6). a f, N (2.6) med Ou seja, segundo a equação acima, a amplitude de tensão é dada em função da tensão média e do número de ciclos. Uma equação que representasse esta função seria extremamente útil, pois a partir dela se poderia obter o Diagrama de Goodman. 2.5.1. Modelos Matemáticos para Definir as Curvas S-N No caso apresentado na Figura 2.9, a curva linearmente logarítmica pode ser representada pela Equação (2.7), na qual N é o número de ciclos médio suportado pelo material até a sua ruptura final e b demonstra a inclinação da curva e consequentemente fragilidade à fadiga do material, de modo que quanto maior for o valor de b menor será a resistência à fadiga do material (Sutherland et al., 1999; Mandell et at., 1997). max 1 b log( N) (2.7) ult Este tipo de simplificação do comportamento à fadiga do material para cada curva S-N pode ser uma vantagem, já que relacionava somente uma constante a cada curva S-N observada. Porém em muitos casos esta equação não representa de modo satisfatório o

43 comportamento do material. Assim, uma generalização da equação 2.7 pode ser usada conforme se verifica na equação 2.8 (Subramanian et al., 1995). max A B log( N) C (2.8) A diferença principal entre a equação (2.7) e a Equação (2.8) está no acréscimo dos parâmetros A e C. Estes parâmetros fazem com que a curva representada pela equação acima se ajuste melhor aos resultados experimentais analisados. Além da equação exponencial, outra equação empírica bastante utilizada para representar os dados da curva S-N é a lei da potência (power law), apresentada na Equação (2.9). A grande vantagem desta equação é a suavização apresentada pela mesma para altos números de ciclos, isto é bastante interessante do ponto de vista teórico, pois se considera que mesmo para um material compósito, que normalmente não possui limite de resistência à fadiga, exista esta suavização da curva S-N após um determinado número de ciclos. A lei da potência apesar de possuir esta vantagem exige um comportamento linear do material em escala log-log, e como este comportamento nem sempre é verificado pode-se utilizar também uma generalização desta equação. Este generalização é apresentada na Equação (2.10) (Philippidis et al., 2002; Wahl et al., 2002). max B a N (2.9) log( ) A B log( N) c (2.10) max Nas Equações (2.9) e (2.10), a 1, A, B e c são parâmetros que devem ser obtidas durante o ajuste da curva. Vale salientar aqui que, como estas equações são empíricas, a

44 aplicação delas deve sempre ser feita considerando o bom senso do projetista. Além disso, apesar da power law possuir algumas vantagens, não necessariamente produz sempre as melhores respostas em todos os casos. Os modelos matemáticos representados pelas Equações (2.8) a (2.10) apresentam bons resultados quando comparados aos dados experimentais; porém quando se muda o valor de R se faz necessário à realização de novos ensaios para a obtenção de novas constantes. Outro fato importante a ser mencionado é que apesar destas equações relacionarem a tensão máxima em função do número de ciclos elas também podem ser utilizadas para outros componentes de tensão como, por exemplo, a amplitude de tensão σ a. 2.5.2. Modelos Matemáticos para Construção do Diagrama de Goodman Apesar das equações expostas no item 2.5.1 resolverem parte do problema na Equação (2.7), elas não conseguem resolvê-lo como um todo, já que não adicionam mais uma variável independente na equação. Esta variável poderia ser ou a razão de fadiga ou de preferência a tensão média. Uma solução que é bastante utilizada na literatura (Beheshty et al. 1999; Degrieck, 2001; Harris, 2003) é a equação desenvolvida por Adam et al. (1989), apresentada na Equação 2.11. Porém para utilizá-la, se faz necessário primeiro o modelamento das curvas S-N conforme foi apresentado no item anterior, e a partir destes resultados obtêm-se as constantes f, u e v para a construção do Diagrama de Goodman Normalizado (Figura 2.14). a med UCS med f 1 UTS UTS UTS UTS u v (2.11)

45 Na Equação (2.11), UTS é o limite de resistência à tração do laminado, UCS é o limite de resistência à compressão e f, u e v são parâmetros que variam de acordo com o número de ciclos médio de falha (N) do laminado. É importante salientar que, para o mesmo valor de número de ciclos (N), os valores de f, u e v são constantes e a curva formada por esta equação limita a região em que o laminado poderá ser carregado suportando um determinado número de ciclos antes da sua ruptura. Figura 2.14 Diagrama Goodman normalizado criado a partir de Equação (2.11) (Beheshty et al. 1999). O maior problema relacionado à Equação (2.11) está na necessidade da utilização de uma grande quantidade de curvas S-N para a obtenção de um resultado satisfatório (Freire Jr. et al. 2009). Além disso, outro ponto desfavorável a este tipo de modelo está na falta de correspondência que pode existir entre cada curva de vida constante, isto ocorre principalmente quando a quantidade de curvas S-N é pequena, fazendo com que este equacionamento não represente de modo satisfatório o comportamento à fadiga do material.

46 Unindo os resultados apresentados no item anterior (equações utilizadas para o modelamento das curvas S-N e a Equação (2.11), pode-se dizer que o comportamento à fadiga de uma grande quantidade de materiais compósitos possui solução pré-estabelecida. Porém, conforme se disse anteriormente, o modelo apresentado na Equação (2.11) possui vários problemas de aplicação. Além disso, outro problema está relacionado à variação dos parâmetros: u, f e v em função do número de ciclos. Isso faz com que seja necessário a obtenção destes valores para cada caso apresentado. Pensando desse modo, Gathercole desenvolveu a Equação (2.12), a partir da Equação (2.11), com o intuito de relacionar tanto a tensão média quanto o número de ciclos para a obtenção da amplitude de tensão, conforme se propõe na Equação (2.6) (Gathercole et al., 1994 apud Shokrieh et al., 1997). a med UCS med f 1 UTS UTS UTS UTS A log 1B1 N (2.12) Na Equação (2.12), f, A 1 e B 1 são constantes que devem ser obtidas durante o ajuste das curvas. Por esta equação percebe-se que o autor simplesmente considerou que u e v são fatores de igual valor e que estes possuíam uma relação logaritmamente linear com o número de ciclos (N), conforme é apresentado na Equação (2.13). u v A B log( N) 1 1 (2.13) O maior problema da Equação (2.12) se encontra justamente na consideração citada, na equação 2.18 pois para u possuir uma relação linear com o número de ciclos, necessário se

47 faz que os dados experimentais também possuam esta relação. O próprio autor considera este fato e apresenta uma relação que deve ser satisfeita, como mostra a Equação (2.14). ln a f UTS u log A B log N ln 1 med UCS med UTS UTS UTS 1 1 (2.14) Para o caso do material compósito analisado por este autor, esta relação é satisfeita, conforme se mostra na Figura 2.9. Porém, na maioria dos casos esta relação não ocorre (Frere jr. et al., 2005). Mais recentemente, Harris (Harris, 2003) desenvolveu outra equação empírica baseando-se também na Equação (2.11), conforme é mostrado na Equação (2.15). Nesta equação se considera que existe uma relação entre as constantes u, f e v e o número de ciclos, representada na Equação (2.16). Apesar da Equação (2.14) possuir maior flexibilidade do que a Equação (2.12) para se adequar aos dados experimentais, percebe-se novamente que é necessário que os dados experimentais se ajustem à equação apresentada. Segundo o autor, a Equação (2.15) consegue representar bem uma variedade de materiais compósitos feitos de fibra de vidro e fibra de carbono, porém, conforme cita o próprio autor, deve ser estudada para outros casos.

48 Figura 2.15. u em função do número de ciclos N, apresentado na Equação (2.14) (Shokrieh et al., 1997). p2log N u2log N v2log N A2 log N 1 (2.15) a UCS med UCS med ultt UTS UTS UTS UTS p2 log N UCS f A2 log N u u2 log( N) v v2 log( N) 2.16 UTS Na Equação (2.15), A 2, p 2, u 2 e v 2 são parâmetros que devem ser obtidas durante o ajuste das curvas. Vale ressaltar que a representação matemática apresentada nas Equações (2.12) e (2.15), e de, para alguns casos, elas representarem de modo bastante satisfatório os resultados experimentais analisados. Estas equações possuem o inconveniente de exigirem que os

49 resultados experimentais obtidos se ajustem a uma destas equações apresentadas, o que nem sempre ocorre. Em verdade, o que sempre deve acontecer é justamente o contrário, ou seja, a teoria deve se adequar à experiência e não a experiência à teoria. 2.6. Formulação do Modelo Piecewise non-linear (PNL) Recentemente, Vassilopoulos et al. (2010) desenvolveram um modelo que se propõe a obter o comportamento à fadiga de um compósito com poucas curvas S-N. Este modelo será apresentado neste item. A princípio o autor demostra matematicamente que existe uma relação entre a tensão média ( m ), razão de fadiga (R) e a amplitude de tensão ( a ), representada na equação 2.17. Esta equação pode ser facilmente obtida a partir das equações (2.1) (2.5), Pág. 32 (Souza, 1982). a 1 R m (2.17) 1 R Com esta equação demonstra-se que dois desses parâmetros são suficientes para descrever o comportamento do material já que o terceiro possa ser facilmente encontrado através da Equação (2.17). Logo após dividiu-se o Diagrama de Vida Constante em quatro regiões que são: região C-T compreendida entre - R -1, região T-C compreendida entre -1 R 0, região T-T compreendida entre 0 R 1 e IV região C-C compreendida entre 1 R +. Estas Regiões podem ser verificadas na Figura 2.7. Pág. 34. Com isto utilizou-se os dados de duas curvas S-N (R = 0,1; 10) ou três (R = 0,1; -1; 10). Aescolha das curvas com R = 10 e R= 0,1 se realizou devido as mesmas serem próximas de R= e R = 0 (Figura 2.7) e servirem de referência para a divisão das regiões do gráfico.

50 Desse modo, desenvolveu-se equações com o intuito de representar cada uma das regiões anteriores citadas onde suas condições de contorno (neste caso seus extremos) são definidos pelos dados experimentais das curvas S-N. 2.18. Assim, para a região C-C e C-T (para -R -1e 1R +utiliza-se a Equação 1 R A C C ou C T C C ou C T a R B R² (2.18) Dentro da região C-C e C-T pode-se definir como condições de contorno três partes R = distintas, são elas para as razões de fadiga R= -1, onde a = -1 a ; R = ±, onde a = ± a e para R = 1 onde a = 0 e m = UCS. O valor sobrescrito -1 e ±corresponde aos valores de a analisado para essa parte, como não é comum o uso de valores para R = ±, utiliza-se neste caso R = 10. Assim, para as constantes verificadas na Equação (2.18) tem-se os seguintes valores, onde se define os parâmetros A I, B I, A IV e B IV (Vassilopoulos et al., 2010) : A C C ou C T (2.19) a (2.20) 2 R1 a B C C a UCS BC T (2.21) a 2 Na região T-C e T-T (para -1 R 0 e 0 R 1utiliza-se a Equação (2.22).

51 a 1 R n A R B T C ou T T T C ou T T (2.22) onde temos n igual a 1 para a região T-C e igual a 3 para a região T-T. Neste caso, ter-se-á as seguintes condições de contorno; para R = 1, se usará m = UTS e para R = -1, se usará a = R=-1 a. Quando não há referência da curva S-N entre R = -1 e R = 1. A implementação das condições de contorno acima mencionados resultam em: (2.23) (2.24) No entanto, quando a curva S-N em R = 0 é considerada, as condições de contorno são complementadas por a = a R=0 para R = 0. Ao aplicar as condições de contorno para as regiões T-C e T-T na Equação (2.22), os parâmetros A T-C, B T-C, A T-T, B T-T obtidos são: A 1 2 (2.25) T C R 0 R 1 a a A TT 2 1 (2.26) UTS R0 a B T C ou T T R0 a 1 (2.27) De maneira similar às regiões C-C e C-T, quando a curva R = 0,1 é usada em vez de R = 0, portanto as condições de contorno são modificadas. Para mais detalhes sobre este modelo pode-se consultar o seguinte trabalho da literatura (Vassilopoulos et al., 2010). É importante comentar que o modelo PLN apesar de apresentar bons resultados para

52 os materiais analisados pelo autor, não foi devidamente avaliado para outros materiais, como por exemplo, compósitos à base de fibra de carbono, onde uma das propostas dessa tese é avaliar os resultados deste modelo em comparação ao modelo de rede modular para uma mais ampla gama de materiais compósitos. 2.7. Modelos Utilizando Redes Neurais Artificiais Um outro caminho a ser seguido na representação de vida à fadiga, é o uso de RNA s onde vários autores (Lee et al., 1999; Al-Assaf et al., 2001; El-Kadi et al. (a), 2002; El- Kadi et al. (b), 2002, Zhang e Friedrich, 2003; Freire jr et al.,2005;vassilopoulos et al., 2007; Freire jr et al.,2009; Al-Assadi et al.,2009, Vassilopoulos et al., 2010) começaram a utilizar redes neurais artificiais para modelarem este tipo de comportamento. Em um trabalho pioneiro, Lee et al. (1999) enumerou os motivos pelo qual se pode modelar o comportamento à fadiga de um material compósito através de redes neurais, conforme se apresenta a seguir: 1) Existência de uma base de dados relacionada ao material; 2) Não existe ou não se conhece uma solução precisa para o problema, porém existem aproximações matemáticas; 3) Os dados experimentais obtidos são incompletos, com alta dispersão e complexos. O comportamento à fadiga em materiais compósitos possui estas características, isto o qualifica como de grande potencial para análise através de redes neurais. No trabalho realizado pelo autor (Lee et al., 1999), utiliza-se uma base de dados bastante ampla, com materiais compósitos fabricados com fibra de vidro e fibra de carbono. A arquitetura utilizada na rede neural constitui-se de um perceptron de múltiplas camadas treinada com o algoritmo de retropropagação. Os treinamentos feitos pelo autor são bastante

53 variados e relacionam tanto os componentes de tensão e a razão de fadiga ( a, max, med e R) como também a probabilidade de falha do material e variação da carga durante o ensaio (fadiga cumulativa), com o objetivo de obter o número de ciclos de falha (N). Analisando a contribuição dada por Lee et al. (1999) a este campo de atuação, percebe-se que a relevância deste trabalho se deve, principalmente, a vasta gama de treinamentos feitos pela RNA, dando uma ideia inicial da possível aplicação de Redes Neurais no modelamento do comportamento à fadiga de materiais compósitos. Outra contribuição importante se deve ao mesmo demonstrar a necessidade da utilização de pelo menos três razões de fadiga durante o treinamento para a obtenção de um erro pequeno em relação a todo o conjunto de dados. Porém, um dos pontos negativos do trabalho de Lee, se verifica nos resultados obtidos pela arquitetura utilizada, estes resultados normalmente são pouco apreciáveis e, nos melhores casos, se aproximam dos resultados obtidos por outros métodos já conhecidos (Lee et al., 1999). Posteriormente, Al-Assaf et al. (2001) publicaram um trabalho bem menos ambicioso do que o de Lee et al. (1999). Nesse trabalho, o mesmo utilizava como base de dados um material compósito na forma de lamina (resina epóxi com fibra de vidro), que foi ensaiado à fadiga na direção da fibra e em direções variadas (19, 45, 71 e 90 ). As seguintes razões de fadiga foram utilizadas: R = -1, 0 e 0,5. A arquitetura usada foi de uma RNA de perceptron de múltiplas camadas treinada com o algoritmo de retropropagação, na qual o autor testou varias entradas na rede e utilizou na arquitetura da rede de uma até três camadas ocultas, sempre com o objetivo de obter o número de ciclos de falha (N) como resposta da rede. No trabalho de Al-Assaf et al. (2001), obtiveram-se resultados bastante significativos, porém pode-se dizer que uma das contribuições mais significantes deste trabalho para aplicação de redes neurais neste campo de estudo foi o tratamento prévio dos dados de

54 treinamento. Nele o autor trabalha com o logaritmo do número de ciclos, facilitando consequentemente o treinamento da RNA. Outra contribuição interessante desse trabalho foi à observação de que a utilização de mais de uma camada oculta não melhora os resultados obtidos. Com o intuito de obter melhores resultados para os dados apresentados por El-Kadi et al. (a), 2002, desenvolveram um trabalho analisando a possibilidade de aplicação de outros tipos de arquiteturas de rede, tais como redes RBF, redes de análise de componente principal e redes modulares. Neste trabalho, verificou-se pela primeira vez a grande potencialidade da utilização de redes modulares no treinamento do comportamento à fadiga de materiais compósitos. E foi justamente para este tipo de arquitetura que o autor obteve os melhores resultados no modelamento à fadiga para este tipo de material. O maior problema de todos estes trabalhos é a não utilização da validação cruzada e a falta de apresentação de resultados fora da região de treinamento. Uma RNA tem grande facilidade de memorização dos dados apresentados quando se faz um treinamento excessivo over-fitting, porém isto não significa necessariamente que a RNA generalizou e se apresenta apta para modelar o comportamento do material. Além disso, outro ponto desfavorável é a falta de utilização do conhecimento prévio que pode ser incorporado ao treinamento, como por exemplo, a utilização dos dados de carregamento estático. Pensando desse modo, Freire jr. (2005) desenvolveu uma arquitetura específica de RNA que possui o intuito de se utilizar do conhecimento prévio do comportamento à fadiga do material, na qual se divide o problema em dois módulos, um módulo específico para tração e outro para as cargas de compressão. Esta arquitetura modular se mostrou bastante robusta e confiável para os três materiais à base de fibra de vidro analisados durante a pesquisa, porém ela não foi testada para outros materiais, e especificamente não foi testada para compósitos à base de fibra de carbono.

55 Outro ponto ainda não avaliado é o uso desta RNA modular para dados analisados estatisticamente, verificando sua aplicação também nestes casos. É neste ponto que esta tese propõe ampliando as possibilidades de aplicação das redes modulares não só para compósitos à base de fibra de vidro, mas também à base de fibra de carbono, como também comparando os seus resultados com outros modelos matemáticos mais recentes (PNL), bem como, fazer um estudo estatístico de comportamento à fadiga e verificar a aplicação de Redes Modulares para estes casos. 2.8. Análise Estatística do Comportamento à Fadiga de Materiais Compósitos Um outro parâmetro que deve ser analisado durante a avaliação do comportamento à fadiga de um material compósito é a probabilidade de falha do mesmo, já que o comportamento de falha do material não pode ser modelado com uma equação determinista. Pois um mesmo material sob condições idênticas falhava por fadiga sob diferentes e imprevisíveis instantes. Pensando desse modo, se faz necessário o uso de um modelo de probabilidade adequado à falha e neste caso utiliza-se na literatura a equação de probabilidade (Gathercole et al., 1994) de Weilbull para este intuito. Assim há necessidade de uma revisão deste conteúdo para aplicação futura nos problemas relacionados à fadiga de compósitos.

56 2.8.1. Histórico Por mais de meio século a distribuição de Weibull tem atraído a atenção de trabalhos científicos de varias áreas como: engenharia, física, economia, dentre outras. Muitos artigos científicos foram publicados tendo como base esta distribuição (Gathercole et al., 1994, Harris et al. 1997, Lee et al., 1997, Wang et al., 1997, Philippids e Vassilopoulos, 2000, Fok et al., 2001, Haris et al., 2003, Sakai et al., 2006, Sakai et al., 2010, Castilho et al., 2006). Juntamente com a distribuição normal, a distribuição de Weibull é uma distribuição bastante utilizada nas engenharias, principalmente quando se deseja avaliar falhas de estruturas ou por fadiga (Fisher 1928 apud Wang 1997). A distribuição de Weibull foi proposta originalmente por Fisher e Tippett em 1928, no estudo de valores extremos. Posteriormente, foi também desenvolvida de modo independente pelo Físico Sueco Waloddi Weibull em 1939 em seus estudos sobre falha em materiais. Após o fim da II Guerra Mundial, as pesquisas no período pós-guerra deram ênfase às analises de resistência dos materiais, o que resultou na associação do nome de Waloddi Weibull a esta distribuição (Bailey e Dell, 1973). Em 1951, Weibull publicou um artigo descrevendo brevemente a origem desta distribuição e as bases de sua derivação, identificando aplicações das mais variadas nos diversos exemplos citados pelo autor, tanto da área biológica quanto da engenharia. Weibull utilizou a teoria do elo mais fraco de uma corrente para descrever o comportamento da resistência mecânica onde um ponto com menor resistência pode determinar a resistência de todo um corpo. Assim, quando se medir a resistência esta será sempre o menor valor de todo conjunto de valores possíveis. Havendo repetição dos ensaios, outro conjunto de valores mínimos será obtido. Dessa forma, a resistência medida pode ser considerada um valor aleatório.

57 2.8.2. Função de Distribuição de Weilbull A distribuição de Weibull talvez seja a distribuição mais utilizada nos modelos de tempo de vida útil (Dantas, 2008). Sendo comumente aplicado em tempo de vida útil ou durabilidade de itens manufaturados, além de vários outros modelos como: rolamentos de esferas, componentes automobilísticos, isolamento elétrico, aplicações médicas e biológicas. A equação de Weibull descreve tanto os casos em que a taxa de falha é crescente, decrescente ou constante. Considerando-se função cumulativa de Weibull na forma da equação Eq. 2.28, onde P(x) é a probabilidade de falha considerando uma variável aleatória x. Weibull propôs que (x) tem que ser uma função positiva não decrescente. A distribuição proposta por Weibull é a descrita na Eq. 2.29. ( x) 1 e P x (2.28) P x xx 0 1 e (2.29) Onde P(x) é a função de distribuição cumulativa (fdc) de falhas, x é a variável a ser estudada ( x 0 x < ), x 0 é o parâmetro de localização (x 0 0), β é o parâmetro de escala (β > 0) e α é o parâmetro de forma (α > 0).

58 2.8.2.1 Distribuição de Weilbull com Três Parâmetros Matematicamente, atuação de distribuição de probabilidade (fdp) de Weibull é definida de acordo com a Equação 2.30. Na qual, esta função é dada derivando-se a função de distribuição cumulativa (fdp) apresentada na equação 2.30. x x 1 0 x x 0 0 0 f x, x,,.. e ; x x, 0 e 0 (2.30) Do ponto de vista estatístico mudando x 0 enquanto os demais parâmetros são mantidos constantes (β = 1; α = 2) resulta em um movimento paralelo da curva de densidade sobre a abscissa, Figura 2.15. Aumentar o valor de x 0 causa um movimento da densidade para a direita, assim x 0 também é chamado de parâmetro de deslocamento ou parâmetro de translação (Rinne, 2009).

f (x ;x 0,,) 59 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 x 0 = 0 x 0 = 0,5 x 0 = 1 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 Figura 2.16 Densidade de Weilbul com diferentes valores para o parâmetro de localização (Rinne, 2009). x O segundo parâmetro β (parâmetro de escala) tem o domínio (0,) e é calculado na mesma unidade que a variável x. Mudando β enquanto os demais parâmetros são mantidos constantes se altera a altura do pico da curva (Figura 2.17) e a localização deste pico, de modo que quando o valor da variável x é igual ao valor de β tem-se uma probabilidade acumulada de aproximadamente 63,21 % (Rinne, 2009).

60 2,0 1,8 f (x; x 0,,) 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 = 0,5 = 1 = 2 0,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 Figura 2.17 Densidade de Weilbul com diferentes valores para o parâmetro de escala β e os outros parâmetros constantes (x 0 = 0; α = 2) (Rinne, 2009). x O terceiro parâmetro α tem o domínio (0,) é adimensional e chamado de parâmetro de forma. O parâmetro α causa mudança na curvatura do gráfico conforme pode ser verificado na Figura 2.18. Uma outra forma de interpretar o valor de α é através do conceito de desgaste ou ainda taxa de falhas. A taxa de falha (Z(x)) é definida pela divisão entre a função de distribuição de probabilidade (fdp) e a função de distribuição cumulativa (fdc) de confiabilidade F(x), que para a função de probabilidade de Weibull é representada pelas equações 2.31 e 2.32, respectivamente. F x 1 P( x) e xx 0 (2.31) Z( x) f( x) Fx ( ) x x 0 1 (2.32)

61 É interessante comentar que a taxa de falha Z representa o quanto o material apresenta desgaste durante o uso. Na equação 2.32 é fácil perceber que se α é igual a 1 tem-se uma taxa de falha constante e com isso a equação 2.30 se torna uma distribuição de probabilidade exponencial. Esse resultado significa dizer que não ocorre desgaste durante o uso de modo que enquanto o material não falhar, pode-se dizer que ele é tão bom quanto novo. Esse tipo de comportamento é verificado, por exemplo, para componentes elétricos que normalmente não possuem desgaste durante o uso, como resistores, fusíveis e transistores (Meyer, 1995). 2,5 f (x; x 0,,) 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 Figura 2.18 Densidade de Weilbul com diferentes valores para o parâmetro de forma e com os outros parâmetros constantes (x 0 =0; =1) (Rinne, 2009). x

62 2.8.2.2. Distribuição de Weilbull com Dois Um Parâmetros Para a maioria das aplicações da equação de Weibull, normalmente se utiliza a equação com dois parâmetros, fazendo o parâmetro de localização x 0 nulo. Tendo-se, desse modo, a Equação (2.33) representando sua fdc (função de distribuição cumulativa) (Rinne, 2009; Yao e Himmel, 1999; Meyer, 1995). 1 P x x e (2.33) Conforme foi dito anteriormente, outra possibilidade ocorre quando α é igual a 1. Neste caso, tem-se a distribuição cumulativa com um parâmetro que é a função de distribuição cumulativa (fdc) exponencial demostrada na Equação (2.34). 1 x P x e (2.34) É importante comentar que o uso da equação de três parâmetros é desnecessário (Young e Ekvall, 1981), principalmente, se a variável envolvida tiver um domínio de zero até infinito, como é o caso da vida por fadiga. Isto ocorre porque não há uma razão física para impor um valor finito mínimo, com o parâmetro de localização x 0, já que existe sempre a probabilidade, por menor que seja, de ocorrência de falha a qualquer tempo de vida útil do material. Além disso, com o uso de x 0 = 0 o parâmetro de forma () indica a dispersão dos dados em relação a um valor central, que pode ser representado pelo parâmetro de escala ().

63 Porém, utilizando-se quaisquer das equações citadas anteriormente (equações 2.29, 2.33 ou 2.34), se faz necessário ajustar os resultados experimentais às curvas de probabilidade. Neste sentido o método que tem os parâmetros da equação e é amplamente utilizado é o método da máxima verossimilhança já que este método apresenta resultados bastante robustos, porém este método só produz resultados confiáveis com uma quantidade de dados superior a 20 (Papargyris, 1998). Para valores inferiores a 20 deve-se escolher preferencialmente um método não parametrizado, ou seja, que não utilize os próprios parâmetros (constantes, e x 0 ) como ponto de análise dos resultados. Pensando desse modo, serão discutidos nesta tese dois métodos para obtenção dos parâmetros de Weilbull: o método da máxima verossimilhança (MLE) e o método de Thiel-Cacciari, o primeiro aplicado a conjuntos de dados maiores do que 20 e o segundo aplicado a conjunto de dados entre 5 e 20 valores. Todos os dois serão discutidos somente para a equação de Weibull de dois parâmetros (equação 2.33) 2.8.3. Método da Máxima Verossimilhança (maximum-likelihood estimation- MLE) Este método se baseia na seguinte linha de raciocínio, baseado nos resultados obtidos deve-se determinar qual dos parâmetros dentre todas as possibilidades possíveis tem maior probabilidade de gerar a amostra avaliada. Em outras palavras para o caso de distribuição de Weibull, deve-se escolher quais valores de e possuem maior semelhança (verossimilhança) com a amostra analisada. Com isso, a função de verossimilhança é definida pelo produtório das probabilidades da equação 2.30 e apresentado em 2.35 (Meyer, 1995).

64 NT L, f ( x ;, ) (2.35) i1 i Na equação 2.35 e 2.38 NT é o número total de elementos. Para efeitos de análise de dados é muito comum o uso do logaritmo natural da função de verossimilhança, demonstrado na equação (2.36). Desse modo, ao invés de se trabalhar com produtório pode se trabalhar com somatórios simplificando a análise dos dados. NT ln L, ln f x;, (2.36) i1 Conforme se disse anteriormente, como se deseja a máxima verossimilhança dos dados em relação à curva de probabilidade deve-se derivar a equação (2.36) em função de e e igualar a zero (Yanulevskaya e Geusebroek, 2009), desse modo pode-se obter os valores de e através das equações 2.37 e 2.38. NT i1 N i1 ln i i NT NT N i N 1 1 ln Ni 0 (2.37) NT i1 NT 1 1 NT Ni (2.38) i1 Conforme se verifica, o método da máxima verossimilhança se utiliza de modo direto dos parâmetros da equação em conjunto com os dados para poder obter a melhor curva de probabilidade, e por isto possui o nome de método paramétrico.

65 Este método é bastante adequado para conjunto de dados elevados (maior que 20), porém pode não apresentar resultados satisfatórios para um conjunto de dados pequeno, neste caso é interessante se utilizar um método não parametrizado como o apresentado no item 2.8.4. 2.8.4. Método Não Parametrizado de Thiel-Cacciari Esse é um método não paramétrico desenvolvido por Cacciari et al. (2002), para obtenção dos parâmetros (parâmetro de forma) e (parâmetro de escala) da distribuição de Weilbull. Este método possui a capacidade de estimar os valores destas constantes de modo robusto com uma amostra de dados reduzida (entre 5 e 20). O método consiste em, a partir da Equação 2.39, obter os valores de probabilidade cumulativa discreta de Bernoulli e criar pares de dados, sem repetição, entre o valor que se deseja avaliar (número de ciclos) e sua probabilidade de falha na forma {ln(ni), ln[ln(1/(1-pi))]}, obtendo-se no fim M pares, na qual M é dado por M = NT(NT-1)/2, onde NT é o número total de dados utilizado. P i 0,3 NT 0,4 (2.39) Na Equação (2.39), i é a posição do elemento verificado e NT o número total de elementos. Com a obtenção dos pares de dados é possível se obter um conjunto de valores de m, de tamanho total M, a partir da Equação (2.40). m 1 1 ln ln ln ln 1 P i 1 P j ln X ln( X ) i j (2.40)

66 Ordenando os valores de m em ordem crescente, deve-se escolher entre os valores classificados o maior valor inteiro k, de modo que k < p*(m+1) (onde p* é o percentil pivotal que depende do número total de amostras e é descrito na Tabela 2.1) e a partir desta posição é possível encontrar o valor de com a Equação (2.41). p p * k 1 k k1 k pk 1 pk (2.41) Conforme a Tabela 2.1 percebe-se que este método foi concebido para ser utilizado somente para um conjunto total de dados pequeno (entre 5 e 20) e para um conjunto de dados superior a isto deve-se utilizar o método da máxima verossimilhança. Tabela 2.1 Valores do percentil pivotal p * do parâmetro de forma para diferentes valores de NT. NT M p * 5 10 0.4510 6 15 0.4509 7 21 0.4529 8 28 0.4551 9 36 0.4562 10 45 0.4571 11 55 0.4589 12 66 0.4596 13 78 0.4610 14 91 0.4616 15 105 0.4623 16 120 0.4625 17 136 0.4635 18 153 0.4645 19 171 0.4648 20 190 0.4652

67 Onde o percentil p k possui formulação demonstrada na Equação (2.42). p k k M 1 (2.42) A partir do valor de obtêm-se os valores de i para cada elemento analisado, a partir da Equação (2.43) e com este resultado calcula-se a média destes valores, através da Equação (2.44), obtendo-se o parâmetro. N i ln 1 i 1 P i (2.43) NT i1 NT i (2.44)

Capítulo III Metodologia

69 3. Metodologia Este capítulo possui o objetivo de apresentar a metodologia utilizada nos modelos estudados, bem como, os materiais avaliados durante a pesquisa. Assim, se demonstrará inicialmente os equacionamentos possíveis de serem usados na análise da probabilidade à fadiga através das curvas S-N de probabilidade, bem como a arquitetura de RNA aplicada para avaliar o comportamento global do comportamento à fadiga dos materiais compósitos. O fluxograma da Figura 3.1, ilustra a metodologia utilizada na determinação do diagrama de vida constante. Figura 3.1. Fluxograma metodologia utilizada na determinação do diagrama de vida constante na análise de fadiga.

70 3.1. Materiais Obtidos da Literatura Nesta tese utilizou-se dos seguintes materiais com nomenclatura C10, C12, DD16, HTA-913, IM7-977, MAT(0) 2, T800H-3631, T800-5245, QQ1 e QQ1T como base de dados para validação dos modelos apresentados. Dentre os materiais citados anteriormente o C10, C12, DD16, QQ1, QQ1T e o MAT(0) 2 são de fibra de vidro e os materiais HTA-913, IM7-977, T800H-3631 e T800-5245 possuem a fibra de carbono como reforço do compósito. Os materiais C10 e C12 são materiais com 10 e 12 foram confeccionados industrialmente pelo processo de laminação manual (hand-lay-up), com resina de poliéster insaturada ortoftálica e reforço de fibra de vidro-e nas formas de manta (5 cm, 450 g/m²) e tecido têxtil bidirecional (450 g/m²). Tais laminados possuem a seguinte configuração (stacking sequence) C10 [M/T/M/T/M] s, possuindo 24,6% de volume de fibra e o C12 [M/T/M/T/M/M/T/M/T/M/T/M], com 24,9% de volume de fibra. (Freire Jr., 2005). O plástico reforçado com fibra de vidro obtido que possui a sigla DD16 possui com 36% de volume de fibra, e foi fabricado pelo processo de moldagem com transferência de resina, cuja matriz é orto-poliéster e a sua sequência de empilhamento é (90/0/±45/0) s, nas camadas à 0 e 90 possui tecido de fibra de vidro do tipo D155 (527 g/m 2 ) e à ± 45 possui tecido do tipo DB120 (393 g/m 2 ). O material denominado de MAT(0) 2 (Mandell J. F. et al, 2010) trata-se de um plástico com fibra de vidro com duas camadas ensaiado no sentido principal da fibra e fabricado na forma de tecido D155 com gramatura de 527g/m² e a matriz é a base de poliéster na qual utilizou-se a COREZYN 63-AX-051 pelo processo de moldagem por transferência de resina, possuindo 48% de volume de fibra de vidro e configuração (0) 2. O material QQ1 tem a seguinte sequencia de empilhamento [±45/0 4 /±45], é feito de

71 resina epóxi vantico 155 com tecido de fibra de vidro (800 g/m²) e 52% de volume de fibra.(mandell J. F. et al, 2010). O material QQ1T possui a mesma configuração do material QQ1, porém é testado na direção transversal em relação à direção principal da fibra (DOE/MSU, 2010). Os materiais HTA-913, IM7-977 e T800-5245 são laminados fabricados em fibra de carbono. No caso HTA-913 com fibra ENKA de alta resistência e matriz epóxi BSL 913. O T800-5245 com fibra Toray de alta resistência a falha, matriz epóxi Narmco epóxi e o IM7-977, com fibra Hercules de elevada resistência a falha e matriz 977. Todos os laminados possuem a seguinte configuração [(±45,0 2 ) 2 ] s com 65% de volume de fibra e fabricados pelo processo de molde fechado (autoclave) (Harris, B. et al, 1997). Por fim, foi utilizado o T800H-3631, que é uma fibra de carbono reforçada unidirecional de resina epóxi com configuração [+45/90/-45/0] 2S (Kawai, Koizumi, 2007). Para melhor conhecimento das configurações, processo de fabricação, entre outros, pode-se consultar a Tabela 1A do apêndice A e a seguinte literatura (Freire jr. 2006; DOE/MSU, 2010; Gathercole, 1994; Harris, B. et al, 1997; Mandell J. F. et al, 2010; Kawai ekoizumi, 2007). 3.2 Curvas S-N de Probabilidade Quando se opta pela análise estatística do comportamento à fadiga em compósito é importante realizar uma quantidade de ensaios para as várias condições de níveis de tensão que o material pode ser submetido, na qual, se verifica na literatura (Ross, 1996) a realização de no mínimo cinco corpos de prova para cada nível de tensão desejada.

72 Na prática, a maioria dos pesquisadores (Castilho, 2006; Sakai et al., 2006; Sakai et al. 2010; Vassilopoulos et al. 2008) prefere trabalhar com uma solução onde se alia a equação de probabilidade de Weilbull a equação da curva S-N, obtendo-se assim uma curva S-N de probabilidade, a junção feita por estes pesquisadores normalmente é feita para a lei de potência restrita (equação 2.10, página 43). Como consequência está se considerando que o comportamento probabilístico de falha para uma determinada razão de fadiga é constante (o valor de e da equação de Weibull é o mesmo para todos os níveis de tensão), e pode-se diminuir o número de ensaios realizados na análise do material, diminuindo-se o custo da análise das propriedades. Apesar de normalmente se aliar a equação de probabilidade à lei de potência restrita, não existe um estudo que demonstre que esta é a melhor opção na análise da probabilidade à fadiga, já que existem pelo menos quatro equações que servem para modelar o comportamento da curva S-N (equações 3.7, 3.8, 3.9 e 3.10), e desse modo, antes de se realizar um modelamento do comportamento probabilístico de falha por fadiga dos materiais compósitos usando uma RNA deve-se inicialmente se verificar qual destas equações unidas com o modelo de probabilidade de Weibull representam melhor o comportamento probabilístico à fadiga. Pensando desse modo, se unirá as equações que servem para modelar as curvas S-N (equação exponencial) e lei de potência e suas respectivas generalizações com a função de probabilidade cumulativa de Weibull com dois parâmetros (equação 2.33, página 62), onde para este caso a variável aleatória x seria representada pelo número de ciclos de falha do material (N) dividido pelo número de ciclos médio ( ) representado pelo resultado apresentado pela curva S-N, através da equação 3.1.

73 X N (3.1) N Com esta consideração, é possível reescrever a equação de Weibull em função do número de ciclos médio ( ), obtendo-se a equação 3.2. N N 1 R R ln(1 P) (3.2) Onde os parâmetros R e R são usados no lugar de e para diferencia-los e representar os seus valores para cada curva S-N (cada razão de fadiga). Desse modo, pode-se obter as curvas S-N de probabilidade para as equações exponenciais generalizada (equação 3.3) e restrita(equação 3.5), bem como a lei potência generalizada (equação 3.4) e restrita(equação 3.6), substituindo o valor de, obtendo-se desse modo as equações 3.7 a 3.10, respectivamente. c a A B log N (3.3) log a A B log N c (3.4) a A B log N (3.5) a A B log N log (3.6)

74 1 log ln 1 R c a R N A B P (3.7) 1 log log ln 1 R c a R N A B P (3.8) 1 log ln 1 R a R N A B P (3.9) 1 log log ln 1 R a R N A B P (3.10) É importante comentar que para as equações 3.9 e 3.10 (equações restritas) é possível incorporar a constante R à constante A reduzindo desse modo o número de incógnitas e fazendo com que estas equações se tornem parecidas com as obtidas na literatura (Whitney et al, 1984; Whitney, 1981; Philippidis, 2002). Porém, como este procedimento não pode ser realizado para as equações 3.7 e 3.8 (equações generalizadas) optou-se por manter este valor em todas as análises verificadas. Os valores de A, B, C, R e R para cada material e para cada equação utilizada de todas as razões de fadiga estudadas se encontram nas Tabelas 1A, 2A e 3A do apêndice B para os materiais DD16, IM7-977 e T800-5245, respectivamente.

75 3.3. Arquitetura da Rede Modular Utilizada. 3.3.1. Pré-Processamento do Conjunto de Dados Conforme se apresentou no item 1.4.1.1 o pré-processamento do conjunto de dados no treinamento e validação da RNA é um item que pode decidir entre uma RNA que produza resultados satisfatórios ou não. O motivo da utilização deste procedimento tem o intuito de impedir a saturação dos neurônios da rede e assim evitar uma falta de treinamento adequado ao problema. Um dos métodos para impedir a saturação dos neurônios da rede é através da utilização de dados normalizados, onde os valores do conjunto de dados devem variar entre -1 e +1 ou entre 0 e 1. Além disso, é importante evitar que exista uma concentração de dados em determinada região. O problema da concentração de dados ocorre, por exemplo, para o caso da normalização do número de ciclos, na qual após sua normalização a maioria dos dados se concentraria próxima de 0, conforme se apresenta no exemplo da Figura 3.2 (a). Para solucionar este problema pode-se utilizar o logaritmo do número de ciclos, obtendo-se assim uma melhor distribuição dos dados (Figura 3.2 (b)). A equação que representa o número de ciclos normalizado utilizada neste trabalho é apresentada em (3.11). N log N 7 N nor logn 10 max max (3.11)

a a a max a max 76 1,0 0,9 0,8 0,7 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 N/N max 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 log(n)/log(n max ) (a) Figura 3.2. Distribuição do número de ciclos após a normalização dos dados: (a) normalizado em relação a um valor de número de ciclos máximo (N max ), (b) normalizado após a logaritimização dos dados. (b) Outro fator importante que facilita a generalização no uso da arquitetura de RNA é fazer a normalização do conjunto de dados em relação a elementos conhecidos do ambiente estudado. Para o caso de materiais compósitos, isto poderia ser feito utilizando, por exemplo, os valores do limite de resistência à tração ou à compressão do material. No caso da amplitude de tensão normalizada ( anor ), utilizou-se uma equação relacionada à amplitude de tensão crítica para N = 1 (Equação (3.12)). ( N 1) (3.12) a * ultt ultc anor amax a amax 2 A grande vantagem na normalização da amplitude de tensão usando como parâmetro a amplitude de tensão crítica para N =1 ( * a), está no modo como os dados são apresentados à RNA durante o treinamento. Como * a é o maior valor de amplitude de tensão que pode ser aplicado ao material então a amplitude de tensão normalizada sempre irá variar entre 0 e 1, independente do material compósito analisado. Isto é bastante significativo durante o

77 treinamento de uma RNA, pois facilita a detecção das características relacionadas ao comportamento à fadiga do material, facilitando sua generalização. Ainda com o intuito de ampliar o uso da arquitetura da rede decidiu-se que a tensão média normalizada sempre estaria no intervalo entre -1 e +1. Para tanto, fez-se a normalização destes dados usando o critério exposto em 3.13. med mednor ult UTS se med 0 ult UCS e med 0 (3.13) ult A escolha da equação da lei da potência em detrimento às outras equações que modelam as curvas S-N, deve-se à suavização que esta possui para altos números de ciclos, característica esperada no comportamento à fadiga. É importante salientar que a obtenção das constantes da Equação (3.4) é feita utilizando o método dos mínimos quadrados para os valores médios de número de ciclos ( ). Outro fator importante durante o treinamento da rede é a utilização dos valores dos limites de resistência estáticos de tração e compressão. Além disso, o conjunto de dados utilizado para o treinamento não foi retirado diretamente dos ensaios experimentais, retirou-se este conjunto de dados das curvas S-N, obtidas na Equação (3.4) (lei de potência generalizada) e para a análise a 5% de probabilidade de falha retirou-se os dados da curva S-N de probabilidade representada pela equação (3.8). A grande vantagem no uso dos dois procedimentos acima citados está na obtenção de um conjunto de dados de treinamento muito maior e sem a perda das características do comportamento à fadiga do material.

78 3.3.2. Arquitetura de Rede Modular Utilizada para Modelar à Fadiga Conforme foi discutido no capítulo 1, uma das grandes vantagens da utilização de redes modulares no modelamento de qualquer comportamento físico se deve à estratégia existente neste tipo de arquitetura, que consiste em dividir para conquistar, ou seja, basicamente o que uma rede deste tipo faz é criar especialistas através de treinamentos diferenciados em cada módulo. E com o uso de uma rede de passagem aplica-se pesos à cada módulo, responsabilizando-os em maior ou menor grau pelo resultado geral da rede. Mostrase na Figura 3.3 um diagrama que apresenta como este processo foi utilizado para o modelamento do comportamento à fadiga de materiais compósitos, na qual se utiliza dois módulos. Módulo I mnor g 1 anor N nor Módulo II g 2 Rede de Passagem Figura 3.3. Arquitetura da rede modular utilizada.

79 Cada módulo utilizado na arquitetura proposta neste trabalho consiste em uma rede perceptron de múltiplas camadas com as características demonstradas na Figura 3.4 onde se pode variar o número de neurônios ocultos entre 5 e 25 utilizando a função sigmóide na camada oculta e na camada de saída um neurônio com função linear. Camada de Entrada -1 Camada Oculta Camada de Saída -1 mednor anor N nor Figura 3.4. Modelo de rede perceptron utilizada no trabalho. A arquitetura proposta possui o objetivo de incorporar conhecimento prévio do comportamento à fadiga, já que ela é construída com um módulo especializado no comportamento à fadiga à tração e outro módulo especializado no comportamento à fadiga à compressão do compósito. Esta especialização foi definida na divisão do conjunto de treinamento em dois subconjuntos, conforme se pode observar na Figura 3.5. Nesta figura TRA representa o sub-conjunto de treinamento relacionado aos dados que possuem cargas de tração e COMP representa o sub-conjunto na qual os dados possuem cargas compressivas. Vale salientar que os dados do conjunto de treinamento que possuem carregamento cíclico variável (tração-compressão) são aplicados tanto no sub-conjunto TRA quanto no subconjunto COMP.

80 Conjunto de Treinamento (saída) TRA COMP Conjunto de Treinamento (entrada) TRA COMP Módulo 1 Algoritmo de Treinamento Módulo 2 Algoritmo de Treinamento Figura 3.5. Diagrama de fluxo que demonstra o treinamento da rede neural de 2 módulos proposta nesta tese. O critério de decisão utilizado na divisão dos sub-conjuntos TRA e COMP se apoiou no valor da med normalizada, na qual se obteve o sub-conjunto TRA a partir dos dados do conjunto de treinamento que possuíssem o valor de mednor superior a -0,4 e os dados com valor inferior a 0,4 comporiam o sub-conjunto COMP. Além da divisão do conjunto de treinamento, utilizou-se na rede de passagem (g) as equações apresentadas em 3.14 e 3.15. Conforme se verá a seguir, a utilização destas equações determina a responsabilidade que cada módulo possuíra, dependendo da região de carregamento analisada.

81 g1 1 1 e a 2 (3.14) mednor g2 1 1 e a 2 (3.15) mednor Nas equações acima, g 1 e g 2, representam as saídas da rede de passagem, a 2 representa o parâmetro de inclinação da função sigmóide e mednor representa o valor da tensão média normalizada conforme é mostrado na Equação (3.13). Conforme se mostra nas Equações (3.14) e (3.15), o único fator preponderante para a aplicação dos pesos em cada módulo é o valor normalizado da med, assim consegue-se que exista uma relação direta entre estas equações e o tipo de carregamento aplicado ao material, incorporando desse modo, conhecimento prévio à rede. Para melhor exemplificar o caso, pode-se traçar as curvas de g 1 e g 2 conforme se expõe na Figura 3.6 em função da med normalizada. Através desta figura, percebe-se que se med for negativo g 1 possuirá um valor superior ao valor de g 2 e consequentemente o módulo 1 irá possuir maior responsabilidade para obter um resultado de precisão nesta região do que o módulo 2.

Ganho da rede de Passagem 82 1,0 g 1 g 2 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0 mednor Figura 3.6. Curvas dos ganhos da rede de passagem para uma rede com 2 módulos. Interessante notar, que para o caso onde o carregamento à fadiga é alternado ( mednor = 0), os dois módulos possuem pesos iguais (g 1 = g 2 = 0,5), dividindo-se assim ao meio a responsabilidade para os dois módulos, já que a ruptura do material por fadiga nesta região será influenciada tanto pelas cargas de tração quanto pelas cargas de compressão aplicadas ao material. Para o treinamento da rede modular aqui estudada, utiliza-se os conjuntos de treinamento apresentados na tabela 3.1. Nesta tabela apresenta-se também outras variáveis importantes como o conjunto total de dados e a tensão última à tração (UTS) e à compressão (UCS) destes matérias.

83 Materiais Tabela 3.1 Curvas S-N usadas no treinamento da rede modular (RM). Razão de Fadiga para o Treinamento Total Razão de Fadiga UTS (MPa) UCS (MPa) C10 10; -1,57; 0,1 1,43; 10; -1,57; -1; 0,1; 0,7 116,69-171 C12 10; -1,57; 0,1 1,43; 10; -1,57; -1; 0,1; 0,7 115,25-181,01 DD16 10; -2; 0,1 1,1; 1,43; 2 ; 10; -2; -1; -0,5; 0,1; 0,5; 0,7; 0,8; 0,9 632-400 MAT(0) 2 10; -0,5; 0,1 2; 10; -1; -0,5; 0,1; 0,5 1423,68-599,40 QQ1 10; -2; 0,1 10; -2; -1; -0,5; 0,1; 0,5 868,69-691,89 QQ1T 10; -2; 0,1 10 ;-2; -1; -0,5; 0,1; 0,5; 0,7 148,24-274 HTA-913 10; -0,3; 0,1 10; -1,5; -1; -0.3; 0,1 1270-970 IM7-977 10; -0,3; 0,1 10; -1,5; -1; -0,3; 0,1 1430-900 T800-5245 10; -0,3; 0,1 10; -1,5; -1; -0,6;-0,3; 0,1;0,5 1680-880 T800H-3631 10; -0,681; 0,1 2; 10; -1; -0,68; 0,1; 0,5 781,13-534,27 Vale salientar aqui, que para a avaliação do comportamento à fadiga probabilístico avaliou-se somente os materiais DD16, T800-5245 e o material IM7-977. Durante o treinamento destas arquiteturas verificou-se tanto o comportamento da EMQ (Equação (1.6), página 18) do conjunto de treinamento (EMQ TRE ) quanto do conjunto total de dados (EMQ TOD ), com o objetivo de evitar a memorização dos dados (over-fitting) na RNA. Vale salientar que para as arquiteturas propostas, o cálculo da EMQ na Equação (1.6) o valor de P 1 será igual a 1, já que se terá somente um neurônio na saída da rede ( a ) e os valores de d p1 e z p1 desta mesma equação correspondem aos valores normalizados da amplitude de tensão desejada e a amplitude de tensão obtida pela RNA, respectivamente.

Capítulo IV Resultados e Discussões

85 4. Resultados e Discussões Apresenta-se neste capítulo, os resultados e discussões referente a três itens específicos, porém correlacionados: 1) o estudo entre as quatro equações possíveis de serem utilizadas no modelamento da curva S-N de probabilidade, na qual se faz um comparativo entre estas equações verificando vantagens e limitações das mesmas; 2) um estudo do comportamento durante o treino e uso de uma Rede modular no comportamento médio à fadiga de um compósito, verificando sua robustez e capacidade de generalização bem como a comparação deste modelo com o modelo não linear por partes (Piecewise non-linear- PNL). O intuito desta comparação é a verificação da possibilidade de uso somente do modelo PNL já que o mesmo é um modelo relativamente simples de ser implementado e também é analítico e 3) aplicação de uma rede modular para dados com 5% de probabilidade de falha. 4.1. Modelamento das Curvas S-N de Probabilidade O estudo analisado neste item possui o intuito de verificar a possibilidade de uso das equações exponenciais generalizadas (3.3) e restrita (3.5), bem como a lei de potência generalizada (3.4) e restrita (3.6) no modelamento de curvas S-N de probabilidade. Devido a isto, fez-se um comparativo destas curvas com as probabilidades individuais para cada nível de tensão dos materiais DD16, T800-5245 e IM7-977, devido a estes materiais possuírem pelo menos seis curvas S-N e cinco amostras por nível de tensão. Os valores avaliados bem como os parâmetros da equação de Weibull para

Amplitude de Tensão (MPa) 86 cada caso podem ser verificados nas tabelas 4A, 5A, 6A do apêndice B, respectivamente. 4.1.1. Curvas S-N de Probabilidade Baseada na Equação Exponencial Analisando os resultados obtidos pelas equações, exponencial generalizada (3.7) e restrita (3.10), e comparando estes com os resultados de probabilidade individuais de cada nível de tensão, percebeu-se que as curvas S-N de probabilidade apresentam na maioria dos casos resultados conservadores tanto para a equação generalizada quanto para a equação restrita. Um exemplo pode ser verificado na Figura 4.1 para o material T800-5245 com R = 0.1 analisada com 1 % e 5 % de probabilidade. 700 600 500 400 300 200 100 Dados Experimentais Curva S-N de Probabilidade à 1% Curva S-N de Probabilidade à 5% 1% Probabilidade de Falha para cada Nível de Tensão 5% Probabilidade de Falha para cada Nível de Tensão 0 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 Número de ciclos Figura 4.1. Comparação das curvas S-N de probabilidade com os resultados individuais à 1 e 5 % de probabilidade de falha para o material T800-5245 com R = 0.1. A curva S-N de probabilidade utilizada aqui é baseada na equação exponencial restrita.

Amplitude de Tensão (MPa) 87 Apesar dos resultados conservadores, um problema encontrado na construção das curvas S-N de probabilidade com a equação exponencial foi a obtenção de valores de amplitude de tensão iguais ou inferiores a zero para valores de números de ciclos elevados. Este resultado demonstra que as equações exponenciais (tanto a generalizada quanto a restrita) não podem representar de modo satisfatório o comportamento à fadiga dos materiais compósitos para estes casos. Um exemplo pode ser verificado nas Figuras 4.2 e 4.3 para o material DD16 com R = -0.5 utilizando a equação generalizada (equação 3.7) e a equação restrita (equação 3.9), respectivamente. 400 300 200 100 Dados Experimentais Curva S-N de Probabilidade à 1% Curva S-N de Probabilidade à 5% 1% Probabilidade de Falha para cada Nível de Tensão 5% Probabilidade de Falha para cada Nível de Tensão 0 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 Número de Ciclos Figura 4.2. Comparação das curvas S-N de probabilidade com os resultados individuais à 1 e 5 % de probabilidade de falha para o material DD16 com R = -0.5. A curva S-N de probabilidade utilizada aqui é baseada na equação exponencial generalizada.

Amplitude de Tensão (MPa) 88 400 300 1% Probabilidade de Falha para cada Nível de Tensão 5% Probabilidade de Falha para cada Nível de Tensão Curva S-N de Probabilidade à 1% Curva S-N de Probabilidade à 5% Dados Experimentais 200 100 0 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 Número de Ciclos Figura 4.3. Comparação das curvas S-N de probabilidade com os resultados individuais à 1 e 5 % de probabilidade de falha para o material DD16 com R = -0.5. A curva S-N de probabilidade utilizada aqui é baseada na equação exponencial restrita (equação 3.9). Fazendo uma comparação dos resultados obtidos para as duas equações exponenciais com o número de ciclos obtido para cada nível de tensão individual, considerando a probabilidade de falha de 1 %, 5 % e 10 % (mostrados na tabela 4.1 e Figura 4.4), percebe-se que ocorre um aumento do erro médio quadrático (EMQ) com a diminuição do percentual de probabilidade de falha. Este resultado demonstra que estas equações podem não representar satisfatoriamente o comportamento probabilístico à fadiga do material para baixos valores de probabilidade de falha, apesar de, como foi dito anteriormente demonstrarem resultados conservadores. Os resultados elevados de EMQ do material IM7-977 podem ser atribuídos as suas características construtivas.

89 Tabela 4.1. Erros médios quadráticos para 1%, 5% e 10% de falha das equações exponencial generalizada e restrita para os materiais DD16, IM7-977 e T800-5245 DD16 * IM7 977 * T800-5245 * 1 % 5 % 10 % 1 % 5 % 10 % 1 % 5 % 10 % Exponencial Generalizada 41 20 13 69 69 43 49 35 33 Exponential Restrita 51 30 20 520 280 175 62 33 27 * Os valores indicados devem ser multiplicados por 10-4. Figura 4.4. Erro médio quadrático para 1%, 5% e 10 % de probabilidade de falha das equações exponenciais generalizadas e restrita para os materiais DD16, IM7-977 e T800-5245. Para melhor demonstrar como existe uma diminuição na precisão das curvas S-N de probabilidade exponencial para valores de probabilidade de falha pequenos, pode-se usar como exemplo as Figura 4.5 e 4.6. Estas Figuras representam a dispersão dos resultados obtidos pela curva S-N de probabilidade (equação exponencial generalizada) e as probabilidades individuais de cada nível de tensão (equação 2.33) para 1% e 10 % do material

Curva S-N de Probabilidade (log(n)) 90 DD16, respectivamente. Por estas Figuras percebe-se que os dados são mais dispersos para 1 % do que para 10 % de probabilidade de falha. 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 Função de Distribuição (log(n)) Figura 4.5. Dispersão dos resultados obtidos entre a curva S-N de probabilidade (exponencial generalizada) e as probabilidades de cada nível de tensão para 1 % de falha do material DD16.

Curva S-N de Probabilidade (log(n)) 91 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 Função de Distribuição (log(n)) Figura 4.6. Dispersão dos resultados obtidos entre a curva S-N de probabilidade (exponencial generalizada) e as probabilidades de cada nível de tensão para 10 % de falha do material DD16. Outro ponto importante a ser notado na Figura 4.4 e tabela 4.1 é que para a curva S-N de probabilidade baseada na equação exponencial restrita (equação 3.9) os erros médios quadráticos, em sua maioria, são maiores do que os obtidos pela equação generalizada, este resultado é importante, pois demonstra que o uso de uma generalização representa melhor o comportamento probabilístico à fadiga do material compósito. Analisando especificamente o material IM7-977 obtêm-se resultados insatisfatórios, reforçando que a equação restrita deve ser usada com cautela, pois, apesar de também apresentar resultados conservadores, com valores de número de ciclos inferiores aos obtidos na análise das tensões individuais podem não representar os resultados experimentais, como se pode verificar na Figura 4.7, para o material IM7-977 com R = -0.3.

Amplitude de Tensão (MPa) 92 900 800 700 600 500 400 300 200 100 Dados Experimentais Curva S-N de Probabilidade à 1% Curva S-N de Probabilidade à 5% 1% de Probabilidade de Falha para cada Nível de Tensão 5% de Probabilidade de Falha para cada Nível de Tensão 0 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 Número de Ciclos Figura 4.7. Comparação das curvas S-N de probabilidade com os resultados individuais à 1 e 5 % de probabilidade de falha para o material IM7-977 com R = -0.3. A curva S-N de probabilidade utilizada aqui é baseada na equação exponencial restrita (equação 3.9). Uma explicação para em alguns casos não se obter resultados confiáveis utilizando a equação exponencial restrita ocorre devido ao fato de que os valores da constante C (que é o valor que diferencia as duas equações exponenciais) para a equação exponencial generalizada ser muito superiores a 1 (conforme podem ser visto na tabela 1A) fazendo com que a equação exponencial restrita (Eq. 3.9) não represente satisfatoriamente os dados analisados neste caso.

Amplitude de Tensão (MPa) 93 4.1.2. Curvas S-N de Probabilidade Baseada na Lei de Potência Analisando agora os resultados obtidos pelas equações representadas pela lei de potência (3.8 e 3.10) e comparando com os resultados de probabilidade de cada nível de tensão individuais, verificou-se que como ocorreu para a equação exponencial aqui as curvas S-N de probabilidade também apresentam resultados conservadores, apresentando valores de número de ciclos inferiores aos obtidos na análise de tensões individuais. Um exemplo pode ser verificado para o material DD16 (R = -2) nas Figuras 4.8 e 4.9 para a curva S-N de probabilidade baseada na Lei de potência generalizada e sua equação restrita, respectivamente. 400 300 200 Dados Experimentais 100 Curva S-N de Probabilidade à 1% Curva S-N de Probabilidade à 5% 1% de Probabilidade de Falha para cada Nível de Tensão 5% de Probabilidade de Falha para cada Nível de Tensão 0 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 Número de Ciclos Figura 4.8. Comparação das Curvas S-N de Probabilidade com os resultados individuais à 1 e 5 % de Probabilidade de falha para o material DD16 com R = -2. A Curva S-N de Probabilidade utilizada aqui é baseada na Power Law Generalizada (equação 3.8).

Amplitude de Tensão (MPa) 94 400 300 200 100 Dados Experimentais Curva S-N de Probabilidade à 1% 5Curva S-N de Probabilidade à 5% 1% de Probabilidade de Falha para cada Nível de Tensão 5% de Probabilidade de Falha para cada Nível de Tensão 0 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 Número de Ciclos Figura 4.9. Comparação das curvas S-N de probabilidade com os resultados individuais à 1 e 5 % de probabilidade de falha para o material DD16 com R = -2. A curva S-N de probabilidade utilizada aqui é baseada na power law restrita (equação 3.10). Analisando os resultados, verificou-se que existe uma vantagem no uso das equações 3.8 e 3.10, já que estas equações não apresentam valores de amplitude de tensão iguais ou inferiores a zero, assim, a curva S-N de probabilidade baseada na Lei de potência representa melhor o comportamento à fadiga do compósito que a curva S-N de probabilidade baseada na equação exponencial. Comparando os resultados das equações 3.8 e 3.10 entre si para as probabilidades 1 %, 5 % e 10 % (Tabela 4.2 e Figura 4.10) percebe-se que, como ocorreu para a equação exponencial apresentada no item anterior, ocorre um aumento no erro médio quadrático com a diminuição da probabilidade de falha, demonstrando que estas equações também representam

95 melhor altos percentuais de probabilidade de falha e que para percentuais mais baixos estas equações podem superdimensionar a análise do comportamento probabilístico à fadiga. Tabela 4.2. Erros médios quadráticos de correlação para 1%, 5% e 10% de falha da lei de potência generalizada e restrita para os materiais DD16, IM7-977 e T800-5245 DD16 * IM7 977 * T800-5245 * 1 % 5 % 10 % 1 % 5 % 10 % 1 % 5 % 10 % Power Law Generalizada 47 23 15 73 83 53 47 34 32 Power Law Restrita 110 68 44 740 468 316 102 60 43 * Os valores indicados devem ser multiplicados por 10-4. Figura 4.10. Erro médio quadrático para 1%, 5% e 10 % de probabilidade de falha da Lei de potencia generalizada e restrita para os materiais DD16, IM7-977 e T800-5245. Assim como ocorreu para a equação exponencial, a lei de potência generalizada apresentou menores erro médio quadratico do que a sua equação restrita, um exemplo deste fenômeno pode ser verificado nos gráficos de dispersão demonstrados nas Figuras 4.11 e 4.12

Curva S-N de Probabilidade (log(n)) 96 para o material DD16 com 1 % de falha para a lei de potência generalizada e restrita, respectivamente. 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 Função de Distribuição (log(n)) Figura 4.11. Dispersão dos resultados obtidos entre a curva S-N de probabilidade (Lei de potência generalizada) e as probabilidades de cada nível de tensão para 1 % de falha do material DD16.

Curva S-N de Probabilidade (log(n)) 97 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 Função de Distribuição (log(n)) Figura 4.12. Dispersão dos resultados obtidos entre a Curva S-N de Probabilidade (Lei de Potência Restrita) e as Probabilidades de cada nível de tensão para 1 % de Falha do material DD16. Percebe-se também na tabela 4.2 e Figura 4.13 que para o material IM7-977 modelado com a equação 3.10 (lei de potência restrita) os resultados se apresentam insatisfatórios, diferentemente do que foi obtido pela lei de potência generalizada (equação 3.8). Para melhor exemplificar este resultado pode-se verificar as Figuras 4.13 e 4.14 que comparam a curva S- N de probabilidade baseada na lei de potência generalizada (equação 3.8) com sua equação restrita (equação 3.10) com as probabilidade de cada nível de tensão, respectivamente, para o material IM7-977 com R = -0.3.

Amplitude de Tensão (MPa) 98 1000 900 800 700 600 500 400 300 Dados Experimentais Curva S-N de Probabilidade à 1% 200 Curva S-N de Probabilidade à 5% 100 1% de Probabilidade de Falha para cada Nível de Tensão 5% de Probabilidade de Falha para cada Nível de Tensão 0 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 Número de Ciclos Figura 4.13. Comparação das Curvas S-N de Probabilidade com os resultados individuais à 1 e 5 % de Probabilidade de falha para o material IM7-977 com R = -0.3. A Curva S-N de Probabilidade utilizada aqui é baseada na Power Law Generalizada (equação 3.8).

Amplitude de Tensão (MPa) 99 900 800 700 600 500 400 300 200 100 Dados Experimentais Curva S-N de Probabilidade à 1% Curva S-N de Probabilidade à 5% 1% de Probabilidade de Falha para cada Nível de Tensão 5% de Probabilidade de Falha para cada Nível de Tensão 0 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 Número de Ciclos Figura 4.14. Comparação das curvas S-N de probabilidade com os resultados individuais à 1 e 5 % de probabilidade de falha para o material IM7-977 com R = -0.3. A curva S-N de probabilidade utilizada aqui é baseada na power law restrita (equação 3.10). 4.2. Obtenção de Diagramas de Vida Constante para 5% de Falha Utilizando uma Rede Modular. A partir da curva S-N de probabilidade a 5% de falha fez-se o treinamento e validação de uma Rede Modular considerando somente 03 curvas S-N de probabilidade utilizando a lei de potência generalizada. Como o intuito desta análise é avaliar a robustez e a capacidade de generalização da rede modular (MN), ela se concentrou nos matérias avaliados no item 4.1, que são os matérias DD16, IM7-977 e T800-5245, por estes possuírem uma base de dados mais extensa do que os outros.

100 É interessante ainda comentar que a escolha de 5% de falha decorre de este valor ser o mais utilizado em análise probabilística de falha em materiais de modo geral. 4.2.1. Análise da Robustez e da Capacidade de Generalização da Rede Modular para 5% de Falha Para a análise dos resultados utilizou-se a técnica de validação cruzada, na qual verificou-se o comportamento das curvas de erro médio quadrático do conjunto de treinamento (EMQ TRE ) e do conjunto total de dados (EMQ TOD ). Além da utilização da técnica de validação cruzada que verifica a capacidade de generalização da MN, analisou-se ainda a sua robustez. Na análise das curvas dos conjuntos de treinamento (EMQ TRE ) e do conjunto total de dados (EMQ TOD ) se percebeu: i) o acompanhamento das duas curvas de EMQ com valores aproximados ou na mesma ordem de grandeza; ii) a separação das duas curvas após um determinado número de épocas de treinamento, neste ponto se obteve o valor do EMQ mínimo (EMQ MIN ), este é o menor valor obtido para a curva de EMQ TOD durante todo o treinamento. Após a obtenção de EMQ MIN a curva do conjunto de treinamento (EMQ TRE ) continua a diminuir enquanto que a curva do conjunto total de dados (EMQ TOD ) aumenta e se estabiliza. Apresenta-se na Figura 4.15 um exemplo deste comportamento obtido para o conjunto de treinamento T800-5245.

EMQ 101 0,1 Conjunto Total de Treinamento 0,01 1E-3 1E-4 EMQ mínimo 1E-5 Conjunto de Treinamento (3R) 1000 2000 3000 4000 5000 Épocas de Treinamento Figura 4.15. Curvas de EMQ obtidas durante o treinamento de uma MN. A MN foi treinada com o conjunto de treinamento T800-5245 para 5% de probabilidade de falha. A fim de se analisar a robustez do modelo MN foram feitas análises através dos gráficos de dispersão do erro médio quadrático (EMQ) do conjunto de treinamento com o conjunto total de dados, de modo que quanto maior a dispersão dos dados menor é a capacidade do algoritmo de obtenção de uma solução satisfatória do comportamento modelado. A Figura 4.16 e 4.17 ilustra um exemplo desta dispersão para o material DD16 e IM7-977, mostrando que o modelo MN possui uma dispersão grande e consequentemente não possui uma boa robustez em seus resultados. Já para o material T800-5245 a rede se mostrou robusta conforme se verifica na Figura 4.18, apresentado resultados dispersos somente para uma quantidade pequena de neurônios ocultos (menos do que 10) em algum dos dois módulos. É importante comentar que, diferentemente do que já foi verificado em trabalhos anteriores (Vassilopoulos et al. 2007, Al Assaf et al. 2001, Vassilopoulos et al. 2010), a

102 rede modular (MN) não conseguiu a robustez desejada para o seu uso com uma pequena qualidade de dados. Provavelmente isto ocorreu devido a presença de um novo parâmetro a ser analisado (probabilidade de falha). Outro fator que também pode ter influência no resultado é o equacionamento aplicado à curva S-N de probabilidade (Lei de potência generalizada). Em trabalhos futuros poder-se-á desenvolver uma equação para a curva S-N de probabilidade que represente melhor o comportamento à fadiga probabilístico destes materiais. Apesar de a robustez ter sido inferior à desejada, verificou-se que para os melhores casos os resultados obtidos são satisfatórios encontrando-se erros (EMQ TOD ) similares aos encontrados em trabalhos anteriores (Vassilopoulos et al. 2007, Al Assaf et al. 2001, Vassilopoulos et al. 2010), conforme se pode verificar na Tabela 4.3. Tabela 4.3. Melhores resultados obtidos para cada conjunto de treinamento utilizado a MN treinadas até 5000 épocas. Material Compósito Conjunto de Treinamento Conjunto de Treinamento Conjunto Total de Dados Neurônio Ocultos Épocas de Treinamento EMQ TRE EMQ TOD DD16 3R 0,00005 0,00012 10-10 4293 T800-5245 3R 0,00045 0,00037 21-12 1426 IM7-977 3R 0,00010 0,00030 05-23 4877

EMQ Mínimo (Conjunto Total de Dados) EMQ Mínimo (Conjunto Total de Dados) 103 10-2 10-3 10-4 10-5 10-5 10-4 10-3 10-2 EMQ ( Conjunto de Treimenamento 3R) Figura 4.16. Dispersão do EMQ MIN obtido para o conjunto total de dados durante o treinamento realizado para a arquitetura da rede modular com um conjunto de treinamento DD16. 10-2 10-3 10-4 10-5 10-5 10-4 10-3 10-2 EMQ ( Conjunto de Treimenamento 3R) Figura 4.17. Dispersão do EMQ MIN obtido para o conjunto total de dados durante o treinamento realizado para a arquitetura da rede modular com um conjunto de treinamento IM7-977.

EMQ Mínimo (Conjunto Total de Dados) 104 10-2 Poucos Neurônios em um dos módulos ( < 10) 10-3 10-4 10-5 10-5 10-4 10-3 10-2 EMQ ( Conjunto de Treimenamento 3R) Figura 4.18. Dispersão do EMQ MIN obtido para o conjunto total de dados durante o treinamento realizado para a arquitetura da rede modular com um conjunto de treinamento T800-5245. 4.2.2. Análise dos Melhores Resultados Apresentados Pela Rede Modular A partir das arquiteturas de rede apresentadas na Tabela 4.3 construíram-se os Diagramas de Goodman para cada material compósito analisado, utilizando o conjunto de treinamento T800-5245, IM7-977 e DD16 conforme se apresenta nas Figuras 4.19 a 4.21, respectivamente. Para os Diagramas de Goodman do laminado T800-5245 percebe-se que o maior erro obtido foi para R = -1; -0,6 e -0,3.

Amplitude de Tensão (MPa) 105 1200 1000 800 600 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 R = - 0.6 R = -1 R = -1.5 R = -0.3 R = 0.1 400 R = 10 R = 0.5 200 0-800 -400 0 400 800 1200 1600 Tensão Média (MPa) Figura 4.19. Diagrama de Goodman obtido através da rede modular com um conjunto de treinamento T800-5245. Já os Diagramas de Goodman do laminado IM7-977 percebe-se que os maiores erros obtidos foram para R = 0,1, além dos resultados da MN superestimarem os dados experimentais entre R= -1 e -0,3. Porém para R= -1; -0,3 e 0,1, diferente do que ocorreu com o material T800-5245 a diferença foi menos significativa.

Amplitude de Tensão (MPa) 106 1200 1000 800 600 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 R = -1.5 10 7 R = -1 R = -0.3 R = 0.1 400 R = 10 200 0-1000 -500 0 500 1000 1500 Tensão Média (MPa) Figura 4.20. Diagrama de Goodman obtido através da rede modular com um conjunto de treinamento IM7-977. É importante enfatizar a importância da utilização do compósito DD16 na análise das arquiteturas de rede aqui apresentadas, pois este material possui um grande número de curvas S-N obtidas experimentalmente. Conforme se verifica na Figura 4.21, a Rede Modular consegue de modo bastante satisfatório prever o comportamento à fadiga deste material utilizando como conjunto de treinamento apenas 3(três) curvas S-N.

Amplitude de Tensão (MPa) 107 350 300 250 200 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 R = -2 R = -1 R = -0.5 R = 0.1 150 100 50 0 R = 2 R = 1.43 R = 1.1 R = 10 R = 0.5 R = 0.9-400 -200 0 200 400 600 Tensão Média (MPa) R = 0.7 R = 0.8 Figura 4.21. Diagrama de Goodman obtido através da rede modular com um conjunto de treinamento DD16. Porém não se deve esquecer que um bom modelo matemático deve se adequar ao comportamento físico dos materiais analisados, ou seja, para estas redes modulares poderem ser aplicadas para qualquer material compósito, se faz necessário a análise não apenas de um, mas sim de vários materiais, demonstrando, desse modo a importância da análise dos laminados T800-5245 e IM7-977, apresentados nas Figuras 4.19 e 4.20. 4.3. Estudo Comparativo Entre o modelo PNL e a Rede Modular para Um Número de Ciclos Médio Neste item, o intuito é comparar as vantagens e limitações entre o modelo PNL e uma RNA modular (RM), como existem diferenças maiores entre compósitos à base de fibra

108 de vidro e à base de fibra de carbono, dividiu-se ente item em dois subitens a partir desta consideração. Vale ainda salientar que a análise realizada aqui não levou em conta o problema probabilístico do comportamento à fadiga, limitando esta análise a valores médios. O motivo da não utilização do comportamento probabilístico foi que, conforme trabalhos anteriores (Vassilopoulos et al. 2007, Al Assaf et al. 2001, Vassilopoulos et al. 2010), neste caso se possui uma maior capacidade de generalização e robustez da rede modular. Além, disso, o intuito é comparar estes resultados ao modelo PNL e este modelo foi desenvolvido para o uso somente do comportamento à fadiga média. Outro ponto importante a ser comentado é que o modelo PNL foi também concebido para apresentar resultados tanto com duas curvas S-N (apresentado aqui pela nomenclatura 2R) quando com 03 curvas S-N (3R), apesar da tentativa de uso de uma rede modular com duas curvas S-N (2R) os resultados não se mostraram robustos e por isso não foram considerados nesta tese. 4.3.1. Compósitos à Base de Fibra de Vidro A partir dos modelos PNL e o modelo de rede modular (RM) verificou-se o erro médio quadrático (EMQ) demostrado na Tabela 4.4 e na Figura 4.22, onde se verifica que tanto o modelo PNL quanto o modelo que utiliza uma rede modular (MN) consegue apresentar bons resultados.

109 Tabela 4.4. Resultados para o conjunto de treinamento 2R e 3R para o material de fibra de Materiais vidro usando os modelos PNL e MN. Conjunto de Dados PNL RM EMQ * EMQ * QQ1 2R 165 3R 73 25 QQ1T 2R 153 3R 56 13 DD16 2R 250 3R 144 28 C10 2R 129 3R 124 40 C12 2R 99 3R 82 24 MAT(0) 2 2R 73 3R 66 28 * Os valores EMQ são multiplicados por 10-5 Figura 4.22. Comparação entre os (EMQ) do modelo PNL 2R, PLN 3R e MN 3R para materiais de Fibra de vidro.

110 Comparando os resultados obtidos para o modelo PNL com 2R e 3R verificou-se que há uma diminuição do EMQ com o aumento no número de curvas S-N usadas. Esse resultado era esperando, já que a aumento do número de curvas S-N utilizados deve melhorar a precisão final obtida, deve-se salientar, contudo que esta diminuição em alguns casos foi pouco significativa, por exemplo, para o material C10 e MAT(0) 2. Os resultados da Tabela 4.4 e Figura 4.22 mostram que em todos os casos o modelo MN possui melhores resultados do que o modelo PNL. A maior diferença, entre o PNL e o modelo MN 3R, ocorreu para o material DD16 (80,56%) e a menor para o MAT (0) 2 (57,58%). Embora, ambos possam ser utilizados para analisar o comportamento de fadiga, o modelo MN produz os melhores resultados para os materiais composito à base de fibras de vidro. A análise qualitativa dos resultados mostra grandes diferenças para o modelo PNL na região variável de cargas tração-compressão (-1 <R <0), como pode ser visto na Figura 4.23 para MAT (0) 2 com R = -0,5. Isto ocorre devido ao equacionamento ser linear nesta região, o que pode ser útil em alguns casos como para o material DD16 (Figura 4.24), QQ1 (Figura 4.25) e QQ1T (Figura 4.26). Para o modelo MN, as diferenças de resultados não exibiram região preferencial, como mostrado na Figura 4.27 para MAT (0) 2 e na Figura 4.28 para QQ1T.

Amplitude de Tensão (MPa) Amplitude de Tensão (MPa) 111 600 500 400 300 10 2 10 3 10 4 R = -1 10 5 10 6 10 7 R = 10 R = -0.5 R = 0.1 R = -0.5 200 R = 2 100 0-750 -500-250 0 250 500 750 1000 1250 1500 Tensão Média (MPa) Figura 4.23. Diagrama de vida constante obtido do modelo PNL 3R como o material Mat(0) 2. 350 300 250 200 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 R = -2 R = -1 R = -0.5 R = 0.1 150 R = 10 R = 0.5 100 R = 2 R = 0.7 50 R = 1.43 R = 0.8 R = 1.1 R = 0.9 0-400 -200 0 200 400 600 Tensão Média (MPa) Figura 4.24. Diagrama de vida constante obtido do modelo PNL 3R como o material DD16.

Amplitude de Tensão (MPa) Amplitude de Tensão (MPa) 112 500 400 300 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 R = 10 R = - 2 R = -1 R = -0.5 R = 0.1 200 R = 0.5 100 0-800 -600-400 -200 0 200 400 600 800 1000 Tensão Média (MPa) Figura 4.25. Diagrama de Vida Constante obtido do modelo PNL 3R como o material QQ1. 140 120 100 80 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 R = 10 R = -2 R = -1 R = -0.5 60 40 20 R = 0.1 R = 0.5 R = 0.7 0-300 -200-100 0 100 200 Tensão Média (MPa) Figura 4.26. Diagrama de vida constante obtido do modelo PNL 3R como o material QQ1T.

Amplitude de Tensão (MPa) Amplitude de Tensão (MPa) 113 600 500 400 300 10 2 10 3 10 4 R = -1 10 5 10 6 10 7 R = 10 R = -0.5 R = 0.1 R = -0.5 200 R = 2 100 0-750 -500-250 0 250 500 750 1000 1250 1500 Tensão Média (MPa) Figura 4.27. Diagrama de vida constante obtido do modelo MN como o material Mat(0) 2. 140 120 100 80 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 R = 10 10 7 R = -2 R = -1 R = -0.5 60 40 20 R = 0.1 R = 0.5 R = 0.7 0-300 -200-100 0 100 200 Tensão Média (MPa) Figura 4.28. Diagrama de vida constante obtido do modelo MN como o material QQ1T.

114 Os gráficos das Figuras 4.24 e 4.26 demonstram os resultados obtidos para o material QQ1T, mostrando que tanto o PLN e modelos MN também exibem resultados diferentes em relação aos dados obtidos para R = -2, mas mais uma vez o do modelo MN estava mais próximo dos resultados experimentais. De qualquer modo, é importante notar que os modelos utilizados aqui sempre exibiram os resultados na região de segurança, mesmo que eles subestimem o comportaemnto real a fadiga destes compósitos. Um outro ponto impotante a ser analisado é a capacidade de generalizaação e a robustez do modelo MN. Esta análise pode ser feita através da dispersão do erro médio quadrático (EMQ) do conjunto de treinamento com o conjunto de total de dados, de modo que quanto mais disperso os dados menor é a capacidade do algortimo de obtenção de uma solução satisfatória do comportamento a ser modelado. A Figura 4.27 ilustra um exemplo desta dispersão para o material QQ1, mostrando que o modelo MN posui boa robustez em seus resultados. Ainda é importente comentar que os outros materiais apresentam dispersões similares à obtida na Figura 4.29.

EMQ Mínimo (Conjunto Total de Dados) 115 0,01 1E-3 1E-4 1E-5 1E-5 1E-4 1E-3 0,01 EMQ (Conjunto de Treinamento 3R) Figura 4.29. Dispersão do EMQ MIN obtido para o conjunto total de dados durante o treinamento realizado para a MN com um com junto de treinamento QQ1 (R= 10, -0.5, 0.1). 4.3.2. Compósitos à base de Fibra de Carbono Verificando agora o comportamento dos modelos PNL e MN para compósitos a base de fibra de carbono apresenta-se o erro médio quadrático (EMQ) dos materiais estudados que estão demostrados na Figura 4.30 Tabela 4.5, onde se verifica que o modelo PNL, ao contrario do que ocorreu com os materiais a base de fibra de vidro, não apresenta bons resultados. Já o modelo que utiliza uma rede modular (MN) consegue apresentar bons resultados para todos os materiais. Comparando os resultados obtidos para o modelo PNL com 2R e 3R verifica-se uma diminuição do EMQ com o aumento do número de curvas S- N. No entanto, eles podem ainda ser considerados elevados, em comparação com os obtidos

116 para fibra de vidro. De qualquer modo, caso se utilize o modelo PNL para materiais compósitos à base de fibra de carbono deve-se dar preferencia ao uso de três curvas S-N. Os resultados obtidos na Tabela 4.5 e na Figura 4.30 mostram que em todos os casos o modelo MN tiveram resultados melhores do que o modelo PNL. Onde se obteve menor diferença percentual, para o material T800-5245 (diferença percentual de 86,75%) e a maior para o material IM7-977(diferença percentual 95,03%). Neste caso a importância do uso da rede modular se apresenta mais evidenciada, devido à diferença entre os resultados ser muito significativa. Tabela 4.5. Resultados dos modelos PNL e MN para o conjunto de treinamento 2R e 3R para materiais de carbono. PNL MN Materiais Conjunto de Dados EMQ * EMQ * IM7-977 2R 713 3R 326 17 HTA-913 2R 368 3R 152 10 T800-5245 2R 468 3R 316 35 T800H-3631 2R 114 3R 97 7 * Os Valores EMQ são Multiplicados por 10-5.

117 Figure 4.30. Comparação entre os (RMS) do modelo PNL 2R, PLN 3R e MN 3R para materiais de fibra de carbono. Fazendo-se uma análise qualitativa dos resultados percebe-se que o modelo PNL, possui maior diferença dos resultados na região de cargas variáveis de traçãocompressão como pode ser verificado na Figura 4.31 para o IM7-977 com R = -0.3, e para o material T800-5245 (Figura 4.33) com R = -0.6 e R = -0.3. Isso ocorre devido ao equacionamento ser linear nesta região, este equacionamento pode se mostrar útil em alguns casos como para o material IM7-977 (Figura 4.31), T800-5245 (Figura 4.33) e HTA-913 (Figura 4.34). Já para o modelo MN foi verificado que a diferença nos resultados não possui região preferencial, conforme se pode verificar no exemplo da Figura 4.35 para IM7-977 e o exemplo da Figura 4.36 para o material HTA-913.