APLICAÇÃO DA METAHEURÍSTICA COLÔNIA DE FORMIGAS AO PROBLEMA DE ROTEAMENTO DE VEÍCULOS Mirlam Moro Lombardi e Jean Eduardo Glazar Departamento de Ciência da Computação Faculdade de Aracruz Uniaracruz {mirlam, jean}@fsjb.edu.br RESUMO Este trabalho aborda uma solução para o Problema de Roteamento de Veículos (PRV), com um depósito central, frota homogênea e ilimitada, distâncias euclidianas e sem direção. O objetivo é atender à demanda de determinados clientes, com a menor distância possível. Para resolver esse problema, optou-se pelo uso da metaheurística Colônia de Formigas (Ant Colony), que se baseia no comportamento das formigas em busca de alimento. Foram realizados testes computacionais com alguns problemastestes encontrados na literatura e os resultados são comparados com os melhores resultados também encontrados na literatura. Palavras-chave: Roteamento de veículos. Metaheurísticas. Colônia de formigas. ABSTRACT This paper approaches a solution for the Vehicle Routing Problem, with a central deposit, homogeneous and limitless fleet, Euclidean distances and without direction. The objective is to take care of to the demand of definitive customers, minimizing the distance. To solve this problem, it was used the metaheuristic Ant Colony, that it is based on the behavior of the ants in food search. Computational tests with some problem-tests found in literature had been carried through and the results are compared with the best ones resulted, also found in literature. Keywords: Vehicle routing. Metaheuristics. Ant colony.
2 INTRODUÇÃO Os custos na distribuição física de produtos vêm ganhando atenção especial nas últimas décadas, sendo a sua minimização um fator importante para que empresas passem a atuar de forma mais efetiva, ganhando mercado. Sendo assim, uma das etapas da distribuição física consiste em elaborar rotas de distribuição nas quais veículos devem operar realizando tarefas de coleta ou entrega de mercadoria. Com isso, faz-se necessário obter rotas com o menor custo possível. Entretanto, obter o conjunto de rotas que apresente o menor custo não é uma tarefa simples. Métodos exatos necessitam de muito tempo e, dependendo do problema, não conseguem definir o conjunto de rotas (solução ótima). Nesse caso, recorre-se à heurísticas e metaheurísticas que resolvem o problema em um tempo polinomial, mas, por outro lado, não garantem a obtenção da solução ótima. Neste trabalho, considera-se o problema de roteamento de veículos simples, comumente chamado de PRV, que pode ser caracterizado da seguinte maneira: a) possui um depósito central; b) frota homogênea e ilimitada; c) distâncias euclidianas e sem direção (mão e contra-mão). O objetivo do PRV é atender à demanda de determinados clientes, com a menor distância possível. O PRV pertence à classe NP Completo é extremamente difícil de ser resolvido. Sendo assim, é possível obter boas soluções para problemas dessa classe com o uso de heurísticas ou metaheurísticas, conforme citado acima. Neste trabalho, optou-se pelo uso da metaheurística Colônia de Formigas (Ant Colony). A metaheurística Colônia de Formigas se baseia no comportamento das formigas em busca de alimento. Nessa metaheurística, há uma colônia de formigas artificiais que cooperam entre si, com o objetivo de encontrar boas soluções para o problema. A essência da metaheurística é justamente a cooperação entre as formigas, que são nada mais que agentes inteligentes, que atuam na varredura do espaço de busca procurando a solução ótima.
3 Foram realizados experimentos computacionais com alguns problemas-testes encontrados na literatura e os resultados foram comparados com os melhores resultados encontrados na literatura. A metaheurística apresentou resultados interessantes ficando próxima dos melhores resultados da literatura, principalmente para problemas com 50 clientes. O PROBLEMA DE ROTEAMENTO DE VEÍCULOS (PRV) Considere n clientes, cada um com uma demanda de mercadorias. As mercadorias são entregues a partir de um depósito por uma frota de veículos. No PRV clássico, os veículos partem de um único depósito para atender à demanda dos clientes até que se esgote a capacidade de carga do veículo, retornando para o depósito central. Nesse modelo, os veículos possuem a mesma capacidade de carga e o número de veículos é ilimitado. Considera-se ainda a distância euclidiana entre os clientes e o depósito, ou seja, somente a distância em linha reta entre dois pontos. Nesse modelo, faz-se necessário, também, levar em consideração algumas restrições: a) um veículo tem que atender à demanda total de um cliente; b) a quantidade de mercadorias a ser entregue por um veículo não poderá ser maior que a sua capacidade de carga; c) todos os clientes devem ser atendidos. Na Figura 1, é mostrado um exemplo do modelo de roteamento de veículos, onde o quadrado corresponde ao depósito, os círculos representam os clientes e as setas indicam a seqüência de visitas realizadas pelos veículos. O objetivo do PRV é elaborar rotas para os veículos, determinando quais clientes devem ser atendidos e a seqüência de atendimentos de forma a não violar as restrições, otimizando alguma função objetivo, que pode ser: minimizar a distância total (ou tempo gasto) por todos os veículos, ou minimizar o número de veículos e, desse número mínimo, minimizar a distância total ou, ainda, minimizar a combinação dos custos dos veículos e distância percorrida.
4 Figura 1. Exemplo de representação do PRV COLÔNIA DE FORMIGAS (ANT COLONY) A metaheurística Colônia de Formigas (Ant Colony) foi proposta como uma abordagem multiagente para a resolução de problemas de otimização combinatória (DORIGO; CARO, 1999). Nessa metaheurística, um conjunto de agentes, chamados formigas artificiais, ou simplesmente formigas, buscam em paralelo boas soluções para o problema (DORIGO et al., 1991). Ela foi proposta a partir de experimentos e observações de uma colônia de formigas real, baseando-se no comportamento das formigas em busca de alimento. Esse comportamento permite que as formigas encontrem os trajetos mais curtos entre fontes de alimento e seu ninho (GOSS et al., 1989). Ao andar da fonte de alimento até o ninho e vice-versa, as formigas depositam uma substância chamada feromônio no caminho. É com base nessa substância que outras formigas decidem sobre qual sentido seguir. Os trajetos mais prováveis são marcados por concentrações mais fortes de feromônio. Esse comportamento natural é a base para uma interação cooperativa que conduz as formigas ao trajeto mais curto. Quando as formigas chegam a um ponto de decisão, como a interseção entre dois caminhos distintos, elas fazem uma escolha probabilística, baseada na quantidade de feromônio presente nesses caminhos. Ou seja, quanto maior a quantidade de feromônio em um caminho, maior a probabilidade de esse ser escolhido. Inicialmente, não existe feromônio nos caminhos, portanto a probabilidade de escolha é proporcional ao comprimento do caminho. A concentração de feromônio em um caminho definido pela maioria das formigas é maior que em um caminho definido com poucas formigas. Com o passar do tempo,
5 a maioria das formigas acaba optando pelo caminho com mais feromônio. Quando os caminhos têm distâncias distintas, a taxa de chegada de formigas na fonte de alimentos, oriundas do menor caminho, é maior do que a taxa de chegada de formigas oriundas dos demais. Sendo assim, ao iniciar a viagem de retorno ao ninho, essas formigas hão de encontrar mais feromônio sobre o menor caminho. Esse fato estimulará mais formigas a segui-lo, e assim cada vez mais, até que a grande maioria das formigas acabe optando pelo mesmo caminho. Esse processo ocorre da mesma maneira no sentido inverso (ninho fonte). APLICAÇÃO DA COLÔNIA DE FORMIGAS AO PRV Em um algoritmo Colônia de Formigas para o PRV, as formigas constroem soluções para o problema representado pelos clientes, pelo depósito e pelo conjunto de restrições de forma incremental. Cada formiga k parte de uma solução parcial, composta de um único depósito central, e segue adicionando clientes à sua solução até alcançar uma solução viável. Os clientes candidatos para serem parte da solução de uma determinada formiga são selecionados a partir do último cliente escolhido anteriormente pela formiga. Essa escolha é feita aplicando-se uma regra de decisão probabilística, que faz uso de informações locais relacionadas com os caminhos entre o depósito e os clientes e entre os clientes entre si (distância e feromônio). Após construir a solução viável (ou enquanto a constrói), a formiga deposita feromônio sobre os caminhos visitados, segundo a qualidade da solução encontrada (ou que vem encontrando). Esse feromônio depositado pela formiga é o que influenciará na construção da solução das demais. O pseudocódigo do algoritmo Colônia de Formigas para o PRV pode ser descrito como:
6 1 fase de inicialização 2 para t de 1 até um número máximo de iterações faça 3 para k de 1 até m faça // número de formigas 4 repita até a lista de clientes não visitados da formiga k estiver vazia 5 calcular a probabilidade de todos os clientes não visitados 6 repita até uma quantidade de iterações ser executada ou um cliente for escolhido 7 selecione o próximo cliente a ser visitado segundo a regra de decisão probabilística. 9 fim do repita 10 fim do repita 11 calcule a distância L k (t) do caminho descoberto pela formiga k na iteração t 12 se L k (t) < L* então S* <- S k (t) 13 fim do para 14 atualize R ij (t+1), para todo(i,j) pertencente às arestas, segundo processo de depósito e evaporação de feromônio 15 fim do para 16 retorna S*; onde: t : é a iteração corrente. É definido um número máximo de iterações a serem executadas; k : formiga corrente; m : número de soluções (formigas) a serem encontradas a cada iteração; L k (t): distância associada ao caminho completo S k (t), descoberto pela formiga k, na t-ésima iteração; L* : menor distância encontrada até o momento entre todas as iterações; S* : melhor solução encontrada até o momento entre todas as iterações; R ij (t+1) : quantidade de feromônio na aresta (i,j) na t+1-ésima iteração.
7 REGRA DE DECISÃO A cada iteração t, um conjunto de formigas varre o espaço de busca para encontrar a solução do problema. Para montar uma solução, a formiga seleciona os próximos clientes a serem visitados de acordo com uma regra de decisão probabilística. Cada formiga k possui uma lista N k i (t) dos clientes que ainda não foram visitados. Enquanto essa lista não estiver vazia, a formiga k calcula a probabilidade P k (t) k para cada cliente j ainda não visitado, j N (t), a partir do último cliente escolhido i. Essa probabilidade é baseada na visibilidade da distância, η ij, e no feromônio, τ ij, entre os clientes i e j. O próximo cliente j para montar a rota será aquele escolhido aleatoriamente de acordo com a sua probabilidade: i ij P k ij ( t) α β [ τij( t)] [ η ij] α = [ τil( t)] [ η il] k l N i 0 β k, se j N (t) ; (1), caso contrário. i Onde: P k ij (t) : probabilidade do cliente j ser escolhido pela formiga k, durante a t- ésima iteração. O último cliente da rota é o cliente i; τ ij(t) : intensidade do feromônio presente na aresta (i,j) na t-ésima iteração; α : parâmetro que regula a influência de τ ij(t) ; 1 η ij = : visibilidade do cliente j em relação ao cliente i; dij d ij : distância entre as cidades i e j; β: parâmetro que regula a influência de η ij ; N k (t) : conjunto de clientes ainda não visitados pela formiga k situada no i cliente i durante a t-ésima iteração;
8 Por fim, é realizado o cálculo da distância do caminho encontrado, s k (t). Se esse percurso for o menor encontrado até o momento, esse caminho forma a melhor solução do problema até o momento, S*. Esse procedimento é realizado por todas as formigas até o número máximo de iterações. ATUALIZAÇÃO DO FEROMÔNIO No último passo do algoritmo, é realizada a atualização do feromônio. Primeiro, toma-se τij(t) pela quantidade de feromônio existente no caminho entre i e j em dado instante t. A cada iteração, a quantidade de feromônio em um determinado caminho é constituída conforme o processo descrito abaixo: τ ij ( t + 1) = (1 ρ ) τ ij ( t ) + τ ij ( t ) (2) sendo m k τ ij( t) = τ ( t) k = 1 caminho (i, j) na iteração t, com: ij, a soma do ganho de feromônio de cada formiga no k τ ij Onde: Q ( t) = Lk ( t) 0, se a formiga k percorreu a aresta (i,j);, caso contrário. t : iteração atual da heurística; ρ [0,1]: parâmetro que regula a redução de τ ij(t) ; τij(t) iteração; : ganho total de feromônio no caminho ( i, j ), ocorrido na t-ésima m : número de soluções (formigas) a serem encontradas a cada iteração; k τ ij(t) : ganho de feromônio no caminho ( i, j ), causado pela formiga k, na t-ésima iteração; Q: parâmetro que se refere à quantidade de feromônio depositada por uma formiga para toda uma solução.
9 O feromônio presente no caminho (i, j) na próxima iteração será (1 - ρ) multiplicado pelo feromônio presente no caminho (i, j), somado com todo o feromônio deixado pelas formigas que já passaram por aquele caminho ( i, j ) em iterações anteriores. A quantidade de feromônio deixada por uma formiga no caminho completo é Q. A quantidade de feromônio deixada pela formiga em cada caminho ( i, j ) que forma a solução é dada pela divisão de Q pelo tamanho do caminho encontrado. Uma outra estratégia é considerar o ganho de feromônio apenas da melhor solução encontrada de todas as formigas em uma iteração t. Assim, o ganho de feromônio seria: Q τij t) = L 0 ( Melhor, se (i,j) pertence à melhor solução encontrada na iteração t;, caso contrário. EVAPORAÇÃO DO FEROMÔNIO As atualizações do feromônio nos caminhos pertencentes a uma solução podem trazer como conseqüência sempre os mesmos caminhos a serem atualizados. Conseqüentemente, isso impede que o algoritmo procure por caminhos diferentes. Para resolver essa questão, foi utilizado também o processo de evaporação do feromônio. Para que uma formiga não viciasse em procurar rotas sempre pelos mesmos caminhos, foi utilizada uma função para fazer com que o feromônio fosse reduzido em todos os caminhos. Com isso, a cada iteração, se um caminho não for parte de uma solução, ele perde uma parte do feromônio que já possuía. A evaporação do feromônio é dada pelo primeiro termo da equação (2), ou seja, ( 1 ρ ) τ ij ( t ). Se o feromônio somente for evaporando, pode acontecer que os valores de τ ij fiquem muito pequenos, fazendo com que aquele caminho demore muito tempo para ser escolhido novamente, e talvez até não seja mais escolhido. Para evitar isso, considerou-se um limite mínimo para que o feromônio pudesse ser reduzido. Após vários testes, o valor escolhido foi 1.0.
10 RESULTADOS Os testes foram efetuados modificando-se vários parâmetros para cada problema e comparados com os resultados encontrados na literatura. A Tabela 1 mostra como os problemas foram divididos e suas parametrizações. Tabela 1. Conjunto de problemas encontrados na literatura Problemas Número de Localização do Capacidade do Clientes (n) Depósito (x,y) Veículo C1 50 (30,40) 160 C2 100 (35,35) 200 C3 150 (35,35) 200 C4 199 (35,35) 200 PARÂMETROS TESTADOS Foram realizados testes com os seguintes parâmetros: Q: quantidade de feromônio deixada por uma formiga em cada caminho; α: parâmetro que regula a influência de feromônio na escolha de um cliente; β: parâmetro que regula a influência da visibilidade na escolha de um cliente. Primeiro foi variado o parâmetro Q para todos os problemas. Os valores testados foram Q = 1, 10 e 100. Os Gráficos 1, 2, 3 e 4 mostram os desempenhos para cada valor de Q e para cada problema da Tabela 1. Foram realizados cinco testes para cada tipo de problema. Os valores mostrados são a média aritmética dos cinco testes realizados. Os parâmetros α e β utilizados foram iguais a 10 para todos os testes do parâmetro Q. Média de Distâncias para número de clientes = 50 Média de Distâncias para número de clientes 100. 586 584 582 580 578 576 574 581,0795166 584,4888322 Parâmetro Q 577,66272 1 10 100 Distância 965 960 955 950 945 962,742737 959,364807 952,191858 Parâmetro Q 1 10 100 Gráfico 1. Resultados encontrados com 50 clientes Gráfico 2. Resultados encontrados com 100 clientes
11 Média de Distâncias para número de clientes = 150 Média de Distâncias para número de clientes = 199 Distância 1217,5 1217 1216,5 1216 1215,5 1215 1216,936279 1216,246338 1215,826949 Parâmetro Q 1 10 100 Distância 1558 1556 1554 1552 1550 1548 1546 1549,854004 1556,087524 1554,489868 Parâmetro Q 1 10 100 Gráfico 3. Resultados encontrados com 150 clientes Gráfico 4. Resultados encontrados com 199 clientes Cada gráfico demonstra a média encontrada com cada valor de Q para cada problema. Pelos resultados encontrados, o valor de Q = 1 foi o que obteve as menores médias de distâncias, com exceção do problema com cinqüenta clientes. Com o valor do parâmetro Q definido como 1, foram realizados testes com os valores de α e β. Os Gráficos 5, 6, 7 e 8 demonstram os resultados obtidos, onde a representa α e b, β. Média de distância para 50 clientes Distância 1200,00 1000,00 800,00 600,00 400,00 1004,99 581,08 582,50 742,69 582,23 602,54 a =1 b=1 a=10 b=10 a=1 b=10 a=10 b=1 200,00 0,00 Parâmetros a e b testados a=5 b=10 a=10 b=5 Figura 6. Resultados encontrados com 50 clientes Média de distância para 100 clientes Distância 2500,00 2000,00 1500,00 1000,00 500,00 0,00 2175,62 1814,16 952,19 959,36 951,54 1020,5 Parâmetros a e b testados a=1 b=1 a=10 b=10 a=1 b=10 a=10 b=1 a=5 b=10 a=10 b=5 Figura 7. Resultados encontrados com 100 clientes
12 Média de distância para 150 clientes Distância 3500,00 3000,00 2500,00 2000,00 1500,00 1000,00 500,00 0,00 3176,07 3150,81 1213,881216,94 1223,87 1325,04 Parâmetros a e b testados a=1 b=1 a=10 b=10 a=1 b=10 a=10 b=1 a=5 b=10 a=10 b=5 Figura 8. Resultados encontrados com 150 clientes Média de distância para 199 clientes Distância 5000,00 4500,00 4000,00 3500,00 3000,00 2500,00 2000,00 1500,00 1000,00 500,00 0,00 4325,14 4030,80 1507,841549,85 1555,58 1702,15 Parâmetros a e b testados a=1 b=1 a=10 b=10 a=1 b=10 a=10 b=1 a=5 b=10 a=10 b=5 Figura 9. Resultados encontrados com 199 clientes Com os resultados obtidos, percebe-se que, quanto maior for o valor do parâmetro β, melhores serão as soluções encontradas. O valor do parâmetro α possui pouca influência nos resultados, como mostrado nos gráficos. A variação de um resultado para outro é pequena para os valores de β 10e um α qualquer. Na Tabela 2, são mostrados os melhores resultados encontrados para cada tipo de problema utilizando o algoritmo Colônia de Formigas e os melhores resultados encontrados na literatura com a heurística Simulated Annealing (BARROS NETO, 1995) e com a heurística Busca Tabu (TAILLARD, 1993). Em parênteses, estão os percentuais em relação à melhor solução encontrada. Tabela 2. Comparação entre os resultados encontrados com os melhores resultados da literatura Heurísticas Problemas C1 C2 C3 C4
13 Colônia de Formigas Simulated Annealing (BARROS NETO,1995) 571,7 (91,76%) 927,08 (89,11%) 1202,58 (85,51%) 1509,85 (86,02%) 529.22 837.94 1082.07 1376.70 Busca Tabu (TAILLARD, 1993) 524.61 826.14 1028.42 1298.79 Na Tabela 3, são demonstrados os resultados dos tempos computacionais encontrados, comparando-os com os melhores resultados da literatura. Tabela 3. Demonstração dos tempos computacionais (em segundos) Problemas Heurísticas C1 C2 C3 C4 CF-PRV¹ 29.5 120.2 919.06 1102.1 SA - Barros Neto (1995)² 6.37 9.67 10.2 14.39 Taillard (1993)³ 23.00 68.00 450.00 510.00 ¹ Problema executado em processador Athlon XP 2600Mhz com 512 de RAM ² Problema executado em processador Pentium 166Mhz com 16 Mb de RAM ³ Problema executado em estação de trabalho Silicon Graphics 4D/35 CONCLUSÃO Ao se aplicar uma heurística para a resolução de um determinado problema, é necessário um estudo detalhado de como modelar o problema de acordo com as características da heurística, pois, dependendo da modelagem feita, os resultados podem não ser os esperados. Também é preciso levar em consideração alguns conceitos como: a) eficácia: a capacidade da heurística de encontrar boas soluções; b) eficiência: quanto de memória e processador é utilizado; c) simplicidade na implementação: quanto à heurística, é simples de ser implementada; d) estabilidade: quanto aos resultados, se mantêm estáveis com relação aos valores dos parâmetros. Com todos os estudos realizados e testes aplicados, pode-se dizer que a metaheurística Colônia de Formigas aplicada ao PRV não obteve uma boa eficácia,
14 em vista dos problemas encontrados na literatura. Com relação à eficiência, a heurística não possui uma boa eficiência, porque apresenta um tempo computacional muito grande, porém sua implementação é simples e sua estabilidade se mantém com os diferentes valores dos parâmetros. Uma das propostas para melhorar os resultados encontrados seria implementar uma função de otimização de soluções, em que, após ter encontrado a melhor solução, tenta-se melhorar essa solução trocando os clientes de posição dentro da lista de solução. Uma outra proposta seria implementar o algoritmo de forma que cada formiga, ou um conjunto delas, estaria sendo executada em vários computadores em paralelo e, ao final da execução, um analisador central compararia as soluções encontradas pelas formigas e atualizaria o feromônio nos caminhos. REFERÊNCIAS 1 BARROS NETO, J. F. O uso de Simulated Annealing na solução de Problemas de Roteamento de Veículos. 1995. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Produção / Pesquisa Operacional) Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro RJ, 1995. 2 DORIGO, M.; CARO, G. The Ant Colony optimization metaheuristic: new ideas in optimization. Londres, Reino Unido: McGraw-Hill, 1999. 3 DORIGO, M.; MANIEZZO, V.; COLORNI, A. Positive feedback as a search strategy. Relatório Técnico 91-016, Milão: Departamento de Eletrônica, Politécnico de Milão, Itália, 1991. 4 GOSS, S.; ARON, S.; DENEUBOURG, J. L.; E PASTEELS, J. M. Self-organized shortcuts in the Argentine ant. Naturwissenschaften, 1989. 5 TAILLARD, E. Parallel iterative search methods for Vehicle Routing Problems. Networks, v. 23, n. 8, p. 661-673, 1993.