ROTEAMENTO PERIÓDICO DE VEÍCULOS UTILIZANDO SIMULATED ANNEALING

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1 ROTEAMENTO PERIÓDICO DE VEÍCULOS UTILIZANDO SIMULATED ANNEALING Marcos Vinicios Gomes dos Reis (UNICAMP) Sibelius Lellis Vieira (PUC GOIAS) A gestão da cadeia de suprimentos é definida como um sistema pelo qual organizações e empresas entregam seus produtos e serviços aos consumidores, em uma rede de organizações interligadas. Neste contexto, elas lidam frequentemente com questões relacionadas à logística, que abordam problemas de planejamento, do controle do fluxo de mercadorias, bem como de armazenamento intermediário e transporte. Uma questão importante é a minimização de custos com o transporte de mercadorias. Este tipo de problema é conhecido como o Problema de Roteamento de Veículos (VRP - Vehicle Routing Problem). Neste trabalho, aborda-se uma variação do VRP denominada problema de roteamento de veículos com coleta e entrega simultâneas (PVRPSPD - Periodic Vehicle Routing Problem with Simultaneous Pick-Up and Delivery), que tem como objetivo encontrar as rotas que têm o menor custo, levando em consideração certas restrições. Para minimizar o custo do PVRPSPD, encontrando as rotas que têm um custo mínimo em um conjunto muito grande de alternativas, é necessário o uso de metaheurísticas, capazes de proporcionar boas soluções em um tempo razoável. Foi utilizada a técnica de Simulated Annealing para tratar o problema. É feita a avaliação das características de diferentes vizinhanças que mais se adequam a solução do problema. Como resultados, observou-se que a escolha da vizinhança tem um grande impacto na solução do problema. Palavras-chave: Roteamento, Logística, Metaheurísticas, Simulated Annealing.

2 1. Introdução As organizações lidam frequentemente com questões relacionadas à logística, que para funcionar de maneira adequada, deve atender a alguns critérios: a mercadoria deve ser entregue na forma que o cliente deseja, com a quantidade esperada, no prazo correto e com um custo mínimo (CHOPRA; MEINDL, 2011). Um moderno sistema de logística deve ser apoiado por processos computacionais que priorizam o uso de algoritmos adequados para a solução dos problemas de roteamento, armazenamento e transporte e facilite a tomada de decisão, assegura que estas organizações ofereçam um serviço diferenciado (BOWERSOX, 2012). Neste sentido, a minimização de custos com o transporte de mercadorias é um aspecto a ser investigado. Este tipo de problema é conhecido como o Problema de Roteamento de Veículos (VRP Vehicle Routing Problem). A ideia é entregar e/ou coletar as mercadorias de e/ou para todos os pontos de forma a minimizar o custo do transporte, possuindo alguma variantes: o Problema de Roteamento de veículos com janela de tempo (VRPTW - Vehicle Routing Problem with Time Window), com múltiplos depósitos (VRPMD - Vehicle Routing Problem with Multi-Deposit) e com entrega e coleta simultâneas (VRPSPD - Vehicle Routing Problem with Simultaneous Pick-Up and Delivery) (FRANCO; OLIVEIRA, 2012, TOTH; VIGO, 2002). Neste trabalho, propõe-se analisar as soluções para o problema de roteamento de veículos com coleta e entrega simultâneas, representado pela sigla (VRPSPD - Vehicle Routing Problem with Simultaneous Pick Up and Delivery) (MONTANÉ; GALVÃO, 2006). A solução deste problema tem como objetivo encontrar as rotas que têm o menor custo, levando em consideração as restrições do problema, tais como a capacidade limitada do veículo, o tempo de trabalho do motorista, a possibilidade de pontos de venda a serem atendidos por mais de um veículo, entre outras. Dado que o problema é NP-hard em sua forma geral (KUMAR; PANNEERSELVAM, 2012), o uso de metaheurísticas, que são métodos genéricos para solucionar problemas como o VRP em um tempo menor e com soluções boas (SILVA, 2010), permite aos tomadores de decisão compararem as alternativas geradas e garantindo a obtenção de rotas eficazes (BELFIORE; YOSHIZAKI, 2006) Objetivos 2

3 Neste trabalho, propõe-se a aplicação do Simulated Annealing à solução do problema de roteamento periódico de veículos com coleta e entrega simultâneas (VIEIRA; REIS, 2014). Nesta modelagem, os clientes são classificados como diários e não-diários. Os clientes diários são atendidos diariamente, enquanto que os clientes não-diários são atendidos a cada dois dias. Por outro lado, as rotas são divididas em pares e ímpares, alternando-se diariamente. Portanto, os clientes diários são incluídos nas rotas pares e ímpares, ao passo que os clientes não diários ou fazem parte de uma rota par ou de uma rota ímpar. Em função destas estratégias de atendimento, os clientes que não são diários acabam sendo penalizados e esta penalização se reflete no custo da operação. A capacidade dos depósitos não é objeto de consideração. Para a aplicação do simulated annealing, são apresentados diferentes mecanismos de vizinhança, uma vez que as mesmas têm papel fundamental na solução de problemas combinatórios, pois, quanto melhor for a vizinhança, maior a chance de encontrar melhores soluções (MONTANÉ; GALVÃO, 2006). 2. Materiais O problema a ser estudado neste trabalho é uma variante do VRPSPD (MONTANÉ; GALVÃO, 2006). Algumas restrições e condições foram incluídas ao problema. A primeira refere-se ao tipo do ponto de entrega ou clientes. Este, por sua vez, é dividido em pontos de entrega que recebem seus produtos/mercadorias diariamente e aqueles pontos que recebem de dois em dois dias. Para aquele cliente que não é diário, é adicionada uma penalidade ao custo de entrega por não ter um veículo passando diariamente, uma vez que este cliente tende a possuir mais estoque do que o diário (VIEIRA;REIS, 2014). O problema também leva em consideração o tempo gasto por um veículo para ir de um cliente a outro, para descarregar e carregar os produtos no ponto de entrega, a capacidade do veículo para fazer tanto a entrega da mercadoria quanto a coleta de forma simultânea e um custo referente a cada veículo usado no transporte de mercadorias. Alguns fatores não são levados em consideração, tais como o tipo de carga ou clientes com prioridades diferentes. O problema deve respeitar regras fundamentais das situações práticas, tais como a de que sempre que um determinado veículo faz uma entrega, o veículo deve deixar posteriormente o mesmo cliente (o tempo gasto na entrega e coleta no cliente é variado). Os veículos sempre saem inicialmente de um determinado depósito devem voltar para o mesmo depósito sem seja ultrapassado o tempo de trabalho do motorista (AI; KACHITVICHYANUKUL, 2008). 3

4 Todos os parâmetros e as variáveis de decisão utilizados no problema são definidos nos Quadros 1 e 2, respectivamente, sendo os índices i e j correspondendo aos clientes (origem e destino) e k ao veículo. As equações de 1 a 23 dessa seção representam o objetivo e as restrições do problema. Quadro 1 - Parâmetros Parâmetro N M C T Q Descrição Número total de clientes Número de clientes diários Custo de cada veículo Tempo máximo da rota Capacidade total do veículo Número máximo de veículos Custo de percorrer o percurso i ao j Tempo gasto ao percorrer o percurso i ao j Carga de retirada em i Carga de entrega em i Tempo de entrega em i Custo para clientes não diários Número de veículos para dias pares Número de veículos para dias ímpares Número total de veículos Fonte: Autoria própria Variável Tipo Descrição Quadro 2 Variáveis de decisão e intermediárias Binário Binário Inteiro Inteiro Inteiro Inteiro 1: indica que o percurso i j é feito pelo veículo k 0: 1: indica que o percurso entre i j i é e feito j não pelo é feito veículo pelo k veículo k 0: Carga indica retirada que o após percurso i j entre i e j não é feito pelo veículo k Carga entregue após i j Carga retirada após i j Carga entregue após i j Fonte: Autoria própria 4

5 O objetivo do problema de roteamento é minimizar o custo total, que inclui o custo dos veículos usados e os custos das rotas, conforme a apresentação dada na equação (1). A primeira parte da equação (1) representa o custo total dos veículos utilizados. A segunda parte representa a penalização por cada cliente não-diário e a terceira parte representa o custo total de todas as rotas, ou seja, o somatório dos custos de cada rota, sendo cada uma delas associada a um e apenas um veículo. As restrições dadas na equação (2) e na equação (4) asseguram que apenas um veículo chegue a um cliente para realizar a atividade associada e a restrições dadas na equação (3) e (5) garantem que somente um veículo sai de cada um dos clientes. Todos os clientes são servidos por algum veículo. As equações (2) e (3) correspondem às rotas dos dias pares e as equações (4) e (5) as rotas dos dias ímpares. 5

6 As equações (6) e (7) referem-se às entregas não diárias. Elas impedem que um cliente que não é diário apareça em rotas tanto nos dias pares quanto nos dias ímpares, ou seja, ele deve ser atendido por uma rota par ou ímpar. As restrições (8) e (9), a primeira das rotas pares e a segunda das rotas ímpares, garantem que o veículo que chega a um cliente é o mesmo a deixar este cliente, impedindo a troca de veículos durante o percurso de uma rota. As equações (10) e (11), das rotas dos dias pares, as equações (12) e (13) das rotas dos dias ímpares e as equações (14) e (15) dos dois dias representam as limitações de carga por veículo. Quando um veículo passa por um cliente, ele faz tanto uma entrega quanto uma busca, sendo que as duas têm o mesmo valor unitário. O veículo só vai passar nesse cliente se a sua capacidade for suficiente. 6

7 A equação (16) representa a quantidade de carga entregue mais a quantidade de carga que foi coletada após i e j tem que ser menor ou igual à capacidade do veículo da rota par. A equação (17) representa a quantidade de carga entregue mais a quantidade de carga que foi coletada tem que ser menor ou igual à capacidade do veículo da rota ímpar. 7

8 As restrições (18) e (19), a primeira das rotas pares e a segunda das rotas ímpares, impedem que as rotas percorridas não ultrapassem o tempo máximo preestabelecido para qualquer rota, ou seja, o custo de qualquer rota é limitado de acordo com um critério estabelecido previamente, no caso do problema tratado consiste no tempo de trabalho do motorista. O critério mais habitual para este tipo de restrição é o que associa às rotas uma ocorrência periódica, como é o caso de entrega de jornais diários. A equação (20) corresponde à quantidade de veículos utilizados nos dias pares e a equação (21) nos dias ímpares. A restrição (22) corresponde ao número total máximo de veículos, ou seja, a quantidade de veículos utilizados para a formação das rotas não deve passar de um número previamente estabelecido. 8

9 Ao cliente que não é diário, é acrescentado um custo b i que representa a necessidade que o mesmo tem de manter um estoque maior devido ao aumento do período de entrega/retirada, conforme ilustrado na equação (23). 3. Métodos para a implementação da solução com simulated annealing A metaheurística de Simulated Annealing emprega uma analogia entre os problemas de física estatística e problemas combinatoriais (MELIÁN, 2003). O procedimento considera um sistema em um determinado estado, representado por uma solução e por um parâmetro de controle. No caso analisado, a solução é um conjunto de rotas (não necessariamente de custo mínimo) que satisfazem as restrições do problema. Uma nova solução é gerada na vizinhança da solução corrente, passando a ser a nova solução corrente se apresentar um custo mais otimizado (menor, no caso). Caso a nova solução piore a solução corrente, ela é ainda assim aceita com uma probabilidade que depende da diferença entre as duas soluções e do parâmetro de controle. Este parâmetro, que vai sendo alterado ao longo da execução do algoritmo, serve para permitir a exploração de várias soluções no início da execução do algoritmo, e para inibir este processo ao longo da execução do mesmo, de forma que, depois de um tempo razoável, apenas soluções que melhorem o estado corrente são aceitas (SARAMAGO, 2003). O algoritmo termina com algum critério de parada determinado, tal como o número de estados avaliados (TALBI, 2009). A primeira proposta de vizinhança é a remoção e inserção dos clientes de forma aleatória. Um cliente aleatório é escolhido em uma rota também aleatória, é removido da mesma e inserido em uma posição aleatória em uma segunda rota. Tanto para a remoção quanto para a inserção do cliente e consequente modificação das rotas, é necessário que as mesmas continuem a satisfazer às restrições impostas pelo problema. A segunda proposta de vizinhança é uma permuta entre clientes pertencentes às rotas diferentes. A terceira proposta de vizinhança lida com clientes com requisitos diferentes (diários e não-diários). Primeiramente deve escolher 9

10 um cliente não diário. Se ele estiver nas rotas dos dias pares, ele vai ser colocado em alguma das rotas dos dias ímpares e vice-versa. Sendo assim, é feito o teste de factibilidade da rota que teve o cliente removido. Caso esta seja factível, ele é, então, inserido em outra rota escolhida aleatoriamente e em posição também escolhida da mesma forma. Este último passo só é concluído caso a rota seja factível. A quarta proposta de vizinhança consiste em tentar transformar clientes que não são diários em diários e vice-versa. A quinta e última vizinhança estudada consiste em uma mistura da quarta proposta com a de permuta. A solução do problema de roteamento de veículos com entrega e busca simultâneas é iniciada com a escolha de rotas, tomando como ponto inicial o depósito. Para este trabalho, é avaliada a solução inicial que inicialmente é aleatória finalizando com uma busca gulosa. Esta busca é implementada através da escolha aleatória dos clientes que vão compor a rota, até o limite do tempo para uma determinada rota que pode ser percorrida por um veículo, porém, pode ficar um espaço ainda suficiente para alocar um outro cliente. Sendo assim, é feito uma busca gulosa nos clientes que estão disponíveis, para certificar se algum destes pode ser colocado na rota. 4. Resultados e discussões No sentido de identificar as principais características da técnica de Simulated Annealing para a solução dos problemas de roteamento de veículos, deve-se investigar experimentalmente quais as técnicas de vizinhança mais adequadas para o algoritmo de tal forma que ele selecione as melhores soluções. Isso é feito aplicando o algoritmo de Simulated Annealing a um conjunto de dados gerados aleatoriamente para as cinco vizinhanças (insere-retira, externo, permuta, troca e trocapermuta) e o resultado tanto na métrica do valor da função objetivo quanto na do tempo necessário para calculá-la é observado. Para realizar a avaliação do desempenho do Simulated Annealing, considera-se a matriz de tempo dada através da multiplicação do custo entre os clientes por uma variável α. De forma esquemática =. O número de clientes é variável, começando em 30 e aumentando de dez em dez até o número máximo de 100, totalizando um total de 101 pontos (1 depósito e 100 clientes). O número de clientes diários corresponde à metade desse valor e a outra metade corresponde aos clientes não diários. O valor inicial da temperatura foi escolhido de tal forma que possibilite movimentos para regiões de pior solução e o fator de redução conjuntamente com o número de repetições e o 10

11 critério de parada permitem que estes movimentos diminuam ao ponto de inexistirem ao final do algoritmo. Para os valores típicos do problema, o valor de t inic (temperatura inicial) é escolhido de tal forma que (Z novo,z atual )/t inic seja pequeno, na faixa de [10-2,10-3 ]. Z novo e Z atual representam os valores das funções objetivo para as soluções novas e correntes, respectivamente. Como critério de parada, um valor de temperatura t fim é escolhido para que inviabilize qualquer movimento que não seja para melhorar a solução, ou seja, um valor de t fim substancialmente menor do (Z novo,z atual ), em geral de 100 a 1000 vezes menor. Para esta variação de t, o decréscimo da temperatura de forma geométrica com um fator de redução r c (0 <r c < 1), o número de degraus de temperatura pode ser dado por t fim /t inic.log(r c ). Em cada degrau, com a temperatura mantida constante, ajusta-se o fator de repetição de tal forma a obter-se um valor para a função objetivo que se aproxima da solução ótima. O experimento é executado 1000 vezes e os dados analisados são tomados em relação à média destas 1000 observações. Os parâmetros usados são todos aleatórios e as ordens de grandeza escolhidas foram baseadas na literatura referente ao problema de roteamento de veículos. Os experimentos foram realizados em um computador Dell INSPIRON14R750, processador INTEL i GHz com 3 Gb de memória DDR3 e sistema operacional UBUNTU Parâmetros básicos do VRPSPD no Simulated Annealing O custo é aleatoriamente distribuído no intervalo [10, 100] e α distribuído no intervalo [10, 20] que é gerado da mesma forma. O valor para o tempo máximo de qualquer rota (T) é de 5000 e o valor de cada veículo (k i ) é de 100. A carga máxima transportada por um veiculo é de 200. A carga entregue e a carga retirada são distribuídas no intervalo [10, 50] começando em 10 e aumentando em 5 até o número máximo de 50 e os seus valores são iguais, ou seja, o mesmo cliente tem tanto a carga entregue quanto a carga retirada com os mesmos valores. Para os clientes não diários têm uma penalidade que se encontra no intervalo [10,50] gerado randomicamente (MONTANÉ; GALVÃO, 2006). A penalidade é adicionada ao custo por não ter um veículo passando diariamente no ponto de entrega. O tempo de entrega em um determinado cliente também é levado em consideração e corresponde ao dobro da quantidade de carga entregue ou retirada. 4.2 Avaliação das vizinhanças Primeiramente, o valor da função objetivo é calculado, partindo de uma solução inicial hibrida (inicialmente aleatória finalizando com uma busca gulosa), para as cinco vizinhanças. 11

12 A Figura 1 ilustra o valor da função objetivo para cada uma das vizinhanças calculada como média e variando os clientes de 30 a 100. Nela pode ser observado que, para todos os casos, a função objetivo aumenta de forma regular com o aumento no número de clientes. Este aumento não é linear, indicando que após um determinado número de clientes, o ganho na função objetivo diminui. Isto acontece em particular em função do aumento das opções de rotas e, portanto, da possibilidade de escolha de rotas melhores por unidade de rota. Também é notado que a vizinhança troca e a troca-permuta apresentam resultados melhores e isto se deve ao fato que estes tipos de vizinhanças permitem não só a diminuição de rota, mas também ao fato da transformação de clientes diários em não diários, o que mostrou ser um diferencial importante, pois comparando essas duas vizinhanças com a insere-retira, que também possibilita a redução de rotas, o valor da função objetivo diminui consideravelmente. A diminuição de rotas acaba implicando em um valor menor da função objetivo, na média. As vizinhanças externo e permuta se mostraram piores, pois a primeira, mesmo tendo a possibilidade pequena de redução de rotas, possui um pequeno espaço de busca e a segunda, mesmo tendo um grande espaço de busca, não permite que as rotas sejam reduzidas. Figura 1 - Ilustração do valor da função objetivo para as 5 vizinhanças. Na Figura 2, pode ser observada a melhora da função objetivo em relação à função objetivo da solução inicial. Novamente, as vizinhanças troca e troca-permuta apresentaram melhores resultados. A vizinhança permuta se mostrou melhor que a vizinhança externo em alguns casos e a vizinhança insere-retira se mostrou intermediária. Ao analisar esta Figura, é possível observar que com 30 pontos de entrega, as vizinhanças troca e a troca-permuta 12

13 conseguiram reduzir a solução inicial em 40%, a insere-retira em 25%, a permuta em um pouco mais de 10% e a vizinhança externo em 10%. A taxa de redução da solução inicial decresce com o aumento do número de clientes. Figura 2 - Ilustração da melhora da função objetivo para as 5 vizinhanças. Na Figura 3, é feita uma comparação do valor relativo da função objetivo. Nela é possível ver que as vizinhanças troca e troca-permuta ficaram disputando a primeira colocação e em alguns casos a troca-permuta foi melhor. As outras três vizinhanças não conseguiram em nenhuma das situações terem as suas funções objetivo como as melhores. Isso mostra que a permutação feita na vizinhança troca-permuta se mostrou um diferencial no processo de encontrar rotas factíveis. Figura 3 - Ilustração do valor relativo da função objetivo para as 5 vizinhanças. O tempo de processamento é ilustrado na Figura 4. Nota-se que as vizinhanças troca e trocapermuta se mostraram melhores até no tempo gasto para encontrar rotas factíveis. Isto é 13

14 possível perceber pelo fato delas terem um grande espaço de busca. A vizinhança insereretira se mostrou dispendiosa quanto menor for o espaço de busca. Outro fator que se mostrou interessante foi o fato da vizinhança externo gastar pouco tempo para encontrar rotas factíveis. Porém, mesmo gastando pouco tempo para encontrar rotas factíveis se mostrou com o pior desempenho para a redução da função objetivo. Figura 4 - Ilustração do tempo de processamento para as 5 vizinhanças. Na Figura 5, pode ser observado a porcentagem de clientes não diários. Foi possível notar que as rotas tendem a ter mais clientes não diários, mesmo que tenha um custo adicional para eles. As outras três mantiveram em 50% pelo fato delas não terem a capacidade de transfomar clientes diários em não diários e vice-versa. Figura 5 - Ilustração da porcentagem de clientes não diários para as 5 vizinhanças. 14

15 5. Conclusão Dos cinco métodos utilizados, dois se mostram os melhores, que são as vizinhanças troca e troca-permuta. Elas se destacaram tanto em encontrar as melhores rotas em comparação às outras vizinhanças quanto no tempo gasto para encontrá-las. Outro fator interessante dessas duas abordagens é a tendência de ter mais clientes não diários, mesmo com a adição de uma penalidade para esse tipo de cliente. Sendo assim, a penalidade não se mostrou um obstáculo para que ajam mais clientes desse tipo. Porém, a penalidade pode ter sido baixa para o problema em questão. Esta deve ser, então, escolhida de forma a não ser baixa, ao ponto de beneficiar os clientes não diários, ou muito alta, prejudicando os clientes que são desse tipo. A técnica de inserção e remoção se mostrou cara computacionalmente quando o espaço de busca se reduz com a remoção dos veículos. Porém, quando o número de clientes aumenta, essa técnica se torna mais eficaz, ficando em uma posição intermediária em relação às outras quatro abordagens. A vizinhança permuta e a externo se mostraram com baixa eficiência, ficando nas últimas posições. A primeira se mostrou equilibrada embora com maior eficácia que a segunda, em função do espaço de busca da primeira ser consideravelmente maior que a vizinhança externo. Porém, uma vantagem da permuta é não apresentar os problemas de se prender de forma cíclica em algumas soluções, da forma como pode ocorrer a insere-retira. Com isso, a escolha da vizinhança é um fator de grande importância para se chegar a soluções ideais para o problema. REFERÊNCIAS AI, J. & KACHITVICHYANUKUL, V. (2009) A particle swarm optimization for the vehicle routing problem with simultaneous pick-up and delivery, Computers & Operations Research, 36, BELFIORE, P. P. & YOSHIZAKI, H. T. Y. (2006). Scatter Search para problemas de roteirização de veículos com frota heterogênea, janela de tempo e entregas fracionadas. Produção, 16(3), BOWERSOX, D. J.; COOPER, M. B. & CLOSS, D.J. (2006). Gestão Logística de Cadeia de Suprimentos, São Paulo: Bookman. BRANDÃO, J. (2011). A tabu search algorithm for the heterogeneous fixed fleet vehicle routing problem. Computers & Operations Research, 38, CHOPRA, S.; MEINDL, P. (2011). Gerenciamento da Cadeia de Suprimentos: Estratégia, Planejamento e Operação. São Paulo: Prentice Hall. 15

16 FRANCO JR, E. F. & OLIVEIRA, H. C. B. (2012). Adaptação da meta-heurística Grasp na resolução do problema de roteamento de veículos com janela de tempo. Pesquisa Operacional para o Desenvolvimento, 4(3), KUMAR, S. N. & PANNEERSELVAM, R. (2012). A Survey on the Vehicle Routing Problem and its Variants. Intelligent Information management, 2012, 4, MELIÁN, B.; PÉREZ, J. A. M. & VEGA, J. M. M. (2003). Metaheuristics: A Global View. In Revista Iberoamericana de Inteligencia Artificial. Asociación Española de Inteligencia Artificial, 2, n. 19. MONTANÉ, F. A. T. & GALVÃO R. D. (2006). A tabu search algorithm for the vehicle routing problem with simultaneous pick-up and delivery service. Computers & Operations Research. Programa de Engenharia de Produção, COPPE/Federal University of Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, RJ, Brazil, 33, PISINGER, D. & ROPKE, S. (2007). A general heuristic for vehicle routing problems. Computers & Operations Research, 34, SARAMAGO, S.F. (2003). Métodos de otimização randômica: algoritmos genéticos e Simulated Annealing. São Carlos SP: SBMAC. SILVA J., O. S. (2010). Roteirização de Veículos com Múltiplos Depósitos em Sistemas de Informação Geográfica Livre. Dissertação de mestrado, Rio de Janeiro: Instituto Militar de Engenharia. TALBI, EL-GHAZALI. (2009). Metaheuristics: From Design to Implementation, John Wiley & Sons. TOTH, P. & VIGO, D. (2002). The Vehicle Routing Problem, SIAM. VIEIRA, S. L.& REIS, M.V. G. (2014). Problema de Roteamento de veículos com entrega e busca simultâneas. XXXIV Encontro Nacional de Engenharia de Produção, Curitiba, Paraná. 16