geometria e medidas Guia do professor Experimento Curvas de nível Objetivos da unidade 1. Desenvolver experimentalmente a ideia de projeção ortogonal; 2. Aprimorar a capacidade de visualização e associação de figuras tridimensionais a uma representação plana; 3. Aplicar o conhecimento geométrico a situações de caráter prático por meio da construção de curvas de nível. licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons Secretaria de Educação a Distância Ministério da Ciência e Tecnologia Ministério da Educação
Curvas de nível Guia do professor Sinopse Este experimento propõe o estudo das curvas de nível e suas aplicações, usando massa de modelar. A partir da construção de um relevo, é possível desenhar suas curvas de nível e seu perfil topográfico. O caminho contrário também pode ser feito: a partir de um conjunto de curvas, podemos obter o formato do acidente geográfico. Conteúdos Geometria Plana; Geometria Espacial, Paralelismo entre Planos, Projeções Ortogonais. 1. 2. 3. Objetivos Desenvolver experimentalmente a ideia de projeção ortogonal; Aprimorar a capacidade de visualização e associação de figuras tridimensionais a uma representação plana; Aplicar o conhecimento geométrico a situações de caráter prático por meio da construção de curvas de nível. Duração Uma aula dupla.
Uma curva de nível é o lugar geométrico dos pontos de uma superfície que estão à mesma altitude. O seu estudo pode esclarecer as características dos acidentes do relevo de um terreno, permitindo verificar as elevações ou depressões existentes. Neste experimento é proposta uma atividade que permite aos alunos conhecer, interpretar e construir mapas topográficos a partir da composição e decomposição de relevos, proporcionando uma importante experiência de aplicação do conhecimento geométrico à situações de caráter prático. O experimento possibilita a compreensão de aplicações muito diversificadas, tais como: em agronomia, para proteger terrenos contra erosão, na escolha de lugares para se colocar antenas ou torres de transmissão, na leitura adequada de mapas topográficos para definir estratégias de defesa ou ataque, e mesmo na medicina, ciência cujos especialistas em córnea usam um smt, ou Sistema de Modelagem Topográfica, para produzir um mapa da curvatura da superfície do olho.
Comentários iniciais Este experimento possibilita um trabalho em grupo de tal maneira que os alunos construam relevos, com a utilização de massa de modelar. Isto possibilitará obter cortes no relevo criado para depois desenhar as curvas de nível correspondentes e ainda obter o perfil topográfico do relevo, ou seja, é criada uma representação plana do espaço tridimensional. Tipos de relevos Descrição dos relevos Os mapas topográficos permitem localizar as regiões montanhosas e de planícies. Segue um exemplo de um mapa que utiliza uma gradação de cores para distinguir as diferentes alturas das elevações. Por exemplo, as menores altitudes são verdes e as maiores são coloridas em marrom ou vermelho. fig. 1
Os mapas topográficos, entretanto, não permitem reconhecer os detalhes de formas do terreno, tais como vales, selas ou espigões. Para isso, é necessário o traçado de curvas de nível. No experimento é citado o termo formas topográficas convexas. No quadro abaixo encontra-se uma definição de sólido convexo e não convexo. Definição Um sólido é convexo se, para quaisquer dois pontos da sua superfície, o segmento de reta que une esses pontos está na sua superfície ou no seu interior. Caso tal não se verifique, o sólido é não convexo. Exemplos: fig. 2 Sólido convexo fig. 3 Sólido não convexo
Curvas de nível Associado à construção das curvas de nível, podemos destacar o conceito de projeção ortogonal. A projeção ortogonal,, de um ponto sobre um plano é a intersecção do plano com a reta perpendicular ao plano, conduzida pelo ponto. P α P fig. 4 A projeção ortogonal de uma figura geométrica (qualquer conjunto de pontos) sobre um plano é o conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos de sobre. F α F fig. 5 Observe na figura 10 do experimento os pontos das curvas de nível obtidos. Esses pontos correspondem a projeções ortogonais sobre um plano dos pontos que estão nos contornos correspondentes à intersecção do terreno com planos paralelos ao plano.
456 440 432 420 20m equidistância 416 20m 400 vertical 400 420 440 456 416 432 fig. 6 Observação Quanto mais próximo estiverem as curvas umas das outras, mais inclinado será o terreno; quanto mais espaçadas, menos inclinado ele o será. Certos aspectos das superfícies devem ser destacados, por exemplo: um pico montanhoso é rodeado de linhas de nível como a figura abaixo: x 585 x 563 fig. 7
300 400 500 fig. 8 uma passagem por uma cordilheira pode ter contornos como a figura abaixo: x 563 fig. 9 300 500 600 800 700 800 500 fig. 10 300
200 100 100 200 um longo vale apresenta curvas de nível aproximadamente paralelas, conforme a figura abaixo: fig. 11 fig. 12
Curiosidade Uma situação em que ocorre o cruzamento de curvas de nível pode ser ilustrada pela figura abaixo. A foto mostra uma formação rochosa existente no parque Nacional das Sete Cidades, no Piauí, e, abaixo, a representação das curvas de nível para uma formação desse tipo: fig. 13 fig. 14
Reconstrução e comparação de relevos Nesta etapa os alunos deverão construir um relevo a partir das curvas de nível, num processo inverso ao da etapa 2, permitindo ao aluno manipular, explorar e analisar as relações entre as representações plana e espacial de um relevo. Perfil topográfico A partir do traçado obtido das curvas de nível, é possível escolher uma linha horizontal na carta topográfica e representar os aclives e declives ao percorrer essa linha. A linha obtida por esse gráfico é o perfil topográfico do percurso. Ao analisar um perfil topográfico, podemos identificar as formas côncavas ou convexas de um terreno. Essas formas são ilustradas nas figuras a seguir: vista oblíqua Uma pendente escarpada até o cume e mais suave até a base é uma pendente côncava fig. 15 vista de carta Note que as curvas de nível estão mais juntas na parte abrupta do declive e mais separadas na parte suave. vista de perfil
vista de carta As curvas de nível estão mais separadas na parte suave, mais juntas na parte mais inclinada do declive. x 135 120 100 80 60 20 40 vista oblíqua Uma pendente suave até a base é uma pendente convexa fig. 16 vista de perfil VISTA DE PERFIL Observação A partir da identificação das formas côncavas ou convexas de um perfil topográfico, obtemos informações importantes relativas à visibilidade de um ponto em relação a outro. Essas informações são úteis, por exemplo, em projetos de transmissão de sinais de rádio, televisão ou telefonia celular.
Este experimento se encerra com um problema de aplicação, no qual é necessário representar o perfil de uma linha de um terreno para responder à seguinte pergunta: a casa situada em receberá sinal de TV de uma torre situada em? O problema deve ser resolvido conforme os passos descritos na etapa 4. A figura abaixo apresenta a solução, mostrando que a casa não receberá o sinal de TV, pois a elevação situada entre a casa e a torre impede a chegada do sinal. fig. 17
Caso haja disponibilidade de cartas topográficas da região, adapte o problema para locais conhecidos dos seus alunos. Também podem ser utilizados outros tipos de materiais, como eva, para a cons trução dos relevos e suas curvas de nível. fig. 18 Gleason, Andrew; Hughes-Hallett, Déborah; Mccallum, William et al. Cálculo de Várias Variáveis. São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda., 1997.
Ficha técnica Autores Miriam Sampieri Santinho, Rosa Maria Machado e Wilson Roberto Rodrigues Revisores Matemática Antônio Carlos Patrocínio Língua Portuguesa Carolina Bonturi Pedagogia Ângela Soligo Projeto gráfico e ilustrações técnicas Preface Design Ilustrador Lucas Ogasawara de Oliveira Fotógrafo Augusto Fidalgo Yamamoto Universidade Estadual de Campinas Reitor Fernando Ferreira Costa Vice-Reitor Edgar Salvadori de Decca Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto Matemática Multimídia Coordenador Geral Samuel Rocha de Oliveira Coordenador de Experimentos Leonardo Barichello Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc unicamp) Diretor Jayme Vaz Jr. Vice-Diretor Edmundo Capelas de Oliveira licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons Secretaria de Educação a Distância Ministério da Ciência e Tecnologia Ministério da Educação