Notas de Aula Disciplina FIS1061 2013-1 Prof. Waldemar Monteiro Silva Jr. - PUC-Rio CTC Departamento de Física

Notas de Aula Disciplina FIS1061 2013-1 Prof. Waldemar Monteiro Silva Jr. - PUC-Rio CTC Departamento de Física Índice: Cap 1: Equações de Maxwell e Ondas Eletromagnéticas Cap 2: Polarização Cap 3: Interferência Cap 4: Difração Cap 5: Relatividade Especial Cap 6: Radiação de Corpo Negro Cap 7: Efeito Fotoelétrico Cap 8: Efeito Compton Cap 9: Experimento de Franck e Hertz Cap 10: Modelo de Bohr Cap 11: Dualidade Onda-Partícula Cap 12: Equação de Schrödinger Cap 1: Equações de Maxwell e Ondas Eletromagnéticas - Aula 1 em 04/03/2013. Livro texto: Fundamentos de Física Halliday, D., Resnick, R., Walker, J. - vol 4 9ª ed Ed. LTC Rio de Janeiro - 2012 1-Equações de Maxwell na Forma Integral e Operadores Vetoriais Referências: Fundamentos de Física vol 3 H,R,W 9ª ed Ed. LTC Rio - 2012 O Eletromagnetismo clássico foi desenvolvido por diversos pesquisadores e os fenômenos eletromagnéticos foram modelados pelo pequeno conjunto de equações na forma integral listadas abaixo: 1-Lei de Gauss para o Campo Elétrico (1.1) onde (1.2) e (1.3) 2-Lei de Gauss para o Campo Magnético 3-Lei de Faraday ou como. (1.4) 1

(1.5) onde (1.6) 4-Lei de Ampère (1.7) onde (1.8) e (1.9) James Clerk Maxwell (1831-1879) tinha motivos para supor que essas equações deveriam ser aplicadas em geral a quaisquer sistemas físicos eletromagnéticos envolvendo tanto campos quanto circuitos elétricos com cargas, correntes elétricas, capacitores, resistores, bobinas, etc.. Mais ainda, essas equações deveriam englobar a possibilidade de representar a propagação de perturbações dos campos elétrico e magnético. Contudo as equações referentes a essa propagação jamais haviam sido obtidas. Note-se que equações de propagação de perturbações mecânicas (equações de ondas, assim como suas soluções) em corpos materiais como ar (som), água e sólidos eram já conhecidas. Maxwell investigou cuidadosamente essas equações fundamentais do eletromagnetismo, principalmente na forma diferencial utilizando os operadores diferenciais Gradiente, Divergente, Rotacional e Laplaciano. Para passar as equações acima para a forma diferencial necessitamos dos teoremas de Gauss e Stokes, já estudados no cálculo III. 2-Operadores Gradiente, Divergente, Rotacional e Laplaciano: Análise Vetorial M.R. Spiegel Coleção Shaum Ed. Mc Graw-Hill São Paulo - 1975. 3.0 Operador diferencial O operador diferencial Nabla é simbolizado por, sendo definido em coordenadas cartesianas pela expressão ( ) ( ) ( ) ( ) (2.0.1) Esse operador possui propriedades semelhantes às dos vetores comuns, sendo muito útil na definição dos três entes matemáticos gradiente, divergente e rotacional que existem nas aplicações práticas em diversos ramos da Física, Engenharia, Matemática e outros. 2.1 Gradiente. Símbolo do gradiente em coordenadas cartesianas: ( ) onde ( ) é uma função escalar contínua e suave das coordenadas e do tempo, com derivada contínua e suave em um conjunto do R 3. Cada variável (coordenada) está definida em um conjunto dos números reais. 2

Obs: Em sistema geral de coordenadas o operador gradiente é simbolizado pela palavra grad. Ação do operador Gradiente. Esse operador leva um conjunto de funções escalares (Domínio) a um outro conjunto (Imagem) de funções vetoriais. A relação entre esses conjuntos é representada pela expressão: ( ) ou ainda ( ) ( ) ( ), (2.1.1) onde ( ) é um campo vetorial, função das mesmas variáveis da função mesmas propriedades. e com as Vê-se que a função ( ) precisa ser uma função contínua, suave e bijetora das variáveis, com derivada contínua, suave e bijetora também. Obs: Algumas dessas restrições podem ser amenizadas para levar em conta situações físicas envolvendo descontinuidades. Por exemplo a função ( ) pode ser considerada contínua por partes e sua derivada também. As mesmas propriedades anteriores podem ser demonstradas. Porém, por ora, manteremos as condições originais, não usando essas amenizações. Derivada Direcional Considere um vetor unitário apontando em uma direção no espaço tridimensional. O símbolo ( ) representa o produto escalar entre o campo ( ) e o vetor unitário. A interpretação desse produto escalar é a derivada direcional de na direção de. Ex: ( ) ( ) ( ) 2.2 Divergente. Símbolo do divergente em coordenadas cartesianas: onde ( ) é uma função vetorial contínua, suave e bijetora das coordenadas e do tempo, com derivada contínua, suave e bijetora em um conjunto do R 3. Cada variável está definida em um conjunto dos números reais. Obs: Em sistema geral de coordenadas o operador divergente é simbolizado pela palavra div. Ação do operador Divergente. Esse operador leva um conjunto de funções vetoriais (Domínio) a um outro conjunto (Imagem) de funções escalares. A relação entre esses conjuntos é representada pela expressão: ( ) ( ) ( ) ( ) 3

ou ainda (2.2.1) onde é um campo escalar, função das mesmas variáveis da função. Vê-se que a função ( ) precisa ser uma função contínua, suave e bijetora das variáveis, com derivada contínua, suave e bijetora também. Obs1: Valem as mesmas observações do item anterior. Obs2: Note que em geral ( ) (). 2.3 Rotacional. Símbolo do rotacional em coordenadas cartesianas: onde ( ) é uma função vetorial contínua, suave e bijetora das coordenadas e do tempo, com derivada contínua, suave e bijetora em um conjunto do R 3. Cada variável está definida no conjunto dos números reais. Obs: Em sistema geral de coordenadas o operador rotacional é simbolizado pela palavra rot. Ação do operador Rotacional. Esse operador leva um conjunto de funções vetoriais (Domínio) a um conjunto (Imagem) de funções vetoriais também, ainda que não seja o mesmo conjunto. A relação entre esses conjuntos é representada pela expressão: ( ) ( ) ( ) ( ) ou ainda [ ] ( ) ( ) ( ) (2.3.1) onde é um campo vetorial, função das mesmas variáveis da função. Vê-se igualmente que a função ( ) precisa ser uma função contínua, suave e bijetora das variáveis, com derivada contínua, suave e bijetora também. Obs1: Valem as mesmas observações do item anterior. Obs2: Note que em geral ( ) (). 2.4 Laplaciano. Laplaciano é o nome do operador ( ) dado por ( ) ( )( ) 4

A ação desse operador pode levar conjunto de campos escalares contínuos, suaves e bijetores, com derivadas contínuas, suaves e bijetoras, definidos em R 3, a outro conjunto de campos escalares com as mesmas propriedades. O operador laplaciano é escrito nas formas abaixo ( ) ( ) ( ) ; (2.4.1) Entretanto esse operador Laplaciano também pode levar conjunto de campos vetoriais a outro conjunto de campos vetoriais, definidos no R 3. Nesse caso ele é escrito na forma abaixo (2.4.2) Nota: não pode ser escrito como ( ), pois não é definido o gradiente de um campo vetorial. 3 - Propriedades Simples dos Operadores Gradiente, Divergente, Rotacional e Laplaciano: Faça as demonstrações dessas propriedades usando o símbolo 1 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) ( ) ( ) 5 ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) 7 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 9 ( ) ( ) 10 ( ) 11 ( ) 12 ( ) ( ) ( ) 4 Interpretação simples desses Operadores Gradiente, Divergente, Rotacional e Laplaciano: O Gradiente de uma função escalar nos fornece a derivada direcional máxima em uma direção do espaço previamente escolhida. O Divergente de um campo vetorial fornece o Fluxo Elementar desse campo vetorial através de uma superfície fechada que engloba a vizinhança de um ponto no espaço R 3. O Rotacional de um campo vetorial fornece a Circulação Elementar de um campo vetorial em um percurso fechado que limita uma superfície. O Laplaciano, sendo uma derivada segunda de uma função, propaga no espaço a ação dessa função duas vezes (em segunda ordem), seja essa função um campo escalar ou vetorial. Consequências: 5

1 Divergente: Se o Divergente de uma função vetorial for NULO EM UM LOCAL (PONTO) do espaço, significa que NESSE PONTO NÃO HÁ FONTES NEM SUMIDOUROS das linhas de campo desse campo vetorial. Se, por outro lado, o Divergente desse campo vetorial NÃO FOR NULO EM UM LOCAL (PONTO) do espaço, então NESSE PONTO EXISTE UMA FONTE OU UM SUMIDOURO das linhas de campo desse campo vetorial. Exemplo em escoamento de fluidos: Divergente nulo do campo vetorial de velocidades do fluido significa que não há fontes ou sumidouros do fluido no ponto considerado. Divergente diferente de zero desse mesmo campo vetorial de velocidades do fluido significa a existência de fonte ou sumidouro de fluido nesse ponto do espaço. Obs: As Linhas de campo de um campo vetorial são definidas como as curvas tangentes (sequência contínua de pontos) aos vetores (representados por setas) desse campo vetorial em cada ponto do espaço R 3. 2 Rotacional: Se o ROTACIONAL de um campo vetorial for NULO em um local (ponto) do espaço, significa que o campo vetorial NÃO POSSUI VÓRTICES NA VIZINHANÇA DESSE PONTO. Se o ROTACIONAL de um campo vetorial NÃO FOR NULO em um local (ponto) do espaço, significa que o campo vetorial POSSUI VÓRTICES NA VIZINHANÇA DESSE PONTO. Exemplo em escoamento de fluidos: Rotacional nulo do campo vetorial de velocidades do fluido significa que não há vórtices (redemoinhos) no escoamento do fluido na vizinhança do ponto considerado. Por outro lado se o rotacional do campo vetorial de velocidades do fluido for diferente de zero significa a existência de vórtices (redemoinhos) no escoamento do fluido na vizinhança do ponto considerado. 5 Teoremas de Gauss e Stokes: 5.1 Teorema de Gauss Se tivermos um volume V de um conjunto do R 3 limitado por uma superfície fechada S, contínua, simplesmente conexa, e uma campo vetorial ( ) contínuo, suave e bijetor nas coordenadas com primeira e segunda derivadas contínuas, suaves e bijetoras nas mesmas variáveis (coordenadas), então vale ( ) ou ( ) onde, sendo o vetor normal positivo à superfície S de integração cujo. Acima, a primeira expressão do Teorema de Gauss está escrita usando símbolos simples tanto de integração de superfície no lado esquerdo quanto de integração de volume no lado direito. 6

5.2 Teorema de Stokes Se tivermos uma superfície S de área A, aberta, de duas faces, contínua, simplesmente conexa, limitada por um percurso fechado que não corte a si mesmo (ou seja, L é uma curva fechada simples) em R 3 e um campo vetorial ( ) contínuo, suave e bijetor nas coordenadas com primeira e segunda derivadas contínuas, suaves e bijetoras nas mesmas variáveis (coordenadas), então vale ( ) ou ( ) onde, sendo o vetor normal positivo à superfície S de integração cujo e o percurso L seja percorrido no sentido positivo em relação ao vetor. Obs: 1-Adota-se o sentido positivo do percurso L quando um observador se desloca na face dita positiva de S sobre a curva L, limítrofe de S, vendo a superfície S no seu lado esquerdo. 2-Acima, a primeira expressão do Teorema de Stokes está escrita usando símbolos simples de integração de superfície no lado direito. 6 Equações do Eletromagnetismo na forma diferencial: Mostraremos agora a passagem das equações do eletromagnetismo na forma integral, para a forma diferencial com os operadores Divergente e Rotacional. 1-Lei de Gauss para o Campo Elétrico: Podemos reescrever essa equação na forma Usando o Teorema de Gauss obtemos. ( ) no lado esquerdo da equação acima, ( ). Considerando um volume elementar para aplicar a essa equação, ela toma a forma. Esse volume é contínuo, não nulo e simplesmente conexo. As funções nele definidas são contínuas, suaves e bijetoras, com primeira e segunda derivadas continuas, suaves e bijetoras. Portanto o termo entre chaves { } precisa valer zero consistentemente em todo o volume V para satisfazer a equação anterior. Nesse caso essa equação toma a forma: (6.1) que é a forma diferencial para a Lei de Gauss do Campo Elétrico. 2-Lei de Gauss para o Campo Magnético: Essa equação tem a forma 7

. Usando o Teorema de Gauss ( ) no lado esquerdo da equação acima, obtemos ( ). Considerando um volume elementar para aplicar a essa equação, ela toma a forma. Esse volume é contínuo, não nulo e simplesmente conexo. As funções nele definidas são contínuas, suaves e bijetoras, com primeira e segunda derivadas continuas, suaves e bijetoras. Portanto o termo entre chaves { } precisa valer zero consistentemente em todo o volume V para satisfazer a equação anterior. Nesse caso essa equação toma a forma: (6.2) que é a forma diferencial para a Lei de Gauss do Campo Magnético. 3-Lei de Ampére para o Campo Magnético: Essa equação tem a forma, onde e. Usando o Teorema de Stokes ( ) no lado esquerdo da equação acima, obtemos ( ). Considerando uma superfície elementar para aplicar a essa equação, ela toma a forma. Essa superfície elementar é simplesmente conexa e não nula. As funções nela definidas são contínuas, suaves e bijetoras, com primeira e segunda derivadas continuas, suaves e bijetoras. Portanto o termo entre chaves { } precisa valer zero consistentemente em toda a superfície para satisfazer a equação anterior. Nesse caso essa equação toma a forma: que é a forma diferencial para a Lei de Ampère. (6.3) 4-Lei de Faraday-Lenz: Essa equação tem a forma, onde. Substituindo vem. Usando o Teorema de Stokes ( ) no lado esquerdo da equação acima, obtemos ( ). Considerando uma superfície elementar para aplicar a essa equação, ela toma a forma. Essa superfície elementar é simplesmente conexa e não nula. 8

As funções nela definidas são contínuas, suaves e bijetoras, com primeira e segunda derivadas continuas, suaves e bijetoras. Portanto o termo entre chaves { } precisa valer zero consistentemente em toda a superfície para satisfazer a equação anterior. Nesse caso essa equação toma a forma: (6.4.1) que é a forma diferencial para a Lei de Faraday-Lenz. Resumo das equações do eletromagnetismo expressas na forma diferencial: ; ; ;. (6.4.2) 7 Propriedades das Equações do Eletromagnetismo na forma diferencial: Sabemos que o operador Divergente aplicado ao operador Rotacional para funções contínuas, suaves e bijetoras com primeira e segunda derivadas contínuas, suaves e biietoras, no Domínio considerado, gera valor zero identicamente. Vejamos que resultados físicos se pode obter pela operação mencionada acima. Apliquemos o operador Divergente às equações que possuem o operador Rotacional. 1-Na Lei de Ampère, temos ( ) ( ) Esse resultado leva à interpretação do campo vetorial não possuir fontes saldo dentro de um volume elementar. Porém isto entra em contradição com uma situação física bastante plausível descrita do seguinte modo: Em um sistema físico aberto, de volume V, pode-se considerar somente a existência de cargas positivas em excesso que estejam saindo do volume V através da superfície (fronteira) desse volume. O fluxo de cargas através dessa superfície terá que ser obrigatoriamente diferente de zero. O movimento das cargas é descrito pelo campo vetorial. onde. O fluxo de cargas então toma a forma. Nesse caso. Apliquemos o Teorema de Gauss ao campo vetorial ( ). Temos ( ). Usando esse resultado no lado esquerdo da equação anterior obtém-se ( ). Considerando um volume elementar para aplicar a essa equação, ela toma a forma. Esse volume é contínuo, não nulo e simplesmente conexo. O campo vetorial ( ) nele definido é contínuo, suave e bijetor, com primeira e segunda derivadas continuas, suaves e bijetoras. Portanto o termo entre chaves { } precisa ser diferente de zero consistentemente em todo o volume V para satisfazer a equação anterior. Nesse caso essa equação toma a forma:. Esse resultado claramente contradiz aquele obtido anteriormente da Lei de Ampére. 9

2- Na Lei de Faraday-Lenz, temos ( ) ( ). O lado esquerdo é identicamente nulo, produzindo ( ). Como o operador Divergente atua sobre as coordenadas espaciais x, y, z, que são independentes da variável t, pode-se trocar a ordem dos operadores ( ). Contudo. Nesse caso obtém-se a identidade, que não possui contradições físicas. Conclusões: Maxwell precisou resolver a contradição surgida com a Lei de Ampère. Para isso criou o conceito de corrente de deslocamento. 8 Proposta de Maxwell para resolver a contradição contida na Lei de Ampère: A corrente de Deslocamento. J. C. Maxwell (1831-1879) acreditava que as outras leis físicas referentes a cargas elétricas, correntes elétricas, pólos de ímãs, campos elétricos e magnéticos deviam provir das Leis Fundamentais do Eletromagnetismo. Nesse caso elas deveriam produzir a Lei de Conservação do Fluxo de Cargas Elétricas através de deduções adequadas. Para ver como essa lei pode derivar dessas leis fundamentais, precisa-se olhar para a Lei de Ampére com mais atenção. Retomemos então o desenvolvimento de idéias do item 1 da seção 8 anterior. 1-Conservação da Carga em Sistema Físico Fechado: Consideremos inicialmente um sistema físico fechado contendo cargas em movimento em seu interior. O valor da carga total ( ) nesse volume permanece constante com o passar do tempo. A Lei de Conservação da Carga pode ser expressa por ou. Contudo. Nesse caso temos ( ). Desse modo. Apliquemos essa expressão a um volume elementar. Ela toma a forma. Esse volume é contínuo, não nulo e simplesmente conexo. As funções nele definidas são contínuas, suaves e bijetoras, com primeira e segunda derivadas continuas, suaves e bijetoras. Portanto o termo entre chaves { } precisa valer zero consistentemente em todo o volume V para satisfazer a equação anterior. Nesse caso essa equação, ou seja, a Lei de Conservação da Carga em Sistema Fechado toma a forma: Isso implica que a densidade de cargas saldo é a mesma com o passar do tempo em qualquer ponto dentro do volume considerado. Essa conclusão é bastante restritiva. Essa lei na forma integral tem um amplitude maior que a forma diferencial, pois afirma que o total da carga saldo permanece fixa dentro do volume total sem entrar em detalhes de como isso acontece em cada ponto do volume considerado. (8.1) 10

2-Conservação da Carga em Sistema Físico Aberto: Em um sistema físico aberto, de volume V simplesmente conexo, considere a existência de cargas que estejam saindo ou entrando nesse volume V através da superfície S (fronteira) desse volume. Admitamos que o fluxo de cargas através dessa superfície seja diferente de zero. O movimento das cargas no volume mencionado é descrito pelo campo vetorial onde é a densidade volumétrica de carga. O fluxo de cargas na superfície S, que engloba essa região do espaço, toma a forma. Nesse caso, pois existem cargas atravessando a superfície S. Por outro lado a carga total ( ) nesse volume NÃO permanece constante com o passar do tempo. Portanto, ou. Para que possamos adotar a concepção de que carga elétrica não pode ser destruída nem criada, precisamos estabelecer a relação entre essa variação temporal da carga dentro do volume V com o fluxo de cargas através da superfície S. Um caso particular serve como base de raciocínio. Admita que haja um saldo cargas positivas saindo do volume V através da superfície S. No interior do volume a carga total está diminuindo. Isso se traduz em. O fluxo de cargas positivas saindo pela superfície S deve ser positivo, pois os vetores e apontam para fora da superfície e seu produto escalar é positivo. Os módulos devem ser iguais. Como seus sinais são opostos a igualdade matemática dessas expressões deve ser escrita e (8.2) Essa expressão é exatamente a mesma para as situações em que tenhamos: saldo de cargas positivas entrando no volume, saldo de cargas negativas saindo do volume e saldo de cargas negativas entrando no volume. Ou seja ela é válida de forma geral, sendo denominada Lei de Conservação da Carga para sistemas abertos. Passemos essa forma integral da Lei para a forma diferencial em termos de operadores diferenciais. Apliquemos o Teorema de Gauss ao campo vetorial ( ). Temos ( ). Usando esse resultado no lado direito da equação anterior obtém-se ( ). Como, temos ( ). Desse modo ( ). Colocando todos os termos do lado esquerdo da equação ( ) ou. Esse volume é contínuo, não nulo e simplesmente conexo. As funções nele definidas são contínuas, suaves e bijetoras, com primeira e segunda derivadas continuas, suaves e bijetoras. Portanto o termo entre chaves { } precisa valer zero consistentemente em todo o volume V para satisfazer a equação anterior. Nesse caso essa equação, ou seja, A Lei de Conservação da Carga em Sistema Aberto toma a forma: (8.3) 11

3-Formulação de Maxwell para a Lei de Ampère Vetor Densidade de Corrente de Deslocamento Como a Lei de Ampère produzia incorretamente, J. C. Maxwell propôs modificá-la para adequá-la à Lei de Conservação da Carga para sistemas abertos. Ele então adotou a Lei de Ampère na forma ( ), de tal modo que aplicando o operador Divergente tenhamos ( ). Como identicamente, chegamos a ( ), ou seja. Comparando essa expressão com, obtemos. Necessitando de uma forma para em termos dos campos já conhecidos, podemos derivar no tempo os termos do lado esquerdo e direito da Lei de Gauss para o campo vetorial de forma a obterrmos ( ) ( ). Como os operadores de derivação e ( ) são aplicados a coordenadas independentes, podemos trocar a ordem de aplicação deles às funções e obter pode ser reescrita.. Identificando, chegamos a, a qual Maxwell adotou o valor nulo para a constante. A Lei de Ampère passou a ser chamada de Lei de Ampère-Maxwell e tomou a forma (8.4) Chamou-se Densidade de Corrente de Deslocamento ( ) ao novo termo na Lei de Ampère (8.5) É interessante notar a forma integral da Lei de Ampère-Maxwell. Propõe-se fazer o produto escalar dos termos do lado esquerdo e dos termos do lado direito por um diferencial de área e integrar esses produtos em uma superfície S limitada por um percurso fechado L. Teremos ( ) ( ) ( ) Aplica-se então o Teorema de Stokes no lado esquerdo da expressão acima para chegar à forma integral da Equação de Ampère-Maxwell onde (8.6), (8.7) (8.8) onde. (8.9) 12

As novas equações do Eletromagnetismo são chamadas de Equações de Maxwell. Sua forma diferencial é ; ; ; (8.10) Podemos acrescentar a elas a força de Lorentz em sua forma geral (8.11) para termos um conjunto bastante completo de equações do Eletromagnetismo, as quais dão conta de explicar um grande número de fenômenos eletromagnéticos clássicos. É possível reescrever as equações de Maxwell através dos vetores e, definidos por (8.12) e, (8.13) onde é a permissividade elétrica do meio e é a permeabilidade magnética do meio. O vetor é denominado Vetor de Indução Elétrica. O vetor é denominado Vetor Campo Magnético. Note que o vetor é denominado Vetor de Indução Magnética. As equações de Maxwell tomam a forma ; ; ; (8.14) 4-Aplicação da Corrente de Deslocamento em capacitores: Os estudiosos de circuitos elétricos em épocas anteriores a Maxwell tinham a convicção de que uma corrente elétrica não precisava ter continuidade em todos os circuitos, genericamente falando. Alegavam que a corrente empregada em carregar um condensador (capacitor) não é fechada, pois termina nas placas do condensador (capacitor), onde as cargas estão se acumulando. Como as cargas não atravessam o dielétrico entre as placas, a corrente elétrica não existe ali. Maxwell admite que no dielétrico entre as placas do capacitor ocorre um processo: o campo elétrico aumenta (nesse meio dielétrico entre as placas) conforme as cargas se acumulam nas placas. Nesse caso 13. Esse processo é a Corrente de Deslocamento dada por, a qual produz os mesmos efeitos magnéticos da corrente de cargas. Portanto, forma uma continuação da corrente de cargas na região entre as placas. Desse modo a corrente elétrica (existente em um circuito) empregada em carregar um condensador é de fato fechada, existindo na forma de corrente de deslocamento no interior do dielétrico entre as placas de um capacitor. Outra questão interessante diz respeito à especulação sobre as razões pelas quais Ampére não descobriu a corrente de deslocamento. Estima-se que o termo exige uma forte variação do fluxo (do campo ) com o tempo, pelo

menos da ordem de para compensar o valor da constante de permissividade dielétrica do vácuo presente na fórmula de de modo a gerar uma corrente de deslocamento de valor aproximado a 0,89 A. O problema é saber se Ampére ou algum outro, em sua época, dispunha de condições para produzir uma taxa temporal de variação do fluxo do campo elétrico com essa ordem de grandeza de. A resposta depende de pesquisa histórica na qual se consiga determinar aproximadamente se alguém obteve tal taxa no laboratório. Caso não tenha obtido, deve-se investigar se o conjunto de conhecimentos teóricos mostrado em publicações associado ao estado de evolução técnica laboratorial (da época) era capaz de produzir tais taxas de variação do fluxo do campo elétrico em laboratório. Em uma primeira avaliação intuitiva, podemos dar uma resposta negativa a essa segunda indagação. A razão dessa avaliação intuitiva é exatamente a não descoberta da corrente de deslocamento. 9 Proposta de uma Solução Geral das Equações de Maxwell. É possível propor uma solução geral para a Lei de Gauss do magnetismo,, na forma (9.1) onde é denominado Potencial Vetor do campo. Isso decorre da identidade vetorial ( ) para qualquer função ( ) contínua, suave e bijetora com primeira e segunda derivada contínuas, suaves e bijetoras. Substituindo essa expressão na Lei de Faraday-Lenz temos ( ). Os operadores ( ) e atuam sobre variáveis independentes (x, y, z, t) e podem ter sua ordem de atuação trocada, produzindo ( ) ( ). A partir da identidade ( ), podemos admitir, tal que ( ) seja uma função contínua, suave e bijetora com primeira e segunda derivadas contínuas, suaves e bijetoras. O sinal (-) foi escolhido para que possamos reobter a solução das equações de campo da Eletrostática como caso particular, em que. Portanto adotaremos para o campo a forma geral (9.2) Necessitamos agora encontrar que equações as funções ( ) e ( ) devem satisfazer. Consideremos o procedimento abaixo para obter a equação à qual o Potencial Vetor deve obedecer. Substituiremos a expressão acima (9.2) na Lei de Gauss para o campo de modo a obter { } ( ), onde trocamos a ordem dos operadores Divergente e derivada temporal parcial. temos ( ) Substituindo na Lei de Ampére-Maxwell ( ) ( ). Pondo a expressão de nessa equação, vem 14

( ) ( ), o que fornece então ( ). Adota-se a Condição de Lorentz (também chamado Calibre de Lorentz) (9.3) para se conseguir uma equação de onda com fonte para o Potencial Vetor. (9.4) Vejamos agora o procedimento para obter a equação à qual o Potencial Escalar deve obedecer. Pela Condição de Lorentz temos ( ), chega-se a. Pondo na equação. (9.5) Essas duas equações, uma para e outra para podem ser resolvidas para se chegar às soluções ( ) ( ) (9.6) onde. ( ) ( ) (9.7) 10 Teorema de Poynting (Lei de Conservação da Energia): O teorema de J. H. Poynting (publicado em 1884) exprime a Lei de Conservação da Energia associada a um campo eletromagnético em um volume V do espaço contido em uma superfície fechada S, sendo ambos (V e S) regiões simplesmente conexas. Iniciamos fazendo o operador Divergente atuar sobre o produto vetorial entre os vetores e na forma ( ) ( ) ( ). Usaremos as equações de Maxwell nessa expressão para obter ( ) ( ) ( ), que pode ser escrita ( ) ( ) { ( ) ( ( ) )}. ( ) ou ainda na forma Definimos, analogamente ao caso estático, a densidade volumétrica de energia elétrica ( ), (10.1) a densidade volumétrica de energia magnética ( ) 15

(10.2) e a densidade volumétrica da energia eletromagnética (10.3) cujas unidades no SI são expressas por Joule/m 3. Define-se o Vetor de Poynting por. (10.4) Sua unidade no SI é Watt/m 2. A equação anterior fica ( ) ou ainda (10.5) Interpretação dos termos existentes nessa equação do Teorema de Poynting: 1-O termo do lado esquerdo representa a taxa temporal de variação da energia do campo eletromagnético no volume V considerado. Sua unidade no SI é Watt/m 3. Se essa taxa for positiva, a energia está aumentado e se for negativa a energia está diminuindo em V. 2-O primeiro termo do lado direito representa o fluxo de potência eletromagnética por área (energia dividida por tempo e por área) que atravessa a superfície fechada S limitadora do volume V. Vejamos porquê: A unidade no SI desse termo tem que ser Watt/m 3. Portanto a unidade do vetor precisa ser Watt/m 2, pois o operador Divergente tem unidade 1/m no SI. Se o vetor apontar para fora da superfície S, o produto escalar com o elemento de área da superfície fica positivo. O termo torna-se então negativo, significando uma perda de energia eletromagnética dentro do volume. Se o vetor apontar para dentro da superfície S, então o produto escalar com o elemento de área da superfície fica negativo. O termo torna-se então positivo, significando um ganho de energia eletromagnética dentro do volume. O vetor fica interpretado então como o responsável pelo transporte de energia eletromagnética através da superfície que engloba o volume V. Obs: Note que essa superfície e esse volume são arbitrários e podem ser construções matemáticas que não precisam coincidir com corpos materiais. 3-O segundo termo do lado direito é interpretado como o trabalho total exercido pelos campos sobre as cargas em movimento. Considerando a Lei de Ohm em meios condutores homogêneos dada por (10.6) 16

o termo anterior vem a ser, o qual é comumente interpretado como perda de potência por unidade de volume devido ao aquecimento causado pela passagem de corrente (efeito Joule). 11 Obtenção das equações de onda para a Onda Eletromagnética no vácuo, a partir das Equações de Maxwell do Eletromagnetismo. Podemos admitir que no vácuo não temos densidade de carga em excesso tanto quanto não temos o vetor densidade de corrente, ou seja ambos são nulos: e. Com isso as equações de Maxwell tornam-se ; ; ;. Aplicando o operador Rotacional nos termos dos dois lados da Lei de Ampére- Maxwell, vem ( ). Porém ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). A ordem das operações de derivada parcial temporal e do operador pode ser invertida devido à independência das coordenadas de posição e tempo. Além disso. A equação anterior fica então com a forma ( ). A equação de Faraday-Lenz pode ser usada na expressão anterior para obtermos ( ) ( ), ou ainda. (11.1) Façamos o mesmo nos termos dos dois lados da Lei de Faraday-Lenz. Vem ( ). Porém ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Novamente pode-se inverter a ordem das operações de derivada parcial temporal e do operador. Além disso. A equação anterior fica então com a forma ( ). A equação de Ampére-Maxwell pode ser usada na expressão anterior para obtermos ( ) ( ), ou ainda. (11.2) Em resumo as equações de Maxwell no vácuo geram as equações de onda eletromagnética (EM) para os campos e. ( ) e ( ). Essas equações podem ser comparadas com uma equação geral homogênea da onda 17, (11.3) previamente estudada e resolvida por D Alembert (1717-1783). Se considerarmos ( ) então e a equação de onda torna-se. A solução geral pode ser dada pela adição de duas funções periódicas ( ) ( ) ( ) tal que

( ) ( ) ( ) (11.4) ou ainda na forma ( ) ( ) (11.5) Com. ; (11.6) Claramente os campos e que solucionam as equações de onda (11.1) e (11.2) deverão ser funções como a função de onda ( ) acima. Nas equações de onda EM (11.1) e (11.2), nota-se que o coeficiente do termo com a derivada segunda dos campos é o mesmo ( ) para ambos os campos. Comparando-se essas equações com a equação diferencial para ( ), o coeficiente da derivada segunda da função de onda ( ) em relação ao tempo pode ser igualado ao inverso da velocidade ao quadrado : (11.7) Essa velocidade calculada com a expressão acima dá:. Maxwell identificou essa velocidade da onda EM com a velocidade da luz, a qual havia sido medida por Fizeau em 1849/1851, e concebeu a idéia de que a luz é uma onda eletromagnética. Essa idéia, extremamente fecunda, gerou consequências fantásticas para a Óptica, pois permitiu demonstrar a quase totalidade das propriedades da luz através da teoria eletromagnética, baseada nas Equações de Maxwell. 12 Espectro de Frequências da Onda Eletromagnética. Atualmente se conhece amplamente o conjunto (espectro) de frequências e comprimentos de onda das ondas eletromagnéticas. A faixa de frequências possível é imensa. A tabela abaixo dá uma idéia desses valores: Frequências: khz Ondas de Rádio AM - MHz Ondas de Rádio FM - GHz Ondas Ultracurtas de Rádio, TV, Telefonia Celular, Microondas - 10 14 10 15 Hz Ondas Luminosas - 10 18 Hz Raios-X - 10 21 Hz Raios- Lembrando que podemos encontrar os comprimentos de onda de diversas radiações eletromagnéticas: Ex 1: A rádio Tupi AM emite suas ondas eletromagnéticas (EM) em uma estreita faixa de frequências cuja frequência dominante é. Encontre o valor do comprimento de onda dominante dessa radiação EM. 18

RESP: aproximadamente. ou seja dois e meio campos de futebol Ex 2: Um forno de micro-ondas emite suas ondas eletromagnéticas (EM) em uma estreita faixa de frequências cuja frequência dominante é. Encontre o valor do comprimento de onda dominante dessa radiação EM. RESP: ou seja 12,2 cm. Ex 3: Um telefone celular se comunica com sua operadora de telefonia celular emitindo ondas eletromagnéticas em uma estreita faixa de frequências cuja frequência dominante é. Encontre o valor do comprimento de onda dominante dessa radiação EM. RESP: ou seja 35,3 cm. 13 Obtenção Experimental da Onda Eletromagnética por H. Hertz. Em 1888 H. Hertz produziu as ondas eletromagnéticas em laboratório por diversos meios e formas. Orientado por H. von Helmholtz ele conseguiu montar um circuito gerador de ondas EM que permitiu comprovar a existência delas. Note-se que Maxwell, tendo falecido em 1879, não chegou a conhecer a descoberta experimental da onda EM. Hertz construiu um dispositivo experimental composto basicamente por um circuito oscilante RLCε (resistor, indutor, capacitor e fonte) que gerava ondas EM no ar com comprimento de onda e período ( ). A velocidade da onda EM no ar foi calculada por. Ele mesmo admitiu que esse valor estava inexato, pois possuía estimativas de que o valor real era menor. No mesmo ano Hertz mostrou que ondas EM no ar eram refletidas por placas condutoras. Em consequência conseguiu produzir ondas estacionárias causadas pela superposição entre ondas incidentes e refletidas nessas placas. Em 1889 apresentou a explicação de seus resultados experimentais com base nas equações de Maxwell. O dispositivo experimental de Hertz pode ser descrito como um radiador com dois pólos (antena dipolo), que são as placas do capacitor. Nas próprias palavras de Hertz (simplificadas pelo autor dessa apostila) ele descreve o fenômeno da emissão da radiação pelo circuito RLCε do seguinte modo: O circuito produz cargas elétricas de sinais opostos nas placas em um certo instante. A seguir o circuito oscilante, funcionando próximo à condição de ressonância, inverte as cargas. Essa inversão ocorre rapidamente com frequência angular. Em consequência surge um campo elétrico entre as cargas nas placas e um campo magnético gerado pela corrente de deslocamento entre as placas. Conforme o campo elétrico cresce, suas linhas de campo se movem para fora do espaço entre as placas. Quando as cargas nas placas atingem seu valor máximo, as linhas cessam de se expandir. As cargas começam a diminuir nas placas e as extremidades das linhas de campo nos pólos começam a se retrair, pois o campo elétrico está diminuindo. Quando elas se retraem totalmente, o campo elétrico cessa e porção de linhas de campo já existentes no espaço externo ao capacitor coalescem em linhas de campo elétricas fechadas que avançam pelo espaço independentemente 19

da fonte. Comportamento semelhante ocorre com as linhas de campo magnético. Elas se movem no espaço completamente perpendiculares à direção de propagação. A perda de energia pelo circuito corresponde à energia da radiação EM emitida. A grandes distâncias essa onda EM toma a forma de uma onda plana. 13 Obtenção das equações de onda para a Onda Eletromagnética em meios condutores, a partir das Equações de Maxwell. No meio condutor homogêneo vale a Lei de Ohm. Pode-se admitir que não haja cargas elétricas em excesso. Substituindo a Lei de Ohm na Lei de Ampére-Maxwell, as equações de Maxwell tornam-se ; ; ;. Aplicando o operador Rotacional nos termos dos dois lados da Lei de Ampére- Maxwell, vem ( ). Porém ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). A ordem das operações de derivada parcial temporal e do operador pode ser invertida devido à independência das coordenadas de posição e tempo. Além disso. A equação anterior fica então com a forma ( ). A equação de Faraday-Lenz pode ser usada na expressão anterior para obtermos ( ) ainda ( ), ou. (12.1) Façamos o mesmo nos termos dos dois lados da Lei de Faraday-Lenz. Vem ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Novamente pode-se inverter a ordem das operações de derivada parcial temporal e do operador. Além disso. A equação anterior fica ( ). A Lei de Ampére-Maxwell obtermos ( ). pode ser usada na expressão anterior para, ou ainda ( ). (12.2) Em resumo as equações de Maxwell no vácuo geram as equações de onda eletromagnética (EM) abaixo para os campos e. ( ) e ( ). Essas equações apresentam os termos típicos de equações de onda nos dois primeiros termos de cada expressão acima. Contudo elas estão acrescidas de um terceiro termo que contém a primeira derivada dos campos. Esses termos em ( ) 20

correspondem claramente a um amortecimento, conforme se pode ver em comparação com casos de oscilações amortecidas. Interpretações: 1-Isto significa que podemos ter soluções dessas equações na forma de ondas eletromagnéticas amortecidas. Essas soluções para os campos e devem apresentar funções periódicas de propagação, com termo ( ), compostas com funções decrescentes no tempo ( ), presentes nas amplitudes dos campos. Essas funções decrescentes representam processos dissipativos. A interpretação usual dessas equações é a presença irreversível do fenômeno do amortecimento das ondas eletromagnéticas em meios condutores. 2-Como exemplo consideremos uma placa metálica (ótima condutora) bem grossa (grande espessura), sofrendo a incidência de uma onda EM ortogonal à sua superfície. Essa onda poderá não atravessá-la, pois o amortecimento da onda poderá ser total. Nesse caso a energia da onda deverá ser integralmente transformada em calor por efeito Joule. Há também a possibilidade da onda EM ser parcialmente amortecida ao atravessar a placa metálica, ou seja, a onda EM atravessa a placa, porém a onda que sai da placa (emergente) terá amplitude bem menor do que a amplitude (e a intensidade) da onda incidente. 3-Submarino: Um submarino imerso a grande profundidade no mar (meio salgado) não conseguirá se comunicar com navios na superfície do mar através de ondas EM. O oceano, constituído de água salgada, exerce a função de uma gigante e espessa massa de material condutor entre os navios na superfície e o submarino submerso. Evidentemente é possível haver tal comunicação se o submarino estiver a pequena profundidade e tiver geradores de ondas EM extremamente potentes. Apesar da absorção, uma pequena parte da onda EM conseguirá sair do mar para a atmosfera. Se os navios receptores tiverem circuitos elétricos com dispositivos fortemente amplificadores de sinais (ondas) eletromagnéticos, então a transmissão do sinal será efetuada. 4-Blindagem Dinâmica: Podemos igualmente compreender agora o fenômeno conhecido como Blindagem Dinâmica, que ocorre com uma casca condutora fechada. Se a casca for suficientemente espessa uma onda EM comum não conseguirá penetrar em seu interior devido ao amortecimento da onda na casca condutora. Por outro lado, ondas EM do mesmo tipo geradas em seu interior também serão absorvidas de tal modo que não conseguirão alcançar a região exterior à casca condutora. Gaiola de Faraday: M. Faraday (aproximadamente em 1830) verificou que essa casca condutora pode ter orifícios e ainda assim exercer a Blindagem Dinâmica na região interior à casca. Na verdade pode-se conseguir o efeito da blindagem usandose telas metálicas com diversos tamanhos de aberturas. Fabricantes de dispositivos de blindagem se referem usualmente a essas cascas fechadas formadas por telas metálicas como Gaiolas de Faraday. A existência de telas com aberturas de diversos formatos: orifícios, furos, células quadradas, etc. permite uma grande variedade de formas para as Gaiolas de Faraday. Aplicações da Gaiola de Faraday: Utiliza-se esse conhecimento para blindar equipamentos elétricos em geral, nas empresas de fornecimento de energia elétrica durante os processos de manutenção de equipamentos, nos laboratórios de pesquisa, nos laboratórios de montagem e manutenção de circuitos elétricos tanto em indústrias quanto em universidades, nos laboratórios de manutenção de computadores, de conserto de televisores e de outros tipos de aparelhos eletrodomésticos. Condições de Penetração em cascas condutoras: Através do desenvolvimento da teoria da onda EM pode-se determinar condições que as ondas EM precisam ter para poder penetrar através das aberturas das telas metálicas ou cascas condutoras. Uma dessas condições é a proporção entre o comprimento de onda e a dimensão L da maior abertura de uma casca ou tela condutora. Deve-se ter para que a onda EM penetre facilmente no interior da casca com abertura ou tela. Caso ou seja 21

pouco maior que L o fenômeno da penetração ainda ocorrerá, mas nem sempre com a mesma intensidade e facilidade que no primeiro caso. Contudo no caso, a onda EM não conseguirá penetrar no interior da região blindada. Aplicação em Automóveis: Como exemplo desse fato pode-se estimar o porquê dos automóveis (cascas metálicas) blindarem as ondas EM de ondas médias de rádio, ditas AM com comprimentos de onda ( ), para aparelhos receptores de rádio (rádio de pilha) totalmente contidos em seu interior. A maior abertura da casca do automóvel em geral tem o tamanho do vidro dianteiro, da ordem de ( ). Vê-se que a condição ocorre para esse caso. Note-se que os automóveis precisam ter antenas externas para poderem captar as ondas médias de rádio. Entretanto as ondas de rádio FM, TV ou de telefonia celular penetram no interior de automóveis, pois têm ( ). Nesse caso vale aproximadamente a condição. Finalmente cabe observar que o efeito de blindagem dinâmica ocorre parcialmente em elevadores revestidos por lâminas metálicas. 13 Solução de Onda Plana em coordenadas cartesianas para as equações de Onda Eletromagnética no vácuo. As equações de onda EM no vácuo são ( ) e ( ). Admitiremos uma onda plana EM se propagando na direção positiva do eixo x com o campo na direção y. Vide sistema coordenadas ao lado. A função desse campo ( ) que satisfaz a equação da onda acima é z k y j i x ( ) ( ) ( ). (13.1) Obtém-se a função do campo através da equação de Faraday-Lenz: Aplicando o operador Rotacional ao campo dado acima vem. [ ] ( ) ( ) ( ) ( ). Fazendo-se a integração no tempo dessa equação, obtém-se ( ). Esse termo constante não produz propagação e será considerado nulo. Como temos ( ). Adotando-se, vem ( ) ( ) ( ). (13.2) Propriedades das soluções (13.1) e (13.2) de Onda Plana das equações de onda EM: 1 -,,,. (13.3) 22

2 - (13.4) 3 - pois, pois. (13.5) 4 - e. (13.6) 14 Vetor de Poynting, Intensidade e Densidade de Energia da Onda Plana Eletromagnética no vácuo. 1 - O Vetor de Poynting para uma onda EM plana citada no item anterior é dado por Aplicando a essa definição as expressões para os campos e do item anterior, vem ( ) (14.1) pois. Como temos. 2 - Calcula-se a intensidade (I) da onda EM através da definição onde é dado por (14.2) (14.3) Executemos esses cálculos: ( ) ( ). Contudo o termo entre chaves { } fornece o valor. Com isso temos. Portanto. (14.4) Outras formas de escrever esse resultado levam em conta que : ; ;. (14.5) Definindo 23

(14.6) e, (14.7) reescrevemos a intensidade da onda EM nas formas abaixo ; ; (14.8) 3 - A densidade volumétrica média de energia do campo elétrico, do campo magnético e da onda eletromagnética podem ser calculados. A densidade média de energia do campo é dada por ( ). (14.9) A densidade média de energia do campo é dada por ( ). (14.10) Contudo pode-se usar e na equação acima de modo que. (14.11) A densidade média da energia eletromagnética vem a ser dada por (14.12) cuja unidade no SI é expressa por Joule/m 3. 4-Relação entre essa densidade média de energia do campo eletromagnético da onda plana e a Intensidade Comparando as equações (14.8) e (14.12), obtemos (14.13) 15 Pressão da Radiação e a Intensidade da Onda Eletromagnética no vácuo. Maxwell investigou igualmente a possibilidade da onda EM exercer pressão sobre uma superfície colocada perpendicularmente à direção de propagação dessa onda. Os seus procedimentos mostraram que absorvedores perfeitos e refletores perfeitos apresentam resultados diferentes para essa pressão. A verificação experimental da pressão exercida por ondas EM sobre placas foi realizada por Nichols e Hull em diversos experimentos entre 1900 e 1903. Placas Absorvedoras Perfeitas:Foi possível demonstrar que uma onda EM totalmente absorvida sofre uma variação de momento linear, que é transferida para a placa absorvente. A variação do momento linear da placa é dada pela expressão 24

onde é a variação da energia da onda EM (perda), a qual é totalmente absorvida pela placa. Pode-se obter essa pressão da radiação para absorvedores perfeitos considerando o intervalo de tempo no qual ocorre a transferência de momento e energia. A razão entre a variação do momento linear e o intervalo de tempo é a força exercida pela onda na placa. Como, então. Fazendo. Pressão é força sobre área, portanto chega-se à expressão abaixo para a pressão exercida por uma onda EM sobre uma placa perfeitamente absorvedora (15.1). (15.2) Placas Refletoras Perfeitas: Foi possível demonstrar que uma onda EM sofre uma variação de momento linear, que é o dobro do caso anterior pois a onda inverte seu sentido de propagação. Essa variação do momento linear da onda é igual (em módulo) à da placa. A variação do momento linear da placa refletora é então dada pela expressão (15.3) onde é a energia cedida pela onda EM para a placa. Pode-se obter essa pressão da radiação sobre placas perfeitamente refletoras em analogia com o procedimento no item anterior para se obter. (15.4) Aplicações: Ex 1: Uma fonte de ondas eletromagnéticas emite ondas de rádio com potência P = 100 kw. Para acender uma lâmpada fluorescente precisa-se de uma campo elétrico eficaz com aproximadamente E ef = 100 V/m. Pondo a lâmpada próxima da fonte ela acende com o campo E ef dessa onda EM. Acima de uma certa distância R a lâmpada se apaga. Calcule o valor aproximado dessa distância R. RESP:. Porém.. Como Ex 2: Na alta atmosfera terrestre as ondas luminosas do sol chegam com Intensidade. (a) Obtenha os campos elétrico e magnético eficazes dessa onda EM. RESP:. 25

(b) Obtenha a pressão da radiação da luz do sol. RESP: (c) Calcule aproximadamente a potência emitida pelo sol. RESP: Porém ( ). Ex 3: Um laser de baixa potência P = 1,5 mw produz um feixe luminoso cilíndrico de diâmetro d = 0,4 mm. Calcule: (a) A intensidade I desse feixe. RESP:. Porém ( ). (b) O campo elétrico E ef eficaz dessa luz. RESP:. (c) O campo magnético eficaz B ef dessa luz. RESP:. FIM 26