Universidade Federal de São João Del-Rei MG 6 a 8 de maio de 00 Associação Brasileira de Métodos Computacionais em Engenharia MDF: Conceitos Básicos e algumas Aplicações na Engenharia Estrutural L. R. Deus ; F. C. S. Machado ; R. A. M. Silveira ; C. L. Nogueira Departamento de Engenharia Civil, Escola de Minas, UFOP Ouro Preto, MG CEP: 3500-000 e-mail: lrdeus.ufop@gmail.com, fernando.scheffer@gmail.com, ricardo@em.ufop.br Departamento de Engenharia de Minas, Escola de Minas, UFOP Ouro Preto, MG CEP: 3500-000 e-mail: chris@em.ufop.br Resumo. Este trabalho trás inicialmente algumas considerações sobre os métodos numéricos que podem ser utilizados na solução de problemas da engenharia civil, com ênfase na área de estruturas. Em seguida, atenção especial é dada aos métodos aproximados que atuam diretamente sobre a equação diferencial que rege o problema estrutural, em especial ao Método das Diferenças Finitas (MDF). No MDF, as derivadas da equação diferencial em consideração são substituídas por fórmulas de diferenças do valor da variável em alguns pontos selecionados, que estão localizados nas juntas ou pontos nodais de uma malha. Através desse procedimento a equação diferencial do problema é transformada numa equação algébrica. Procurando então satisfazer essa equação algébrica em todos os pontos da malha chega-se num sistema de equações cuja solução fornece os valores da variável primária nos pontos nodais considerados. Através de diversas aplicações, como por exemplo, o problema de estabilidade em colunas e o problema de equilíbrio de vigas, placas e cascas, verifica-se o funcionamento do MDF. É verificado também se as soluções numéricas obtidas através do MDF se aproximam das soluções analíticas e outras soluções numéricas. Através dessas análises conclui-se que o MDF é uma estratégia numérica bastante simples e de fácil implementação computacional, além de poder ser utilizado na resolução de uma grande variedade de problemas da engenharia estrutural. Palavras chaves: Métodos numéricos, Método das diferenças finitas, Análise estrutural, Mecânica das Estruturas.
INTRODUÇÃO Durante a solução de problemas de engenharia, é comum se deparar com equações diferenciais (ordinárias e parciais) que regem o fenômeno físico. A solução analítica dessas equações nos casos de condições de contorno, carregamento e geometria complexas é bastante complicada ou até mesmo impossível. Nesses casos é comum recorrer às soluções aproximadas obtidas através de métodos numéricos. O emprego de um método numérico está relacionado com uma seqüência finita de operações aritméticas para aproximar a solução de determinado problema quando esse é de difícil resolução analítica. O objetivo é encontrar uma solução numérica bastante próxima da solução exata do problema, visando sempre diminuir o erro (ou seja, a diferença) entre as duas soluções, de tal forma que o método possa ser considerado válido. São muitos os métodos numéricos utilizados hoje, mas no geral eles podem ser divididos em dois grandes grupos: i. métodos que atuam diretamente sobre a equação diferencial do problema real (como exemplos, pode-se citar o Método das Diferenças Finitas (MDF) e o Método dos Resíduos Ponderados (MRP)); ii. métodos que atuam de forma indireta no problema real e possuem uma base variacional (como exemplos têm-se o Método de Rayleigh-Ritz (MRR) e o Método dos Elementos Finitos (MEF)). O MDF talvez seja o mais simples dentre essas abordagens numéricas. Ele consiste basicamente em substituir as derivadas da equação diferencial por fórmulas de diferença previamente definidas. Esse método surgiu com o trabalho de Southwell (96), sendo ainda utilizado em diversos problemas da engenharia, sempre fornecendo resultados de precisão bastante razoável, como será visto adiante. O MDF também tem aplicação em diversas áreas da engenharia civil (Estruturas, Geotecnia e Hidráulica). Como exemplos de aplicações do MDF nessas áreas, pode-se citar: i. equilíbrio estrutural de vigas, placas e cascas; ii. estabilidade elástica de colunas; iii. fluxo em meio poroso; iv. linha de corrente em um escoamento. Nos próximos tópicos serão abordados temas específicos sobre a utilização do MDF e algumas aplicações na área da engenharia estrutural. MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS (MDF) Como já mencionado, se um problema real de engenharia tem geometria, condições de contorno e condições de carregamento simples, os métodos analíticos podem ser usados para resolver a equação diferencial que rege o fenômeno em estudo. Caso contrário, quando tais características forem complicadas, pode-se utilizar o MDF para aproximar a solução para o mesmo. O MDF é um esquema bastante simples e prático para a solução numérica de equações diferenciais, que apresentou franca expansão entre os anos 50 e 60, mas perdeu espaço para métodos mais sofisticados (MEF) com a crescente utilização dos computadores digitais nas décadas de 80 e 90 (Oliveira & Pedroso, 008). Atualmente, o MDF é aplicado e estudado principalmente no meio acadêmico. O resultado analítico obtido para um dado problema é geralmente considerado a solução exata desse problema. A análise numérica resulta num valor aproximado, que pode conter erros. Esses erros podem ser: de cálculo, de dados, de máquina, ou mesmo do analista na interpretação dos resultados. Por isso, para que o método possa ser utilizado, o erro entre o resultado analítico exato e o resultado aproximado deve ser o menor possível.
A idéia geral do MDF é obter a solução aproximada de uma equação diferencial em pontos discretos do domínio considerado, utilizando fórmulas de diferenças para substituir as derivadas de ordem n presentes na equação governante do problema. O conjunto desses pontos é denominado de malha de diferenças finitas, e quanto mais pontos essa malha tem, mais precisa é a resposta dada pelo método. 3 FÓRMULAS DE DIFERENÇA As fórmulas de diferença utilizadas no MDF para substituir as derivadas contidas na equação que rege o problema estrutural podem ser obtidas através da expansão da fórmula de Taylor, como descrito por Szilard (975). Há três tipos de fórmulas de diferenças que podem ser utilizadas no MDF, a saber: Diferença em Avanço, Diferença em Atraso e Diferença Central (a utilizada neste trabalho). Para os problemas de equilíbrio e estabilidade das estruturas que serão vistos a seguir, foram usadas as fórmulas de diferenças correspondentes às derivadas de primeira à quarta ordem em relação às variáveis independentes x, y ou θ num determinado ponto k da malha. Para uma dada função genérica f, que nos problemas estruturais representa uma componente de deslocamento da estrutura, pode-se escrever as seguintes expressões procurando aproximar as derivadas: df dx k d f dx d f dx k k x x x ( f f ) k + k ( f f f ) k+ k + ; (a) k ( f f + 6 f f f ) k= k + k k + Já a derivada /( ), por exemplo, pode ser aproximada pela expressão: k+ (b) (c) f x y m,n x y ( f m+,n+ f m,n+ f m+,n + f m,n ) m, n () em que m e n são pontos da malha de diferenças finitas. ALGORITMOS As aplicações que serão mostradas a seguir estão relacionadas com a solução de problemas de equilíbrio (vigas, placas e cascas) e com a solução do problema de estabilidade elástica de colunas. No caso dos problemas de equilíbrio, a aplicação do MDF está diretamente relacionado com a obtenção da matriz de rigidez do sistema e do vetor de cargas atuante, e como conseqüência gera-se um sistema de equações algébricas de simples resolução. Já no caso de problemas de estabilidade, o emprego do MDF interfere diretamente na obtenção das matrizes de rigidez e geométrica do sistema estrutural, e como conseqüência tem-se um problema de auto-valor a ser resolvido. Assim, no caso de aplicação do MDF na solução de problemas de equilíbrio, deve-se seguir o seguinte roteiro: i. definir equação diferencial do problema; ii. aproximar as derivadas por fórmulas de diferença; iii. obter a equação de equilíbrio na forma de DF (equação algébrica); iv. definir a malha de DF;
v. definir as condições de contorno do problema; vi. aplicar a equação nos pontos da malha de DF; como conseqüência: - obter a matriz de rigidez K - obter o vetor de cargas F vii. resolver o sistema de equações: KU = F; viii. obter os resultados secundários (rotação, momento fletor, cortante). No caso de aplicação do MDF para solução de problemas de estabilidade linearizados, devem-se seguir os seguintes passos: i. definir equação diferencial do problema; ii. aproximar as derivadas por fórmulas de diferença; iii. obter a equação de equilíbrio crítico na forma de DF (equação algébrica); iv. definir a malha de DF; v. definir as condições de contorno do problema; vi. aplicar a equação nos pontos da malha de DF; como conseqüência: - obter a matriz de rigidez K - obter a matriz de rigidez geométrica K G vii. resolver o sistema de auto-valor: (K - λk G ) U = 0; viii. avaliar as cargas (auto-valores, λ) e os modos (auto-vetores, U) de flambagem. 5 APLICAÇÕES DO MDF Considere como primeiro exemplo de aplicação do MDF, o problema de equilíbrio ilustrado na Figura a. Trata-se de uma viga biapoiada submetida a uma carga uniformemente distribuída q. A equação que rege esse fenômeno é definida a seguir: d w EI dx = (3) q em que w é a deflexão lateral da viga, EI é a rigidez à flexão da viga e q é o carregamento atuante. As condições de contorno para esse problema particular são dadas por: w =0 e M =0 em x = 0 e x = L () sendo M o momento fletor e L o comprimento da viga. Na Figura b é apresentada a malha de DF para o caso de 5 pontos nodais e na Figura c está a forma molecular (ou forma de DF) da Eq. (3). Como conseqüência da aplicação dessa equação nos pontos, 3 e (pontos reais da malha), chega-se ao seguinte sistema de equações, após serem aplicadas as condições de contorno (w = 0; w 5 = 0; M = 0; e M 5 = 0): EI x 5 6 w w 5 w 3 q = q q (5) A solução do sistema mostrado na Eq. (5) fornece os valores da deflexão lateral nos pontos da malha (ver Tabela ). Foram assumidos: EI = 87,5 MPa; L = 0 m; x =,5 m; e q = 30 kn/m).
Figura : a) Viga biapoiada com carregamento distribuído; b) Modelo de DF com 5 pontos nodais; c) Fórmula molecular de DF. Tabela Deflexão lateral da viga nos pontos da malha de DF (ver Fig. b). w w w 3 w w 5 0,0 0,056 0,09 0,056 0,0 Para efeito de comparação, são mostrados nas Tabelas e 3 a deflexão lateral máxima da viga e a rotação no apoio para diferentes discretizações ou malhas de DF. Como esperado, a medida que o número de pontos nodais da malha aumenta o valor numérico obtido com o MDF se aproxima da solução analítica. Tabela Deflexão lateral máxima (w máx ) no meio do vão da viga biapoiada. Malha DF w máx (num) w máx (ana) Erro (%) 3 0,050 0,008 0,0 5 0,09 0,008 5,0 7 0,05 0,008 3,09 Nota: num: numérico; ana: analítico; solução analítica: Timoshenko e Gere (99). Tabela 3 Rotação θ no apoio da viga biapoiada (ponto nodal ). Malha DF θ (num) θ (ana) Erro (%) 3 0,0050 0,0067 5,00 5 0,006 0,0067 6,5 7 0,0065 0,0067,0 Nota: num: numérico; ana: analítico. Seja agora a coluna engastada-apoiada mostrada na Figura a. A equação diferencial que governa esse problema clássico de estabilidade é definida através da expressão: EI d w d w P = 0 dx dx + (6) em que w é a deflexão lateral da viga, EI é a rigidez a flexão e P é a carga concentrada aplicada em x = L. Veja que para esse problema, as condições de contorno são dadas por: w =0 e θ =0 em x = 0 e w =0 e M = 0 em x = L (7) Na Figura b é apresentada a malha de DF para o caso de 6 pontos nodais e na Figura c está a fórmula molecular da Eq. (6).
0 Figura : a) Coluna engastada-apoiada; b) Modelo de DF com 6 pontos nodais; c) Fórmula molecular de DF. De acordo com Brush e Almroth (975), resolvendo-se analiticamente esse problema, chega-se na expressão da carga crítica mostrada a seguir:,05 EI cr P π L (8) em que EI é a rigidez à flexão da coluna e L é o comprimento da mesma. Seguindo então o procedimento descrito anteriormente para a obtenção da solução numérica desse problema de estabilidade, chega-se aos resultados apresentados na Tabela para diferentes modelos ou malhas de DF. Mais uma vez, note que a carga crítica da coluna obtida através da solução numérica usando o MDF se aproxima da resposta exata à medida que o número de pontos nodais aumenta. Veja que com 0 pontos nodais a solução já é bastante razoável. Aplicações do MDF à colunas com outras condições de borda podem ser encontradas em Lages e Silveira (998). Tabela Carga crítica (P cr ) da coluna engastada-apoiada obtida através do MDF. Malha DF P cr (num) Erro (%) 3.000,0 0,6 5 7.77,3,0 7 9.085,0 5,5 0 9.693,, 0 0.078,,0 0 0.6,0 0, Nota: num: numérico; valores assumidos: L = ; EI = 000; P cr (ana) 0.87,05. O terceiro sistema estrutural a ser resolvido numericamente é ilustrado na Figura 3. Trata-se de uma placa quadrada simplesmente apoiada nas quatro bordas e sujeita a um carregamento uniformemente distribuído p z. A equação diferencial parcial que rege o equilíbrio da placa é fornecida abaixo: w w + x x y w + = y pz D (9)
em que w é a deflexão da placa e D é a sua rigidez à flexão. Observe agora a existência de duas variáveis independentes, x e y. A Figura 3b fornece a malha de DF adotada na solução numérica da placa; já na Figura 3c é encontrada a representação molecular (no caso de x = y = λ) da Eq. (9), que governa o problema estrutural em questão. a) Placa quadrada simplesmente apoiada. b) Malha de DF adotada. c) Fórmula molecular de DF (Szilard, 975). Figura 3 Solução numérica via MDF de uma placa quadrada biapoiada.
Com a aplicação da equação de equilíbrio em sua forma discreta (molecular) nos pontos localizados no interior da placa (5, 6, e 9), e considerando as condições de simetria (w = w 3 = w 7 = w 9; e w = w = w 6 = w 8 ) e contorno (w à w 37 são nulos; M 7, M 8, M 9 e M 30 e M 3 são nulos), chega-se no sistema de equações apresentado a seguir: 0 3 3 6 8 w 6 w 0 w 5 6 9 = pzλ D (0) cuja solução é dada por (para L =, λ =, p z = e D = ): w w w 5 6 9,03 = 0, 750 0,57 () Se a deflexão máxima obtida através do MDF no centro da placa (w 5 ) for comparada com a solução analítica w máx = 0,0006 ql /D =,039 (Timoshenko & Woinkowsky- Krieger, 959), obtem-se um erro de apenas 0,78%. Essa aplicação demonstra mais uma vez a eficiência e precisão da técnica numérica abordada neste trabalho. Como último exemplo, considere a casca cilíndrica biengastada de comprimento L mostrada na Figura a submetida a uma pressão interna p. Para esse problema, as equações que governam o comportamento da casca podem ser obtidas, por exemplo, estabelecendose o equilíbrio de forças e momentos nas três direções (x, θ e z) de um elemento infinitesimal (ver Figura b). Através desse procedimento chega-se a: N x N xθ R + = 0 x θ N xθ Nθ R + = 0 () x θ Nθ D w + = p R em que w é a deflexão lateral da casca, R é o seu raio e D é a sua rigidez à flexão; N x, N θ e N xθ são os esforços resultantes (ver Figura b); e p é a pressão interna atuante. Observe que agora as variáveis independentes do problema são x e θ. Na Figura c é apresentado o formato da malha de DF adotado caracterizando as bordas do lado esquerdo e do lado direito da casca. Os pontos localizados fora dessas bordas são chamados de pontos fictícios da malha. Deve-se enfatizar que devido a simetria do problema, apenas metade da casca foi discretizada. As equações anteriores foram discretizadas usando o MDF e diferentes malhas foram adotadas na solução numérica do problema. Os resultados dessas análises são mostrados na Figura d, onde se pode observar a variação do deslocamento lateral w da casca ao longo do seu comprimento. Foram adotados: L = 0 m; R = 6 m; h (espessura) = 0,03 m; p = - 0 6 N/m ; e D = 6550,8 N/m. Esse mesmo problema foi resolvido através do MEF, usando o software Ansys, bem como analiticamente (Timoshenko & Woinkowsky- Krieger, 959). A resposta obtida com esse segundo procedimento numérico e a analítica simplificada são também apresentadas na Figura d. Através dessa figura verifica-se que mesmo usando-se uma malha pouco refinada de DF consegue-se um resultado com boa precisão para pontos da casca localizados a uma certa distância das bordas. Os deslocamentos para esses pontos são coincidentes com aqueles obtidos com o Ansys. Entretanto, o efeito da influência das bordas só pode ser capturados a medida que se
aumenta a discretização do modelo numérico. Tanto as respostas obtidas através do MDF como aquelas do MEF apresentaram a mesma discrepância em relação à solução analítica. p R Engaste h Engaste (a) a) Casca cilíndrica submetida a uma pressão interna; b) Elemento infinitesimal. (b) Bordo Esquerdo Bordo Direito c) Formato da malha de DF adotada. 0.006 Solução analítica 0.005 Engaste Deflexão Lateral (w) 0.00 0.003 0.00 Solução analítica MEF: Ansys MDF: malha 6x6 MDF: malha 0x0 MDF: malha 0x0 Engaste 0.00 0 0 8 6 0 Comprimento da Casca Cilíndrica d) Variação da deflexão lateral w ao longo do comprimento da casca. Figura Solução numérica via MDF de uma casca cilíndrica biengastada.
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS Este artigo abordou basicamente algumas aplicações do Método das Diferenças Finitas no campo da engenharia estrutural. Através dos problemas de equilíbrio e de estabilidade analisados pôde-se verificar que as respostas numéricas obtidas por esse método estavam bastante próximas daquelas analíticas correspondentes ou mesmo das advindas do MEF. Em algumas situações, mesmo considerando um modelo pouco refinado de DF, chegou-se a um resultado numérico de razoável precisão. Como vantagens do MDF, pode-se citar: i. a facilidade de entendimento dos passos básicos envolvidos na sua aplicação; ii. a sua fácil implementação computacional; iii. a possibilidade de seu emprego em uma ampla variedade de problemas; iv. a sua precisão; e vi. a sua rápida convergência para a solução exata do problema. Como desvantagens do método: i. o atendimento de algumas condições de borda e carregamento; ii. a solução de problemas onde existe descontinuidade de material. Agradecimentos Os autores deste artigo agradecem ao PET Civil (MEC/SESu/Difes), CNPq, CAPES e FAPEMIG o apoio recebido para desenvolvimento desta pesquisa. 7 BIBLIOGRAFIA Brush, D.O., & Almroth, B.O. (975). Buckling of Bars, Plates, And Shells, Mcgraw-Hill, INC. Lages, A.G. & Silveira, R.A.M. (998). Análise da Estabilidade de Colunas Através do Método das Diferenças Finitas. Ouro Preto/MG: UFOP (Relatório Final de Pesquisa, PIBIC/CNPq/UFOP). Oliveira, V.G., & Pedroso, L.J. (008). Freqüências e modos acústicos de vibração de reservatórios pelo método das diferenças finitas. Revista de Pesquisa Aplicada à Engenharia, vol., no.. Southwell, R.V. (96). Relaxation Methods in Theoretical Physics. London, Oxford University Press. Szilard, R. (97). Theory and Analysis of Plates - Classical and Numerical Methods. Prentice-Hall INC. Timoshenko, S.P., & Gere, J.E. (99). Mecânica dos Sólidos. Vol., Livros Técnicos e Científicos, Rio de Janeiro. Timoshenko, S.P. & Woinkowsky-Krieger, S. (959). Theory of Plates and Shells. McGraw-Hill Book Company, NY. nd edition, reissued 987. 8 DIREITOS AUTORAIS Os autores são responsáveis pelo conteúdo do material impresso incluído neste trabalho.