Observatório Nacional Ministério da Ciência e Tecnologia O N - M C T Área de atuação do Observatório Nacional - Astrônomia - Geofísica - Metrologia de tempo e frequência -Programa de pós-graduação: Astronomia Geofísica Cosme F. Ponte Neto cosme@on.br Pesquisador Associado I Coordenação de Geofísica ON/MCT
Geofísica -Geofísica básica: Estudo do planeta Terra como um corpo físico em escala global: estudo da estrutura interna da Terra, geodinâmica, geotectônica, reconstrução paleogeográficas, paleoclima global, geodésia fisica (estudo da forma da Terra), Geomagnetismo, Sismologia, Geotermia. -Geofísica aplicada Estudo da Terra como corpo físico em escala regional e local: exploração de recursos naturais, exploração mineral, estudo de problemas ambientais, apoio à engenharia. A geofísica aplicada está restrita ao estudo da crosta terrestre em escala regional e local.
Geofísica Área da Física Geofísica Básica Geofísica Aplicada Mecânica Geodésia física, Gravimetria, sismica sismologia Eletromagnetismo Geomagnetismo Magnetometria Métodos eletromagnéticos Termodinâmica Geotermia, vulcanologia Física Nuclear Geração de calor Levantamentos aero-gama radiogênico espectométrico, perfilagem de poços
Problema inverso em geofísica - O problema inverso está presente em todas as áreas da geofísica A inversão é um dos método matemático aplicado na análise dos dados experimentais com o objetivo de determinar um modelo físico que explique os dados. Este método matemático tem natureza numérica, ou seja, deve ser implementado na forma de um algoritmo computacional. Algoritmos computacionais usados no problema inverso: -Abordagem analítica: métodos gradientes, método de Newton, gradiente conjugado, etc -Abordagem heurística: Algoritmo genético, simulated annealing, colônia de formigas, etc
Algoritmo genético A evolução das espécies Charles Darwin, 1859 Darwin e a mariposa, 15 anos da teoria de evolução
Estrutura do Algoritmo Genético - Inicialmente é gerada uma população inicial de soluções. Esta população inicial é gerada aleatoriamente, dentro de valores máximos e mínimos pré-determinados para cada parâmetro (Caixa). Caixa: xi = valor inicial do parâmetro ximax = valor máximo do parâmetro xi ximim = valor mínimo do parâmetro xi rand = número aleatório entre e 1 xi = rand ( xi max xi min ) + xi min
Estrutura do Algoritmo Genético R E P R E S E N T A ç ã O B IN á R IA x 1 x 2 x 3 x 4 = 1 1 1... x n c ro m o s s o m o gene 1 a le lo 1 1 1 s o lu ç ã o to ta l ( to d o s o s p a r â m e tr o s ) 1 p a râ m e tro e le m e n to d e u m p a r â m e tr o C ru z a m e n to x 1 = [1 1 1 1 1 1 1 1 ] x 1 '= [ 1 1 1 1 1 1 1 1 ] x 2 = [ 1 1 1 1 1 1 1 ] x 2 '= [ 1 1 1 1 1 1 1 ] M u ta ç ã o x 1 = [1 1 1 1 1 1 1 1 1 ] x 1 '= [ 1 1 1 1 1 1 1 1 ]
Estrutura do Algoritmo Genético -Representação real. Nesta representação os genes, ou parâmetros, são representados diretamente por números reais - Cruzamento aritmético ou crossover aritmético x1' = x1.rand + (1 rand ).x 2 e x 2' = x 2.rand + (1 rand ).x1 - Mutação. Será atribuida uma probabilidade, que deve ser pequena, para a mutação dos genes (parâmetros) de cada solução. Esta mutação deverá ocorrer sempre que uma nova população for gerada. ximut = rand ( xi max xi min ) + xi min - Elitismo. Após a seleção das melhores soluções, em cada geração, a melhor solução desta seleção será repetida, de modo que a próxima população tenha ¼ dos indivíduos iguais a este indivíduo. O elitismo acelera muito a convergência do Algoritmo Genético.
Fluxograma do Algoritmo Genético Definir função objeto População inicial ﾯ Cruzamento ﾯ Mutação ﾯ Avaliação da função objeto ﾯ Teste de convergência s ﾯ Seleção ﾯ Elitismo ﾯ Geração de nova população Fim
Observatório Nacional Ministério da Ciência e Tecnologia O N - M C T Determinação do arcabouço de fontes magnéticas simples através do algoritmo genético Coordenação de Geofísica ON/MCT Autores: Cosme F. Ponte Neto Valéria C.F. Barbosa Israel N. Almeida Junior
Introdução Problema direto ou Modelo direto Parâmetro Modelo direto Dados sintéticos Problema inverso Testes Dados sintéticos Inversão Parâmetros (incógnitas) Apresentando resultados satisfatórios Inversão com os dados reais Dados experimentais Inversão Parâmetro
Abordagem Clássica do Problema Inverso em Magnetometria B x O meio é discretizado e, a partir dos dados observados (curva em azul), será estimada a propriedade física de cada elemento do meio discretizado, produzindo assim os dados ajustados (curva em vermelho) Vantagens - O Problema é linear Desvantagens - Muitos parâmetros - Ambigüidade no volume/magnetização do corpo - Não estima inclinação e declinação
Nossa proposta: B x z Estima inclinação, declinação, momento de dipolo magnético e a posição do esqueleto do corpo curva azul: dados observados z' z' 2 z' n 1 curva vermelha: dados ajustados x' 1 x' 2 x' n Vantagens - Poucos parâmetros - Sem ambiguidade no volume - Estima o esqueleto ou a estrutura do corpo Desvantagens - Não linear
Metodologia Dados: Medidas de campo total, representadas pelo vetor: b [b1,..., b N ]T A partir de b, serão considerados M dipolos magnéticos com a mesma direção de magnetização e com o mesmo momento de dipolo. Na inversão serão determinadas as posições destes dipolos e o módulo e a direção do momento de dipolo magnético. a n o m a lia m a g n é t ic a b z i x x k i y z i x i y y k k d ip o lo s z fo n te re a l
Campo Magnético Total: 1/ 2 2 2 2 M M M bk bx j Fx by j Fy bz j Fz j 1 j 1 j 1 bx j by j bz j.mo. 3..( xk - x j ') - r 2.l r5.mo. 3..( yk - y j ') - r 2.m Y k Y j ' r5.mo. 3..( zk - z j ') - r 2.n r X k X 5 e r x - x ' k j yk - y j ' z k - z j ' 2 L e ste X j ' r 2 Zk A 2 1 2 xk - x j '.l yk - y j '.m zk - z j '.n Fx F.L M Fy F.M Campo Magnético Regional Fz F.N ﾯ rt No e Zj ' Z E Y
Definindo os Parâmetros: Xk,Yk, Zk : coordenadas do observador X j, Y j, Z j : coordenadas dos dipolos (corpo magnetizado) PARÂMETRO Decl: declinação da magnetização dos dipolos PARÂMETRO Incl: inclinação da magnetização dos dipolos PARÂMETRO mo: momento de dipolo magnético dos dipolos PARÂMETRO μ:constante Função Objeto b bk (q ). ( p ) k em que φ função objeto (função a ser minimizada) bk Dados observados bk(q) Valor calculado pelo modelo matemático M 1 ( p) d j 1, j d j, j 1 k 1 δ(p) Fator de eqüidistância entre os dipolos magnéticos Vetor dos parâmetros: p q =, u p [ x1', y1', z1',..., xm ', ym ', zm ']T u [i, d, m ]T
Imposição Geométrica - A Função Objeto (Φ) é composta pelo somatório dos módulos dos resíduos, mais um fator geométrico que mede a eqüidistância entre os dipolos ( δ(p)). Este fator é multiplicado por λ que funciona como um peso. Variando λ podemos atribuir maior ou menor importância à eqüidistância dos dipolos na busca da solução. - O fator δ(p)) é tanto maior quanto menos eqüidistantes estão os dipolos, e vale zero quando os dipolos estão perfeitamente equidistantes. Este fator penaliza a Função Objeto, impondo uma continuidade espacial na solução, quando a Função Objeto é minimizada.
Algoritmo Genético - O Algoritmo Genético é eficiente na solução de problemas lineares e não lineares de grande complexidade. - Nesta aplicação, o objetivo é determinar o arcabouço de estruturas geológicas simples. Isso será feito determinando a posição (x,y,z), e as características da magnetização (declinação, inclinação e momento de dipolo magnético ) de 1 dipolos magnéticos que devem delinear a estrutura principal do corpo a ser estudado de modo a ajustar, o melhor possível, os dados observados, além de respeitar uma condição de eqüidistância entre os dipolos. - Este é um problema não linear com 33 parâmetros onde apenas o momento de dipolo magnético tem relação linear com o funcional geofísico. 1 8 6 4 2-2 -4-6 -8-1 -1 2-1 -8-6 -4-2 2 4 6 8 1 12
Fluxograma do Algoritmo Genético Definir função objeto s População inicial ﾯ Cruzamento ﾯ Mutação ﾯ Avaliação da função objeto ﾯ Teste de convergência s ﾯ Seleção ﾯ Elitismo ﾯ Geração de nova população Fim
Exemplo 1 Prisma Vertical (Kimberlito) 1 8 6 4 2-2 -4-6 -8-1 -8-6 d = 4 5. i = 2. -4-2 d^ = 4 4. 2 ^i = 1 9. 9 2 4 6 8 d a d o o b s e rv a d o d a d o m o d e la d o
Exemplo 2 Dique Vertical 1 8 6 4 2-2 -4-6 -8-1 -8-6 d = 4 5. i = 2. -4-2 d^ = 4 6. 8 ^ i = 1 9.1 2 4 6 8 d a d o o b s e rv a d o d a d o m o d e la d o
Exemplo 3 Prisma Cúbico 1 8 z (k m ) 6 4 2 y (k m ) x (k m ) -2-4 -6-8 -1-8 -6 d = 4 5. i = 2. -4-2 d^ = 4 4. 7 ^ i = 2.1 2 4 6 8 d a d o o b s e rv a d o d a d o m o d e la d o
Exemplo 4 Tubo inclinado 1 8 z(km ) 6 4 2 y (k m ) x (k m ) -2-4 -6-8 -1-8 -6-4 -2 2 4 6 8 y (k m ) x (k m ) d = 4 5. i = 2. d^ = 4 5. 1 ^ i = 1 9.4 d a d o o b s e rv a d o d a d o m o d e la d o
Dados reais Anomalia Magnética da Serra do Cabral A Serra do Cabral localiza-se no estado de Minas Gerais entre as coordenadas geográficas: Longitude = 42-45 W e Latitude = 15-19 S. Os dados usados neste trabalho foram digitalizados de mapas produzidos por Ussami em 1981, provenientes do levantamento aeromagnéticos efetuados pela Companhia Alemã Prakla através de um convênio aerogeofísico BrasilAlemanha no ano de 1971. Á re a e s tu d a d a B r a s il 8 8 6 6 4 4 2 2-2 -2-4 -4-6 -6-8 -6-4 -2 2 4 6 8
Exemplo: Dados reais Serra do Cabral (a ) 8 6 6 4 4 2 2-2 -2-4 -4-6 -6-8 -6-4 -2 2 4 6 (b ) 8 8-8 -6-4 -2 2 4 6 8 z (k m ) x(km ) Anomalia Magnética da Serra do Cabral. (a) Dados observados (b) Dados ajustados y(km ) x(km ) y(km ) nt 3 25 2 15 1 5-5 -1-1 5-2 -2 5-3 -3 5-4 -4 5-5 -5 5-6 -6 5-7
Resultados Levantamento aeromagnético realizado na área da Serra do Cabral no sudoeste do Brasil,MG no Cráton do São Francisco. - Altitude 1.2m -Campo Magnético local 24.3nT - Inclinação -17 - Declinação -17,5 Os resultados obtidos pelo Algoritmo Genético, com 2 gerações, são os seguintes: -Dipolos Estimados - Profundidade 25 Km - Inclinação 59 - Declinação - 48
Conclusões O método conseguiu determinar o esqueleto das estruturas de forma satisfatória. A precisão está relacionada com o número de gerações utilizadas, de modo que aumentando o número de gerações a precisão deve aumentar sempre, contudo a convergência pode ser lenta. O algoritmo computacional é de fácil implementação. A determinação correta do espaço das soluções é fundamental para o bom desempenho do AG.
Perspectivas Futuras Implementar o AG com programação paralela, uma vez que o AG tem vocação natural para o paralelismo, diferentemente dos métodos analíticos que tem estrutura de funcionamento essencialmente seqüenciais. Por isso o AG é considerado trivialmente paralelizável. Implementar o método para o problema gravimétrico.
O N - M C T OBRIGADO!