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9 pêndice - Método de umann-shapley Para demonstrar a formulação matemática do método de umann-shapley, consideram-se dois agentes e, por exemplo, com montantes b e b de utilização de um determinado serviço [Marzano, 998]. O método de umann-shapley baseia-se na premissa de que cada agente pode ser composto de diversos subagentes com mesmo montante de utilização do serviço (). ssim, considera-se que os agentes e sejam repartidos em N e N2 subagentes distintos, respectivamente: gente : subagentes N gente : subagentes N2 Definindo N = N + N2 como o número total de subagentes obtidos, estes poderiam ser combinados de várias maneiras possíveis. Cada uma dessas combinações pode ser interpretada como um caminho no espaço bidimensional, desde o ponto anterior à entrada dos agentes até o ponto onde os dois agentes e já entraram. Figura. ilustra o caminho, considerando os subagentes N = 2 e N2 =.
67 Figura. - Caminho Para cada caminho obtido a partir das combinações dos subagentes, um custo marginal médio é obtido. Por exemplo, o custo marginal médio para o caminho mostrado na Figura - seria: c c (,0). + (2, ). x x = P c (, ). y = P (.) (.2) Os coeficientes finais são obtidos como a média dos custos marginais médios de todos os caminhos: = = π N π N (.3) (.4) Observa-se que (.3) e (.4) podem ser vistos como o valor esperado de uma variável aleatória em função de uma distribuição discreta. lém disso, quando
68 o montante de serviço dos subagentes tende a zero ( 0), o número de subagentes tende ao infinito (N, N, N2 ). Para obter o limite, deve-se computar e em uma forma não seqüencial. Seleciona-se um ponto no espaço bidimensional (τ, τ ), tal que 0 τ P e 0 τ P. Definindo k = τ e k = τ, o número de caminhos / que passam por ( k, k ) e (( + ), ) 2 k k seria: 2 2 / + + + k k 2 N ( k k 2) = Nk (, k2) N k k N k N ( k+ k2) (.5) onde: k, k2 N ( k+ k2) Nk (, k2) = k N k (.6) gora pode ser reescrito como: ( k, k2) N k N( k, k2) c k k 2 ( + 2) = (, ) P N k k N x (.7) Ou, fazendo k = k+ k 2: N k N k N( k, k k) c k k k k= k= = (,( ) ) P N k N x (.8) Verifica-se que: k N k N N N.. Nk (, k k) k N k k k k = = N N N N k (.9)
69 é a distribuição hipergeométrica com parâmetros ( NN,, k ). Fazendo p= N N = P ( P + P ), sabe-se que quando NN,, N 2, mantendo-se p constante, a distribuição hipergeométrica se aproxima da distribuição binomial com parâmetros ( kp, ) [Larson, 982]. Como: N k N N k N, quando N, N Então: k c = p ( p) ( k,( k k) ) P N x N k N k k k k= k= k π (.0) partir da definição de kk,, k 2: k k= k k k k c ( ) p p ( k,( k k) ) = k x k k k k c τ τ p ( p) k,( k k) k= k x k k E Sk k = c Sk Sk τ,( ) τ x k k (.) onde: τ = τ + τ S k : soma de k variáveis independentes com função de distribuição de ernoulli, com probabilidade de sucesso p ; E S k [.] : valor esperado em relação à variável S k. Da lei dos grandes números [Larson, 982]:
70 S k k p, com probabilidade (.2) Então, da continuidade de c x, quando k : c Sk Sk c c ES τ,( ) τ ( pτ,( p) τ) ( kp,( p) k ) k x = k k x x (.3) Com isto: N c = ( kp,( p ) k ) P N x π N k = (.4) Como = P N, então: π N c P P = k, k N x N N k = (.5) Finalmente, como N : = c ( tp, tp ) dt x t = 0 (.6) Da mesma forma, para o agente : = c ( tp, tp ) dt y t = 0 (.7) Onde e são chamados de custos unitários de umann-shapley para os agentes e, respectivamente. Eles correspondem à média dos custos
7 marginais, quando os montantes de utilização do serviço crescem uniformemente de zero até seus valores finais. Generalizando para n agentes, o custo que cabe a cada um utilizando-se a metodologia de umann-shapley seria: x = b π i (.8) i i onde: i c = ( tb ) dt i =,2,..., n b t = 0 i (.9) x i : custo alocado para o agente i; b i : montante do serviço utilizado do agente i; π i : custo unitário de umann-shapley para o agente i.