CO 05: Ensinando conceitos geométricos e trigonométricos envolvidos na construção e utilização da balestilha Antonia Naiara de Sousa Batista Universidade Estadual do Ceará antonia.naiara@aluno.uece.br Ana Carolina Costa Pereira Universidade Estadual do Ceará carolina.pereira@uece.br Resumo A Balestilha teve grande importância nos séculos XVI a XVIII, pois sua dupla função lhe trouxe vantagens com relação a outros instrumentos, como o quadrante e o astrolábio que surgiram anteriormente a ela e eram utilizados apenas para medir a altura dos astros. A função da Balestilha era medir a distância angular, ou seja, a altura de uma estrela em relação à linha do horizonte, ou também medir a distância entre dois astros. É de fácil construção, necessitando apenas de um virote (vara de madeira com secção quadrada) e soalhas (variados pedaços de madeiras com tamanhos menores que o comprimento do virote que deslizam sobre ele perpendicularmente). Esse estudo tem o intuito de, a partir da construção da Balestilha, possibilitar o ensino de conceitos matemáticos de forma mais prazerosa e aplicável, não deixando de lado o desenvolvimento histórico, social, político e econômico da época em que foi construída essa engenhoca. Inicialmente foi realizado um estudo longitudinal da Balestilha observando tanto os seus aspectos históricos como, os cálculos matemáticos e a construção em si do instrumento. Posteriormente, planejamos e aplicamos um curso de 36h/a que enfoca sua graduação em forma geométrica e trigonométrica, juntamente com a construção física da Balestilha e sua aplicação, propondo várias atividades didáticas envolvendo conceitos de trigonometria e conteúdos relacionados a desenho geométrico. Nesse sentido, vislumbramos com esse trabalho contribuir para pesquisas relacionadas à história das Ciências, em particular a História da Matemática na busca de alternativas metodológicas para seu ensino. Palavras-Chave: Balestilha. Conceitos Matemáticos. Formação inicial de Professores de Matemática. Introdução A preocupação com o Ensino de Matemática na Educação básica, assim como, a formação de professores tanto na inicial como na continuada é uma preocupação constante na comunidade de pesquisadores brasileiros. Nessa formação, as disciplinas teóricas, de
Educação Matemática, Pedagógicas, os Estágios Supervisionados e as Atividades Complementares transcorrem, cada uma com sua importância, a vida acadêmica do futuro professor. Dentre as disciplina teóricas, encontramos a História da Matemática que também pode ser como um elemento importante nas formas de fazer matemática em sala de aula descrita pelos PCN (BRASIL, 1998). A história da matemática também está sendo utilizada como um recurso pedagógico de ensino, ganhando destaque no meio acadêmicoeducacional. Dentre pesquisas que estão sendo realizadas, podemos citar o trabalho de Fauvel e Maanen (2000) que tem como objetivo investigar como o ensino e o aprendizado da matemática podem ser utilizados na integração da história da matemática em todos os aspectos da Educação Matemática: lições, trabalhos de casa, textos, leituras, projetos. Durante o decorrer da História da Matemática, muitos instrumentos foram fabricados e utilizados para facilitar o cálculo de medidas. Nas grandes Navegações Portuguesas e Européias, os marinheiros faziam uso de diversos instrumentos náuticos com a finalidade de se obter a sua localização em alto-mar. Um desses instrumentos utilizados foi a Balestilha, em que desconhece-se a sua origem e a data na qual começou a ser utilizada pelos pilotos. Porém, sua primeira menção foi encontrada provavelmente no Livro de Marinharia de João de Lisboa, que consta algumas referências relacionadas à sua utilização durante as viagens marítimas. No entanto, não havia data neste livro, mas que poderíamos possivelmente situá-lo no primeiro quartel do século XVI, não muito posterior ao ano de 1514 (ALBUQUERQUE, 1988). Figura 01: Balestilha. Fonte: Morey e Mendes (2005) 2
Costa (1958, p.23) diz que a Balestilha continuava ainda em uso pelos fins do século XVIII, declaração também de mesma natureza foi feita por Albuquerque (1988), quando relata em seu texto que tanto Pimentel (1712) e Rego (1764) trabalharam voltados para a graduação do virote. Bastante utilizada pelos marinheiros entre os séculos XVI e XVIII, tinha a finalidade de medir a distância angular ou altura de um astro com relação à linha do horizonte, ou medir a distância entre dois astros. No entanto, para medir a altura sol a Balestilha era usada de forma contrária ao seu uso normal, a esse método chamamos de revés. Sua simples construção era composta de apenas uma vara de madeira de secção quadrada chamada de virote, possui tamanho arbitrário, porém um virote com mais de 4 palmos de comprimento sofreria uma certa desvantagem em relação à outro com pouco menos ou exatamente 4 palmos, pois durante as navegações ocorreriam muitas ventanias que impossibilitavam mira-la na linha do horizonte (ALBUQUERQUE, 1988). Outro componente do instrumento seria as soalhas, pedaços de madeira menores que o virote e com um orifício no seu centro, onde seria introduzido o virote. Segundo Pimentel (1819), as soalhas deveriam ter tamanhos na seguinte ordem: a primeira seria ½ do virote, a segunda ¼ do virote, a terceira 1/8 do virote e finalmente a quarta chamada também de martinete, teria como medida 1/16 do mesmo. Em seguida, vem o processo de graduação do virote que segundo Pimentel (1762) poderia ser executado de duas maneiras: A Baleftilha fe póde graduar ou geometricamente, ou por via de numeros. A graduação Geometrica tem muita difficuldade na execução, e neceffita de huma diligencia, e circumfpecção extraordinaria, pela qual razão he melhor, e mais facil ufar de padrão Arithmetico por meio da taboada feguinte, de cujo ufo, e fabrica logo trataremos. (PIMENTEL, 1762, p. 142). Deste modo, esse trabalho visa apresentar, a partir da construção da Balestilha, conceitos matemáticos de Geometria e Trigonometria, principalmente no triângulo retângulo de forma mais agradável e aplicável, não deixando de lado o desenvolvimento histórico, social, político e econômico da época em que foi construído esse instrumento. 3
Metodologia Visando a Balestilha como um recurso mediador no ensino e na aprendizagem do professor-aluno e que possibilite a exploração de conteúdos matemáticos, como por exemplo, a Geometria e a Trigonometria, nós planejamos um curso de extensão pela UECE, composto não só pelo processo de construção da Balestilha, mas, que abordasse assuntos necessários para devida aplicação do instrumento em sala de aula. Durante o curso foram ministradas aulas sobre diferentes metodologias para o Ensino de Matemática incluindo a História da Matemática como tendência pedagógica; a Matemática nos séculos XV e XVI; a contribuição da Matemática para a época das grandes navegações, abrangendo os tipos de instrumentos náuticos utilizados nesse período, como por exemplo, a quadrante, o astrolábio e outros; alguns conceitos de astronomia necessários para a compreensão da situação em que esses eram usados; a história da Balestilha; os conceitos matemáticos envolvidos na graduação do virote e na sua construção física. Figura 02: Balestilha construída com isopor. Fonte: Batista; Pereira (2014). No que se refere à construção da Balestilha, em particular, na graduação do virote, decidimos realizá-lo de duas maneiras: a primeira foi à graduação geométrica e a segunda graduação trigonométrica. 4
Graduação geométrica do virote da Balestilha A graduação geométrica do virote da Balestilha também é denominada método de Werner 1, isso se deve ao fato de que em 1514, ele aconselhava que se graduasse o virote diretamente em graus, havendo logo quem descobrisse um engenhoso processo geométrico para efetuar desse modo (CARVALHO, p. 50, 1960). Esse método está exposto na obra de Manuel Figueiredo, Chromografia,1603, aqui iremos apresentar o passo a passo desse método descrevendo as etapas. Primeiramente tome o virote de medida AB da Balestilha. Em seguida, partindo do ponto B trace um segmento perpendicular BO. Sobre o segmento BO marque o ponto médio C. Em seguida, marque também sobre BO o ponto D e E, tal que, DC = CE = comprimento da meia soalha. No ponto C e no ponto E, trace um segmento CM e EN respectivamente, paralelo a AB, com medida igual ao virote. Com o uso de um compasso de raio qualquer, trace um quarto de círculo, cujo centro seja o ponto C, tocando os segmentos CM e EN nos pontos G e H. Partindo do arco GO divida-o ao meio obtendo o ponto F. Em seguida, divida o arco FG em um número máximo de partes. Na figura 01, dividimos em 3 partes, porém teoricamente o arco pode ser dividido em 90 partes iguais, mas por dificuldade de construção e consequentemente de visualização, marcamos apenas 3 divisões para o entendimento do processo. 1 Johannes Werner, alemão nascido em Nuremberg, foi sacerdote, matemático e geômetra, em que teve seus principais trabalhos voltados para a astronomia, de matemática e de geografia. Tornou-se fabricante qualificado de instrumentos para uso em astronomia. Na matemática trabalhou em trigonometria esférica e seções cônicas, que foi o primeiro em utilizar a fórmula 2sin(a)sin(b)=cos(a-b)-cos(a+b). Adepto aos conhecimentos da trigonometria de Regiomontanus, imprimiu, em Nuremberg, a obra De Triangulis Omnimodis Libri Quinque em latim de importância para a geometria, com vinte e dois livros, denominada Elementos de cônicas (1522). Em 1514, foi um dos primeiros a propor o uso do método de distância lunar para determinar a Longitude. 5
AB = Virote DE = Soalha Figura 03: Graduação do Virote Partindo do ponto C, trace os segmentos de interseção com o arco, por exemplo, CF, CH e CQ e prolongue-os até interceptar o segmento EN nos pontos, K, H e P, respectivamente. Trace segmentos perpendiculares partindo desses pontos, K, H e P, interceptando o segmento AB (virote) em pontos que indicam os ângulos 90º, 60º e 30º. Percebemos que o processo de graduação geométrica do virote utiliza apenas conhecimentos de Desenho Geométrico, principalmente os conceitos de retas paralelas e perpendiculares, bissetriz de um ângulo, medida de ângulos, etc. Para executar essa primeira parte do trabalho, disponibilizamos aos alunos cartolinas, lápis, réguas, compassos, esquadros e transferidores. Para justificarmos mais claramente a graduação geométrica do virote, inicialmente utilizaremos os mesmos procedimentos, porém com uma única diferença: a construção de um quarto do círculo será realizada no ponto B, ponto de apoio do observador, sendo rebatido o mesmo processo acima do virote. 6
AB = Virote DD = Soalha Figura 04: Outra visualização da graduação do Virote Observando essa nova construção podemos destacar os Triângulos ΔGBF, ΔIBH e o ΔQBP, cujos ângulos em B, são as medidas dos arcos correspondentes: GB F = G F ; I B H = I H e Q B P = P Q. Para exemplificar, destacaremos o triângulo ΔGBF. Para melhor visualização, destacaremos apenas a marcação de 30º no virote que é dada pelo ΔGBF. Figura 05: Justificativa da graduação do Virote 7
Na figura 03, a soalha é dada por 2L, ou seja, FG = DD = 2L. Pela construção e forma da Balestilha, o ΔGBF é isósceles sendo que O é ponto médio de FG (soalha), assim ΔGOB é retângulo em O, onde temos a relação Logo, x = 2 arccotg. tg x 2 = L a L = a tg x 2 oua = L cotg x 2 O intuito de colocar a em função de é devido a construção geométrica que divide o semi-quadrante GF em 90 partes iguais (na figura 01 dividimos apenas em 3 partes), onde = 15, ou seja, corresponde a x = 30. Logo, = 30 corresponde a x = 60 e = 45 corresponde a x = 90. Graduação trigonométrica do virote da Balestilha Na graduação trigonométrica, como o próprio nome nos remete, trabalhamos com a trigonometria no triângulo retângulo. Para executar essa segunda maneira, primeiramente decidimos o tamanho do virote, que segundo Pimentel (1762, p.142), não deveria medir mais do que quatro palmos. Em seguida, utilizamos a soalha de tamanho ½ do virote, Pimentel (1762) afirma que meia soalha deveria ser dividida em 1000 partes iguais porém,mais viável foi dividi-la em 10 partes iguais, que no momento será a nossa régua, ou petipé 2, assim chamado por Pimentel (1762). Iniciamos a marcação no virote com distância equivalente a meia soalha em relação ao cós 3 do virote.então, iremos reparti-lo até B, fazendo uso da meia soalha. 2 Réguacomposta por varias divisões utilizadaparafazermedições. 3 Local onde o observador coloca o olho para realizar a observação e assim encontrar a distância angular desejada. 8
Observe a seguinte figura: A: Cós do virote; AB: Virote; CD = 2R = Soalha; α: distância angular; I: Início da graduação; AI = R = Meia soalha. IF = x = Distância da soalha em relação ao início da graduação; AF: Distância da soalha em relação ao cós (A) do virote; Podemos notar que na figura, Tg β = Tg 90 α 2 = cotg α 2 = AF DF = R + x R Para obtermos a tangente no ciclo trigonométrico, assumimos o raio da circunferência igual a 1. Então, Tg 90 α = cotg α = 1 + x x = Tg 90 α 1 = cotg α 1 (I) Antes de iniciar a graduação no virote podemos utilizar uma Taboada ou tábua das Tangentes, que está contida no Livro A Arte de Navegar de Pimentel (1762, p. 144 148). Porém, vamos utilizar no momento apenas uma mostra dessa tabela. TABOADA DAS TANGENTES, QUE SERVEM para graduar a Balestilha, abatido o Radio Gr. M. Tangent. M. Gr. 0 00 1000 00 90 10 20 30 40 003 006 009 012 50 40 30 20 9
50 015 10 1 00 018 00 89 10 20 30 40 50 021 024 027 030 033 Tabela 01: Taboadas das Tangentes Fonte: Pimentel (1762) 50 40 30 20 10 2 00 036 00 88 (90 - ) x = Tag (90 - /2) 1 x = Cotg /2 1 Observando a tabela acima, notamos que ela nos fornece duas possibilidades de medida. Na coluna da esquerda, os graus estão expostos em ordem crescente de cima para baixo, isto é, graduando o virote a partir do ponto I e utilizando essa ordem, encontramos com o uso da Balestilha a distância angular entre um astro e o Zênite 4. Porém, se fizermos uso dos graus em ordem decrescente, da forma como está organizado na coluna da direta de cima para baixo, encontramos a distância angular do astro em relação à linha do horizonte. Essa tabela foi construída supondo que meia soalha R teria sido dividida 1000 partes iguais. Porém, pela dificuldade de execução dessa divisão, chegamos à conclusão que seria mais viável, como já havíamos falado no início, dividir R em apenas dez partes iguais, sem perda de característica. No entanto, essa mudança gerou a necessidade de modificações nos resultados da tabela. A seguir, justificaremos essa mudança através de um exemplo. Observação importante: Para o nosso curso de extensão foi utilizado somente a graduação que vai de cima para baixo (90º a 0º), ou seja, a graduação que faz a medição da distância angular de um astro em relação a linha do horizonte. 4 Ponto onde ocorre a intercessão da vertical de um lugar com a parte visível da esfera celeste, ou seja, o zênite se encontra acima da nossa cabeça. 10
O curso de extensão teve como público alvo, os alunos do curso de Licenciatura em Matemática da UECE com carga horária total de 36h/a, sendo 24h/a presenciais e 12h/a a distância. Para cada aula foi disponibilizado aos discentes atividades práticas para aplicação do conteúdo estudado em sala de aula, tais como a medição da altura de um poste padrão e a distância entre duas estrelas da constelação do Cruzeiro do Sul: a Beta Crucis (mimosa) e a Omega Crucis.O material utilizado para a construção física do instrumento foram folhas de isopor com espessura 2,5 cm, cartolinas branca, cola e estilete. Figura 06: Aplicação da Balestilha. Fonte: Batista e Pereira (2014). Além de trabalhar a trigonometria no triângulo retângulo podemos simultaneamente explorar os conceitos de seno, cosseno e tangente de um ângulo e o complemento de um ângulo. No final do curso houve uma discussão sobre as vantagens e desvantagens da utilização da Balestilha em sala de aula, como um recurso metodológico diferenciado. Resultados e Discussões A utilização de instrumentos náuticos como suporte metodológico e didático para as aulas dos nossos futuros professores foram bastante apoiadas e aprovadas pelos nossos discentes. Porém, alguns alunos fizeram pequenas observações com relação a certos empecilhos no caminho do professor. Um deles está relacionado com o tempo disponível do docente para planejar e executar esse tipo de aula. Outro fato que percebemos foi que as grandes maiorias dos alunos não conheciam a Balestilha e sua relação com a Matemática, assim como os conceitos iniciais de 11
astronomia. Na aplicação houve dificuldade em calcular a distância entre dois astros, pois alguns alunos não conseguiam mirar simultaneamente as duas estrelas devido ao tempo nublado e a distância de um astro em relação à linha do horizonte, a partir de certo horário, porque durante a noite fica difícil visualizar a linha do horizonte. Assim, consideramos que é possível fazer uma aula diferenciada que envolva os alunos em atividades de grupo e que ao mesmo tempo desenvolva conceitos matemáticos favoráveis ao ensino e a aprendizagem desses alunos. Referências ALBUQUERQUE, Luis de. 1988. Instrumentos de Navegação. Lisboa: Comissão Nacional Para As Comemorações dos Descobrimentos Portugueses, 10-29. COSTA, Abel Fontoura da. 1958. A ciência náutica dos portugueses na época dos descobrimentos. Lisboa: Comissão Executiva das Comemorações do Quinto Centenário da Morte do Infante D. Henrique. BUSSI, Maria G. Bartolini. 2000. Ancient instruments in the modern classroom. FAUVEL, John.; MAANEN, Jan. Van. (Eds.). History in mathematics education: the ICMI Study. Dordrecht/Boston/London: Kluwer Academic Publishers, vol. 6, 343-350. MOREY, Bernadete; MENDES, Iran Abreu. 2005. Conhecimentos matemáticos na época das navegações. Rio Grande do Norte: Sbhmat. PIMENTEL, Manuel. 1762. Arte de navegar. Lisboa: na Officina de Miguel Manescal da Costa, Impressor do Santo Officio. PINTO, Margarida Matias. 2010. Os instrumentos náuticos de navegação e o ensino da geometria. Lisboa: Sociedade Portuguesa de Matemática. 12