ESTATÍSTICA 1 INTRODUÇÃO Desde a antiguidade vários povos já registravam o número de habitantes, de nascimentos, de óbitos, faziam estimativas das riquezas individual e social, distribuíam eqüitativamente terras ao povo, cobravam impostos e até realizavam inquéritos quantitativos por processos que hoje chamaríamos de Estatística. A palavra estatística vem de status, que significa em latim Estado. Com essa palavra faziam-se as descrições e dados relativos aos Estados, tornando a Estatística um meio de administração para os governantes. Mais recentemente se passou a falar em estatística em várias ciências de todas as áreas do conhecimento humano, onde se pode definir a Estatística como um conjunto de métodos e processos quantitativos que servem para estudar e medir os fenômenos coletivos, segundo Bernoulli. Ao se estudar os fenômenos coletivos, o que interessa são os fatos que envolvem os elementos desses fenômenos, como eles se relacionam e qual o seu comportamento. Para isso, é necessário que esse estudo seja feito através de uma pesquisa científica, ou seja, por uma investigação planejada, desenvolvida e redigida de acordo com a metodologia exigida. 2 PESQUISA CIENTÍFICA Defini-se Pesquisa Científica como sendo um procedimento racional que utiliza métodos científicos para encontrar respostas às questões propostas. 3 ROTEIRO PARA PESQUISAS DESCRITIVA E EXPERIMENTAL 1. Escolha o assunto: O assunto deve ser significativo, adequado ao interesse e ao nível de formação como também às condições do pesquisador. 2. Título da pesquisa: deve esclarecer o tema que está sendo trabalhado. 3. Delimitação do assunto: Selecionar um tópico para ser estudado e analisado em profundidade, tornando o assunto viável de ser pesquisado. Evitar temas amplos que resultem em trabalhos superficiais.
1 4. Objetivos: Indicação do que se pretende alcançar com a pesquisa. 5. Justificativa da escolha: Mostrar as razões da preferência pelo assunto escolhido e sua importância em relação a outros temas. 6. Revisão da literatura: É a realização de uma pesquisa bibliográfica do assunto e da questão delimitada. Tal estudo preliminar tem o objetivo de mostrar os trabalhos realizados sobre o assunto, apresentar as informações sobre a situação atual do problema, e as opiniões existentes. Estes conhecimentos prévios irão auxiliar o investigador nos passos seguintes. 7. Formulação do problema: Redigir de forma interrogativa, clara, precisa e objetiva, a questão cuja solução viável possa ser alcançada pela pesquisa. O problema levantado deve expressar as relações entre duas ou mais variáveis. A elaboração clara do problema é fruto da revisão da literatura e da reflexão pessoal. 8. Enunciado da hipótese: A hipótese, como resposta e explicação provisória, relaciona duas ou mais variáveis do problema levantado. Deve ser colocado à prova e responder o problema. Num trabalho, o número de hipóteses não deve ser muito grande. As variáveis são aqueles aspectos, propriedades ou fatores reais ou potencialmente mensuráveis através dos valores que assumem e possíveis de serem identificados em um objeto de estudo. 9. Definição operacional das variáveis: A hipótese orienta a execução da pesquisa. Por isso, os termos empregados na hipótese devem esclarecer, com o máximo de precisão, o que eles significam no contexto concreto e objetivo da pesquisa a ser feita. A definição operacional das variáveis indica as operações a serem realizadas e os mecanismos a serem usados para verificar a conexão entre as variáveis. 10. Amostragem: A pesquisa procura estabelecer generalizações a partir de observações em grupos ou em conjuntos de indivíduos chamados de população ou universo. População pode referir-se a um conjunto de pessoas, animais ou objetos que representam a totalidade de indivíduos que possuem as mesmas características definidas para um estudo. Geralmente, a pesquisa é feita com uma parte representativa da população, denominada amostra, e não com a totalidade dos indivíduos. Portanto, a amostra é uma parte da população selecionada segundo uma técnica de amostragem que garante sua representatividade.
2 11. Instrumentos de pesquisa: Na pesquisa descritiva relatar a técnica a ser usada para a coleta de dados, como por exemplo: entrevista, questionário, formulário. Quando se trata de pesquisa experimental são descritos os instrumentos e materiais ou as técnicas a serem usados. 12. Procedimentos: Em pesquisas descritivas faz-se a descrição detalhada de todos os passos da coleta e registro dos dados: Quem? Quando? Onde? Como? Descrevem-se ainda as dificuldades, as precauções, a supervisão e o controle. No relatório, os dados são apresentados depois de classificados sob forma descritiva, de preferência, em tabelas, quadros ou gráficos. Os dados devem ser auto explicativos a fim de não exigir do leitor exames exaustivos que o obrigue a um grande esforço para sua interpretação. 13. Análise dos dados: Coletados os dados é realizado uma análise exploratória dos mesmos e expostos em tabelas de forma sintética e, submetidos ou não, conforme o caso, ao tratamento estatístico mais profundo, onde todas as informações reunidas nos passos anteriores são comparadas entre si e analisadas. A análise através da classificação ordenada dos dados, do confronto dos resultados das tabelas e dos testes estatísticos, quando empregados, procura verificar a comprovação ou não das hipóteses em estudo. 14. Discussão dos resultados: É a generalização dos resultados obtidos pela análise. Na discussão, o pesquisador fará as inferências e generalizações cabíveis com base nos resultados alcançados. Os resultados também serão discutidos e comparados com afirmações e posições de outros autores. 15. Conclusão: A conclusão apresentará um resumo dos resultados mais significativos da pesquisa e sintetizará os resultados que conduziram à comprovação ou rejeição da hipótese de estudo. Fará inferências que os dados alcançados permitam fazer e indicará aspectos que mereçam mais estudo e aprofundamento. 16. Bibliografia: São as referências bibliográficas que serviram de embasamento teórico. 17. Anexos: Os anexos são constituídos de elementos complementares, como questionários, fichas de observação e registros utilizados no trabalho que venham auxiliar a análise do leitor da pesquisa.
3 4 OBJETIVO DA ESTATÍSTICA em: Dependendo do objetivo da pesquisa pode-se classificar a metodologia estatística Descritiva ou Indutiva 4.1 Estatística descritiva Usualmente a expressão estatística descritiva é empregada para se referir à ordenação, exposição e sumarização de registros quantitativos relativos aos atributos do fenômeno em estudo. 4.2 Estatística indutiva A estatística indutiva objetiva a generalização do que é estudado descritivamente, em subconjuntos, para o conjunto que as contêm. 5 COLETA DE DADOS É fase onde são aplicados os instrumentos para a obtenção de dados necessários que serão objetos da análise estatística. 5.1 Noções Básicas Na pesquisa científica coleta-se características de pessoas, animais, empresas, indústrias, sistema de produção, fenômenos físicos ou químicos, com a finalidade de estudar o comportamento dessas características. 5.1.1 População comum. É um conjunto de elementos que detêm pelo menos uma característica em
4 5.1.2 Amostra É uma parte retirada da população para estudo segundo uma técnica adequada de maneira a garantir sua representatividade. 6 TIPOS DE AMOSTRAGEM Amostragem é um procedimento ou uma técnica para se obter uma amostra que seja representativa de uma população. As técnicas usadas para obtenção de uma amostra podem ser classificadas como amostragens probabilísticas ou não-probabilísticas. 6.1 Amostragem Probabilística Se destacam a Amostragem Simples ao Acaso, a Sistemática, a Estratificada e a Conglomerado. a) Amostragem Simples ao Acaso (ASA) : Também conhecida como amostragem aleatória simples, é utilizada quando todos os elementos de uma população têm a mesma chance (probabilidade) de serem selecionados. É um procedimento que pode se tornar trabalhoso quando a população é muito grande. É aplicado quando a população é considerada homogênea. Para manter essa propriedade deve-se numerar todos os elementos da população e, através de um sorteio ou do auxílio de uma tabela de números aleatórios, obter os elementos que comporão a amostra desejada. b) Amostragem Sistemática : Usada quando a população se encontra organizada, como por exemplo: em ordem alfabética, em um fichário ou em uma lista telefônica, cujo procedimento é descrito a seguir: divide-se o tamanho da população pelo tamanho da amostra para se ter o valor de K (salto). Assim: N K = n onde: K = Salto, N = tamanho da população e n = tamanho da amostra
5 Com o valor de K (salto), sorteia-se um de seus elementos, que será o primeiro elemento da amostra. A partir daí, basta ir somando K à posição do elemento retirado até formar a amostra desejada. c) Amostragem Estratificada : Utilizada quando a população se apresenta de forma heterogênea, isto é, por ter elementos discrepantes. Neste caso, para se compor uma amostra é preciso dividir a população em grupos de elementos homogêneos, chamados de estratos e, nesses estratos, fazer um sorteio entre seus elementos para compor a amostra. O número de elementos sorteados de cada grupo poderá ser proporcional ao tamanho do grupo, obtendo assim, a Amostragem Estratificada Proporcional. d) Amostragem por Conglomerado: Algumas populações não permitem, ou tornam extremamente difícil que se identifique seus elementos. Não obstante isso pode ser relativamente fácil separar alguns subgrupos destas populações. Em tais casos, uma amostra aleatória simples desses subgrupos (conglomerados) pode ser colhida e, uma contagem completa (censo) deve ser feita para o conglomerado sorteado. Exemplos de agregados simples são: quarteirões, famílias, organizações, agências, edifícios, etc. 6.2 Amostragem Não-Probabilística São as que não permitem a retirada de uma amostra de forma aleatória, pois em algumas situações a amostragem se torna obrigatória, por exemplo: ensaios de drogas, vacinas, técnicas cirúrgicas, pesquisa de opinião e etc. Destacam-se dentre elas as amostragens por Conveniência, por Julgamento e por Quota. a) Amostragem por conveniência : Ocorre quando o pesquisador seleciona os membros da população dos quais é mais fácil se obter informações. Esse tipo de amostragem, embora não aleatória, é bastante utilizada na área de marketing, geralmente são amostras obtidas em teatros, cinemas, etc. Neste caso, é importante o senso crítico do pesquisador para evitar vieses, por exemplo, não selecionar sempre pessoas de mesmo sexo, de mesma faixa etária, etc.
6 b) Amostragem por julgamento : Ocorre quando o pesquisador utiliza seu próprio julgamento para selecionar os membros da população que tenham boas perspectivas de fornecerem as informações necessárias. c) Amostragem por quotas : Ocorre quando o pesquisador encontra e entrevista um número pré-determinado de pessoas em cada uma das várias categorias da população. Observação: A amostragem não-probabilística geralmente é influenciada por tendências, preferências e fatores subjetivos pessoais diversos. 6.3 Cuidados com a Amostragem Para que não haja erros na amostragem é conveniente observar: 1) Definição do Universo que será amostrado face aos objetivos e definição do problema da pesquisa. 2) Definição da unidade da amostra que será à base do processo da seleção. Exemplo: em uma pesquisa poderíamos utilizar como unidade amostral, o domicílio ou a família, uma vez definido operacionalmente o que vem a ser a família, por exemplo, só entrevistaríamos aqueles que realmente se ajustem à definição adotada. Ex.: uma república de estudantes não é considerada família em muitas pesquisas porque cada indivíduo isoladamente decide o que consome, não existe geração conjunta de recursos para ajudar no orçamento de despesas e o processo decisório não é consistente como de família, de marido, de mulher e de filhos. 3) Confiabilidade. Se aplicarmos o estudo com metodologia semelhante, deveremos conseguir resultados similares. 4) Tamanho da amostra. Apesar da existência de várias fórmulas, a amostra varia muito de pesquisa para pesquisa. Porém, deve se levar em conta o tamanho da população. Todavia, algumas observações podem ser levadas em considerações, a saber: a) Quanto maior o número de elementos numa amostra, menor os desvios dos parâmetros em relação ao valor esperado da população. b) Quanto maior a homogeneidade da população, menor a amostra a ser pesquisada.
7 7 VARIÁVEL É qualquer quantidade ou característica que pode assumir diferentes valores numéricos. Por exemplo, um questionário de uma pesquisa em marketing contém as seguintes perguntas: Qual a sua idade? Qual o número de pessoas de sua família? Qual a renda familiar? Qual é o seu estado civil? Você tem emprego fixo? Qual o tempo de trabalho na empresa? Gerem informações nas variáveis - Idade - Tamanho da família - Renda familiar - Estado civil - Emprego - Tempo de trabalho. 7.1 Classificação das Variáveis Ao se fazer um estudo estatístico de um determinado fato ou grupo, tem-se que considerar o tipo da variável. Pode-se ter variáveis qualitativas ou quantitativas. As variáveis qualitativas são as que descrevem os atributos de um indivíduo, tais como: sexo, estado civil, grau de instrução, etc. Já as variáveis quantitativas são as provenientes de uma contagem ou mensuração, tais como: idade, salário, peso, etc. As variáveis qualitativas e as quantitativas dividem-se em dois tipos: Variáveis Tipos Descrição Exemplos Qualitativas Nominal Não existe nenhuma ordenação. Cor dos olhos, sexo, estado civil. ou Categóricas Ordinal Obedece a uma certa ordenação. grau de instrução; classe social. Quantitativas Discretas Dados oriundos de contagem. Número de funcionários; número acidentes de trabalho ocorrido durante um mês. Contínuas Dados oriundos de medição. Medidas de altura e peso.
8 8 DESCRIÇÃO E APRESENTAÇÃO DE DADOS Os dados obtidos em pesquisas devem ser analisados e interpretados com o auxílio de métodos estatísticos. Na primeira etapa deve-se fazer uma análise descritiva que consiste na organização e descrição dos dados, na identificação de valores que representem o elemento típico e, na quantificação da variabilidade presente nos dados. 8.1 DADOS São as informações inerentes às variáveis que caracterizam os elementos que constituem a população ou a amostra em estudo. 8.1.1 Dados Brutos São os dados obtidos diretamente da pesquisa, sem terem passados por nenhum processo de síntese ou análise. Exemplos: 1) Depósitos bancários Depósitos bancários da Empresa AKI-SE-TRABALHA, em milhares de Reais, Fev/Mar, 2002 3,7 1,6 2,5 3,0 3,9 1,9 3,8 1,5 1,1 1,8 1,4 2,7 2,1 3,3 3,2 2,3 2,3 2,4 0,8 3,1 1,8 1,0 2,0 2,0 2,9 3,2 1,9 1,6 2,9 2,0 1,0 2,7 3,0 1,3 1,5 4,6 2,4 2,1 1,3 2,7 2,1 2,8 1,9 1,3 2,6 Apesar de todos estes valores terem sido obtidos na mesma empresa, nota-se uma grande variação em seus resultados. Esta variabilidade exige que o padrão de referência procurado seja expresso por uma faixa e não por um único valor. Pode-se perceber a grande variabilidade entre os dados considerados no exemplo anterior. Assim, os métodos estatísticos são fundamentais para o estudo de situações em que a variabilidade é inerente. A Estatística Descritiva ajuda na percepção, avaliação e
9 quantificação da variabilidade em tabelas e gráficos obtidos a partir de um conjunto de dados que sintetizem os valores, com o objetivo de se ter uma visão global e clara da variação existente nas variáveis. 8.2 Rol Rol é o arranjo dos dados brutos numéricos em ordem crescente ou decrescente, se os dados forem qualitativos o rol é construído em ordem alfabética. Pode-se, pelo rol, verificar de maneira mais clara e rápida a composição do conjunto identificando o maior e o menor valor, além de alguns elementos que podem se repetir várias vezes, mostrando assim o comportamento dos dados. Como exemplo, o rol dos dados anterior fica: Depósitos bancários da Empresa AKI-SE-TRABALHA, em milhares de Reais, Fev/Mar, 2002 0,8 1 1 1,1 1,3 1,3 1,3 1,4 1,5 1,5 1,6 1,6 1,8 1,8 1,9 1,9 1,9 2 2 2 2,1 2,1 2,1 2,3 2,3 2,4 2,4 2,5 2,6 2,7 2,7 2,7 2,8 2,9 2,9 3 3 3,1 3,2 3,2 3,3 3,7 3,8 3,9 4,6 8.3 Representação Tabular Consiste em apresentar os dados coletados através de tabelas dando uma visão mais clara do que ocorre com os dados observados. Para organizar uma série estatística ou uma distribuição de freqüências, existem algumas normas nacionais ditadas pela Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) as quais devem ser respeitadas. Assim, toda tabela estatística deve conter: a) Elementos essenciais Título indica a natureza do fato estudado (o quê?), as variáveis escolhidas na análise do fato (como?), o local (onde?) e a época (quando?). Corpo é o conjunto de linhas e colunas que contém, respectivamente, as séries horizontais e verticais de informações. Cabeçalho designa a natureza do conteúdo de cada coluna.
10 Coluna indicadora mostra a natureza do conteúdo de cada linha. b) Elementos complementares (se necessário) Fonte é o indicativo, no rodapé da tabela, da entidade responsável pela sua organização ou fornecedora dos dados primários. Notas são colocadas no rodapé da tabela para esclarecimentos de ordem geral. Chamadas são colocadas no rodapé, servem para esclarecer minúcias em relação as caselas, colunas ou linhas. Nenhuma casela da tabela deve ficar em branco, apresentando sempre um número ou sinal. Exemplo: Tendo a seguinte tabela Percentuais de exportações brasileiras por Estados, mês de março de 2000. Estados Percentuais (%) Minas Gerais 21,92 São Paulo 39,96 Rio Grande do Sul 17,50 Espírito Santo 7,68 Paraná 9,56 Santa Catarina 3,38 Total 100,00 Fonte: Ministério da Agricultura c) numerar as tabelas quando houver mais de uma; d) as tabelas devem ser fechadas acima e abaixo por linha horizontais, não sendo fechadas à direita e à esquerda por linhas verticais. É facultativo o emprego de traços verticais para separação de colunas no corpo da tabela; e) os totais e subtotais devem ser destacados; f) manter a uniformidade do número de casas decimais. 8.3.1 Séries Estatísticas Existem várias maneiras de representar um conjunto de dados através de tabelas, dependendo para isso, dos tipos de dados e da classificação que se queira dar. Fixando uma das três modalidades que caracterizam um fato: tempo, local e fato observado, pode-se classificá-las em cinco tipos: - Série Cronológica (varia o tempo e fixa o local e o fato).
11 - Série Geográfica (varia o local e fixa o tempo e o fato). - Série Categórica (varia o fato e fixa o tempo e o local). - Série Conjugada ou Mista (combinação de duas séries acima). - Distribuição de Freqüência.(específica para valores numéricos). Série Unidimensional TABELA 1 Número e porcentagem de causas de morte de residentes de Londrina, no período de 10 de agosto a 31 de dezembro de 1993. CAUSAS DA MORTE N O % Doenças do ap. circulatório 281 33,5 Neoplasias 115 13,7 Causas externas 92 11,0 Doenças do ap. respiratório 87 10,4 Doenças das glând. endóc./transt. Imunitários 56 6,7 Doenças do ap. digestivo 54 6,4 Doenças e infec. e parasitárias 46 5,5 Afecções do per. Perinatal 26 3,1 Demais grupos 82 9,8 TOTAL 839 100,0 FONTE: Núcleo de informação em mortalidade PML. Série Bidimensional ou Conjugada TABELA 2 Percentual da população economicamente ativa empregada no setor primário e o respectivo índice de analfabetismo, algumas regiões metropolitanas brasileiras. 1977. Regiões Metropolitanas Setor Primário Índice de Analfabetismo São Paulo 2,0 17,5 Rio de Janeiro 2,5 18,5 Belém 2,9 19,5 Belo Horizonte 3,3 22,2 Salvador 4,1 26,5 Porto Alegre 4,3 16,6 Recife 7,0 36,6 Fortaleza 13,0 38,4 FONTE: Indicadores Sociais para Áreas Urbanas - IBGE
12 8.4 Tabela de Distribuição de Freqüências Tendo os dados relativos a uma variável quantitativa contínua é razoável apresenta-los por intervalos de acordo com a precisão necessária, assim, pode-se construir uma tabela de distribuição de freqüências, como observa-se no exemplo: Idade dos freqüentadores do Shopping AKI-SE-GASTA, 2001 Idade (anos) Freqüência absoluta Porcentagem Porcentagem acumulada 10 -- 20 570 18,87 18,87 20 -- 30 1130 37,42 56,29 30 -- 40 570 18,87 75,17 40 -- 50 320 10,60 85,76 50 -- 60 190 6,29 92,05 60 -- 70 170 5,63 97,68 70 -- 80 70 2,32 100 Total 3020 100 Para agrupar os dados selecionamos intervalos contínuos para os quais cada valor coletado será alocado. Estes intervalos são chamados de intervalos de classe. É aconselhável que sejam sempre do mesmo tamanho. O número intervalos pode ser um problema, pois poucos intervalos podem resultar em perda da informação. Por outro lado, muitos intervalos não resumem a informação. Etapas para a construção de tabelas de distribuição de freqüência: 1) Encontrar o menor e o maior valor do conjunto de dados e calcular a amplitude entre eles por: At = n o do maior n o do menor 2) Não existindo um critério rígido para estabelecer o número ideal de intervalos, sugere-se que não se utilize menos de 6 e não mais de 15 intervalos. A experiência tem demonstrado que se pode fixar o número de intervalo como: K = 1+ 3,3.log n, para uma amostra de tamanho n 3) Uma vez determinado o número de intervalos, o tamanho destes é dado por: a = maior valor - menor valor K A t = K
13 Assim, se podem construir os intervalos partindo do menor valor do conjunto e somando a amplitude calculada (a), o que permite determinar os limites dos intervalos. Aplicação: Faça uma distribuição de freqüências para os dados abaixo que representam o tempo de atendimento de assessoria econômica (min). 11,4 12,2 12,6 12,6 12,6 14 15,8 16,2 16,2 18 18 19,4 20,2 20,4 22,2 22,6 23 23,6 24,2 24,8 27 27,4 28 28,2 28,4 28,8 29,2 29,8 30 30,2 30,4 31 31,8 32,4 33,6 35,2 35,4 35,4 36,2 37 37 37,4 37,6 37,6 37,8 38 38,4 38,4 39 39 39,2 39,4 39,4 39,4 39,4 39,8 40 40,4 40,6 40,8 41 41 41,4 42 42 42,2 42,6 43 43,2 44 44 44 45 45,6 45,8 46 47 47,8 49,2 49,4 49,6 9 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA A representação gráfica é usada para aumentar a legibilidade do resultado de uma pesquisa. Os gráficos devem ser auto-explicativos e de fácil compreensão. Devem sempre: Ter um título, onde se destaca o fato, o local e o tempo; Ser construídos em uma escala que não desfigure os fatos ou as relações que se deseja destacar. Assim, a altura de um gráfico deve compreender entre 60% a 80% da largura; Colocar a fonte de obtenção dos dados, caso não seja o próprio autor que tenha feito a coleta.
14 9.1 Representação gráfica para variável qualitativa (categórica) Para esse tipo de variável os gráficos mais utilizados são os de: colunas, barras, de setores e de linhas. a) Gráfico de Colunas Dados sobre as doenças mais comuns ocorridas no Estado de São Paulo 30000 25000 Frequência 20000 15000 10000 5000 0 Tetano Pneumonia Tuberculose Hepatite Leptospirose Doenças b) Gráfico de Setores Circulares Hepatite 12% Leptospirose 10% Tetano 33% Tuberculose 21% Pneumonia 24%
15 c) Gráfico de Barras Dados sobre as doenças mais comuns ocorridas no Estado de São Paulo Leptospirose Hepatite Doenças Tuberculose Pneumonia Tetano 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 Frequência d) Gráfico de Linha tempo. É o tipo mais utilizado para representar a evolução de uma variável ao longo do Produção de Dormitórios da Empresa Moveleira JS, 1990 a 2000. Ano Quantidade (1.000 unidades) 1990 55,64 1991 73,16 1992 65,15 1993 61,20 1994 54,96 1995 44,93 1996 56,57 1997 29,65 1998 34,59 1999 34,51 2000 29,32 Fonte: Departamento de Produção.
16 Produção de Dormitórios da Empresa JS, 1990 a 2000 Quantidade (1000 unidades) 80 70 60 50 40 30 20 10 0 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 9.1.1 Distribuição de duas ou mais variáveis qualitativas Balança Comercial Brasileira de janeiro a maio de 1999 40000 35000 30000 25000 20000 15000 10000 5000 0 Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Exportação Importação
17 Balança Comercial Brasileira de janeiro a maio de 1999 100% 80% 60% 40% Importação Exportação 20% 0% Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Balança Comercial Brasileira de janeiro a maio de 1999 45000 40000 35000 30000 25000 20000 15000 10000 5000 0 Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Exportação Importação 9.2 Representação gráfica de variáveis quantitativas Resultados referentes a variáveis contínuas freqüentemente são organizadas em tabelas de distribuições de freqüências por intervalos. Três tipos de gráficos geralmente são utilizados neste caso: histograma, polígono de freqüência e ogivas.
18 Medidas Mm Medidas do diâmetro de peças tipo WKJ Freqüência absoluta Porcentagem Simples Acumulada P. médio X i 3,0 -- 3,5 2 0,7 0,7 3,25 3,5 -- 4,0 15 5,6 6,3 3,75 4,0 -- 4,5 33 12,4 18,7 4,25 4,5 -- 5,0 40 15 33,7 4,75 5,0 -- 5,5 54 20,2 53,9 5,25 5,5 -- 6,0 47 17,6 71,5 5,75 6,0 -- 6,5 38 14,2 85,7 6,25 6,5 -- 7,0 16 6 91,7 6,75 7,0 -- 7,5 15 5,6 97,3 7,25 7,5 -- 8,0 3 1,1 98,4 7,75 8,0 -- 8,5 1 0,4 98,8 8,25 8,5 -- 9,0 3 1,1 100 8,75 Total 267 100 a) Histograma 60 50 40 30 20 10 Diâmetros das Peças WKJ 0 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9
19 b) Polígono de Freqüências Diâmetros das Peças WKJ 60 50 40 30 20 10 0 2,75 3,25 3,75 4,25 4,75 5,25 5,75 6,25 6,75 7,25 7,75 8,25 8,75 9,25 c) Ogiva Diâmetros das Peças WKJ 120 100 80 60 40 20 0 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5
20 10 - DESCRIÇÃO ARITMÉTICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO Uma das principais razões de se estudar um fenômeno é determinar a natureza da distribuição dos dados. No caso das variáveis quantitativas, ao se construir a tabela de distribuição de freqüência e o histograma obtêm-se uma considerável quantidade de informações referentes à distribuição de conjunto de dados de uma amostra, porém, são necessárias informações mais precisas para se ter uma descrição aritmética da distribuição, pois, quanto mais medidas se conhecem, mais informações se têm sobre a distribuição. Neste trabalho destacam-se as seguintes medidas: Medidas de Posição: média, mediana, moda e separatrizes. Medidas de Dispersão: amplitude total, variância, desvio padrão e coeficiente de variação. Medidas Separatrizes: quartil, decil e percentil. 10.1 - Medidas de Posição São medidas usadas para representar as variáveis quantitativas de forma resumida. Tais medidas possibilitam a comparação de variáveis entre si pelo confronto desses números. São também chamadas de medidas de tendência central, pois representam os fenômenos pelos seus valores médios, em torno dos quais tendem a concentrar-se os demais valores. a ) Média Aritmética Seja uma amostra de n elementos composta pelos seguintes valores: x 1, x 2,..., x n. A média aritmética simples desses elementos, representada por X. É definida por: n i= x i X = 1 ou simplesmente n amostra. X = x onde, n é o número de elementos da n
21 No caso de se ter dados relativos a uma população, calcula-se a média aritmética simples através de: x µ = onde, N é o número de elementos da população. N Exemplo: Tendo a seguinte amostra A = 6, 9, 10 e 14 X = b ) Mediana Mediana de um conjunto de valores em rol é o valor que o separa em duas partes iguais em número de elementos. Para o cálculo da mediana é aconselhável que o rol esteja em ordem crescente. 0% 50% 100% Md Se o número de elementos da amostra for impar, a mediana é o elemento central do rol. 1, 3, 4, 6, 7, 9, 15, 16, 19 => Md = Caso tenha número de elementos par, a mediana é a média aritmética dos dois termos centrais do rol. 3, 4, 7, 10, 12, 14, 15, 18 => Md = Fórmulas: n ímpar Md = x e n par Md X n+ 2 1 onde x[i] colocados em ordem crescente ou decrescente. X = x n + 2 2 x n + 1 2 é a observação que ocupa a i-ésima posição, no conjunto de dados c ) Moda É o valor mais freqüente de uma distribuição de dados. Para distribuições simples (sem agrupamento em classes), a identificação da moda é facilitada pela simples observação do elemento que apresenta maior freqüência. Assim, para a distribuição:
22 X i 243 245 248 251 307 f i 7 17 23 20 8 A moda é: Mo = 248. De acordo com o comportamento dos valores da série, pode-se ter: Série amodal não existe moda Série modal ou unimodal existe uma única moda Série bimodal existem duas modas Série multimodal ou plurimodal existem mais de duas modas 10.2 - Medidas de Dispersão Antes de definirmos o que é dispersão, verificaremos qual a sua utilidade através da seguinte situação: Com o objetivo de contratar um digitador determinada empresa submeteu aos candidatos a digitarem 5 textos de tamanhos variados, onde foram anotados os tempos de execução (em minutos). Destacaram-se dois candidatos, cujos tempos estão descritos na tabela abaixo: Candidatos Provas 1 2 3 4 5 A 6 8 8 9 9 B 5 7 8 8 12 Qual é o melhor candidato? Uma maneira de classificá-los seria pela média, porém verifica-se que têm médias iguais, ou seja, de 8 minutos, ocasionando assim um impasse. Se optar pela mediana ou pela moda o valor também será de 8 minutos. Percebe-se que as medidas de tendência central nem sempre são suficientes para descrever plenamente um conjunto de dados. As medidas que complementam essa descrição são as chamadas medidas de dispersão, pois medem o grau de concentração dos dados. Nesse caso, o melhor candidato é o que apresentou maior homogeneidade, ou menor dispersão nos tempos de execução. Para se calcular essa dispersão podemos usar um das seguintes medidas:
23 a ) Amplitude Total Como já se verificou na construção da tabela de distribuição de freqüências, a amplitude total de um rol é definida como a diferença entre o maior e o menor valor de uma série. A amplitude total tem o grave inconveniente de depender somente dos valores extremos da série, desprezando assim os valores intermediários, o que a torna insensível à dispersão dos demais valores. Para calcular usa-se: A T = N o maior N o menor Exemplo: No caso apresentado anteriormente: Candidato A a amplitude é Candidato B a amplitude é Desta maneira o candidato escolhido será. b ) Variância É certamente a medida de dispersão mais usada pela sua facilidade de aplicação e também por ser uma medida mais precisa, pois leva todos os valores da distribuição em consideração no seu cálculo. - Para dados não agrupados: Utiliza-se a seguinte fórmula: s 2 = n ( xi x) i= 1 n 1 2 Exemplo: Tendo a seguinte amostra: 5, 6, 8, 10,12. c ) Desvio - Padrão Ao calcular a variância, os valores das variáveis são todos elevados ao quadrado, ficando assim a sua unidade também elevada ao quadrado. Por exemplo, se a variável for uma medida de comprimento em metro (m), ao calcular a variância a sua unidade será metro ao quadrado (m 2 ). Para voltarmos a unidade original, precisamos definir uma outra medida de dispersão, que é a raiz quadrada da variância, que se denomina desvio-padrão, logo:
24 s = n ( xi x) i= 1 n 1 2 Para dados agrupados em uma Distribuição de freqüências. Quando já se têm os dados organizados em uma tabela, pode-se calcular a média aritmética e a variância pelas seguintes fórmulas: X MEDIA ARITMÉTICA k xi f i = = 1 n i x. f ou X = n s 2 = VARIÂNCIA 2 x f i i ( xi f i ) n 1 n 2 onde: x i é o ponto médio e f i a freqüência absoluta de cada intervalo de classe. d) Medida de Dispersão Relativa Coeficiente de Variação As medidas de dispersão absolutas são sempre indicadas nas mesmas unidades de medida do fenômeno estudado. Suponhamos que desejamos comparar a dispersão das atribuições de conjuntos com unidades diferentes, como por exemplo, o peso, em kg, e alturas, em cm. Como comparar essas duas variáveis? Em situações como estas, as medidas de dispersão relativa podem ser mais adequadas, pois independem da unidade de medida. Dentre vários estimadores da dispersão relativa existentes, adotaremos o COEFICIENTE DE VARIAÇÃO DE PEARSON, definido por: s CV =.100% X Exemplo: A tabela a seguir nos fornece a tendência central e a dispersão absoluta dos pesos e alturas das mulheres de certa amostra.
25 Estatística Estatura Peso Média (X) 168 cm 53 kg Desvio-padrão (s) 30 cm 9,49 kg Coeficiente de Variação (C.V.) 17,86% 17,90% Observa-se então, que embora o desvio-padrão das estaturas seja aproximadamente 3 vezes maior que o desvio-padrão dos pesos, os coeficientes de variação são praticamente iguais para as duas variáveis, isso significa que, embora os desvios padrão sejam discrepantes, o grau de concentração dos dados em torno da média em cada variável é aproximadamente igual. O coeficiente de variação serve também para nos indicar o grau de representatividade da média dentro de um conjunto de dados, além de comparar o comportamento de dois conjuntos com unidades diferentes. Quanto menor o coeficiente de variação maior a representatividade da média. Para os digitadores, temos: Estatística DIGITADORES A B Média ( X ) 8 8 Desvio-Padrão (s) 1,22 2,55 Coeficiente de Variação (C.V.) 15,25% 31,88% Percebe-se que o C.V. de B é o dobro do C.V. de A, possibilitando verificar que realmente o conjunto de tempos do digitador A é mais homogêneo, logo a sua média (8) representa melhor o conjunto de tempo de execução que a média do digitador B. 10.3 Medidas Separatrizes: Percentis 10.3.1 Percentis (Centis) São mediadas que dividem um conjunto de dados em cem partes iguais. 0% 1% 2%... 50%... 98% 99% 100% P 1 P 2... P 50... P 98 P 99
26 onde: P 1 = 1 0 percentil, deixa 1% dos elementos abaixo do seu valor. P 2 = 2 0 percentil, deixa 2% dos elementos abaixo do seu valor.... P 50 = 50 0 percentil, deixa 50% dos elementos. (coincide com a mediana)... P 99 = 99 0 percentil, deixa 99% dos elementos abaixo do seu valor. Exemplo: Tendo a seguinte amostra. 4,44 4,47 4,48 4,51 4,54 4,54 4,61 4,64 4,66 4,68 4,68 4,69 4,71 4,73 4,76 4,78 4,80 4,81 4,86 4,86 4,87 4,88 490 4,90 4,95 4,95 4,96 4,97 4,98 4,98 4,99 5,00 5,01 5,01 5,01 5,02 5,04 5,05 5,08 5,09 5,09 5,10 5,11 5,11 5,16 5,17 5,18 5,18 5,19 5,24 5,24 5,26 5,27 5,27 5,29 5,32 5,35 5,46 5,50 5,85 Para determinar o percentil do valor 5,08, deve-se organizar os dados em ordem crescente, e verificar quantos valores estão abaixo de 5,08, que são 38 valores, então pode-se aplicar a expressão: 38 Percentil de 5,08 =.100 = 63,3 63º 60 O valor 5,08 é o 63º percentil, o que equivale a dizer que aproximadamente 63% dos elementos são menores que 5,08. Para o processo inverso, ou seja, determinar o valor correspondente a um certo percentil, deve seguir a seguinte seqüência: 1) Ordenar os dados do menor para o maior. 2) Tabular o indicador de localização (P 100p ), nas seguintes condições: x[ np] + x[ np+ 1] np inteiro P 100 p = 2 np não inteiro P 100 p = x[int( np) + 1]
27 Por exemplo, para calcular o percentil 25, que corresponde ao primeiro quartil, que deixa pelo menos 25% dos dados abaixo e pelo menos 75% dos dados acima dele, usase: n=60 e p=0,25. Então np=15 e x + x 4,76 + 4,78 = = =, logo o primeiro quartil (25%) Q 1 = 4,77. 2 2 15 16 P25 4,77 Boxplot Um tipo de gráfico muito útil para a descrição de dados, visualização de sua variabilidade, comparação entre diferentes grupos é o gráfico em caixas,(boxplot). Foi introduzido pelo estatístico americano John Tukey em 1977. Para a construção do boxplot obtêm-se primeiro as seguintes estatísticas,ou seja o resumo de cinco pontos:1 o quartil (Q 1 ), mediana (Q 2 ), 3 o quartil (Q 3 ) e a distância interquartílica definida como DIQ = Q 3 Q 1. O boxplot é obtido seguindo-se os seguintes passos: 1. Numa reta são marcados o 1 o quartil (Q 1 ), a mediana (Q 2 ) e o 3 o quartil (Q 3 ). 2. Acima dessa reta constrói-se um retângulo com limites iguais às posições do primeiro e terceiro quartis, cortado por um segmento de reta na posição relativa à mediana. 3. A partir dos limites do retângulo, traçam-se linhas até: a) encontrar um extremo (valor máximo ou mínimo) ou b) um valor correspondente a 1,5 DIQ, se o extremo correspondente estiver a mais de DIQ do quartil respectivo. Os pontos que são maiores do que Q 3 +1,5 DIQ ou menores do que Q 1-1,5 DIQ são chamados de pontos extremos (outliers). Existem símbolos especiais para representar no boxplot os pontos extremos. Um esquema de boxplot é apresentado na figura abaixo:
28 / 1,5 DIQ DIQ 1,5 DIQ / / / * + * * (i) Q1 Md = Q2 Q3 (ii) O boxplot também fornece informações importantes sobre o comportamento do conjunto de dados, como simetria e variabilidade. Se a amplitude for muito maior que a distância interquartílica e a mediana estiver mais próxima do 1 o quartil do que do 3 o quartil, há forte indicações de assimetria positiva e de grande dispersão das observações. Exemplo: Tendo a seguinte amostra: 3 15 17 18 21 21 22 25 27 30 38 49 68 X min = Q 1 = Md = Q 3 = X max = D IQ = 3 15 17 18 21 22 25 27 30 38 49 68 Observações atípicas (outlier) É muito comum aparecerem entre os dados coletados, observações atípicas (outliers), isto é, valor muito grande ou muito pequeno em relação aos demais. Um conjunto de dados pode apresentar apenas um ou vários outliers. Observações atípicas alteram enormemente as médias e variabilidade dos grupos a que pertencem e podem até mesmo distorcer as conclusões obtidas através de uma análise estatística padrão. Portanto, é de fundamental importância detectar e dar um tratamento adequado a elas. É bom fazer uma inspeção dos dados no início da análise estatística, através das técnicas descritivas de dados.
29 Causas do aparecimento de outliers Dentre as possíveis causas do aparecimento de outliers, pode-se citar as seguintes: Leitura, anotação ou transição incorreta dos dados. Erro na execução do experimento ou na tomada da medida. Mudanças não controláveis nas condições experimentais ou dos elementos. Característica inerente à variável estudada (por exemplo, grande instabilidade do que está sendo medido). Como detectar outliers Os outliers podem ser detectados simplesmente por uma verificação lógica dos dados, através de gráficos específicos ou ainda através de teste apropriados. Uma forma gráfica usual é o boxplot. Exemplo: A distribuição do retorno de capital em semestres. Tempo de retorno (semestres) Freqüência absoluta Simples Porcentagem Acumulada 2 10 19,60 19,60 3 28 54,90 74,50 4 10 19,60 94,10 5 1 1,96 96,06 6 1 1,96 98,02 17 1 1,96 100,00 Total 51 100,00 O valor 17 semestres está muito fora do padrão (3 semestres segundo a prática), o que é confirmado no boxplot abaixo: * * 2 3 6 9 12 15 18
30 Foram identificados dois outliers: os valores 6 e 17. Baseado nos estudo da área considerando o tipo de investimento, o primeiro valor detectado não foi considerado aberrante e assim optou-se por não retirá-lo da análise. O investimento que teve retorno aos 17 semestres era em um local periférico de uma grande cidade, enquanto que os demais analisados se localizavam próximo ao centro da cidade. Medidas a serem tomadas Quando um outlier é detectado, duas medidas podem ser tomadas: abandoná-lo ou conservá-lo. Existem justificativas para cada uma dessas medidas e o tipo de análise pode variar, dependendo se o outlier foi ou não eliminado. Um outlier deve ser eliminado da análise quando houver uma justificativa convincente para isto, por exemplo quando a observação é incorreta ou houve erro na execução do experimento ou na medida tomada. Após a eliminação do outlier pode-se fazer a análise estatística usando-se apenas as observações restantes, ou uma análise mais sofisticada, que foge ao nível deste texto. Por outro lado, se nenhuma explicação pode ser dada à observação atípica, o outlier pode refletir uma característica do que está sendo estudado. Neste caso, tal observação deve ser incluída na análise e um tratamento especial deve ser dado aos dados. Por exemplo, pode-se usar uma ponderação da influência das observações ou alternativamente uma transformação ( x, logx, etc.) da variável estudada.