OTIMIZAÇÃO COMBINADA NO PLANEJAMENTO DE UM PROCESSO PRODUTIVO Maria Cristina N. Gramani IBMEC - SÃO PAULO Rua Quatá, 300 - Vila Olímpia CEP: 04546-042 São Paulo - SP mcgramani@hotmail.com RESUMO O problema combinado de planejamento de produção, comumente encontrado em indústrias manufatureiras, consiste em acoplar dois problemas bem conhecidos: o problema de corte de estoque e o problema de dimensionamento de lotes. Quando resolvemos estes dois problemas de forma conjunta detectamos um trade-off existente entre minimizar os custos de perda no processo de corte e os custos referentes ao estoque/setup. Um novo modelo matemático foi proposto e foram apresentadas duas propostas de resolução: a primeira geralmente utilizada na prática industrial e a segunda por meio de técnicas de otimização. Palavras-Chave: Dimensionamento de Lotes, Corte de Estoque, Planejamento da Produção. Área de Classificação Principal: Otimização Combinatória. ABSTRACT The combined production planning problem, that usually occurs in manufacturer industries, consists of joining two well known problems: the cutting stock and lot sizing problems. When aggregating these two problems, we detect the trade-off between minimizing the trim loss and the setup/storage costs. A novel mathematical model was proposed and two resolutions methods were presented: the first one as the same used in industrial practice and the second one that uses optimization techniques. Key-Words: Lot sizing, Cutting Stock, Production Planning [943]
I. INTRODUÇÃO O gerenciamento da produção dentro de uma indústria é responsável pela transformação de matérias-primas em produtos finais. O sistema responsável por este gerenciamento denominase Planejamento e Controle da Produção (PCP), que coordena as atividades, desde a aquisição de matérias-primas até a entrega dos produtos finais. A estrutura hierárquica de um sistema PCP pode ser dividida em três níveis de planejamento distintos: estratégico, tático e operacional (Anthony, 965). O Planejamento Estratégico trata da identificação e implementação de políticas adequadas para a realização das metas estratégicas de longo prazo da indústria. O Planejamento Tático é responsável pela utilização eficiente dos recursos necessários para a implementação das estratégias definidas no nível superior (planejamento estratégico). Seu principal objetivo consiste na efetiva alocação de recursos para satisfazer a demanda, levando em conta os custos envolvidos. Finalmente, o Planejamento Operacional trata das decisões do dia-a-dia sobre a implementação dos planos táticos, elaborados no segundo nível. Este artigo enfoca os problemas de tomada de decisão relacionados ao planejamento tático/operacional. Neste contexto, considere um processo de produção de uma fábrica de papel, que consiste em cortar placas retangulares (Figura a) em peças menores (Figura b), necessárias para compor os produtos finais (Figura c). A3 A3 A3 cortagem C A R T A A 4 A 3 embalagem (a) (b) (c) Figura : a. Bobinas a serem cortadas b. Peças retangulares demandadas c. Produtos finais embalados O processo de programar a produção consiste de três etapas. A primeira etapa consiste em definir uma carteira de pedidos para um horizonte de planejamento finito (alguns dias, uma semana, um mês, etc.) especificando as quantidades dos produtos finais demandados e suas respectivas datas de entrega. A segunda etapa é facilmente obtida convertendo a demanda de produtos finais em demanda de peças. Finalmente, a terceira etapa consiste em decidir a quantidade de produtos finais que devem ser produzidos em cada período do horizonte de planejamento, minimizando os custos associados ao estoque e preparação (problema de dimensionamento de lotes) e, além disso, minimizar os custos referentes ao processo de corte das placas em peças que compõem o produto final (problema de corte de estoque). Neste artigo pretendemos analisar o trade-off existente no problema combinado (dimensionamento de lotes e corte de estoque), propondo uma nova modelagem para o problema combinado e apresentando duas formas de resolução, uma baseada na prática industrial e a outra [944]
baseada em técnicas de otimização. A fim de fornecer um melhor entendimento ao leitor, explicaremos de forma mais abrangente os dois problemas separadamente, a começar, pelo Problema de Corte de Estoque. II. PROBLEMA DE CORTE DE ESTOQUE (PCE) Em indústrias de papel, móveis, aço, têxtil, vidro, etc, a redução dos custos de produção é frequentemente obtida pela seguinte estratégia: as matérias primas utilizadas são inicialmente produzidas em tamanhos grandes padronizados, possivelmente estocadas e, somente mais tarde, reduzidas a tamanhos menores para então serem usadas pela indústria, ou para atender demandas externas de tamanhos variados, muitas vezes não padronizados. Este procedimento desacopla, temporariamente, as produções de matérias primas e dos produtos finais, evitando a necessidade de constantes preparações de máquinas, que seriam necessárias caso as máquinas fossem preparadas para os tamanhos dos produtos requisitados. Esta maneira de produção introduz, entretanto, uma nova dificuldade, pois um estágio adicional de produção é necessário a operação de cortagem, que produz inevitáveis perdas. Surge então a necessidade de se planejar os cortes para minimizar os efeitos negativos gerados pelo desperdício sobre os custos de produção. (Yanasse, 2006). Neste artigo trataremos especificamente o Problema de Corte. O problema de corte, de forma genérica, consiste em cortar uma unidade grande (objeto), que esteja disponível, para a produção de um conjunto de unidades pequenas (peças) que estão sendo requisitadas. As formas e medidas do objeto e das peças são bem especificadas. Dependendo das peças solicitadas, podemos combiná-las dentro de um objeto de inúmeras maneiras, respeitando-se um conjunto de restrições do processo de cortagem. A estas combinações denominamos padrões de corte. O padrão de corte ótimo é aquele que produz, por exemplo, a menor perda. O número de padrões de corte possíveis é, na prática, muito elevado, exigindo que técnicas bem elaboradas sejam desenvolvidas para determinar o padrão ótimo. Na Figura 2 podemos visualizar um exemplo de padrão de corte gerado em um objeto unidimensional. Figura 2: Um padrão de corte unidimensional Vale salientar que, dificilmente obtemos um padrão de corte que utilize todo o objeto. Temos, então, uma perda como ilustrado ainda na Figura 2. Quando uma quantidade elevada de peças deve ser produzida, temos um problema em que a solução exige a cortagem de vários objetos em estoque e a repetição de vários padrões de corte. Este problema é conhecido na literatura como problema de corte de estoque. Dois principais objetivos, no problema de corte de estoque, são estudados: minimização da perda de material e minimização da troca de diferentes padrões de corte. Neste trabalho focamos o problema de corte de estoque minimizando o número de diferentes padrões de corte a serem utilizados (cortados). O problema geral de corte de estoques minimizando o número de diferentes padrões de corte pode ser formulado como segue. Considere a seguinte notação: Índices: [945]
j=,...,n: quantidade de padrões de corte p=,...,p: quantidade de diferentes tipos de peças Parâmetros: a pj : quantidade de peças do tipo p no padrão j T j : quantidade da perda incorrida no padrão j C : custo da perda C 2 : custo de mudança de padrões D p : demanda de peças do tipo p Variáveis: X j : número de objetos a ser processado de acordo com o padrão j δ ( ) = para X j > 0 e 0 caso contrário. X j (PCE) Problema de Corte de Estoque Minimizar N j j= C T X δ( X ) N apjxj Dp p =,..., P Sujeito a : j= Xj 0 j =,..., N e inteiros A função objetivo minimiza os custos da perda ocorrida no processo de corte e da troca de diferentes padrões de corte. A primeira restrição estabelece que a produção atenda à demanda solicitada e a segunda restrição verifica a não-negatividade e integralidade das variáveis. j + C N 2 j= Embora, desde a década de 60, o problema de corte de estoque vem sendo estudado (Gilmore e Gomory, 96, 963, 965), os problemas de corte de estoque minimizando a quantidade de diferentes padrões de corte não são muito encontrados na literatura, existindo assim um número pequeno de trabalhos, tais como, Haessler (975, 980), Diegel et al. (993), Lefrançois e Gascon (995), Poldi e Arenales (2002), Yanasse e Limeira (2004). Outros artigos, tais como, Diegel et al (996), McDiarmid,C. (999), mostram que o problema de minimizar os padrões de corte é NP-hard mesmo em casos especiais. j III. PROBLEMA DE DIMENSIONAMENTO DE LOTES (PDL) O problema de dimensionamento de lotes consiste em planejar a quantidade a ser produzida dos itens em vários (ou único) estágios, em cada período ao longo de um horizonte de tempo finito, de modo a atender uma certa demanda e otimizar uma função objetivo (por exemplo, minimizar os custos). Bahl et al. (987) apresentam uma classificação de diferentes tipos de problemas de dimensionamento de lotes através da Figura 3. [946]
Problemas de dimensionamento de lotes Monoestágio (demanda independente) Múltiplos Estágios (demanda dependente) Sem limitações de capacidade Com limitações de capacidade Sem limitações de capacidade Com limitações de capacidade Figura 3 : Uma classificação dos problemas de dimensionamento de lotes. Esta classificação é simplista, enfatizando apenas dois aspectos dos problemas de dimensionamento de lotes: o número de estágios (um sistema é dito monoestágio quando os itens a serem produzidos são independentes, isto é, nenhum segue ou antecede o outro, e um sistema é dito multiestágio quando a produção de um determinado item depende da produção de outro item, chamado item componente) e a existência de limitações de capacidade. Outros aspectos importantes tais como tempos e custos de preparação de máquinas, máquinas paralelas, por exemplo, não são contemplados nesta classificação simplificada. Segundo Maes et al. (99), encontrar uma solução factível para problemas de dimensionamento de lotes com capacidade limitada que considere tempo de preparação (setup time) é NP-hard. Por esta razão, a maioria das técnicas de resolução encontradas na literatura são heurísticas dedicadas a resolver problemas específicos (Billington et al., 983 e Bahl et al., 987) O modelo matemático para o Problema de Dimensionamento de Lotes monoestágio com vários itens, restrição de capacidade, custos de produção, preparação e estoque e tempos de preparação e produção, usualmente denotado por (PDLC), pode ser escrito como segue. Seja a seguinte notação: Índices: i=,..., M número de itens a serem processados. t=,..., T número de períodos considerados. Parâmetros: d it : demanda do item i para cada período t c it : custo de produção do item i no período t h it : custo de estoque do item i no fim do período t s it : custo de preparação do item i no período t v i : quantidade unitária de recurso utilizado na produção do item i C t : capacidade disponível no período t (em unidades de tempo) f i : tempo de preparação do item i Q : Número grande Variáveis: x it : número de itens i produzidos no período t I it : estoque do item i no período t z it : se existe produção do item i no período t e 0 caso contrário. (PDLC) Problema de Dimensionamento de Lotes Capacitado [947]
Min s. a.: T M it it it it it t= i = xit + Ii, t Iit = dit M ( vixit + fizit ) Ct i= xit Q. zit x, I 0 it it zit { 0, } ( c x + h I + s z ) it i =, t =,..., T i =,..., i =, i =,..., M ; t M ; t..., M ; t..., M ; t =,..., T =,..., T =,..., T =,..., T () (2) (3) (4) (5) (6) A função objetivo () representa os custos envolvidos na produção, estoque e preparação. As restrições (2) denotam o balanço de estoque (sem perda de generalidade, o estoque inicial e final podem ser considerado nulos), as restrições (3) representam os limites de capacidade onde se levam em consideração o tempo despendido para a produção dos itens e preparação das máquinas e, as restrições (4) denotam em quais períodos ocorre produção (onde Q é um número grande). Trigeiro et al. (989) propõem um método de resolução para esse problema baseado na relaxação lagrangiana das restrições de capacidade (3), e no algoritmo de Wagner e Whitin (958). Existem alguns métodos de resolução para os problemas de dimensionamento de lotes e corte de estoque tratados separadamente, porém estamos interessados em acoplar os dois problemas em um único modelo, tendo assim uma solução global que certamente terá melhor qualidade que resolvendo os problemas de forma separada, como analisaremos a seguir. IV. PROBLEMA COMBINADO E MODELAGEM MATEMÁTICA A perda ocorrida na troca de padrões de corte, que é parte crucial na estrutura de custos, geralmente diminui conforme a demanda de peças cresce. Neste artigo também admitimos um custo associado com a preparação da produção de cada produto em cada período do planejamento. Daí surge uma pressão econômica para fabricar alguns produtos finais antecipadamente a fim de minimizar a perda no corte e os custos de preparação, respeitando a capacidade disponível em cada período do horizonte de planejamento. Entretanto, os custos de estoque resultantes levam a uma pressão oposta: retardar a produção. Imediatamente nos deparamos com um compromisso entre adiantar ou não a produção de certos lotes de produtos finais (aumentando os custos de estoque, mas possibilitando um vantajoso lucro, gerando menor quantidade de padrões de corte e diminuindo a quantidade de períodos em que há produção). Baseado nesta decisão, surge o acoplamento destes dois problemas de otimização, dimensionamento de lotes e corte de estoque, que denominaremos de Problema Combinado. Obviamente a junção de vários problemas de alta complexidade leva a um problema combinado muito mais difícil de resolver, pois são adicionadas restrições de acoplamento (que unem os problemas separados) e, uma solução ótima global para o problema combinado provavelmente não será uma simples composição de cada solução ótima dos problemas separados. O Problema Combinado considerando apenas a perda ocorrida no processo de corte (sem levar em consideração a minimização de padrões de corte) foi apresentado por Gramani e França (2006). [948]
Para a modelagem matemática do Problema Combinado (minimizando o número de padrões de corte) a seguinte notação é utilizada: Índices: t=,..., T Número de períodos (ou turnos de trabalho). p=,..., P Número de diferentes tipos de peças a serem cortadas. j=,..., N Número de diferentes padrões de corte para a placa L x W a fim de produzir as peças requeridas. i=,..., M Número de diferentes produtos finais demandados. Parâmetros: c it : custo de produção do produto final i no período t h it : custo de estocagem do produto final i no período t d it : demanda do produto final i no período t r pi : número de peças do tipo p necessárias para formar uma unidade do produto final i v j : tempo gasto para cortar uma placa no padrão de corte j b t : capacidade de serra (em horas) no período t s it : custo de preparação para produzir o produto final i no período t a pj : número de peças do tipo p no padrão j Variáveis: x it : quantidade do produto final i produzido no período t I it : quantidade do produto final i em estoque no fim do período t y jt : quantidade de placas cortadas usando o padrão de corte j no período t z it : variável binária: z it = se x it >0; zero, caso contrário Para modelar esse problema, consideramos as seguintes restrições: Balanço de Estoque de Produtos Finais: Esse conjunto de restrições considera o balanço de estoque de produtos finais, assegurando que a demanda de cada período seja atendida sem atraso, I it 0, i=,...,m ; t=,...,t. Sem perda de generalidade, o estoque inicial é considerado nulo. Logo, x it + Ii, t Iit = dit i=,...,m ; t=,...,t Balanço de Estoque de Peças: Esse conjunto de restrições assegura que a demanda de peças seja N satisfeita. A quantidade de peças do tipo p a serem produzidas é dada por a pj y jt, t=,...,t, j= e considerando a produção do produto final i dada por x it, para cada período t, a demanda de peças pode ser facilmente calculada por r pi x it, p=,...,p ; t=,...,t. Logo, i N a M pjy jt rpixit p=,...,p ; t=,...,t j= i= Capacidade de Serra: Existe uma capacidade limite de serra. Note que o tempo gasto para cortar uma placa depende do padrão de corte utilizado na mesma. Temos que assegurar que o tempo gasto para cortar placas nos diversos padrões de corte, não exceda o tempo limite, C t, em cada período. Portanto, N v jy jt Ct t=,...,t j= Produção: Se existe produção ao longo do período t então z it =, caso contrário z it =0. Portanto, [949]
it. z it x Q i=,...,m ; t=,...,t e Q é um número grande. Objetivo: O objetivo do modelo consiste em minimizar: os custos dos produtos finais, usando, c it, h it e s it como os custos de produção, estoque e preparação, respectivamente; e os custos do processo de corte, usando, cp, como os custos de placas e sc o custo de mudança de padrões em valores monetários. Na prática, o objetivo visa encontrar um planejamento de produção ótimo de tal modo que minimize o número de placas e padrões de corte a serem utilizados minimizando os custos de produção, estoque e preparação. Logo, M T N T N T ( c itxit + hitiit + sitzit ) + ( cpy jt ) + sc δ( y jt ) i= T = j= t = j= t = onde, ( ) y jt se y jt > 0 δ =. 0 caso contrário Finalmente, o modelo matemático inteiro-misto que propomos para o Problema Combinado pode ser descrito como: (PC) Problema Combinado M T Min it it it it it it jt i= T = j= t = j= t = xit + Ii, t Iit = dit i =,..., M ; t =,..., T N M apjy jt rpixit p =,..., P ; t =,..., T j= i= N v jy jt Ct t =,..., T j= s. a. : xit Q. zit i =,..., M ; t =,..., T x, I 0 i =,..., M ; t =,..., T it it y jt 0 e inteiros j =,..., N ; t =,..., T zit { 0, } i =,..., M ; t =,..., T δ( y jt ) = if y jt > 0 e 0 caso contrário. N T N T ( c x + h I + s z ) + ( cpy ) + sc δ( y ) Observe que as restrições (9) são as únicas restrições que acoplam os dois problemas, pois incluem ambas as variáveis, x it que definem o tamanho dos lotes e y jt que definem a quantidade de padrões de corte utilizados (cortados). O modelo matemático inteiro-misto desenvolvido possui três grandes dificuldades: () integralidade das variáveis que representam a quantidade de placas a serem cortadas; (2) a grande quantidade de padrões de corte que podem ser gerados; (3) variáveis binárias referentes à preparação. jt (7) (8) (9) (0) () (2) (3) (4) (5) V. RESOLUÇÃO DO PROBLEMA COMBINADO POR MEIO DA PRÁTICA INDUSTRIAL Em situações reais, algumas indústrias, tais como, de móveis, de roupas, e outros, usualmente resolvem esses dois problemas de forma separada, como segue. Inicialmente, são determinados para cada período do horizonte de planejamento, as quantidades de cada produto final (o tamanho do lote) a serem produzidos. Utilizando essa [950]
informação, para cada período determina-se a quantidade de peças de cada tipo a serem cortadas e os melhores padrões de corte são então gerados, conforme ilustra a Figura 4. Figura 4: Esquema básico do planejamento de produção do problema combinado Maiores dificuldades neste método: () Geralmente os dois problemas são resolvidos baseados na experiência do gerente de PCP ou através de softwares simuladores, que não focam na otimização do processo; (2) Tratar estes dois problemas de forma separada pode elevar os custos globais, principalmente se o processo de corte de estoque for economicamente relevante no processo, isto é, se uma parcela significante do custo do produto final é formada pelo material que foi cortado. VI. RESOLUÇÃO DO PROBLEMA COMBINADO POR MEIO DE TÉCNICAS DE OTIMIZAÇÃO A abordagem apresentada a seguir é semelhante à utilizada por Gramani et al. (2002), mas neste caso considerando o problema combinado e não apenas o PDLC. A idéia consiste em dividir o problema original que corresponde ao arco (,T), onde T refere-se à quantidade de períodos do horizonte de planejamento, em dois problemas menores, por exemplo, considere um problema com 5 períodos. Ao invés de resolvermos o arco (,5), podemos dividir o problema em dois menores, por exemplo, podemos resolver os seguintes caminhos de dois arcos: (,)(2,5) ou (,2)(3,5) ou (,3)(4,5) ou (,4)(5,5), como mostra o primeiro nível da Figura 5 (considere o arco (,T) como nível zero). (,5) () (2,5) (,2) (3,5) (,3) (4,5) (,4) (5) Figura 5: Rede para T=5, mostrando todos os possíveis nós para 2-Sets. Tomemos como exemplo o caminho (,2)(3,5). Esse caminho significa resolver primeiramente o (PDLC) para os períodos e 2 e o PCE para cada um dos dois períodos (em caso de haver produção), e depois resolver o (PDLC+PCE) para os períodos 3, 4 e 5. [95]
Obviamente, quando resolvemos o segundo arco (3,5) provavelmente encontraremos infactibilidade no primeiro período, no nosso caso, no período 3. Para superar essa dificuldade, ao invés de resolvermos o segundo arco como um problema de três períodos (3, 4 e 5), resolvemos como um problema de T períodos, utilizando a seguinte abordagem: Seja T=5, M=4 (M: quantidade de produtos finais) e a demanda dada pela tabela abaixo. 2 3 4 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4 0 0 0 0 5 0 0 0 0 Suponha que vamos solucionar o caminho (,2)(3,5). Logo, o primeiro passo é resolver um (PDLC+PCE) para o arco (,2), ou seja, resolver o (PDLC) apenas considerando os períodos e 2. Suponha que a produção resultante seja: 2 3 4 20 0 0 20 2 0 0 0 0 Nesse momento, ao invés de resolvermos outro (PDLC+PCE) considerando apenas os períodos 3, 4 e 5, guardamos o custo de estoque e corte referente ao primeiro (PDLC+PCE) resolvido (considerando apenas os períodos e 2) denominamos d it =x it para i=,...,m e t=,2 e para os períodos do segundo arco, a demanda continua a mesma, da seguinte forma, considerando ainda o exemplo: 2 3 4 20 0 0 20 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4 0 0 0 0 5 0 0 0 0 A solução final para o problema, é a soma dos custos de estoque e corte do primeiro arco com os custos de produção, preparação, estoque e corte do segundo arco, conforme Figura 6. Fazendo dessa forma, o problema tem mais flexibilidade para mover itens de períodos apertados em relação à capacidade para períodos, pertencentes a arcos anteriores, mais folgados. Também, resolvendo problemas menores, temos maiores possibilidades de encontrar melhores soluções, ou até soluções próximas do ótimo, conforme Gramani et al. (2002) e Gramani (2003). [952]
Figura 6: Solução final do Problema Combinado por meio de técnicas de otimização Para a resolução de ambos os problemas, PDLC e PCE, utiliza-se alguns dos algoritmos existentes na literatura, por exemplo, para o PDLC pode-se utilizar o clássico algoritmo de Trigeiro (989), e para o PCE utiliza-se o algoritmo de Poldi e Arenales (2002), como anteriormente citados. VII. CONCLUSÕES O problema de combinado de dimensionamento de lotes e corte de estoque é uma decisão fundamental no estágio do planejamento tático/operacional em um processo de manufatura, consistindo em decidir a quantidade a ser produzida de cada item demandado em cada período do horizonte de planejamento (problema de dimensionamento de lotes) além de decidir a maneira como os objetos (matéria-prima) serão cortados a fim de produzir os itens que deverão compor o produto final (problema de corte de estoque). Apresentamos neste trabalho um modelo matemático para o Problema Combinado, minimizando os custos de: produção, estoque, setup, perda no processo de corte e troca de diferentes padrões de corte, e mostramos duas abordagens de resolução: a primeira, resolvendo os dois problemas de forma separada, ou seja, inicialmente resolve-se o problema de dimensionamento de lotes e depois, para cada período resolve-se um problema de corte de estoque, representando assim, como geralmente as indústrias praticam. E a segunda abordagem, que propõe utilizar técnicas de otimização baseada em heurísticas clássicas existentes na literatura. A motivação deste trabalho deveu-se ao fato que resolver dois problemas separadamente (mesmo resolvendo-os, se possível, de forma ótima, ao invés de utilizar heurísticas), não significa uma obter solução ótima global. VIII. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [] ANTHONY, R.N. (965), Planning and control systems: A framework for analysis, Harvard University Press, Cambridge, Mass, apud em Hox & Candea (984). [2] BAHL, H. C., RITZMAN, L. P., GUPTA, J. N. D. (987), Determining lot sizes and resource Requirements : A Review, Operations Research 35, n.3, 329-345. [3] BILLINGTON P. J., MCCLAIN J. O. e THOMAS L. J. (983), Mathematical programming approaches to capacity MRP systems: Review, formulation and problem reduction, Management Science 29, n.0, 26-4. [4] DIEGEL, A.; CHETTY, M.; VAN SCHALKWYCK, S.; NAIDOO, S. (993). Setup Combining in the Trim Loss Problem. Working Paper, Business Administration, University of Natal, Durban, First Draft. [5] DIEGEL, A. et al (996), Setup minimising conditions in the trim loss problem, European Journal of Operational Research 95, N.3 63-640. [6] GILMORE, P. e GOMORY, R. (96), A linear programming approach to the cutting stock problem, Operations Research 9, 849-859. [7] GILMORE, P. e GOMORY, R. (963), A linear programming approach to the cutting stock problem - Part II, Operations Research, 863-888. [953]
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