MATEMÁTICA É BOA TEMÁTICA César Guilherme de Almeida Universidade Federal de Uberlândia cesargui@ufu.br Éliton Meireles de Moura Universidade Federal de Uberlândia petmat06@ufu.br Laís Bássame Rodrigues Universidade Federal de Uberlândia petmat05@famat.ufu.br 1. Introdução O jeito de ensinar é fundamental para o aprendizado do aluno, em especial para o aluno de matemática. Uma matéria que por si só já causa uma certa preocupação, pois a maioria dos alunos acredita que ela seja um bicho de sete cabeças. Logo, tentaremos montar talvez uma metodologia diferente da que se aplica hoje em dia. Afinal, tudo muda, e há muito tempo a matemática é ensinada dessa maneira que conhecemos hoje: giz, lousa, saliva. Planejamos colocar um pouco de prática no cotidiano escolar dos alunos, além de um pouco de cultura que às vezes não se aprende na escola. O governo diz que as escolas, nos dias atuais, devem preocupar-se em formar cidadãos bem informados. Pois bem, se ensinar a matéria já não é suficiente e, cá entre nós, pode ser até repetitivo, que tal se misturássemos a informação útil a vida a matéria a ser ensinada? Como fazer isto?... Se fizéssemos uma aula que envolvesse alguma área de interesse e curiosidade dos alunos, talvez nessa aula eles descobrissem que aquela aprendizagem influenciava suas vidas, ao menos indiretamente. Provavelmente, isto não os deixariam com aquela apreensão que os alunos têm no início de uma tenebrosa aula de matemática.
2 Essa metodologia poderia ser aplicada a qualquer área da educação, desde as primeiras séries até o término do ensino médio. Talvez, com algumas adaptações, seja também possível sua utilização no ensino superior. O professor terá que exercer de maneira efusiva o seu papel de educador e pesquisador, pois o desenvolvimento do conhecimento está intrinsecamente relacionado com a motivação, a curiosidade e a intuição do profissional para investigar problemas conhecidos e ainda não solucionados, investigar novos caminhos para aprimorar a tecnologia existente e criar outras originais e, também, descobrir problemas que ainda não foram abordados. Tudo isto deverá ser feito para conseguir atrair a atenção dos alunos. 2. Apresentação de uma metodologia de ensino Nessa pesquisa, desenvolvida dentro do grupo PETMAT - Programa Especial de Treinamento da Faculdade de Matemática Universidade Federal de Uberlândia pelos alunos Éliton Meireles de Moura e Laís Bássame Rodrigues, orientados pelo professor César Guilherme de Almeida, objetivamos uma nova metodologia de ensino, a qual será apresentada e discutida a seguir. Hoje em dia, a maioria dos alunos, independente do nível de aprendizado, tem acesso a novos conhecimentos científicos através de informações provenientes de rádio, de televisão, de jornais, de revistas e da Internet. Como todo bom curioso, os alunos também gostam de estar bem informados porque, deste modo, eles podem opinar sobre os assuntos que estão em evidência na escola onde estudam, no bairro onde moram, ou no mundo, afinal de contas estamos na era da globalização. Então, partindo do princípio de que a curiosidade gera conhecimento e o conhecimento desperta o interesse das pessoas que procuram cada vez mais informações através dos meios de comunicação, uma metodologia pode ser desenvolvida com o intuito de aproveitar a curiosidade dos alunos para motivá-los a estudar as disciplinas de sua escola. A metodologia é simples. Apresente um problema atual para o aluno. A partir deste problema você poderá introduzir vários conceitos de sua disciplina e de outras correlacionadas. Desta forma, os tópicos abordados na ementa da disciplina aparecerão de forma natural. Acreditamos que os alunos participarão das aulas com mais espontaneidade. Note que neste processo de aprendizagem serão deixadas muitas lacunas, pois ninguém espera que os alunos assimilem todos os passos para se atingir o
3 rigor científico necessário para se resolver o problema proposto. Porém, estas lacunas devem ser apresentadas como um desafio a ser vencido pelo aluno, que se sentirá motivado para realizar estudos mais avançados. Esses problemas seriam problemas motivadores, simplesmente envolvendo matemática com outra área qualquer do conhecimento, pois a interdisciplinaridade é um dos pilares desta nova metodologia. Assim os alunos poderiam aprender a matéria já tendo uma visão prática de como aquilo pode ser utilizado para melhorar ou solucionar algum problema de seu cotidiano. Mais explicitamente, os problemas motivadores são aqueles que têm a capacidade de estimular a curiosidade dos alunos e despertar o interesse da turma pelo assunto abordado; animar os alunos mais reservados e fazer com que toda a turma participe das discussões; encorajar os alunos para estudos mais avançados. Para conseguir um problema motivador, o professor deve pesquisar assuntos que abordem temas interdisciplinares, de interesse coletivo, preferencialmente aqueles que estão sendo discutidos na mídia. Com esta metodologia de ensino, utilizando problemas motivadores, espera-se que os alunos fiquem mais motivados para os estudos e percebam a importância de todas as disciplinas no processo de aprendizagem e de como este aprendizado é útil para resolver os problemas do dia-a-dia e os grandes problemas de nossa época. Para seguir tal metodologia o professor terá que enfrentar dois grandes desafios. Ele deverá planejar atividades que tornem agradável o processo de aprendizagem, utilizando, por exemplo, histórias que cativem os alunos; que atraiam a atenção, como num filme de suspense; que gerem encantamento, como as histórias da vovó; que seduzam, gerando cumplicidade e que fascinem e enfeiticem iguais às poções mágicas. O outro desafio será conseguir interagir com outros profissionais de áreas distintas da sua. Isto é inevitável, pois a ação de planejar deve ser realizada em conjunto. Devem participar deste planejamento: professores de áreas distintas, pois geralmente os problemas motivadores exigem conhecimentos multidisciplinares e interdisciplinares e profissionais diretamente relacionados com a área de Educação, os quais auxiliarão no desenvolvimento de projetos pedagógicos.
4 3. Um problema motivador A seguir mostraremos o modelo de uma das aulas que preparamos para apresentarmos a alguns alunos do ensino médio de escolas da cidade de Uberlândia, em Minas Gerais. Essa apresentação, além de outras, será feita em algumas escolas e posteriormente será realizado um estudo das opiniões dos alunos. Esse resultado será apresentado no congresso de Educação Matemática. Aqui fazemos um estudo de funções e análise de gráficos envolvendo um campo que gera bastante curiosidade por parte dos alunos, a economia. Além de aprender a matéria haverá um aprendizado além da matemática o que torna a aula mais dinâmica. Como funciona a economia? Essa é uma pergunta que os alunos fazem às pessoas e ninguém consegue responder a eles com clareza. E se tentássemos fazer isso com uma pitada de matemática? Veja, a seguir, um jeito de ensinar economia ao aluno! Lógico que aqui trataremos o assunto de um modo bem menos complexo, passando por conceitos de função e estudo de gráficos, onde a maioria dos alunos tem dificuldade. 3.1. Modelo de aula. Sabemos que hoje o mercado, cada vez mais globalizado, oferece vários riscos para quem investe nele, sendo necessário então, tentar minimizar esses riscos. Dirigir uma empresa, por exemplo, pode ser muito arriscado, se durante uma transação ou negociação houver algum imprevisto. Num caso ainda mais particular podemos pensar num lançamento de produto ou serviço. Como saber a quantidade certa e o preço ideal, por exemplo? É aí que a matemática pode auxiliar o investidor. Um simples cálculo de função e análise de gráfico pode, pelo menos, diminuir a margem de erro de um investimento. Veja um exemplo disso. Considere uma função de demanda por motos dada por: PD = 10 000 2 x e a função oferta de motos dada por: PO = 2/7 x + 2000. Ache o ponto de equilíbrio e faça uma análise do Gráfico Preço por Quantidade. O que? Você não entendeu nada?
5 OK! Então vamos aprender um pouco de economia misturada a algumas noções já conhecidas de gráficos. Nessa hora ensinaremos noções básicas de economia aos alunos e na verdade estaremos dando uma aula de revisão de funções e gráficos. Equilíbrio de Mercado. Diz-se que o equilíbrio de mercado ocorre em um ponto (preço) no qual a quantidade de um artigo procurado é igual à quantidade oferecida. Algebricamente, seria o ponto de interseção entre a curva de oferta e a curva de demanda. Na verdade, teremos um preço e uma quantidade de equilíbrio. Teoricamente, o equilíbrio será o ponto em que não haverá desperdício ou falta de produto. Em geral para um equilíbrio ser significativo as curvas de oferta e demanda devem se interceptar no 1º quadrante. Lembrando que nessa aula as curvas de demanda e oferta transformam-se em retas para tornar mais simples tanto para o professor explicar quanto para o entendimento do aluno. Neste momento mostraríamos aos alunos o gráfico Preço (eixo y) x Quantidade (eixo x) contendo duas funções, uma com declividade positiva (oferta) e outra negativa (demanda), de modo que sirva de ilustração para que eles vejam que se trata de duas curvas ou modelos de gráficos conhecidos. Mas o que seriam essas curvas de oferta e demanda? Agora, veremos um pouco de economia. O professor aqui mostrará o que pesquisou. Teoria Elementar da Demanda Demanda ou procura: quantidade de determinado bem a serviço que o consumidor deseja adquirir em certo período de tempo. Observação: demanda é um desejo de adquirir, é uma aspiração, um plano e não sua realização. Demanda é um fluxo por unidade de tempo. Exemplo: desejo de adquirir 5 Kg de feijão por semana. Note que procura compra e oferta venda. De que depende a procura? Quais os fatores dominantes ou variáveis que influenciam a procura?
6 1- preço de outros bens 2- renda do consumidor 3- gosto ou preferência do consumidor Além de outros fatores. A função demanda, Dx, é muito complicada e depende de muitas variáveis, por exemplo, seja Dx = f (p1,..., pm, P1,, Pn, R, G), onde: Dx = função demanda do bem "X" pj = outros fatores, j = 1,..., m Pi = preço de outros bens, i = 1,..., n R = renda G = gosto A relação entre a quantidade de demanda e o preço do bem seria analisado pela equação Dx=f (Px), onde as outras variáveis são constantes. Normalmente, a declividade de uma curva de demanda é negativa, isto é, à medida que o preço aumenta a quantidade procurada diminui, e à medida que o preço diminui, a quantidade aumenta. Em certos casos a declividade de uma curva de demanda pode ser nula, isto é, o preço é constante independente da demanda. Em outros casos, a declividade de uma curva de demanda pode ser indefinida, isto é, a procura é independente do preço. Gráfico Declividade de Demanda Negativa : gráfico Preço (y) x Quantidade (x) com uma curva decrescente. Exemplo: Dez relógios são vendidos quando o preço é R$ 80,00. Vinte relógios são vendidos quando o preço é R$ 60,00. Qual é a equação da demanda? Lembrando que a equação de uma reta passando por (x0,y0) e com coeficiente angular m é dada por y -y0 = m(x-x0), então em nosso problema temos:
7 y = m x + n, onde m é o coeficiente angular. 80 = m 10 + n n = 80 10 m 60 = 20 m + n n = 60 20 m Então temos, 80 60 = (10 20) m m = -2 se, m = -2 então: 60 + 40 = n n = 100 Logo a equação é: y = - 2 m + 100 Monta-se então o gráfico Preço (y) x Quantidade (x) da equação acima, lembrando novamente que nessa aula as curvas de demanda e oferta transformam-se em retas para tornar mais simples tanto para o professor explicar quanto para o entendimento do aluno, por isso a equação é de primeiro grau, pois estamos levando em conta apenas as duas situações dadas pelo problema, preço e quantidade. Existe também a Declividade de Demanda Nula. Ocorre quando independente da variação de um dos eixos, o outro se mantém constante. Exemplo: Por serem necessários à segurança nacional são comprados anualmente 50 geradores de serviço pesado independente do preço. Qual a equação da demanda? Qual o tipo de demanda de curva? x = 50; declividade de demanda nula. Mostraremos então o gráfico Preço (y) x Quantidade (x) da equação acima notando que independente do preço do produto, a quantidade é sempre constante. Agora iremos às curvas de oferta. Curva de Oferta: Oferta para nós será a quantidade de bem ou serviço que os produtores desejam vender por unidade de tempo. É um desejo, um plano, uma aspiração. Não quer dizer que na prática será exatamente como se planeja, mas pode-se dizer que chega perto de uma situação ideal.
8 Determinantes da Oferta: Qx = g (Px, P1,..., Pn, p1, p2,..., pm, T). Onde: Qx = função oferta Px = preço do próprio bem Pi = preço do similar i, i= 1,..., n Pj = preço dos fatores de produção, j= 1,..., m T = tecnologia O gráfico Preço (y) x Quantidade (x) de uma equação de Oferta é uma curva, porém, como já foi colocado, aqui será estudado como uma reta para melhor entendimento. Normalmente uma curva de oferta linear é positiva, isto é, à medida que o preço aumenta a oferta aumenta. À medida que o preço diminui a oferta diminui. Em certos casos a declividade de uma curva de oferta pode ser indefinida, isto é, a oferta independe do preço. Vejamos como são seus gráficos, lembrando que a análise é feita apenas no primeiro quadrante. Declividade de Oferta Positiva: Gráfico Preço (y) x Quantidade (x) crescente; à medida que o preço aumenta, a quantidade também aumenta. Declividade de Oferta Nula: Gráfico Preço (y) x Quantidade (x) é formado de uma reta paralela ao eixo x, o eixo da quantidade, ou seja, à medida que a quantidade varia o preço se mantém constante. Declividade de Oferta Indefinida: Gráfico Preço (y) x Quantidade (x) é formado de uma reta paralela ao eixo y, o eixo do preço, quer dizer que à medida que o preço varia, a quantidade permanece constante. Exemplo 1. Quando o preço é de R$ 50, 00, 50 máquinas estão disponíveis no mercado, quando o preço é R$ 75, 00, 100 máquinas estão disponíveis no mercado. Qual a equação de oferta? Qual o tipo de declividade da curva? Resolução: 50 = 50 m + n e 75 = 100 m + n, assim, 75 100 m = 50 50 m, logo, m = ½ e n = 25.
9 Então podemos dizer que a equação y = ½ x + 25 é a equação da oferta e também que a declividade é positiva. Daí mostramos o gráfico da equação acima para a visualização do aluno. Exemplo 2. De acordo com os termos de contrato entre a Companhia Telefônica e a Empresa "A", a Empresa "A" paga a Companhia Telefônica R$ 500,00 por mês para chamadas a longa distância, com duração de tempo ilimitado. Qual é a equação da oferta? Resolução: y = 500, Declividade de oferta nula. Mostramos aqui também, o gráfico da equação acima para a visualização do aluno. Exemplo 3. Na época da inflação o país passava por uma economia confusa e mal vista. Também, não era pra menos. Os preços que se pagava por uma certa quantidade de produto a cada hora tinha um preço diferente. Como por exemplo, um quilo de beterraba custava em média (hipoteticamente) 20 cruzeiros. Mas, uma hora depois dessa pesquisa ser feita o preço já havia mudado para 35 cruzeiros e três horas depois alcançava os 80 cruzeiros. No dia seguinte não se sabia a que preço poderia se encontrar, talvez até menos, mas era uma incógnita. Diga que tipo de gráfico de oferta é esse caso das beterrabas e a equação da oferta. Resolução: X = 1; Declividade de oferta indefinida. Mostramos como nos outros casos o gráfico da equação acima para a visualização do aluno. Agora sim! Com esse conhecimento já temos base para voltarmos ao problema principal. Considere uma função de demanda por motos dada por: PD = 10 000 2 x, e a função oferta de motos dada por: PO = 2/7 x + 2000. Ache o ponto de equilíbrio e faça uma análise do Gráfico Preço por quantidade. Podemos analisar que o ponto de equilíbrio será aquele que satisfaça as duas equações. Tal como um ponto de intercessão. Sendo assim, temos:
10 Resolução: PD = 10 000 2 x PO = 2/7 x + 2000, PD = PO 10 000 2 x = 2 000 + 2/7 x x = 3 500 logo PD = 10 000 2 (3500) então y = 10 000 7000 = 3000 O ponto de equilíbrio então é 3000. O nome ponto de equilíbrio de mercado decorre do seguinte fato: se o preço cobrado for maior do que 3000, a quantidade ofertada será maior que a quantidade demandada, ocorrendo um excesso de oferta que forçará a queda no preço. Se, por outro lado, o preço cobrado for menor do que 3000, a quantidade demandada será maior que a ofertada, ocorrendo um excesso de demanda que induzirá a subida do preço. Note que fazemos a leitura do gráfico variando o preço para avaliar o que acontecerá com a quantidade. Sendo assim a análise do nosso gráfico é feita a partir do eixo y, e não do x como de costume. Isso faz com que os alunos pensem e analisem bem o gráfico antes que concordem com o ponto que achamos, já que ele não é o x como eles estão acostumados, mas sim o y da questão. O gráfico Preço (y) x Quantidade (x) apresentará as duas curvas (no caso do exercício duas retas), a de demanda e a de oferta. A equação Demanda com declividade negativa enquanto a equação de oferta com declividade positiva. Interceptarão quando a quantidade valer 3500 e paralelamente o preço for 3000. 3000 que será o ponto que procurávamos. Análise de Gráfico: Como no nosso caso a variável seria o preço, pois queremos achar o preço que possa ser um equilíbrio entre o interesse do vendedor e do comprador, analisaremos o gráfico pelo eixo y, como já dito. Assim, passemos uma reta paralela ao eixo x, eixo da quantidade, passando pelo ponto de interseção das duas equações. Note que se o preço cobrado for maior do que 3000, a quantidade ofertada será maior do que a quantidade demandada, ocorrendo um excesso de oferta que forçará a queda no preço, o que para o vendedor será mau.
11 Mas, se o preço cobrado for menor do que 3000, a quantidade demandada será maior do que a ofertada, ocorrendo um excesso de demanda que induzirá a subida do preço, o que por outro lado será mau para o consumidor. Por tanto, para isso serve o Equilíbrio de Mercado, para olhar pelo lado tanto de quem vende quanto de quem compra e tentar negociar um acordo em que ninguém saia perdendo. E, além disso, pudemos ver um pouco de conceitos matemáticos que agora depois dessa aula podem ter tomado outro sentido para os alunos. 4. Conclusão: A tentativa de fazer com que os alunos se interessem pela Matemática não é uma novidade. Há muito tempo o temor dos alunos pela mãe das ciências é notável e com isso a busca dos educadores, principalmente, por métodos inovadores para prender a atenção deles é incessante. E essa é mais uma dessas tentativas. O mundo mudou muito desde que a Matemática era uma ciência que naturalmente interessava a todos. Hoje os jovens, inteligentes, curiosos, desatentos, de todo tipo, se interessam pelos acontecimentos e novidades do mundo que os rodeia. A escola e as matérias tradicionais são, geralmente, deixadas em segundo plano, até mesmo por uma questão de desuso. O que é bastante desapontador, pois aquilo que não aparenta serventia transforma-se em algo desinteressante. Por isso mostrar para os alunos que, por mais simples que seja, tudo que eles aprendem, pode ser usado em alguma situação da vida deles, e na maioria delas, no seu próprio cotidiano. Mostrar esse universo de utilidade da matemática ou até mesmo de outras meterias misturando-se o conteúdo de cada curso com assuntos e questionamentos atuais certamente deixaria a aula mais chamativa, tirando do aluno aquele temor inicial da terrível aula de matemática. Por isso o problema motivador. É ele quem irá unir o atual à matéria. Esse será seu papel, despertar o interesse da classe. Bom, a metodologia está apresentada, para sabermos se ela dará resultado, temos como projeto, darmos aulas utilizando problemas motivadores em algumas escolas da cidade de Uberlândia, Minas Gerais, e ao término de cada aula distribuiremos um questionário para saber a opinião dos alunos e professores realizando assim um estudo desses dados que será apresentado no VIII Encontro Nacional de Educação Matemática. Por tanto aqui estão apresentados apenas teoria e método a ser utilizado em sala de aula. A experiência em sala e resultados dessa metodologia apenas poderão ser
12 discutidos e analisados posteriormente, com os resultados concretos e em definitivo a serem apresentados em Recife. 5. Bibliografia: VASCONCEELLOS, Marcos A. S. e GARCIA, Manuel E. Livro texto Fundamentos da Economia. Ed. Saraiva. MEDEIROS, Sebastião da Silva. Matemática para os cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis. Ed. Attos, 1999.