Simetria de Figuras Planas e Espaciais Introdução A maioria das pessoas acreditam que a simetria está ligada mais a pensamentos sobre Arte e Natureza do que sobre Matemática. De fato, nossas ideias de beleza estão intimamente relacionadas a princípios de simetrias, que são encontradas por toda a parte no mundo que nos rodeia. Na natureza podemos observar vários exemplos de simetria. O homem também utiliza a simetria. Figura 1 Figura 2 Simetria A simetria é definida como a correspondência, em grandeza, forma e posição relativa, de partes situadas em lados opostos de uma linha ou plano médio, ou ainda, que se acham distribuídas em volta de um centro ou eixo. Embora seja fácil reconhecer e compreender simetrias intuitivamente, é um pouco mais difícil defini-la em termos matemáticos mais precisos. Para Simetria no plano, a ideia básica é bastante clara: uma figura no plano é simétrica se podemos dividi-la em partes de alguma maneira, de tal modo que 53
as partes resultantes desta divisão coincidam perfeitamente, quando sobrepostas. Figura 3 Uma das primeiras coisas que notamos a respeito de simetrias é que elas podem ser de diferentes tipos. Os dois tipos principais são as simetrias axiais e as simetrias centrais. Veremos um pouco mais sobre esses dois tipos de simetria. Simetrias axiais ou em relação a retas: São aquelas onde pontos, objetos ou partes de objetos são a imagem espelhada um do outro em relação à reta dada, chamada eixo de simetria. O eixo de simetria é a mediatriz do segmento que une os pontos correspondentes. Na figura 4 observa-se desenvolvido para esse tipo de simetria, utilize-o e aprenda ainda mais! Figura 4 Simetrias Centrais: São aquelas em que um ponto, objeto ou parte de um objeto pode ser girado em relação a um ponto fixo, central, chamado centro da simetria, de tal maneira 54
que essas partes ou objetos coincidam um com o outro um determinado número de vezes. Na figura 5 observa-se que foi desenvolvido para que você aprenda ainda mais! Utilize-o. Figura 5 Simetrias Especiais: As simetrias cujos eixos são os eixos coordenados ou o centro, a origem do sistema de coordenadas, são muito fáceis de caracterizar. Nestes casos especiais, conhecidas as coordenadas de um ponto é possível determinar, sem grandes dificuldades, as coordenadas de seu simétrico. Figura 6 55
Transformações Em matemática, são regras especiais que transformam pontos do plano em outros pontos do plano. A qualquer hora que você pegue um objeto qualquer e o mova para qualquer outro lugar, há uma transformação geométrica que descreve o movimento da antiga posição para a nova. Entretanto, as transformações que aparecem no mundo físico são de um tipo muito especial. Não importa de que maneira você mova uma xícara, por exemplo, ela será sempre a mesma xícara. Em matemática ou em computação gráfica, ao contrário, se escolhermos uma transformação ao acaso, é quase certo que ela, ao mover o objeto, provocará também uma distorção na sua forma e/ou no seu tamanho. Em matemática, tais transformações ou movimentos são chamados de isometrias (do grego, mesma medida). Movimentos rígidos ou isometrias devem ser as transformações que preservam o comprimento dos segmentos e, consequentemente a distância entre dois pontos quaisquer do plano e da realidade. TIPOS ISOMERIAS Reflexão Ocorre quando uma é a imagem espelhada da outra em relação à reta considerada, chamada eixo de simetria. As duas figuras são simétricas em relação a este eixo. Figura 7 56
Translação A mais comum das isometrias é a chamada translação. Uma figura sofre uma translação quando se desloca, sem se deformar, paralelamente a uma direção fixada. Figura 8 Rotação Esse tipo de isomeria é obtido quando fixamos um ponto do plano e giramos a figura de um ângulo qualquer, ao redor deste ponto. Figura 9 TRANSFORMAÇÕES DE SEMELHANÇA Translações, reflexões e rotações são isometrias, isto é, são transformações que preservam a distância entre dois pontos do plano. A partir desta 57
propriedade podemos provar que isometrias mudam a posição do desenho, mantendo a forma e o tamanho da figura original. Por isso, figuras obtidas a partir de isometrias são ditas congruentes. Homotetia Homotetias são transformações que, mantendo um ponto fixo O, chamado centro da homotetia, multiplicam a medida de qualquer segmento de reta que passe por este ponto, por um fator constante a, chamado razão da homotetia. Esta propriedade das homotetias é usada para "ampliar" ou "diminuir" o tamanho das figuras. Deformações Além dessas transformações, existem outras que deformam a figura original. Com isso tem-se uma desproporcionalidade de toda figura. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BUENO, M. S. Simetria de Figuras Planas ou Espaciais. Col. de Aplic. da Universidade do Rio de Janeiro. 2011. Disponível em:< http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichatecnicacolecaoaula.html?id=614 >. Acesso em 29 maio 2012. Projeto Novas Tecnologias no Ensino. Universidade Federal do Rio de Janeiro. Módulo II Cap. I. Disponível em:< http: //www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap21 s3.html >. Acesso em: 29 maio 2012. 58