INCERTEZAS E COVARIÂNCIAS EM MEDIÇÕES COM MULTÍMETROS DIGITAIS Aluno: Elielson Soares Pereira 1 Orientador: Zwinglio de Oliveira Guimaraes Filho 2 Programa Ensinar com Pesquisa (sem bolsa) 1 Departamento de Astronomia, Instituto de Astronomia Geofísica e Ciências Atmosféricas (IAG-USP) 2 Departamento de Física Aplicada, Instituto de Física (IF-USP)
Motivação Em laboratórios didáticos um instrumento de extrema importância é o multímetro. Um exemplo são as medições para determinar curvas características de componentes elétricos; Normalmente as incertezas são calculadas segundo especificações do fabricante; Entretanto... 2
Ajustes como da figura abaixo são tipicamente encontrados: N χ 2 = i=1 y i f x i σ i 2 χ 2 = 0,014 ngl=8 Figura 1: Curva característica de um resistor. χ R 2 = 0,002??? (500x menor que 1) 3
Consequências imediatas: As incertezas dos parâmetros não são confiáveis Testes estatísticos não podem ser utilizados para avaliar a qualidade dos ajustes e a compatibilidade entre os resultados e os valores de referência. Entender o motivo dessa discrepância 4
Procedimento experimental Calibração simultânea de vários multímetros novos, modelo Western 978MD (de 3½ dígitos), em relação a multímetros de precisão (de 6½ ou 5½ dígitos). ε i x i x R N σ 2 1 N i=1 ε i 2 5
Aparato experimental: Figura 2: Montagem para estimar os erros em medições com multímetros: N A ligações em série com um amperímetro de precisão e N V ligações em paralelo com um voltímetro de precisão. ( N A + N V = 140 ) [créditos da foto: Paulo R. Pascholati] 6
Resultados sobre a incerteza O gráfico apresenta histogramas dos resultados de medições de corrente com N A =132 multímetros: Os erros são aproximadamente gaussianos A dispersão aumenta com o aumento do valor medido (incerteza depende do valor medido) 7
Resultados sobre a incerteza As especificações do fabricante não correspondem à incerteza. De fato, as especificações de devem ser incertezas expandidas para cobrir um intervalo de confiança desejado (usualmente 99%). 8
Porém isso não explica tudo χ 2 = 0,17 ngl=8 χ R 2 = 0,02?? (50x menor) Figura 6: Curva característica do mesmo resistor inicial feita somente com correção das incertezas por um fator ~3,5. 9
Covariâncias entre medições com um mesmo multímetro NOTA-SE QUE: O multímetro da esquerda sempre mede valores intermediários O multímetro central sempre mede os menores valores o o o O multímetro da direita sempre mede os maiores valores 10
Covariâncias entre medições com um mesmo multímetro o o o 11
Covariâncias entre as medições de corrente e tensão com multímetros digitais. Correlações são positivas e bastante elevadas! Assim, os dados obtidos com um mesmo equipamento não são estatisticamente independentes. Isso inviabiliza o uso de ajustes e testes que não consideram as covariâncias. 12
Correlações entre as medições obtidas em escalas distintas e, até mesmo, quando medindo grandezas diferentes. Covariâncias são positivas e bastante elevadas! 13
Discussão A existência de covariâncias elevadas entre as medições realizadas com um mesmo equipamento é recorrente em atividades experimentais e precisa ser discutida nos laboratórios didáticos. Como mostrado nesse trabalho para o caso da determinação da curva característica de resistores com multímetros digitais, ignorar as covariâncias pode levar a resultados com chi-quadrados errados por fatores maiores que 500 (e incertezas erradas por fatores maiores do que 10). 14
Um ponto importante a ser salientado é que as covariâncias podem tanto aumentar quanto diminuir as incertezas dos valores calculados, de tal modo que há situações em que a realização de medições com o mesmo equipamento possibilita reduzir a incerteza do resultado final, ampliando a sensibilidade do experimento. De fato, a incerteza de uma quantidade F calculada a partir de dados x i (i = 1, 2, N) é dada por: N σ F 2 i=1 F x i σ i 2 N + i=1 N j=i+1 2 F x i F x j ρ i,j σ i σ j 15
Exemplo: Um exemplo que ilustra o efeito das covariâncias é a incerteza da soma ou da diferença de duas grandezas, x 1 e x 2, com incertezas iguais (σ 1 = σ 2 = σ x ). No caso de correlação nula tanto a soma quanto a diferença tem incerteza de 2σ x ~1,4σ x. No caso de dados covariantes com correlação ρ a incerteza da soma é dada por σ S = 2(1 + ρ)σ x e a incerteza da diferença por σ D = 2(1 ρ)σ x. Assim, se x 1 e x 2 tiverem correlação positiva de 0,9 ( V 1,2 = 0,9σ x 2 ) a incerteza da soma aumenta para 3,8σ x ~2σ x, ao passo que a incerteza da diferença é reduzida para 0,2σ x ~0,45σ x. 16
Conclusão 1) As especificações do fabricante não correspondem à incerteza usada em Física 2) Medições com um mesmo multímetro são covariantes (i.e. não são estatisticamente independentes) 3) Portanto, ajustes considerando dados independentes não são adequados para esse tipo de experimento Obs: trabalho realizado no programa Ensinar com Pesquisa 2014 (sem bolsa) e apresentado no Simpósio Nacional de Ensino de Física (SNEF) de 2015 17
Usando dados de multímetros diferentes: χ 2 = 6,9 ngl=8 χ R 2 = 0,86!!! Curva característica do mesmo resistor do ajuste inicial, feita a partir de medições com multímetros diferentes (c/ correção das incertezas). 18
Obrigado!!! 19
Referências [1] O. Helene e V.R. Vanin, Tratamento Estatístico de Dados em Física Experimental, Ed. Edgard Blücher, 2ª Edição,1991. [2] J. H. Vuolo, Fundamentos da teoria de erros, Ed. Edgard Blücher, 2ª Edição, 1996. [3] O. Helene, Método dos Mínimos Quadrados com formalismo matricial, Ed. Livraria da Física, 2006. [4] BIPM, GUM 2008: Guia para a expressão da incerteza de medição, 1ª Edição brasileira do BIPM de 2008, INMETRO 2012 (disponível em http://www.inmetro.gov.br/inovacao/publicacoes/gum_final.pdf ). [5] FLUKE Application note, Understanding Specifications for Precision Multimeters, (disponível em http://us.flukecal.com/literature/articles-and-education/dataacquisition-and-test-equipment/application-notes/understandin ). 20
O problema: Os dados de cada multímetro são bem alinhados, mas medidas com multímetros diferentes podem ter coeficientes bem diferentes 21