Inferências Geográfica: Inferência Bayesiana Processo Analítico Hierárquico Classificação contínua

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1 Inferências Geográfica: Inferência Bayesiana Processo Analítico Hierárquico Classificação contínua

2 Análise Multi-Critério Classificação continua (Lógica Fuzzy) Técnica AHP (Processo Analítico Hierárquico)

3 Análise Multi-Critério Classificação contínua

4 Classificação contínua Lógica convencional Paradoxo insolúvel Eu sempre minto. Áreas com declividade de 9,9% serão classificadas diferentemente de áreas com inclinação de 0,%, não importando as demais condições baixa Alta baixa média Alto 4 0 Muito baixa 5 0 abaixo média 7 0 Acima média 9 0 Muito alta 2 0

5 Classificação contínua A análise espacial em SIG será melhor realizada com uso da técnicas de classificação contínua, transformando os dados para o espaço de referência [0,] e processando-os por combinação numérica, através de média ponderada ou inferência fuzzy Ao invés de um mapa temático com limites rígidos gerados pelas operações booleanas, obtém-se uma superfície de decisão contínua. Isto permite construir cenários (por exemplo, risco de 0%, 20% ou 40%), que indicam os diferentes compromissos de tomada de decisão => maior flexibilidade e um entendimento muito maior sobre os problemas espaciais.

6 Lógica Fuzzy Lógica Fuzzy: Introduzida por Lofti Zadeh (960s), como um meio de modelar incertezas da linguagem natural Fuzzy Logic é uma extensão da lógica Booleana, que tem sido estendida para manipular o conceito de verdade parcial, isto é, valores compreendidos entre completamente verdadeiro e completamente falso. F(z) 0 Falso Verdade F z Lógica Boleana V 0 Falso Verdade F z Lógica Fuzzy V

7 Conjunto Fuzzy : Definição Um conjunto Fuzzy (S) é definido matematicamente como: onde: Z : S = (z, f(z)) Z é referido como o universo de discurso para o subconjunto Fuzzy S S é o conjunto Fuzzy em Z, expresso pelos pares ordenados [z, f(z)]. z Z, é um elemento do conjunto Z (primeiro elemento do par ordenado). f(z) é uma função que mapeia z em S, variando de 0 a (segundo elemento do par ordenado). Estabelece o grau de verdade: O valor Zero (0) é usado para representar a condição de Falsidade, O valor Um () é usado para representar a condição de Verdade, Valores intermediários são utilizados para representar o grau de verdade.

8 Conjuntos Fuzzy: exemplo Exemplo: Altura de Pessoas S um conjunto fuzzy ALTO, que responderá a pergunta: " a que grau uma pessoa z é alta? Z : S = (z, f(z)) especialistas 0, se f ( z) = ( z.5) /0.6, se z.5 se.5< z < 2. z 2. Exemplo: João é ALTO" = 0.38 f(z) BAIXO.5 2. ALTO z

9 Conjuntos Fuzzy: exemplo Outro exemplo - Declividade Declividade f(z) = 0 se z α f(z) = /[+ α(z β) 2 ] se α < z < β f(z) = se z β 0.2 f(z) = 0 se z f(z) = /[ (z 40) 2 ] se α < z < 40 f(z) =, se z 40 Mínimo (α) Máximo (β)

10 Mapeamento para fuzzy Na prática: Realizar mapeamento para espaço [0,] determinação de valores limites (mínimo e máximo) estabelecer função de mapeamento: linear, quadrática, sigmóide f(z) Análise Multi-Critério Campo de Amostras Grade de valores [0,] Superfície contínua

11 Operadores Fuzzy : E µ c = MIN (µ a, µ b, µ c,...) µ A, µ B, µ C,.. são os valores de pertinência nos mapas µ A µ B µ c = µ A E µ A 0,75 0,60 0,30 0,50 0,65 0,40 0,50 0,60 0,30 0,70 0,55 0,00 0,75 0,55 0,20 0,70 0,55 0,00 0,65 0,40,00 0,60 0,40 0,00 0,60 0,40 0,00 Saída controlada pelo menor valor de pertinência fuzzy ocorrendo em cada localização. Operador apropriado quando todas as evidências para uma devem estar presentes para a hipótese ser verdadeira.

12 Operadores Fuzzy : OU µ c = Max (µ a, µ b, µ c,...) µ A, µ B, µ C,.. são os valores de pertinência nos mapas µ A µ B µ c = µ A OU µ A 0,75 0,60 0,30 0,50 0,65 0,40 0,75 0,65 0,40 0,70 0,55 0,00 0,75 0,55 0,20 0,75 0,55 0,20 0,65 0,40,00 0,60 0,40 0,00 0,65 0,40,00 Saída controlada pelo maior valor de pertinência fuzzy ocorrendo em cada localização.

13 Operadores Fuzzy: Produto algébrico n µ c = µ i i= onde µ i éa função de pertinência para o i-ésimo mapa O valor dessa função combinada µ tende a ser muito pequeno, produto de valores entre 0 e. A saída é sempre menor que a menor contribuição. µ A µ B µ c 0,75 0,60 0,30 0,50 0,65 0,40 0,37 0,39 0,2 0,70 0,55 0,00 0,75 0,55 0,20 0,52 0,30 0,00 0,65 0,40,00 0,60 0,40 0,00 0,39 0,6 0,00

14 Operadores Fuzzy: Soma algébrica µ c = - (-µ i ) i= Nessa operação o resultado ésempre maior, ou igual, a maior contribuição do valor de pertinência fuzzy. Duas evidências pesam mais do que cada n - µ A uma individualmente. Por exemplo, a soma algébrica fuzzy de (0,75 e 0,50) é ( -0,75)*(- 0,50), que é igual a 0,875. 0,25 - µ ( -µ - µ µ A i ) c B i= 0,40 0,70 0,50 0,35 0,60 0,2 0,4 0,42 0,87 0,86 2 0,58 0,30 0,45,00 0,25 0,45 0,80 0,07 0,20 0,80 0,92 0,79 0,80 0,35 0,60 0,00 0,40 0,60,00 0,4 0,36 0,00 0,86 0,84,00

15 Exemplo Fuzzy em Legal

16 Exemplo: Transformação Fuzzy variável = expressao_booleana? expressao : (bool? Exp : exp2) ; { //Declaração Numerico cromo ("Amostras"); Numerico cromofuzzy ("Cromo_Fuzzy"); //Instanciação cromo = Recupere ( Nome= "Teores_Cromo" ); cromofuzzy = Novo (Nome = "Cromo_Fuzzy", ResX=30, ResY=30, Escala=50000, Min=0, Max=); //Operação cromofuzzy = (cromo < 0.20)? 0 : expressao } (cromo >.855)? : /( + (0.424 * ((cromo -.855)^2))); expressao2

17 Análise Multi-Critério Técnica AHP (Processo Analítico Hierárquico)

18 Suporte à Decisão - Conceitos Básicos Ł Decidir é escolher entre alternativas. Podemos encarar o processo de manipulação de dados num sistema de informação geográfica como uma forma de produzir diferentes hipóteses sobre o tema de estudo. O conceito fundamental dos vários modelos de tomada de decisão é o de racionalidade. Onde Ł indivíduos e organizações seguem um comportamento de escolha entre alternativas, baseado em critérios objetivos de julgamento, afim de satisfazer um nível pré-estabelecido de aspirações.

19 Suporte à Decisão - Conceitos Básicos Um modelo racional de tomada de decisão preconiza quatro passos: Definição do problema: formular o problema como uma necessidade de chegar a um novo estado. Busca de alternativas: estabelecer as diferentes alternativas (aqui consideradas como as diferentes possíveis soluções do problema) e deter minar um critério de avaliação. Avaliação de alternativas: cada alternativa de resposta é avaliada. Seleção de alternativas: as possíveis soluções são ordenadas, selecionando-se a mais desejável ou agrupando-se as melhores para uma avaliação posterior.

20 A Técnica AHP - Processo Analítico Hierárquico Quando temos diferentes fatores que contribuem para a nossa decisão, como fazer para determinar a contribuição relativa de cada um? Thomas Saaty (978) propôs, uma técnica de escolha baseada na lógica da comparação pareada, denominada Técnica AHP. Neste procedimento, os diferentes fatores que influenciam a tomada de decisão são comparados dois-a-dois, e um critério de importância relativa é atribuído ao relacionamento entre estes fatores, conforme uma escala pré-definida.

21 A Técnica AHP - Processo Analítico Hierárquico Escala de Valores AHP para Comparação Pareada 2,4,6,8 Valores intermediários entre julgamentos - possibilidade de compromissos adicionais.

22 AHP- Exemplo: Decidir sobre a compra de um SIG Fatores importantes: hardware, software, serviço de vendas

23 Matriz de Comparação Par-a-Par - Fator Hardware Passo - Importância relativa dos fatores entre sistemas. Critérios objetivos Hardware Sistema Sistema 2 Sistema 3 Sistema 4 8 Sistema 2 /4 6 Sistema 3 /8 /6 A matriz apresentada reflete o fato que o Sistema é moderadamente / essencialmente preferido em relação ao Sistema 2, e têm uma importância demonstrada / extrema com relação ao Sistema 3. Sistema Ł Sistema = Sistema 2 Ł Sistema 3 = 6 Sistema 2 Ł Sistema = /4 Sistema 3 Ł Sistema 2 = /6 Sistema 3 Ł Sistema = /8

24 Matriz de Comparação Par-a-Par - Fator Hardware Passo 2- Normalizar colunas Hardware Sistema Sistema 2 Sistema 3 Sistema 4 8 Sistema 2 /4 6 Sistema 3 /8 /6 Total,375 5,67 5 Hardware Sistema 0,727 0,774 0,533 Sistema 2 0,82 0,94 0,400 Sistema 3 0,09 0,032 0,067

25 Matriz de Comparação Par-a-Par - Fatores Passo 3- Média de cada linha normalizada representa as prioridades para as três opções alternativas, em relação ao fator Hardware (pesos do fator hardware de cada sistema Hardware Sistema Sistema 2 Sistema 3 Cálculo da média (0,727+ 0,774+0,533)/3 = (0,82+0,94+0,400)/3 = (0,09+0,032+ 0,067)/3 = Vetor de Média 0,678 0,259 0,063 Matriz de avaliação dos três fatores Fator Sistema Sistema 2 Sistema 3 hardware 0,678 0,259 0,063 Software 0,077 0,86 0,737 Serviço de ven. 0,653 0,25 0,096

26 Matriz de Comparação de Fatores Passo 4- Importância relativa entre os fatores. Fator hardware Software Serviço de ven. hardware /8 /5 Software 8 6 Serviço de ven. 5 /6 Total 4,292 7,20 Fator hardware Software Serviço vendas. Matriz normalizada 0,072 0,097 0,57 0,774 0,357 0,29 0,028 0,833 0,39

27 Matriz de Comparação de Fatores Passo 5- Pesos dos fatores. Fator hardware Software Serviço vendas. Cálculo da pesos (0, , ,028)/3 = (0,57 + 0, ,833)/3 = (0, ,29 + 0,39)/3 = Vetor de Média 0,066 0,726 0,208 Fator Matriz normalizada Sistema (0,066*0, ,726*0, ,208*0,653)= Sistema 2 (0,066*0, ,726*0,86 + 0,208*0,25)= 0,236 0,204 Sistema 3 (0,066*0, ,726*0, ,208*0,096)= 0,559 O sistema de maior peso, considerando os fatores utilizados, é o sistema 3. Então o mais adequado para aquisição

28 Consistência da seleção realizada Para aceitar o resultado deste processo, é necessário conhecer se há consistência na comparação pareada realizada. Neste caso o parâmetro para avaliar isto é denominado Razão de consistência Passo : Considere que os critérios atribuídos ao fator Hardware (tabela abaixo) foi justo Hardware Sistema Sistema 2 Sistema 3 Sistema 4 8 Sistema 2 /4 6 Sistema 3 /8 /6 Hardware Sistema Sistema 2 Sistema 3 Vetor de Média 0,678 0,259 0,063

29 Razão de consistência Passo 2: Calcula-se o vetor soma ponderada,000 4,000 8,000 0,678 0,250,000 6,000 * 0,259 0,25 0,67,000 0,063 =,000*0, ,000*0, ,000*0,063 = 2,28 0,250*0,678 +,000*0, ,000*0,063 = 0,807 0,25*0, ,67*0,259 +,000*0,063 = 0,9 Passo 3 : Calcula-se o vetor de consistência Vetor de consistência = 2,28/0,678 0,807/0,259 0,9/0,063 = 3,27 3,6 3,032 Passo 4 : Calcula-se o valor médio do vetor de consistência m = (3, ,6 + 3,032)/3 = 3,40

30 Razão de consistência A razão de consistência (RC) que é a tolerância permitida, é estimada pela expressão: RC = IC/IR Onde IC é o índice de consistência e IR é o índice aleatório conforme tabela abaixo. IC = (m -n) / (n-) onde n é o numero de fatores IC = (3,40 3) / (3-) = 0,070 n IR 0,00 0,58 0,90,2,24,32,4 RC = IC/IR = 0,070/0,58 = 0,2 Segundo o método desenvolvido por ss, o valor de RC deve ser menor que 0,0 para que a decisão seja consistente

31 Exemplo : potenciais à prospecção de Cromo. Superfícies normalizadas Critério de importância relativa

32 Exemplo : potenciais à prospecção de Cromo. Vetor de pesos Superfícies normalizadas Calculando-se a Razão de consistência, conforme mostrado anteriormente chegase : RC = IC/IR = 0,00695/0,58 = 0,02 Como o valor de RC < 0,0 conclui-se que a decisão foi consistente Mapa_pot_Cromo = O mapa final de potencialidade de cromo é obtido 0,3338*mapa_cromo + 0,0754*mapa_cobalto + 0,5907*mapa_geologia

33 Passos do AHP Passo : Comparar os critérios dois-a-dois Passo 2: Determinar vetor de consistência dos criterios Estimar Razão de consistência. Passo 3: Consistente se a Razão de consistência tiver probabilidade menor do que 0% Produzir os pesos (soma =.0) Fazer uma inferência por média ponderada

34 A Técnica AHP - Processo Analítico Hierárquico Interface

35 Abordagem Bayesiana

36 Abordagem Bayesiana Principal conceito: Probabilidade a priori e a posteriori Ocorrência de chuva no dia seguinte dado que a média 80 dias de chuva por ano no local. probabilidade a priori : P(chuva) = 80/365 Refinamento: dada uma certa época do ano a posteriori : Fator época do ano (F época do ano ) P(chuva época do ano) = P(chuva) * (F época do ano ) Outras evidências: choveu ontem, choveu hoje P(chuva evidência) = P(chuva) * (F época do ano ) * F dia anterior * F dia hoje pode ser tratado com a priori em relação a 2 2

37 Abordagem Bayesiana - Exemplos Ex. prospecção mineral Anomalia geoquímica de zinco Ł > 250 ppm Prob. A priori > 250 ppm Fatores (a posteriori) Mapa geológico rocha A e B Ł favorável rocha C e D Ł desfavorável Intensidade de assinatura geofísica Tipo de vegetação Baseado em conhecimento (Especialista pondera as evidências) Baseado em dados (dados históricos suficientes) Ex. 2 diagnostico médico Combinação de sintomas clínicos Ex. 2 Distribuição espacial de epicentros sísmicos. Combinação

38 Técnica Bayesiana Exemplo de aplicação - Considere o problema de se encontrar depósitos de um determinado mineral em uma região que possui uma área de km 2, e que já tenham sido identificados 200 depósitos nesta região. 2- A area foi dividida em celulas de km 2 e ocorre somente deposito em cada celula. Notação Ł N{} = contagem de unidades N{R} = unidades de área N{D} = 200 depósitos conhecidos com área de km 2. Densidade de depositos N{D}/N{R} = 200/0000=0.02 R probabilidade a priori P{D} = N{D}/N{R} = 0.02 A

39 Técnica Bayesiana Exemplo de aplicação Nova evidencia: Observou-se em mapa de anomalia magnética da região, que 80 dos 200 depósitos conhecidos ocorreram dentro da área de anomalia. P{D / A} > 0.02 P{D / A} < 0.02 Dado esta evidência, a probabilidade pode ser expressa por: A R R A D A D A D A R A D

40 Técnica Bayesiana P{D / A} é a probabilidade condicional de um deposito D dado que a célula está dentro da área de anomalia A. P{D A} = N{D A} / N{R} é a proporção da área total onde ocorre simultaneamente deposito e anomalia. P{A} = N{A} / N{R} A A D D A R A D R A D

41 Técnica Bayesiana A R A D A D P{D / A} = 80 / 3600 = 0,05 P{D} = 0.02 P{D / A} = 2,5 vezes maior que P{D} R A D A D Usando-se esta evidência, a exploração de novos depósitos do mesmo tipo, será muito mais eficiente e com uma área de pesquisa reduzida de km 2 para km 2. Anomalia (A) Não Anomalia (A) Depósito (D) N{D A} (80) N{D A} (20) D (200) Não Depósito (D) N{D A} (3420) N{D A} () D (9800) N{A} (3600) N{A} (6400) N{R} (0000)

42 Técnica Bayesiana P (posteriori) = P(priori) * (F evidência ) Pode-se expressar P{ D / A} em termos da P(priori) mais fator multiplicativo. Qual a probabilidade de uma célula estar na região de anomalia A, dado que esta célula contém um deposito? P{A / D} = 80/200=0.9 Dado que: P{A D} = P{D A} Probabilidade a posteriori de um depósito, dado que a célula esta na área de anomalia P(priori) * (Fator evidência )

43 Técnica Bayesiana P{A / D} = 80/200=0.9 P{A} = N{A} / N{R} = 3600 / 0000 = 0,36 0,9/0,36 = 2,5 Ł fator multiplicativo A presença de anomalia magnética, faz com que a probabilidade de deposito seja 2.5 vezes maior do que a probabilidade a priori. P{D / A} = 0,02 * 2,5 = 0,05

44 Técnica Bayesiana Probabilidade a posteriori da ocorrência de um deposito, dada a ausência da anomalia. P{A / D} = 20/200=0. P{A} = ( )/0000=0.64 = 0,/0,64 = 0,5625 Ł A probabilidade a posteriori da ocorrência de depósitos em posições onde não há anomalia magnética é vezes menor do que a probabilidade a priori. P{D / A} = 0.2* = Baseado em uma única fonte de evidência, podemos reduzir a área de pesquisa de km 2 para 3600 km 2, porque a chance de se encontrar depósito onde não há anomalia é significativamente menor (50 vezes) do que onde há anomalia.

45 Inferências Geográfica: Inferência Bayesiana Processo Analítico Hierárquico Classificação contínua

46 Análise Multi-Critério Classificação continua (Lógica Fuzzy) Técnica AHP (Processo Analítico Hierárquico)

47 Análise Multi-Critério Classificação contínua

48 Classificação contínua Lógica convencional Paradoxo insolúvel Eu sempre minto. Áreas com declividade de 9,9% serão classificadas diferentemente de áreas com inclinação de 0,%, não importando as demais condições baixa Alta baixa média Alto 4 0 Muito baixa 5 0 abaixo média 7 0 Acima média 9 0 Muito alta 2 0

49 Classificação contínua A análise espacial em SIG será melhor realizada com uso da técnicas de classificação contínua, transformando os dados para o espaço de referência [0,] e processando-os por combinação numérica, através de média ponderada ou inferência fuzzy Ao invés de um mapa temático com limites rígidos gerados pelas operações booleanas, obtém-se uma superfície de decisão contínua. Isto permite construir cenários (por exemplo, risco de 0%, 20% ou 40%), que indicam os diferentes compromissos de tomada de decisão => maior flexibilidade e um entendimento muito maior sobre os problemas espaciais.

50 Lógica Fuzzy Lógica Fuzzy: Introduzida por Lofti Zadeh (960s), como um meio de modelar incertezas da linguagem natural Fuzzy Logic é uma extensão da lógica Booleana, que tem sido estendida para manipular o conceito de verdade parcial, isto é, valores compreendidos entre completamente verdadeiro e completamente falso. F(z) 0 Falso Verdade F z Lógica Boleana V 0 Falso Verdade F z Lógica Fuzzy V

51 Conjunto Fuzzy : Definição Um conjunto Fuzzy (S) é definido matematicamente como: onde: Z : S = (z, f(z)) Z é referido como o universo de discurso para o subconjunto Fuzzy S S é o conjunto Fuzzy em Z, expresso pelos pares ordenados [z, f(z)]. z Z, é um elemento do conjunto Z (primeiro elemento do par ordenado). f(z) é uma função que mapeia z em S, variando de 0 a (segundo elemento do par ordenado). Estabelece o grau de verdade: O valor Zero (0) é usado para representar a condição de Falsidade, O valor Um () é usado para representar a condição de Verdade, Valores intermediários são utilizados para representar o grau de verdade.

52 Conjuntos Fuzzy: exemplo Exemplo: Altura de Pessoas S um conjunto fuzzy ALTO, que responderá a pergunta: " a que grau uma pessoa z é alta? Z : S = (z, f(z)) especialistas 0, se f ( z) = ( z.5) /0.6, se z.5 se.5< z < 2. z 2. Exemplo: João é ALTO" = 0.38 f(z) BAIXO.5 2. ALTO z

53 Conjuntos Fuzzy: exemplo Outro exemplo - Declividade Declividade f(z) = 0 se z α f(z) = /[+ α(z β) 2 ] se α < z < β f(z) = se z β 0.2 f(z) = 0 se z f(z) = /[ (z 40) 2 ] se α < z < 40 f(z) =, se z 40 Mínimo (α) Máximo (β)

54 Mapeamento para fuzzy Na prática: Realizar mapeamento para espaço [0,] determinação de valores limites (mínimo e máximo) estabelecer função de mapeamento: linear, quadrática, sigmóide f(z) Análise Multi-Critério Campo de Amostras Grade de valores [0,] Superfície contínua

55 Operadores Fuzzy : E µ c = MIN (µ a, µ b, µ c,...) µ A, µ B, µ C,.. são os valores de pertinência nos mapas µ A µ B µ c = µ A E µ A 0,75 0,60 0,30 0,50 0,65 0,40 0,50 0,60 0,30 0,70 0,55 0,00 0,75 0,55 0,20 0,70 0,55 0,00 0,65 0,40,00 0,60 0,40 0,00 0,60 0,40 0,00 Saída controlada pelo menor valor de pertinência fuzzy ocorrendo em cada localização. Operador apropriado quando todas as evidências para uma devem estar presentes para a hipótese ser verdadeira.

56 Operadores Fuzzy : OU µ c = Max (µ a, µ b, µ c,...) µ A, µ B, µ C,.. são os valores de pertinência nos mapas µ A µ B µ c = µ A OU µ A 0,75 0,60 0,30 0,50 0,65 0,40 0,75 0,65 0,40 0,70 0,55 0,00 0,75 0,55 0,20 0,75 0,55 0,20 0,65 0,40,00 0,60 0,40 0,00 0,65 0,40,00 Saída controlada pelo maior valor de pertinência fuzzy ocorrendo em cada localização.

57 Operadores Fuzzy: Produto algébrico n µ c = µ i i= onde µ i éa função de pertinência para o i-ésimo mapa O valor dessa função combinada µ tende a ser muito pequeno, produto de valores entre 0 e. A saída é sempre menor que a menor contribuição. µ A µ B µ c 0,75 0,60 0,30 0,50 0,65 0,40 0,37 0,39 0,2 0,70 0,55 0,00 0,75 0,55 0,20 0,52 0,30 0,00 0,65 0,40,00 0,60 0,40 0,00 0,39 0,6 0,00

58 Operadores Fuzzy: Soma algébrica µ c = - (-µ i ) i= Nessa operação o resultado ésempre maior, ou igual, a maior contribuição do valor de pertinência fuzzy. Duas evidências pesam mais do que cada n - µ A uma individualmente. Por exemplo, a soma algébrica fuzzy de (0,75 e 0,50) é ( -0,75)*(- 0,50), que é igual a 0,875. 0,25 - µ ( -µ - µ µ A i ) c B i= 0,40 0,70 0,50 0,35 0,60 0,2 0,4 0,42 0,87 0,86 2 0,58 0,30 0,45,00 0,25 0,45 0,80 0,07 0,20 0,80 0,92 0,79 0,80 0,35 0,60 0,00 0,40 0,60,00 0,4 0,36 0,00 0,86 0,84,00

59 Exemplo Fuzzy em Legal

60 Exemplo: Transformação Fuzzy variável = expressao_booleana? expressao : (bool? Exp : exp2) ; { //Declaração Numerico cromo ("Amostras"); Numerico cromofuzzy ("Cromo_Fuzzy"); //Instanciação cromo = Recupere ( Nome= "Teores_Cromo" ); cromofuzzy = Novo (Nome = "Cromo_Fuzzy", ResX=30, ResY=30, Escala=50000, Min=0, Max=); //Operação cromofuzzy = (cromo < 0.20)? 0 : expressao } (cromo >.855)? : /( + (0.424 * ((cromo -.855)^2))); expressao2

61 Análise Multi-Critério Técnica AHP (Processo Analítico Hierárquico)

62 Suporte à Decisão - Conceitos Básicos Ł Decidir é escolher entre alternativas. Podemos encarar o processo de manipulação de dados num sistema de informação geográfica como uma forma de produzir diferentes hipóteses sobre o tema de estudo. O conceito fundamental dos vários modelos de tomada de decisão é o de racionalidade. Onde Ł indivíduos e organizações seguem um comportamento de escolha entre alternativas, baseado em critérios objetivos de julgamento, afim de satisfazer um nível pré-estabelecido de aspirações.

63 Suporte à Decisão - Conceitos Básicos Um modelo racional de tomada de decisão preconiza quatro passos: Definição do problema: formular o problema como uma necessidade de chegar a um novo estado. Busca de alternativas: estabelecer as diferentes alternativas (aqui consideradas como as diferentes possíveis soluções do problema) e deter minar um critério de avaliação. Avaliação de alternativas: cada alternativa de resposta é avaliada. Seleção de alternativas: as possíveis soluções são ordenadas, selecionando-se a mais desejável ou agrupando-se as melhores para uma avaliação posterior.

64 A Técnica AHP - Processo Analítico Hierárquico Quando temos diferentes fatores que contribuem para a nossa decisão, como fazer para determinar a contribuição relativa de cada um? Thomas Saaty (978) propôs, uma técnica de escolha baseada na lógica da comparação pareada, denominada Técnica AHP. Neste procedimento, os diferentes fatores que influenciam a tomada de decisão são comparados dois-a-dois, e um critério de importância relativa é atribuído ao relacionamento entre estes fatores, conforme uma escala pré-definida.

65 A Técnica AHP - Processo Analítico Hierárquico Escala de Valores AHP para Comparação Pareada 2,4,6,8 Valores intermediários entre julgamentos - possibilidade de compromissos adicionais.

66 AHP- Exemplo: Decidir sobre a compra de um SIG Fatores importantes: hardware, software, serviço de vendas

67 Matriz de Comparação Par-a-Par - Fator Hardware Passo - Importância relativa dos fatores entre sistemas. Critérios objetivos Hardware Sistema Sistema 2 Sistema 3 Sistema 4 8 Sistema 2 /4 6 Sistema 3 /8 /6 A matriz apresentada reflete o fato que o Sistema é moderadamente / essencialmente preferido em relação ao Sistema 2, e têm uma importância demonstrada / extrema com relação ao Sistema 3. Sistema Ł Sistema = Sistema 2 Ł Sistema 3 = 6 Sistema 2 Ł Sistema = /4 Sistema 3 Ł Sistema 2 = /6 Sistema 3 Ł Sistema = /8

68 Matriz de Comparação Par-a-Par - Fator Hardware Passo 2- Normalizar colunas Hardware Sistema Sistema 2 Sistema 3 Sistema 4 8 Sistema 2 /4 6 Sistema 3 /8 /6 Total,375 5,67 5 Hardware Sistema 0,727 0,774 0,533 Sistema 2 0,82 0,94 0,400 Sistema 3 0,09 0,032 0,067

69 Matriz de Comparação Par-a-Par - Fatores Passo 3- Média de cada linha normalizada representa as prioridades para as três opções alternativas, em relação ao fator Hardware (pesos do fator hardware de cada sistema Hardware Sistema Sistema 2 Sistema 3 Cálculo da média (0,727+ 0,774+0,533)/3 = (0,82+0,94+0,400)/3 = (0,09+0,032+ 0,067)/3 = Vetor de Média 0,678 0,259 0,063 Matriz de avaliação dos três fatores Fator Sistema Sistema 2 Sistema 3 hardware 0,678 0,259 0,063 Software 0,077 0,86 0,737 Serviço de ven. 0,653 0,25 0,096

70 Matriz de Comparação de Fatores Passo 4- Importância relativa entre os fatores. Fator hardware Software Serviço de ven. hardware /8 /5 Software 8 6 Serviço de ven. 5 /6 Total 4,292 7,20 Fator hardware Software Serviço vendas. Matriz normalizada 0,072 0,097 0,57 0,774 0,357 0,29 0,028 0,833 0,39

71 Matriz de Comparação de Fatores Passo 5- Pesos dos fatores. Fator hardware Software Serviço vendas. Cálculo da pesos (0, , ,028)/3 = (0,57 + 0, ,833)/3 = (0, ,29 + 0,39)/3 = Vetor de Média 0,066 0,726 0,208 Fator Matriz normalizada Sistema (0,066*0, ,726*0, ,208*0,653)= Sistema 2 (0,066*0, ,726*0,86 + 0,208*0,25)= 0,236 0,204 Sistema 3 (0,066*0, ,726*0, ,208*0,096)= 0,559 O sistema de maior peso, considerando os fatores utilizados, é o sistema 3. Então o mais adequado para aquisição

72 Consistência da seleção realizada Para aceitar o resultado deste processo, é necessário conhecer se há consistência na comparação pareada realizada. Neste caso o parâmetro para avaliar isto é denominado Razão de consistência Passo : Considere que os critérios atribuídos ao fator Hardware (tabela abaixo) foi justo Hardware Sistema Sistema 2 Sistema 3 Sistema 4 8 Sistema 2 /4 6 Sistema 3 /8 /6 Hardware Sistema Sistema 2 Sistema 3 Vetor de Média 0,678 0,259 0,063

73 Razão de consistência Passo 2: Calcula-se o vetor soma ponderada,000 4,000 8,000 0,678 0,250,000 6,000 * 0,259 0,25 0,67,000 0,063 =,000*0, ,000*0, ,000*0,063 = 2,28 0,250*0,678 +,000*0, ,000*0,063 = 0,807 0,25*0, ,67*0,259 +,000*0,063 = 0,9 Passo 3 : Calcula-se o vetor de consistência Vetor de consistência = 2,28/0,678 0,807/0,259 0,9/0,063 = 3,27 3,6 3,032 Passo 4 : Calcula-se o valor médio do vetor de consistência m = (3, ,6 + 3,032)/3 = 3,40

74 Razão de consistência A razão de consistência (RC) que é a tolerância permitida, é estimada pela expressão: RC = IC/IR Onde IC é o índice de consistência e IR é o índice aleatório conforme tabela abaixo. IC = (m -n) / (n-) onde n é o numero de fatores IC = (3,40 3) / (3-) = 0,070 n IR 0,00 0,58 0,90,2,24,32,4 RC = IC/IR = 0,070/0,58 = 0,2 Segundo o método desenvolvido por ss, o valor de RC deve ser menor que 0,0 para que a decisão seja consistente

75 Exemplo : potenciais à prospecção de Cromo. Superfícies normalizadas Critério de importância relativa

76 Exemplo : potenciais à prospecção de Cromo. Vetor de pesos Superfícies normalizadas Calculando-se a Razão de consistência, conforme mostrado anteriormente chegase : RC = IC/IR = 0,00695/0,58 = 0,02 Como o valor de RC < 0,0 conclui-se que a decisão foi consistente Mapa_pot_Cromo = O mapa final de potencialidade de cromo é obtido 0,3338*mapa_cromo + 0,0754*mapa_cobalto + 0,5907*mapa_geologia

77 Passos do AHP Passo : Comparar os critérios dois-a-dois Passo 2: Determinar vetor de consistência dos criterios Estimar Razão de consistência. Passo 3: Consistente se a Razão de consistência tiver probabilidade menor do que 0% Produzir os pesos (soma =.0) Fazer uma inferência por média ponderada

78 A Técnica AHP - Processo Analítico Hierárquico Interface

79 Abordagem Bayesiana

80 Abordagem Bayesiana Principal conceito: Probabilidade a priori e a posteriori Ocorrência de chuva no dia seguinte dado que a média 80 dias de chuva por ano no local. probabilidade a priori : P(chuva) = 80/365 Refinamento: dada uma certa época do ano a posteriori : Fator época do ano (F época do ano ) P(chuva época do ano) = P(chuva) * (F época do ano ) Outras evidências: choveu ontem, choveu hoje P(chuva evidência) = P(chuva) * (F época do ano ) * F dia anterior * F dia hoje pode ser tratado com a priori em relação a 2 2

81 Abordagem Bayesiana - Exemplos Ex. prospecção mineral Anomalia geoquímica de zinco Ł > 250 ppm Prob. A priori > 250 ppm Fatores (a posteriori) Mapa geológico rocha A e B Ł favorável rocha C e D Ł desfavorável Intensidade de assinatura geofísica Tipo de vegetação Baseado em conhecimento (Especialista pondera as evidências) Baseado em dados (dados históricos suficientes) Ex. 2 diagnostico médico Combinação de sintomas clínicos Ex. 2 Distribuição espacial de epicentros sísmicos. Combinação

82 Técnica Bayesiana Exemplo de aplicação - Considere o problema de se encontrar depósitos de um determinado mineral em uma região que possui uma área de km 2, e que já tenham sido identificados 200 depósitos nesta região. 2- A area foi dividida em celulas de km 2 e ocorre somente deposito em cada celula. Notação Ł N{} = contagem de unidades N{R} = unidades de área N{D} = 200 depósitos conhecidos com área de km 2. Densidade de depositos N{D}/N{R} = 200/0000=0.02 R probabilidade a priori P{D} = N{D}/N{R} = 0.02 A

83 Técnica Bayesiana Exemplo de aplicação Nova evidencia: Observou-se em mapa de anomalia magnética da região, que 80 dos 200 depósitos conhecidos ocorreram dentro da área de anomalia. P{D / A} > 0.02 P{D / A} < 0.02 Dado esta evidência, a probabilidade pode ser expressa por: A R R A D A D A D A R A D

84 Técnica Bayesiana P{D / A} é a probabilidade condicional de um deposito D dado que a célula está dentro da área de anomalia A. P{D A} = N{D A} / N{R} é a proporção da área total onde ocorre simultaneamente deposito e anomalia. P{A} = N{A} / N{R} A A D D A R A D R A D

85 Técnica Bayesiana A R A D A D P{D / A} = 80 / 3600 = 0,05 P{D} = 0.02 P{D / A} = 2,5 vezes maior que P{D} R A D A D Usando-se esta evidência, a exploração de novos depósitos do mesmo tipo, será muito mais eficiente e com uma área de pesquisa reduzida de km 2 para km 2. Anomalia (A) Não Anomalia (A) Depósito (D) N{D A} (80) N{D A} (20) D (200) Não Depósito (D) N{D A} (3420) N{D A} () D (9800) N{A} (3600) N{A} (6400) N{R} (0000)

86 Técnica Bayesiana P (posteriori) = P(priori) * (F evidência ) Pode-se expressar P{ D / A} em termos da P(priori) mais fator multiplicativo. Qual a probabilidade de uma célula estar na região de anomalia A, dado que esta célula contém um deposito? P{A / D} = 80/200=0.9 Dado que: P{A D} = P{D A} Probabilidade a posteriori de um depósito, dado que a célula esta na área de anomalia P(priori) * (Fator evidência )

87 Técnica Bayesiana P{A / D} = 80/200=0.9 P{A} = N{A} / N{R} = 3600 / 0000 = 0,36 0,9/0,36 = 2,5 Ł fator multiplicativo A presença de anomalia magnética, faz com que a probabilidade de deposito seja 2.5 vezes maior do que a probabilidade a priori. P{D / A} = 0,02 * 2,5 = 0,05

88 Técnica Bayesiana Probabilidade a posteriori da ocorrência de um deposito, dada a ausência da anomalia. P{A / D} = 20/200=0. P{A} = ( )/0000=0.64 = 0,/0,64 = 0,5625 Ł A probabilidade a posteriori da ocorrência de depósitos em posições onde não há anomalia magnética é vezes menor do que a probabilidade a priori. P{D / A} = 0.2* = Baseado em uma única fonte de evidência, podemos reduzir a área de pesquisa de km 2 para 3600 km 2, porque a chance de se encontrar depósito onde não há anomalia é significativamente menor (50 vezes) do que onde há anomalia.