Tipo do produto: Plano de aula

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1 Edital Pibid n 11 /2012 CAPES PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSA DE INICIAÇÃO À DOCÊNCIA - PIBID Plano de Atividades (PIBID/UNESPAR) Tipo do produto: Plano de aula 1 IDENTIFICAÇÃO SUBPROJETO MATEMÁTICA/FECEA: Uma iniciativa concreta ao processo de formação do Professor de Matemática COORDENADOR(A): Prof. supervisor: Alessandra Grizelini Nome da Escola: Colégio Estadual Padre José Canale Ensino Fundamental e Médio. Licenciandos Bolsitas Nome Curso de licenciatura Josias Correia Passos [email protected] Matemática Julio Cezar Rodrigues de Oliveira [email protected] Matemática Oseas Pereira dos Santos [email protected] Matemática DATAS: 19/06/ /06/ /08/ /08/2013 DURAÇÃO: 1 a 2 aulas. PARTICIPANTES: 6º e 7º anos 1 1. TEMA O pensamento algébrico é um assunto que pode suscitar variadas atividades de recreação matemática. Desde sequências lacunadas muito simples a deduções de leis gerais que definem o comportamento matemático de um fenômeno de natureza geométrica ou numérica, muitas são a explorações a fazer. 1 O presente Plano de Aula foi adaptado a cada uma das turmas (6 e 7 anos) de acordo com os conteúdos que os alunos já haviam estudado. Alguns conteúdos conseguimos avançar com os alunos, pois eles estavam estimulados e conseguiram compreendê-los.

2 2. OBJETIVOS GERAIS Facilitar o entendimento de vários temas da matemática envolvendo a expressão de fatos genéricos e explorar as diversas estruturas algébricas fazendo com que o aluno generalize seu pensamento e simplifique questões Objetivos específicos Utilizar a investigação matemática para: Identificar regularidades inferidas com base em padrões. Indicar uma lei de formação para a sequência algébrica. 3. CONTEÚDOS Números e Álgebra 4. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS No desenvolvimento da aula utilizaremos investigação matemática para o encaminhamento metodológico, buscando uma participação ativa dos alunos, para que eles possam construir seu próprio conhecimento. Esta tendência para o ensino da matemática pode ser trabalhada sem grandes dificuldades e demanda de tempo. Na investigação matemática o sujeito pode se programar em como irá começar, porém jamais saberá como irá acabar. Pelo senso comum Investigar é procurar conhecer o que não se sabe. Nesta tendência as questões são mais abertas que em exercícios e problemas, as questões não estão bem definidas, cabendo a quem investiga um papel fundamental na sua definição, porém ela está muito mais ligada à postura do professor do que nos enunciados propriamente ditos. O sujeito é chamado a pensar matematicamente, tanto na elaboração de conjecturas e realização de provas, como também durante a discussão e formalização das ideias. Embora nas séries iniciais já se possa desenvolver uma pré-álgebra, é especialmente nas séries finais do ensino fundamental que os trabalhos algébricos serão ampliados; trabalhando com situações-problema, o aluno reconhecerá diferentes

3 funções da álgebra (como modelizar, resolver problemas aritmeticamente insolúveis, demonstrar), representando problemas por meio de equações (identificando parâmetros, variáveis e relações e tomando contato com fórmulas, equações, variáveis e incógnitas) e conhecendo a sintaxe (regras para resolução) de uma equação (BRASIL, 1997). Para Ponte, Brocardo e Oliveira 2006: O conceito de investigação matemática, como atividade de ensinoaprendizagem, ajuda a trazer para a sala de aula o espírito da atividade matemática genuína, constituindo, por isso, uma poderosa metáfora educativa. O aluno é chamado a agir como um matemático, não só na formulação de questões e conjecturas e na realização de provas e refutações, mas também na apresentação de resultados e na discussão e argumentação com os seus colegas e o professor (p.23). Através das cópias que entregaremos aos alunos sobre generalizações, e com perguntas que faremos a eles, temos como objetivo que eles consigam construir suas ideias para chegarem de sua maneira aos resultados esperados. Esperamos que os alunos consigam generalizar as diferentes sequências que serão apresentadas, e com isso vamos propor exercícios diferentes, mas que tenham o mesmo objetivo. Conforme aparecerem as dificuldades dos alunos, iremos ajudá-los no que for necessário, mas deixando que eles apresentem os resultados encontrados. 5. RESULTADOS ESPERADOS O pensamento algébrico é um assunto que pode suscitar variadas atividades de recreação matemática. Desde sequências muito simples a deduções de leis gerais que definem o comportamento matemático de um fenômeno de natureza geométrica ou numérica, muitas são a explorações a fazer. Nossa intenção é que no final das atividades os alunos sejam capazes de estabelecer conexões entre alguns padrões e a Álgebra, possibilitando investigar uma lei de formação para continuar determinada sequência e chegar à generalização de todos os termos pertencentes a ela.

4 6. BIBLIOGRAFIAS CONSULTADAS BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais : matemática / Secretaria de Educação Fundamental. Brasília MEC/SEF, PONTE, João Pedro; BROCARDO, Joana; OLIVEIRA, Hélia. Investigações Matemáticas na Sala de Aula. 1ª edição; Belo Horizonte: Autêntica, SAAB, Maria Aparecida Cirino; NISHI, Simone Perpétuo; SOUZA, Angela Giseli. Matemática: Livro do professor, 7º ano. Curitiba: Positivo, VALE, I.; PIMENTEL, T. Padrões: um tema transversal no currículo. Revista Educação e Matemática, Portugal, v. 85, p , nov/dez, CONTRIBUIÇÃO PARA A FORMAÇÃO DOCENTE O desenvolvimento dessas atividades nos possibilitou observar como os alunos ficaram motivados em realizar uma atividade de uma forma diferente. A maioria dos alunos conseguiu realizar as atividades com o auxilio dos bolsistas e os que tinham maior facilidade ajudavam aqueles que estavam com dificuldade, com isso foi possível mostrar que o trabalho em grupo facilitaria a resolução. O PIBID valoriza a formação docente, inserindo acadêmicos de licenciatura, que é o nosso caso, na realidade escolar, por meio da reflexão conjunta com professores, supervisores, bem como a observação e participação do ambiente escolar.

5 8. ANEXOS (FOTOS, VÍDEOS, ETC). 8.1 Tarefas propostas Tarefa 1 Observe a sequência de figuras abaixo: Depois de entregar as cópias, pediremos que os alunos observem as figuras da sequência e respondam os três itens a seguir a) Desenhe a 4ª figura; b) Diga quantos quadradinhos escuros têm a 10ª figura, sem construí-la; c) Complete a tabela referente a sequência dada. N DE ORDEM DA FIGURA N N DE PRETOS Nº DE BRANCOS TOTAL DE

6 Tarefa 2 Observe as sequências de figuras a seguir e preencha as tabelas: Sequência N DE ORDEM DA FIGURA N N DE PRETOS Nº DE BRANCOS TOTAL DE Sequência N DE ORDEM DA FIGURA N N DE PRETOS Nº DE BRANCOS TOTAL DE

7 Sequência N DE ORDEM DA FIGURA N N DE PRETOS Nº DE BRANCOS TOTAL DE

8 Tarefa 3 Lucas ficou sem parceiro para jogar bolita (bolinhas de gude); então pegou sua coleção de bolinhas e formou uma sequência de T (a inicial de seu nome), conforme a figura: Supondo que Lucas conseguiu formar 10 T seguindo o mesmo padrão. Considere esse padrão para completar a tabela a seguir e responda as questões na sequência: Posição do T 1ª 2ª 3ª 4ª n-ésima Número de Bolinhas de gude a) Quantas bolinhas foram necessárias para formar o décimo T? b) Qual é a expressão algébrica que possibilita determinar o número de bolinhas necessárias para formar o n-ésimo T?

9 Tarefa 4 Observe a sequência, complete a tabela e, em seguida, responda às questões: Complete a tabela que relaciona o número de latinhas com a posição ocupada na sequência: Posição 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª Quantidade de Latinhas a) Quantas latinhas haverá na 6ª posição? b) É possível encontrar uma fórmula para calcular o número de latinhas em uma pilha de ordem n? Se sim, qual é essa fórmula. Tarefa 5 Observe esta sequência de números em forma de retângulo. R 1 = 2 R 2 = 6 R 3 = 12 a) Escreva os próximos dois números da sequência. b) Qual o valor de R 20? c) Descubra a fórmula que dá o valor de R n.

10 Tarefa 6 Uma sequência de mosaicos quadrados é construída com azulejos quadrados pretos e brancos, todos do mesmo tamanho, sendo o primeiro formado por um azulejo branco cercado por azulejos pretos, o segundo por quatro azulejos brancos cercados por azulejos pretos e assim, sucessivamente, como indica a figura. Se numa sequência de mosaicos formada de acordo com esta regra forem usados 80 azulejos pretos, quantos serão os azulejos brancos utilizados? Tarefa 7 As figuras mostram duas mesas da Pizzaria Sole Mio, uma com 8 pessoas e 3 pizzas e outra com 10 pessoas e 4 pizzas. a) Sabendo que numa das mesas foram colocadas 10 pizzas, quantas pessoas estariam sentadas? b) E se fossem 31 pizzas, quantas pessoas estariam sentadas ao redor da mesa? c) João decidiu comemorar o seu aniversário neste restaurante e convidou 57 pessoas. Quantas pizzas terá de encomendar para a sua mesa?

11 8.2 Resolução das Tarefas Propostas Tarefa 1 Observe a sequência de figuras abaixo: Depois de entregar as cópias, pediremos que os alunos observem as figuras da sequência e respondam os três itens a seguir. a) Desenhe a 4ª figura; b) Diga quantos quadradinhos escuros têm a 10ª figura, sem construí-la; A décima figura terá N quadradinhos escuros, sendo N o número de ordem da figura, e como N=10, a figura apresentará 10 quadradinhos escuros. c) Complete a tabela referente a sequência dada. N DE ORDEM DA FIGURA N DE PRETOS Nº DE BRANCOS TOTAL DE N N 2.N (N + 2) = 3.N + 6

12 Tarefa 2 Observe as sequências de figuras a seguir e preencha as tabelas: Sequência 1 1 N DE ORDEM DA FIGURA 2 N DE PRETOS 3 Nº DE BRANCOS TOTAL DE N N 2 N N + 4 N 2 4.N + 4 (N + 2) N 2 4.(N + 1) (N + 2) 2 N N + 4 Sequência 2 1 N DE ORDEM DA FIGURA 2 N DE PRETOS 3 Nº DE BRANCOS TOTAL DE N N (N + 2) 2 N 2 4 N N + 4 N N (N + 2) 2 N N + 4

13 Sequência N DE ORDEM DA FIGURA N DE PRETOS Nº DE BRANCOS TOTAL DE N N N N + 1

14 Tarefa 3 Lucas ficou sem parceiro para jogar bolita (bolinhas de gude); então pegou sua coleção de bolinhas e formou uma sequência de T (a inicial de seu nome), conforme a figura: Supondo que Lucas conseguiu formar 10 T seguindo o mesmo padrão. Considere esse padrão para completar a tabela a seguir e responda as questões na sequência: Posição do T 1ª 2ª 3ª 4ª n-ésima Número de Bolinhas de gude N + 1 a) Qual é a expressão algébrica que possibilita determinar o número de bolinhas necessárias para formar o n-ésimo T? A expressão que calcula o número de bolinhas do n-ésimo T é: 4.N + 1. b) Quantas bolinhas foram necessárias para formar o décimo T? Sendo N = 10, temos: = 41 bolinhas.

15 Tarefa 4 Observe a sequência, complete a tabela e, em seguida, responda às questões: Complete a tabela que relaciona o número de latinhas com a posição ocupada na sequência: Posição 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª Quantidade de Latinhas a) Quantas latinhas haverá na 6ª posição? Na sexta posição adicionaremos 6 latinhas para formar a base da figura, então teremos = 21 latinhas. b) É possível encontrar uma fórmula para calcular o número de latinhas em uma pilha de ordem n? Se sim, qual é essa fórmula. Para encontrar o número de latinhas da n-ésima ordem, temos que analisar como a sequência foi construída: Posição Quantidade de Latinhas N N i Uma possível solução para encontrar a fórmula que representa i 1, ou seja, o somatório de 1 até n, seria utilizar a mesma ideia de Carl Friedrich Gauss, generalizando-a: n

16 N-1 + N Sabemos que essa soma admite um valor S, que igualamos a expressão acima, obtendo: N-1 + N = S Somamos a mesma sequência, mudando apenas a ordem das parcelas, começando por N e terminando em 1, veja: N-1 + N = S N + N = S Somando as duas igualdades, obteremos: (1 + N) + (2 + N 1) (N 1 + 2) + (N + 1) = 2.S (N + 1) + (N + 1) (N+ 1) + (N + 1) = 2.S A parcela N + 1 se repete N vezes, logo podemos reescrevê-la como N.(N + 1). N.(N + 1) = 2.S Lembrando que o nosso objetivo é encontrar o valor de S, podemos então dividir ambos os lados da equação por 2, obtendo: N.( N 1) S 2 N.( N 1) 2. S 2 2

17 Tarefa 5 Observe esta sequência de números em forma de retângulo. R 1 = 2 R 2 = 6 R 3 = 12 a) Escreva os próximos dois números da sequência. Vamos construir uma tabela para tentar descobrir a regra dessa sequência: Número de Ordem da Figura Quantidade de Triângulos 1 1.(1+1) = 1.2 = (2+1) =2.3 = (3+1) = 3.4 = (4+1) = 4.5 = (5+1) = 5.6 = 30 b) Qual o valor de R 20? Para R 20, o número de triângulos será: 20.(20+1) = = 420 triângulos que compõem a figura em formato de retângulo. c) Descubra a fórmula que dá o valor de R n. Se tivéssemos uma figura de ordem n, a fórmula que descreveria a quantidade de triângulos necessária para compor o retângulo será: R n = n.(n+1) = n 2 + n

18 Tarefa 6 Uma sequência de mosaicos quadrados é construída com azulejos quadrados pretos e brancos, todos do mesmo tamanho, sendo o primeiro formado por um azulejo branco cercado por azulejos pretos, o segundo por quatro azulejos brancos cercados por azulejos pretos e assim, sucessivamente, como indica a figura. Se em um dos quadrados formado nessa sequência de mosaicos de acordo com esta regra forem usados 80 azulejos pretos, quantos serão os azulejos brancos utilizados? 1 2 Uma possível solução 3 Para responder a essa questão, precisamos analisar qual é a relação entre o número de azulejos brancos, pretos e a soma deles. Vamos construir uma tabela para facilitar a visualização: Número de Ordem da Sequência Quantidade de Azulejos Brancos Quantidade de Azulejos Pretos Quantidade Total de Azulejos 1 1 (1 + 2) = (2 + 2) = (3 + 2) = N N 2 N N + 4 N 2 4.N + 4 (N + 2) N 2 4.(N + 1) (N + 2) 2 Como foram usados 80 azulejos pretos, então podemos igualar a regra que determina a quantidade de azulejos pretos a 80, com o objetivo de descobrir o número de ordem da figura. 4.( N 1) 80 N 1 20 N 19 Logo, para encontrar a quantidade de azulejos brancos, basta substituir o valor de N na regra que determina o número de azulejos brancos: N Assim, temos 361 azulejos brancos na 19ª figura, que contém 80 azulejos pretos.

19 Tarefa 7 As figuras mostram duas mesas da Pizzaria Sole Mio, uma com 8 pessoas e 3 pizzas e outra com 10 pessoas e 4 pizzas. a) Sabendo que numa das mesas foram colocadas 10 pizzas, quantas pessoas estariam sentadas? Podemos pensar do seguinte modo: nas laterais das pizzas há duas pessoas para cada pizza, que nesse caso seriam 2.10 = 20 pessoas, e somamos com as duas pessoas da das extremidades da mesa, obtendo assim 22 pessoas, considerando que todas os lugares estariam ocupados. b) E se fossem 31 pizzas, quantas pessoas estariam sentadas ao redor da mesa? Pensando do mesmo modo, teríamos duas pessoas para cada lateral das mesas, ou seja, 2.31 = 62 pessoas, mais as duas pessoas das extremidades das mesas, obtendo assim 64 pessoas. c) João decidiu comemorar o seu aniversário neste restaurante e convidou 57 pessoas. Quantas pizzas ele terá de encomendar para a sua mesa? Ainda sim podemos utilizar o mesmo raciocínio, mas nesse caso primeiro descontamos as 2 pessoas das extremidades da mesa, obtendo 57-2 = 55, e em seguida dividimos o total de pessoas por 2, já que para cada duas pessoas nas laterais há uma pizza. Ao efetuar a divisão de 55 por 2, obtemos 27,5, então João deve pedir 28 pizzas. Se contarmos o número de lugares na mesa, teremos: = 58. Logo, a mesa que João reservar terá um lugar vago, pois ele convidou 57 pessoas.

20 Tabelas com o Resumo dos Planos Indicador de atividade 1. Objetivo da atividade Facilitar o entendimento de vários temas da matemática envolvendo a expressão de fatos genéricos e explorar as diversas estruturas algébricas fazendo com que o aluno generalize seu pensamento e simplifique questões. Descrição atividade (como esta será realizada - metodologia) A tendência metodológica que norteia o direcionamento da aula é a Investigação Matemática. Indicador da atividade 1. Resultados esperados Com essa sequência de tarefas esperamos que os alunos adquiram mais confiança em seu raciocínio, tornando-se mais criativos, e consigam compreender padrões e construir expressões algébricas que determinam as regras que esses padrões seguem, assim como resolver equações e descobrir os valores de uma sequência para qualquer um de seus termos. Indicador da atividade 1. Contribuição para a Formação Docente Essa sequência de tarefas com aos alunos nos possibilitou observar as dificuldades encontradas durante uma aula e alguns caminhos que podemos utilizar para superá-las, tanto por parte dos bolsistas como dos alunos participantes da oficina. Essa sequência foi gratificante, pois notamos o quanto os alunos ficavam satisfeitos quando conseguiam resolver as tarefas propostas, e sentiam-se estimulados a tentar novos desafios.

21 Indicador da atividade PLANO DE ATIVIDADES DO COORDENADOR (Reuniões Semanais) PROFESSOR FÁBIO Observação: as reuniões semanais da equipe devem contemplar as atividades planejadas pelos coordenadores. CRONOGRAMA 2013 Atividade Mês de Início Mês de Término Agosto Agosto Apucarana, de de Professor Supervisor Coordenador Subprojeto