PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC/SP. Mônica Souto da Silva Dias

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1 1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC/SP Mônica Souto da Silva Dias Um estudo da demonstração no contexto da licenciatura em Matemática: uma articulação entre os tipos de prova e os níveis de raciocínio geométrico Tese apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de DOUTORA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob a orientação da) Professora Doutora Cileda de Queiroz e Silva Coutinho. São Paulo 2009

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3 2 Banca Examinadora

4 3 Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Tese por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos. Assinatura: Local e Data:

5 E para julgar sobre o valor, vê-se aparecer com nitidez uma utilidade para o espírito, espiritualmente bem dinâmico, ao passo que a utilidade para a vida é especialmente estática. Gaston Bachelard 4

6 5 Ao meu esposo José Reynaldo, grande incentivador desta caminhada. Aos meus filhos Bruno e Marina, cúmplices desde o início. Ao meu filho Pedro, presente de Deus em meio a esta trajetória.

7 6 AGRADECIMENTO Quero expressar a minha gratidão a todos que de alguma forma, contribuíram para a realização deste trabalho. A minha orientadora Professora Doutora Cileda de Queiroz e Silva Coutinho, que me acolheu em momento de transição e indefinições, e soube conduzir com profissionalismo, competência, paciência, amizade e bom humor a orientação deste trabalho. As Professores Doutores que compuseram as bancas, Antônio Vicente Marafiotti Garnica, Maria Alice Gravina, Celina Aparecida Almeida Pereira Abar, Saddo Ag Almouloud e Dione Lucchesi de Carvalho, a contribuição de vocês impulsionou de modo ímpar o desenvolvimento deste trabalho. Aos Professores Doutores Maria Cristina Souza de A. Maranhão, Bárbara Lutaif Bianchini, Leila Zardo Puga, Ubiratan D Ambrosio, Sílvia Dias Alcântara Machado, Wagner Rodrigues Valente, Saddo Ag Almouloud, Célia Maria Carolino Pires, Ana Paula Jahn, Siobhan Victoria Healy e Janete Bolite Frant pelo conhecimento construído. A Direção da Faculdade de Filosofia de Campos e ao Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia, Campus Campos Centro, pelo incentivo. Ao Professor Mestre Salvador Tavares, que sempre demonstrou acreditar nesta conquista. Aos alunos que aceitaram participar desta investigação. Sem vocês, este trabalho não existiria. A minha mãe Maria Francisca, pelo seu amor. A minha irmã Simone, pelo carinho e disponibilidade. A minha sogra Cleuza, pelo apoio incondicional. A José Reynaldo, o melhor amigo, por tudo. Aos meus filhos queridos Bruno e Marina, por aceitarem responsabilidades para além de suas idades, durante as minhas ausências. Ao Senhor Deus, fonte de toda energia, pela orientação constante.

8 7 RESUMO O objetivo principal deste trabalho foi investigar a influência dos ambientes de geometria dinâmica na construção de argumentações, por alunos da licenciatura em Matemática. Buscamos também estudar uma possível articulação entre os níveis de desenvolvimento geométrico existentes e os tipos de prova que ele produz. A pesquisa realizada caracteriza-se como qualitativa, com aspectos de um estudo de caso. Os procedimentos de coleta de dados foram os registros escritos dos alunos, as construções geométricas destes gravadas no software Geogebra, a áudiogravação, e entrevistas semiestruturadas. A revisão bibliográfica indicou a necessidade de estudos sobre o ensino e aprendizagem de demonstrações em cursos de formação inicial de professores de Matemática. A análise dos resultados por nós obtidos, permitiu observar que o ambiente de geometria dinâmica influi pouco na construção da argumentação pelos alunos. Nossos sujeitos de pesquisa não tinham familiarização com as ferramentas do ambiente, e o arrastar possibilitado pelo software, tornou-se muito mais uma forma de validação empírica das conjecturas. Os resultados permitem também inferir a existência de um nível intermediário entre os níveis existentes designados por geometria spatio-grafique (G1) e geometria proto-axiomática (G2), que acolha o momento de transição entre os mesmos. Este nível intermediário teria como características a instabilidade no tipo de objeto invocado (físico ou teórico) e no tipo de validação (perceptiva ou teórica). Observamos que os tipos de prova empirismo ingênuo e experiência crucial surgiram como resultado de raciocínios geométricos no nível G1. E o tipo de prova experiência mental apareceu associada a raciocínio geométrico no nível G2. Tais observações também colaboraram para a certificação da necessidade de um nível de raciocínio geométrico intermediário entre G1 e G2. Palavras-Chave: Formação inicial de professores de Matemática, demonstração, prova, ambientes de geometria dinâmica, Geometria.

9 8 ABSTRACT The main purpose of this research was to investigate the influence of dynamic geometry environments in building up arguments by teaching graduating students in Mathematics. We also searched a probable articulation between the student s geometrical development levels and the types of tests he makes. The research done distinguishes itself as qualitative with aspects from a study case. The procedures for collecting the data were the students`written records, their geometrical constructions taped in Geogebra software, dialogues audio-recorded, and interviews semistructured. The bibliographical review indicated a need for studies about the learning process of demonstrations in Mathematics teaching initial formation courses. The results analysis gathered by us permitted to observe that the dynamic geometrical environment has little influence on the arguments construction by the students. Our research subjects were not familiar with the environment tools and the to drag provided by the software became much more a way of confirming the empirical suppositions. The results also permit to infer the existence of an intermediate level between the existent levels designed by spatio-grafique geometry (G1) and protoaxiomática geometry (G2), that welcomes the transition moment between them. This intermediate level would have as characteristics the instability in the type of invocated object (physical and theorical) and in the type and validation (perceptive or theorical). We observed that the types of tests naïf empirism and crucial experience came up as a result of geometrical thinking in level G1, while the type of test mental experience appeared associated to geometrical thinking in level G2. Such observations also cooperated for the certain need of an intermediate geometrical thinking level between G1 and G2. Key-words: Initial Mathematics teaching formation, demonstration, proof, dynamic geometrical environments, Geometry.

10 9 LISTA DE FIGURAS Figura 1: Interpretação de Parzysz para os níveis de desenvolvimento do raciocínio geométrico, segundo Van Hiele, idealizado pela autora deste trabalho Figura 2: Interpretação de Parzysz para a relação de transição entre os tipos de geometria identificados por Houdement e Huzniak, esquematizado pela autora deste trabalho Figura 3: Mudanças entre domínios proposta por Henry (1997) e adotada em Coutinho (2001) Figura 4: Nível intermediário entre GI e GII Figura 5: Quadrilátero Figura 6: Quadrado Figura 7: Posições do segmento MN na folha de respostas dos itens 3, 5 e 8, respectivamente, da pesquisa realizada por Parzysz Figura 8: Construção relativa a tarefa da sessão experimental Figura 9: Tela do software Geogebra com as cinco regiões Figura 10: Tela do software Geogebra exibindo as opções de um dos ícones 84 Figura 11: Protocolo de construção de uma figura feita por um aluno Figura 12: Quadrilátero construído pela autora com par de esquadros e compasso Figura 13: Histórico da construção esperada na questão Figura 14: Esboços à mão livre feitos por Guilherme Figura 15: Quadrilátero construído por Guilherme Figura 16: Quadrado construído por Rita Figura 17: Triângulo com baricentro construído por Rita Figura 18: Ângulo e sua bissetriz desenhados por Guilherme Figura 19: Linha poligonal construída por Guilherme Figura 20: Quadrilátero desenhado por Rita Figura 21: Quadrilátero qualquer desenhado por Rita Figura 22: Poligonal construída por Guilherme Figura 23: Quadrilátero com bissetrizes de vértices opostos construído por Rita

11 10 Figura 24: Desenhos produzidos por Patrícia Figura 25: Quadriláteros construídos por Patrícia Figura 26: Quadriláteros produzidos por Patrícia Figura 27: Desenhos produzidos por Diana Figura 28: Construções elaboradas por Diana Figura 29: Desenhos produzidos por Diana Figura 30: Desenhos produzidos por Júlia Figura 31: Retângulo construído por Júlia Figura 32: Retângulo construído por Helena Figura 33: Paralelogramo construído por Júlia Figura 34: Losango construído por Helena Figura 35: Trapézio construído por Júlia Figura 36: Construção inacabada de um trapézio feito por Helena Figura 37: Circunferência com retas tangentes construída por Helena Figura 38: Tela do Geogebra com a construção de Rita Figura 39: Tela do Geogebra com a construção de Guilherme Figura 40: Quadrado construído por Diana Figura 41: Quadrado construído por Patrícia Figura 42: Retângulo construído por Diana Figura 43: Quadrilátero qualquer com mediatrizes e bissetrizes construído por Patrícia Figura 44: Paralelogramo com bissetrizes construído por Diana Figura 45: Retângulo com bissetrizes construído por Diana Figura 46: Quadrilátero qualquer com bissetrizes construído por Patrícia Figura 47: Trapézio retângulo com bissetrizes construído por Diana Figura 48: Quadrilátero qualquer com bissetrizes construído por Patrícia Figura 49: Losango com bissetrizes construído por Diana Figura 50: Quadrilátero qualquer construído por Patrícia, com bissetrizes e a circunferência com centro na interseção das mesmas Figura 51: Quadrilátero qualquer com bissetrizes construído por Patrícia Figura 52: Quadrilátero construído por Patrícia Figura 53: Quadrilátero construído por Patrícia Figura 54: Quadriláteros construídos por Júlia Figura 55: Quadrilátero construído por Júlia

12 11 Figura 56: Quadrilátero qualquer com bissetrizes construído por Júlia Figura 57: Paralelogramo Figura 58: Trapézio qualquer Figura 59: Quadriláteros construídos no software Geogebra Figura 60: Triângulos com área que verificam (à direita) e que não verificam (à esquerda) a relação 4 para Figura 61: Paralelogramo construído por Rita Figura 62: Paralelogramo construído por Guilherme Figura 63: Trapézio isósceles construído por Rita Figura 64: Trapézio qualquer construído por Rita Figura 65: Trapézio qualquer construído por Guilherme Figura 66: Quadrilátero qualquer desenhado por Rita Figura 67: Quadrilátero qualquer desenhado por Guilherme Figura 68: Paralelogramo construído por Patrícia Figura 69: Trapézio isósceles construído por Patrícia Figura 70: Quadrilátero qualquer construído por Patrícia Figura 71: Paralelogramo construído por Júlia Figura 72: Trapézio retângulo construído por Helena Figura 73: Quadrilátero qualquer construído por Júlia Figura 74: Paralelogramo construído por Rita no Geogebra Figura 75: Trapézio qualquer construído por Rita Figura 76: Paralelogramo qualquer construído por Guilherme Figura 77: Trapézio qualquer construído por Guilherme Figura 78: Quadrilátero qualquer construído por Rita no Geogebra Figura 79: Quadrilátero qualquer construído por Guilherme no Geogebra Figura 80: Paralelogramo construído por Diana no Geogebra Figura 81: Paralelogramo construído por Patrícia no Geogebra Figura 82: Trapézio qualquer construído por Diana no Geogebra Figura 83: Trapézio qualquer construído por Patrícia no Geogebra Figura 84: Quadrilátero qualquer construído por Diana no Geogebra Figura 85: Quadrilátero qualquer construído por Patrícia no Geogebra Figura 86: Paralelogramo construído por Júlia no Geogebra Figura 87: Trapézio qualquer construído por Júlia no Geogebra Figura 88: Quadrilátero qualquer construído por Júlia no Geogebra

13 12 LISTA DE QUADROS Quadro 1: Síntese da classificação dos níveis de raciocínio geométrico segundo Parzysz Quadro 2: Exemplos de respostas de alunos Quadro 3: Indicação de fases de resolução da primeira questão Quadro 4: indicação de fases de resolução da segunda questão Quadro 5: Alteração das variáveis didáticas da primeira questão Quadro 6: Alteração das variáveis didáticas da segunda questão Quadro 7: Relações entre níveis de raciocínio geométrico e tipos de prova.. 203

14 13 SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS 9 LISTA DE QUADROS 12 CONSIDERAÇÕES INICIAIS 16 CAPÍTULO 1 20 REFERENCIAL TEÓRICO Classificação das Geometrias segundo Parzysz Níveis de desenvolvimento do pensamento geométrico segundo Van Hiele Tipos de Geometria segundo Houdement & Huzniak Relações com o espaço no ensino e aprendizagem de Geometria A proposta apresentada por Parzysz A questão didática e a articulação G1- G A problemática da precisão e da dedução A articulação G2-G Processos de validação e tipos de prova segundo Balacheff Situações e processos de validação Provas pragmáticas e provas intelectuais Tipos de provas Articulações possíveis entre a classificação das geometrias segundo Parzysz e os tipos de prova segundo Balacheff 35 CAPÍTULO 2 37 O ENSINO E A APRENDIZAGEM DE DEMONSTRAÇÕES A concepção de demonstração adotada neste trabalho Algumas considerações O papel da demonstração O ensino e aprendizagem de demonstrações: resultados de pesquisa A Tecnologia informática e o desenvolvimento do processo de argumentação e demonstração em Geometria A tecnologia e o ensino e aprendizagem de Geometria A tecnologia e a demonstração em Geometria O ensino e a aprendizagem de demonstração em Geometria utilizando ambientes de geometria dinâmica em pesquisa A demonstração na formação do professor de Matemática da Educação Básica Algumas considerações A demonstração no currículo da formação inicial de professores da Educação Básica 67 CAPÍTULO 3 71 PROBLEMÁTICA E METODOLOGIA Problemática 71

15 Metodologia Caracterização da pesquisa A atividade As questões da atividade A primeira questão A segunda questão Os ambientes utilizados O ambiente de geometria dinâmica Geogebra Alguns aspectos da coleta de dados Processo de análise dos dados 86 CAPÍTULO 4 87 FASE EXPERIMENTAL E ANÁLISE A análise teórica da questão Análise matemática no ambiente papel e lápis Análise didática no ambiente papel e lápis Análise matemática no ambiente geometria dinâmica Geogebra Análise didática no ambiente de geometria dinâmica Geogebra Experimentação da questão 1 no ambiente papel e lápis Desenvolvimento das estratégias da dupla Rita/Guilherme Desenvolvimento das estratégias da dupla Diana / Patrícia Desenvolvimento das estratégias da dupla Júlia/Helena Síntese da análise dos dados da questão 1 no ambiente papel e lápis Experimentação da questão 1 no ambiente geometria dinâmica Geogebra Desenvolvimento das estratégias da dupla Rita/Guilherme Desenvolvimento das estratégias da dupla Diana/Patrícia Desenvolvimento das estratégias da dupla Júlia/Helena Síntese das análises da questão 1 no ambiente de geometria dinâmica Geogebra Análise teórica da questão Análise matemática no ambiente papel e lápis Análise didática no ambiente papel e lápis Análise matemática no ambiente de geometria dinâmica Geogebra Análise didática no ambiente de geometria dinâmica Geogebra Experimentação da questão 2 no ambiente papel e lápis Desenvolvimento das estratégias da dupla Rita/Guilherme Desenvolvimento das estratégias da dupla Diana / Patrícia Desenvolvimento das estratégias da dupla Júlia/Helena Síntese da análise da questão 2 no ambiente papel e lápis Experimentação da questão 2 no ambiente geometria dinâmica Geogebra Desenvolvimento das estratégias da dupla Rita/Guilherme Desenvolvimento das estratégias da dupla Diana / Patrícia Desenvolvimento das estratégias da dupla Júlia/Helena 192

16 Síntese da análise da questão 2 no ambiente de geometria dinâmica Geogebra Quadros síntese dos resultados obtidos nos ambientes papel e lápis e Geogebra e outras considerações A relação entre os níveis de raciocínio e os tipos de prova 202 CONSIDERAÇOES FINAIS 204 REFERÊNCIAS 209

17 16 CONSIDERAÇÕES INICIAIS A demonstração em Geometria sempre foi algo presente na minha vida profissional. Tão logo concluí o curso de Licenciatura em Matemática, fui convidada a integrar o corpo docente da Instituição na qual me formei, ficando sob a minha responsabilidade lecionar a disciplina Geometria de Posição em um horário de aula (50 minutos), durante um ano letivo. Eu não havia estudado, no curso de licenciatura, a maior parte do conteúdo com o qual iria trabalhar. Fui autodidata tanto no que diz respeito ao conteúdo quanto à metodologia de ensino. No início, eram aulas essencialmente expositivas, que cansavam os alunos que, por sua vez, agradeciam por ter apenas um horário semanal desta disciplina tão difícil. Eu não os ensinava a demonstrar, nem saberia como fazê-lo. O que eu realizava em sala de aula era apresentar as demonstrações do livro, explicar-lhes e, na avaliação, cobrar-lhes algumas daquelas demonstrações apresentadas durante as aulas. No ano seguinte, propus à nova turma construir modelos das situações geométricas com material concreto a fim de que compreendesse melhor a distinção entre hipótese e tese de cada teorema. Com o mesmo objetivo, inseri na aula momentos de reflexão sobre cada teorema. Outros recursos, tais como seminários 1 sobre a importância da demonstração em Geometria e apresentações orais organizadas pelos alunos, foram utilizados, mas nenhum deles foi suficiente para que a maioria compreendesse e aceitasse a necessidade do estudo das demonstrações. Muitos alunos diziam em tom irônico: Não precisa demonstrar, eu acredito em você. Ou ainda: Já foi demonstrado pelos matemáticos, então, eu não preciso demonstrar. Decorridos 22 anos, ainda vivencio, em sala de aula, situações como as descritas acima, ou seja, ainda há, por parte da grande maioria dos alunos da licenciatura em Matemática, grande resistência ao estudo das demonstrações em Geometria. 1 Estes seminários tiveram como texto base o livro A Demonstração em Geometria do autor A.I. Fetissov com tradução de Hygino H. Domingues.

18 17 Por meio de minha formação continuada, formal e informal, estudei softwares de geometria dinâmica e refleti sobre a sua utilização para o ensino em várias áreas da Matemática, em especial de Geometria. Foi com base nessas reflexões e estudos que, em 2002, elaborei duas atividades 2 na disciplina Geometria I, para alunos do primeiro período do curso de licenciatura em Matemática de uma instituição pública do interior do Estado do Rio de Janeiro, e que passo a descrever nos parágrafos a seguir. Duas atividades distintas foram propostas a dois grupos de alunos, A e B. O grupo A era composto por 16 alunos e o grupo B por 18, todos ingressantes no primeiro período do curso de licenciatura em Matemática citado no parágrafo anterior. É importante ressaltar que tais alunos cursavam a licenciatura há três semanas, logo não tinham familiaridade com processos de demonstração e tarefas de investigação, já que estes tipos de atividades não são usualmente abordadas no Ensino Médio. As atividades foram as seguintes: Atividade 1 Considere sobre uma reta r um segmento AB e um ponto móvel P pertencente à reta r. Sejam M e N os pontos médios de AP e PB, respectivamente. O que se pode dizer a respeito de MN? Atividade 2 Construa uma reta e sobre ela marque três pontos distintos A, B e P. Determine os pontos médios M e N dos segmentos AP e PB respectivamente. Meça os segmentos AP, PB e MN. Mova o ponto P sobre a reta. Que relação existe entre AP, PB e MN? Enquanto a atividade 1 foi desenvolvida, em sala de aula; a atividade 2 foi realizada no laboratório de informática com o software Cabri-Géomètre II, em grupos de dois alunos. O grupo A executou primeiramente a atividade 2 e, quatro dias depois executou a atividade 1. O grupo B realizou a atividade 1 antes da atividade 2, com intervalo de dois dias. As atividades tratam de uma mesma situação. Verdadeiramente, é o mesmo problema, apenas enunciado de forma distinta, ou seja, um problema proposto cuja variável didática por nós escolhida foi o enunciado. 2 O relato destas atividades resultou num trabalho que foi apresentado na forma de pôster intitulado Contribuições de um ambiente informatizado para a resolução de questões abertas em Geometria na 55.ª Reunião Anual da Sociedade Brasileira para o Progresso da Ciência, realizado em Recife PE, em 2003.

19 18 Entende-se por variável didática a(s) escolha(s) feita(s) pelo professor de forma que uma mudança no valor dessa variável provoca a alteração na estratégia de resolução construída pelo aluno (ALMOULOUD, 2007). As soluções apresentadas pelos alunos foram agrupadas em três tipos que são descritos a seguir: Solução 1 São soluções que consideramos como incompletas; MN = AP + PB, ou MN 2 AP + PB = = 2 AB 2 AB, ou ainda apenas MN=. 2 Solução 2 A solução completa: Se P está entre A e B, então MN = AP + PB ; se A está entre P 2 e B ou B está entre A e P, então MN= AP PB 2 AB. Além disso, MN=. 2 Solução 3 Este terceiro tipo concentrou as soluções erradas ou nenhuma solução. O grupo A apresentou maior desenvoltura na execução da atividade na sala de aula e relacionou imediatamente o problema dado no laboratório (atividade 2) com o problema dado em sala de aula (atividade 1). Entretanto, o grupo B apresentou dificuldade maior, no laboratório, que o grupo A e não relacionou as atividades. Os alunos do grupo A, que não chegaram a soluções erradas no laboratório, obtiveram respostas satisfatórias na sala de aula. De alguma forma, o estudo com o software Cabri Géomètre II, feito anteriormente, abriu caminhos para a obtenção de outras soluções, possibilitando maior interação entre os alunos, assim como o problema proposto e as várias possibilidades para a solução foram mais rapidamente vislumbrados. No entanto, é interessante notar que o fato da resolução ser primeiramente, em sala de aula, não melhorou em nada o desempenho em relação ao raciocínio desenvolvido no laboratório. Os resultados obtidos com a realização destas atividades aliados às minhas observações de como os alunos da licenciatura em Matemática lidam com as demonstrações e leituras que abordavam o ensino e aprendizagem com softwares

20 19 de geometria dinâmica 3, levaram-me a elaborar a seguinte conjectura: Do mesmo modo que um software de geometria dinâmica possibilitou aos alunos a construção de soluções para um problema de Geometria, poderia contribuir para a elaboração de argumentos para a construção de uma demonstração em Geometria? Ou: Em que medida a utilização de um software de geometria dinâmica permitirá ao aluno desenvolver conjecturas e argumentações relativas a uma situação geométrica que se quer demonstrar? Estas questões nortearam o delineamento desta pesquisa. Será estudada a influência da utilização de um software de geometria dinâmica, o Geogebra, no desenvolvimento da argumentação e elaboração de demonstrações por alunos da licenciatura em Matemática. Este trabalho insere-se na linha de pesquisa Tecnologias da Informação e Educação Matemática, do Programa de Estudos Pós- Graduados em Educação Matemática, da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. No primeiro capítulo, são apresentados os referenciais teóricos sobre os quais se apoia a análise dos dados e a construção de inferências a respeito do desenvolvimento do raciocínio geométrico. As considerações sobre o ensino e aprendizagem de demonstrações estão expostas no capítulo dois. Este capítulo também inclui uma discussão dos resultados de pesquisas sobre o desenvolvimento do processo de argumentação e demonstração com uso da tecnologia, e a demonstração na formação inicial do professor de Matemática, alicerçada na bibliografia consultada. No terceiro capítulo, é descrita a problemática inserida nas discussões presentes, nos capítulos anteriores, bem como a metodologia e as opções metodológicas para a elaboração dos instrumentos de pesquisa e para a fase experimental, além de aspectos da coleta de dados. No quarto capítulo, é apresentada a fase experimental da nossa pesquisa e a análise dos dados. E por fim, sintetizam-se os resultados do estudo realizado e são sugeridas as possibilidades de desdobramento da pesquisa nas considerações finais. 3 O termo Dynamic Geometry é marca registrada da Key Curriculum Press, empresa responsável pela comercialização do software de geometria dinâmica denominado Geometer s Sketchpad. São denominados softwares de geometria dinâmica todos aqueles que permitem o manuseio na tela via mouse ou teclado dos elementos geométricos construídos pelo usuário, além de manter as relações de construção existentes entre os objetos base da figura.

21 20 CAPÍTULO 1 REFERENCIAL TEÓRICO Neste capítulo, são apresentadas as teorias que subsidiaram a análise dos dados obtidos nesta pesquisa Classificação das Geometrias segundo Parzysz Parzysz (2001, 2006) desenvolveu um quadro teórico para o estudo do raciocínio geométrico dos sujeitos, buscando estabelecer uma articulação entre percepção e dedução. A construção deste quadro teórico foi baseada em pesquisas no domínio de ensino e aprendizagem de Geometria, realizadas por Van Hiele (1984), Houdement & Huzniak (1998) e Henry (1999). Apresentaremos na sequência uma síntese da leitura feita por Parzysz dos trabalhos realizados por esses pesquisadores, conforme apresentado em seus textos Níveis de desenvolvimento do pensamento geométrico segundo Van Hiele Van Hiele estabeleceu cinco níveis de desenvolvimento do pensamento geométrico da criança: visualização, análise, dedução informal, dedução formal e rigor, designados, respectivamente por uma numeração de zero a quatro. No nível 0 (visualização), o aluno distingue objetos geométricos por sua forma como um todo, isto é, por seu aspecto geral. No nível 1 (análise), o aluno começa a observar propriedades das figuras, mas não é capaz de explicá-las. No nível 2 (dedução informal), o aluno consegue estabelecer relações inter e intrafigurais, mas não é capaz de realizar uma dedução rigorosa, embora compreenda as definições, trabalhe com argumentação informal e compreenda uma demonstração. No nível 3 (dedução formal), o aluno é capaz de desenvolver uma demonstração no interior de um sistema axiomático, e compreende o sentido das noções primitivas, definições, axiomas e teoremas. No último e quinto nível (rigor), ocorre uma ampliação do nível três com relação aos sistemas axiomáticos e ao caráter abstrato da Geometria, pois

22 21 o aluno é capaz de compreender diferentes sistemas axiomáticos e relacioná-los. Nesta fase, é possível trabalhar com as geometrias não euclidianas. Parzysz (2001, 2006) coloca de um lado os níveis 0 e 1, agrupando-os como geometria concreta, na qual os objetos são materiais e a validação é perceptiva. De outro lado, o autor reúne os níveis 3 e 4, denominando-os de geometria teórica, na qual os objetos são abstratos e a validação é uma demonstração. Deste modo, Parzysz (2001,2006) considera o nível 2 como um nível intermediário entre estas duas geometrias, ao longo do qual o aluno se movimenta da fase perceptiva para a fase teórica (Figura 1): Nível 0 Visualização Nível 1 Análise Geometria Concreta Nível 2 Dedução Informal Nível 3 Dedução formal Nível 4 Rigor Geometria Teórica Figura 1: Interpretação de Parzysz para os níveis de desenvolvimento do pensamento geométrico segundo Van Hiele, esquematizada pela autora deste trabalho. Segundo Parzysz, esta classificação em níveis busca modelar a compreensão do aluno, e não a sua idade cronológica Tipos de Geometria segundo Houdement & Huzniak As ideias desenvolvidas por Gonseth (1955, apud PARZYSZ, 2001) na obra A geometria e o problema do espaço, inspiraram Houdement & Huzniak (1998, apud PARZYSZ, 2001) a distinguirem três tipos de geometria, que são caracterizados por sua relação com a intuição, a experiência e a dedução. O primeiro tipo é denominado geometria natural (G I), na qual não há distinção entre Geometria e realidade, sendo que a intuição norteia as observações. O segundo tipo é a geometria axiomática natural (G II) que representa um esquema da realidade, havendo lugar para as experimentações. O terceiro tipo é a geometria axiomática formalista (G III), na qual não há nenhuma referência à realidade, e a dedução é a forma de obtenção de resultados. Segundo Parzysz (2001), a denominação utilizada pelos autores sugere que pode existir uma transição (Figura 2) entre as geometrias GI, GII e GIII. Aos poucos, o concreto cede lugar ao teórico, a validação baseada em observações é substituída pela demonstração no interior de um sistema axiomático.

23 22 (GIII) Geometria (GII) Geometria Axiomática Formalista (GI) Geometria (GI) Natural Figura 2: Relação de transição entre os tipos de geometria identificados por Parzysz no trabalho de Houdement & Huzniak, esquematizada pela autora deste trabalho. Segundo Parzysz (2001), a passagem de GI para GII comporta uma modelagem da realidade, enquanto que em GIII, não há mais referência à mesma. Comparando GII com GIII, Parzysz (2001) afirma que de uma para outra existe uma axiomatização parcial, pois em GII, alguns teoremas são dados como evidentes, ou ainda, algumas afirmações são resultado da percepção Relações com o espaço no ensino e aprendizagem de Geometria Henry (1997, apud PARZYSZ, 2001) identificou três tipos de relação com o espaço no ensino e aprendizagem de Geometria. Inicialmente destaca a situação concreta, em seguida, uma primeira modelagem que diz respeito a uma abstração e simplificação da complexidade de uma situação real observada, descrita em linguagem corrente, que é o domínio pseudo-concreto. E, por fim, uma matematização realizada com base no modelo anterior, que é feita no domínio teórico. Para compreendermos melhor estes três níveis propostos por Henry (1997), apresentamos a Figura 3, esquematizada em Coutinho (2001), que desenvolveu sua pesquisa nesse quadro teórico. Vale ressaltar que a passagem de um nível a outro é feita ao longo de um processo de modelagem. Ação Domínio da realidade (experiência concreta) Abstração Domínio pseudoconcreto (experiência mental) Pensamento formal Domínio teórico (representação formal) Figura 3: Mudanças entre domínios, proposta por Henry (1997) e adotada em Coutinho (2001). Fonte: Coutinho, 2001.

24 23 Parzysz afirma que a primeira fase da modelagem proposta por Henry, pode ser considerada uma etapa intermediária entre as geometrias GI e GII, consistindo numa etapa precedente à construção da axiomatização, como no nível 2 de Van Hiele. De fato, em GII já se tem em vista a teorização das observações da realidade, ou seja, a realidade é utilizada como um meio de experimentações, mas o que se pretende é a abstração. Enquanto na primeira fase da modelagem de Henry, assim como no nível 2 de Van Hiele, o aluno ainda está por conscientizar-se da necessidade da teorização, daí ser um nível intermediário entre GI e GII. Uma ilustração desta situação é mostrada na Figura 4: Comprometimento com a realidade G I Primeira Fase da Modelagem (Henry) Nível 2 de Van Hiele Comprometimento com a axiomatização G II Figura 4: Nível intermediário entre GI e GII A proposta apresentada por Parzysz A partir do estudo das propostas descritas nos itens anteriores, Parzysz (2001) propôs outra articulação entre os níveis de pensamento geométrico. Tomando por base a natureza dos objetos de estudo da Geometria e o tipo de validação, o autor propõe a consideração de dois tipos de geometrias: nãoaxiomáticas e axiomáticas. Na geometria não-axiomática, o estudo é voltado para a situação concreta, os objetos são modelos da realidade, referindo-se aos mesmos, ou a uma representação deles tais como uma maquete ou um desenho. A validação da afirmação sobre propriedades destes objetos ou relações entre eles é feita por meio da percepção, isto é, o aluno afirma que é verdadeiro porque assim ele vê ou percebe. Na geometria axiomática, os objetos são teóricos, podendo se referir ao real. A validação é baseada em teoremas e axiomas. Nesta geometria, uma afirmação que derive de uma observação da realidade ou não, será verdadeira se puder ser demonstrada. O fato de a afirmação ser ou não fruto de observações, é porque admite-se que conjecturas podem nascer de resultados teóricos já demonstrados, ou

25 24 no processo de prova. Este caráter acentua o aspecto abstrato da geometria em questão. Parzysz propôs um detalhamento das geometrias não-axiomáticas e axiomáticas, que é sintetizado no Quadro 1 abaixo: Geometrias não-axiomáticas Geometrias axiomáticas Geometria Geometria Geometria proto- Geometria Tipos de Geometria concreta spatio-graphique axiomática axiomática (G0) (G1) (G2) (G3) Objetos Natureza física ou concreta Natureza teórica Validação Perceptiva Dedutiva Quadro 1. Síntese da classificação da Geometria segundo Parzysz 4 As geometrias não axiomáticas estão subdivididas em duas outras: geometria concreta (identificada pela sigla G0) e geometria spatio-graphique (identificada pela sigla G1). Em G0, os objetos são físicos, e suas características físicas influenciam as observações e constatações. A validação é baseada somente na percepção. Em GI, os objetos, que eram físicos em G0, ganham uma representação gráfica, que pode ser um esboço ou um desenho construído por processos geométricos. Esta ação constitui a primeira fase do processo de abstração, que passa pelo reconhecimento de propriedades características do objeto para sua determinação, permitindo assim a representação gráfica. A validação é baseada em comparação visual e sobreposições, apoiadas por medições realizadas com régua graduada, compasso, esquadros. Como exemplo, pode-se citar a conclusão de que dois segmentos são congruentes porque ou suas medidas obtidas por uma régua graduada, são iguais, ou porque sobrepostos, coincidem. As geometrias axiomáticas se subdividem em proto-axiomática (identificada pela sigla G2) e axiomática (identificada pela sigla G3). As principais diferenças entre as duas são a recorrência a objetos físicos e a compreensão de outros sistemas axiomáticos. Em G2, ainda pode-se recorrer a objetos físicos, tais como representações feitas por processos geométricos, mas a sua existência é garantida 4 Quadro adaptado de Parzysz, 2001, p.3.

26 25 pelas definições, axiomas e propriedades entre figuras, no interior de um dado sistema axiomático a geometria euclidiana. A validação se dá por meio de um discurso dedutivo aplicado aos dados do enunciado do problema, se apoiando nos postulados e axiomas da geometria euclidiana. Em G3, os objetos são teóricos, e a tentativa de representá-los pode incorrer em deformações do objeto representado. A existência dos objetos geométricos, bem como as relações entre si, é baseada em axiomas, definições e teoremas, que podem mudar de uma geometria para outra. As geometrias não-euclidianas são exemplos de resultados obtidos teoricamente, baseados na não consideração de um postulado. A fim de compreendermos melhor a classificação proposta por Parzysz, vamos apresentar exemplos de respostas de alunos (Quadro 2) para a pergunta O que você pode dizer a respeito da figura abaixo (Figura 5)? Justifique a sua resposta. Figura 5: Quadrilátero Um aluno Responderá que... que esteja em... G0 É um retângulo porque tem o formato de um tampo de mesa. G1 É um retângulo porque eu conferi com o par de esquadros o paralelismo dos lados e com uma régua as medidas dos lados opostos. G2 nada é possível responder sem mais dados. Se tivéssemos a garantia de que dois lados opostos eram paralelos e iguais, poderíamos afirmar que era um paralelogramo; para ser um retângulo, precisaríamos ter assegurado pelo enunciado que pelo menos três ângulos eram iguais. G3 na geometria euclidiana, seria um retângulo ou um paralelogramo, se houvesse mais dados no enunciado que permitissem deduzir de que figura se trata. Quadro 2: exemplos de respostas de alunos Breve explicação da adequação à classificação Justificativa baseada na percepção de atributos físicos do objeto. Justificativa baseada na constatação de propriedades observadas por meio de instrumental de construções geométricas. O aluno buscou justificar as suas observações com teoremas e definições. Ele não se rende à evidência do desenho. O aluno sabe que cada geometria possui um sistema axiomático próprio, e é no interior deste que se deve justificar a resposta.

27 A questão didática e a articulação G1- G2 Parzysz (2001, 2006) considera que a articulação G1-G2 está no centro da problemática do ensino obrigatório, se detendo em explicitar aspectos desta articulação. Neste sentido, concordamos com o autor que a passagem G1-G2 é fundamental no contexto do Ensino Básico, pois é nesta transição que o aluno inicia a tomada de consciência da geometria axiomática euclidiana, que deveria estar finalizada na transição de G2 para G3. O aluno em G1 trabalha com objetos físicos e validação perceptiva; e, em G2, é requerida dele a compreensão de objetos geométricos como objetos teóricos em última análise, e a validação dedutiva. Parzysz (2001) afirma que do ponto de vista didático, a distinção entre as geometrias surge como ruptura de contrato didático 5. Colocando o foco na passagem G1-G2, observa-se que em G1 é requerido do aluno, por parte do professor, que ele identifique objetos geométricos por meio de suas representações (físicas ou desenhos construídos com processos geométricos ou não), e não por suas definições. Do mesmo modo, o professor aceita que o aluno valide a solução apresentada para um dado problema por meio de justificativas que se baseiam em percepções ou medições realizadas com instrumentos (régua e transferidor) bem como de comparação de medidas (o compasso ou o esquadro, no caso de medir ângulos de 90º, 60º, 45º e 30º). Em G2, espera-se que o aluno apreenda os objetos geométricos como entes abstratos, cuja representação por meio de desenhos ou modelos físicos são importantes para facilitar a sua apreensão, mas não indispensáveis para sua existência como objeto teórico, que é assegurada pela teoria geométrica; no caso de G2, a geometria euclidiana. Também é esperado que o aluno valide as suas observações e/ou resultados com o uso de axiomas e teoremas. Portanto, as ações e comportamentos esperados pelos alunos em G1 e G2 são antagônicos, o que consiste numa mudança de compreensão e postura diante de um problema geométrico, justificando a ruptura de contrato didático à qual Parzysz se refere. Este autor assinala que G2 exerce um controle sobre G1 e vice-versa. Quando uma contradição é observada numa figura (ação de um aluno em G1), o 5 Este contrato é uma relação que determina explicitamente em pequena parte, mas sobretudo implicitamente aquilo que cada parceiro, professor e aluno, têm a responsabilidade de gerir e pelo qual será, de uma maneira ou de outra, responsável perante o outro. (BROUSSEAU, 1986, p.51)

28 27 esclarecimento da dúvida é possível por meio de uma demonstração (ação de um aluno em G2). Neste caso, G2 controla G1. Por outro lado, quando o resultado de um raciocínio geométrico (G2) é inesperado, será em G1 (desenhos com instrumental e/ou modelos físicos) que se pode buscar uma confirmação ou refutação. Refinando o pensamento, Parzysz (2006) alega, baseado em pesquisas por ele realizadas (COLMEZ e PARZYSZ, 1993, apud PARZYSZ, 2006), como as geometrias G1 e G2 se alternam na resolução de um problema, e cita o seguinte exemplo: G1 G2: modelagem de um problema concreto G2 G1: construção de um desenho com objetivo heurístico G1 G2: demonstração de uma conjectura resultante da observação G2 G1: verificação, sobre um desenho, de uma conclusão teórica. (PARZYSZ, 2006, p. 137) O autor afirma que se pode observar no exemplo dado a dialética do sabido e do percebido (PARZYSZ, 1988, 1989; COLMEZ e PARZYSZ, 1993, apud PARZYSZ, 2006)). As noções de sabido e percebido foram desenvolvidas pelo autor para analisar as representações do espaço em Geometria. De modo sucinto, o sabido refere-se a uma leitura da representação gráfica do objeto geométrico tendo em vista suas propriedades. Por exemplo, na representação gráfica de um cubo, em perspectiva cavaleira, suas faces, exceto a frontal, são representadas por losangos, embora se saiba que todas as faces de um cubo são quadrados, então tal representação não causará conflitos cognitivos. A percepção apenas dos elementos e de suas relações visíveis na representação gráfica se relaciona com o visto. Por exemplo, no caso do cubo, o aluno pode não reconhecer tal figura como um cubo, porque as suas faces não aparecem quadradas na representação gráfica (distorções da representação em perspectiva). Segundo o autor, embora o conflito sabido-percebido apareça em situações de representação de objetos tridimensionais, ele também pode ser observado na Geometria Plana, onde se poderia pensar que o sabido sempre coincidirá com o visto, pois sempre poder-se-ão representar os objetos planos como o são. Porém, esta tema surge associado às questões de representação de objetos segundo enunciados dados de problemas geométricos ou a leitura particular de desenhos que acompanhem tais enunciados.

29 28 Em nossa interpretação, o conflito sabido - percebido se instala na seguinte situação: dado o desenho de um triângulo qualquer, por exemplo, mas com representação próxima de um triângulo equilátero, o aluno assume que tal triângulo tem três lados e ângulos congruentes, e resolve o problema a partir deste pressuposto. Neste caso, observamos o percebido contaminar o sabido. Supondo agora, que o aluno utilize o desenho do triângulo como o esboço de um triângulo qualquer e se limite aos dados do enunciado. Neste caso, o sabido sobressai. Um outro exemplo é a interpretação do enunciado do problema pelo aluno, quando este ao construir o desenho correspondente particulariza, acrescentando informações não declaradas no enunciado. Parzysz (2006) exemplifica o conflito sabido percebido no contexto de construção de uma argumentação: [...] quando o aluno inclui em sua demonstração (em princípio em G2) uma propriedade, verdadeira ou falsa, que foi observada em seu desenho, mas não foi dada no enunciado, nem demonstrada antes. (p. 139) O autor ainda afirma que este comportamento está relacionado a uma apreensão discursiva (DUVAL, 1996) que é a aceitação de propriedades além daquelas indicadas na figura por legenda ou por hipóteses. Dvora e Dreyfus (2004, apud PARZYSZ 2006) afirmam que os alunos do Ensino Médio utilizam, inconscientemente, propriedades não justificadas em uma demonstração, as quais acreditam ser corretas, e o objetivo desta ação é facilitar a elaboração da mesma, visando ao afastamento de um obstáculo e a economia de tempo. Para Parzysz, a leitura abusiva do desenho não é apenas um problema de percepção, mas é parte importante no processo de elaboração de uma demonstração. Concordamos com esse autor que a constatação, por parte do aluno é, de que sua leitura do desenho não é correta, pois agrega ou omite elementos, contribui para o seu amadurecimento intelectivo, e que tal comportamento é natural no inicio de sua vivência escolar A problemática da precisão e da dedução Parzysz distingue duas problemáticas relativas aos níveis G1 e G2. Em G1, onde os objetos são materiais, as propriedades são físicas e validadas por técnicas específicas tais como medição e comparação. Por exemplo, na Geometria Euclidiana, uma figura pode ser considerada triângulo se possuir três lados retilíneos que formam uma poligonal fechada característica física. Um triângulo será

30 29 isósceles se verificar-se que dois dos lados possuem a mesma medida, e esta verificação poderá ser feita com uma régua graduada ou não, ou com o compasso ao traçar um círculo com centro no vértice do triângulo isósceles passando pelos outros dois vértices propriedade métrica. Mas se houver uma diferença mínima nestas medidas, a propriedade será refutada. Mas este erro poderá ser consequência de uma imprecisão na técnica de medir, praticado por uma pessoa, ou mesmo resultado de um problema na impressão da figura; ou, ainda, a qualidade dos instrumentos de construção (compassos defeituosos ou sem ajuste, réguas com graduação imprecisa). Portanto, a validação de uma propriedade em G1 é dependente da habilidade de medição ou comparação de quem o faz; ou, ainda, da qualidade do instrumental utilizado para fazer as medições e/ou comparações. Parzysz denomina esta situação de problemática da precisão. Em G2, os objetos de estudo da geometria são abstratos e podem ser representados por objetos físicos, mas não se reduzem a eles (referência ao domínio pseudo-concreto proposto por Henry (1997, apud PARZYSZ, 2001)). Portanto, um triângulo é equilátero não porque assim induz a sua representação figural, mas porque está associado a um enunciado que assegura a sua condição de polígono regular; ou, ainda, porque na figura apresentada há alguma indicação gráfica da congruência de seus três lados ou de seus três ângulos. Neste nível, o aluno não se deixa levar pela evidência da figura e procura indícios da certeza de suas observações no enunciado que porventura acompanhe a figura, ou em indicações gráficas que certifiquem congruências. Um aluno que esteja em G2, durante a resolução de um problema, procura encontrar resultados por meio de deduções, ou seja, utiliza estratégias que estejam respaldadas pela teoria. Portanto, por exemplo, se é possível deduzir teoricamente que um triângulo é equilátero, não importa a sua representação figural, pois é assim que ele será compreendido pelo aluno. Parzysz chama esta situação de problemática da dedução. Fazemos a hipótese de que essa problemática discutida por Pazysz é equivalente à passagem da apreensão perceptiva para a apreensão discursiva de uma figura, proposta por Duval (1994). A apreensão de uma figura vinculada à sua representação figural (ao seu desenho) é discutida por Parzysz. Ele afirma que para um aluno experiente em Geometria, a posição do desenho de um objeto geométrico não importa para a correta apreensão enquanto objeto teórico. Por outro lado, para o aluno não

31 30 experiente, a mudança de posição implica a mudança de objeto teórico, por exemplo, um quadrado representado como na figura 6, não é um quadrado para o aluno, mas um losango. Fazemos aqui a hipótese de que o autor se refere ao aluno que não compreende a classe dos quadrados como um tipo especial de losango (os que possuem os quatro ângulos congruentes). Figura 6: Quadrado O autor declara ainda que as propriedades dos objetos geométricos e a versatilidade dos registros de representação consciente de tais objetos constituem dois aspectos fundamentais da compreensão e aquisição pelo aluno de duas capacidades antagônicas, e isto deve ser um dos objetivos do ensino de Geometria A articulação G2-G3 Ainda é Parzysz (2006) quem afirma que o acesso dos alunos aos conhecimentos geométricos deve considerar um duplo processo. O primeiro deles é um processo de modelagem do espaço físico, que ocorre em dois momentos: inicialmente do concreto (G0) ao spatio-grafique (G1); e, em seguida, do spatiografique (G1) ao proto-axiomático (G2). O segundo é um processo do tipo hipotéticodedutivo, que se dá durante a resolução de problemas que foram matematizados. E a articulação G2-G3 pode ser considerada como central nessa etapa. Em G2, o aluno sabe que precisa justificar as suas conjecturas com teoremas e axiomas da geometria euclidiana, mas não toma resultados como axiomas locais de modo consciente, isto é, não admite uma propriedade, necessária à demonstração de uma situação geométrica, sabendo que a prova desta propriedade existe, e que talvez ele não queira, ou não saiba demonstrar naquele momento. É justamente esta tomada de consciência que diferencia G2 de G3. Em G3, o aluno

32 31 ao admitir uma propriedade sem demonstração, o faz sabendo que deve prová-la, o que equivale a adicionar axiomas ad hoc. Alcançar o nível G3 é um processo de amadurecimento geométrico longo. Com vistas a obter sucesso nesta jornada, é imprescindível considerar a influência do sabido e do percebido tanto na modelagem ou na elaboração das conjecturas, e como obstáculo do processo dedutivo. O autor afirma que criar situações para que o aluno utilize o percebido como forma de investigação conscientemente (o percebido guia e controla o sabido, mas não o comanda), constitui um objetivo do ensino de Geometria Processos de validação e tipos de prova segundo Balacheff No item anterior, pudemos observar o papel primordial da validação na passagem para níveis mais avançados no raciocínio geométrico. Apresentamos, então, um breve estudo sobre validação e demonstração, segundo os preceitos propostos por Balacheff (1987). Balacheff (1987), afirmou que a aprendizagem da noção de demonstração apresenta dificuldades e que estas estão relacionadas à passagem (que pode ser vista como uma ruptura de contrato didático) de uma matemática prática, caracterizada pela ação e observação, a uma matemática mais teórica, devido a introdução da demonstração. A teoria desenvolvida pelo autor originou-se na pesquisa empreendida pelo mesmo para estudar as relações entre provas e contradições na resolução de problemas de Matemática. O autor crê ser indispensável clarificar termos que são usados pelos matemáticos como sinônimos (tais como prova, demonstração e raciocínio), e alerta ao lembrar que a falta de clareza no seu entendimento pode constituir um obstáculo às pesquisas sobre questões de ensino e aprendizagem, que envolvam tais termos. Devido a este fato, Balacheff propõe as seguintes definições: Chamamos explicação um discurso que visa tornar compreensível o caráter de verdade, adquirido pelo locutor de uma proposição ou de um resultado. As razões podem ser discutidas, recusadas ou aceitas. Chamamos prova uma explicação aceita por uma comunidade em um determinado momento. Essa decisão pode ser objeto de um debate entre a significação e a exigência de determinar um sistema de validação comum aos interlocutores. Entre as provas, certamente há uma particular, elas são uma seqüência de enunciados seguindo regras determinadas: um enunciado é conhecido como sendo verdadeiro, ou bem é obtido a partir daqueles que lhe

33 32 precedem com o auxílio de uma regra de dedução tomada de um conjunto de regras bem definidas. Chamamos demonstração essas provas. Nós reservamos a palavra raciocínio para designar a atividade intelectual, na maior parte do tempo não explícita e manipulação de informações para, a partir de dados, produzir novas informações. (BALACHEFF, 1987, p ) Situações e processos de validação Balacheff (1987) afirma que o investimento no processo de validação de uma conjectura está relacionado à importância da situação na qual se encontra a conjectura, para quem decide validá-la. O autor denomina esferas de prática as situações nas quais o aluno não sente necessidade de validar as suas ações, porque estas estão asseguradas antecipadamente. Por exemplo, situações nas quais é preciso utilizar um algoritmo, ou estratégias de resolução conhecidas ou padronizadas. As esferas de prática são exemplos de situações nas quais não há necessidade de investimento em validação, porque o que se precisa para resolvê-la já está previamente assegurado. São distinguidas situações de validação e de decisão com relação à necessidade de elaboração de uma prova para assegurar a veracidade de uma afirmação. Nas situações de validação, consideradas no sentido de Brosseau 6 (1986), há o objetivo de produção de uma prova. Nas situações de decisão, na qual são necessários meios de decisão, não é preciso produção de uma prova. Nestas situações, as operações intelectuais de raciocínio hipotético-dedutivo ocorrem, durante a resolução, no papel de ferramenta 7, ou seja, são colocadas em ação para resolver um problema, mas sem ter em vista a produção de uma demonstração (BALACHEFF, 1987). Balacheff (1987) afirma que a urgência da certeza de uma afirmação pode conduzir a produção de uma prova, o que transforma uma situação de decisão numa situação de validação. Com relação ao aluno, se este precisa ter certeza sobre uma conjectura, pode se lançar na busca de uma prova, que será relativa às exigências da situação na qual ele se encontra. Portanto, a situação pode, ou não, motivar o 6 Situação de validação é um dos momentos da situação adidática, na qual o aluno deve mostrar a validade do modelo elaborado por ele durante as situações de ação e de formulação. Uma situação adidática compreende quatro fases: ação, formulação, validação e institucionalização (BROUSSEAU, 1986). 7 Nome que se dá aos conhecimentos matemáticos quando estes são utilizados para resolver problemas e interpretar novas questões (DOUADY, 1993, APUD MACHADO, 2002).

34 33 aluno para construir uma prova, o que leva o autor afirmar que a interação social gera o processo de prova. Como exemplo, no ambiente da sala de aula, se o professor não instiga o aluno a justificar as suas afirmações 8, este pode não enxergar motivos para empreender uma validação para suas conjecturas, se contentando em exemplificá-la. Um terceiro fator é acrescentado pelo autor aos dois precedentes: o desejo pessoal de certificar-se de um fato observado, o que ele chama de desejo de saber. Nestes termos, são identificados três tipos de prova: prova para decidir, relacionada ao primeiro fator; prova para convencer, relacionada ao segundo; e prova para conhecer, que diz respeito ao terceiro e último fator. É no contexto da prova para conhecer, que Balacheff (1987) assinala a existência de duas problemáticas: a da eficácia e a do rigor. Na problemática da eficácia, colocam-se as ações de validação relacionadas ao saber-fazer, por exemplo, a geometria das construções geométricas. Na problemática do rigor, temse a geometria dedutiva, as ações de validação são discursos teóricos fundados na teoria geométrica. A eficácia relaciona-se com a verificação de conjecturas por meio da prática, como certificar-se que um triângulo é isósceles usando instrumentos de medição. Por outro lado, o rigor exige que a veracidade de uma conjectura seja comprovada por argumentos teóricos e a veracidade da afirmação que o triângulo é isósceles ocorreria por meio de uma demonstração Provas pragmáticas e provas intelectuais O acesso ou não à experimentação é o que diferencia provas intelectuais de provas pragmáticas. Nesta última, o aluno pode experimentar a conjectura, verificála no sentido de testar experimentalmante. Obtendo resultado positivo, pode-se dar por satisfeito, considerando assim a conjectura como válida. Nas provas intelectuais, o discurso é teórico, não se tomam observações como argumentos para validar uma conjectura: - A prova pragmática é hipotecada pela singularidade do acontecimento que a constitui, é preciso aceitar seu caráter genérico. Ela é além disso, tributária de um contingente material: ferramentas imprecisas, defeitos de funcionamento. 8 Quando o aluno justifica as suas afirmações, temos uma situação correspondente à fase de devolução nas dialéticas das situações adidáticas.

35 34 - A prova intelectual mobiliza uma significação contra uma outra, uma pertinência contra uma outra, uma racionalidade contra uma outra. (BALACHEFF, 1987, p. 157) Para esse autor, as provas pragmáticas e intelectuais se encontram em polos opostos de uma linha de raciocínio. De um lado, as provas pragmáticas estão envolvidas em um raciocinar para a prática; enquanto que de outro lado, as provas intelectuais abarcam um raciocinar voltado para a construção de uma rede de significados. Podemos afirmar que as primeiras conectam-se à problemática da eficácia; e as segundas, à problemática do rigor Tipos de provas A linguagem utilizada pelo aluno denuncia o nível de prova que este produz. Uma linguagem que evoque os fatos e as ações, que utiliza termos da linguagem natural, é indicativa de um discurso próprio das provas pragmáticas. A evolução da linguagem natural em direção àquela que utiliza termos e símbolos matemáticos linguagem funcional, caracteriza a passagem das provas pragmáticas às intelectuais (BALACHEFF, 1987). O status e a natureza do conhecimento, ao lado da evolução da linguagem, pontuam a passagem das provas pragmáticas às provas intelectuais. As provas pragmáticas encerram saberes advindos da ação, enquanto nas provas intelectuais, os saberes devem ser colocados como objeto de reflexão ou debate. Balacheff (1987) afirma que entre as provas pragmáticas e intelectuais, podem-se identificar quatro tipos que se distinguem pelo conhecimento mobilizado e pelo tipo de raciocínio. O primeiro deles é o empirismo ingênuo, no qual a validade de uma conjectura é baseada em observações de um pequeno número de casos. A experiência crucial é o segundo tipo de prova, e consiste na colocação da generalização de modo explícito, isto é, o aluno realiza experiências como no empirismo ingênuo, mas aqui ele tem consciência de que busca um resultado geral. O terceiro tipo é o exemplo genérico. O aluno trabalha sobre um objeto particular, mas tendo em mente a classe de objetos do qual o primeiro é um representante. Portanto, neste tipo de prova, o aluno busca uma generalização baseada em exemplos, mas procura justificá-la com a teoria geométrica.

36 35 A experiência mental é o quarto e último tipo de prova e consiste em interiorizar a ação e separá-la de seu representante particular. Entendemos que aqui não há mais referência ao caso particular e a afirmação é elaborada para uma classe de objeto, e a validação é inteiramente sustentada pela teoria Articulações possíveis entre a classificação das geometrias segundo Parzysz e os tipos de prova segundo Balacheff Um exame das duas teorias apresentadas permite apontar algumas articulações entre as mesmas. Parzysz (2001, 2006), ao elaborar a classificação das geometrias, considerou a natureza do objeto geométrico e o tipo de validação. Os tipos de provas identificados por Balacheff (1987) estão relacionados ao grau de abstração do objeto geométrico e às ações presentes nas situações de validação. Deste modo, pode-se fazer a hipótese que ambos os autores baseiam as suas classificações nos tipos de objetos e de validação utilizada. Com respeito à validação das conjecturas, Balacheff (1987) e Parzysz (2006) delinearam, cada um, duas problemáticas. Balacheff (1987) distingue a problemática da eficácia e a do rigor. A primeira diz respeito à validação por meio da observação da prática; a segunda valida suas conjecturas pela teoria, afastando a percepção. Parzysz (2006) apresenta duas problemáticas: a da precisão e a da dedução. Na problemática da precisão, a validação é realizada por instrumentos de medida ou ações que envolvem o objeto físico ou a sua representação, tais como comparação ou sobreposição. Na segunda problemática, as validações são apoiadas na teoria. Podemos, então, intuir uma certa relação entre a problemática da eficácia e a da precisão, assim como a problemática do rigor e da dedução. Parzysz (2001, 2006) ao propor uma classificação para os níveis de desenvolvimento geométrico do aluno, o fez inicialmente separando-a em dois grupos: as geometrias não axiomáticas e as geometrias axiomáticas. Do mesmo modo, Balacheff (1987), antes de apresentar os quatro tipos de provas, as classificou em dois blocos: as provas pragmáticas e as provas intelectuais. É interessante notar que as motivações destes dois autores para criar tais classificações são as mesmas: os elementos que caracterizam as provas pragmáticas parecem de mesmo nível dos que caracterizam as geometrias não axiomáticas: referências à realidade e validação por observação e percepção;

37 36 enquanto que as geometrias axiomáticas e as provas intelectuais estão imbuídas de abstração e teoria. A relação entre os quatro tipos de provas e os níveis de raciocínio geométrico proposto por Parzysz (2001, 2006) prescinde de estudos, uma vez que Balacheff (1987) não fez referências explicitas aos objetos geométricos evocados em dada prova, tal qual fez Parzysz (2001) ao elaborar a classificação dos níveis de desenvolvimento geométrico. Buscaremos, assim, neste trabalho, analisar a hipótese de existência de relações entre o proposto por estes dois autores, por meio do estudo das produções e diálogos de alunos durante a resolução de problemas que envolvem a demonstração em Geometria.

38 37 CAPÍTULO 2 O ENSINO E A APRENDIZAGEM DE DEMONSTRAÇÕES 2.1 A concepção de demonstração adotada neste trabalho Na continuidade da nossa tese, os termos demonstração e prova aparecerão repetidas vezes, por isso julgamos imperativo explicitar como empregamos tais termos no âmbito desta pesquisa. Além disto, a nossa concepção de demonstração é primordial para a análise dos dados, bem como a nossa compreensão de como tal concepção se integra à formação inicial dos professores de Matemática. No capítulo I, discorremos a respeito de como Balacheff (1987) define e diferencia explicação, prova e demonstração. O autor decidiu clarificar estes termos porque julga que os mesmos têm significados distintos no contexto da matemática escolar, apesar de prova e demonstração serem tomados como sinônimos pelos matemáticos. E, ainda, pontua a importância desta distinção para atividades de pesquisa sobre questões de ensino e aprendizagem de demonstrações. Na presente investigação, adotaremos as definições dadas por Balacheff (1987) para prova e demonstração. Portanto, o termo demonstração, ao longo deste texto, significará uma prova aceita pela comunidade matemática, sendo uma sequência de afirmações organizadas segundo uma lógica preestabelecida. A Matemática é uma ciência que compreende um conjunto de afirmações sobre objetos matemáticos e sobre relações entre os mesmos. Tais afirmações se interligam de modo que é possível deduzir umas de outras, observando que existe um conjunto menor de afirmativas consideradas previamente, de modo que estas não são inferidas de outras e todas participam de um mesmo sistema axiomático. A demonstração é um processo pelo qual uma conjectura, fruto de experimentações e observações, no âmbito da prática ou da teoria, passa a ter o status de verdade matemática, ou seja, ela é integrada ao conjunto das afirmações. Este processo visa construir um encadeamento lógico de afirmações, culminando com a veracidade ou não da conjectura.

39 38 O professor de Matemática deve saber demonstrar e compreender as funções de uma prova para que ele seja capaz de organizar e gerir situações de ensino e aprendizagem que envolvam atividades argumentativas na Educação Básica. Também é assumido que as demonstrações devem ser trabalhadas na Educação Básica, mas segundo uma trajetória que comece com investigações, incentivando a elaboração e verificação de conjecturas por meio de exemplos e contraexemplos e a análise de situações que levem os alunos a perceber a necessidade de uma validação precisa de sua conjectura e de uma justificativa calcada em afirmações matemáticas já demonstradas (teoremas e axiomas). 2.2 Algumas considerações O papel da demonstração A prática de obter resultados geométricos, por meio de deduções, teve inicio com os gregos. Estes entendiam que os fatos geométricos deveriam ser obtidos por procedimentos teóricos, e não experimentais. Eves (1992) sublinha que Tales de Mileto é o primeiro homem que se tem conhecimento, a quem está associada a utilização de métodos dedutivos em Geometria. Portanto, podemos inferir que as primeiras demonstrações surgiram com os gregos, mais especificamente com Tales, e o papel delas era conferir rigor aos conhecimentos geométricos obtidos, afastando qualquer contato com a realidade, isto é, a demonstração era o modo de substituir a justificativa baseada em experimentos práticos, pela justificativa apoiada num conjunto de afirmações inferidas de outras, já demonstradas ou tomadas como axiomas ou postulados. O ponto alto da axiomatização da Geometria ocorreu por volta do ano 300 a.c.. O responsável por este trabalho foi Euclides: Então, por volta do ano 300 a.c., Euclides produziu sua obra memorável, os Elementos, uma cadeia dedutiva única de 465 proposições compreendendo de maneira clara e harmoniosa geometria plana e espacial, teoria dos números e álgebra geométrica grega. (EVES, 1992, p. 9) A obra Elementos influenciou todos os textos de Matemática que viriam depois, tornando-se um modelo de discurso lógico como uma sequência de afirmações obtidas por raciocínio dedutivo a partir de um conjunto aceito de afirmações iniciais (EVES, 1992, p.9). É possível que este modelo tenha influenciado os livros didáticos de Matemática, que, até bem pouco tempo, eram usados nas escolas da Educação Básica.

40 39 O modelo de discurso lógico utilizado em Elementos determinou o formato das demonstrações em Matemática, sendo adotado pelos matemáticos em geral. E é neste modelo que se espelha o ensino de demonstrações nas escolas, seja de Educação Básica, seja de cursos universitários (FETISSOV, 1994). Polya (1995) afirmou, com certo exagero segundo o próprio autor, que a ideia de demonstração foi apresentada à humanidade por um homem e um livro, referindo-se a Euclides em sua obra Elementos. Dessa forma, podemos supor que o ensino de demonstrações nas escolas tem sido inspirado nessa organização formal utilizada pelos matemáticos: é um conjunto de argumentações encadeadas logicamente com o propósito de verificar se uma determinada afirmação é verdadeira. Tais argumentações são fundamentadas em teoremas, axiomas e definições que integram um sistema axiomático. Este fato é corroborado por Otte (2003) e Villiers (2002), segundo os quais o processo de elaboração de demonstrações é muito mais rico e útil ao conhecimento matemático do que a demonstração propriamente, pois é nesta fase que afloram novas conjecturas, que podem ou não ser verdadeiras, desencadeando um outro processo de demonstração, e mais uma vez surgindo outras conjecturas, num processo contínuo: O ensino da prova em nossas escolas trata seu problema no contexto da lógica proposicional e não da Matemática. Uma afirmação, na lógica proposicional, é algo que é verdadeiro ou falso. A lógica proposicional é construída inteiramente a partir dessa regra fundamental. Seu poder é também sua fraqueza porque não suporta suposição e experimentação. De um ponto de vista matemático, a geração de hipóteses férteis e tentativa de formulação de conjecturas (em geral, apenas parcialmente corretas) parecem mais importantes do que qualquer prova e isso exige os procedimentos que incluem a experimentação com objetos e diagramas. (OTTE, 2003, p. 33) Este autor atenta ainda para a necessidade de atividades de experimentação que antecedem a formulação de conjecturas. Frequentemente, o estudo da demonstração, na matemática escolar, ocorre sob a forma de apresentação de teoremas e de sua demonstração no modo limpo e arrumado dos livros, ou seja, excluindo a reflexão sobre o processo de elaboração da prova, o qual inclui observação, teste com casos particulares e ensaio de construção de justificativas plausíveis. A observação e o resultado de testes com casos particulares como justificativa de conjecturas, estão relacionados ao tipo de prova empirismo ingênuo e experiência crucial (BALACHEFF, 1987) e ao nível de raciocínio geométrico GO e

41 40 G1(PARZYSZ, 2001). As colocações de Otte (2003) no parágrafo acima, sinalizam que, independente do nível de raciocínio geométrico do aluno, e consequentemente do tipo de prova que ele é capaz de produzir, ações como experimentações e testes de casos particulares que culminam com a formulação de conjecturas, são comuns e necessárias à construção de demonstrações de tais conjecturas. Villiers (2002) afirma que a demonstração, no contexto escolar, tem sido abordada com a função de verificação, ou seja, tomando a demonstração como um instrumento de validade das afirmações. Se for possível provar uma afirmação segundo as leis da lógica e dentro de um sistema axiomático, então, ela é verdadeira; caso contrário, deve ser descartada. Entretanto, há outras funções da demonstração muito mais importantes tanto para os matemáticos, na produção de novos saberes, quanto para a matemática escolar, na produção de cenários de aprendizagem que favoreçam o desenvolvimento do raciocínio lógico-dedutivo do aluno. São elas: explicação (proporcionar compreensão sobre por que é que é verdade) descoberta (a descoberta ou a invenção de novos resultados) comunicação ( a negociação do significado) desafio intelectual (a realização/satisfação pessoal por se ter construído uma demonstração) sistematização (a organização de vários resultados num sistema dedutivo de axiomas, conceitos e teorema) (VILLIERS, 2002, p.3) A demonstração como explicação de uma afirmação coloca-se quando estamos convencidos de sua validade (e isto ocorre geralmente após muitas experimentações), mas ficamos intrigados com o porquê de ser verdadeiro. Então, buscamos uma demonstração com a expectativa de encontrar um esclarecimento para o fato observado. Villiers (2002) comenta que, ao contrário do que muitos professores creem, a tentativa de demonstração só ocorre quando há o convencimento de que certa afirmação é verdadeira, pois sem esta certeza, um matemático não se lança na descoberta de uma prova. A elaboração de uma conjectura não se dá apenas pelo processo intuitivo e/ou empírico, utilizando observações, mas também, e muito frequentemente, por processos puramente dedutivos. Lembramos um exemplo histórico, que é a tematização das Geometrias não-euclidianas, as quais muito dificilmente seriam reveladas por processos experimentais. Elas foram desenvolvidas quando matemáticos tentavam provar que o quinto postulado, conhecido como postulado

42 41 das paralelas, era um teorema possível de ser deduzido dos quatro postulados anteriores (EVES, 1992). Isto ilustra a função da demonstração como descoberta de novos resultados. Uma outra função da demonstração, ainda segundo Villiers (2002), é a verificação de resultados nos casos em que a experiência geradora da conjectura deixa vestígios de dúvidas devido à fragilidade dos processos utilizados; sendo, então, necessária a confirmação dos resultados pela demonstração. Podemos afirmar que, na sala de aula, a função da demonstração como verificação é a mais utilizada. Um exemplo é quando o professor, ao apresentar ou verificar a veracidade de um teorema, enuncia para a turma: verificamos, mas só a demonstração vai nos dar a certeza de que isto é verdadeiro em qualquer caso. Ao expor a seus pares uma demonstração julgada concluída pelo seu autor, este se põe como num tribunal, exposto a análises e julgamentos. Esta interação é necessária para colocar à prova a exatidão e a confiabilidade de seu trabalho, bem como a clareza e o significado dos termos matemáticos referenciados no texto, o que caracteriza a função de comunicação da demonstração (VILLIERS, 1990). Em sala de aula, a utilização desta função é extremamente educativa, seja para comunicar uma demonstração ou o resultado de uma investigação, ou mesmo a solução de um problema. Para comunicar aos colegas e ao professor as suas ideias, o aluno necessita organizá-las de modo a ser compreendido pelo seu público. Esta ação revela o seu entendimento dos conceitos matemáticos por ele estudados, fornecendo ao professor dados para a reflexão sobre o seu trabalho desenvolvido na aula. A função de desafio intelectual da demonstração diz respeito à satisfação pessoal em tentar produzi-la e dar conta desta intenção. A demonstração como modo de sistematização refere-se ao encadeamento do ponto de vista lógico, de afirmações que já se sabem verdadeiras isoladamente, constituindo, assim, um sistema axiomático (VILLIERS, 1990). Este autor recomenda que o professor incentive os alunos a definir os objetos matemáticos, e enfatiza o valor desta prática na aprendizagem de Geometria. Ele, ainda, sugere que o professor apresente afirmações aos alunos e incentive-os a avaliá-las por meio da construção e medição. Esta recomendação de Villiers remete às ações próprias dos alunos no nível de raciocínio geométrico G0 e G1, relacionando-se com a problemática da precisão (PARZYSZ, 2006) e da eficácia

43 42 (BALACHEFF, 1987). Podemos inferir que estas ações são necessárias para o avanço do raciocínio geométrico. A utilidade do estudo de demonstrações na escola é sublinhado por Polya (1995, p.116): De fato, se o aluno não tiver aprendido este ou aquele fato geométrico específico, não terá perdido muito. Mas se ele não houver familiarizado com as demonstrações geométricas, terá deixado escapar os melhores e mais simples exemplos das verdadeiras provas e perdido a melhor oportunidade de adquirir a ideia de raciocínio rigoroso. Sem esta ideia, faltar-lhe-á o verdadeiro critério para comparar argumentos de todos os tipos que se lhe apresentam na moderna vida cotidiana. Em suma, se a educação pretender incutir no estudante as noções de prova intuitiva e do raciocínio lógico, ela deverá reservar um lugar para as demonstrações geométricas. Assim, Polya vincula a aprendizagem de demonstrações em Geometria ao desenvolvimento do raciocíno lógico do estudante, porque o sistema axiomático da Geometria é um grande exemplo de sistema lógico. A partir desta afirmação, podemos inferir que o desenvolvimento do raciocínio lógico do estudante se relaciona com o tipo de prova que ele é capaz de produzir. Balacheff (1986) afirma que o fracasso do ensino de demonstrações na França, ao nível do 9º ano de escolaridade, deve-se ao fato de a prática da demonstração exigir uma racionalidade e um estado específico de conhecimentos, além da passagem da problemática da eficácia à problemática do rigor 9. Essas exigências somente são possíveis após um desenvolvimento cognitivo, o que requer um tempo não contemplado nos programas escolares. Podemos assim observar que o tempo cronológico não corresponde, necessariamente, ao tempo cognitivo. O autor faz estas declarações relativas ao sistema francês de ensino, mas pode-se estender ao sistema brasileiro, uma vez que, com relação à temporalidade, tem-se igual situação. Também é pontuado que o trabalho com demonstrações deve ser principiado desde as séries iniciais, trabalhando-se com justificativas, até evoluir para as demonstrações, ao longo da escolaridade. 2.3 O ensino e aprendizagem de demonstrações: resultados de pesquisa Pesquisas realizadas no contexto brasileiro (DOMINGOS e FONSECA, 2008; GRAVINA, 2001; PIETROPAOLO, 2005; SERRALHEIRO, 2007) constatam a 9 Tais termos foram apresentados e discutidos no capítulo I.

44 43 insignificante presença da atividade de natureza dedutiva, nas salas de aula de Matemática da Educação Básica, além do despreparo notório dos professores para trabalhar tais atividades. Vamos apresentar, neste item, resultados de pesquisas realizadas no Brasil e exterior, relacionadas a aspectos do ensino e aprendizagem de demonstrações. Serralheiro (2007), no âmbito de sua dissertação de mestrado, investigou conhecimentos, discursos e mudanças na prática de demonstrações de um grupo de professores que participava de uma formação continuada. Tal formação era parte do projeto O raciocínio dedutivo no processo ensino-aprendizagem da Matemática nas séries finais do Ensino Fundamental, coordenado pelo Prof. Dr. Saddo Ag Almouloud, na Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP), e ocorreu durante os anos de 2006 e O grupo, formado inicialmente por dezesseis professores, chegou ao final da referida formação com apenas cinco, que constituíram o grupo analisado na pesquisa. Os instrumentos de coleta de dados foram questionários, observações durante oficinas semanais, utilização de mapas conceituais, verificação de cadernos dos alunos dos professores participantes da pesquisa e entrevistas. As atividades desenvolvidas na formação (exercícios propostos numa apostila e reflexões coletivas sobre os problemas enfrentados em sala de aula, as mudanças curriculares, a necessidade de adequação aos novos modelos de ensino, etc) se deram em clima de aprendizagem colaborativa, ocorrendo troca de experiências e ideias. Os autores utilizados em seu referencial teórico para o trabalho com demonstrações foram Nicolas Balacheff 10 (1987) e Michael de Villiers 11 (1990). A análise das respostas obtidas por meio dos questionários permitiu à autora responder a sua primeira questão de pesquisa: Quais são os discursos e conhecimentos iniciais sobre demonstração em Matemática apresentados pelos professores participantes do projeto O raciocínio dedutivo no processo ensinoaprendizagem da Matemática nas séries finais do Ensino Fundamental? Serralheiro (2007) constatou que o grupo de professores possuía conhecimentos deficientes sobre demonstrações e que tais professores responsabilizavam a formação inicial 10 As ideias deste autor sobre o ensino e aprendizagem de demonstração foram apresentadas e discutidas no capítulo No item 2.2 deste capítulo foram expostas as funções da demonstração concebidas por este autor.

45 44 por tal insuficiência, tendo como consequência deste fato a dificuldade com o trabalho com as demonstrações no Ensino Básico. É importante ressaltar que Serralheiro (2007) discorda desta última implicação, uma vez que, para a autora, cabe aos cursos de licenciatura, além de prover os conhecimentos específicos da área, formar profissionais reflexivos, conscientes da necessidade da formação continuada e capazes de gerenciá-la, e não somente preencher lacunas de aprendizado de conteúdos específicos. Um fato observado por Serralheiro (2007) foi o uso intenso de expressões utilizadas por pesquisadores em educação e contidas em documentos oficiais sobre educação nas repostas dos sujeitos pesquisados, tais como habilidades matemáticas e troca de experiências. A pesquisa realizada possibilitou à autora inferir que, em muitos cursos de licenciatura em Matemática, a demonstração não é trabalhada, chegando às vezes a inexistir. Com relação à segunda questão de pesquisa, A participação desses professores no projeto refletiria em que tipos de mudanças na prática em Geometria?, Serralheiro (2007) detectou mudanças nas atitudes dos professores pesquisados com relação à demonstração, tais como maior autonomia e decisão diante da elaboração de demonstrações, bem como maior interesse em buscá-las para justificar afirmações encontradas em livros didáticos. A autora observou que os professores passaram a utilizar com seus alunos, mais frequentemente, a argumentação e a reflexão sobre os conteúdos estudados, em vez da apresentação de conceitos prontos e regras preestabelecidas. As atitudes de incerteza e timidez, presentes no início da formação, deram lugar a participações autônomas e seguras e à necessidade de exposição de ideias a fim de compartilhá-las com o grupo. Serralheiro (2007) atribuiu estas mudanças à dinâmica das oficinas que privilegiou a valorização das participações e aproveitamento de ideias apresentadas pelos professores participantes durante os encontros. A autora concluiu, com base nos dados da investigação, que a Geometria ainda não é um conteúdo abordado efetivamente nas salas de aula da escola básica e que a formação realizada com o grupo de professores que constituiu a amostra não foi suficiente para reverter esta situação. Isto motivou Serralheiro (2007) a formular as seguintes questões para pesquisas futuras:

46 45 - Será que o efetivo domínio sobre determinado assunto, realmente faz com que este seja abordado em sala de aula? - Quais são os fatores que, de fato, provocam mudanças na prática? Os livros didáticos constituem importante instrumento de trabalho para os professores, em especial para os professores da Educação Básica, que muitas vezes o utilizam como único material para preparação de suas aulas (LAJOLO, 1996). Neste contexto, Carlovich (2005) empreendeu uma pesquisa para a sua dissertação de mestrado, com o objetivo de investigar o ensino da geometria dedutiva nos terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental, compreendendo o período de 1990 até 2005, por meio da análise de livros didáticos utilizados em algumas escolas públicas de Estado de São Paulo. A autora analisou três coleções de livros didáticos de Matemática da década de 1990 e três coleções da década de Os fatos que nortearam a escolha dos períodos foram o declínio do Movimento Matemática Moderna no Brasil e suas críticas pela Didática da Matemática (para a primeira década) e a publicação do PNLD Programa Nacional do Livro Didático, estudos em Educação Matemática e os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN (para a segunda década). Foram três as categorias de análise dos livros didáticos utilizadas pela autora, a saber: - categoria 1: articulação entre G1-Geometria spatio gráfica e G2- Geometria Proto-axiomática em validações de propriedades geométricas; - categoria 2: análise dos exercícios para a apreensão das propriedades geométricas, seguindo uma Organização Praxeológica; - categoria 3: articulação dos registros de representação semiótica mobilizados em uma demonstração geométrica. Na primeira categoria, a análise está apoiada na classificação de desenvolvimento geométrico do sujeito segundo Parsysz 12 (2000), para quem tal desenvolvimento pode ser agrupado segundo os objetos em jogo, físicos ou teóricos; e segundo os modos de validação, perceptivo ou dedutivo. G0- Geometria Concreta e G1- Geometria Spatio-gráfica compõem o grupo Geometrias nãoaxiomáticas no qual o estudo é calcado nos objetos físicos e a validação ocorre 12 O detalhamento da classificação do desenvolvimento geométrico do sujeito elaborado por Parzysz foi apresentado no Capítulo 1.

47 46 baseada na percepção. Em G0, são realizadas atividades com materiais didáticos como maquetes, plantas e dobradura; em G1, os alunos elaboram conjecturas e constatações por meio da construção de figuras com instrumentos de Desenho Geométrico. G2- Geometrias Proto-axiomáticas e G3- Geometria Axiomática integram o conjunto das Geometrias Axiomáticas, nas quais os objetos são teóricos e a validação é dedutiva. A figura construída em G1 ganha status de figura genérica em G2 e a dedução é aceita como validação num sistema axiomático; e em G3, o aluno compreende e trabalha em diferentes sistemas axiomáticos. A Organização Praxeológica, desenvolvida por Chevallard (1999), fundamenta a segunda categoria de análise mencionada em parágrafo anterior. Para esse autor, uma organização praxeológica é composta de tarefa, técnica, tecnologia e teoria. A tarefa é geralmente uma ação expressa por um verbo e se refere a um objeto preciso; a técnica é a forma de realizar a tarefa; a tecnologia justifica racionalmente e explica a técnica; e a teoria representa um nível superior de justificação, explicação e produção. O estudo da organização praxeológica associado aos exercícios propostos sobre propriedades geométricas é um dos objetivos do trabalho de Carlovich (2005). Na terceira categoria, é utilizada a teoria dos registros de representações semióticas, elaborada por Duval (1993). Segundo este autor, há vários registros de representações semióticas para um mesmo objeto matemático, para que este possa ser mobilizado pelo sujeito. Um mesmo objeto possui várias representações que podem ser de natureza completamente diversas, por exemplo, de natureza gráfica, algébrica, numérica. A importância do estudo destes diferentes registros para a Educação Matemática se baseia na premissa de que o aluno só constrói um conceito relativo a um objeto matemático, quando é capaz de mobilizar mais de um registro de representação semiótica deste objeto. Duval (1993) afirma que na elaboração de uma demonstração, os alunos não operam naturalmente a conversão entre os registros, sendo necessário atividades que explorem tais conversões. Carlovich (2005) procurou descrever como se dá a articulação dos diferentes registros de representação semiótica em uma demonstração geométrica. A autora conclui que, nas coleções de livros escolares de 1990, o estudo da Geometria é concentrado num único capítulo; em duas, ele é apresentado no final, e sem integração com outros campos da Matemática. Há poucas validações empíricas e um predomínio das validações dedutivas, não havendo articulação entre

48 47 G1 geometria spatio-graphique e G2 geometria proto-axiomática. Os níveis de rigor nas validações dedutivas variam de coleção para coleção. Não foi observada a explicação da importância da demonstração como único meio de validação nas três coleções, mas percebeu-se a substituição gradual da apresentação euclidiana 13 por outra menos formal, inserindo, no texto, exemplos de aplicações práticas dos conceitos geométricos. Carlovich (2005) constatou que, ao contrário das coleções de 1990, nas coleções de 2000, há integração de Geometria com outros campos da Matemática. São observadas validações empíricas e dedutivas, mas em duas destas coleções não foi observada a preocupação de conscientizar os alunos dos limites do empirismo. Nas três coleções de 2000, os termos da Geometria dedutiva como postulado e teorema não são explicados. Também observou que há a intenção de ensinar o aluno a demonstrar a partir de demonstrações prontas, sem discussão sobre as técnicas de demonstração e a lógica subjacente. Carlovich (2005) estabeleceu cinco enfoques para o estudo das propriedades geométricas, a saber: empírico, dedutivista, heurístico, empírico-dedutivista e empírico-heurístico. No enfoque empírico, ocorre generalização de propriedades após observações de casos particulares. No dedutivista, as propriedades e suas demonstrações são apresentadas aos alunos, os quais não participam da elaboração de conjecturas e não há reflexões. O aluno é sujeito ativo no processo de elaboração de conjecturas e da demonstração no enfoque heurístico. No empírico-dedutivista, as propriedades são estudadas empiricamente e após, dedutivamente. No enfoque empírico-heurístico, as propriedades são investigadas e em seguida o aluno é convidado a elaborar uma demonstração. Nas coleções da década de 1990, predomina o enfoque dedutivista. Os enfoques empírico e heurístico caracterizam as coleções da década de Á luz da terceira categoria, Carlovich (2005) afirma que o registro figural está presente na maioria das coleções de 1990 e 2000, e se apresenta como apoio para o raciocínio dedutivo. Mas a presença do registro discursivo também é significativo nas coleções das duas décadas, em especial nas três coleções de Tal registro 13 O adjetivo euclidiana é utilizado por Carlovich para designar a apresentação do conteúdo, nos livros didáticos, no formato definições, propriedades e exercícios, fazendo referência explícita ao modo de organização da obra Elementos, escrita por Euclides.

49 48 manifesta-se nas recomendações de debates e discussões em grupo para elaboração de demonstrações de propriedades geométricas. O registro matemático transparece nas coleções de 1990 e 2000 pelo viés algébrico, quando se utilizam símbolos matemáticos para escrever as sentenças matemáticas e cálculos algébricos. Este registro surge ao longo de todas as coleções em igual intensidade, não sendo observado um aumento gradual em seu uso. A conversão de registros, fator fundamental para a aprendizagem de conceitos matemáticos segundo Duval (1993), não foi encontrada pela autora na maioria das coleções das duas décadas estudadas. Podemos considerar como principais recomendações da autora para o ensino de demonstrações em sala de aula: a utilização do enfoque empírico-heurístico na abordagem das demonstrações de propriedades geométricas, a discussão da limitação das validações empíricas, o estudo de técnicas de demonstração (adaptado ao nível do aluno) e proposta de atividades que possibilitem conversões entre os registros figural, discursivo e matemático. Carlovich sugere como temas de pesquisa a prática pedagógica dos professores referente ao ensino de demonstração geométrica no terceiro e quarto ciclos, bem como um trabalho de conscientização de professores a integrar provas e demonstrações ao processo de formação de seus alunos. Nosso trabalho de pesquisa, de certo modo, atende a esta orientação, pois toma como hipótese a necessidade de preparar professores em formação inicial para que possam desenvolver com seus alunos da Educação Fundamental e Média, atividades que possibilitem a compreensão da demonstração na Matemática e sua elaboração. Os resultados deste trabalho nos permitiram formular a hipótese que a formação inicial em licenciatura em Matemática talvez não esteja abordando a demonstração, e em especial, em Geometria, na medida necessária, para que os licenciandos compreendam o papel da demonstração na construção do conhecimento matemática. Podemos supor também que o trabalho com demonstrações na graduação não esteja formando o futuro professor para desenvolver este tópico na Educação Básica, ou seja, nos termos de Shulman (1986), não está permitindo ao professor em formação inicial construir seu

50 49 conhecimento pedagógico sobre a demonstração, tampouco o conhecimento específico. 2.4 A Tecnologia informática e o desenvolvimento do processo de argumentação e demonstração em Geometria A tecnologia e o ensino e aprendizagem de Geometria A tecnologia informática trouxe para a sala de aula possibilidades impensadas para o ensino e aprendizagem de Matemática. Tais possibilidades são extremamente ampliadas no que se refere à Geometria, pois o desenvolvimento de softwares de geometria dinâmica conferiram, de modo irrevogável, movimento às figuras geométricas, antes estáticas, [...] permitindo a manipulação direta de objetos geométricos representados na tela do monitor, via teclado ou mouse. Desta forma, o movimento surge relacionado a este dinamismo das figuras, que provêm dos recursos dos programas que possibilitam o deslocamento dos objetos, designado pelo agarrar-arrastar dos elementos geométricos (DIAS, 2005, p. 58). Tal movimentação preserva as relações de construção subjacentes às figuras. Tomando a designação estabelecida por Laborde (1994), segundo a qual figura e desenho são considerados elementos distintos, sendo a primeira referente ao objeto geométrico teórico, enquanto que o segundo refere-se à entidade material 14. Pode-se afirmar que o que se movimenta na tela do monitor são os desenhos relacionados às figuras que são por eles representadas. A utilização de softwares de geometria dinâmica no ensino e aprendizagem de Geometria tanto pode ser mais uma ilustração para a aula como um rico material didático que instiga a curiosidade dos alunos e aguça seu espírito investigativo, levando-os a elaborar conjecturas sobre situações diversas. O professor desempenha um importante papel nestas duas opções, pois é ele que decide o tipo de abordagem destas atividades. Se o professor objetiva que o aluno permaneça no nível perceptivo 15, ele explorará tais softwares como meros ilustradores para as propriedades das figuras geométricas. Mas, ao contrário, se o professor encaminha 14 Assim, por exemplo, desenhos de paralelogramos representam uma entidade teórica que é a figura paralelogramo definida como o quadrilátero que possui os lados opostos paralelos. 15 Segundo Parzysz (2006), o aluno encontra-se no nível perceptivo quando se refere a objetos da realidade, ou seja, objetos que são realizações materiais de objetos teóricos.

51 50 os alunos para tarefas de observação, formulação e testagem de conjecturas em ambientes de geometria dinâmica, estes estarão sendo utilizados como instrumentos de suporte ao desenvolvimento do raciocínio dedutivo (OLIVERO, PAOLA e ROBUTTI, 2003). Hofstadter (1997; apud VILLIERS, 2002) atenta para o fato de que experimentações em Geometria utilizando software de geometria dinâmica contribuem para reforçar a convicção de que certo fato é verdadeiro e também para incentivar a demonstração. Afirma, também, que a movimentação de uma figura na tela do computador (ele se refere ao Geometer s Sketchpad) pode determinar o grau de confiança na validade de uma conjectura e a necessidade da demonstração como explicação para tal validade: A beleza do Geometer s Sketchpad está em que ele permite que uma pessoa descubra instantaneamente se uma conjectura está certa ou errada se estiver errada, isso é imediatamente óbvio quando se manipula uma construção no ecrã de forma dinâmica. Se estiver certa, as coisas mantêmse sincronicamente consistentes, seja qual for a forma de mexer na figura. O grau de certeza e confiança que isso nos dá é francamente espantoso. Claro que não é uma demonstração, mas eu diria que, em certo sentido, este tipo de contacto directo com o fenômeno é mesmo mais convincente que uma demonstração porque uma pessoa vê-o realmente acontecer à sua frente. Nada disso significa que eu não queira uma demonstração. No fundo as demonstrações são ingredientes críticos do conhecimento matemático, e eu gosto tanto delas como qualquer outra pessoa. Apenas não sou um dos que acredita que a certeza só se adquire com a demonstração. (HOFSTADTER, 1997 apud VILLIERS, 2002, p. 10) A tecnologia e a demonstração em Geometria Garnica (1996), após analisar a literatura relacionada à prova rigorosa na Matemática e na Educação Matemática, afirma que a informática e a prova rigorosa constituem questões polêmicas, envolvidas em paradoxos que tratam da validade, teoria e prática. Borba (1999) afirma que a ênfase na demonstração como uma argumentação apoiada nas leis da lógica difundiu-se devido às mídias disponíveis na época de Euclides - oralidade e escrita. Ele ainda afirma que nas sociedades em que predominava a oralidade, talvez este modo de demonstrar não se estabelecesse. Para Borba (1999), a tecnologia informática pode transformar a compreensão do que seja uma demonstração rigorosa, além de modificar a sua estruturação. A partir da tese formulada por Borba, elaboramos uma hipótese: uma validação pragmática utilizando recursos de um software de geometria dinâmica, por exemplo, poderia ser

52 51 considerada uma prova, pois a engenharia subjacente a este software, calcada em teorias matemáticas já provadas, já seria uma garantia da validade matemática desta comprovação fornecida pelo tal software. Até que ponto tais teorias substituiriam uma demonstração é uma questão polêmica de pesquisa. Considerando o exposto no parágrafo anterior, a validação obtida por meio dos softwares de geometria dinâmica é considerada pragmática segundo Parzysz (2001, 2006) e Balacheff (1987), pois está apoiada nas observações do objeto físico, que são as figuras construídas pelo usuário no software. Deste modo, a validação pragmática fornecida pelos softwares de geometria dinâmica não são consideradas demonstrações no sentido de Balacheff (1987), pois não estão apoiadas na teoria geométrica, não sendo fruto de deduções matemáticas. Tais validações podem ser classificadas como provas do tipo empirismo ingênuo ou experiência crucial (BALACHEFF, 1987). Segundo Parzysz (2001), a validação pragmática está relacionada ao nível de raciocínio geométrico G0 e G1. Otte (2003) afirma que a Geometria é baseada na introspecção e envolve dois procedimentos: a síntese e a análise. A síntese refere-se à construção com régua e compasso, enquanto a análise é especialmente utilizada para os casos nos quais a construção falha e é a mais valorizada na cultura matemática. Mas em relação ao ensino e aprendizagem, têm mais valor educativo as provas que possibilitam a introspecção, ou seja, a reflexão e consequentemente a formulação de novas hipóteses, o que significa ampliação e aprofundamento do conhecimento matemático. Sob este aspecto, Otte (2003) afirma que a cognição é relevante como metáfora da percepção e cita os softwares de geometria dinâmica como aparato útil para a concepção da percepção visual, sendo esta entendida como uma série contínua de pequenas generalizações ou de inferências abdutivas. Ainda, segundo Otte (2003), a percepção exige interpretação. Então podemos afirmar que é uma atividade do intelecto humano, uma vez que interpretar implica análises, comparações e reflexões. Deste modo, a percepção está relacionada ao contínuo do possível ao geral e os softwares de geometria dinâmica contribuem para a ativação do princípio da continuidade: Os sistemas dinâmicos da geometria (DGS) são adequados para colocar o princípio da continuidade em operação e promover assim o crescimento de hipóteses férteis. Sistemas de representação assim como dos DGS, tendo revitalizado esse princípio, têm um papel muito importante no desenvolvimento cognitivo porque realizam uma interação íntima e indissoluta entre a observação e o raciocínio. (OTTE, 2003, p. 41

53 52 Finalmente Otte (2003) destaca uma contribuição relevante dos sistemas dinâmicos de geometria, nos quais se incluem os softwares de geometria dinâmica: a interação entre a observação e o raciocínio propiciada por estes sistemas pode estimular o raciocínio hipotético-dedutivo do aluno, pois ao observar a movimentação das figuras na tela do monitor, o estudante percebe relações entre os elementos desta, e esboça estratégias de argumentação a fim de justificar as suas observações. Este tipo de raciocínio favorece a construção de provas do tipo exemplo genérico e experiência mental, sendo compatível com os níveis de raciocínio geométrico G2 (PARZYSZ, 2001). Villiers (2002) afirma que no início do trabalho com demonstrações, não se deve utilizar a geometria dinâmica para trabalhar a primeira como meio de verificação, pois será mais significativo para os alunos iniciar o estudo de demonstrações com a função de explicação e descoberta. Mas ele alerta que os alunos precisam ser iniciados o quanto antes nas atividades de resolução de problemas, possibilitando-os situações de sala de aula nos quais os mesmos possam explorar, conjecturar, refutar, reformular, explicar, etc. O autor, ainda, ressalta a utilização dos softwares de geometria dinâmica como instrumento adequado para verificação de conjecturas verdadeiras e construção de contraexemplos, incentivando as ações descritas anteriormente. As atividades de verificação em ambientes de geometria dinâmica, de conjecturas verdadeiras, são adequadas aos níveis de raciocínio geométrico G1 no qual a validação é perceptiva. Por outro lado, a construção de contraexemplos exige uma elaboração teórica pelo aluno, o que é compatível com o nível de raciocínio geométrico G2. Do trabalho empreendido pelo aluno para compor um contraexemplo, poderá resultar em uma prova do tipo experiência mental (BALACHEFF, 1987) O ensino e a aprendizagem de demonstração em Geometria utilizando ambientes de geometria dinâmica em pesquisa Neste item, relatamos resultados de pesquisas realizadas no Brasil e no exterior, que se relacionam com o ensino e aprendizagem de demonstração em Geometria e a utilização de ambientes de geometria dinâmica. Camargo, Samper e Perry (2007) fizeram uma investigação com futuros professores de Matemática, no âmbito da disciplina de Geometria Plana, cujo

54 53 objetivo era verificar como a utilização do software Cabri Géomètre II pelos alunos pesquisados, em situação de resolução de problemas abertos sobre temas geométricos, contribuiria para a construção de parte de um sistema axiomático de Geometria Euclidiana, por estes alunos. Os autores justificaram a escolha de alunos no nível universitário como sujeitos da pesquisa, com a insuficiência de estudos realizados sobre o ensino e aprendizagem de demonstração, correspondendo a um tratamento rigoroso requerido neste nível de ensino (MARRADES & GUTIÉRREZ, 2000, apud CAMARGO, SAMPER & PERRY, 2007). A disciplina citada estava alocada no segundo semestre do curso de licenciatura, organizado em dez semestres. O experimento de ensino durou 16 semanas, repetindo-se por vários semestres, e abordou os seguintes temas: relações entre pontos, retas, planos, ângulos, propriedades de triângulos, quadriláteros, círculos, e relações de congruência e de semelhança. Camargo, Samper e Perry (2007) atuaram como professores, sendo que apenas um deles esteve presente em todas as aulas (não foi mencionado no trabalho qual dos autores). Camargo, Samper e Perry (2007) estabeleceram normas para os alunos com respeito ao tipo de demonstração aceita: argumentação organizada logicamente usando definições, axiomas e teoremas previamente conhecidos e aceitos por todos. Os pesquisadores agruparam em quatro categorias o papel desempenhado pelo software Cabri segundo o seu uso pelos alunos durante a resolução das atividades: i) usando para entender o desenvolvimento lógico de uma demonstração; ii) usando para ajudar a desenvolver ideias para a demonstração; iii) usando para criar situações nas quais estudantes obtêm resultados suficientes para organizá-los como parte de um sistema axiomático; e iv) usando para ajudar estudantes a entender a dependência lógica entre propriedades. Com relação ao item (i), Camargo, Samper e Perry (2007) exemplificaram a seguinte situação: após os primeiros postulados, definições e teoremas do sistema axiomático serem estabelecidos, propuseram o seguinte problema: dados três pontos A, B e C não colineares, mostre que existe um ponto D tal que AB e CD bissectam-se. Os alunos responderam justificando cada construção com um postulado ou um teorema ou uma definição, motivado pelo professor que perguntava como comparar os passos da construção no Cabri II com as afirmações e justificativas da demonstração.

55 54 Aqueles autores concluíram que o uso do Cabri II para explorar problemas abertos possibilita ao aluno participar ativamente da descoberta de fatos geométricos, incorporando-os ao processo de demonstração de conjecturas, no interior do sistema axiomático. Afirmaram também que é responsabilidade do professor programar tarefas que promovam a atividade matemática de seus alunos, bem como incentivá-los a propor novas ideias, fazer conjecturas e comunicar resultados, tomando parte em debates na sala de aula. Segundo estes autores, a capacidade de construir demonstrações requer a compreensão da relação de dependência entre as propriedades geométricas, a habilidade de visualizar construções auxiliares que permitam conectar fatos conhecidos, e a convicção de que a demonstração é o único caminho legítimo para incluir fatos no sistema axiomático. Tais constatações são compatíveis com as características do alunos que possuem raciocínio geométrico G2, e também com as características da prova tipo experiência mental. Em um experimento realizado com uma dupla de alunos do liceo scientifico PNI 16, Olivero, Paola e Robutti (2003) observaram como os alunos utilizavam o Cabri-Géomètre II para conjecturar e provar afirmações em problemas abertos em Geometria. Os pesquisadores estavam interessados em saber se as ações de experimentação possibilitadas pelo ambiente Cabri II e executadas pelos alunos, os conduziriam a formular conjecturas e posteriormente prová-las. Mais precisamente, o objetivo da investigação era determinar de que modo o software contribuiria para o processo de desenvolvimento da demonstração. O uso da tecnologia informática e a dinâmica de trabalhos em grupo seguidos de discussões de resultados, em sala de aula, sob a orientação do professor, estavam inseridos no cotidiano escolar desses alunos. Os autores afirmam que esta prática faz parte de uma nova cultura na sala de aula no contexto educacional italiano. Esse trabalho é parte de um projeto 17 de pesquisa maior do grupo de Educação Matemática da Universidade de Turim, e tem por objetivo investigar as potencialidades do software de geometria dinâmica Cabri Géomètre II como suporte à produção de conjecturas em Geometria pelos alunos. Este estudo considera como 16 Esta denominação de nível de escolaridade é italiano e equivale ao Ensino Médio no contexto brasileiro. Nesta fase, os alunos têm entre 15 e 18 anos. 17 Este projeto tem a coordenação de Ferdinando Arzarello e tem a participação de professores, estudantes e pesquisadores italianos.

56 55 hipótese, baseada nos experimentos em sala de aula, que o ambiente Cabri pode auxiliar enormemente os alunos tanto na fase de elaboração de conjecturas quanto na fase do processo de elaboração da demonstração. Os autores consideram uma característica relevante do software Cabri II, do ponto de vista didático, a função de arrastar os pontos na tela, ou seja, a manipulação direta dos pontos básicos da figura via mouse. Esta ação evidencia as relações geométricas subjacentes à construção da figura. Num projeto anterior, os autores identificaram diferentes modos dos alunos moverem ( to drag) os pontos na tela do computador quando estão resolvendo problemas geométricos com o Cabri II, de acordo com os objetivos a alcançar com a movimentação dos pontos. Os quatro modos mais frequentes são: wandering dragging, que se refere ao movimento dos pontos básicos da figura para descobrir se esta apresenta propriedades e ou regularidades; guided dragging, que é a movimentação dos pontos básicos da figura para obter uma forma particular; lieu muet dragging, que é a movimentação de um ponto para que a figura conserve uma propriedade descoberta após um passo oculto, até mesmo sem ver o passo; e dragging test que é mover a figura para verificar se ela conserva a propriedade inicial, ou seja, é verificar se a figura passa no teste do arrastar. Caso não aconteça, significa que a construção não respeitou as propriedades geométricas e as características da figura desejada. Segundo Olivero, Paola e Robutti (2003), o professor desempenha um papel fundamental ao introduzir o software Cabri II, nas aulas de Matemática, pois ao enfatizar os diferentes usos da movimentação dos pontos (descritos anteriormente), desperta os estudantes para uma utilização mais proveitosa, seja testando construções em exploração de situações ou em nível teórico e perceptivo. Os autores afirmam que a maior contribuição de problemas abertos é o fato de estes possibilitarem aos alunos uma ampla produção matemática, uma vez que os mesmos são frequentemente bem sucedidos na observação de características de fatos matemáticos em situações por eles exploradas. Por outro lado, em problemas na forma prove que..., a maioria dos alunos imagina ser necessário ter uma brilhante ideia para ser capaz de solucioná-lo; e este sentimento de incapacidade pode se tornar um obstáculo ao desenvolvimento cognitivo dos alunos. Estas declarações vem de encontro ao afirmado por Borba(1999) e por Garnica (1996), sobre a validação de conjecturas em ambientes de geometria dinâmica. Ambos os autores falam das possibilidades da validação pragmática em ambiente de geometria

57 56 dinâmica vir a ser considerada uma demonstração. Relacionando esta afirmação com o comportamento dos alunos descrito acima, inferimos que a validação com apoio tecnológico pode contribuir para aumentar a confiança do aluno na sua capacidade de construção do conhecimento matemático, uma vez que os problemas abertos são os que frequentemente são explorados neste tipo de ambiente. O problema apresentado à dupla de alunos era formulado do seguinte modo (OLIVERO, PAOLA e ROBUTTI, 2003): É dado o quadrilátero ABCD. Construa um quadrado sobre cada lado AB, BC, CD e AD, na parte externa do quadrilátero. Construa os centros dos quadrados e nomeie de E, F, G e H respectivamente. 1- Após ler cuidadosamente o problema, explore o quadrilátero EFGH em relação a ABCD e elabore conjecturas ( na forma se...então). 2- Prove alguma de suas conjecturas.(p. 90) Para uma análise mais detalhada, o experimento foi dividido em três episódios e o material coletado para a análise foi o trabalho escrito dos alunos e as notas de um observador externo. A análise do processo de solução dos alunos evidenciou dois fatos cruciais da atividade cognitiva dos mesmos. A mudança nos modos de movimentar o ponto (dragging), descrita no parágrafo anterior, o uso de esboços e a transição do objeto percebido para o objeto genérico permitiram aos autores constatar o primeiro fato: a transição do perceptivo (observado no ambiente Cabri II) para o teórico (considerando a lógica da prova em Geometria). O segundo fato é a continuidade entre a exploração no Cabri II e o processo de prova que é confirmado pelo uso de alguns elementos do processo de exploração como pontos de partida para o desenvolvimento da demonstração, além do uso da linguagem. Os autores distinguem o processo de elaboração da demonstração e a demonstração propriamente dita utilizando os termos em inglês proving para o processo e proof para o produto deste processo, ou seja, a demonstração. O papel dos desenhos em Geometria bidimensional é destacado por Olivero, Paola e Robutti, apoiado em Laborde (1998, apud OLIVERO, PAOLA e ROBUTTI, 2003). É afirmado que tais desenhos desempenham uma função ambígua: por um lado eles remetem ao objeto teórico; e por outro, evidenciam propriedades do spatiografique que podem ocasionar uma interpretação de que tais propriedades pertençam somente àqueles diagramas ao qual se relacionam. Tal ambiguidade é reforçada pelo ensino tradicional de Geometria no qual as propriedades teóricas são assimiladas estritamente com relação a um único desenho. Entretanto, tais

58 57 desenhos que são representações de objetos geométricos são imprescindíveis para a compreensão dos objetos que representam, uma vez que estes são objetos matemáticos e, portanto, acessíveis apenas por meio de suas representações (BALACHEFF, 1998; OTTE, 1999). Os pesquisadores compreendem que a representação dos objetos geométricos em ambientes de geometria dinâmica, como o Cabri II, contribui para estimular a transição do nível perceptivo ( em particular, no interior de um ambiente de geometria dinâmica) para o nível teórico ( tendo em vista a lógica da demonstração em Geometria), pois ao manipular o objeto empírico e obter o feedback desta movimentação, o aluno vê um como muitos, ou seja, as múltiplas formas do objeto obtidas por meio da manipulação direta, exibindo propriedades comuns que caracterizam o objeto teórico. Estas propriedades surgem garantidas pela lógica interna do software de acordo com o modo de construção da figura. Os autores concluem que a utilização do software por ele mesmo não garante a transição do objeto empírico para o objeto genérico, do nível perceptivo para o nível teórico. Nesta transição, o papel do professor é fundamental no acesso do aluno ao pensamento teórico, pois a aprendizagem baseada em ambientes computacionais pode ser bem mais complexa do que se supõe, e estes necessitam ser bem explorados tanto pelo professor quanto pelo aluno, em consonância com os objetivos de aprendizagem. Olivero, Paola e Robutti (2003), ainda, alertam para a possibilidade do uso de ambientes como o Cabri II tornar-se um obstáculo para a evolução do pensamento empírico para o pensamento teórico. Isto pode acontecer se o professor não explicitar o papel da prova na justificativa e não estimular os alunos a explicar o porquê da veracidade de suas conjecturas, uma vez que estas, sendo obtidas por meio de ações realizadas no Cabri II (ou em ambiente semelhante), já bastam para os alunos ficarem convencidos. Portanto, é imperativo que o professor tenha consciência deste risco e encoraje seus alunos a justificar suas conjecturas com demonstrações. As atitudes que o professor deve apresentar no comando de uma atividade em ambiente de geometria dinâmica, citadas nos parágrafos anteriores, são importantes para que o aluno possa evoluir nos níveis de raciocínio geométrico G0, G1, G2 e G3 (PARZYSZ, 2001, 2006).

59 58 Gravina (2001) investigou a relação entre os ambientes de geometria dinâmica e o pensamento hipotético dedutivo. Sua pesquisa envolveu um grupo de 16 alunos do primeiro período do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, numa turma especial da disciplina Geometria I, no primeiro semestre de 2000, distribuídos em oito duplas inicialmente, que após a desistência de três alunos, mantiveram-se cinco duplas e três alunos trabalhando individualmente até o final da pesquisa. A parte experimental da investigação foi composta de uma atividade preliminar e sete atividades que compuseram as situações didáticas 18. Todas as atividades foram resolvidas com o auxílio do software de geometria dinâmica Cabri-géomètre II em vinte sessões de trabalho. A metodologia de pesquisa utilizada foi a Engenharia Didática, que consiste na concepção, realização, observação e análise a priori e a posteriori de sequências de ensino. Gravina (2001) utilizou em sua pesquisa a teoria piagetiana como base para compreensão da construção do conhecimento pelo aluno, relacionando as fases do desenvolvimento da criança (sensório-motor, pré-operatório, operatório-concreto e operatório-formal) com os níveis de pensamento geométrico elaborados por Van Hiele (visualização, análise, dedução informal, dedução formal e rigor). A autora ainda utilizou a teoria de Piaget (abstrações empíricas, abstrações pseudoempíricas, abstrações reflexionantes) para entender a evolução do pensamento geométrico e analisar os resultados obtidos nesta investigação. No trabalho de Gravina (2001), a natureza da Geometria, bem como a construção do pensamento geométrico são declaradas complexas, uma vez que os resultados mais teóricos e abstratos dependem (ou nela se iniciam) da observação dos objetos físicos. A passagem do pensamento empírico com relação à observação de propriedades, para o pensamento dedutivo, e à dedução matemática de propriedades, necessita da superação de dificuldades que não ocorrem de forma espontânea e que exigem, para tal, uma estratégia direcionada. 18 Neste trabalho, as situações didáticas são entendidas nos termos de Brousseau(1986), como sendo uma situação de sala de aula envolvendo alunos, professores e um determinado saber escolar, composta dos seguintes momentos: Contextualização e devolução, Situação adidática (ação, formulação e validação) e institucionalização.

60 59 O significado e diversos aspectos do ensino e aprendizagem da demonstração em Geometria são amplamente discutidos por Gravina (2001), com base em diversos estudos (DAVIS & HERSH,1983; BALLACHEF,1991; CHAZAN,1993; VILLIERS,1997; CURY,1994; ZYKOVA,1969; DUVAL,1995; FISCHBEIN,1994, apud GRAVINA, 2001). Segundo Gravina (2001), tais estudos, em geral, constatam a dificuldade dos alunos em compreender a necessidade da demonstração formal, satisfazendo-se com comprovações empíricas de muitos casos. A autora também observou a resistência na transição do pensamento empírico para o pensamento dedutivo, as dificuldades na interpretação e reconstrução do desenho correspondente a um teorema e a influência da aparência da figura estática na elaboração de conjecturas, o uso inadequado de hipóteses que garantem a aplicação de teoremas já conhecidos e o uso da própria tese ou de propriedades dela decorrentes na elaboração da demonstração. As relações entre o pensamento visual e a argumentação são tratadas, no trabalho dessa autora, à luz das contribuições das situações de ensino inseridas em ambientes de geometria dinâmica, entre elas a possibilidade de explorar vários desenhos de uma mesma figura (LABORDE, 1992, apud GRAVINA, 2001) e o incentivo à investigação matemática. Mas, por outro lado, há o fato de esta intensa experimentação conduzir os alunos a priorizar validações empíricas (LABORDE,1992; HOYLES & JONES, 1998, apud GRAVINA, 2001). Gravina cita Hoyle e Noss (1992) ao afirmar a necessidade de intervenções pedagógicas adequadas para reverter tais situações, ou seja, fazer com que a investigação em ambientes de geometria dinâmica estimule nos alunos atitudes de argumentação dedutiva. Os resultados obtidos permitiram à autora responder as duas questões de pesquisa por ela formuladas: - Como os ambientes de geometria dinâmica podem contribuir para que os alunos entendam o significado de demonstrações? - Como os ambientes de geometria dinâmica podem contribuir para que os alunos construam suas próprias demonstrações? Gravina (2001) constatou que os alunos, ao longo da experimentação, passaram a considerar o desenho como uma representação momentânea de um objeto geométrico; entenderam a finalidade e a necessidade da demonstração, atitudes estas possibilitadas pela percepção de que determinações do desenho

61 60 cedem lugar à relações geométricas que não dependem de escolha e que demandam explicações; se comportaram como os matemáticos em processo de criação e de validação de uma conjectura, formulando-as e reformulando-as, após muitos experimentos; e compreenderam o desenho como um suporte à argumentação dedutiva, exigindo reinterpretações, reconstruções e extensões. Ainda com respeito às questões, tomando as palavras de Gravina (2001): A utilização do ambiente de geometria dinâmica favoreceu a ascensão de patamar de conhecimento geométrico; a partir do patamar de conhecimento ainda empírico, os alunos ascenderam àquele em que a geometria é entendida como um modelo teórico. Neste novo patamar, com os desenhos em movimento os alunos desenvolveram progressivamente habilidades para construir suas próprias demonstrações; a utilização do ambiente também favoreceu os pensamentos de natureza visual, fonte de insights para a construção de demonstrações(p. 191). As conclusões ora relatadas muito devem ao perfil das atividades elaboradas a fim de que se utilizassem intensamente os desenhos em movimento, o que possibilitou a apresentação de teoremas clássicos da Geometria como problemas em aberto, e também da utilização das atividades do tipo caixa preta. A autora alertou que, apesar da grande contribuição das atividades do tipo caixa preta para os resultados obtidos, é bom lembrar que essas não são suficientes para o aprendizado das demonstrações, pois as mesmas modelam o processo de investigação, que começa com a pesquisa de regularidades por meio da movimentação do desenho, conduzindo à construção de uma possível cópia que será validada por novas experimentações, e por fim culminará com a produção de uma demonstração. Portanto, atentou para a necessidade de se explorar problemas nos quais não sejam dados indicativos de estratégias de exploração. Deste trabalho, emergem questões cuja investigação contribuirá para a educação geométrica, em particular para o ensino e aprendizado de demonstrações, a saber: Como enunciar os diferentes teoremas da Geometria sob a forma de problemas em aberto, de modo a que se tornem, mediante os desenhos em movimento, motivo de rica exploração de ideias matemáticas. (GRAVINA, 2001, p.192). O estudo de uma tipologia dinâmica 19 para os teoremas clássicos da Geometria, de forma a tirar-se o máximo proveito dos desenhos em movimento como suporte à exploração de ideias matemáticas generalizadoras. (GRAVINA, 2001,p. 193). 19 Proposta inspirada nas ideias de E. P. Goldenberg, expostas em Rumination about dynamic imagery (1995)

62 61 De que forma os resultados de uma investigação tornam-se úteis ao professor de matemática, comprometido, em seu cotidiano, com tantas aulas e alunos? (GRAVINA, 2001, p. 194). Em sua investigação, Gravina (2001) concluiu que os ambientes de geometria dinâmica propiciam o desenvolvimento do raciocínio hipotético-dedutivo, com base em observações e produções de alunos trabalhando com problemas abertos em Geometria no software Cabri-Géomètre II. Nosso trabalho se propõe a descrever de que modo se dá tal desenvolvimento. Parzysz (2006) e sua equipe desenvolveram uma pesquisa com 878 futuros professores para as séries iniciais em formação inicial (designados pela sigla PE1). Este trabalho trazia como objetivos: (1) identificar e classificar os tipos de argumentação utilizados em Geometria pelos PE1; (2) experimentar o quadro teórico 20 por eles desenvolvido e (3) elaborar e testar as engenharias didáticas, utilizando ambiente papel e lápis e ambiente informático, destinadas a gerar a tomada de consciência pelos PE1 da distinção entre G1 e G2 bem como desenvolver habilidades em Geometria. Segundo o relato do autor, inicialmente os futuros professores responderam uma lista de questões e participaram de sessões experimentais. São comentados três itens da lista de questões (itens 3, 5 e 8) e duas sessões experimentais 21. Nos três itens, a tarefa solicitada era a construção da mediatriz do segmento MN. A diferença entre eles ficava por conta da posição de MN na folha de resposta (Figura 7), o que determinava em parte o processo a ser utilizado. Item 3 Item 5 Item 8 Figura 7: Posições do segmento MN na folha de resposta dos itens 3, 5 e 8, respectivamente, da pesquisa realizada por Parzysz. 20 Quadro teórico descrito neste trabalho, nas páginas Para um estudo mais detalhado, o autor remete a Parzysz & Jore (2002).

63 62 Parzysz (2006) pretendia com estas tarefas, verificar se no item 3, a restrição imposta conduziria a procedimentos diferentes daqueles utilizados no item 5, no qual observaram-se os processos empregados pelos futuros professores para construir a mediatriz do segmento MN; e se no item 8, os futuros professores perceberiam que os pontos U e E determinavam a mediatriz procurada. Observou-se que no item 5, como já era esperado por Parzysz (2006) e sua equipe, o procedimento mais utilizado (78%) é a determinação de dois pontos de interseção de arcos de circunferência de mesmo raio, com centros em M e N, estando estes pontos em semiplanos distintos dos determinados pela reta MN, diferindo na medida do raio que era o próprio segmento MN. Foi identificado no item 3 que os futuros professores (51%) empregaram uma única interseção de dois arcos associada ao traçado de um ângulo reto ou a determinação do ponto médio. O procedimento relativo ao uso de esquadro e do ponto médio surge em 28% das questões analisadas. No item 8, o traçado direto da mediatriz utilizando os pontos U e E ocorreu em 49% das questões analisadas, e 18% dos futuros professores determinaram a mediatriz por meio dos pontos U ou E e um outro ponto encontrado por interseção de arcos ou ponto médio ou perpendicular. O autor conclui, após a análise das respostas obtidas aos itens 3, 5 e 8, que os futuros professores os quais obtiveram a mediatriz pelo processo da interseção de arcos com raio igual a MN, apresentaram dificuldades em trocar de estratégia de resolução devido à limitação de espaço imposta no desenho do item 3. O autor justifica o ocorrido pela consolidação de tal procedimento geométrico, consistindo num simples saber-fazer que não estabelece relações com um saber geométrico. Afirma ainda que grande parte dos futuros professores não relacionaram a propriedade relevante de G2 e a técnica por eles aplicada em G1, sendo esta completamente sem sentido para eles, ou seja, eles aprenderam o processo geométrico para construir a mediatriz, mas não compreenderam os fundamentos teóricos de tal processo. Na primeira sessão experimental, foi proposta aos futuros professores uma situação não identificada como própria de G1 ou de G2 e consistia na indicação de meios possíveis para responder à questão proposta de Geometria. Eles resolveram a tarefa no ambiente papel e lápis, estando organizados em grupos de quatro. Os

64 63 componentes de um mesmo grupo receberam, cada um, uma versão numericamente diferente de um mesmo problema cujo enunciado geral era: Trace uma reta d. Chamamos O um ponto desta reta. Trace a circunferência C1 de centro O e raio R 1. Esta circunferência corta a reta d em dois pontos A e B. Trace a circunferência C2 de centro A e raio R 2. Trace a circunferência C3 de centro A e raio R 3. A circunferência corta C2 em dois pontos C e D. Qual(ais) meio(s) você pode utilizar para saber se a reta CD é, ou não, a mediatriz do segmento AB? A diferença numérica se referia aos valores desiguais para R 1, R 2 e R 3 de modo que em duas versões ocorria (R 1 )² + (R 2 )² = ( R 3 )², e nas outras duas (R 1 )² + +(R 2 )² era próximo de ( R 3 )². Isto implicava o fato de que em duas versões CD era mediatriz de AB e nas outras duas não era, sendo a diferença imperceptível, visualmente, de modo que para uma dupla, a resposta à pergunta era sim em G1 e em G2, e para a outra dupla era sim em G1 e não em G2. (Figura 8 ) Figura 8: Construção relativa à tarefa da sessão experimental.

65 64 Em outra sessão experimental, realizada no ambiente de geometria dinâmica Cabri-Géomètre II, foi apresentado aos alunos um problema com o seguinte enunciado: Sejam A e B dois pontos do plano e O, o ponto médio do segmento AB. Sejam M um ponto do plano e M o simétrico de M em relação ao ponto O. Traçar a circunferência de centro A passando por M e a circunferência de centro B passando por M. Chamamos I um ponto de interseção destas duas circunferências. O que acontece com o ponto I quando o ponto M se desloca no plano? No que se refere às diferenças e semelhanças constatadas nos dois ambientes, Parzysz afirma que estas afloram nos efeitos induzidos por cada um dos ambientes, sobretudo o fato de o software Cabri-Géomètre II possibilitar um acesso demasiadamente fácil à conjectura devido ao seu aspecto dinâmico. Em relação ao processo de validação, o autor sublinha que a evidência visual da figura funciona como um obstáculo ao processo de elaboração de demonstrações nos dois ambientes, porém sendo mais intenso no ambiente Cabri-Géomètre II devido à grande precisão dos desenhos realizados neste. A investigação levou o autor a concluir que os futuros professores possuem um conhecimento geométrico adequado para ensinar Geometria na escola elementar 22, mas este conhecimento não é suficiente para que a maior parte deles identifique diferenças entre prova perceptiva e demonstração, além de não compreender que as figuras que eles constroem são apenas representações materiais de objetos teóricos da Geometria abordada nas etapas finais do Ensino Médio (Lycée). Parzysz (2006) recomenda uma discussão sobre o status e os papeis da figura nos ambientes lápis & papel e de geometria dinâmica na formação dos professores de Matemática, intentando levá-los a reconhecer, em seu discurso e em suas produções, assim como nas de seus alunos, os paradigmas colocados em jogo. O autor, ainda, adverte a respeito da inclusão nos dispositivos de formação de situações geométricas ambíguas, isto é, tarefas nas quais um determinado paradigma não esteja evidenciado, ou a figura se revele enganosa, suscitando 22 Referindo-se ao sistema de ensino francês.

66 65 investigações a seu respeito. Do mesmo modo, é importante o papel do professor na gestão de debates consecutivos à resolução de tais situações. Como síntese da apresentação das pesquisas aqui citadas, podemos observar que o fato de o ambiente de geometria dinâmica se tornar um obstáculo à elaboração de demonstrações, devido à precisão de seus traçados e do teste de inúmeros casos devido à movimentação das figuras na tela, é evidenciado nas conclusões das pesquisas realizadas por Olivero, Paola e Robutti (2003) e por Parzysz (2006). Pode-se afirmar que tais ambientes colocam em foco a função de explicação da demonstração (VILLIERS, 2002). Diante deste convencimento que os ambientes de geometria dinâmica provocam sobre conjecturas formuladas com base em experimentos neles realizados, é imprescindível que o professor alerte seus alunos para o fato de que os resultados obtidos nestes ambientes induzem à certeza da validade destes, mas não explicam o porquê de serem verdadeiros e que tal explicação apenas é encontrada na Matemática, por meio de argumentações logicamente encadeadas. Chazan e Houde (1989) sugerem que o professor mostre a diferença qualitativa entre a prova dedutiva e conjecturas formuladas com bases em experimentações, enfatizando o conhecimento que o aluno possui sobre a conjectura por meio de sua investigação no ambiente de geometria dinâmica, e o que ele sabe após tê-la provado. 2.5 A demonstração na formação do professor de Matemática da Educação Básica Algumas considerações O professor de Matemática deve construir, em sua formação inicial e/ou continuada, um conjunto de conhecimentos matemáticos suficientes para a sua prática profissional (ministrar aulas) e para a sua formação continuada (desenvolvimento profissional) (SHULMANN, 1986). Dentre estes conhecimentos, destaca-se a compreensão da demonstração tanto na Matemática como ciência, quanto na aprendizagem e ensino da Matemática como disciplina escolar, incluindo a contribuição para a constituição do raciocínio dedutivo do aluno da Escola Básica, visando ao seu desenvolvimento cognitivo. Pesquisas indicam que a discussão sobre o papel da demonstração em Matemática, sob os aspectos mencionados no parágrafo anterior, não tem se

67 66 efetivado nos cursos de licenciatura em Matemática, na medida necessária para tornar o futuro professor apto a desenvolver em sala de aula atividades de natureza dedutiva (DOMINGOS e FONSECA, 2008; GRAVINA, 2001; PIETROPAOLO, 2005; SERRALHEIRO, 2007). Nos cursos de bacharelado em Matemática, não existe, entre os formadores responsáveis por estes cursos, dúvidas sobre abordar ou não as demonstrações. Nos cursos de licenciatura, no entanto, o ensino e a aprendizagem de demonstrações diferem de instituição para instituição. Há desde licenciaturas com ênfase excessiva no estudo das demonstrações, geralmente cursos nos quais imperou o modelo 3+1, ou seja, três anos de estudos em Matemática e mais um ano de disciplinas pedagógica; até licenciaturas nas quais o ensino de demonstrações restringe-se a alguns teoremas demonstrados em disciplinas específicas. Mas, na grande maioria, pesquisas apontam a quase inexistência de reflexão sobre a pertinência do ensino e aprendizagem desta atividade matemática no Ensino Básico, bem como a discussão a respeito das práticas pedagógicas adequadas para tal abordagem. (DOMINGOS e FONSECA, 2008; PIETROPAOLO, 2005). Nos demais cursos de graduação que possuem uma quantidade considerável de conteúdos matemáticos, geralmente estes são apresentados com uma abordagem voltada para as aplicações em cada área específica do conhecimento relativo ao curso. E quando são realizadas algumas demonstrações, estas são apresentadas pelo professor como algo pronto e intocável, reforçando muitas vezes a visão de muitos alunos sobre a Matemática como um conhecimento pronto e organizado, acessível a poucos. Em todas as situações descritas, nos parágrafos anteriores, persiste o que Garnica (1995) classifica como leitura técnica da prova rigorosa: as demonstrações são tratadas como atestado de qualidade para a validade incontestável de afirmações, apoiadas nas leis da Lógica e indispensável para a inserção no conhecimento matemático. O autor detecta duas leituras para a prova rigorosa: a técnica e a crítica. Nesta última, a prova carece de reflexões sobre a sua pertinência tendo em vista parâmetros estabelecidos pela comunidade matemática, trazendo para a discussão os limites, obstáculos e relativismos inerentes ao tratamento da prova rigorosa em sala de aula.

68 67 Pires (2005) ressalta a importância da abordagem conveniente para os conteúdos matemáticos que integram a formação matemática dos professores. Segundo esta autora, no que se refere a teoremas, axiomas, definições e provas, vale observar que o conhecimento de seus enunciados e demonstrações tal como se apresentam nos livros-texto não é suficiente para a dotar o professor em formação de habilidades para a resolução de problemas, o que constituirá um obstáculo para a sua utilização em sala de aula. A fim de reverter a situação que se anuncia, no parágrafo anterior, faz-se necessário que os professores sejam formados em ambientes nos quais o questionamento sobre afirmações prontas, a investigação de situações matemáticas, a elaboração de conjecturas e discussões sobre a necessidade da demonstração e a sua produção estejam sempre presentes (FERNANDES e FONSECA, 2008) A demonstração no currículo da formação inicial de professores da Educação Básica Educadores matemáticos acedem que as demonstrações devem ser trabalhadas, nas aulas de Matemática da Educação Básica, e que este trabalho está intrinsecamente relacionado com o desenvolvido na formação inicial do professor de Matemática (PIETROPAOLO, 2005). Esta perspectiva está em acordo com a ideia de que o professor tem uma forte tendência em reproduzir com seus alunos situações de sua formação inicial, ainda que inconscientemente. Posto isto, se é desejável que o professor aborde situações de ensino que envolvam as demonstrações, então é necessário que este vivencie, em sua formação inicial, situações semelhantes com as quais vai trabalhar em sua prática profissional, para que as primeiras funcionem como fonte de inspiração para a elaboração de outros contextos pelo futuro professor. Pietropaolo (2005) investigou a demonstração no currículo da Educação Básica e da Licenciatura em Matemática, buscando significá-la em seus respectivos contextos bem como identificar as implicações mútuas entre estes dois níveis de ensino. Suas questões de pesquisa foram assim definidas: - É desejável e possível desenvolver um trabalho com demonstrações nas aulas de Matemática em escolas da Educação Básica?

69 68 - Como professores da Educação Básica interpretam produções de prova do Ensino Fundamental e as avaliam? - Que implicações o desenvolvimento deste trabalho demonstrações na Educação Básica deveria trazer para o curso de formação de professores de Matemática? Para responder a estes questionamentos, o autor realizou entrevistas semiestruturadas com dois grupos de professores e analisou além da revisão bibliográfica. Foram entrevistados nove doutores, professores de cursos de licenciatura e/ou pesquisadores em Educação Matemática, e sete professores de Matemática do Ensino Fundamental (séries finais) e/ou Médio. Os nove doutores integraram o grupo I, no qual Pietropaolo buscou a fala da teoria ; e os sete professores compuseram o grupo II, responsáveis pela fala da prática. Os critérios que nortearam a seleção dos professores dos dois grupos foram, entre outros, a experiência nos respectivos níveis de ensino, o trabalho com provas em sala de aula e diversidade de áreas de pesquisa e de disciplinas lecionadas para os professores do grupo I. O grupo dos sete professores também analisou provas - de Geometria e de Álgebra - produzidas supostamente por alunos da oitava série objetivando apontar que ações desenvolveria com esses alunos, se fosse o professor destes. As referências teóricas deste trabalho são Balacheff (1987), Healy e Hoyles (2000), Knuth (2002) e Dreyfuz (2000) com relação ao desenvolvimento da argumentação e prova nos currículos da Educação Básica.; e Abrantes (2001), Escudero (1992), Garcia (1999, 2003), Perrenoud (2000), Pires (2000, 2002), Shulman (1986, 1992) e Garnica (1995, 2002) relacionados à formação de professores. Ao fim da análise dos dados, Pietropaolo (2005) pôde concluir que há consenso sobre a importância das demonstrações nas aulas de matemática da Educação Básica, mas há necessidade de ampliar o significado de demonstração para que esta possa ser abordada nas aulas de Matemática deste nível de ensino. A abordagem da demonstração deve se dar como processo de questionamento, de conjecturas, de contraexemplos, de refutação, de aplicação e de comunicação, abandonando o sentido formalista que a caracterizou nos currículos praticados em outros períodos.

70 69 Também é possível afirmar que as concepções e crenças que os professores têm sobre o trabalho com demonstrações na Educação Básica funcionam como obstáculos à implementação de propostas inovadoras. No que tange à formação de professores, o autor conclui que as demonstrações devem ser incluídas no currículo dos cursos de licenciatura sob o aspecto matemático e pedagógico, ou seja, estudar demonstrações porque o licenciando está se graduando num curso de Matemática, e portanto, precisa estudar este tema, por ser ele inerente à cultura matemática aspecto matemático; e por outro lado vivenciar situações análogas àquelas que o futuro professor vai desenvolver com seus alunos aspecto pedagógico. Portanto, é necessário que haja ressignificação das demonstrações nos currículos de formação inicial para que o professor em formação possa aprender a demonstrar para si e para ensinar, considerando o aspecto amplo da prova à qual se referiu o parágrafo anterior. Pietropaolo (2005) destaca a necessidade de: estudos sobre as formas pelas quais os alunos se envolvem e lidam com argumentações, conjecturas e demonstrações, além de estudos cujos objetivos sejam a investigação dos progressos dos alunos da Educação ou da Licenciatura, no desenvolvimento do raciocínio dedutivo. Seria igualmente importante investigar o desenvolvimento de demonstrações nas diferentes áreas da Matemática nos cursos de Licenciatura. (p ). É importante sublinhar a posição de cinco dos nove educadores matemáticos participantes do estudo. Eles afirmaram que a Educação Matemática precisa e deve tematizar as demonstrações, discutir suas potencialidades e limitações nos currículos de Matemática da Educação Básica e na formação de professores. Ao término deste capítulo, assinalamos as implicações dos trabalhos apresentados para a constituição do quadro teórico da nossa pesquisa. A escolha dos sujeitos pesquisados e do tema demonstrações em Geometria, foram fruto, inicialmente, da nossa vivência profissional, mas reforçada pelos resultados das pesquisas aqui relatadas, que apontaram a necessidade de investigações sobre demonstrações com professores em formação inicial (PIETROPAOLO, 2005; DOMINGOS e FONSECA, 2008; SERRALHEIRO, 2007; PARZYSZ, 2006; CAMARGO, SAMPER E PERRY, 2007). As situações de aprendizagem, que abarcam a natureza das questões elaboradas, os ambientes utilizados: papel e lápis e geometria dinâmica, bem como a nossa atuação junto aos alunos no momento da resolução das questões, foi influenciada pelos trabalhos de Otte (2003), Villiers (1990), Parzysz (2006), Olivero,

71 70 Paola e Robutti (2003) e Gravina (2001); e pelas orientações de Polya (1995) para a resolução de problemas.

72 71 CAPÍTULO 3 PROBLEMÁTICA E METODOLOGIA 3.1 Problemática Os Parâmetros Curriculares Nacionais, documento que orienta a Educação Fundamental Brasileira desde 1998, recomendam, de modo tímido, no volume destinado à Matemática, o trabalho com demonstrações, se comparado com a ênfase dada a outros recursos e tendências no ensino desta disciplina. É destacada, neste documento, a importância do exercício da indução e da dedução como elemento propulsor do desenvolvimento de ações matemáticas nos alunos, tais como resolução de problemas, formulação e testagem de hipóteses, indução, generalização e dedução imersas numa determinada lógica. Do mesmo modo, é ressaltado o valor das experiências materiais como fonte de formulação de conjecturas. Estas afirmações estão sintetizadas num dos princípios norteadores dos Parâmetros para o ensino de Matemática: o ensino de Matemática deve garantir o desenvolvimento de capacidades como: observação, estabelecimento de relações, comunicação (diferentes linguagens), argumentação e validação de processos e o estímulo às formas de raciocínio como intuição, indução, dedução, analogia, estimativa. ( BRASIL, 1998, p.56) Segundo os PCN, a Geometria é a área da Matemática que possibilitará o primeiro contato dos alunos com o raciocínio dedutivo, além de beneficiar o desenvolvimento da capacidade de argumentação e construção de demonstrações. Mas também atentam para o fato de que o seu estudo não deve se revestir de formalidade e axiomatização. Há também um alerta para o tipo de atividade que concretiza determinadas propriedades geométricas, pois algumas podem distanciar o aluno da prova formal. É citado, como exemplo, um quebra-cabeças plano para verificar o teorema de Pitágoras. Este material concreto se relaciona com uma demonstração para o teorema, por meio da aditividade de áreas. Por outro lado, a verificação de que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º, concretizada pela decomposição e composição de um modelo material de um triângulo, não tem

73 72 correspondência com nenhuma demonstração para esta propriedade, cuja prova se baseia em axiomas e teoremas sobre um par de retas paralelas. Nos Parâmetros Curriculares para o Ensino Médio (1998) e os PCN+ Matemática (2002), não há orientação explícita para o trabalho com demonstrações. Apenas afirmam que o aluno de Ensino Médio deve aprender a valorizar a demonstração como instrumento de validação do conhecimento matemático. As Orientações Curriculares para o Ensino Médio (2006) indicam que o ensino de Matemática neste nível deve possibilitar ao aluno ver esta ciência com características próprias, fundada em teoremas e demonstrações. Também colocam a Geometria como a área da Matemática na qual os alunos têm a oportunidade de contemplar mais intensamente o lado axiomático desta. Este aspecto também é sublinhado por Polya (1995). Retomamos, de modo sintetizado, os principais resultados das pesquisas apresentadas, no capítulo anterior, pois estas integram parte substancial da problemática. A inferência de que as demonstrações, em especial em Geometria, não são trabalhadas nos cursos de licenciatura em Matemática, na medida necessária para que os futuros professores possam abordá-las com seus alunos da Educação Básica, é assinalada nos trabalhos de Serralheiro (2007), Pietropaolo (2005), Domingos e Fonseca (2008), Gravina (2001). A diferença entre as validações empíricas e teóricas, bem como a conscientização do aluno sobre a necessidade desta última, constituem pontos não enfatizados nas aulas de Matemática (SERRALHEIRO, 2007; PARZYSZ, 2006) e nos livros analisados por Carlovich (2005), além de estes não contemplarem a articulação G1-G2. As implicações do trabalho com os softwares de geometria dinâmica para as investigações de problemas em Geometria, visando à elaboração de conjecturas e suas possíveis demonstrações são pontuadas por diversos pesquisadores. Gravina (2001) sublinha a necessidade de estudos de uma tipologia dinâmica para os sistemas clássicos da Geometria e a formulação de teoremas geométricos como problemas abertos. Villiers (2002) e Otte(1999) atentam para o fato de que a fase de experimentação antecede a fase da construção da demonstração, e assinalam a contribuição dos softwares de geometria dinâmica para a primeira fase. Este último aspecto é também pontuado pelos pesquisadores citados no item 2.4 desta Tese. Mas um aspecto ambíguo da experimentação em ambientes de geometria dinâmica

74 73 é levantado por Olivero, Paola e Robutti (2003) e Parzysz (2006). Segundo eles, ao mesmo tempo que incentivam a formulação de conjecturas, tais ambientes podem provocar um convencimento de tal modo que levem os alunos a imaginar ser desnecessária a demonstração destas conjecturas. A urgência de estudos sobre aspectos da demonstração na licenciatura em Matemática é pontuado por Pietropaolo (2005). Este autor ainda aponta para a necessidade de pesquisas sobre as formas de envolvimento dos alunos com argumentações, conjecturas e demonstrações. Diante do exposto nos parágrafos anteriores, surge uma interrogação: Os cursos de licenciatura em Matemática estão preparando os futuros professores para trabalhar as demonstrações nos termos expressos nos PCN s? Pesquisas relatadas, em capítulos anteriores, apontam que não. Portanto, há necessidade de investigações que produzam encaminhamentos de como preparar o professor em formação para realizar com seus alunos tarefas de cunho investigativo. Com base nas leituras feitas e, consequentemente, com base nos resultados das pesquisas relatadas, formulamos os seguintes objetivos: 1- Fazer com que os alunos evoluam na construção do raciocínio hipotéticodedutivo a partir da interação com atividades de construção geométrica e demonstração; 2- Estudar a suficiência dos níveis de raciocínio geométrico elaborados para compreensão das produções dos alunos. A partir destes objetivos, as questões que conduzirão nossa investigação são enunciadas a seguir: 1- Que articulações podemos inferir entre os níveis de raciocínio geométrico propostos por Parzysz (2001, 2006) e os tipos de prova propostos por Balacheff (1987), quando os alunos mobilizam seus conhecimentos para resolver problemas relativos à demonstração em Geometria? 2- Qual a influência da utilização de softwares de geometria dinâmica na construção de argumentações por alunos do curso de Licenciatura em Matemática?

75 Metodologia Nosso trabalho de pesquisa tem seu foco voltado para a sala de aula. Nosso interesse é investigar o que ocorre quando alunos da licenciatura em Matemática utilizam softwares de geometria dinâmica para apoiar a elaboração de conjecturas e suas posteriores demonstrações, além de identificar articulações entre os níveis de raciocínio geométrico do sujeito segundo Parzysz (2001, 2006) e os tipos de prova delineados por Balacheff (1987). A análise dos dados provenientes desta observação será o alicerce sobre o qual se erguerão as nossas propostas para o ensino de demonstrações em Geometria, na licenciatura em Matemática, objeto de estudo desta investigação. A elaboração do objetivo e das questões de pesquisa nos conduziram a eleger a pesquisa de natureza qualitativa como metodologia mais adequada ao estudo que pretendemos desenvolver. Por outro lado, nosso trabalho trata de um estudo diagnóstico, pois submete o objeto de estudo à influência de certas variáveis, em condições controladas e conhecidas por nós (o uso dos ambientes papel e lápis e geometria dinâmica). Deste modo, lançamos mão de aspectos de um estudo de caso, cuja unidade de estudo é o conjunto formado por três duplas de alunos Caracterização da pesquisa A conceituação de pesquisa qualitativa é envolvida em contradições e diferentes interpretações, sendo a dicotomia entre esta e a pesquisa quantitativa a polêmica mais comum (REY, 2002). D Ambrosio (2004) relata que a pesquisa qualitativa ganhou força com as pesquisas em Psicologia, tendo no trabalho de Piaget uma importante influência no que diz respeito à utilização de estudos de casos e método clínico para a validação de uma pesquisa. O início da pesquisa qualitativa em Educação Matemática confunde-se com o estabelecimento desta última como ciência, e portanto, como área de pesquisa. As ações para o desenvolvimento desta nova área estimularam a pesquisa de natureza qualitativa (D AMBROSIO, 2004, p. 19). Mas o que é pesquisa qualitativa? Citamos, na sequência, três autores que buscam clarear a compreensão.

76 75 A pesquisa qualitativa, também chamada de pesquisa naturalística, tem como foco entender e interpretar dados e discursos, mesmo quando envolve grupos de participantes. (D AMBROSIO, 2004, p. 12) Segundo a minha concepção, o adjetivo qualitativa estará adequado às pesquisas que reconhecem: (a) a transitoriedade de seus resultados; (b) a impossibilidade de uma hipótese a priori, cujo objetivo da pesquisa será comprovar ou refutar; (c) a não neutralidade do pesquisador que, no processo interpretativo, se vale de suas perspectivas e filtros vivenciais prévios dos quais não consegue se desvencilhar; (d) que a constituição de suas compreensões dá-se não como resultado, mas numa trajetória em que essas mesmas compreensões e também os meios de obtê-las podem ser (re)configurados; (e) a impossibilidade de estabelecer regulamentações, em procedimentos sistemáticos, prévios, estáticos e generalistas. (GARNICA, 2004, p. 86) Na pesquisa qualitativa, a preocupação do pesquisador não é com a representatividade numérica do grupo pesquisado, mas com o aprofundamento da compreensão de um grupo social, de uma organização, de uma instituição, de uma trajetória etc. (GOLDENBERG, 2000, p. 14) Ao analisar o que dizem os autores, nesta seção, observamos diferentes aspectos de uma pesquisa qualitativa. D Ambrosio (2004) enfatiza a natureza do objeto a ser pesquisado dados e discursos. Garnica (2004) coloca o foco nos meios, procedimentos e compreensão dos resultados obtidos durante e ao final da pesquisa. Goldenberg (2004) refere-se à preocupação com a compreensão de fatos restritos ao grupo pesquisado. D Ambrosio (2004) considera mais legítimo relatar sobre pesquisas no lugar metodologia de pesquisa. Nós diríamos relato de pesquisa, com todas as idas e vindas, as dúvidas, o caminho, quase sempre tortuoso para o estabelecimento da questão de pesquisa, a escolha do referencial teórico, as análises e as afirmações possíveis ao final destas análises. Deste modo, ao escrever este capítulo sobre a metodologia de pesquisa utilizada nesta investigação, resolvemos tomar a pesquisa em nossas mãos, relatando como construímos nossa metodologia ao longo do trabalho. Os objetivos da pesquisa, o objeto de estudo e os instrumentos que julgamos adequados para a coleta de dados nos aproximaram de um estudo de caso, que é uma pesquisa de natureza qualitativa (GIL, 2009). Segundo este autor, há diferentes definições e compreensões do que venha a ser um estudo de caso, mas pode-se afirmar que estudo de caso é um delineamento no qual são usadas variadas técnicas de coleta de dados, tais como a observação, a entrevista e a análise de documentos. Dentre as definições apresentadas, escolhemos a que melhor se alinha aos nossos propósitos: O estudo da

77 76 particularidade e da complexidade de um simples caso (STAKE, 1995, p.xi, apud GIL, 2009, p. 6). Apesar da diversidade de entendimentos sobre o que é estudo de caso, Gil (2009) apresenta a definição deste por meio da identificação de suas características essenciais. Na sequência, apresentamos tais características, exemplificando com aspectos da nossa pesquisa. A primeira característica identificada por Gil(2009) é o fato de o estudo de caso ser um delineamento de pesquisa, não podendo ser confundido com método, técnica, estratégia ou tática para coleta de dados. Este aspecto está presente em nossa investigação, uma vez que envolve as fases de formulação e delimitação do problema de pesquisa, escolha da amostra, seleção dos instrumentos de coleta de dados e análise dos mesmos, assim como a teoria que apoiará tal análise. O segundo atributo é a preservação do caráter unitário do fenômeno pesquisado, ou seja, o objeto de estudo é tomado em sua totalidade, em nossa investigação, na qual a unidade é o conjunto das três duplas formadas por alunos do sexto período de licenciatura em Matemática. Tais alunos serão caracterizados mais adiante neste texto. A contemporaneidade do fenômeno relacionado ao objeto de estudo é a terceira característica, isto é, a sua ocorrência se dá no momento da realização da pesquisa. Na nossa investigação, o fenômeno foi a realização da atividade proposta pelos alunos que compunham o estudo de caso, no ambiente de sala de aula. Este aspecto evidencia a inseparabilidade do fenômeno de seu contexto, que é a quarta característica do estudo de caso. A profundidade do estudo possibilitada pela variedade de dados obtidos, por exemplo, por meio de entrevistas semiestruturadas, é a quinta característica desta pesquisa. Em nossa investigação, o nível de profundidade foi garantido pelos métodos de coletas de dados (entrevista semiestruturada, observação participante, registros escritos e eletrônicos dos alunos e gravação em áudio dos diálogos entre os alunos), que nos possibilitaram a visualização de diferentes aspectos. E finalmente, destaca-se a sexta e última característica que diz respeito à utilização de múltiplos procedimentos de coleta de dados, aspecto contemplado na presente investigação, na qual lançamos mão da observação, registros escritos e eletrônicos dos alunos e entrevista.

78 77 Observamos acontecer, no desenrolar de nosso trabalho, um amadurecimento da questão de pesquisa vinculada à análise dos dados obtidos. No início, este fato nos desconcertou, pois tal indefinição nos levava a creditá-la a um planejamento incompleto. Até que encontramos, em Rey (2002), uma explicação para o que estava ocorrendo com os rumos do nosso trabalho: O problema no tipo de pesquisa que defendemos não necessita ser definido perfeitamente no momento inicial da pesquisa, pois dele não dependem diretamente os outros momentos daquela; só representa um primeiro momento na concepção de se deseja pesquisar; portanto, mais que uma construção acabada do problema, representa uma construção em processo, que irá desenvolver em direção de novas e diversas formas (REY, 2002, p. 72) Este aspecto está em concordância com o afirmado por Martins (2008), pois segundo este autor, dificilmente as questões de pesquisa não são alteradas ao longo do processo, devido à dinâmica inerente ao estudo de caso. Segundo Rey (2002), a definição de hipóteses formais não é exigida na pesquisa qualitativa, uma vez que esta não tem a pretensão de provar nem de verificar, mas sim de construir. A prova ou a verificação surgem como momentos do processo de pesquisa, e não como um fim em si mesma. Um outro momento considerado pelo autor é a revisão bibliográfica, pois dela emergem as ideias que influenciarão a definição do problema. Ainda com relação aos momentos da pesquisa, Rey (2002) destaca que o momento da coleta de dados e o da análise caminham juntos ao longo do trabalho. Pudemos observar este aspecto em nossa trajetória, pois ao observar e descrever os dados obtidos, muitas reflexões foram surgindo, e testemunhamos a inseparabilidade de tais momentos. Gil (2009) comenta que pesquisas com propósitos exploratórios, descritivos e explicativos podem ser desenvolvidos como estudos de caso: De fato, são adequados para ampliar o conhecimento do pesquisador acerca de fenômenos ainda pouco conhecidos. Também podem ser desenvolvidos com o propósito de formulação de problemas para uma investigação mais criteriosa, bem como para a formulação de hipóteses. [...] O que caracteriza este estudo é fato de não serem definitivos, já que visam subsidiar a realização de pesquisas futuras. Mas isto não significa que possam ser realizados sem rigor. Basta considerar que os estudos de Piaget sobre o desenvolvimento intelectual das crianças fundamentaram-se no estudo de poucos casos (seus três filhos), mas foram desenvolvidos com notável rigor.(gil, 2009, p. 14). Nossa investigação encaixa-se nestes propósitos, pois pretende diagnosticar os elementos do conhecimento do licenciando, quando este resolve um problema de

79 78 demonstração em Geometria. Constitui-se, portanto, como um estudo descritivo e exploratório, do qual podem aflorar indicações de pesquisas futuras. Nós optamos por estabelecer os objetivos após a definição das questões de pesquisa. Esta opção foi devida a necessidade de clarificação das etapas a serem cumpridas e do foco da análise durante a realização da investigação. Observamos que esta é uma orientação de Gil (2009). Ao estabelecer os instrumentos de coleta de dados, nos preocupamos em formular os instrumentos que nos permitissem recolher os dados que julgávamos necessários ao esclarecimento de nossas indagações iniciais. E assim, elaboramos a atividade descrita no item 2.2 desta Tese, para ser resolvida no ambiente papel e lápis e no ambiente de geometria dinâmica Geogebra. Os alunos foram observados durante toda a resolução da atividade nos ambientes papel e lápis e Geogebra, pois a observação é uma das mais importantes técnicas de coleta de dados num estudo de caso (GIL, 2009; MARTINS, 2008). A observação possibilita a obtenção de dados que passariam despercebidos em outra forma de coleta, além de conferir riqueza, profundidade e singularidade às descrições obtidas (MARTINS, 2008). Por exemplo, nesta pesquisa, alguns resultados só foram possíveis porque atuamos como observadora, mais precisamente como observadora participante. Esta modalidade de observação supõe uma integração do pesquisador com o sujeito observado, no qual este aceita ser observado e é ciente dos objetivos da pesquisa. Mas há de atentar-se para não ocorrer a contaminação que se dá pelo viés de partilha de valores e perspectivas de sua cultura, assim como o viés profissional ideológico, além dos emocional e normativo sobre a natureza do comportamento humano (MARTINS, 2008). A fim de afastar a possibilidade de contaminação em nosso trabalho, elaboramos as análises didática e matemática de cada questão da atividade. Este procedimento também orientou a observação, ou seja, evidenciou o que deveria ser observado, imprimindo objetividade e imparcialidade ao trabalho de observação. Sempre que se fez necessário, retornamos aos alunos para esclarecer fatos observados e não compreendidos, utilizando, então, entrevistas semiestruturadas com as duplas participantes. Estas entrevistas não estavam previstas em nosso cronograma estabelecido a priori. Sentimos necessidade de conversar com os alunos, após a transcrição de dados de áudio. A entrevista é:

80 79 [...] uma técnica de pesquisa para coleta de dados cujo objetivo básico é entender e compreender o significado que os entrevistados atribuem a questões e situações, em contextos que não foram estruturados anteriormente, com base nas suposições e conjecturas do pesquisador. (MARTINS, 2008, p. 27). Em nossa pesquisa, utilizamos a entrevista semiestruturada pois houve uma pergunta predeterminada e as demais foram surgindo em função das respostas do entrevistado. Portanto, os instrumentos de coleta de dados foram as atividades resolvidas pelos alunos de modo escrito nos dois ambientes; os arquivos construídos pelos alunos no software Geogebra durante a resolução da atividade em tal ambiente; as gravações de áudio dos diálogos dos alunos e as observações da pesquisadora. Estes dois últimos desenvolvidos durante a resolução da atividade, nos dois ambientes, além de uma entrevista semiestruturada. Um aspecto do estudo de caso é a construção de uma teoria ou o desenvolvimento e/ou o aperfeiçoamento de uma já existente (MARTINS, 2008). Pretendemos, na nossa pesquisa, elaborar uma articulação entre os níveis de raciocínio geométrico identificados por Parzysz (2001, 2006) e os tipos de prova descritos por Balacheff (1987), ancorados nos dados coletados. Deste modo, estaremos partindo de duas teorias preliminares, para estabelecer um possível diálogo entre elas. Martins (2008) alerta para a adequação das definições, num estudo de caso, uma vez que um termo pode ter muitos significados, dependendo do contexto. E, como num trabalho científico, não deve haver ambiguidade na compreensão dos objetos, sob pena de comprometer a validade dos resultados obtidos, é mister a elaboração de definições claras e inconfundíveis. Em nossa pesquisa, preocupamonos em apresentar definições compatíveis com o referencial teórico adotado. Após o exposto, afirmamos que a nossa escolha recaiu sobre a aplicação de atividades que deveriam ser desenvolvidas tanto em ambiente papel e lápis como em ambiente de geometria dinâmica Geogebra. Os seis alunos que participaram da pesquisa cursavam o 6.º período de um curso diurno de licenciatura em Matemática de uma instituição pública, localizada no interior do Estado do Rio de Janeiro. Tal curso possui sete períodos, portanto já cursaram mais de 80% da graduação. A pesquisadora os conhece desde o 1.º período do referido curso, quando foram seus alunos na disciplina Geometria I.

81 80 Tais alunos estudaram dois períodos de Geometria Plana Euclidiana e dois períodos de Geometria Espacial Euclidiana, sabiam utilizar os recursos dos ambientes de geometria dinâmica, pois tiveram um período da disciplina Educação Matemática e Tecnologia, na qual realizaram um estudo instrumental e pedagógico de vários softwares gratuitos, entre os quais se incluem Régua e Compasso e Geogebra A atividade As questões da atividade O objetivo da atividade era diagnosticar os conhecimentos e as estratégias de resolução que o aluno mobiliza para responder esta questão no ambiente papel e lápis e no ambiente de geometria dinâmica Geogebra, além de diagnosticar os níveis de raciocínio geométrico propostos por Parzysz (2001, 2006) e os tipos de provas concebidos por Balacheff (1987), buscando identificar elementos que nos permitissem estabelecer relações entre essas duas teorias. Foi elaborada uma atividade com duas questões, que envolviam conteúdos geométricos relativos ao Ensino Médio. As atividades não continham fase de familiarização com o software, porque o que se pretendia verificar pressupunha que os alunos já tivessem domínio do seu funcionamento básico. As questões caracterizavam-se como problemas 23, uma vez que para a sua resolução não havia estratégias preestabelecidas pela teoria geométrica. As questões foram pensadas para que os alunos investigassem as situações descritas na atividade, tendo como ferramentas opcionais no ambiente papel e lápis, os instrumentos de desenho par de esquadros graduados e compasso; e no ambiente de geometria dinâmica Geogebra, as ferramentas disponibilizadas no software, que os alunos poderiam usar de modo livre. Em seguida, era solicitada uma justificativa para a solução apresentada. A aplicação da atividade da fase experimental teve sua primeira etapa, no dia 10 de dezembro de 2008; e durou três horas-aula. Das três duplas que aceitaram 23 Adotou-se neste trabalho a concepção de problema dada por Polya (1995), segundo a qual um problema é uma questão para a qual não se dispõe de um estratégia que permita a sua solução imediata.

82 81 participar voluntariamente, fora do horário normal de aula, apenas uma (Rita/Guilherme) compareceu ao encontro, sendo que as outras (Diana/Patrícia e Helena/Júlia) participaram da mesma atividade na semana seguinte. Foi solicitado à dupla que participou da primeira etapa que não relatasse as outras duas duplas o teor da atividade e o ocorrido naquele encontro. O comportamento de tais duplas, durante as atividades, atestou que a orientação foi acatada 24. As duas questões que compunham o instrumento para coleta de dados foram entregues aos alunos individualmente e por escrito. Foram disponibilizadas folhas em branco, compasso e par de esquadros graduados ( sendo um de 30 0 e outro de 45 0 ) e os alunos foram orientados a não apagar nenhum desenho, para que pudéssemos identificar todos os rastros das estratégias por ele construídas. Nós atuamos como gestora da atividade, observando os alunos e fazendo pequenas intervenções nos momentos de bloqueio dos mesmos A primeira questão A primeira questão teve o seguinte enunciado: É sempre possível construir uma circunferência tangenciando três lados de um quadrilátero convexo? Justifique sua resposta. A fim de orientar a nossa análise, a resolução prevista foi esquematizada em fases conforme quadros 3 e 4. A ordenação das fases não determina uma ordem obrigatória de ocorrência, exceto a fase 4. FASE ETAPA DE RESOLUÇÃO Percepção de que o ponto de interseção das bissetrizes de Fase 1 dois vértices consecutivos do quadrilátero é o centro da circunferência procurada. Fase 2 Determinação do raio da circunferência. Fase 3 Constatação de que os pontos de tangência têm que pertencer aos lados do quadrilátero. Fase 4 Registro escrito da justificativa. Quadro 3: Indicação das fases de resolução da primeira questão A segunda questão A segunda questão foi enunciada da seguinte forma: 24 Os nomes que aparecem no relato e análise são fictícios.

83 82 Considere um quadrilátero ABCD, o ponto médio M de CD e o ponto P, interseção da diagonal AC com o segmento BM. Estude a relação entre as áreas dos triângulos ABP e MCP nos casos em que ABCD é: a) paralelogramo; b) trapézio; c) quadrilátero convexo qualquer. As fases da resolução previstas estão descritas no quadro a seguir: FASES Fase 1 Fase 2 Fase 3 Fase 4 ETAPA DA RESOLUÇÃO Constatação da existência de dois pares de ângulos congruentes nos triângulos ABP e MCP. Constatação de que os triângulos ABP E MCP são semelhantes pelo caso AA. Aplicação da relação entre as áreas de duas figuras planas semelhantes. Registro escrito da justificativa. Quadro 4: Indicação das fases de resolução da segunda questão Os ambientes utilizados Para responder às questões de pesquisa, tal atividade foi desenvolvida em dois ambientes: o ambiente papel e lápis e o ambiente de geometria dinâmica Geogebra. A ordem escolhida dos ambientes de resolução, primeiro o ambiente papel e lápis; e, depois, o ambiente Geogebra, foi devida à hipótese adotada neste trabalho de que tais ambientes possibilitam situações enriquecedoras de investigação geométrica e construção de conhecimentos geométricos conforme os resultados de Gravina (2001). Visava-se observar o que os alunos seriam capazes de produzir num ambiente com número menor de recursos, ou seja, no ambiente papel e lápis, o aluno não teria disponíveis ferramentas eletrônicas de medição e de movimentação da figura construída. Estariam disponíveis os instrumentos de desenho geométrico a saber: par de esquadros graduados e compasso, dos quais os alunos poderiam lançar mão caso julgassem necessário, pois no enunciado não havia recomendação expressa para o seu uso. O objetivo foi, assim, verificar o que o ambiente de geometria dinâmica acrescentaria à resolução desenvolvida no ambiente papel e lápis pelos alunos. A opção pelo software Geogebra se deu pelo fato de este ser um software gratuito e

84 83 possuir os as ferramentas necessárias à resolução das questões propostas na atividade desta pesquisa O ambiente de geometria dinâmica Geogebra O Geogebra 25 é um software de geometria dinâmica que foi criado e desenvolvido por Markus Hohenwarter 26. Este autor buscava um instrumento que tivesse recursos geométricos e algébricos e se adequasse ao ensino de Matemática. O software Geogebra é classificado como software livre, o que significa que é isento de custos para o usuário, fator que concorreu para a sua escolha neste trabalho. A versão utilizada do software Geogebra foi a 3.0. Este software apresenta uma interface simples, com cinco regiões definidas: A Barra de Menus, a Barra de Ferramentas, a Janela de Visualização, a Janela de Álgebra 27 e o Campo de Entrada. Todo objeto desenhado na janela de visualização é representado também por coordenadas e equações, no campo da Geometria Analítica. Por exemplo, se construímos um ponto, ou uma circunferência, ou ainda uma reta, na janela de álgebra, são imediatamente exibidas as coordenadas deste ponto, e a equação da circunferência e da reta (Figura 9 ): Barra de Menus Barra de Ferramentas Janela de Álgebra Janela de Visualização Campo de Entrada Figura 9: Tela do software Geogebra com as cinco regiões. 25 Disponível em Acesso em 28 jul O software Geogebra foi desenvolvido no âmbito da tese de doutorado deste autor, na Universidade de Salzburgo, Áustria. 27 A denominação Janela de Álgebra é creditada ao autor do software Geogebra.

85 84 Na figura 9, na janela de álgebra, são exibidas as coordenadas dos pontos A, B. C. D e E, e as equações da reta e da circunferência. Outro diferencial deste software é a forma de inserção de dados que pode ser pela Barra de Ferramentas ou por meio do Campo de Entrada. A Barra de Ferramentas é parecida com as similares de outros softwares de geometria dinâmica, e por meio desta se tem acesso às ferramentas utilizadas em construções geométricas (Figura 10): Figura 10: Tela do software Geogebra exibindo as opções em um dos ícones Os objetos construídos são classificados em livres ou dependentes, e este status fica visível na janela de álgebra. A cor dos objetos define o seu grau de independência: a cor azul escuro indica os objetos livres que podem ser movimentados; a cor azul claro indica objetos que podem ser movimentados parcialmente, por exemplo, um ponto colocado sobre uma circunferência ou reta, apenas pode mover-se sobre estas; e a cor preta indica os objetos dependentes, que não podem ser movidos de modo independente. O campo de entrada é utilizado para inserir objetos por meio de sua representação algébrica. Por exemplo, se digitarmos no campo de entrada y = x+2, e

86 85 acionarmos a tecla enter, surgirá na janela de visualização a reta que representa tal equação. As ferramentas necessárias à resolução da atividade estavam na Barra de Ferramentas, mas alguns alunos utilizaram o Campo de Entrada. Uma ferramenta importante para a análise dos dados foi o Protocolo de Construção, acessível pela Barra de Menus, opção Exibir. Por meio deste recurso, tivemos acesso ao roteiro de construção de cada aluno (Figura 11) e, consequentemente, às opções de cada um para as construções durante a resolução da atividade. Figura 11: Protocolo de construção de uma figura feita por um aluno As setas localizadas, na parte inferior da janela do protocolo de construção, permitem rever a construção passo a passo. Este recurso possibilitou-nos dirimir dúvidas nas construções efetivadas pelos alunos nesse ambiente Alguns aspectos da coleta de dados O tempo de resolução

87 86 Foi planejado que a atividade seria resolvida, em dias distintos, cada um deles dedicado a um dos ambientes citados, e os alunos poderiam usar o tempo que necessitassem. A opção por dias distintos correu em função da fadiga que os alunos poderiam apresentar ao resolver a atividade, o que poderia prejudicar o seu desempenho na resolução das questões. O espaçamento entre os dias escolhidos para a aplicação da atividade uma semana, foi consequência da disponibilidade dos alunos, uma vez que estes eram voluntários. A resolução em grupo Ao agrupar os alunos em duplas, objetivou-se criar um atmosfera na qual eles fossem impelidos a falar sobre o que estavam pensando e fazendo, de modo que fosse possível o registro oral de elementos do raciocínio utilizado por eles na resolução do problema Processo de análise dos dados Os dados foram analisados à luz do referencial teórico apresentado no capítulo I. A análise foi realizada tomando inicialmente os dados relativos à primeira questão. Em seguida, foram analisados os dados da segunda questão. Por fim, efetivamos uma análise geral, buscando responder às questões de pesquisa. Os dados colhidos foram confrontados com a análise teórica elaborada por nós e exposta no capítulo IV. Além dos momentos de resolução da atividade, ocorreu um terceiro momento, no qual realizamos uma entrevista com uma dupla de cada vez, quando foram esclarecidos alguns fatos didáticos observados durante os dois momentos anteriores.

88 87 CAPÍTULO 4 FASE EXPERIMENTAL E ANÁLISE Neste capítulo, é apresentada a análise teórica e o desenvolvimento da atividade. A análise teórica de cada questão foi dividida em análise matemática e a análise didática. A primeira contém a descrição da resolução de cada questão, e a análise didática traz as possíveis estratégias dos alunos para resolver a questão, além da análise de dificuldades que os alunos poderiam apresentar, feita a partir dos resultados das pesquisas já citadas. O objetivo da análise teórica foi subsidiar a coleta e a análise de dados, clarificando os pontos que deveriam ser observados. Na análise, usaremos o termo variável didática que é entendido como escolha do professor cuja presença ou ausência podem modificar o resultado apresentado pelo aluno. Uma das variáveis didáticas neste experimento é o ambiente no qual se desenvolveu a tarefa (ambiente papel e lápis e geometria dinâmica Geogebra). Outras variáveis didáticas próprias de cada ambiente serão explicitadas na análise teórica dos mesmos. 4.1 A análise teórica da questão 1 A seguir, é apresentada a análise teórica da questão 1 cujo enunciado era: É sempre possível construir uma circunferência tangenciando três lados de um quadrilátero convexo? Justifique sua resposta Análise matemática no ambiente papel e lápis Estratégia de resolução Com papel e lápis, esboçar e/ou construir um quadrilátero ABCD qualquer. Como a circunferência tangencia os três lados, o centro desta é equidistante dos lados. O ponto que possui a propriedade de ser equidistante dos três lados é a interseção das bissetrizes de dois ângulos internos consecutivos, pois os pontos equidistantes dos lados de um ângulo pertencem à bissetriz deste ângulo. Mas é

89 88 preciso atentar para o fato de o ponto de tangência ter que pertencer aos lados do quadrilátero, e isto não ocorre sempre. Na Figura 12, temos o quadrilátero ABCD com a circunferência de centro O tangenciando três lados (AB, BC e AD). Na mesma figura, observamos, no quadrilátero ABCE, que a circunferência construída não tangencia o quadrilátero em três lados, pois o ponto de tangência T 1 não pertence ao lado AE. Figura 12: Quadrilátero construído pela autora com par de esquadros e compasso O ponto de encontro das bissetrizes, que é o centro da circunferência solicitada, é sempre interno ao quadrilátero convexo. Portanto, é possível construir uma circunferência tangenciando três lados de um quadrilátero convexo, desde que os pontos de tangência pertençam aos lados deste quadrilátero. Ou, seja, é necessário identificar a condição de existência da circunferência procurada. Conhecimentos matemáticos envolvidos Os conhecimentos matemáticos envolvidos são quadrilátero convexo, bissetriz de ângulo, propriedade dos pontos da bissetriz de um ângulo, propriedade da reta tangente a uma circunferência. Têm-se, ainda, os conhecimentos procedimentais, como traçar uma bissetriz, determinar uma perpendicular a um segmento por um ponto fora deste, manipular compasso e régua.

90 Análise didática no ambiente papel e lápis Se o aluno optar por desenhar o quadrilátero com o instrumental de desenho, e utilizando processos geométricos, precisará determinar o centro da circunferência que tangencia os três lados do quadrilátero. Para determinar a solução procurada, é preciso que o aluno varie o comprimento do lado do quadrilátero de modo a obter uma situação na qual o ponto de tangência não pertencerá a um dos lados. Ou seja, o aluno não pode satisfazer-se com a análise de uma única figura construída, mas deve buscar outras configurações para responder à questão colocada. Caso ele não modifique o comprimento dos lados, não chegará à solução correta, respondendo que sempre é possível construir uma circunferência tangenciando três lados de um quadrilátero. O fato de o aluno precisar modificar o comprimento de um dos lados do quadrilátero pode constituir um entrave para obter a resposta correta no ambiente papel e lápis. Um outro obstáculo é o grau de precisão da figura construída, pois este depende da qualidade dos instrumentos de desenho, por exemplo, um compasso sem ajuste ou com ponta de grafite mal feita comprometem a construção do mais habilidoso desenhista. Depende também da familiarização com os instrumentos e das habilidades. Este aspecto está relacionado à problemática da precisão identificada por Parzysz (2001), segundo a qual aspectos relacionados à precisão de construção de uma figura influenciam na validação de uma conjectura. A problemática da precisão está relacionada à geometria G1; portanto, o aluno que utilize procedimentos de comparação e de medição para validar uma afirmação, estará no nível de desenvolvimento correspondente à geometria G1. E estes procedimentos podem conduzi-lo a uma solução errônea. O problema está na generalização a partir de uma única construção geométrica, sem sofrer o processo de abstração, que inclui a passagem do desenho para a figura nos termos de Laborde (1994). E a justificativa produzida será uma prova do tipo empirismo ingênuo. Por outro lado, se o aluno realiza a construção geométrica descrita na análise matemática, isto significa que ele está usando a validação teórica; e, portanto, relacionado à problemática da dedução (PARZYSZ, 2001), neste caso representado

91 90 pela busca do contraexemplo. Podemos afirmar que este procedimento do aluno nos permite localizá-lo no nível de raciocínio geométrico G2. Segundo o apresentado no capítulo I, os tipos de provas possíveis são o empirismo ingênuo, a experiência crucial, o exemplo genérico e a experiência mental (BALACHEFF, 1987). Pode ocorrer uma justificativa (empirismo ingênuo) baseada apenas na figura que o aluno construiu, por exemplo: o aluno faz uma única construção na qual a circunferência tangencia/não tangencia os três lados, e daí ele afirma que é possível/não é possível uma circunferência tangenciar três lados de um quadrilátero convexo. Nesta situação, provavelmente ele não utilizou o processo descrito, na análise matemática, pois se o tivesse utilizado, já teria uma justificativa (exemplo genérico). Se ele redige esta justificativa utilizando uma linguagem apropriada a uma demonstração matemática, então, podemos inferir que tal justificativa é uma prova do tipo experiência mental..uma outra possibilidade é o aluno experimentar vários quadriláteros notáveis, tais como retângulo, quadrado, trapézio e losango, e tentar construir uma circunferência tangente aos três lados destes quadriláteros. Para fazer estas construções, ele não necessita do processo descrito na nossa análise matemática. Dependendo do resultado, ele pode inferir que é possível ou não uma circunferência tangenciar três lados de um quadrilátero, e daí, buscar um respaldo teórico para o observado em suas experimentações, inclusive, testando um quadrilátero qualquer. Este tipo de conduta desencadearia uma prova do tipo exemplo genérico. Caso o aluno não busque a teoria para explicar a sua observação, ele poderá justificar que é sempre possível uma circunferência tangenciar três lados de um quadrilátero porque ele constatou este fato em várias construções. Deste modo, teríamos um prova do tipo experiência crucial. Deste modo, seu nível de raciocínio geométrico seria G1. Para produzir uma prova do tipo experiência mental, o aluno poderá apenas esboçar um quadrilátero qualquer, e considerando-o como uma figura genérica, estudar as possibilidades de solução, buscando sempre a validação teórica. Este procedimento coincide com o descrito por Parzysz para o nível de raciocínio geométrico G Análise matemática no ambiente geometria dinâmica Geogebra Estratégia de resolução

92 91 Se o aluno resolveu conforme previsto na análise teórica para o ambiente papel e lápis, ele usará o Geogebra apenas para visualizar e/ou confirmar o que respondeu anteriormente. Portanto, ele construirá no ambiente Geogebra um quadrilátero, utilizando a ferramenta polígono, ou segmento definido por dois pontos. Em seguida, traçará as bissetrizes de dois ângulos internos consecutivos quaisquer com a ferramenta bissetriz e determinará o ponto de interseção das mesmas com a ferramenta interseção de dois objetos. Após, construirá uma reta perpendicular a um dos lados de um dos ângulos considerados com a ferramenta reta perpendicular, marcando a interseção desta reta com o lado citado. Este ponto é o ponto de tangência. Depois, será traçada a circunferência com centro na interseção das bissetrizes e passando pelo ponto de tangência, com a ferramenta círculo definido pelo centro e um de seus pontos (Figura 13). A seguir, o aluno constatará que esta circunferência tangencia, pelo menos, dois lados do quadrilátero, podendo tangenciar três lados conforme justificativa descrita na análise a priori desta questão, no ambiente papel e lápis. Figura 13: Histórico da construção esperada na questão 1 Pelo fato de estar em um ambiente de geometria dinâmica, o aluno pode arrastar os vértices do quadrilátero, buscando generalizar o resultado obtido, validando ou não a sua hipótese sobre a existência da circunferência procurada. A não utilização das possibilidades trazidas por um ambiente de geometria dinâmica, pode significar que o aluno o utiliza apenas para maior precisão nos traçados, o que implica não evolução em relação aos níveis geométricos propostos por Parzysz e tipos de prova identificados por Balacheff.

93 92 Nesse caso, não validamos nossa hipótese sobre as implicações do uso de ambientes de geometria dinâmica na construção de argumentações e demonstrações. Do fato de que os alunos já haviam passado por outras disciplinas que usaram esse software, podemos inferir que isso não contribuiu para a apropriação das possibilidades de um ambiente de geometria dinâmica. Caso não tenha conseguido, o uso do software poderá estimular o aluno na pesquisa por estratégias de resolução do problema. Conhecimentos matemáticos envolvidos Os conhecimentos matemáticos envolvidos são os mesmos relacionados no item correspondente para o ambiente papel e lápis Análise didática no ambiente de geometria dinâmica Geogebra Caso o aluno tenha respondido a questão conforme exposto na análise teórica referente ao ambiente papel e lápis, poderá usar este ambiente para confirmar o seu resultado. Neste caso, ele pode estar alternando G1 e G2. Caso contrário, poderá utilizar o Geogebra para confirmar ou refutar as suas conjecturas elaboradas no ambiente papel e lápis, bem como enunciar outras, resultantes de suas observações das figuras em movimento do ambiente Geogebra. Procedendo deste modo, podemos inferir que o aluno se encontra em G1, pois valida as suas observações se apoiando nas construções por ele realizadas. A prova resultante desta experimentação será a experiência crucial, pois o aluno produz uma justificativa baseada nas muitas figuras resultantes da movimentação. Porém, se após as observações das figuras em movimento, o aluno vislumbrar ideias para construir a justificativa, ele estará evoluindo para o nível G2, e a prova produzida poderá ser do tipo exemplo genérico ou experiência mental. Na análise didática desta questão no ambiente papel e lápis, foi mencionado um obstáculo para alcançar a solução completa, este se refere ao fato de o aluno não variar o comprimento dos lados para concluir que os pontos de tangência têm que pertencer aos lados. Se o aluno explorar o caráter dinâmico das figuras construídas no software Geogebra, tal obstáculo será facilmente superado, uma vez que a movimentação da figura possibilitada pelo software permitiria ao aluno

94 93 observar que o ponto de tangência deve pertencer aos três lados. Este fato evidencia as limitações do ambiente papel e lápis para a investigação de configurações do desenho, cabendo ao aluno abstrair e visualizar situações distintas daquela esboçada e/ou construída por ele no papel. Havemos de considerar, ainda, a possibilidade de o aluno não utilizar o recurso de movimentação do software, e justificar com base em apenas uma figura. Neste caso, ele também estaria em G1, e o tipo de prova que ele poderia produzir seria o empirismo ingênuo. Pautados nessas colocações, nos permitimos inferir que as movimentações da figura realizadas pelo aluno, se eles as realizar, descartam a possibilidade de ele produzir uma prova do tipo empirismo ingênuo, pois, no mínimo, ele terá respaldado a sua conjectura em um conjunto suficientemente grande de observações, podendo construir provas do tipo experiência crucial ou exemplo genérico, ou mesmo experiência mental. Ressaltamos que é maior o nível de abstração necessário ao aluno, no ambiente papel e lápis, para a resolução da questão, se comparado ao ambiente de geometria dinâmica. Pois, no primeiro, a visualização restrita reivindica do aluno colocar em ação a imaginação, ou seja, a abstração. O que não ocorre no segundo ambiente, porque a movimentação das figuras minimiza a necessidade de imaginar como as figuras poderiam ser, que relações poderiam existir. Por outro lado, se o ambiente de geometria dinâmica requer do aluno um nível de abstração menor, seja para a elaboração de configurações distintas de uma figura, seja para a construção de conjecturas, ele pode se constituir em um obstáculo ao processo de abstração necessário para a estruturação de uma demonstração. 4.2 Experimentação da questão 1 no ambiente papel e lápis Neste item, são descritas a experimentação e a análise da questão 1, agrupadas por duplas Desenvolvimento das estratégias da dupla Rita/Guilherme Eles iniciaram lendo, em silêncio, o enunciado da questão, e assim permaneceram quando começaram a desenhar. Guilherme fez alguns esboços à

95 94 mão livre (Figura 14), mas logo utilizou o instrumental de desenho, a saber, par de esquadros, régua graduada e compasso, e desenhou, sem utilizar processos geométricos, um quadrilátero qualquer com uma circunferência tangenciando, aparentemente, três lados deste quadrilátero (Figura 15). Tal circunferência foi construída escolhendo o centro por tentativa. Figura 14: Esboços à mão livre feitos por Guilherme Figura 15: Quadrilátero qualquer construído por Guilherme Simultaneamente, Rita começou a desenhar com o instrumental de desenho e utilizou processos geométricos para a construção do quadrado (Figura 16), não utilizou esboços. Os dois alunos não explicitaram o motivo pelo qual escolheram utilizar os instrumentais de desenho para esboçar ou para construir com processos geométricos.

96 95 Figura 16: Quadrado construído por Rita Apesar de estarem em dupla, observamos que eles pensavam individualmente sobre as questões, a partir das construções e/ou esboços que haviam feito, e trocavam ideias em seguida. Eles estavam empenhados na resolução. O tempo em que estavam imersos em seus pensamentos não superava cinco minutos, em média, de acordo com a minutagem que fizemos durante a sessão. Após concluírem os desenhos citados anteriormente (Figuras 14, 15 e 16), iniciaram o primeiro diálogo (neste e nos seguintes, considere que R indica a fala de Rita, G a de Guilherme e Pesq. a da pesquisadora), apontando para os desenhos feitos por eles separadamente: R: Três lados... Se for um quadrado dá. Rita elaborou uma conjectura baseada na percepção de apenas um exemplo. Continua o diálogo: G: Não são três lados consecutivos? R:Num quadrado vai tangenciar 4 lados. G:Traçando a circunferência primeiro... Temos que fazer uma construção certa mesmo. ( Ele fala isso se referindo à construção por processos geométricos). R: Se tangencia quatro, obviamente tangenciou três. Tá entendendo o que eu estou falando? Veja a pergunta. (Ela lê o enunciado). Se tangenciou quatro, tangenciou três. G: É, você tem razão, Mas a resposta tem que servir para qualquer quadrilátero convexo. No quadrado, tangencia. Mas a gente tem que construir qualquer quadrilátero e ver se tangencia. R: Se fosse um triângulo, tinha como achar o baricentro, né? E fazer inscrito. Entendeu o que eu estou falando?

97 96 G: Mas, olha! Só tem que ver este ponto de tangência. Rita faz o desenho com o triângulo (Figura 17). Figura 17: Triângulo com baricentro construído por Rita G: Tem que encontrar um ponto equidistante de dois lados. ( Refere-se ao triângulo construído por Rita). R:Por isso que eu estou pensando: Será que não tem nenhuma relação com o baricentro? Tangenciando dois lados, é certo que sim, porque aí a gente traçava a diagonal, então a gente formava dois triângulos. Com um triângulo, achava o baricentro e fazia a circunferência. Guilherme concorda, balançando a cabeça. R: Então, é sempre possível com dois lados. Agora em três lados, eu não sei. G: A gente tem que achar... R: Tem algum ponto no quadrilátero que a gente determina no quadrilátero que seria o centro? G: A gente quer achar algum ponto aqui que seja equidistante de três lados. (Refere-se ao desenho de um quadrilátero qualquer construído por ele na Figura 15). Constatamos que Rita e Guilherme concluíram que, no quadrado, a circunferência tangenciaria os quatro lados, então tangenciaria três lados, respondendo a questão. Após analisar os desenhos produzidos por ele, Guilherme acha que é possível a circunferência tangenciar três lados de um quadrilátero. Ao afirmar que é necessário utilizar processos geométricos para fazer os desenhos, Guilherme manifestou uma preocupação com o desenho sobre o qual ele vai raciocinar para encontrar a solução. Se estável, seria um comportamento típico de G2 controlando G1, pois Guilherme busca uma justificativa teórica para experimentá-la na prática.

98 97 Quando Guilherme diz que a resposta que eles estão procurando tem que servir para qualquer quadrilátero e não apenas para o quadrado, e por isso precisam construir um quadrilátero qualquer, ele demonstra um amadurecimento com relação à generalidade da resposta procurada. Este fato indica que este aluno tem percepção de que a verificação de um caso particular não é suficiente para garantir a generalidade da solução encontrada, o que nos permite afirmar que a prova que ele busca é do tipo experiência mental ou crucial, ou ele não se satisfaz com provas do tipo empirismo ingênuo. Rita busca pela resposta correta, mas não tem a generalidade da solução como primeiro propósito, características da prova do tipo empirismo ingênuo. Podemos alegar com base nos dados analisados dessas questões, que Guilherme encontra-se no nível G2, pois este aluno utiliza o desenho para analisar o problema, mas sabe que ele não basta, que é preciso buscar justificativas. Rita encontra-se no nível G1, pois ela procura validar as suas conclusões utilizando a percepção dos desenhos construídos. Observamos a imprecisão do traçado e o fato de que o triângulo esboçado, na Figura 16, é um triângulo escaleno 28, mas tem a aparência de um triângulo eqüilátero. Esta aparência falsa fez com que a circunferência traçada com centro no baricentro do triângulo parecesse tangente aos lados do triângulo, o que pode ter contribuído para Rita achar que o baricentro era o centro do triângulo procurado e insistir nesta ideia. Mais um indício de que Rita se encontra em G1. Observamos assim que ela confunde os pontos notáveis do triângulo, pois partiu do traçado das mediatrizes. Rita afirmou: R: Se fosse equidistante dos vértices era fácil, ou não era? Neste instante, nós resolvemos intervir porque observamos que os alunos estavam desanimados, como se tivessem chegado ao limite de todas as possibilidades. Nós, então, afirmamos que a ideia de pensar em um ponto equidistante de três lados é boa e que deviam investir na ideia de Rita que era pensar inicialmente em pontos equidistantes de dois lados. Em seguida, Guilherme perguntou: 28 A pesquisadora observou Rita construir este triângulo. Daí a certeza de ele ser um triângulo escaleno, apesar de não haver indicação nos diálogos e nem marcas indicativas na figura.

99 98 E se traçar uma bissetriz dos dois lados, todos os pontos da bissetriz serão equidistantes, não? Guilherme traçou um ângulo e desenhou a sua bissetriz utilizando corretamente o processo geométrico (Figura 18), porém sem precisão no uso dos instrumentos. Figura 18: Ângulo e sua bissetriz desenhados por Guilherme O ângulo e a bissetriz deste, traçados por Guilherme, parecem funcionar como um apoio para o raciocínio dele, pois o aluno sentiu necessidade de construílo como que para concretizar a sua ideia. Este procedimento evidencia a necessidade de um registro neste caso, um desenho para que ele desenvolvesse o seu raciocínio, explicado pela teoria dos registros de representação semiótica de Duval (1993), segundo a qual o aluno necessita de uma representação do objeto matemático para apreendê-lo conceitualmente. Por outro lado, a utilização de um único registro pode conduzir a uma compreensão errônea do problema, conforme também alerta este autor. Foi o que ocorreu com Rita, pois ao desenhar um triângulo escaleno com aparência de equilátero e determinar o baricentro, devido à imprecisão de desenho, pareceu-lhe que a circunferência construída com centro no baricentro tangenciava os três lados do triângulo, mas esta é uma propriedade apenas dos triângulos equiláteros, no qual os quatro pontos notáveis coincidem. Em seguida, registraram-se as falas: R: É (Diz olhando o desenho de Guilherme). Entendi, então todos estes pontos vão ser equidistantes? G: Agora pensando no isósceles. No encontro de duas bissetrizes... R: Vamos traçar todas as bissetrizes? Nossa! Vai dar uma confusão!

100 99 Guilherme desenha uma poligonal aberta de três lados, as bissetrizes dos dois ângulos formados, a circunferência com centro na interseção das bissetrizes e raio aproximado, determinado pela distância do centro até um dos lados, escolhido arbitrariamente (Figura 19). Ele não lembra, assim como Rita, que é necessário traçar uma perpendicular, passando pelo centro encontrado, a um dos lados da poligonal para determinar o raio corretamente, conforme definição de distância de ponto à reta, e de ponto de tangência (justificativas teóricas que deveriam ter sido mobilizadas para a construção). Figura 19: Linha poligonal construída por Guilherme Os segmentos com extremidades, no centro da circunferência e nos lados da linha poligonal, foram traçados com apenas uma régua sem intenção de que fossem perpendiculares. As marcas de ângulo reto foram colocadas após uma intervenção da pesquisadora, que será comentada mais adiante. Ao verificar que a circunferência não tangenciou os três lados da linha poligonal, Guilherme acredita ter ocorrido uma imprecisão na construção, ou então, que não seria este o caminho, o que deixou confuso. Observamos, novamente, a teoria controlando a experiência concreta (G2 controlando G1), evidenciando também a insatisfação do aluno com a justificativa do tipo empirismo ingênuo. R: Será que tangenciou ali Guilherme? G: Se for um erro muito... talvez seja... R: Pode ser coincidência, vou tentar de novo.

101 100 Diante deste fato, Rita resolve fazer outro desenho (Figura 20) e afirma: R: Eu fiz com uma bissetriz só. Foi coincidência. Eu marquei um ponto qualquer. Figura 20: Quadrilátero desenhado por Rita Rita permanece em G1, mas começa a controlar resultados por um dado teórico (G2 controla G1). Ela resolve voltar à estratégia de Guilherme e pergunta: R: Qual seria a justificativa para você fazer isso? G: Porque são duas retas, eu traço a bissetriz e estes são os pontos equidistantes das duas retas (Referindo-se aos lados do ângulo). Aí o ponto das duas bissetrizes seria o ponto equidistante das três retas. Só...que a gente teria que descobrir também onde tangencia. Neste instante, Rita e Guilherme cumprem a fase 1 desta questão, pois concluíram que o centro da circunferência é o ponto de interseção das bissetrizes de ângulos consecutivos. Segue-se um silêncio entre a dupla. Percebendo que eles estavam sem perspectiva para encontrar o ponto de tangência, a pesquisadora pergunta o que eles sabem sobre reta tangente a um círculo, e eles respondem: R: É a reta que corta a circunferência em um único ponto. G: E é perpendicular ao raio neste ponto aqui. (Aponta para o ponto em que a reta tangencia a circunferência). R: Se a gente fizer primeiro a circunferência fica fácil. (Rita recomeça o desenho). Eu fico falando que é fácil e na hora que eu vou fazer, não dá certo. G: Como que traça a perpendicular a uma reta num ponto?, Você lembra? Foi a partir deste diálogo que os alunos fizeram as marcas da figura 19, mostrando que o conhecimento sobre ponto de tangência não estava disponível

102 101 nestes alunos, como era esperado (análise teórica). No entanto, o conhecimento sobre bissetrizes foi facilmente mobilizado pelos alunos. Rita relembrou o processo utilizando régua e compasso. Neste instante, a pesquisadora lembrou-lhes que poderiam usar o par de esquadros para traçar a perpendicular à reta e que, nesse caso, eles já possuíam a reta e o ponto, isto é, eles queriam traçar uma circunferência tangente a uma reta num dado ponto. Esta situação era distinta do problema em questão, no qual havia a reta e o centro da circunferência, mas o ponto de tangência deveria ser encontrado. Segue-se outro período de silêncio. A pesquisadora intervém perguntando para Guilherme o que ele havia dito sobre o ponto de interseção: Pesq.: Você disse que o ponto de interseção é o que, Guilherme? G: Ele é equidistante dos três lados. Pesq.: Por que ele é equidistante? Você concorda, Rita? Rita fica pensativa e nada responde. Pesq.: Veja que ele é o ponto de interseção das bissetrizes. R: Distância é 90º, então a gente faz novamente aqui, no lado, para depois fazer a circunferência (Refere-se ao desenho que fez para determinar corretamente a medida do raio da circunferência). R: Mas, aqui você traçou o quê? Só duas bissetrizes? G: Você traça duas bissetrizes quaisquer de três lados do quadrilátero, você tem que partir daí. Rita desenha (Figura 21) e Guilherme observa. Figura 21: Quadrilátero qualquer desenhado por Rita G: Aí você está fazendo as duas bissetrizes. R: Hummm! Pronto. A distância deste ponto até... Rita traça as três perpendiculares aos lados de dois ângulos consecutivos do quadrilátero qualquer desenhado por ela.

103 102 G: E aí, deu? (Ele se refere à congruência dos segmentos perpendiculares baixados do encontro das bissetrizes aos três lados do quadrilátero). R: Bem, no olho, deu. Notamos, com base no diálogo acima, a insegurança dos alunos em relação à sua conjectura. Apesar de explicarem por que o ponto de encontro das bissetrizes seria o centro da circunferência tangente, eles ainda tinham alguma dúvida, e buscaram uma validação pragmática, construindo o desenho. Este fato revela que G1 controla G2, conforme Parzysz (2006). Eis um fragmento do diálogo: questão: G: Como que traça com o par de esquadros, a perpendicular? Rita ensina o processo. Guilherme compreende. R: Deu certo, então, Guilherme. G: Sim, agora a gente tem que escrever como. Traçando as... R: Escreve a sua resposta que eu escrevo a minha e a gente junta. É para cada um escrever a sua? A pesquisadora diz que a discussão da solução é coletiva, mas a justificativa escrita é individual. Identificamos, neste momento, a conclusão da fase 2 da resolução da G: Por que este aqui meu não deu certo? (Referindo-se a sua construção (Figura 22)). Figura 22: Poligonal construída por Guilherme R: Deixa eu ver. Você fez a bissetriz, eu acho que foi imprecisão mesmo, Guilherme. Olha, Guilherme, veja se este lado está do mesmo tamanho desse? G: Não está não.

104 103 R: Não está não, foi imprecisão. A pesquisadora orientou para usar um arco de circunferência com raio maior para diminuir a imprecisão pelo uso do compasso. Guilherme reconstrói a bissetriz no mesmo desenho e tenta corrigir erro sem obter sucesso. Convencidos de que encontraram a solução do problema, cada um redige a sua justificativa. Mas Rita tem uma dúvida. Com base no desenho por ela produzido (Figura 21), pergunta: Figura 21: Quadrilátero qualquer desenhado por Rita R: Mônica, se, se aqui por exemplo, tangenciou este, este e este só ( Refere-se aos três lados do quadrilátero da Figura 21). Aí tem essa reta do lado de fora... E se, por exemplo, se este quadrilátero ao invés de ter esse lado aqui, tivesse esse outro (na Figura 21, este possível lado é indicado por linha tracejada), ficasse um pedaço da circunferência do lado de fora? G: Aí será outra bissetriz. R: De qualquer forma, a circunferência ia estar passando... Na bissetriz que eu tenho foi, desse e desse (Aponta para dois ângulos consecutivos). O quadrilátero é esse, eu tracei essa bissetriz e essa. Ficou equidistante. G:Mas tangenciou os três lados. R: Então, mesmo com isso aqui (Refere-se ao trecho da circunferência que está externo ao quadrilátero) ficando do lado de fora, podia afirmar? Então, eu não preciso primeiro fazer três retas e depois fechar. G:Não, mas eu não fechei, Aqui tem vários quadriláteros. Neste instante, eles começam a fase 3 da resolução, mas Rita e Guilherme não levam adiante esta discussão, talvez porque Rita tenha colocado outra questão imediatamente:

105 104 R: Será que daria certo fazer a bissetriz de lados opostos? R: Se fecharmos primeiro o quadrilátero e fazer desse e desse(aponta para os vértices opostos), será que dá certo? G: Dá sim, você teria que estar comparando estes dois lados aqui... R: Então, eu posso falar que se constrói um quadrilátero... eu posso dizer que é a bissetriz de dois lados quaisquer? Pesq.: A bissetriz é do lado? R: Não é de quaisquer vértices. Eu quero dizer, tipo assim, que eu fiz esse do lado desse (Refere-se aos vértices consecutivos), eu queria saber se poderia ser esse e esse (Refere-se aos vértices opostos). Pesq.: O que você acha? R: Não sei. Vou desenhar para ver. Eu acho que sim. Rita formula uma conjectura e busca uma validação pragmática. Ela desenhou outro quadrilátero qualquer e construiu a bissetriz de dois ângulos opostos (Figura 23). Figura 23: Quadrilátero construído por Rita, com as bissetrizes de ângulos de vértices opostos A aluna constatou que o ponto de encontro destas bissetrizes poderia até nem existir. A pesquisadora a questiona sobre este procedimento: Pesq.: Por que razão você construiu a bissetriz de dois vértices consecutivos? R: Não sei, por nada. G: Vamos fazer, então. R: Por que eu tinha feito só três retas; então, eu só podia fazer desse e desse (Aponta os dois vértices do quadrilátero da figura 21, pois ela inicialmente construiu como uma poligonal aberta que, depois, transformou no quadrilátero convexo, unindo dois vértices). A figura que Rita fez inicialmente, uma poligonal com três lados, não contribuiu para que ela cogitasse a possibilidade de trabalhar com bissetrizes de

106 105 vértices opostos. Notamos, aqui, a influência da figura na elaboração de conjecturas. Continuando o diálogo: Pesq.: Quando você construiu dos dois aconteceu o quê? Esse ponto tem uma propriedade. R: Ele é equidistante dos três lados. Pesq.: E se você construísse a bissetriz de vértices opostos, esta propriedade iria se manter? R: Não sei. G: Dos quatro vértices não. Tem que ser do mesmo lado. Estou chegando à conclusão agora. R: Não dá porque as bissetrizes vão se encontrar muito próximo, não vão? Viu? Tem que ser bissetriz consecutiva. Olha aqui, Guilherme. G: Sim. Porque se você fizer dos quatro, a gente chega à conclusão que não tem como também tangenciar os quatro lados, só três. R: Porque o que está de frente para o outro é oposto e o que está do lado, é consecutivo. Rita e Guilherme são influenciados pelo desenho produzido por eles, que os conduz a um caminho distante da resposta esperada pela pesquisadora, apontada na análise teórica da atividade. Eles creditam o fato de bissetrizes consecutivas não responder ao problema a uma questão gráfica: o ponto de encontro não é claramente perceptível devido à proximidade de suas direções das bissetrizes. A pesquisadora tentou tenta retornar à discussão: Pesq: Esta ideia que Rita deu, de traçar as bissetrizes de dois ângulos opostos para ver se resolveria o problema também; ao fazer o desenho, ela já detectou que não, porque as distâncias daqui são discrepantes (Referindose à distância entre o ponto de interseção das bissetrizes de vértices opostos aos lados do quadrilátero). Qual seria uma explicação para este fato? Por que tem que ser sempre dois vértices consecutivos, e não dois opostos? R: Nós fomos testando, Né? Não deu certo. Pontuamos aqui a validação pragmática. Eles justificaram apoiados nos testes gráficos, ou seja, nas construções que fizeram. Retornando ao diálogo: G: Com dois vértices opostos, a gente já fecharia o quadrilátero. R: Isso não, Guilherme, porque a gente poderia ter feito o quadrilátero fechado, a gente que optou por fechar depois. Poderia acontecer dá um pelo lado de fora. Pesq: Qual seria a explicação?

107 106 Rita acredita que não poderá usar vértices opostos porque um dos três pontos de tangência seria externo. Ao ser interrogada pela pesquisadora sobre o porquê de as bissetrizes de vértices opostos não conduzir à solução da questão, a aluna respondeu com base em suas experimentações nos desenhos produzidos. Ela não procurou um fato geométrico que explicasse a situação. Neste instante, podemos afirmar que a observação do desenho, para Rita, tem a força de um teorema. Constatamos aqui, mais uma vez que as ações de Rita a classificam no nível G1. Ela prossegue a sua explicação, utilizando o desenho como auxílio: R: Mas, Mônica, poderia não dá certo. Por exemplo, se eu fechasse esse quadrilátero aqui (Rita traça um lado com linha tracejada no quadrilátero já construído de modo que o ponto de tangência de um dos três lados fique externo ao quadrilátero (Figura 21)). Eu ia ter traçado as mesmas bissetrizes. Então, o que eu perguntei não vale. A gente tinha chegado à conclusão que vale, mas não vale. Eu fiz fechando aqui, né? E se fechasse pra cá? O seu ficou assim? G: Isto está parecendo um triângulo. R: Não, menino, aqui, ó, um, dois, três e quatro. Não, Guilherme. Ela repete a contagem, apontando. G: Cadê? R: Ai, meu Deus! Olhe, A, B, C e D. E se fosse assim, eu estou traçando as bissetrizes, ia dar esse mesmo ponto, esse aqui também, o ponto de encontro, mas não ia tangenciar essa. E aí? A pesquisadora ajuda Rita a concluir o seu pensamento: Pesq: Por que não ia tangenciar? R: Porque não ia. Porque tangencia a reta na sua continuidade. Pesq: Por que o ponto de tangência está fora do lado, não é? R: É. Pesq: Está na reta que contém o lado, mas não está no lado. R: É. Pesq: E aí? R: Chegamos à conclusão que está errado. Guilherme concorda com a cabeça. A pesquisadora discorda com a cabeça. R: Não está certo, Mônica. Por que não vale para todo. Pesq.: Vale para qual, então? Teria uma condição? G: Por que não vale para todo? Pesq: É. Por quê? R: Por que não vale, o negócio (Refere-se ao lado do quadrilátero) é muito pequeno. Eu não sei explicar!

108 107 Ao se sentir pressionada por Guilherme e pela pesquisadora, Rita afirma que não sabe por que não é possível uma circunferência tangenciar três lados de um quadrilátero qualquer. A pesquisadora faz perguntas para ajudá-la novamente: Pesq: Mas você já falou. Por que no outro deu certo e nesse não deu? R: É por causa do segmento pequeno? Guilherme pensa sobre o seu desenho. R: Eu tracei o quadrilátero, as bissetrizes, mas o ponto de encontro é equidistante às retas a não aos lados. E a perpendicular pode ficar traçada do lado de fora, não precisa ser do lado de dentro do quadrilátero. Se for assim, não tangencia os três lados. Então, eu acho que não é possível. Ai, meu Deus, tenho que escrever tudo de novo! (Refere-se à demonstração escrita já dada por encerrada). A pesquisadora insiste para que Rita continue o raciocínio: Pesq: Não. É possível desde que aconteça o quê? R: Que o segmento, que todos os segmentos sejam maior que o diâmetro, sei lá. Que maior do que o raio pode ser... G: Tem razão. R: Oh, se for maior do que o raio... A pesquisadora intervém: P: Veja, este pontinho (Refere-se ao ponto de tangência) aqui é importante, ele é o ponto de tangência, ele tem que estar onde? G: Tem que estar no quadrilátero. Pesq: Tem que pertencer ao lado, não é? G: O ponto de tangência tem que pertencer ao lado do quadrilátero. Neste momento, Guilherme atinge à fase 3 da resolução da questão. Rita leu a sua justificativa em voz alta para verificar em que local poderia fazer a modificação sem desmanchar toda a demonstração. Ela concordou com Guilherme em trocar equidistante aos três lados por equidistante às retas suportes dos três lados. Rita comentou que se cada coisa que estudasse em sala de aula, fosse desta forma, a turma ficaria dez anos para estudar cada tópico, pois se gastou mais de uma aula só neste problema. Guilherme afirmou que uma parte do curso poderia ser desse jeito e com demonstrações. Esses comentários corrobam resultados de pesquisas (DOMINGOS e FONSECA, 2008; GRAVINA, 2001; PIETROPAOLO, 2005; SERRALHEIRO, 2007), segundo os quais o trabalho com demonstrações passa ao largo da sala de aula da Educação Básica e da formação inicial de professores de Matemática. Quando Guilherme menciona que parte do curso

109 108 poderia ser desse jeito, é porque nenhuma parte, de fato, é desse jeito no curso que ele está inserido, isto é, os formadores de professores de Matemática não estão preparando-os para utilizar a resolução de problemas e a demonstração como estratégia de ensino e aprendizagem de Matemática, tampouco para o desenvolvimento do raciocínio argumentativo e dedutivo dos alunos da escola básica. Rita, apesar de escrever a sua justificativa para a solução do problema, apresentou dúvidas quanto ao que fosse uma demonstração, e pareceu não reconhecer que aquela justificativa é a demonstração do resultado que encontrou: R: A gente terminou o problema, não mandou demonstrar nada, só justificar a nossa resposta. Pesq: Você acha que isso não é uma demonstração? R: É, mas a gente fica traumatizado com demonstração, aquele monte de nome difícil. G: Mas isto é uma demonstração. R: É uma demonstração, mas... Os últimos comentários deixam transparecer que Rita crê que demonstração é um discurso que utiliza termos próprios da Matemática, termos estes que ela parece não saber muito bem o que significam nem quando e como pode utilizar. A primeira fala de Rita, na qual ela afirma que justificou, mas não demonstrou, deixa claro que ela não sabe o que é demonstração. Os alunos querem saber se a resposta deles está correta. A pesquisadora responde que ainda não pode afirmar porque eles retornarão a esta questão para resolvê-la em ambiente de geometria dinâmica. Polya (1995), em sua metodologia para ensinar o aluno a resolver um problema, comenta sobre o método de questionar do professor. O autor afirma que é um dos modos de o professor contribuir com a habilidade do aluno, para resolver problemas. O professor deve sempre questionar o aluno, até que provoque a resposta na mente do aluno (POLYA, 1995, p. 14). Nós tivemos em mente estas orientações, ao longo de toda a experimentação. Sempre que percebíamos bloqueio no raciocínio do aluno, procurávamos interrogá-lo, orientando seu raciocínio com questões que o despertassem para alguma solução. Podemos alegar que o método proposto por Polya (1995), e utilizado por nós nesta experimentação, apresentou resultados positivos no desenvolvimento dos alunos.

110 109 A pesquisadora volta à pergunta sobre por que o ponto de interseção de bissetrizes de vértices opostos não responderia à questão: R: Por que aqui (Mostra o quadrilátero da Figura 21 com as bissetrizes de dois vértices consecutivos) é equidistante dos três lados e aqui não é (Refere-se ao ponto de interseção das bissetrizes e mostra o desenho com as bissetrizes de vértices opostos do quadrilátero (Figura 23)). Pesq.: Aqui ele é equidistante de quais? (Refere-se ao desenho de bissetrizes de vértices opostos e ao ponto de interseção das bissetrizes). R: De nenhuma. G: Dessas duas aqui só, por que ele pertence a essa bissetriz, é equidistante desses dois lados (Refere-se à Figura 23). Pesq.: Mas não pertence a esta bissetriz também (a pesquisadora pergunta sobre a outra bissetriz)? G: Ele é equidistante dessas duas. Ele é equidistante duas a duas, não das três retas. Porque aqui a gente tem uma reta comum as duas bissetrizes (Refere-se ao quadrilátero da Figura 21) e aqui a gente não tem nenhuma reta em comum (Refere-se à Figura 23). Aí, por isso que eu acho que acontece isso. A pesquisadora observa que Guilherme não usa a linguagem matemática para expressar-se, e procura auxiliá-lo, referindo-se à Figura 23: Pesq.: Se eu chamar os lados de a, b, c e d. Coloque aqui a, b, c e d e chamar o ponto de interseção de P. R: O ponto P é equidistante das retas a e b e o ponto P é equidistante das retas c e d, mas não é equidistante de a, b e c. Guilherme interrompe. G: Aqui tem uma reta em comum (Refere-se ao desenho de Rita, com a bissetriz de ângulos consecutivos (Figura 21)). R: Aqui o ponto P, vamos chamar de Q, é equidistante às retas a, b (Refere-se à Figura 21). G: É equidistante às retas a, b em relação a esta bissetriz, e depois é equidistante de b e c. R: Mas precisa falar primeiro e depois? G: Não, mas porque ela (a pesquisadora) quer ver. R: Ele é equidistante das três retas, a, b e c. G: Sim, mas chegou a esta conclusão aqui. Aqui tinha chegado a essa conclusão, mas aqui você logo viu que não era, porque o ponto era muito próximo, e não dava para você ver, como você ia ver que não era? Pesq.: Ele está dizendo que aqui (Refere-se à Figura 23) você chegou a esta conclusão rapidamente porque era muito discrepante a distância, para esse quadrilátero específico que você considerou. E se você considerasse outro quadrilátero e essa distância não fosse tão diferente assim? Você veria logo de cara que não seria?

111 110 G: Não dava pra ver. R: Não, eu ia testar e ia vê que não dava. Nesta última fala de Rita, observa-se G1 controlando G2. A conclusão que ela pretendia obter está totalmente baseada em seu experimento. Rita não alcançou a fase 3 que corresponde à constatação de que os pontos de tangência têm que pertencer aos lados do quadrilátero. O diálogo anteriormente descrito exibe o raciocínio de Rita e Guilherme para concluir que o ponto Q da Figura 21 é equidistante de três lados consecutivos do quadrilátero porque ele é equidistante de dois pares de lados, tomados dois a dois, com um lado comum aos dois pares considerados. Esta é a justificativa para a estratégia de considerar a interseção das bissetrizes de dois vértices opostos ser incorreta. Emerge deste relato, a insuficiência do desenho a lápis nos casos em que uma mudança de configuração pode sugerir ou induzir conclusões errôneas. Como Guilherme afirmou, se Rita não tivesse construído um quadrilátero no qual o ponto de interseção de bissetrizes opostas estivesse a distâncias bem desiguais dos lados do quadrilátero, talvez ela conjecturasse que tal ponto pudesse ser a solução do problema. Este fato indica que a aluna não entrou verdadeiramente no processo de abstração necessário a uma demonstração. Ela parece estar na articulação G1 G2 ou G2-G1, não atingindo o nível de provas intelectuais, alternando empirismo ingênuo e experiência crucial. O raciocínio utilizado por Rita é típico de G1. Ela valida as suas conjecturas com base nas observações sobre suas construções. O raciocínio da dupla evoluiu porque a pesquisadora os instigou com perguntas, por isso as conclusões a que chegaram Rita e Guilherme não foram espontâneas, e sim frutos da intervenção da pesquisadora. A seguir, é transcrita a resposta por escrito apresentada por Rita: Sim. Para que uma circunferência tangencie três lados consecutivos de um quadrilátero convexo, primeiro constrói-se o quadrilátero, seguidamente constrói-se as bissetrizes de dois ângulos consecutivos, o encontro dessas bissetrizes determina um ponto que é equidistante aos três lados que formam os dois ângulos que traçamos as bissetrizes. Como o ponto encontrado é equidistante das retas suporte aos três lados citados, traça-se então as perpendiculares que vão deste ponto até as três retas suporte dos lados do quadrilátero o ponto de encontro destas perpendiculares com os lados opostos formam com o ponto determinado pelas bissetrizes o raio da circunferência que se está buscando. É preciso

112 111 também que o ponto encontrado traçando-se as perpendiculares esteja dentro do quadrilátero, ou seja, não pertença somente as retas suporte, mas também aos lados do quadrilátero. (Protocolo de pesquisa, 2008). O texto seguinte é a transcrição da resposta apresentada por Guilherme: Sim. Sabendo que a reta bissetriz de um ângulo contém todos os pontos equidistantes das duas retas que formam um ângulo. Podemos dizer que ao traçar as bissetrizes de dois ângulos consecutivos de um quadrilátero convexo encontramos um ponto. Este ponto é comum a ambas bissetrizes, portanto equidistante às três retas dadas. Após este ponto ser encontrado basta traçar um perpendicular a este ponto relativa a qualquer uma das três retas. Esta perpendicular irá determinar o raio da circunferência que tangecia as três retas suportes aos três lados do quadrilátero convexo. Com isso, podemos concluir que para uma circunferência tangenciar três lados de um quadrilátero convexo, temos como condição que os pontos de tangência da circunferência com as três retas devem pertencer aos lados do quadrilátero convexo. (Protocolo de pesquisa, 2008). A resposta de Guilherme está mais completa que a de Rita, porque expõe a justificativa para o ponto de encontro das bissetrizes de ângulos internos consecutivos do quadrilátero ser o centro da circunferência procurada. Nota-se que, em seus textos, Rita e Guilherme não afirmaram que tal ponto é o centro da circunferência, e a redação de Rita se assemelha a um roteiro de construção geométrica. Rita e Guilherme concluíram a fase 4., mas a justificativa de Rita é do tipo empirismo ingênuo, e a de Guilherme é do tipo experiência mental. Durante a resolução desta questão, Rita manteve-se em G1 e Guilherme alternou G1 e G Desenvolvimento das estratégias da dupla Diana / Patrícia Esta dupla trabalhou afinada a maior parte do tempo, pois quase todas as ideias foram compartilhadas, como se pensassem em voz alta, embora Patrícia demonstrasse ter mais conhecimentos geométricos. Elas conversavam e desenhavam ao mesmo tempo. A dupla usou o instrumental de desenho para executar todos os desenhos, utilizando corretamente os processos geométricos. Patrícia sugeriu desenhar um quadrilátero qualquer e tentar construir uma circunferência tangenciando e, em seguida, ir ajustando os lados na tentativa de encontrar a solução. Logo, afirmou que a reta tangente à circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência e

113 112 utilizou esta informação em seus desenhos (Figura 24). Neste diálogo e nos seguintes, considere que P indica a fala de Patrícia, e D; a fala de Diana: P: Acho que a gente tem que fazer um quadrilátero qualquer, aí depois vai tangenciando aqui para ver como vai ficar. Não, espera aí, agora eu vou fazer a circunferência para ver se vai dar o trapézio retângulo. Esse eu fiz diferente. Para ser tangente tem que fazer 90º com o raio, não é isso? Então, eu vou pegar aqui o raio, fazer 90º aqui. Se tem lados paralelos no trapézio, menores que o diâmetro da circunferência, ele vai tocar nos quatro lados. Se for maior, não vai tocar, vai tocar nos três. Aqui eu desenhei a circunferência, para tentar fazer, entendeu? Aí eu puxei o raio aqui, o próximo raio tem que puxar fazendo 90 aqui também? D: Acho que não, né? P:Não precisa não? D: Não. P: Então eu vou puxar um aqui qualquer. Aí tem fazer 90º aqui também? D: Lá precisa né, é tangente. P: Então, vamos ver! Mas aí não vai... Eu acho que esse aqui ficou com 90. As alunas utilizaram bissetrizes e mediatrizes em suas construções, mas não mencionaram oralmente esta opção e tampouco por que o fizeram. Observamos que a dupla atingiu a fase 2 da resolução antes da fase 1.

114 113 Figura 24: Desenhos produzidos por Patrícia Na figura 24 pode-se observar que Patrícia construiu mediatrizes de lados opostos de um trapézio e bissetrizes de todos os ângulos internos de um outro trapézio, mas parece não chegar a nenhuma conclusão. Diana e Patrícia experimentaram os quadriláteros notáveis: paralelogramo, quadrado, losango, retângulo, trapézio retângulo e qualquer (Figuras 25 e 26):

115 Figura 25: Quadriláteros construídos por Patrícia 114

116 115 Figura 26: Quadriláteros produzidos por Patrícia

117 116 Pode-se observar (Figuras 25,26 e 27) que as alunas tentam construir a circunferência tangente ao quadrilátero, com centro no encontro das mediatrizes dos lados ou no ponto de interseção das bissetrizes. Figura 27: desenhos produzidos por Diana

118 117 Figura 28: Construções elaboradas por Diana

119 118 Figura 29: Desenhos produzidos por Diana Até este momento, as tentativas de validação foram experimentais. Sempre que Patrícia e Diana apresentavam uma ideia, elas validavam por meio das construções. Em nenhum dos casos recorreram à teoria geométrica. Devido a estas atitudes, podemos inferir que as alunas se encontram no nível G1 de raciocínio geométrico e passível de produzir uma prova do tipo empirismo ingênuo, pois se limitam ao observado para concluir. Após todas estas construções, a dupla concluiu que, no quadrado e no losango, que possuem os lados congruentes, a circunferência tangenciaria os quatro lados, não apenas os três. Neste momento, Patrícia lembra que o enunciado interroga sobre a circunferência tangenciar três lados, não apenas três lados, podendo tangenciar os quatro lados: D:Será que ficou? P: Eu acho. Deixe eu ver se ficou com 90. Não é sempre possível. Porque no quadrado e no losango dá pra tangenciar os quatro lados. Não tem como tangenciar só os três. É isso? D: É. P: Então, sempre que tiver os quatro lados iguais. É isso, porque... a gente sempre consegue.

120 119 D: Tangenciando três ou até mesmo quatro, porque no trapézio poderia ser os quatro, no qualquer também conseguimos fazer os quatro. P: A circunferência não tem que tangenciar apenas três lados, mas três lados. Então é sim. Quando ela não tangencia três, mas tangencia quatro. Tá vendo? Está errado. D: Porque quando é um quadrado ou um losango, vai tangenciar os quatro. Mas aí Patrícia observou que aqui não está perguntando apenas três lados. Pode ser três ou quatro (Falando para a pesquisadora, que observa). Em seguida, Patrícia levanta a questão de que figura deve ser desenhada primeiro: o quadrilátero ou a circunferência. Ela diz: P: Olha só, nesse aqui, o que eu fiz, eu fiz a circunferência e da circunferência eu fiz o quadrilátero. A pergunta, uma circunferência tangencia três lados de um quadrilátero. Eu acho que você tem que ter o quadrilátero para ver se consegue construir uma circunferência nesse quadrilátero. Entendeu? Então, eu acho que tem que ser assim, qualquer quadrilátero que eu desenhe tem que conseguir tangenciar três lados, dele com a circunferência. Ao decidir que primeiro deve ser construído o quadrilátero, Patrícia demonstrou compreender o enunciado da questão, e ter percepção da generalidade da resposta, pois ela se referiu a qualquer quadrilátero na última frase do diálogo precedente. Diana e Patrícia começam a redigir uma única resposta por escrito e discutem sobre o conteúdo do texto: P: Aí, a gente coloca o quê? D: Através também dos desenhos, né? P: A gente bota: percebemos que no quadrado, no trapézio retângulo, no losango, em todos eles... D: Já foi escrito, não precisa apagar não. P: Eu sei, mas por quê? Porque a gente tem pelo menos um par de lados paralelos. D: Mas não pode ser só isso porque no paralelogramo nós não conseguimos. Patrícia concorda. P: Mas às vezes a gente que não conseguiu desenhar, de repente tem como. D: É. Quer tentar fazer mais um? Ou não, chega, né? P: Eu acho que está bom. Vamos tentar fazer...não.

121 120 As alunas acreditam ter encontrado a solução, e quando uma delas discorda, a outra argumenta que pode ter sido uma falha no desenho que elas tentavam fazer, e desistem de continuar investigando. A solução está totalmente baseada nas figuras por elas construídas, caracterizando que as duas alunas encontram-se no nível G1, e que trabalham na apreensão perceptiva segundo Duval (1994). Está transcrita abaixo a justificativa apresentada pela dupla: Não. Quando o quadrilátero tiver os 4 lados do mesmo tamanho, a circunferência vai tangenciar os 4 lados, então é possível (Quadrado e losango). Quando o quadrilátero tiver 2 ângulos retos também é possível (Trapézio retângulo e retângulo). No paralelogramo não conseguimos encontrar a circunferência. (Protocolo de pesquisa, 2008). Patrícia e Diana resolveram esta questão num espaço de tempo menor do que a dupla Rita/Guilherme, porque elas não se aprofundaram na determinação da solução, satisfazendo-se com os resultados encontrados, e levantaram poucos questionamentos. Por outro lado, a dupla Diana/Patrícia fez mais experimentações por meio dos desenhos do que Rita/Guilherme, isto pode significar que o desenho representou para elas um apoio imprescindível para o desenvolvimento do raciocínio, pois cada nova ideia era representada graficamente, e de cada construção retirava-se alguma conclusão. A pesquisadora não interveio porque não houve momentos de bloqueios, e as alunas não solicitaram ajuda. As alunas não atingiram as fases 1, 3 e 4 da resolução Desenvolvimento das estratégias da dupla Júlia/Helena Júlia iniciou a resolução sozinha, e depois, trabalhou com Helena, que chegou com 30 minutos de atraso. As alunas fizeram todos os desenhos com instrumental de desenho e utilizaram processos geométricos corretamente em suas construções. Inicialmente, Júlia desenhou uma circunferência e construiu um quadrilátero circunscrito, procedimento similar ao de Guilherme: iniciou a investigação por parte da resposta procurada para construir seu raciocínio. Em seguida, desenhou uma linha poligonal e um quadrilátero qualquer, e tomou como pontos de tangência, pontos arbitrários em cada um dos lados. Determinou a mediatriz dos segmentos determinados por estes pontos e construiu a circunferência com centro na interseção das mediatrizes (Figura 30). Este procedimento é semelhante ao de Rita, indicando

122 121 que o conhecimento sobre ponto de tangência e condições para determinar o centro da circunferência não está disponível. Figura 30: Desenhos produzidos por Júlia Helena chegou, recebeu as questões e Júlia explicou-lhe o que é para fazer e o que já havia feito. A partir deste momento, elas passaram a compartilhar todas as ideias. Cada uma desenhou um retângulo, determinou o ponto médio do menor lado e transferiu a medida da metade deste lado para os outros lados a fim de construir a circunferência (Figuras 31 e 32). Figura 31: Retângulo construído por Júlia Figura 32: Retângulo construído por Helena

123 122 A dupla passou a investigar o losango, desenhando-o. Júlia perguntou se os ângulos internos mediam 60º e 120º. Helena afirmou que os ângulos não precisavam ter estas medidas. Helena tentou traçar a circunferência tangente aos lados do losango, sem determinar o raio previamente. Apenas, centrou o compasso no ponto de encontro das diagonais. Em seguida, desenharam um paralelogramo corretamente e procederam, como no caso do losango, para traçar a circunferência. Nos dois casos, observamos a apreensão perceptiva. Júlia afirmou que não daria certo. Desenharam outros losangos e trapézios e constataram que é possível ter uma circunferência tangente a três lados do trapézio retângulo (Figuras 33, 34, 35 e 36). Figura 33: Paralelogramo construído por Júlia Figura 34: Losango construído por Helena

124 123 Figura 35: Trapézio construído por Júlia Figura 36: Construção inacabada de um trapézio feito por Helena Helena construiu uma circunferência e a dividiu em quatro partes iguais, depois construiu retas tangentes sem utilizar processo geométrico (Figura 37). Figura 37: Circunferência com retas tangentes construídas por Helena

125 124 Helena afirma após terminar o desenho: Veja como eu consegui desenhar. Às vezes, a gente não está sabendo desenhar. Júlia desiste de continuar a investigação e começa a escrever a resposta, sendo auxiliada por Helena. A solução apresentada é a seguinte: Situação 1: Primeiro o quadrilátero, só será possível se os ângulos adjacentes aos lados consecutivos foram iguais a 90º. Com exceção do losango. Situação 2: Primeiro a circunferência. Sempre será possível. (Protocolo de pesquisa, 2008) A apresentação de uma segunda situação evidencia que as alunas não compreenderam o enunciado do problema, segundo o qual o quadrilátero tem que ser considerado antes da circunferência. Portanto, não existe mais de uma situação. Esta dupla dialogou pouco e das três, foi a que menos investiu na resolução, e também a que terminou a atividade em menor tempo. Constata-se que estas alunas estão no nível G1 de Parzysz, pois fundamentaram as suas conclusões apenas nos desenhos que construíram. As alunas não alcançaram as fases 1, 2 e 3 da resolução da questão. A fase quatro foi cumprida, mas a justificativa apresentada é compatível com o tipo de prova experiência ingênua. 4.3 Síntese da análise dos dados da questão 1 no ambiente papel e lápis Com relação à análise matemática, apenas uma dupla Rita/Guilherme procedeu como relatado nesta, porém não de modo imediato, pois eles construíram muitos desenhos até chegar à solução esperada. Também foi necessária a intervenção da pesquisadora para que a dupla prosseguisse no raciocínio que levaria à resposta correta, bem como para utilizar termos matemáticos adequados à justificativa solicitada no enunciado da questão. As demais duplas não responderam corretamente à questão, apenas apresentaram justificativas compatíveis com o tipo de prova experiência ingênua.

126 125 Todas as duplas iniciaram a investigação construindo desenhos, como relatado na análise didática, mas com uma diferença: eles não pensaram em uma estratégia de construção que os conduzissem à solução do problema, realizaram construções aproximadas do ponto de vista teórico. Observou-se que os alunos construíam os desenhos com a expectativa de que a solução emergisse de alguma das construções realizadas. Constatou-se que nenhuma dupla refletiu sobre o que solicitava a questão, para depois planejar a construção da circunferência tangente a três lados de um quadrilátero. A dupla Rita/Guilherme foi a que fez menor número de desenhos, seguida da dupla Júlia/Helena e, por fim, a dupla Patrícia / Diana fez o maior número de desenhos. Não foi observada relação entre o número de construções realizadas por cada dupla e a solução apresentada, pois a dupla que acertou as questões fez o menor número de desenhos, e a que fez maior número apenas se aproximou da resposta correta. O que se pode inferir é que as construções geométricas, no ambiente papel e lápis contribuem pouco para a elaboração de conjecturas e para o desencadeamento do processo de abstração, necessário à construção de uma demonstração. Um fato não exposto na análise teórica foi apresentado por Rita: Poderia o ponto de interseção das bissetrizes dos ângulos de vértices opostos do quadrilátero ser o centro da circunferência procurada? Credita-se este questionamento de Rita, possivelmente, ao clima de investigação que se instalou durante a resolução da questão. Uma outra ocorrência não prevista na análise teórica foi os alunos começarem a investigação pela circunferência. As justificativas apresentada por Rita e por Guilherme foram as que mais se aproximaram da resposta correta conforme é apresentado na análise teórica. As mesmas não estão completamente corretas devido à coesão no texto e falta de indicação precisa de elementos. Por exemplo, nem Guilherme nem Rita afirmaram que o ponto de encontro das bissetrizes era o centro da circunferência procurada. As demais duplas apresentaram um texto contendo os resultados da investigação que fizeram, o que indica problemas na mobilização dos conhecimentos necessários para resolução da questão. Somente Guilherme apresentou uma justificativa do tipo experiência mental, os demais alunos apresentaram justificativas do tipo empirismo ingênuo.

127 126 Com relação ao cumprimento das fases previstas na resolução da questão 1, observamos que apenas a dupla Rita / Guilherme alcançou todas as fases. A dupla Diana / Patrícia completou as fases um, três e quatro; e a dupla Júlia / Helena apenas a fase quatro. 4.4 Experimentação da questão 1 no ambiente geometria dinâmica Geogebra Neste item, são descritas a experimentação e a análise da questão 2, agrupadas por duplas. Os alunos trabalharam em computadores independentes por opção própria Desenvolvimento das estratégias da dupla Rita/Guilherme Os alunos construíram, sem dificuldades, um quadrilátero qualquer e as bissetrizes de dois ângulos internos consecutivos. Determinaram o ponto de interseção destas bissetrizes, construíram perpendiculares aos lados dos ângulos considerados, passando por este ponto, marcando o ponto de interseção das perpendiculares com os lados, e por fim, construíram a circunferência, refazendo os passos já desenvolvidos no ambiente papel e lápis. A seguir estão as telas entregues por Rita e Guilherme. Figura 38: Tela do Geogebra com a construção de Rita

128 127 Figura 39: Tela do Geogebra com a construção de Guilherme A partir destas construções e da movimentação das mesmas, Rita e Guilherme concluíram: R: Na 1, o que eu fiz diferente, foi que não é preciso achar as três perpendiculares. Rita lê a resposta produzida por ela para esta questão no ambiente papel e lápis. R: Não é necessário traçar as três perpendiculares às retas suportes, basta traçar uma reta suporte, que ela já é a distância do ponto de encontro das bissetrizes até um dos lados. G: É o raio. R: É o raio da circunferência que eu quero. G: No caso já tinha traçado duas, pedi para traçar as três... R:,E além disso, o bom da GD é que a gente move um dos vértices do quadrilátero. G: E a gente pode provar para todos os casos. R: E a gente testa centenas de uma vez só. G: É, nesse caso a gente chegou rapidamente à conclusão de que se o ponto de tangência não pertencesse ao terceiro lado, a gente só teria dois pontos. A dupla utilizou o recurso de movimentação do software para ratificar as conjecturas formuladas no ambiente papel e lápis ressaltando a rapidez da obtenção das mesmas, além da possibilidade de testá-las em muitos casos. Ressaltamos a

129 128 fala de Guilherme, quando ele afirma que no Geogebra pode provar para todos os casos, que é indicativa de uma transição G1-G2, pois ele fala em provas baseadas nas observações da tela, e na pelas propriedades matemáticas, após produzir uma prova do tipo experiência mental. Podemos afirmar que para essa dupla, o ambiente computacional funcionou como um meio de confirmação das conjecturas elaboradas no ambiente papel e lápis, não acrescentando nada à construção da justificativa apresentada para a solução no ambiente papel e lápis. Não observamos alterações no nível de raciocínio geométrico dos alunos, tampouco no tipo de justificativa produzida. Deste modo, confirmamos as observações feitas no ambiente papel e lápis, permitindo apenas aprofundar que os alunos parecem, pelo diálogo, usar a movimentação para aumentar a número de exemplos a fim de obter confirmações dos resultados encontrados no ambiente papel e lápis Desenvolvimento das estratégias da dupla Diana/Patrícia Em silêncio, as alunas começaram a investigação pelo quadrado e pelo retângulo (Figuras 40, 41 e 42), traçando as bissetrizes e mediatrizes (Diana construiu só mediatrizes), sem explicitar a razão para este procedimento. Com centro no encontro das mediatrizes ou bissetrizes, as alunas construíram círculos tangenciando os lados destes quadriláteros. Estes círculos foram traçados com a ferramenta Geogebra círculo definido pelo centro e um de seus pontos. Observemos aqui a confirmação da não disponibilidade do conhecimento sobre as propriedades da bissetriz, já ressaltadas no ambiente papel e lápis.

130 129 Figura 40: Quadrado construído por Diana Figura 41: Quadrado construído por Patrícia

131 130 Figura 42: Retângulo construído por Diana Nos diálogos seguintes, Patrícia e Diana referem-se a construções que não foram gravadas, apesar da recomendação da pesquisadora para que gravassem todas as figuras construídas. Elas gravaram as figuras acima e as que consideraram como resposta definitiva. D: Vou fazer a bissetriz do outro para ver. P:Não vai encontrar não. D: Vou fazer do trapézio. P: Mas faz, de repente é uma boa. D: Se for trapézio retângulo... P: Olhe, não encontrou. A bissetriz não encontrou em três lugares. Faz no trapézio para ter uma ideia, será que tem que ter dois lados paralelos? D: Acho... P: Vou fazer no paralelogramo. D: Mas dois a dois, não todos. P: É. Não todos, no paralelogramo, é dois a dois, né? D:...todos os lados congruentes,né? P: Tá vendo aqui não deu, faltou um pouquinho. Tá vendo este ângulo é bem fechadinho. Acho que tem a ver com o ângulo. D: Tem a ver com a soma dos ângulos internos. P: Deve ter, mas... No quadrilátero é 360, na circunferência é 360. Acho que não tem nada a ver com ângulo, mas vamos ver. Por que no losango e no quadrado tangencia os quatro? D:Tem relação com... nos dois os lados são paralelos.

132 131 P: Mas será que tem como tangenciar três lados no quadrado? D: Acho que não. P: Qual é aquela propriedade da... não aquele negócio da diagonal, que a diagonal divide no meio, não tem? Patrícia tenta, em vão, se lembrar de alguma propriedade que envolva a diagonal de um quadrilátero, isto pode evidenciar uma passagem de G1 para G2. o diálogo evidência conhecimentos frágeis da Geometria, e as alunas parecem não usar o aspecto dinâmico do software para buscar outros quadriláteros. As alunas trocavam ideias, à medida que movimentavam os desenhos e observavam. Essa prática foi constante durante todo o encontro. Observamos que a dupla não partiu das conclusões obtidas no ambiente papel e lápis. Diana e Patrícia fizeram muitas conjecturas que logo eram descartadas pelas observações dos desenhos na tela, repetindo o comportamento que tiveram no ambiente papel e lápis. Observamos que as alunas se encontram em G1. O diálogo seguinte exibe um destes momentos, no qual as alunas referem-se às figuras construídas por elas (Figuras 40, 41 e 42). Neste instante, elas apontam para as telas dos monitores: P: Tem a ver com o raio. Vamos ver com o quadrado, aí tem a diagonal aqui. Ela divide no meio, então isso vai ser igual a isso, isso e isso, aí vai ter o raio. D: O raio vai ser aqui. Daqui até aqui (Refere-se à distância entre o centro do quadrado e o ponto médio de um dos lados). P: Então, não vai ser diagonal. D: Altura, metade do lado. P: Isso aqui vai ser o raio, aí vai tangenciar os quatro (Referese à distância citada acima). D: Não tem como tangenciar... P: Não tem como, tem que tangenciar os quatro mesmo. D: Ou só dois. Né? P: Então não é sempre possível? D: Não. P: Porque no quadrado não é possível. D: A gente tem que lembrar também da tangente que é 90º... P: Mas exatamente, no quadrado nós fizemos 90º e tocamos os quatro. D: Nós usamos... P: Aí, meu Deus! Depende de quê? D: Uma propriedade... Se os lados opostos são do mesmo tamanho...vai tocar em um e vai tocar em outro, e no trapézio? P: É, eu acho que é isso, os lados... bem se todos os lados forem iguais, vai tocar nos quatro. Pode escrever que pode. Não...

133 132 A discussão precedente girou em torno da circunferência tangenciar apenas três ou mais lados do quadrilátero. As conjecturas anteriores elaboradas pela dupla estavam apoiadas apenas na observação dos desenhos na tela construídos por elas. Isto permite afirmar que elas estavam em G1. No diálogo anterior, Diana também se esforça para recordar-se de alguma propriedade para justificar a conjectura formulada. É um indício da transição de G1 para G2. Continuaram a dialogar: D: No trapézio, também tem 360º. P: Vou desenhar um trapézio. Eles não têm o mesmo tamanho. E agora? D: É aquele mesmo problema, qual... P: Porque, por exemplo, a gente já fez exercício com triângulo que ela não tangenciava no ponto médio, ela tangenciava aqui, olhe, vamos ver este aqui, entendeu? Ela não tangenciava no ponto médio. D: É. D: Você fez um trapézio retângulo. P: Eu vou tentar fazer um, na sorte. Se for por estes dois lados aqui não dá, vou tentar no outro. Elas desenham. D: Mas aí tem um ângulo reto, de repente consegue. P: E também, aonde fica o centro? Não é nada daquele negócio de Cristina 29 não, que a gente tem que fazer a mediatriz. A dupla investiga a possibilidade de o centro da circunferência ser o ponto de encontro das mediatrizes, confirmando a não mobilização do conhecimento adequado: propriedade da bissetriz. P: Vou fazer a mediatriz aqui para ver. D: Eu fiz aqui, mas só que a terceira mediatriz já não vai encontrar. Só duas. Estas duas aqui. P: Então, deve ser isso, que eu falei que vai tangenciar dois lados. P: Então, eu acho que nesse quadrado que as mediatrizes vão se encontrar em dois pontos, é por que... Como que faz a mediatriz mesmo? Diana explica. P: Eu acho que é isso... Olhe esse aqui não dá. 29 Referem-se ao conteúdo abordado nas aulas de Construções Geométricas. O nome da professora é fictício.

134 133 D: É por causa dos lados paralelos não terem a mesma medida. P: Mas se tivesse a mesma medida ia ter a mesma mediatriz. Diana concorda. D: Mas nos lados paralelos, as mediatrizes só vão se encontrar se forem do mesmo tamanho. P: Não, mas pode ser inclinada. D: Não, mas paralelo? P: Ah, é. Mas ele não precisa ter lados paralelos. D: Então sempre que tiver lados paralelos não vai ter, não vai poder. P: É aqui não deu não. D: Eu acho que é isso. No retângulo também. P: Mas no retângulo você falou que dá. E tem lados paralelos. Será que não é o ponto médio, é isso que eu estou pensando. Por que se tiver 90º, o outro ponto médio vai ficar aqui. D: É vai encontrar com as duas. P: Não é então prá lá, ele vai ficar assim, ó. D: É, só encontra duas a duas. P: É. D: Só vai tangenciar de dois a dois. Figura 43: Quadrilátero qualquer com mediatrizes e bissetrizes construído por Patrícia

135 134 P:Meu quadrilátero (Figura 43 )ficou meio esquisito. Não tem lado paralelo, né? D: Não. Vou fazer mediatriz. P: Eu acho que não vai dar certo. Este pensamento... eu acho que está errado. Também não vai... Tem que ser um ponto que não seja mediatriz, ele tem que ser um ponto daqui pra cá tem que ter o mesmo tamanho, daqui pra cá também tem que ter o mesmo tamanho e daqui pra cá. Mas eu acho que na hora que você for desenhar a circunferência, automaticamente, no ponto aqui vai dar 90º...Você está medindo? Patrícia começa a perceber que a solução não se relaciona com a mediatriz dos lados do quadrilátero. E fala da propriedade do ponto procurado: tem que ser equidistante de três lados do quadrilátero. Nesse momento, elas concluem a fase 1. Patrícia cogita a possibilidade da mediana resolver o problema, mas observamos que ela não busca na teoria uma justificativa. P: Será que é mediana? Mediana vai no ponto médio. Mediana, é como que faz? Acho que mediana é de triângulo. A mediana é um segmento. A mediatriz é uma reta. Eu acho que mediana é só de triângulo. D: Porque no quadrado e no retângulo a gente... P: A gente não desenhou, a gente pensou só. Apesar de terem começado a investigação construindo também bissetrizes, a dupla não conseguiu ver que o ponto procurado (o centro da circunferência tangente) pertencia à interseção das bissetrizes de ângulos de vértices consecutivos. P: Aqui não é o ponto médio porque pra lá tá maior do que prá cá... Não é bissetriz não? Alguma coisa tem que ser. Como que faz bissetriz? D: Divide o ângulo ao meio. P: Tá, mas como que faz? Diana, o negócio, espera aí, tem que fazer de um jeito que dê para ficar qualquer quadrilátero. Mas a gente não pode fazer com todos. Neste instante, Patrícia se conscientiza de que a resposta deve ter um caráter genérico, e admite a as limitações da validação perceptiva. D: A gente pode primeiro tentar fazer com os que a gente conhece. P: Eu vou fazer um quadrilátero. D: Vai fazer um qualquer? P: Eu vou fazer. Você pode ir fazendo um que eu vou fazer outro. (Figura 43)

136 135 Elas desenham. P: Tem que tangenciar três lados, não? Eu vou fazer aqueles negócios que a gente estava fazendo, bissetriz, que aí a gente vai ter certeza que está certo. P: Eu cliquei aqui e aqui. Agora, aqui e aqui. E aí Diana, eu fiz as bissetrizes. Elas não se encontram no mesmo lugar. D: Só duas a duas. Figura 44: Paralelogramo com bissetrizes construído por Diana P: Vou tentar fazer pela outra. Esconder aqui. D: Não estou conseguindo fazer paralela. P: Não está conseguindo? D: Não. P: É aqui. Paralela aqui, passando por aqui. Patrícia ajuda Diana a desenhar no Geogebra. P: Agora a gente vai fazer pela mediatriz para a gente ver se vai dar o mesmo. Ouviu, Diana? Vou fazer tudo que a gente tentou fazer com papel. Entendeu? D: Sim. Patrícia construiu a bissetriz e a mediatriz de um quadrilátero não gravado, a fim de verificar se o centro da circunferência tangente se relacionava com uma das duas, ou com as duas. Ela constata que não existe relação: P: Olha lá Diana, não tem um centro. Eu fiz mediatriz e bissetriz.

137 136 D: Eu pedi retângulo com a mediatriz. Não vai dar. P: Não? D: Não. Eu gravei. P: Mas a gente tinha visto que dava, né? D: Com a mediatriz ou com a bissetriz? Tô falando com a bissetriz. Neste momento, Patrícia recordou os procedimentos no ambiente papel e lápis, e resolver reproduzi-los no ambiente Geogebra. Em seguida, elas voltaram à mediatriz, pensaram que a solução dependia de alguma propriedade do quadrilátero, tais como um ou dois pares de lados paralelos ou congruentes, ocorrência de ângulos retos, e testam várias combinações de quadriláteros com ângulo reto, sem ângulo reto, com lados paralelos, sem lados paralelos, utilizando mediatriz e bissetriz. Constatamos a utilização da validação perceptiva, característica de G1 e da prova empirismo ingênuo: P: Vou fazer aquilo que a gente estava falando, tem que ter o quê? Dois ângulos de 90º. D: E onde que é a bissetriz aqui? P: Acho que é aqui, porque... Esse aqui eu vou fazer com um ângulo de 90º. Após desenhar. P: Eu fiz este aqui com um ângulo de 90º. D: Aqui já é o ponto médio, então vai ficar 90º. P: Deu, esse aí deu. D: É usando a bissetriz, eu consegui uma circunferência. Então, com o retângulo consegue. P: Consegue. D: Vou salvar. Figura 45: Retângulo com bissetrizes construído por Diana

138 137 P: Aqui, ó, o retângulo através da bissetriz, o quadrado com a mediatriz. D: Com os quatro, né?,ttangencia os quatro lados. D: Agora vou fazer qual? P: Faz o paralelogramo, que a gente não conseguiu (Refere-se ao paralelogramo construído no ambiente papel e lápis). Eu estou fazendo um quadrilátero qualquer que tenha um ângulo de 90º. Aí, eu vou tentar a mediatriz e bissetriz. Figura 46 : Quadrilátero qualquer com bissetrizes construído por Patrícia Após desenhar no Geogebra: P: Eu acho que não vai dar por mediatriz, não. Retângulo foi pela bissetriz? D: Foi. P: Vou fazer a bissetriz. D: Fiz paralelogramo. Acho que vai ser pela bissetriz. P: Aí consegui. Tendo um ângulo reto eu consegui. Patrícia registra quadrilátero com um ângulo reto pela bissetriz. P: Eu acho que o canal é bissetriz, heim? D: É. P: Esse não tem nenhum ângulo reto (Refere-se ao desenho construído por Diana). D: É o paralelogramo. P: É. Vai ver que consegue. D: Só que tem que fazer uma perpendicular, nesse ponto aqui. P: Hum? D: Para achar o raio. Perpendicular aqui até a reta. P: Eu não fiz isso não. Eu fiz até encostar. Será que está certo? Eu fiz até encostar só.

139 138 D: Acho que está. Vou fazer direto também. Paralelogramo também dá, ó. Três lados. P: Pela bissetriz. D: Isso. P: E não tem nenhum ângulo reto? D: Não. Não cheguei à conclusão nenhuma. Tem paralela, lembra? P: Ah, é. Neste diálogo, as alunas começam a perceber que o centro da circunferência procurada pode ser a interseção de bissetrizes, e também utilizam a propriedade da reta tangente no ponto de tangência. Elas continuam: P: Então, eu vou fazer um trapézio qualquer. D: Um trapézio retângulo, também vai tocar. Figura 47: Trapézio retângulo com bissetrizes construído por Diana. P: Eu não queria um trapézio isóscele,s não. Por que eu fiz isso? Patrícia desenha. P: Esse aqui é um trapézio, não é? D: É. P: Eu não queria que ficasse isósceles. Diana, está tentando fazer o quê? D: Trapézio retângulo.

140 139 P: Eu só estou fazendo duas bissetrizes. Você está fazendo todas? D: Nesse caso aqui eu estou fazendo todas porque desse lado aqui tocou os três. Eu quero ver se de lá onde não é reto... P: Consegui também, olhe, trapézio qualquer, não tem ângulo reto. D: Olha Patrícia, onde ele não é reto também tocou os três lados, pela bissetriz. P: É porque ele é paralelo. D: Hum. P: Agora para tocar os quatro. Será que ele não tocaria os quatro, tocaria sim, se essa paralela aqui, esse lado fosse aqui, ele tocaria os quatro lados. D: É. P: Vou fazer uma paralela até esse ponto. Aqui tá tangente? Tá tangente do lado de cá, lado de cá e lado de cá? D: Ta... P: Aqui no trapézio tá nos dois lados. Então, trapézio qualquer também dá. Pela bissetriz também. Então tudo pela bissetriz. D: É. P : Então, qualquer quadrilátero que eu fizer com duas retas paralela vai ser trapézio. D: É. P: Então, eu concluo que ou ele é trapézio ou tem um ângulo de 90º, pelo menos um ângulo de 90º. Eu vou botar assim: sim, desde que o quadrilátero, não, não é qualquer quadrilátero. Porque ele tem que ter ângulo do 90º ou tem que ser trapézio, eu acho que é isso. Vou tentar com qualquer um agora. Figura 47: Quadrilátero qualquer com bissetrizes construído por Patrícia.

141 140 construção. Patrícia começa a esboçar a resposta, mas interrompe e já começa outra D: Sem um ângulo reto, né? Vamos tentar depois com um losango? P:É, mas como que fazemos um losango aí? D: Os dois lados opostos paralelos. P: Aí, Diana, com quadrilátero qualquer, deu certo. Vou ver se dá certo. É como que tem que fazer? D: Uma perpendicular daqui, aqui é o ponto de tangência. P: Assim a gente tem certeza que ela está tangente? Esqueci! Patrícia conclui o desenho das perpendiculares. P: Olhe, então deu no quadrilátero qualquer. E não tem paralela, tem? D: Não, nem ângulo reto. P: Vou movimentar ele. Aqui está saindo. Não estou entendendo mais nada! Ao movimentar o quadrilátero, Patrícia averigua que a circunferência não permanece tangente ao quadrilátero. A pesquisadora sugere fazer o quadrilátero com cor diferente. P: O losango tem que ter os quatro lados iguais. D: É, e paralelos. P: Pela definição, é só os quatro lados iguais, paralelo é só uma consequência. Eu acho. E agora Diana? Esta afirmação coloca Patrícia no nível G2 de raciocínio geométrico, pois ela reconhece uma afirmação como consequência de outra. Executaram procedimentos de trocar e cor e espessura. P: O que você está tentando? D: Estou tentando fazer reflexão desse ponto, para poder fazer o losango. P: Reflexão de que ponto? D: Desse ponto aqui. P: Aonde? D: Do lado de cá, para poder fazer o losango. P: Mas você não pode fazer com a circunferência não? O tamanho daqui. D: É melhor, né? Porque aqui tem, olhe, reflexão. P: Ah, objeto, objeto. P: Objeto é o ponto, depois a reta. Agora essa reta aqui. Não é não? Ponto de interseção... D: O losango tem os quatro lados também.

142 141 Figura 49: Losango com bissetrizes construído por Diana. P: Acho que eu consegui este aqui. Eu queria dar um jeito de ter certeza que é tangente. Como que eu sei isso? Figura 50: Quadrilátero qualquer construído por Patrícia, com bissetrizes e a circunferência com centro na interseção das mesmas.

143 142 Patrícia não usa o recurso de movimentação para saber se a circunferência é realmente tangente aos lados do quadrilátero. D: Se você fizer a perpendicular. P:Perpendicular, passando por esta reta no ponto A: passando por qual reta? D: Passando por esta aqui que é a bissetriz... Tem uma ferramenta aqui. P: Mas isso aqui não quer dizer que não é tangente, Diana. Porque do centro até o ponto de tangência é que tem que ter 90 graus. E qual é o ponto de tangência? A gente não sabe o ponto de tangência aqui. Tem que descobrir o ponto de tangência para ver... D: Tem uma ferramenta aqui, tangente. A ferramenta tangente do Geogebra constrói retas tangentes a uma circunferência, dada esta e o ponto pelo qual deve passar a reta tangente. Este ponto pode estar na circunferência ou fora dela. P: Ah é! Tangente. Ponto, depois, círculo. D: Não é o centro, é o ponto da circunferência, mas como que a gente vai saber o ponto certo? P: Não mas ele vai dar o ponto. Isso nós fazemos reta tangente naquele ponto. Patrícia refere-se ao software, afirmando que o ponto de tangência é apontado pelo Geogebra, quando ele constrói a reta tangente à circunferência. D: Você fez, é ela mesma, coincide? P: É o mesmo. Ah, tá, essa reta tem que coincidir com o lado. D: Não tangencia porque está passando um pouquinho. P: Então o raio tem que ser este aqui. D: O raio tem que ser esse, tem que esconder a circunferência aqui. P: Agora essa aqui é tangente a essa. D: A esse aqui, não esse aqui. P:Não entendi. D: O quê? P: Eu fiz uma reta tangente aqui, é este aqui. E agora eu fiz a circunferência com este tamanho aqui de raio. Ela passou por esta, então esta circunferência é tangente a esta reta, não a essa rosa. D: Mas será que um pontinho aí bem próximo de F não seria? Porque também não pode ter tanta precisão assim, será, o computador, o ponto que a gente montou. P: Porque eu que escolhi esse ponto F. D: Então!

144 143 P: Eu que escolhi, ainda não sei qual é o ponto de tangência. Ai, meu Deus do céu! Tá difícil! D: Patrícia, e se partir da circunferência para depois fazer o quadrilátero com as retas tangentes. Acho que tem que fazer isso. P: Mas aí não vai ser sempre possível. Só se a gente movimentar, né? Patrícia segue a sugestão de Diana. P: Vou fazer um ponto aqui e outro aqui, e vou fazer reta tangente. Esse ponto passando por esta. Ela escolhe os comandos em voz alta. D: Você pode escolher tangenciando também ou não. P: É. Então, a resposta é sim. Diana repete em voz alta o enunciado da questão. D: Então, o quadrilátero já está pronto e vamos construir uma circunferência. É isso? Então, primeiro tem o quadrilátero, para depois ter a circunferência. P: Então, isso que a gente está fazendo aqui é o contrário. Aqui eu fiz certinho, a circunferência tá tangenciando, eu tenho certeza. Aí a gente pode movimentar este ponto de forma, sei lá! Ih, esse aqui não move. Patrícia move o desenho. Figura 51: Quadrilátero qualquer com bissetrizes construído por Patrícia. No diálogo que segue, as alunas referem-se à construção da Figura 51. P: Convexo é o que mesmo? Isso aqui não é convexo, né? E aí Diana? D: De duas bissetrizes, né?

145 144 P: De ângulos assim, um do lado do outro. D: É aí... P: Porque se eu faço desse ângulo e desse aqui não dá, tem que ser de ângulos assim, ó. D: Tem certeza? Será que não teria uma outra circunferência? P: Não, tem outra circunferência, mas aí, eu tenho que fazer deste com este, ou desse com esse. D: Tem que fazer com os ângulos consecutivos. P: Ângulos consecutivos. D: Aí toca nos três lados. P: Toca nos três lados. Mas isso que eu estou querendo saber, se esse ponto G é o ponto de tangência. D: Mas será que não é isso que eu estou falando? Será que agora a gente não tem certeza, porque você fez pela tangente? Achou a bissetriz, você tem certeza que este ponto D e o C são tangentes, né? Você fez a bissetriz, deu direitinho no centro da circunferência. Coincidiu. Figura 52: Quadrilátero construído por Patrícia Patrícia decidiu construir primeiro a circunferência, depois traçou três retas tangentes utilizando a ferramenta tangente, passando por pontos escolhidos por ela arbitrariamente. Marcou os pontos de interseção das retas tangentes, e construiu um quadrilátero com três dos lados sobre as retas tangentes construídas anteriormente. Em seguida, construiu duas bissetrizes de ângulos consecutivos e

146 145 verificou que o ponto de interseção destas coincidiu com o centro da circunferência já construída. Na figura seguinte, Patrícia tenta verificar se realmente o ponto de interseção das bissetrizes é o centro da circunferência tangente. Figura 53: Quadrilátero construído por Patrícia. P: Entendi. D: Entendeu? E aqui a gente fazendo o contrário, acho que também é a mesma coisa. P: Mas aí eu queria fazer um quadrilátero qualquer. D: Porque aqui, por exemplo, no meu desenho, não é esse ponto E aqui que tá tangenciando, pode ter um outro ponto aqui. P: Entendi. D: Mas foi onde eu peguei. P: Agora eu estou fazendo a bissetriz. Deixe eu trocar as cores aqui. Agora eu vou ver a bissetriz desse e desse. São dois consecutivos. Falando sério!

147 146 D: Por que não? Mas vai tangenciar, tenta fazer a circunferência aqui. O raio aqui, o centro na interseção das bissetrizes até tocar os... P: A circunferência não precisa ser aquilo ali não? D: Ser o quê? P: Não precisa estar dentro do quadrilátero não? D: Vai tangenciar. Podia colocar esta circunferência aí, deixa preta, e as outras eu vou fazer de outras cores. P: Que outra? D: A bissetriz do B e do C. P: Vou botar essa aqui de outra cor. D: Vai botar o quê? A circunferência de outra cor? P: Não, a bissetriz. P: Agora, vamos fazer do B e do C? É isso? É aqui vai dar para fazer uma circunferência do B e do C, com o C e o do D deve dar para fazer uma circunferência. D: Nós não observamos que as bissetrizes se encontram duas a duas? P: Ham, ham. D: Então, tem que fazer a circunferência de cada uma. P: Deu, né? D: Hum, hum. P: Então, respondemos. D: Não quer terminar de fazer não? P: Não, eu vou fazer. Outra agora, né? D: Pode ser com A e D, que são consecutivos. Aqui já tem uma interseção. P: Essa aqui? D: É. P: Vou colocar aqui para ficar direitinho. Então nós já respondemos. D: A interseção das bissetrizes. De duas a duas. De um quadrilátero qualquer. P:É, então vamos lá, responder! D: E aquela que tem um ângulo reto? A interseção de duas? P: Também. Diana concorda. P: Responde aí, tá gravando? Coloca: sim.. (Está registrado na folha de respostas) que: Após esta construção, as reflexões em dupla, Patrícia e Diana responderam Sim. Em um quadrilátero qualquer convexo, a interseção das bissetrizes de ângulos consecutivos duas a duas será o centro da circunferência que tangencia três lados consecutivos do quadrilátero. (Protocolo de pesquisa, 2008).

148 147 Esta dupla manteve o comportamento que teve no ambiente papel e lápis, ou seja, construiu muitos desenhos, inicialmente sem planejamento de suas ações. Entretanto, investiram mais na pesquisa de uma estratégia de resolução. Houve avanço na elaboração da conjectura, mas as alunas não responderam à questão completamente e também não justificaram a solução apresentada. Podemos afirmar que o ambiente Geogebra possibilitou o avanço, porque as alunas atingiram as fases 1e 2. A fase 4 não foi alcançada pelas alunas porque elas não justificaram a resposta apresentada Desenvolvimento das estratégias da dupla Júlia/Helena Helena não compareceu a este encontro e Júlia trabalhou sozinha. Observamos Júlia com pouquíssimas interferências. Júlia iniciou construindo um quadrado com as diagonais e traçou a circunferência com centro no ponto de encontro das diagonais, passando pelo ponto F, colocado sobre o lado DC em posição próxima à do ponto médio, isto é, Júlia não marcou F como ponto médio utilizando a ferramenta que o software disponibiliza, e o desenho obtido ficou como na Figura 54. Figura 54: Quadriláteros construídos por Júlia.

149 148 Na sequência, Júlia desenhou um quadrilátero qualquer e uma circunferência com retas tangentes passando por pontos externos escolhidos arbitrariamente (Figura 54). Após estes desenhos, ela demonstrou, por meio da expressão facial, ainda não ter nenhuma conclusão. Continuou a investigação construindo um quadrilátero qualquer, as bissetrizes de dois ângulos consecutivos, e a circunferência com centro no ponto de interseção das bissetrizes, passando por um ponto qualquer considerado sobre um dos lados do quadrilátero. Neste momento, Júlia mostra seu desenho para a pesquisadora e afirma que deu certo (Figura 55). Figura 55: Quadriláteros construído por Júlia. É importante notar que todos os desenhos produzidos pela aluna até este instante não haviam sido movimentados, isto é, ela parecia estar desenhando com papel e lápis no que diz respeito à imobilidade das figuras. A pesquisadora, que acompanhou a construção, sabendo que a solução estava errada, lembrou a Júlia que ela estava num ambiente de geometria dinâmica e podia explorar a construção,

150 149 modificando-a por meio da movimentação. Ao responder à pesquisadora sobre por que utilizou a bissetriz, a aluna afirmou que acha que tem algo a ver com ângulo. Nós perguntamos por que ela construiu a circunferência passando por um ponto qualquer posicionado sobre um lado do quadrilátero. Diante do silêncio da aluna, a pesquisadora afirmou que existia uma propriedade de tangência que ela estava esquecendo, induzindo uma mobilização de conhecimentos. Júlia falou imediatamente que o raio era perpendicular ao ponto de tangência, e iniciou outra construção (Figura 56). Figura 56: Quadrlátero qualquer com bissetrizes construído por Júlia. Nesta nova e última construção, Júlia desenhou um quadrilátero qualquer, as bissetrizes de dois ângulos consecutivos, uma perpendicular ao lado AB, passando pelo ponto E de interseção das bissetrizes, e finalmente, construiu a circunferência com centro E passando por F. Em seguida, Júlia afirma que uma coisa que eu estava tentando era ver a circunferência toda dentro, e agora eu vejo que não precisa, com a movimentação. Observa-se aqui um progresso na elaboração da conjectura provocado pelo ambiente Geogebra e pela interferência da pesquisadora.

151 150 A solução apresentada pela aluna foi: Sim, é possível construir uma circunferência tangente a três lados consecutivos de um quadrilátero convexo. Basta traçar a bissetriz de dois ângulos desse quadrilátero, a interseção das bissetrizes será o centro da circunferência. Depois é só traçar duas retas perpendiculares a dois segmentos passando pela interseção das bissetrizes. A interseção das retas com os segmentos serão os pontos pertencentes (tangentes) a circunferência. Com isso ela será tangente também ao terceiro lado (Protocolo de pesquisa, 2008). As intervenções descritas neste relato foram necessárias para o avanço da aluna nas investigações. Houve progresso com relação ao ambiente papel e lápis, pois neste a aluna não havia sequer se aproximado da resposta correta trabalhando em dupla. Ao contrário do que aconteceu no ambiente Geogebra, neste a aluna conseguiu realizar a construção correta, mas não atentou para o fato de os pontos de tangência pertencerem aos três lados do quadrilátero e tampouco justificou a solução encontrada. A aluna atingiu as fases 1 e 2 da resolução da questão Assim como a dupla Patrícia/Diana, Júlia fundamentou as suas conclusões na percepção das figuras, e não se referiu, em nenhum momento, à propriedades geométricas, o que permite afirmar que esta aluna se encontra em G1. A justificativa apresentada é do tipo empirismo ingênuo. 4.5 Síntese das análises da questão 1 no ambiente de geometria dinâmica Geogebra A dupla Rita/Guilherme procedeu como relatado na análise teórica, ou seja, utilizou o ambiente Geogebra para confirmar as conjecturas elaboradas no ambiente papel e lápis. O único acréscimo foi detectado por Rita, afirmando que, no ambiente papel e lápis, ela não visualizou que seria desnecessário traçar três retas perpendiculares aos lados do quadrilátero para encontrar o raio, e que no Geogebra isto foi logo compreendido. Até mesmo a percepção de que o ponto de tangência teria que pertencer ao lado do quadrado, não foi obtida neste ambiente, pois este fato já havia sido observado no ambiente papel e lápis. A experiência no ambiente Geogebra não provocou modificações nas justificativas elaboradas quando da resolução no ambiente papel e lápis.

152 151 Em síntese, para esta dupla, a resolução no Geogebra contribuiu para aumentar o grau de certeza da solução encontrada no ambiente papel e lápis, mas não alterou a fundamentação da conjectura; logo, não interferiu na demonstração apresentada por eles. A dupla Diana/Patrícia teve grande avanço em relação ao ambiente papel e lápis, pois neste elas conseguiram soluções particularizadas; enquanto, no ambiente Geogebra, elas chegaram à solução parcialmente correta, pois não observaram o fato de o ponto de tangência ter que pertencer ao lado do quadrilátero, além de não justificarem a solução encontrada. Assim como no ambiente papel e lápis, Diana e Patrícia construíram muitos desenhos e não organizaram a investigação, além de aproveitarem parcialmente os resultados obtidos no ambiente papel e lápis ao longo de toda a investigação. As alunas se comportaram como descrito na análise teórica, utilizaram o ambiente Geogebra para tentar encontrar a solução, que não acharam no ambiente papel e lápis. A aluna Júlia, que trabalhou sozinha no ambiente Geogebra, alcançou parcialmente a solução correta, pois não afirmou que o ponto de tangência precisava pertencer a cada um dos três lados do quadrilátero e não justificou a solução encontrada. As observações anteriores permitem alegar que as alunas Rita, Júlia, Patrícia e Diana estão no nível de raciocínio geométrico G1 segundo a classificação de Parzysz, possuem uma apreensão perceptiva das situações analisadas. Observou-se que apesar de tais alunas estudarem quatro semestres de geometria plana euclidiana e terem um semestre de estudos sobre softwares (inclusive, Geogebra) e suas aplicações no ensino de Matemática, elas não apresentaram uma desenvoltura maior no trabalho realizado no Geogebra, isto é, não utilizaram plenamente os recursos que o software continha, o que mostra que não se apropriaram das ferramentas oferecidas por esse ambiente, nem dos conhecimentos geométricos estudados nos quatro semestres anteriores. Na análise teórica, foi afirmado que a movimentação dos desenhos, possibilitada pelo Geogebra, poderia facilitar a percepção de que os pontos de tangência precisariam pertencer aos três lados do quadrilátero. Pois bem, isto não ocorreu na aplicação da questão. A única dupla que mencionou este fato, o obteve como resultado de investigação, no ambiente papel e lápis; e as outras duas não

153 152 perceberam esta condição quando trabalhavam no Geogebra. Uma possível explicação para este ocorrido pode ser o foco colocado por estas duplas na busca pelo centro da circunferência tangente aos três lados do quadrilátero. Esta análise permite afirmar que o ambiente Geogebra possibilitou um avanço para segunda e terceira dupla, mas não o suficiente para que elas alcançassem o nível G2. E o tipo de justificativa permaneceu como o do tipo empirismo ingênuo. Com relação à primeira dupla, constatou-se progresso para um dos alunos (Rita), mas também não o necessário para que ela mudasse do nível G1 para o nível G2. E sua justificativa permaneceu como a do tipo empirismo ingênuo. Para o outro aluno (Guilherme), que trabalhou oscilando em G1 e G2 (confirmando o que Parsysz (2006) observou em sua pesquisa), não foi constatado avanço em relação ao nível G3, e sua justificativa também não foi alterada, permanecendo como do tipo experiência mental. Constatamos o que Parzysz (2006) denomina controle de G1 sobre G2 e viceversa, durante a resolução da questão pelo aluno Guilherme. Ele demonstrava conhecimentos teóricos, mas buscava a verificação na prática, ao mesmo tempo em que buscava a teoria para justificar a prática. Percebemos uma oscilação entre G1 e G2, pois Guilherme mostrou saber que precisava validar as conjecturas com teoremas, mas retornava com frequência ao desenho. Observamos que o ambiente de geometria dinâmica favorece a produção de provas do tipo empirismo ingênuo e experiência crucial, podendo encaminhar para o exemplo genérico, desde que os conhecimentos geométricos dos alunos sejam adequadamente mobilizados. 4.6 Análise teórica da questão 2 A seguir, é apresentada a análise teórica da questão 2 cujo enunciado é: Considere um quadrilátero ABCD, o ponto médio M de CD e o ponto P, interseção da diagonal AC com o segmento BM. Estude a relação entre as áreas dos triângulos ABP e MCP nos casos em que ABCD é: a) paralelogramo; b) trapézio; c) quadrilátero convexo qualquer.

154 Análise matemática no ambiente papel e lápis Estratégia de resolução a) Esboçar e/ou construir por processos geométricos com o instrumental de desenho, um paralelogramo ABCD e os elementos mencionados no enunciado da questão (Figura 57). Figura 57: Paralelogramo Verificar que os triângulos ABP e CMP são semelhantes pelo caso ânguloângulo, pois ABP ˆ CMˆ P ou BAP ˆ MCˆ P (ângulos alternos internos porque AB//CD e BM ou AC é a transversal), e APB ˆ CPˆ M (ângulos opostos pelo vértice). Logo, a razão de semelhança entre os triângulos ABP e CMP é a razão entre os lados AB e CM, mas como AB = 2 CM, uma vez que M é ponto médio de CD, tem-se AB CM 2CM = CM = 2. Sabendo que a razão entre as áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança, tem-se que a razão entre as áreas dos triângulos ABP e CMP, nesta ordem, é 2²=4. Portanto, a relação entre as áreas dos triângulos é A ABP = 4A CMP. b) Esboçar um trapézio qualquer, inserindo os elementos citados no enunciado (Figura 58). Figura 58: Trapézio qualquer.

155 154 Constatar que há um par de triângulos semelhantes pelas mesmas razões do caso do paralelogramo. A diferença surge ao escrever a razão de semelhança entre os triângulos, pois, ao contrário do paralelogramo, não há relação entre os lados paralelos - as bases do trapézio. Daí, a razão será formulada em função da medida das bases, ou seja, chamando a base maior de B, e a base menor de b, tem-se a razão igual a b B 2 ou B, conforme o ponto médio tenha sido considerado como b 2 sendo da base maior, ou da base menor, respectivamente. Em seguida, formula-se a relação entre as áreas dos triângulos ABP e CMP, sabendo que a razão entre as áreas de dois triângulos é o quadrado da razão de semelhança: A CMP = b B 2 2 A ABP OU A ABP = B b 2 2 A CMP. Portanto, a relação entre as áreas dos triângulos ABP e CMP é variável, mas não é arbitrária, pois é função das bases do trapézio. No caso do quadrilátero qualquer, observar que não há paralelismo entre pares de lados; e, portanto, não há ângulos alternos, daí não há casos de semelhança, e consequentemente, não há triângulos semelhantes. Concluir que não existe relação entre as áreas dos triângulos. Conhecimentos matemáticos envolvidos Os conhecimentos matemáticos envolvidos são quadrilátero convexo, diagonal de polígono, ângulos opostos pelo vértice, semelhança de triângulos, caso de semelhança de triângulo ângulo-ângulo, propriedades dos ângulos formados por retas paralelas e uma transversal, relação entre as áreas de figuras semelhantes Análise didática no ambiente papel e lápis Ao começar a investigação dos quadriláteros, na ordem sugerida no enunciado da questão, o aluno pode adquirir segurança para prosseguir na investigação, uma vez que o paralelogramo é um polígono com muitas propriedades familiares ao aluno, o que facilita o estabelecimento de relações.

156 155 Caso o aluno construa o paralelogramo, o trapézio e o quadrilátero qualquer com régua e compasso, o aluno contará com as medições empíricas realizadas por ele com régua graduada, além de lembrar e usar uma fórmula da área do triângulo. Caso ele opte por utilizar a expressão b.h A =, que é a mais utilizada no ambiente 2 escolar, precisará saber o que é altura de um triângulo, traçar esta altura corretamente e medi-la. Este procedimento poderá atrasar ou mesmo desanimar o aluno na busca por uma conjectura, devido às possíveis imprecisões no ato de medir. Se o aluno se ativer a estas medições para responder à questão, caracterizará o nível de raciocínio geométrico G1, podendo produzir uma prova do tipo empirismo ingênuo ou experiência crucial. O aluno poderá não se lembrar da relação entre as áreas de duas figuras semelhantes, o que é fundamental para a resolução da questão no item b. Sendo esta propriedade imprescindível para a obtenção da solução do item b, afirmamos que a sua resolução ocorre apenas em G2. Portanto, para o aluno responder, corretamente, necessita estar neste nível de raciocínio. Em consequência deste fato, a justificativa elaborada será do tipo experiência mental. Com relação ao item c, o aluno poderá gastar mais tempo que o necessário, procurando alguma relação entre as áreas dos triângulos, caso não compare este com os itens a e b, e veja que a propriedade que possibilitou responder tais itens está ausente deste: o paralelismo de pelo menos dois lados opostos do quadrilátero. Mas este fato ocorrerá se o aluno manifestar raciocínio geométrico compatível com o nível G Análise matemática no ambiente de geometria dinâmica Geogebra Estratégia de resolução Construir no ambiente Geogebra um paralelogramo, um trapézio e um quadrilátero qualquer. Nesse ambiente, os pontos criados são automaticamente nomeados pelo software, que é configurado para não nomear pontos distintos com nomes iguais numa mesma tela. Portanto, cada um dos quadriláteros citados terá nomes diferentes, tendo apenas um quadrilátero ABCD, se os demais forem construídos na mesma janela. Logo, para construir os triângulos solicitados no

157 156 enunciado da questão, é necessário que o aluno atente para o fato de que escolhido o lado de cada quadrilátero para marcar o ponto médio, a diagonal traçada e o segmento que unirá este ponto médio e um dos vértices do quadrilátero não poderão ter os mesmos extremos, mesmo porque não haveria ponto de interseção distinto do extremo comum entre tais segmentos. Continuando a resolução, em todos eles, marcar o ponto médio do lado CD, construir a diagonal AC e o segmento BM conforme o enunciado. Em seguida, construir os triângulos ABP e MCP com a ferramenta polígono, ou não. A figura 59 mostra um exemplo com os quadriláteros construídos numa mesma tela. Figura 59: Quadriláteros construídos no software Geogebra. Como a questão solicita uma relação entre as áreas dos triângulos construídos em cada quadrilátero, pode-se usar a ferramenta área para obter a medida da área de cada um dos triângulos. Analisando individualmente cada quadrilátero na ordem dada pelo enunciado, com base nas medidas das áreas fornecidas pelo software, pode-se conjecturar que, no caso do paralelogramo, a área do maior triângulo parece ser sempre o quádruplo da área do menor triângulo, pois em alguns casos, a área maior não é exatamente igual ao quádruplo da área menor. Há diferença de 1 unidade no quarto dígito. Na figura 60, há um exemplo desta situação:

158 157 Figura 60: Triângulos com áreas que verificam (à direita) e que não verificam (à esquerda) a relação 4 para 1 Em função dos dados fornecidos pelo Geogebra, poderá surgir a dúvida se a área do maior triângulo é sempre o quádruplo da área do menor triângulo. O caminho para obter a certeza é a demonstração desta afirmação, já apresentada na análise matemática desta questão no ambiente papel e lápis. No caso do trapézio, se o aluno conseguiu resolver a questão no ambiente papel e lápis, usará os dados obtidos no Geogebra para confirmar a sua conjectura. Caso contrário, poderá tentar estabelecer alguma relação entre os dados numéricos obtidos, como, por exemplo, calcular a razão entre as áreas e dois lados homólogos, e verificar que a razão entre as áreas é sempre o dobro da razão entre os lados homólogos. Tal constatação poderá levá-lo a lembrar, se ainda não lembrou por ocasião da resolução desta questão no ambiente papel e lápis, da relação entre as áreas de figuras semelhantes e, então, iniciar uma justificativa para a situação encontrada. Esta tentativa poderá evoluir para a determinação da relação entre as áreas em função das bases do trapézio. No caso do quadrilátero qualquer, não há relação entre as áreas dos triângulos ABP e MCP, pois os mesmos não são semelhantes. Conhecimentos matemáticos envolvidos Os conhecimentos matemáticos envolvidos são os mesmos citados no item correspondente na análise matemática para o ambiente papel e lápis Análise didática no ambiente de geometria dinâmica Geogebra

159 158 A localização dos elementos dos quadriláteros é indispensável para a obtenção da solução do problema apresentada na análise matemática. Se no caso do trapézio, o aluno nomear os lados não paralelos de AB e CD, a relação demonstrada (A CMP = b B 2 2 ou A ABP = B b 2 2 A CMP ) não se aplica, pois os triângulos AMB e MCP não serão semelhantes. Já no caso do paralelogramo, a troca de nome dos vértices não fará diferença (respeitando-se, evidentemente a ordem A,B,C e D), uma vez que em todos eles, os lados opostos são paralelos e congruentes. Estas ocorrências caracterizam o nível de raciocínio geométrico G1. Em relação ao item a, o fato de software Geogebra possuir uma ferramenta que fornece as medidas das áreas das figuras, encoraja o aluno a elaborar a conjectura, ainda que em alguns casos a medida das áreas difiram devido à configuração da precisão das casas decimais. Se o aluno não construiu uma justificativa adequada para a resolução apresentada por ele no ambiente papel e lápis, a utilização do software poderá apontar caminhos para obtenção da solução, porque exibe a figura em movimento e, deste modo, as propriedades invariantes ficam mais facilmente identificáveis. Em G1, a resposta do aluno será a relação A ABP = 4A CMP, e a validação, perceptiva, com base nos dados numéricos fornecidos pelo Geogebra. A prova produzida será do tipo empirismo ingênuo ou experiência crucial. Em G2, as ações neste ambiente terão caráter de verificação da conjectura. A manipulação possibilitada pelo software pode não indicar um caminho para a resolução do item b, pois as áreas dos triângulos AMB e MCP, fornecidas pelo Geogebra não guardam uma relação explícita entre si. Daí, o aluno poderá pensar que não há relação entre tais áreas. Vejamos que estas ideias só ocorrerão a alunos no nível de raciocínio geométrico G1, uma vez que neste nível, a validação é pragmática. Contudo, a resposta completa do item b exige que o aluno escreva a relação de semelhança entre os triângulos AMB e MCP, e o software não contribui para que isto ocorra. Como já relatado na análise didática deste item, no ambiente papel e lápis, tal resolução ocorre no nível G2, decorrendo uma justificativa compatível com o tipo de prova experiência mental. No item c, comparando com o ambiente papel e lápis, o aluno terá dados para decidir, em menor tempo, se há relação entre as áreas dos triângulos. Caso o aluno ancore a sua justificativa em tais dados, produzirá uma justificativa do tipo empirismo

160 159 ingênuo ou experiência crucial. Em G2, a validação não se fundará nestes dados e, sim, na ausência de lados paralelos do quadrilátero. Dentre os conhecimentos matemáticos requeridos para demonstrar a conjectura, aquele que pode não ocorrer ao aluno é a relação entre as áreas de figuras semelhantes, pois este tema não é tão recorrente quanto os outros conhecimentos na matemática escolar, podendo tornar-se um obstáculo para a conclusão da resolução. 4.7 Experimentação da questão 2 no ambiente papel e lápis Desenvolvimento das estratégias da dupla Rita/Guilherme Rita e Guilherme construíram com os instrumentos de desenho geométrico, utilizando processos geométricos, um paralelogramo e os elementos conforme descrito no enunciado da questão 2 (Figuras 61 e 62). Figura 61: Paralelogramo construído por Rita Figura 62: Paralelogramo construído por Guilherme.

161 160 Após completar o desenho, Rita afirmou que MP parecia ser um terço de BM e utilizou o compasso para comparar as medidas destes segmentos, concluindo que esta relação não procedia. A pesquisadora afirmou que o procedimento utilizado por Rita era empírico porque ela estava usando instrumentos, neste caso, o compasso; e perguntou porque ela havia mencionado um terço. Rita respondeu: Eu olhei e parece que é um terço, assim... Mas também lembrei porque no baricentro faz um terço, a distância de lá de cima até o ponto é 1/3. O encontro das três. Guilherme completou a frase de Rita dizendo que é o encontro das três medianas. A pesquisadora lembrou que mediana era elemento de triângulo, e eles não tinham triângulo no desenho. Guilherme respondeu que haveria dois triângulos se dividissem o paralelogramo por uma de suas diagonais. Seguiu-se o seguinte diálogo. Considere que R indica a fala de Rita, G a de Guilherme e Pesq. a da pesquisadora: Pesq: AC é mediana? G: Não. R: AC é diagonal. G: AC é diagonal. Pesq: Quando você tem mediana, você tem que ter triângulo. E não tem triângulo aí. G: Mas se dividir em dois. Pesq: Se dividir, tudo bem. R: Se eu chamar PC de x, AP é dois x. G: As diagonais se encontram no ponto médio? Não, né? R: Aqui, Guilherme, agora falta aqui, ó. Aqui y(pm), aqui 2y(BP). G: Mas é porque você mediu! R: Aqui z(mc), aqui 2z(AB) G: Mas a gente tinha que explicar por que que é. R: Eu vi que é ( Rita afirma em tom de brincadeira). Pesq: AC é uma mediana? G: AC é uma diagonal, a gente tem que fazer isso generalizando. É bom a gente fazer isso, porque a gente já encontrou uma relação. A gente já sabe aonde quer chegar pelo menos. Aí, isso das diagonais se dividirem ao meio, eu não estava lembrando. Se traçar a outra diagonal, entra aqui a mediana relativa a outra diagonal. Pesq: Aí seria a mediana de que triângulo? G: Seria do triângulo BCD. Pesq: E você tem outra mediana? G: Eu já tenho duas medianas. Aí, nesse caso, nem precisaria... R: Gente, eu estou tão lerda!

162 161 G: Teria que traçar a outra mediana só para confirmar, mas... ela também passaria por este ponto. Traçando três medianas... Guilherme apresentou raciocínio no nível G2, buscando fundamentar as suas colocações na teoria. Rita começou a raciocinar inicialmente, em G1, fazendo afirmações com base nas medições. R: Olhe, poderia ser também por ângulo, esse ângulo é o mesmo que este, ângulos opostos pelo vértice, opv, esse aqui alterno interno e esse aqui também. No diálogo precedente, Rita e Guilherme procuram um argumento matemático para justificar o fato de P dividir o segmento BM em partes proporcionais a 2 e 1. Os conhecimentos antigos dos alunos influenciam na organização da justificativa. Na última fala, Rita tentou justificar a semelhança dos triângulos ABP e CMP, embora esta intenção não estivesse explicitada. Constatamos que eles apresentam raciocínio típico de G2 e buscam construir uma justificativa do tipo experiência mental. Após este momento, Guilherme concordou com Rita que os triângulos citados acima eram semelhantes, mas permaneceu com a dúvida sobre a razão de semelhança: R: Qual é a razão de semelhança, se esse aqui (Aponta para um dos lados) é o dobro deste. Então, os outros também têm que ser. G: Não, isso é porque você viu! R: Não, Guilherme, não vi. Isso aqui não é a mesma medida? Esse aqui não é ponto médio? (Guilherme concorda). Então esse pedaço é o dobro deste, é a metade deste (Refere-se a CD e ao ponto M). G: Então, os outros também têm que ser. R: Têm que ser. Neste diálogo, Rita fundamenta a relação entre os segmentos AB e CM nos dados da questão, e não na evidência da figura. Entretanto, estende esta relação aos segmentos BP e PM, e AP e PC sem ter argumentos para tal. Observamos uma alternância entre os níveis G1 e G2. Em seguida, Rita afirmou que: Então, a gente já chegou à conclusão que se eles dois são proporcionais, as áreas também. Vai dar a área desta aqui, vai dar esta. Se a área for a, essa aqui é a². A aluna concluiu erroneamente que a relação entre as áreas é a maior ser o quadrado da menor.

163 162 Guilherme não atentou para isto e continuou pensando sobre o que Rita afirmou. A pesquisadora decidiu intervir para ajudar Guilherme na organização de suas ideias, uma vez que estas não pareciam estar claras para ele: Pesq: Guilherme está com outra ideia. R: Entã,o você pode ir por sua ideia, Guilherme. Pesq: Isso que você falou aqui está certo. O triângulo BCD, não é isso, BM é mediana e CA é outra mediana, CA não, seria C até este ponto aqui (Refere-se ao ponto Q na Figura 43). R: Foi o mesmo que eu fiz. Que este segmento era o dobro deste aqui (Refere-se aos lados BP e PM). Pesq: Sim, mas você não tinha argumento para ter certeza que este lado era o dobro deste. No caso, Guilherme achou o argumento. Este lado realmente é a metade deste aqui. G: Mas acontece, este aqui eu posso dizer que é realmente a metade deste (Refere-se aos segmentos AB e CM). Pesq: Isso. G: Mas este aqui eu também posso dizer (Refere-se aos segmentos AP e PC)? P: Ainda não. Tem que tomar o outro lado do triângulo. Guilherme compreendeu que precisava tomar a mediana relativa a outro lado do triângulo. Cada um dos alunos começou a escrever a sua justificativa. Guilherme interrompeu o registro escrito que estava fazendo, e perguntou à pesquisadora: G: Como eu posso mostrar a relação deste e deste? Pesq: Você está falando de PC e de AP? Guilherme confirma. Pesq: Você está querendo mostrar só por meio dos lados que os dois triângulos são semelhantes? G: Isso. Pesq: Então, seria que caso de semelhança? G: Os três lados. Pesq: Lado, lado, lado. Você tem como fazer isso com esta ideia do triângulo. Pense bem. Quanto vale de A até..., que ponto é este? G: Este aqui? É o ponto Q de encontro das duas diagonais. Pesq: Quanto vale AQ? G: AQ? Pesq: Por exemplo, AP, quanto vale a medida de AP? Vamos chamar de y. G: Tá. Aqui vale... se AC vale 2y, AQ vale y. Pesq: Agora veja a diferença entre PQ e PC. G:... PQ seria y sobre 3... G: Esse ângulo aqui (Refere-se ao ângulo AC ˆ D )...

164 163 Pesq: Mas você acha que precisa dele, depois que chegou a esta conclusão? G: Não, não. Só se eu quisesse provar por dois lados e um ângulo. Pesq: Poderia. G: Aí teria que ser este ângulo aqui, porque seria lado ângulo lado. Este argumento seria uma prova? Guilherme raciocina em G2, pois influenciado pelas intervenções, procura fundamentar teoricamente todas as suas conjecturas, mas tem dúvidas sobre a argumentação adequada para composição de uma demonstração. Segundo Parzysz (2006), um aluno, no nível G2, constrói um discurso dedutivo para validar a sua conjectura. Entendemos que neste nível, não há mais dúvidas sobre o que é uma demonstração. Podemos, a partir deste fato observado, inferir que Guilherme está evoluindo no interior de G2, e que talvez exista subníveis que poderiam explicar de modo mais completo o desenvolvimento do raciocínio geométrico. Voltaremos a esta questão mais à frente. Rita e Guilherme demonstram a semelhança dos triângulos ABP e MCP utilizando argumentos distintos. A demonstração elaborada por Rita é apresentada a seguir. Os triângulos ABP e MCP são semelhantes pois BPA ˆ MPC ˆ OPV, e os ângulos ABP ˆ CMˆ P alternos internos, assim como PCM ˆ PAˆ B. Além disso o lado AB do ABP é o dobro do lado MC do MCP, pois M é o ponto médio do segmento CD que tem a mesma medida de AB. Como um dos lados do triângulo ABP é o dobro do lado correspondente no MCP, e como os s são semelhantes, zh conclui-se que sendo A 1 = e A2 = 2zh, A 2 = 4A1 (Protocolo de 2 pesquisa, 2008). Guilherme apresentou a seguinte justificativa: Hipótese: - Dado um paralelogramo ABCD - M o ponto médio de CD - P a interseção da diagonal AC com o segmento BM. Tese: PMC e ABP são triângulos semelhantes Traçando a outra diagonal (BD) do paralelogramo, encontramos o ponto A, que é o encontro das diagonais. -Analisando o BCD, temos que: BM e CQ são medianas do triângulo, o encontro das medianas determina o baricentro. Da propriedade do baricentro, podemos dizer que PB=2PM. -Analisando a diagonal AC temos que: AQ = QC (I) (pois Q é ponto médio das diagonais).

165 164 -Como QC é uma mediana do BCD, temos que: PC PC=2QP QP =. (II) 2 -Comparando os lados AP e PC, temos: AP=AQ + QP Substituindo I AP=QC + QP Subst. II PC AP=QC + (QC = QP + PC) 2 PC AP=QP + PC + (Subst. II). 2 PC PC AP= + +PC 2 2 AP=2PC -Por hipótese temos que: AB=2MC (L) -Concluindo: -AB=2MC (L) -AP=2PC (L) -PB=2PM (L) Por LLL os triângulos PMC e ABP são semelhantes e possuem a razão de semelhança igual a 2. -Se a razão de semelhança é igual a K, a relação entre as áreas será de K². -Com isso podemos concluir que a relação entre as áreas dos triângulos ABP e MCP: A razão da área do ABP para a área do MCP é 4 (Protocolo de pesquisa, 2008). Rita e Guilherme elaboraram justificativas do tipo experiência mental. Pontuamos que Rita apresentou raciocínio geométrico oscilando entre G1 e G2, mas conseguiu construir uma justificativa compatível com o nível G2. Este fato nos intriga, pois um aluno deste nível, recorre à validação pragmática apenas para fins de verificação, e não foi o que ocorreu com Rita. Este comportamento se repetiu na resolução do item b, que é relatado no próximo parágrafo. Os alunos prosseguiram com a resolução do item b da questão 2. Rita desenhou um trapézio isósceles com bases medindo 4 cm e 8 cm (Figura 63). Figura 63: Trapézio isósceles construído por Rita.

166 165 Com base neste desenho, ela concluiu que os triângulos ABP e CMP eram congruentes; e, portanto, possuíam a mesma área. Por sugestão da pesquisadora, Rita escreveu uma demonstração para este caso especial: Os triângulos ABP e MCP são congruentes, pois este trapézio é um caso particular, pois é isósceles e além disso a base maior é o dobro da menor, pelo mesmo caso da questão anterior, os ângulos são congruentes e como M é o ponto médio de CD (que mede o dobro de AB) temos que os s são congruentes também, então suas áreas são as mesmas. (Protocolo de pesquisa, 2008) Guilherme afirmou que o que ele queria era a razão entre as áreas e não entre os triângulos. O que está implícito na fala de Guilherme é a visão de generalidade da resposta que ele tem e Rita não. Rita buscou soluções particulares, isto é evidente no diálogo a seguir: R: Eu estou interessada nas áreas dos triângulos. Primeiro foi quatro vezes o outro, esse aqui é o mesmo. Ué, eu fiz um quadrilátero qualquer, um trapézio qualquer, não disse qual que tinha que ser, eu escolhi o que eu fiz. G:Mas tem que estudar os outros casos. R: Mas o enunciado diz estudar a relação entre as áreas do que ela mandou construir. Eu não construí? Então, deu a mesma coisa. Guilherme e Rita discutiram a generalidade da questão. Rita acreditava que casos particulares resolveriam a questão 2. Guilherme pensava que deveria estudar todos os trapézios possíveis para tentar encontrar uma relação geral para todos os trapézios. O diálogo a seguir evidencia este pensamento de Guilherme: G: O paralelogramo não deixa de ser um quadrilátero qualquer, nem de ser um trapézio, só que aqui nós usamos uma propriedade do paralelogramo que não serve para qualquer quadrilátero. Para a gente saber, tipo assim, se a gente tivesse um quadrilátero convexo qualquer, se a gente descobrir, a gente já saberia se é ou não. Pesq: Por que já saberia? G: Porque o paralelogramo e trapézio são quadriláteros convexos. Pesq: Se vale para qualquer quadrilátero, vale para trapézio e paralelogramo. R: Pode pensar no trapézio, o trapézio vai ajudar bastante. G: Eu já entendi que os triângulos são semelhantes. R: Os ângulos são iguais. A razão de semelhança é... a gente tem que medir aqui e aqui (Refere-se aos lados homólogos dos triângulos).

167 166 Guilherme e Rita desenharam, cada um, um trapézio qualquer e construíram os elementos solicitados no enunciado da questão (Figura 64 e 65). Aproveitando os resultados do estudo do paralelogramo, no item a desta questão, observaram que os triângulos ABP e CMP eram semelhantes. Figura 64: Trapézio qualquer construído por Rita. Figura 65: Trapézio qualquer construído por Guilherme. A dificuldade estava em encontrar a razão de semelhança entre os dois triângulos citados. A pesquisadora interveio e a dupla chegou à resposta correta: Pesq:Qual é a razão de semelhança entre estes dois triângulos? G: Ah, como é que eu vou saber? Guilherme tem dificuldade de lidar com medidas genéricas. Pesq: Quando você diz como é que eu vou saber, é porque está esperando que a razão seja um número? G: É isso. Pesq: Mas pode não ser. G: A razão pode não ser um número? Guilherme surpreendeu-se com o fato da razão poder não ser expressa por um valor constante. Esta é uma atitude estranha ao nível raciocínio geométrico G2, pois um aluno deste nível sabe raciocinar com valores genéricos. Rita compreendeu que a relação procurada é a razão entre a base maior e o dobro da base menor, ou o inverso desta: R: É claro, porque aí, dependendo, eu ponho qualquer base e substituo. G: Entendi. R:Entendeu? Por exemplo, a área do lado b, B.b. Qualquer lado que eu colocar serve ali. E agora José?

168 167 G: Esse é um caso particular, esse aqui também seria um caso particular(refere-se aos trapézios que eles construíram). R: Qual é a razão de semelhança entre eles (os triângulos)? G: Ah tá, B/2 sobre b. Pesq: Agora a questão é: Qual é a razão entre as áreas de dois triângulos que são semelhantes? Guilherme calcula a razão de semelhança. G: É o quadrado. Pesq: O quadrado de quê? G: Se a razão de semelhança é R, a razão entre as áreas é R². Vai ser (B/2b)². R: Mas quem disse que a área ao quadrado... G: Não, eu encontrei a razão de semelhança, que é isso aqui, se a razão de semelhança é isso aqui, então, a razão entre as áreas é o quadrado disso, essa é a propriedade. R: Era isso que eu estava tentando lembrar naquela hora, que eu lembrava de um negócio ao quadrado, mas é a razão ao quadrado. Sim, por isso que ali era dois e deu quatro. G: Isso aí. Notemos que Rita resolveu o item a, sem utilizar a propriedade da relação entre áreas de figuras semelhantes. escreveu: Eles encerraram a discussão e finalizaram as suas justificativas. Rita apenas r B 2 B = b 2b 2 = 2 B Se a razão de semelhança é (Protocolo de pesquisa, 2008) r B 2 b = 2b, então a razão entre as áreas é r². Guilherme apresentou o seguinte texto: Hipótese: -Dado um trapézio ABCD - M o ponto médio CD - P a interseção da diagonal AC com o segmento BM Tese: ABP e PMC são triângulos semelhantes. - APB ˆ MPˆ C (ângulos opostos pelo vértice) - PMC ˆ ABˆ M (ângulos alternos internos) - MCP ˆ BAˆ P (ângulos alternos internos) Por AAA ABP PMC. Sabendo que B é a base maior e b a base menor, temos que: DC=B e MC= 2 B e AB=b.

169 168 Encontrando a razão de semelhança dos triângulos: B MC B r = = 2 = AB b 2b Se a razão de semelhança é r, a razão entre as áreas é r². 2 2 B r =. (Protocolo de pesquisa, 2008) 2b A justificativa de Guilherme contém pequenos erros que creditamos à distração do aluno. Ele mencionou o caso AAA no lugar de AA, e usou o símbolo de congruência ao invés do símbolo de semelhança. Os textos de Guilherme e Rita podem ser considerados uma prova do tipo experiência mental, porém o de Rita está incompleto. Naquele momento, a dupla apresentou sinais visíveis de cansaço, pois já estavam trabalhando há quase 2h30min ininterruptamente. É possível que devido a este fato, ao resolver o item c, cada um tenha feito o seu desenho (Figuras 66 e 67) e respondido sem trocar informações. Inferimos que as discussões ocorridas para a resolução dos itens a e b tenham contribuído para a resolução do item c. Segue a solução que cada um apresentou: Figura 66: Quadrilátero qualquer desenhado por Rita.

170 169 No quadrilátero quaisquer não percebemos uma relação certa entre os dois triângulos, pois só percebemos que o ângulo Pˆ mede a mesma coisa nos dois e como os lados opostos ñ são paralelos não achamos relação entre os outros ângulos. Acho que os triângulos ñ são semelhantes pois está bem claro que os ângulos s~ (justificativa apresentada por Rita, protocolo de pesquisa, 2008). Figura 67: Quadrilátero qualquer desenhado por Guilherme. Neste caso, não chegamos a uma conclusão exata. Acreditamos que por o quadrilátero convexo não ter nenhum lado paralelo a outro, não há como encontrar que os triângulos semelhantes, e para encontrar a razão de semelhança nos casos do paralelogramo e do trapézio utilizamos AB e DC dos quadriláteros, que eram paralelas (justificativa apresentada por Guilherme, protocolo de pesquisa, 2008). Notemos que em ambas as justificativas, os alunos deixam transparecer a dúvida sobre o que estão afirmando. Rita escreveu: No quadrilátero quaisquer não percebemos uma relação certa entre os dois triângulos,..., Acho que os triângulos ñ são semelhantes, e Guilherme: Neste caso, não chegamos a uma conclusão exata. É possível que o fato de não encontrarem a relação solicitada no enunciado tenha influenciado esta suspeita, configurando a presença do contrato didático. A ação do contrato didático parece ser superior às evidências e argumentações que os

171 170 alunos produziram. Ao encontrar a solução, as respostas foram seguras. Quando não a encontraram, houve quebra do contrato didático, e instalou-se a insegurança. A dupla alcançou todas as fases previstas para a resolução da atividade Desenvolvimento das estratégias da dupla Diana / Patrícia Patrícia desenhou um paralelogramo (Figura 68) com os elementos solicitados no enunciado da questão 2, e foi observada por Diana. Esta construção foi realizada com instrumental de desenho e utilizando corretamente os processos geométricos. Observamos que a construção serviu como norteador do desenvolvimento do raciocínio. Figura 68: Paralelogramo construído por Patrícia. A dupla percebeu imediatamente que os triângulos ABP e CMP eram semelhantes pelo caso ângulo-ângulo e, identifica a razão de semelhança. Também lembrou com rapidez que a razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança. Em seguida, discute como redigir a solução: P: Porque os três ângulos são congruentes, os ângulos correspondentes. Não tem que escrever isso não? D: Será que precisa? P: Eu acho que tem que botar assim: Como os triângulos são semelhantes, bota aí, os triângulos ABP, né?

172 171 Triângulo ABP é semelhante ao triângulo, não tem que botar na ordem não? CMP. D: Então. P: Então... D: Aí tem duas coisas. Como o triângulo...mas se o triângulo é semelhante, esses lados já são proporcionais. P: São proporcionais, é. D: Não precisa dizer. P: Como os triângulos são semelhante, tá, mas como eu descobri que eles são semelhantes? Porque os ângulos correspondentes são iguais. A gente tem que botar: Como os ângulos correspondentes dos triângulos são iguais, concluímos que eles são semelhantes. D: Então, bota aqui. Apaga? P: É, como os ângulos são iguais, congruentes, né? Como os ângulos são congruentes, conclui-se, então: Pode colocar então, os triângulos são semelhantes, não precisa colocar o nome não, né?...que ela sabe. ABC e MCP são semelhantes.com isso... D: Aí pode fazer isso aqui que você fez, ó. P: É, ou, então, a gente fala, e também MC é a metade de AB, então AB/2. Então, a razão de semelhança é, aí tem que ser ½, porque a gente está fazendo esse pra esse. Desse pra esse é ½. D: É. P: Então, a razão de semelhança é ½. Logo, é... D: A razão entre as áreas.. P: É um quarto...então A 2 é ¼ de A 1. É um quarto. Aí você coloca, ponto. A 2 é igual a ¼ de A 1. Pronto. D: Acabamos a letra a. Patrícia e Diana apresentaram dúvidas com relação ao conteúdo da justificativa solicitada, o que deve ou não estar declarado. Por fim, elas apresentaram a seguinte solução: Como os ângulos são congruentes, então os triângulos ABP e MCP são semelhantes, e também MC é a metade de AB, com isso a 1 1 razão de semelhança é, logo a razão de entre as áreas é. 2 4 (Protocolo de pesquisa, 2008) A solução omite justificativas que deveriam ser explicitadas, como, por exemplo: Quais ângulos são congruentes? Por que estes ângulos são congruentes? Qual foi o caso de semelhança aplicado à situação? Por que a razão entre as áreas 1 é? Entretanto, a justificativa apresentada é do tipo experiência mental, e as 4

173 172 alunas tiveram raciocínio compatível com o nível G2. Notemos que elas não se ativeram à figura construída em nenhum instante, caracterizando abstração dos elementos, conforme se pode intuir também pela pouca preocupação com a precisão de desenho. Em seguida, Diana e Patrícia desenharam um trapézio isósceles ABCD e os triângulos ABP e CMP, conforme o enunciado (Figura 69). Figura 69: Trapézio isósceles construído por Patrícia. Logo observaram que os triângulos ABP e CMP eram semelhantes, mas não conseguiram determinar a razão de semelhança. Influenciadas pelo desenho que construíram, cogitaram a possibilidade de os triângulos serem congruentes. Basearam-se apenas em medições para dizer que não eram congruentes, o que caracteriza um movimento dialético na evolução do raciocínio geométrico e na demonstração: um retorno à prova do tipo empirismo ingênuo e a um controle de G1 sobre G2. P: É aqui a gente não sabe qual é o K. Mas acho que tem como saber. Porque aqui que a gente não vai saber qual é o K, no quadrilátero. Ah não, aqui a gente não vai ter como saber, porque se não for paralelo? Né? Vamos lá, trapézio. Vai ver que esses triângulos são até congruentes ao invés de ser semelhantes. D: Quer medir os lados? P: Depende de como você desenhou os trapézios. Porque se esse lado for a metade deste, aí aqui vai ser igual, aí vai ser por ângulo, lado, ângulo, porque vai ser congruente.

174 173 D: 6. P: É melhor você medir com o compasso. D: É, não vai dar não. P: Não vai dar não? D: Não. P: Então, aí deve ser K, deve ser com a razão, né? Diana mostra as medidas. P: É, então não é não. É menor? Esse aqui é maior? D: Esse aqui que é maior. AB é maior. P: É. Então coloca aí: eles são de novo semelhantes. A gente não tem como saber se eles são congruentes. Ah não, eles não são congruentes. São semelhantes. D: Tem os lados congruentes. P: Os ângulos, né? D: É. P: Têm os ângulos congruentes, então, eles são semelhantes. Patrícia percebeu que o desenho construído era um caso particular ao afirmar que os triângulos ABP e CMP seriam congruentes se AB fosse a metade de CD. Mas não estendeu este pensamento ao problema de determinar a razão em função das medidas das bases do trapézio. A dupla apresenta a seguinte solução: Os triângulos têm os ângulos congruentes, com isso são semelhantes. AB = K MC A 1 = 2 (Protocolo de pesquisa, 2008) A 2 K Observamos no texto citado, omissões semelhantes às que ocorreram na solução apresentada para o paralelogramo. Mas o teor da justificativa apresentada é do tipo experiência mental, embora incompleto porque faltou explicitar o caso de congruência e a devida indicação dos elementos congruentes em cada triângulo. As alunas construíram um quadrilátero qualquer (Figura 70) e começaram e investigação.

175 174 Figura 70: Quadrilátero qualquer construído por Patrícia. Logo afirmaram que os triângulos ABP e CMP possuíam um par de ângulos congruentes, que eram os opostos pelo vértice P. Em seguida ficaram em silêncio por aproximadamente 15 minutos, pensando sobre o desenho construído. Após este período seguiu-se o diálogo: P: E agora Diana? D: Vamos dar uma lida. P: E agora? Novamente ficaram em silêncio. P: Será que não tem nada pra gente dizer que eles são iguais, não? Não é paralelo. A soma é 180. E aí, Diana, e agora? De repente esse aqui, a gente pode ir calculando a área. Mas não temos tamanho de nada, né? D: Pode medir. P: Não, aí não fica. Silêncio. P: O que mais tem o triângulo para a gente ver? Esse é o ponto médio. Observamos que as alunas não se satisfazem mais com a conclusão baseada em medidas, indicando estar em G2. Intervimos, perguntando: Pesq: Vocês acham que tem que ter alguma relação? D: É, eu acho que a gente está procurando isso. P: É. Pesq: Vocês não cogitam a possibilidade de não ter? P: É. Eu acho que se tiver dois lados paralelos, sempre vai ter a relação. Pesq: Por que que você afirmou? P: Porque os triângulos vão ficar semelhantes. Aí tem relação entre as áreas. Pesq: Certo. O que aconteceu no retângulo e no trapézio. P e D: Isso.

176 175 D: Agora aqui como não tem nenhum lado paralelo. Pesq: Qual é a única coisa em comum que vocês tiveram nos dois primeiros? P: Comum? Pesq: É. Comum ou que relação eles teriam entre seus elementos? P:A única coisa é que eles têm esse ângulo aqui comum. Se tivesse mais um, eles seriam semelhantes, mas não tem como a gente provar. D: É. P: Então, eu acho que não dá. Não tem uma noção. É, então não tem. As alunas não perceberam a função de um contra-exemplo quando se quer mostrar a não validade de um enunciado matemático. Precisaram de nossa intervenção para perceber a necessidade da condição de existência, para eliminar a possibilidade do contra-exemplo. Pesq: Escreva isso que vocês acharam. Se não tem, ou se só vai ter se for paralelo. P: Coloca: só vai ter, se for paralelo sempre vai ter. D: E esse daqui não tem. P: Não tem, porque a gente não tem como afirmar. Se tivesse mais um ângulo igual. Observando mais a figura. P: Só tem um ângulo em comum, né? D: Por isso não podemos afirmar... P: Não podemos afirmar que eles são semelhantes. É que eu acho que a relação só vai existir se for semelhante, os triângulos. Neste diálogo, observam-se as consequências do contrato didático: a convicção de que todo problema proposto pelo professor tem alguma resposta e a influência das orientações do professor. Só a partir do momento em que a pesquisadora perguntou sobre a necessidade da existência de alguma relação, é que Patrícia e Diana começaram a considerar a possibilidade da não existência. Paralelamente, a ideia de escrever uma condição para a existência da relação foi desencadeada após a observação da pesquisadora. Por outro lado, esta condição para que houvesse uma solução foi um resultado não solicitado no enunciado da questão. Após a reflexão com a pesquisadora, a dupla redigiu o seguinte texto:

177 176 Nesse quadrilátero, os triângulos só tem um ângulo em comum, por isso não podemos afirmar que são semelhantes. Sempre vai existir uma relação entre as áreas, quando o quadrilátero tiver pelo menos 2 lados paralelos. (Protocolo de pesquisa, 2008) Observamos que as alunas apoiaram a argumentação nos dados do problema, e mais uma vez, não se detiveram em aspectos perceptivos, configurando um raciocínio no nível G2. A dupla produziu uma prova do tipo experiência mental, apesar da ausência da justificativa para a vinculação da existência da relação ao paralelismo dos lados. É possível que as alunas tenham omitido desta resposta tal justificativa devido às soluções anteriores já conterem a explicação deste fato, e deste modo, não acharem necessário repetir aqui Desenvolvimento das estratégias da dupla Júlia/Helena Esta dupla apresentou apenas um registro escrito que foi redigido por Júlia. Júlia sugeriu começar a investigação pela ordem do enunciado, porque de repente dá alguma dica. Ela desenhou um paralelogramo (Figura 70) com instrumental de desenho geométrico, utilizando corretamente os processos geométricos. Figura 70: Paralelogramo construído por Júlia.

178 177 Ao mesmo tempo, Helena construiu um trapézio retângulo com os elementos solicitados (Figura 71). Figura 71: Trapézio retângulo construído por Helena. Júlia observou o paralelogramo construído e afirmou: J: Eles devem ser semelhantes. Ainda não conferi. Isso é paralelo, isso é transversal. Durante a sua fala, Júlia apontou para os lados paralelos AB e CD do paralelogramo, e para as transversais AC e BM. Em seguida, identificou os ângulos alternos internos fazendo marcações com arcos no desenho (Figura 70). A aluna perguntou à pesquisadora se ângulo-ângulo era caso de semelhança, o que foi confirmado pela mesma. A dupla ficou em silêncio, enquanto olhavam as figuras 70 e 71. Após algum tempo, elas se recordaram da relação entre as áreas de duas figuras semelhantes. Mas não atentaram que deveriam usar a relação ( AB = 2CM ) entre os lados AB e CM dos triângulos ABP e CMP e fizeram tentativas para encontrar uma relação:

179 178 2 AAPB AP = AMPC CP 1 AP. PB. senpˆ 2 2 AP = 2 1 MP. CP. senpˆ CP 2 2 AP. PB AP = 2 MP. CP CP CP ². AP. PB = AP². MP. CP CP. PB = MP. AP CP. PB AP = (Protocolo de Pesquisa, 2008) MP A APB As alunas substituíram o valor de AP encontrado acima na igualdade 1 = AP. PB. senpˆ, mas não prosseguiram. Ao ver que Júlia e Helena pareciam 2 estar sem perspectiva para encontrar a relação, a pesquisadora alertou para que verificassem se havia algum dado que ainda não haviam utilizado. Imediatamente, as alunas lembraram de que AB = 2 CM, mas não utilizaram esta igualdade na resposta, que é a seguinte: AP Os APB e MPC são semelhantes por AA, e é uma das razões CP de semelhança. Como sabemos, a razão entre as áreas é o quadrado da razão de semelhança. A A APB MPC AP = CP 2 (Protocolo de pesquisa, 2008) Após detectarem que, no trapézio construído, os triângulos ABP e CMP também eram semelhantes, responderam de modo sucinto: Idem letra a (Protocolo de pesquisa, 2008). Júlia desenhou um quadrilátero qualquer (Figura 72) com os elementos contidos no enunciado.

180 179 Figura 72: Quadrilátero qualquer construído por Júlia. Observamos neste desenho duas retas construídas por A, à mão livre e por C, com um esquadro. Estes traçados constituíram uma tentativa de encontrar alguma relação entre os triângulos APB e CMP. Elas observaram, por longo tempo, o desenho enquanto pensavam. Ao fim deste período, elas afirmaram para a pesquisadora: H: Para ver se há relação, estamos vendo se há alguma coisa em comum. J: Sem medida é muito ruim. No caso do paralelogramo e trapézio, sempre será semelhante porque tem lados paralelos, é sempre o mesmo formato. As alunas compreenderam o caráter genérico da figura, e assim mobilizaram corretamente suas propriedades. Durante a investigação no quadrilátero qualquer, as alunas acreditaram que existia alguma relação e que elas não estavam conseguindo encontrar. Ficaram desanimadas: efeito do contrato didático. Elas escreveram a seguinte solução: Não foi possível estabelecer nenhuma relação entre as áreas dos em um quadrilátero qualquer, pois nem sempre teremos a mesma situação, como no paralelogramo e no trapézio que possuem dois lados opostos paralelos, sendo possível assim identificar a semelhança do traçados. (Protocolo de pesquisa, 2008) A justificativa para o caso do quadrilátero qualquer está correta, pois é justamente a ausência de lados paralelos que impossibilita a existência de triângulos semelhantes.

181 180 Constatamos que as alunas trabalharam em G2 e apresentaram justificativas do tipo experiência mental, porém incompletas. A dupla alcançou todas as fases previstas para a resolução da questão. 4.8 Síntese da análise da questão 2 no ambiente papel e lápis Na análise teórica, relatamos que ao começar a investigação dos quadriláteros na ordem sugerida no enunciado da questão, o aluno pode adquirir segurança para prosseguir na investigação, uma vez que o paralelogramo é um polígono com muitas propriedades familiares ao aluno, o que facilita o estabelecimento de relações entre elas ou entre objetos matemáticos e geométricos (p. 148). E foi exatamente o que ocorreu. Este fato foi enfatizado por Júlia, quando ela afirmou que começar pela ordem poderia dar alguma dica. E foi realmente o que ocorreu com as outras duplas. O estudo no paralelogramo clareou as ideias para analisar o trapézio, o que facilitou muito a determinação de uma solução geral, mas a solução prevista na análise teórica só foi alcançada por Guilherme e Rita. Nenhum aluno cogitou calcular a área dos triângulos para saber a relação entre as mesmas, e todos visualizaram a semelhança dos triângulos ABP e CMP, justificada pelo caso ângulo-ângulo. Apenas Guilherme quis provar a semelhança destes triângulos pelo caso lado-lado-lado, e conseguiu com uma pequena orientação da pesquisadora na justificativa da proporcionalidade dos lados correspondentes. A busca por uma solução para o item c demorou como previsto na análise teórica, nas duplas Patrícia/Diana e Júlia/ Helena, mas o motivo foi o fato de todos acreditarem que deveria ter uma solução. Não cogitaram em momento algum a possibilidade de inexistência da relação. Foi necessária a intervenção da pesquisadora no trabalho das duas duplas para que estas viessem a pensar em tal possibilidade. Porém Júlia e Helena justificaram corretamente por que no quadrilátero qualquer não havia relação entre as áreas dos triângulos. A dupla Rita/Guilherme não custou perceber que esta relação poderia não existir, mas as respostas escritas mostram que a dúvida com relação à existência persistiu. Em todos os casos, constatamos a influência do contrato didático. As construções com régua e compasso exerceram o papel de orientação no decorrer da resolução da questão, mas não foram determinantes para a definição

182 181 das respostas. Este fato nos permite afirmar que todos os alunos trabalharam no nível G2, sem o controle de G1. As justificativas apresentadas por Rita e Guilherme foram as mais completas, se comparadas com as apresentadas por Patrícia/Diana e com as de Júlia/ Helena. Nós esperávamos justificativas mais estruturadas do ponto de vista matemático, devido ao grau de escolaridade dos alunos participantes da pesquisa. Nesse sentido, podemos perceber que apesar de todos realizarem experiência mental no processo de prova, e de apresentarem elementos que indicam raciocínio em G2, observa-se que estes níveis de raciocínio apresentam diferenças significativas (por exemplo, na abstração da figura), indicando possibilidades de um nível intermediário entre G1 e G2. Por fim, concluímos que todos os alunos alcançaram as fases relatadas para a resolução da questão, sendo que apenas Rita e Guilherme obtiveram a razão entre os lados do trapézio em função das bases. As justificativas apresentadas foram compatíveis com o tipo de prova de prova experiência mental. 4.9 Experimentação da questão 2 no ambiente geometria dinâmica Geogebra Desenvolvimento das estratégias da dupla Rita/Guilherme Guilherme e Rita desenharam um paralelogramo e um trapézio qualquer (Figuras 73, 74, 75 e 76) no Geogebra apenas para verificar as conclusões obtidas no ambiente papel e lápis. Eles não fizeram nenhuma modificação na solução apresentada naquele ambiente, indicando que o software não apontou novas ferramentas para o desenvolvimento da argumentação, bem como dos níveis de raciocínio geométrico e dos tipos de prova.

183 182 Figura 73: Paralelogramo construído por Rita no Geogebra. Figura 74: Trapézio qualquer construído por Rita.

184 183 Figura 75: Paralelogramo construído por Guilherme. Figura 76: Trapézio qualquer construído por Guilherme.

185 184 A dupla concentrou a atenção na resolução do item c. Eles recorreram ao desenho papel e lápis que haviam feito no encontro anterior e discutiram as medições que fizeram nele: R: Num quadrilátero qualquer não existe, porque os ângulos OPV são iguais, mas os outros lados não são paralelos, então, não tem relação entre os ângulos internos. Só sei que a soma dos outros dois é 90, né? 90 não, é... G: Nos outros, a gente encontrou que os ângulo opv eram congruentes, mas aqui a gente não pode fazer nenhuma conclusão, como no paralelogramo nem no trapézio, porque... R: No meu quadrilátero, parece que uma altura é a metade da outra, medindo com o compasso. Mas não dá para saber, porque eu fiz com régua e compasso e tem... Aí, Guilherme, eu medi a base e a altura do menor. Deu 5 e pouco, 5... Deixe eu ver aqui, e a menor, a área do menor deu 5, não sei quanto. E a do menor deu 25. Então, parece que a área do menor ao quadrado é igual a área do maior. Mas só parece, eu não tenho certeza. Quando eu meço com o compasso, a altura parece que é a metade. G: Mas eu não cheguei a essa conclusão. R: Seria diferente. G: Eu medi aqui, seria 2, alguma coisa. R: E agora? Eu acho que é porque... G: Não teria nenhum lado paralelo ao lado... R: É isso que eu acho. Talvez seja por isso que... eu, primeiro, a gente fez o losango, que tem os lados paralelos. Rita chegou a calcular a área dos triângulos ABP e CMP usando as medidas colhidas no desenho feito por ela (Figura 48). Observou-se que eles não chegaram à conclusão alguma. Continuam pensativos, como que tentando enxergar algo nos quadriláteros construídos na tela do computador (Figuras 77 e 78), mas sem fazer uso da possibilidade de movimentação dos pontos na tela para construção de novas conjecturas ou refutação das já construídas (identificação de contra-exemplos, ou outro tipo de constatação empírica ou do spatio-grafique).

186 185 Figura 77: Quadrilátero qualquer construído no Geogebra por Rita. Figura 78: Quadrilátero qualquer construído por Guilherme no Geogebra. É interessante notar que Rita não fez medições no quadrilátero construído por ela, podendo inferir que era sua crença que o fato de o quadrilátero não possuir

187 186 lados paralelos implicava não ter triângulos semelhantes. Assim sendo, ela não se preocupou em obter outras medidas como a área dos triângulos. Este pensamento aparece no diálogo: G: Fez o paralelogramo, depois o trapézio. Nos outros, a gente descobriu tudo a partir deste lado, desses dois lados aqui. Tem que descobrir a relação daqui de dentro. Nos outros dois, tanto no trapézio quanto no paralelogramo, a gente primeiro achou a relação do lado do quadrilátero, para depois verificar a relação nos outros dois. R: Pois é, Guilherme, porque tinha lados paralelos. G: É isso que eu queria dizer. R: Então, aí eu estou pensando nos ângulos primeiro sim, como os lados eram paralelos, ai dá para fazer por semelhança. G: Então, tem que descobrir a razão entre esses dois lados. R: É. G: Tudo bem que o primeiro era semelhante, mas depois de achar a razão de semelhança, entre os lados do quadrilátero, e aqui não vai ter como a gente encontrar ele. R: Como que os triângulos são semelhantes, nem isso. G: E a gente não sabe se eles são realmente semelhantes R: Semelhante não é não, Guilherme. Olha só o tanto de diferença. Tá na cara que para ser semelhante os três ângulos tem que ser iguais, olha para a cara dos ângulos, olha a cara deles. Só opostos pelo vértice mesmo, os outros ângulos não têm nada a ver. Tanto no meu quanto no seu. No meu, até parece um pouquinho porque está quase paralelo, mas então... Então, nada a ver não. G: Um vai ser até obtuso, se fizer um quadrilátero assim. R: Chega, Guilherme. As ações no Geogebra foram no sentido de tentar encontrar uma resolução para o quadrilátero qualquer. A dupla esperava que a movimentação das figuras lhes mostrasse alguma propriedade não visualizada no ambiente papel e lápis. Ao final da investigação, concluíram que não havia mesmo relação. A dupla não redigiu um texto porque afirmou que não mudaria a solução no ambiente papel e lápis. Observamos um controle mútuo entre os níveis G1 e G2, pois, apesar de Rita e Guilherme terem estudado exaustivamente a questão 2 e apresentado justificativas

188 187 do tipo experiência mental, eles voltam a praticar ações de cunho perceptivo, como medir e comparar. Este episódio nos leva a seguinte reflexão: A complexidade de cada problema geométrico é superior ao nível de raciocínio geométrico do aluno? Dizendo de outro modo: Em um problema, o aluno raciocina em G1; em outro problema, em G2? Ou existe uma evolução (ou involução) dentro do próprio nível G2? Desenvolvimento das estratégias da dupla Diana / Patrícia A dupla iniciou a resolução desenhando o paralelogramo no Geogebra com os elementos solicitados (Figuras 79 e 80). Figura 79: Paralelogramo construído por Diana no Geogebra.

189 188 Figura 80: Paralelogramo construído por Patrícia no Geogebra. Utilizaram a função área do Geogebra e concluíram rapidamente que a área do maior triângulo era o quádruplo da área do menor triângulo com base nos resultados fornecidos pelo Geogebra. Isto é evidenciado no diálogo seguinte: D: Vamos estudar a relação entre as áreas. P: Mas aqui dá para medir área, não né? D: Não. P: Pelo ângulo, né? Eram semelhantes? (Patrícia evoca a resolução no papel e lápis). Após desenhar. P: Ham, ai... D: Qual é a área aqui? É o P? P:Área não tem não, só tem para colorir. Acho que não tem como saber a área aqui não. Elas procuram o recurso no software Geogebra. P: Ah tem, aqui, área, polígono. Calculam as áreas. P: Tá certo, a gente não falou que era um quarto? D: Hum, hum. P: Tá certo. Viu? Não precisa não, Diana, é só clicar no meio do negócio que... Ah, você está fazendo o polígono ainda. D: O seu deu certinho. P: Certo, então é isso mesmo. Agora eu vou fazer o outro. O diálogo acima deixa transparecer a não familiaridade das alunas com os recursos do software. Em um momento, Patrícia lembrou-se de um fato matemático a semelhança de triângulos utilizado na justificativa elaborada no ambiente papel

190 189 e lápis, e elas compararam o resultado obtido neste ambiente com o obtido na ambiente Geogebra, confirmando-o. Apresentam a seguinte resposta escrita para o item a: A área do ABP e 4 vezes a área do MCP (Protocolo de pesquisa, 2008) Em seguida, desenharam um trapézio (Figuras 81 e 82). Figura 81: Trapézio qualquer construído por Diana no Geogebra. Figura 82: Trapézio qualquer construído por Patrícia no Geogebra.

191 190 Após concluir os desenhos e calcular a área dos triângulos ABP e CMP, relembraram o resultado obtido no ambiente papel e lápis para este item, e o confirmaram no ambiente Geogebra, conforme o seguinte diálogo: P: Aqui era o que, Diana, que a gente tinha feito, a resposta? D: Ponto médio, a gente não sabe se esse...é médio ou... P: A metade né? Aqui foi o que? K ²? D: Acho que foi. P: Deixe eu ver o tamanho desse segmento aqui. Como que eu vejo o tamanho do segmento mesmo? Distância. Fazem cálculos. D: Tem que dar a mesma coisa, né? P: Tem que dar ao quadrado. Após conferir. P: Então, a gente continua com aquela resposta. Os cálculos mencionados no diálogo se referem à determinação da razão entre dois lados correspondentes dos triângulos ABP e CMP, e da razão entre as áreas destes fornecida pelo Geogebra, verificando que esta última razão era igual, por aproximação, ao quadrado da primeira razão. Estes cálculos foram registrados por escrito na folha de rascunho do seguinte modo: 4,94 = 1,062 4,65 k = 1,062 3,09 = 1,131 2,73 k 2 = 1,131 AB MC A dupla apresentou a seguinte resposta por escrito: ÁreaABP = ÁreaMCP razão de semelhança entre esses triângulos (Protocolo de pesquisa, 2008). 2 K, K é a Neste item, a atividade no Geogebra contribuiu para confirmar a resposta obtida no ambiente papel e lápis, mas por meio de medições, indicando ausência de estabilidade nos tipos de prova e nos níveis de raciocínio já identificados. Em seguida, desenham um quadrilátero qualquer (Figuras 83 e 84) e iniciaram o diálogo:

192 191 Figura 83: Quadrilátero qualquer construído por Diana no Geogebra. Figura 84: Quadrilátero qualquer construído por Patrícia no Geogebra P: O outro é K² também? Não, o outro a gente falou que não tinha relação. D: O outro... P: O outro é um quadrilátero qualquer... Não deu. Não é metade. D: Não são semelhantes.

193 192 P: Os triângulos não são semelhantes. Também não é a metade. Então não tem. P: Esse ângulo não vai ser igual a esse porque não são paralelos. D: Só os ângulos opostos pelo vértice. P: É. Olhe aqui: consegui fazer o dobro aqui. 4,1 e 8,2. Ah não, a área está aqui. Neste item, assim como nos itens a e b, a experimentação no Geogebra é utilizada com fins de confirmação do resultado obtido no ambiente papel e lápis. A dupla apresentou a seguinte resposta, que é uma comprovação numérica ao invés de uma comprovação das propriedades mobilizadas: AB MC 4,16 = = 0,654 6,36 A A ABP MCP = 0,7879 Percebemos que não tem nenhuma relação entre as áreas. (Protocolo de pesquisa, 2008) Desenvolvimento das estratégias da dupla Júlia/Helena Neste dia, apenas Júlia compareceu. Ela construiu inicialmente o paralelogramo com os elementos solicitados no enunciado da questão e realizou medições de segmentos e ângulos (Figura 85). Figura 85: Paralelogramo construído por Júlia no Geogebra.

194 193 Após utilizar os dados para calcular as áreas e as razões entre segmentos correspondentes nos triângulos ABP e CMP, inclusive as alturas e compará-las, Júlia fez uma única pergunta à pesquisadora. Ela perguntou se uma área ser igual a um quarto da outra era uma relação, o que foi confirmado pela pesquisadora. A aluna apresentou a seguinte solução: MCP = APB MC = 3,42 h = 0,86 A = 3,12.8,86 2 A = 1,3416 AB = 6,24 H = 1,72 A = 6,24.1,72 2 A = 5,3664 H h = 2 5,3664 = 1, A área do triângulo APB é o quádruplo da área do MCP. Isso sempre irá acontecer pois as relações entre as bases e as alturas serão sempre as mesmas: AB MC = e H h =, sendo h a altura do MCP e H a altura do 2 2 APB. (Protocolo de pesquisa, 2008) Nesta resolução, Júlia não fez referência ao resultado obtido no ambiente papel e lápis, nem à semelhança dos triângulos APB e CMP. Ela trabalhou no campo numérico, calculando e comparando as razões entre as áreas e os segmentos correspondentes nos dois triângulos. Justificou a relação entre as áreas dos triângulos com o fato da presença da relação fixa entre dois segmentos correspondentes nos triângulos. É interessante notar que Júlia não utilizou o recurso área do Geogebra. Dando continuidade, Júlia desenhou um trapézio qualquer (Figura 86) no Geogebra e efetuou medições de segmentos e ângulos. Neste item, ela justificou com a semelhança dos triângulos ABP e CMP a solução apresentada: Os ABP e MCP são semelhantes, por AA, logo a razão entre as áreas é o quadrado da razão de semelhança: K, A A ABP 2 = k. MCP

195 194 Figura 86: Trapézio qualquer construído por Júlia no Geogebra Júlia não sentiu necessidade de encontrar uma relação entre as áreas dos triângulos em função de elementos do trapézio. A aluna desenhou um quadrilátero qualquer (Figura 87) no Geogebra e efetuou medições de segmentos e ângulos. Concluiu que: Não é possível estabelecer alguma relação. Figura 87: Quadrilátero qualquer construído por Júlia no Geogebra.