CLASSIFICAÇÃO MULTICRITÉRIO DE PROJETOS DE NOVOS NEGÓCIOS: UMA APLICAÇÃO DO MÉTODO TODIM-FSE

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1 FACULDADE DE ECONOMIA E FINANÇAS IBMEC PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA EM ADMINISTRAÇÃO E ECONOMIA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO PROFISSIONAL EM ECONOMIA CLASSIFICAÇÃO MULTICRITÉRIO DE PROJETOS DE NOVOS NEGÓCIOS: UMA APLICAÇÃO DO MÉTODO TODIM-FSE MARIANA DA SILVA ROCHA ORIENTADOR: PROF. DR. LUIZ FLÁVIO AUTRAN MONTEIRO GOMES Rio de Janeiro, 18 de fevereiro de 2014.

2 CLASSIFICAÇÃO MULTICRITÉRIO DE PROJETOS DE NOVOS NEGÓCIOS: UMA APLICAÇÃO DO MÉTODO TODIM-FSE MARIANA DA SILVA ROCHA Dissertação apresentada ao curso de Mestrado Profissional em Economia como requisito parcial para obtenção do Grau de Mestre em Economia. Área de Concentração: Administração Geral ORIENTADOR: PROF. DR. LUIZ FLÁVIO AUTRAN MONTEIRO GOMES Rio de Janeiro, 18 de fevereiro de 2014.

3 CLASSIFICAÇÃO MULTICRITÉRIO DE PROJETOS DE NOVOS NEGÓCIOS: UMA APLICAÇÃO DO MÉTODO TODIM-FSE MARIANA DA SILVA ROCHA Dissertação apresentada ao curso de Mestrado Profissional em Economia como requisito parcial para obtenção do Grau de Mestre em Economia. Área de Concentração: Administração Geral Avaliação: BANCA EXAMINADORA: Professor Dr. Luiz Flávio Autran Monteiro Gomes (Orientador) Instituição: Ibmec/RJ Professor Dr. Antônio Marcos Duarte Júnior Instituição: Ibmec/RJ Professor Dr. José Roberto Ribas Instituição: Universidade Federal do Rio de Janeiro Rio de Janeiro, 18 de fevereiro de 2014.

4 R672 Rocha, Mariana da Silva. Classificação multicritério de projetos de novos negócios: uma aplicação do método TODIM-FSE. / Mariana da Silva Rocha. - Rio de Janeiro: [s.n.], f. :il. Dissertação de Mestrado Profissional em Economia do IBMEC. Orientador(a): Dr. Luiz Flávio Autran Monteiro Gomes. 1. Apoio Multicritério a Decisão. 2. Classificação de Projetos. 3. TODIM-FSE. I. Título. CDD658

5 DEDICATÓRIA Dedico este trabalho ao meu marido André por ser uma grande inspiração às minhas conquistas acadêmicas. 1

6 AGRADECIMENTOS À minha família e meu marido, por toda a compreensão nos momentos em que estive ausente me dedicando ao mestrado. Ao meu orientador Professor Luiz Flávio Autran Monteiro Gomes, por compartilhar todo seu conhecimento e contribuir imensamente para a realização desta dissertação. A Aderson Campos Passos pelo excelente auxílio e co-orientação informal. Ao Professor José Roberto Ribas por ter me ensinado os primeiros passos em multicritério e na escrita de artigos acadêmicos. À Diretoria de Desenvolvimento de Negócios, em especial à Fernanda Crespo e ao Evandro Vasconcelos, por todo o apoio durante a realização do mestrado, me proporcionando a tranquilidade necessária para concluir este desafio com êxito. Aos novos amigos Breno, Daniel, Maria Júlia, Nicolle e Tatiana, que me acompanharam no dia-a-dia do mestrado e fizeram esta trajetória mais leve e divertida.. 2

7 RESUMO Este trabalho foi desenvolvido no âmbito do Programa de Pesquisa e Desenvolvimento regulado pela ANEEL e tem como objetivo criar um modelo para classificação de projetos de novos negócios da Light, companhia com atuação no setor elétrico. Com esta dissertação espera-se contribuir para aprimorar a aplicação de um modelo de suporte na tomada de decisão da Diretoria de Desenvolvimento de Negócios. Para isso, utilizou-se o TODIM-FSE, um novo método de apoio à decisão multicritério de classificação que é uma extensão ao método TODIM, fundamentado na Teoria dos Prospectos e na Avaliação Sintética Fuzzy. Uma característica importante do método é a formulação matemática simplificada, sem a necessidade de pré-requisitos, podendo ser construído no Microsoft Excel, como foi o caso deste trabalho. A aplicação do método TODIM-FSE mostrou-se eficaz na alocação dos atuais projetos em carteira da área de Desenvolvimento de Negócios da Light em categorias previamente definidas, distanciando a tomada de decisão da improvisação e da falta de explicação racional. Para o aperfeiçoamento do método, sugere-se a utilização de mais alternativas e realização de um maior número de aplicações, para que o TODIM-FSE possa ser testado e aprimorado. Palavras Chave: Apoio Multicritério a Decisão. Classificação de Projetos. TODIM-FSE. 3

8 ABSTRACT This work was designed under a Research and Development Program regulated by ANEEL and aims to create a classification model for new business projects of the electric utility company, Light. With this dissertation is expected to contribute to enhance a model to support the decision making of the Business Development Board. This study call upon TODIM-FSE, a new multicriteria method for classifying alternatives based on Prospect Theory and Fuzzy Synthetic Evaluation. An important quality of the method is the simplified mathematical formulation without prior knowledge and can be easily programmed in spreadsheets of Microsoft Excel, as done in this work. The application of the method TODIM-FSE showed to be effective in the allocation of current projects from Business Development Board in predefined categories, distancing the improvisation on decision making and the lack of rational explanation. To improve the method is suggested to use a series of applications for validating TODIM-FSE in a broader way. Key Words: Multiple Criteria Decision Aid. Project Sorting. TODIM-FSE. 4

9 LISTA DE FIGURAS Figura 1 Fases do processo de tomada de decisão sugeridas por Roy (1985) e complementada por Gomes (2007) Figura 2 - Processo geral do método UTADIS Figura 3 - Função de valor típica da Teoria dos Prospectos Figura 4 Função de valor típica da Teoria dos Prospectos mostrando o que ocorre com as preferências quando são calculadas as dominâncias parciais Figura 5 - Representação na forma de conjuntos da altura de uma pessoa, sob o ponto de vista da Lógica convencional (à esquerda) e do da Lógica Fuzzy (à direita)

10 LISTA DE TABELAS Tabela 1 Matriz de análise através do método de Minimização Heurística da Interdependência entre Critérios, onde IND significa Independente, INT significa INTERDEPENDENTE e MINT significa Muito Interdependente Tabela 2 Informações sobre uma seleção de projetos do Grupo Light para o período Tabela 3 Matriz de contribuições para o critério i, qualitativo, para cada possível avaliação γ i (Passos, 2012) Tabela 4 - Tabela de contribuições agrupadas dos critérios (Passos, 2012) Tabela 5 Matrizes de contribuição dos critérios para cada categoria Tabela 6 - Matrizes de contribuição agrupada dos critérios Tabela 7 - Peso dos critérios obtidos através do direct scoring Tabela 8 Matriz de dominância parcial do critério Necessidade de Investimento em relação a alternativa Projeto A Tabela 9 - Matriz de Dominância para as alternativas a partir do somatório das dominâncias referentes a cada critério, conforme equação (6) Tabela 10 Somatório das linhas da matriz de dominâncias da alternativa Projeto A, com os valores mínimo e máximo identificados Tabela 11 - Somatório das linhas da matriz de dominâncias da alternativa Projeto A, com os valores mínimo e máximo identificados Tabela 12 - Somatório das linhas da matriz de dominâncias da alternativa Projeto C, com os valores mínimo e máximo identificados Tabela 13 - Somatório das linhas da matriz de dominâncias da alternativa Projeto D, com os valor mínimo e máximo identificados Tabela 14 - Somatório das linhas da matriz de dominâncias da alternativa Projeto E, com os valores mínimo e máximo identificados Tabela 15 Classificação final das alternativas Tabela 16 - Peso dos critérios obtidos através do direct scoring para Cenário Otimista Tabela 17 - Classificação final das alternativas para Cenário Otimista Tabela 18 Peso dos critérios obtidos através do direct scoring para Cenário Pessimista. 64 Tabela 19 - Classificação final das alternativas para Cenário Pessimista Tabela 20 Classificação a partir da sensibilidade no valor de atenuação de perdas Tabela 21 - Informações sobre projetos desenvolvidos pelo Grupo Light para no período Tabela 22 - Classificação final das alternativas de projetos já desenvolvidos para a validação Tabela A1 - Matrizes de dominância parcial em relação a alternativa Projeto A

11 Tabela A2 - Matrizes de dominância parcial em relação a alternativa Projeto B Tabela A3 - Matrizes de dominância parcial em relação a alternativa Projeto C Tabela A4 - Matrizes de dominância parcial em relação a alternativa Projeto D Tabela A5 - Matrizes de dominância parcial em relação a alternativa Projeto E

12 LISTA DE ABREVIATURAS AMD AHP ELECTRE FSE MADA MAUT MCDA MODA P&D Apoio Multicritério à Decisão Analytic Hierarchy Process Élimination et Choix Traduisant la Réalité Fuzzy Synthetic Evaluation Multiattribute Decision Aid Multi-Attribute Utility Theory Multiple Criteria Decision Aid Multiobjective Decision Aid Pesquisa e Desenvolvimento PROMETHEE Preference Ranking Organization Method for Enrichment Evaluations TIR TODIM UHE UTA UTADIS VPL Taxa Interna de Retorno Tomada de Decisão Interativa Multicritério Usina Hidrelétrica Utilitès Additives Utilitès Additives Discriminantes Valor Presente Líquido 8

13 SUMÁRIO DEDICATÓRIA... 1 AGRADECIMENTOS... 2 RESUMO... 3 ABSTRACT... 4 LISTA DE FIGURAS... 5 LISTA DE TABELAS... 6 LISTA DE ABREVIATURAS... 8 SUMÁRIO INTRODUÇÃO DEFINIÇÃO DO PROBLEMA OBJETIVO JUSTIFICATIVA FUNDAMENTOS TEÓRICOS SOBRE OS MÉTODOS DE APOIO MULTICRITÉRIO À DECISÃO ESTADO DA ARTE NA TOMADA DE DECISÃO CLASSIFICAÇÃO DOS PROBLEMAS DE APOIO À DECISÃO FASES DO PROCESSO DECISÓRIO Critérios

14 2.4 MÉTODOS DE APOIO MULTICRITÉRIO À DECISÃO ELECTRE TRI UTADIS A ESCOLHA DO MÉTODO O MÉTODO TODIM-FSE OS CONCEITOS DO MÉTODO TODIM Teoria dos Prospectos Conceitos do Método TODIM CONCEITOS FSE Origem da Lógica Fuzzy Conjuntos Fuzzy Fundamentos Fuzzy Aplicações Avaliação Sintética Fuzzy ESTUDO DE CASO NO SETOR ELÉTRICO BRASILEIRO O PAPEL DA DIRETORIA DE DESENVOLVIMENTO DE NÉGOCIOS NECESSIDADE DE PRIORIZAÇÃO DE PROJETOS PROJETOS EM CARTEIRA APLICAÇÃO DO MÉTODO TODIM-FSE Definição dos decisores e analistas de decisão (Etapa 1) Análise e estruturação do problema decisório (Etapa 2) Definição dos critérios relevantes para o problema (Etapa 3) Definição de categorias e funções de contribuição (Etapa 4) Definição da importância relativa entre os critérios (Etapa 5) Classificação de cada alternativa em uma das categorias propostas (Etapa 6) Análise de Validação (Etapa 7) Análise de sensibilidade CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA ESTUDOS FUTUROS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS APÊNDICE A

15 1 INTRODUÇÃO 1.1 DEFINIÇÃO DO PROBLEMA O setor elétrico brasileiro vem apresentando um grande movimento de aquisições e investimentos em novos projetos, principalmente no segmento de geração. O objetivo principal das companhias do setor é ampliar suas atuações, obter ganhos de escala, sinergias operacionais e o desenvolvimento de novos mercados. É possível notar que empresas que no passado tinham seu negócio focado em um segmento do setor elétrico, como por exemplo, distribuição, tem buscado prospectar e capturar oportunidades de expansão em geração. Este é o caso do Grupo Light S.A. ( Grupo Light, Light ou Companhia ), que será objeto de estudo de caso neste trabalho. A Light atua no setor elétrico brasileiro, principalmente nos segmentos de distribuição, geração, transmissão e comercialização. Com sede no Rio de Janeiro, o grupo atende a mais de R$ 4 milhões de clientes e em 2013 registrou um faturamento bruto de R$ 10 bilhões. O principal objetivo da Companhia é gerar valor para os seus acionistas, por meio do constante crescimento no mercado de energia elétrica no Brasil. Para alcançar tal objetivo, a Companhia baseia sua gestão na procura da eficiência operacional, com foco no aumento de receita, 11

16 redução de custos e na realização de investimentos prudentes na distribuição e crescimento nos segmentos em que atua, principalmente geração, através de novos investimentos. Com o intuito de ampliar a participação do segmento de geração de energia nas atividades da Companhia, a Diretoria de Desenvolvimento de Negócios da Light, realizou uma série de aquisições de participações desde o ano de 2009, como a entrada no capital da Renova Energia S.A. ( Renova ), empresa com foco em energias renováveis, e também a aquisição da participação na Usina Hidrelétrica de Belo Monte ( UHE Belo Monte ). Ainda assim, a Companhia está constantemente analisando a participação em novos projetos diretamente ou por meio de suas controladas e coligadas, visando diversificar sua receita e gerar valor para seus acionistas, conforme alinhado com o Planejamento Estratégico do Grupo Light. Porém, diante de novas oportunidades, um dos principais desafios que a Companhia enfrenta reside na escolha da alternativa de investimento mais correta e adequada aos seus objetivos estratégicos. Em muitos casos, tomar a decisão certa constitui um fator crítico para o crescimento sustentável e rentável para os acionistas do Grupo Light. Como citado anteriormente, as aquisições de participação na Renova e na UHE Belo Monte criaram um compromisso de investimentos por parte da Light em torno de R$ 550 milhões. Ainda que as transações envolvam um grande volume de recursos por longos períodos, a Companhia, até então, não realiza padronização sobre quais critérios deverão ser utilizados na classificação e seleção de um projeto para investimento. Logo, os agentes de decisão estão expostos às incertezas, como: as análises e decisões estão, efetivamente, alinhadas com a estratégia corporativa, previamente estabelecida? as alternativas de projetos estão sendo avaliadas, de forma mais racional possível? todos estão seguros de que a decisão tomada não compromete a credibilidade de uma área de negócios ou mesmo do decisor? 12

17 Através de uma metodologia de classificação e seleção de projetos racional e baseada em conhecimento consistente, a tomada de decisão se distancia da improvisação, da falta de explicação racional e também das escolhas baseadas em julgamentos pessoais. 1.2 OBJETIVO Visando oferecer um processo de suporte na tomada de decisão em relação ao problema da pesquisa apresentado anteriormente, este estudo tem por objetivo elaborar e avaliar um modelo que auxilie o tomador de decisão da Light a classificar e selecionar as melhores opções de projetos para crescimento da Companhia. Para criar um modelo sugere-se a utilização do método de Apoio Multicritério à Decisão (AMD), conhecido como TODIM- FSE. Este método consiste em uma evolução do método TODIM (TOmada de Decisão Interativa e Multicritério), que é baseado na Teoria dos Prospectos (Kahneman e Tversky, 1979) e na Avaliação Sintética Fuzzy 1 (Fuzzy Synthetic Evaluation FSE ) que, apesar de não ser um método multicritério, já foi usado como um pois é capaz de lidar com as incertezas envolvidas na tomada de decisão, como no trabalho de Pang e Bai (2013). Através do método TODIM-FSE é possível levar em consideração não só os critérios técnicos, quantitativos e subjetivos, mas a decisão comportamental dos agentes de decisão frente aos riscos baseado na teoria dos prospectos (Passos, 2012). A metodologia em referência será detalhada oportunamente neste trabalho. Os objetivos intermediários deste estudo são: (i) Criar um mecanismo que auxilie no processo de análise e classificação das melhores opções de projetos da Light; 1 O termo fuzzy em inglês pode ter vários significados, dependendo do contexto em que é empregado. Porém, os exemplos mais populares de tradução são nebuloso e difuso. 13

18 (ii) Permitir ao tomador de decisão identificar de forma sistemática, transparente e racional novas oportunidades de crescimento; (iii) Tornar possível a aplicação deste modelo para outras empresas na classificação e seleção de portfólio de projetos. 1.3 JUSTIFICATIVA Diante das novas oportunidades de negócios, empresas devem buscar eficiência nas tomadas de decisão e nas escolhas de projetos, a fim de garantir a efetividade da missão e a visão estratégica da Companhia, bem como, atender aos anseios de geração de valor dos acionistas. Tudo isso, deve ser pensado no momento da confecção de critérios para as escolhas mais adequadas, ou melhor, na compilação de multicritérios que permitam a exata medida para investimentos em novos negócios. Empresas como a Light enfrentam desafios relacionados a escolha da alternativa de investimento mais correta e adequada a seus objetivos estratégicos. Para a tomada de decisão quanto à definição da melhor carteira de investimentos, basear-se em apenas um critério ou usar uma análise superficial pode não ser transparente e consistente para determinar qual projeto deve ou não ser executado. Qualquer projeto de negócios de empresas transparentes deve ser analisado de forma criteriosa antes de ser aprovada sua execução. No setor elétrico tal preocupação é ainda mais importante, devido à sua característica de segmento intensivo em capital. Sendo assim, o uso de uma metodologia multicritério complementa e enriquece as técnicas tradicionais de análise econômica, a exemplo da TIR (Taxa Interna de Retorno) e do VPL 14

19 (Valor Presente Líquido) em fluxos de caixa descontados. As técnicas tradicionais podem, por exemplo, ser incorporada ao modelo como representantes de dois critérios de julgamento, porém devem ser avaliadas para a tomada de decisões junto a outros diferentes objetivos e necessidades das organizações. Adicionalmente, o uso de metodologia multicritério é uma forma de dar conforto aos tomadores de decisões, pois é suportada por uma abordagem consistente, conhecida e transparente. Assim, a relevância do estudo consiste na possibilidade de gerar um modelo que investiga e melhora o processo de classificação e seleção de projetos da Diretoria de Desenvolvimento de Negócios da Light, sendo o primeiro trabalho no setor elétrico usando o método TODIM-FSE. 15

20 2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS SOBRE OS MÉTODOS DE APOIO MULTICRITÉRIO À DECISÃO 2.1 ESTADO DA ARTE NA TOMADA DE DECISÃO Gomes (2007) descreve a tomada de decisão como um processo que leva à escolha de pelo menos uma alternativa entre várias candidatas a resolver determinado problema. Nós, seres humanos, tomamos decisões diariamente, que podem ser decisões simples, por exemplo escolher qual restaurante iremos almoçar, ou decisões complexas, como a compra de um apartamento. Imagine que ao decidir comprar um imóvel para morar, levamos em consideração a localização, metragem, preço, entre outros. Notamos, então, que a tomada de decisão neste exemplo deve considerar todos esses critérios para possibilitar uma escolha que agrade ao decisor. A consideração desses vários fatores na tomada de decisão é o escopo do Apoio Multicritério à Decisão ( AMD ) ou Multiple Criteria Decision Aid ( MCDA ), uma das áreas de estudo da pesquisa operacional que tem sido desenvolvida rapidamente nas últimas três décadas tanto no campo teórico como prático (Doumpos e Zopounidis, 2002). O AMD auxilia a obtenção de elementos que possam responder a determinadas perguntas no processo de decisão. Segundo Figueira et al. (2005), estes elementos trabalham para esclarecer a decisão e, geralmente, para recomendar uma conduta com mais consistência. Assim definido, AMD visa estabelecer, em bases científicas reconhecidas, com formulações de proposições que serão, então, submetidos ao julgamento de um tomador de 16

21 decisão e/ou os diversos atores envolvidos no processo de tomada de decisão. Para Roy (2005), o AMD pode contribuir ao: (i) Analisar o contexto de tomada de decisão, identificando os principais atores, as várias possibilidades de ações, as consequências, entre outros; (ii) Organizar e/ou estruturar como o processo de decisão se desenrola a fim de aumentar a coerência entre i) os valores subjacentes aos objetivos e metas e ii) a decisão final encontrada; (iii) Aproximar os atores da discussão, propondo que apontem os principais aspectos para a compreensão do problema; (iv) Elaborar uma recomendação utilizando resultados a partir de modelos com base científica; Participar da legitimação da decisão final; No AMD são analisadas alternativas a partir de dois ou mais critérios. No exemplo da escolha do apartamento as alternativas seriam os imóveis disponíveis para compra e os possíveis critérios, já citados, seriam localização, metragem, preço. 2.2 CLASSIFICAÇÃO DOS PROBLEMAS DE APOIO À DECISÃO Segundo Doumpos e Zopounidis (2002, op. cit.) a categorização dos problemas de tomada de decisão pode ser feita em dois grupos: (iv) Problemas discretos: onde é analisado um número finito de alternativas, que são descritas por um número também finito de atributos. São os atributos a base para avaliar as alternativas, dentro do contexto da tomada de decisão. Como exemplo podem ser citados problemas de seleção de projetos, recrutamento de pessoas, 17

22 aquisição de um imóvel. Para este tipo de problema, são utilizadas técnicas multiatributo (Multiattribute Decision Aid MADA), foco deste trabalho. (v) Problemas contínuos: onde o número de alternativas a serem analisadas é infinito. Nestes casos é necessário trabalhar com uma região de alternativas viáveis, onde cada ponto dessa região corresponde a uma alternativa específica. Para este tipo de problema são utilizadas técnicas multiobjectivo (MODA Multiobjective Decision Aid). Os problemas classificados em ambas as técnicas (MADA ou MODA) podem ser denominados como multicritério. O termo problemática é usado como uma maneira de classificar os problemas de análise de decisão quanto ao tipo de resultado que será fornecido após à análise das alternativas. Existem, portanto, diversos tipos de problemáticas que podem ser analisados. Para Roy (2005, op. cit.), os resultados da problemática podem ser de quatro tipos: (i) Problemática da escolha (Pα): escolhe-se a melhor ou o melhor conjunto de alternativas, dentre as alternativas analisadas; (ii) Problemática da classificação (Pβ): classificam-se as alternativas dentre grupos prédefinidos. Por exemplo, na escolha do apartamento as opções podem ser classificadas como bom, razoável, ótimo. (iii) Problemática da ordenação (Pγ): ordena-se as alternativas da melhor para a pior; (iv) Problemática da descrição (Pδ): identifica as características mais distintas entre as alternativas, realizando uma descrição das alternativas. Não há intenção de decidir, apenas de estruturar o problema. 18

23 No entanto, não é difícil compreender uma das abordagens descritas necessita do apoio de outra. Para um problema de ordenação (Pγ) ou classificação (Pβ) pode ser necessário descrever e estruturar o problema (Pδ) (Gomes 2007). Segundo Doumpos e Zopounidis (2002, op. cit.) os três primeiros tipos de problema geram um resultado a partir da avaliação das alternativas, mas há uma diferença básica entre a problemática β (classificação) e as problemáticas α e γ (escolha e ordenação). No caso de α e γ são avaliadas basicamente a partir de comparações entre elas. Já os problemas de classificação (Pβ) se baseiam em julgamentos independentes da existência de outras alternativas. Para o contexto a ser estudado neste trabalho, usaremos técnicas multiatributo e o problema será modelado usando o método multicritério TODIM-FSE, gerando ao final uma classificação de alternativas (Pβ). 2.3 FASES DO PROCESSO DECISÓRIO É possível estabelecer fases para o processo decisório, principalmente quando são utilizados os métodos de apoio multicritério. Essa estruturação não segue uma sequência estanque, sendo possível, mudar a ordem dessas fases. Entender bem cada uma das fases do processo decisório contribuirá para que o decisor siga corretamente e não esqueça nenhuma etapa do processo decisório. O processo de AMD descrito por Roy (1985) é composto por quatro etapas: 19

24 1ª) Análise do Problema: entendimento do problema, sua complexidade, o objetivo a ser alcançado e identificação das alternativas viáveis para a solução do problema. Antecede a modelagem propriamente dita. 2ª) Identificação dos critérios: definição dos critérios de avaliação das alternativas, que são todos os fatores inerentes à decisão. Esta pode ser uma das etapas mais trabalhosas, sendo muito importante fazer busca de critérios de maneira a garantir que todas as opções sejam analisadas. Mais a frente, trataremos das características que os critérios devem satisfazer. 3ª) Escolha do método: escolha de um método que seja adequado às características do problema levantadas nas etapas anteriores, que é utilizado então para que os decisores realizem as avaliações das alternativas através dos critérios, resultando em um modelo que descreva a preferência dos decisores. 4ª) Análise dos resultados: na última fase do processo os resultados são analisados e são geradas as recomendações para os decisores. Sempre que necessário é possível retornar a uma das fases anteriores. Gomes (2007, op. cit.) sugere ainda uma fase anterior às descritas acima. Para tal autor, a primeira fase de um processo decisório é a identificação dos decisores e dos agentes de decisão, que são os indivíduos que efetivamente decidirão ao fim do processo. O decisor e os agentes de decisão devem ser indivíduos que realmente conhecem o problema e que de fato decidirão. São eles que irão definir os critérios e os pesos dos mesmos, contribuindo para o resultado final. 20

25 Identificação dos decisores e analistas de decisão Análise e estruturação do problema Identificação dos critérios Escolha do método Análise dos resultados Figura 1 Fases do processo de tomada de decisão sugeridas por Roy (1985) e complementada por Gomes (2007). Fonte: Elaborada pela autora Critérios Os atributos são características inerentes às escolhas de alternativas, dadas as preferências do decisor. Essas preferências vão gerar um conjunto de regras que possibilita escolher uma alternativa entre um par. O conjunto de regras assim formado compõe os critérios da decisão. Os critérios podem ser quantitativos ou qualitativos. Eles são quantitativos quando podem ser atribuídos a escalas numéricas bem definidas. Nos critérios qualitativos não existem valores para medir o desempenho, geralmente utilizam-se escalas em que se atribuem valores aos graus desses critérios, por exemplo, um apartamento bom seria 1, razoável atribui-se 2 e ruim 3. Não existe uma técnica que seja mais adequada para obtenção dos critérios, no entanto através de um brainstorming com os decisores e agentes de decisão é possível definir um conjunto inicial de critérios. A partir deste conjunto de critérios, constrói-se o que será chamado de família de critérios, que deverá satisfazer a cinco características estabelecidas por Keeney e Haiffa (1976), são elas: 21

26 (i) Completude: o conjunto de critérios deverá ser suficientemente completo de forma a abordar todos os aspectos considerados relevantes para a decisão. (ii) Tamanho mínimo: árvores muito grandes são difíceis de serem avaliadas, por outro lado, pequenas demais podem não representar bem o problema de decisão. (iii) Ausência de redundância: dois critérios não podem representar a mesma coisa. É importante eliminar, ou reduzir ao máximo, as redundâncias na família de critérios. (iv) Decomponibilidade: também conhecida como Independência de preferência. O desempenho de uma alternativa em relação a um de seus critérios deve ser avaliado independentemente de outro critério. A alternativa pode guardar relação entre critérios (trade-off), mas não dependência. (v) Operacionalidade: critérios em níveis mais baixos da família de critérios deverão ser específicos o suficiente para serem quantificados. É muito comum atribuir pesos aos critérios, em alguns métodos multicritério, tendo em vista que os agentes consideram alguns critérios mais importantes que outros. Os pesos são uma forma de medir quantitativamente a ordem de preferência relativa dos critérios, do ponto de vista do decisor. Ele é usualmente representado pela letra w, originado da palavra peso (weight) em inglês. 2.4 MÉTODOS DE APOIO MULTICRITÉRIO À DECISÃO Na terceira fase do processo de apoio à decisão, deve ser escolhido um método para a construção do modelo. Existem diversos métodos para auxiliar a tomada de decisão AMD e as diferença entre esses métodos pode estar tanto no modelo matemático quanto no desenvolvimento do modelo. Curiosamente, a própria escolha de um método de apoio multicritério a decisão por si só já é um problema multicritério. 22

27 As principais Escolas de AMD são a Americana e a Francesa, que surgiram há mais de três décadas com o intuito de criar procedimentos consistentes e transparentes que trariam as melhores soluções para situações que envolvessem decisões complexas. As escolas divergem na técnica do modelo, bem como nas etapas do processo de tomada de decisão. As principais metodologias da Escola Americana são a Análise Hierárquica de Dados (AHP, do inglês Analytic Hierarchy Process), criado por Thomas L. Saaty (1977) e a Teoria de Utilidade Multiatributo (MAUT, do inglês, Multi Attribute Utility Theory), introduzida por Keeney e Raiffa (1976, op. cit.). A Escola Francesa se divide basicamente em dois grupos, os métodos da família ELECTRE (Élimination et Choix Traduisant la Réalité), discutido por Bernard Roy (1968) e os métodos da família PROMETHEE (Preference Ranking Organization Method for Enrichment Evaluations), apresentado por J.P. Brans (1982). Dos métodos anteriormente citados, com exceção do método ELECTRE TRI, da família ELECTRE, todos possuem o objetivo de ordenar as alternativas. Existem poucos métodos multicritérios para classificar alternativas discretas. A publicação de Doumpos e Zopounidis (2002, op. cit.) nos apresenta detalhadamente os métodos multicritério de classificação disponíveis na literatura, sendo os mais conhecidos o ELECTRE TRI e o UTADIS ELECTRE TRI O método ELECTRE TRI faz parte da família de métodos ELECTRE da escola francesa e foi desenvolvido para o problema de classificação. O ELECTRE TRI consiste em atribuir um conjunto de ações, objetos ou itens em categorias. O método aloca as alternativas do grupo A em categorias pré-estabelecidas C. As alternativas são comparadas a categorias chamadas de alternativas de referência, normalmente denotadas por bn onde n = {0,1,2,...,k} e k é o número de alternativas de referência. As alternativas de referência são fictícias pois são 23

28 padrões criados para alocar as alternativas potenciais nas categorias C (Gomes, Araya e Carignano, 2004). Para n categorias, devem existir n-1 perfis de referência b. Ou seja, Cn é sempre delimitada pelo seu limite inferior bn-1, exceto a categoria C1 que é delimitada pelo seu limite superior b1 (Figueira, Mousseau e Roy, 2005; Neves e Costa, 2006). O método ELECTRE TRI foi criado para resolver problemas de classificação ( TRI significa classificação em francês). O objetivo desse método é, assim, separar o conjunto de alternativas potenciais (A) em classes ou categorias definidas previamente (Shärlig, 1996). Dado que as categorias foram definidas a priori, a problemática da classificação está em definir as fronteiras superiores e inferiores destas categorias e comparar cada alternativa a esses limites para definir onde a alternativa deve ser classificada. As alternativas são avaliadas independentemente das outras, quando alocadas para as categorias. Ou seja, a alocação de uma alternativa a uma categoria específica não influencia onde a alternativa b deve ser alocada (Figueira, Mousseau e Roy, 2005, op. cit.). Para os problemas monocritério, a classificação é bastante simples uma vez que apenas um critério é levado em consideração. Assim, basta saber a performance da alternativa nesse critério e, em seguida, em que categoria ela se encaixa. Quando falamos de uma tomada de decisão multicritério, o problema passa a ser mais complexo, pois tanto as categorias como as alternativas são qualificadas por diversos valores (Schärlig, 1996, op. cit.). Podemos encontrar algumas extensões do ELECTRE TRI (também conhecido ELECTRE TRI-B). Almeida-Dias et al. (2010) apresentaram o ELECTRE TRI-C, onde cada categoria é definida por uma única alternativa e mais recentemente, 2012, aos mesmos autores presentaram o ELECTRE TRI-nC, que leva consideração diversas alternativas de referência para caracterizar uma das categorias. Todas as extensões do ELECTRE TRI são usadas para problemas de classificação de alternativas (Figueira et al., 2013). 24

29 O uso do método ELECTRE TRI e até mesmo de suas recentes extensões foi difundido em todo o mundo e aplicado em situações reais através de softwares. Abaixo estão elencados alguns trabalhos publicados sobre o método: (i) Acolet (2008) criou um modelo de análise de crédito de empresas do setor financeiro, que foram classificadas em cinco grupos de risco. (ii) Trojan e Morais (2012) classificaram as áreas de medição de vazão de água de uma rede de distribuição, por prioridade de manutenção, a partir de dados coletados de um sistema automático de detecção de anormalidades. (iii) Fontana e Cavalcante (2013) utilizaram o método para atribuir o local de armazenamento de produtos em áreas específicas (classes), auxiliando uma empresa na gestão de estoques. (iv) Macary (2013) buscou avaliar e classificar zonas com risco de erosão em áreas rurais, onde medidas deveriam ser tomadas UTADIS Adicionalmente aos métodos ELECTRE TRI e suas extensões, podemos descrever outra metodologia, cujo objetivo é realizar a classificação das alternativas, conhecida como método da Utilidade Aditiva Discriminante (UTilitès Additives DIScriminantes UTADIS). Este método é uma variante do método UTA, apresentado por Devaud et al. (1980). Segundo Doumpos e Zopounidis (2002, op. cit.) o método passou a ser de interesse dos pesquisadores do MCDA durante a década de 90, sendo utilizado em 1995 por Jacquet-Lagrèze para avaliação de projetos de Pesquisa e Desenvolvimento ( P&D ) e, a partir de 1997, amplamente utilizado para classificação em modelos de tomada de decisão para área financeira (Zopounidis et al., 1999a, 1999b). 25

30 O objetivo do método é realizar a classificação das alternativas em grupos preordenados através de uma função de utilidade aditiva, onde a partir do resultado da função para cada alternativa são atribuídas aos grupos de forma que as com aquelas com maior resultado fiquem em um grupo e aquelas com os menores valores em outro grupo. O processo de modelagem do problema de apoio multicritério à decisão no UTADIS consiste na definição dos pesos dos critérios (pi), das funções de utilidade marginal (ui(gi)) e dos valores limites entre os grupos (ui) a partir da avaliação e classificação de um subconjunto de alternativas (chamado de conjunto de referência). Na aplicação do método UTADIS é necessário que o decisor realize a avaliação das alternativas pelos critérios e realize a classificação de um subconjunto das alternativas (Gonçalves, 2011). São utilizadas duas variáveis de erro para representar a diferença entre o modelo de classificação e a classificação do conjunto de referência, e então, através de programação linear, busca-se a minimização do erro entre o modelo e o conjunto de referência. Uma vez que a classificação do conjunto de referência e a classificação através do modelo sejam compatíveis, o restante das alternativas é classificado através do modelo. Figura 2 - Processo geral do método UTADIS (Fonte: Gonçalves, 2011) 26

31 Algumas das recentes publicações sobre método UTADIS foram selecionadas abaixo: (i) Gonçalves, Gomes e Rangel (2012) publicaram artigo sobre a classificação dos itens da pesquisa de ambiência organizacional da Petrobras em relação ao seu impacto no comprometimento organizacional ; (ii) Dimitras e Sagka (2012) escreveram sobre a formação de portfólio de seguros no mercado grego, usando o método multicritério UTADIS; (iii) Niklis, Doumpos e Gaganis (2013) realizaram uma comparação de metodologias para avaliação do risco de crédito de empresas gregas, entre as quais utilizaram o UTADIS; (iv) Laryea (2013) apresentou trabalho sobre previsão multicritério para classificação de projetos através do método UTADIS. 2.5 A ESCOLHA DO MÉTODO Tendo em vista que o problema a ser estudado neste trabalho prevê a classificação de projetos em diferentes categorias, devemos eliminar de nossas opções os métodos de ordenação, como por exemplo, o AHP e o PROMETHEE. Como citado anteriormente, os métodos classificatórios mais conhecidos são ELECTRE TRI e o UTADIS. Para este trabalho, busca-se um método classificatório de fosse de fácil entendimento e operacionalização dos cálculos. O método TODIM-FSE surge como uma boa alternativa, incorporando ainda as incertezas na tomada de decisão. 27

32 O método selecionado foi apresentado pela primeira vez por Passos (2012) e consiste em uma evolução do método TODIM (TOmada de Decisão Interativa e Multicritério), que é baseado na Teoria dos Prospectos (Kahneman e Tversky, 1979) e Avaliação Sintética Fuzzy (Fuzzy Synthetic Evaluation FSE ). Tendo em vista ser um método desenvolvido recentemente, a pesquisa bibliográfica realizada para o desenvolvimento da metodologia do TODIM-FSE resultou em poucos trabalhos, dos quais os principais são: (i) Passos et. al. (2013, op. cit.) que utilizaram o método para classificação de planos de contingência em situações de vazamento de óleo no mar; (ii) Passos e Gomes (2013, op. cit.) realizaram avaliação de estagiários para empresa de Tecnologia da Informação. 28

33 3 O MÉTODO TODIM-FSE Conforme mencionado anteriormente, o TODIM-FSE é um método multicritério de classificação de alternativas discretas que possui influência do método TODIM e da Avaliação Sintética Fuzzy (FSE). Para melhor entendimento do método TODIM-FSE, abaixo serão descritos os conceitos do TODIM e da Avaliação Sintética Fuzzy, que serão úteis para o entendimento do método proposto para este trabalho, o TODIM-FSE. 3.1 OS CONCEITOS DO MÉTODO TODIM O método TODIM é um método de análise de decisão multicritério que fornece como resultado as alternativas em ordem de preferência. O método TODIM foi apresentado por Gomes e Lima (1992) e incorpora em seu modelo a Teoria dos Prospectos ( Prospect Theory ) de Kahneman e Tversky (1979, op. cit.), onde se descreve o comportamento do ser humano face ao risco. Cada método de análise de decisão possui características próprias, podemos citar algumas do método TODIM (Gomes, Araya e Carignano, op. cit.), como: a) É um instrumento acessível a profissionais sem uma formação básica nos princípios técnicos e métodos do Apoio Multicritério à Decisão; 29

34 b) Obtém uma pré-ordem completa, em função da qual é produzida uma recomendação; c) Engloba critérios quantitativos e qualitativos; d) Permite a estruturação de critérios segundo uma hierarquia; e) Permite utilizar uma base de dados que contém imprecisão sob a forma de incerteza ou de falta de discernimento; f) Possui uma fundamentação psicológica que considera, explicitamente, o comportamento dos agentes de decisão em situações envolvendo risco Teoria dos Prospectos A Teoria dos Prospectos foi desenvolvida por Daniel Kahneman e Amos Tversky (1979, op. cit.) buscando uma alternativa à Teoria da Utilidade Esperada desenvolvida por Neumann e Morgenstern (1944). Segundo Larichev (1999), prospecto é um jogo com resultados probabilísticos. O trabalho de Kahneman e Tversky (1979, op. cit.) mostrou diversas classes de problemas de escolha nas quais as preferências sistematicamente violam os axiomas da Teoria da Utilidade Esperada e propuseram que tal teoria não seria um modelo descritivo adequado para tomadas de decisão sob a ótica do risco. O comportamento observado pelos pesquisadores mostra que nas situações envolvendo ganhos, o ser humano tende a ser mais conservador em relação ao risco e em situações envolvendo perdas, tende a ser mais propenso ao risco. Ou seja, quando se estabelece uma situação na qual se pode ganhar, prefere-se um ganho menor porém certo, a se arriscar por ganhos maiores e incertos. Em situações envolvendo perdas as pessoas preferem se arriscar a perder mais, porém com a possibilidade 30

35 de nada perderem, do que ter uma perda menor porém certa. Outro aspecto importante que também foi percebido é que o efeito associado à perda é muito maior do que o ganho equivalente. Por exemplo, a perplexidade que alguém experimenta ao perder um determinado valor é aparentemente maior do que o prazer de ganhar o mesmo valor. Este comportamento do ser humano foi verificado com experimentos onde foram montados questionários passados a uma quantidade de pessoas considerada adequada. A seguir, estão as perguntas do questionário feitas por Kahneman e Tversky (1979, op. cit.) que esclarecem as ideias expostas anteriormente e para ilustrar, apresentamos o resultado de uma das pesquisas, realizadas por Tversky e Kahneman (1981), que mostra as conclusões desses autores. Problema 1: Imagine que os Estados Unidos estejam se preparando para a eclosão de uma doença asiática pouco comum capaz de matar 600 pessoas. Há dois programas possíveis para combater a doença. (i) Se o programa A for adotado, 200 pessoas serão salvas; (ii) Se programa B for adotado, há 1/3 de probabilidade das 600 pessoas salvarem-se e 2/3 de probabilidade das pessoas não se salvarem. Segundo a pesquisa realizada, a perspectiva de salvar 200 vidas mostrou-se mais atraente do que a incerteza de ninguém se salvar (72% contra 28% dos votos). Na mesma pesquisa outro cenário foi apresentado para um grupo de pessoas, com o mesmo conteúdo e sintaxe diferente. Problema 2 (com o mesmo enunciado anterior e as alternativas de tratamento abaixo): (i) Se o programa C for adotado, 400 pessoas morrerão; (ii) Se o programa D for adotado, haverá 1/3 de probabilidade de ninguém morrer e 2/3 de probabilidade de 600 pessoas morrerem; A maioria das pessoas se mostrou mais propensa ao risco na situação de perda de vidas humanas. As pessoas não aceitam a certeza de perder 400 vidas e preferem a probabilidade de 31

36 salvar 600 vidas ainda que as chances sejam de apenas 1/3. Como resultado da pesquisa, neste cenário, 78 % das pessoas rejeitou o programa C. A utilidade esperada, calculada com base no modelo de Neumann e Morgenstern (1944, op. cit.) mostra que as duas proposições são equivalentes, mas há preferência pela alternativa cuja percepção de segurança é maior, ratificando a Teoria dos Prospectos. Côncava no Domínio dos ganhos (aversão ao risco) Convexa no Domínio das perdas (propensão ao risco) Curva mais íngreme nas perdas que nos ganhos (perdas aparecem mais que ganhos) Figura 3 - Função de valor típica da Teoria dos Prospectos (Fonte: Passos, 2012) Kahneman e Tversky (1979, op. cit.) elaboraram a curva de ganhos e perdas apresentada na Figura 2, que representa o comportamento humano frente ao risco de perdas e diante da percepção de ganhos. Os autores propuseram que essa curva deve ser: definida com os desvios ao ponto de referência, geralmente côncava para ganhos e convexa para perdas e mais inclinada para perdas do que para ganhos. A Equivalência de Probabilidade (Probability Equivalence) proposta por Hershey e Schoemaker (1985) ao entrevistarem participantes sobre suas estratégias de decisão em situações probabilísticas fixando um determinado ponto de referência ou status quo, embasados na Teoria dos Prospectos propuseram a fórmula a seguir apresentada: U( x) w w ( p) ( p) w (1 p) (1) 32

37 Onde: U(x): Função Utilidade λ: Aversão ao risco; p: Probabilidade de o evento ocorrer; w :Ganho caso o evento ocorra; w : Perda caso o evento ocorra. O método TODIM utiliza os paradigmas da Teoria dos Prospectos para a construção de um método de análise de decisão multicritério. A Teoria dos Prospectos por ela mesma não poderia ser utilizada como um método multicritério devido às suas características. Como primeiro comentário, uma alternativa em um problema de análise de decisão multicritério não pode ser analisada como um jogo, como ocorre na Teoria dos Prospectos. Isso porque os seus resultados não são mutuamente exclusivos (Gomes e Lima, 1992, op. cit.) Conceitos do Método TODIM Segundo Gomes, Araya e Carignano (2004, op. cit.), esse método tem em seu procedimento: (i) a formação de uma matriz de desejabilidades, na qual o desempenho dos critérios em cada alternativa é estimado numa escala de 0 a 10, ou mesmo outra definida pela empresa ou grupo decisor; (ii) a comparação entre critérios por pares, valorados através da escala de Saaty 2, 2 Thomas L. Saaty desenvolveu a Escala Fundamental de Saaty que relaciona escala verbal com valores entre 1 e 9. 33

38 seguida do cálculo do critério de referência, associado à teoria dos Prospectos; e (iii) o tratamento matemático dos juízos de valor. Gomes e Lima (1992, op. cit) apresentam algumas características principais do método: a) Capacidade de lidar com critérios quantitativos, facilmente quantificáveis, assim como com critérios qualitativos e que requeiram julgamentos de valor; b) Os julgamentos de valor podem ser expressos em uma escala cardinal ou verbal (por exemplo, utilizar uma escala de 0 a 9 para ordenação de alternativas com relação aos critérios e uma escala de 1 a 9 para comparações relativas entre os critérios). Gomes, Araya e Carignano (2004, op. cit.), denominam as matrizes obtidas a partir dessas escalas de Matriz de Desejabilidades Parciais e Matriz de Comparações por Pares de Critérios, respectivamente. Com o uso de escalas verbais, afirmações de valor são convertidas em valores numéricos lidos na escala cardinal. c) As leituras da escala para ordenação de alternativas são normalizadas, dividindo-se cada valor pelo máximo valor em cada coluna de uma matriz alternativa x critérios. Com isso, o peso de cada alternativa com relação aos critérios é interpretado como o valor de uma unidade da escala em que o critério é medido. d) A seguinte função de diferença aditiva pode ser usada para determinar quão dominante uma alternativa é sobre as outras: ( i, j) m c1 c ( i, j), ( i, j) (2) 34

39 c ( i, arc( w c j) 0 ( 1 ic c w a rc a rc jc )( w a ) rc ic w jc ) (3) Onde: ( i, j) = medida de dominância da alternativa i sobre a alternativa j; m = número de critérios; c = critério genérico variando de 1 a m; a rc = taxa de substituição do critério c pelo critério r, representa o chamado trade-off entre os critérios. Matematicamente, a rc = a c / a r, onde a c representa o peso do critério genérico c e a r representa o peso do critério de referência r. r = critério de referência, selecionado como o critério que possui o peso relativo total mais elevado, de acordo com a informação presente na matriz critérios x critérios de pesos relativos; os pesos podem ser calculados somando-se horizontalmente todos os elementos da matriz livre de inconsistências e normalizando-se este vetor das somas obtidas; 35

40 wic w jc = pesos das alternativas i e j para o critério c; deve-se notar wic wjc > 0 representa um ganho relativo, enquanto w w ic jc < 0 representa uma perda relativa. = fator de atenuação de perdas, usado para aumentar a representatividade da curva ajustada à nuvem de pontos relacionados à percepção de perdas do decisor. Seu valor é empírico, testado na prática para cada processo decisório. e) Os valores globais das várias alternativas são combinados para produzir uma ordenação, calculando-se os seguintes valores: n i max ( i, j) min j1 j1 n n ( i, j) min j1 j1 n ( i, j) ( i, j) (4) Onde: i = valor global da alternativa i; n = número de alternativas; Antes de iniciar a construção do modelo, os critérios deverão atender ao pré-requisito de separabilidade. Para que não haja dupla contagem dentro do mesmo modelo, os critérios deverão ser independentes. O método TODIM baseia-se também na Teoria da Utilidade Aditiva e, para que haja separabilidade entre critérios, estes devem ser mutuamente preferencialmente independentes, conforme explicitado por Robert Clemen (1996). Um 36

41 atributo Y é dito preferencialmente independente do atributo X se as preferências para resultados específicos de Y não dependerem do nível do atributo X, e vice-versa. Após a seleção dos critérios e alternativas, montam-se duas matrizes. A primeira é a Matriz de Julgamentos, que possui n (número de alternativas) linhas e m (número de critérios) colunas. É realizada então uma consulta a pessoas (tomador de decisão ou especialistas) capazes de opinar sobre a importância relativa das diversas alternativas, critérios e subcritérios do problema, sempre a partir de sua representação através da hierarquia. Estes decisores procedem com a valoração para cada uma das alternativas, critérios e subcritérios, e estes valores são inseridos na matriz. Posteriormente, faz-se a normalização através da divisão de cada coluna pelo seu maior valor. A segunda matriz é a Matriz de Comparação entre Pares de Critérios, onde se comparam os critérios dois a dois. Os valores dentro dessa matriz quadrada irão variar entre 0 e 1, como na Matriz de Julgamentos. O que se procura comparar é quantas vezes um determinado critério é mais importante que outro. Assim, depois de determinados todos os valores abaixo da diagonal principal da matriz, automaticamente estarão determinados os valores acima da diagonal principal, e estes serão iguais ao inverso dos respectivos valores simétricos em relação a essa diagonal principal. O método TODIM fornece como resultado final o valor global das alternativas sequenciadas por ordem de preferência. Para que se façam os cálculos dos valores de cada alternativa, é necessário que, antes, sejam determinadas as dominâncias de cada alternativa em relação a cada uma das outras. A incorporação do paradigma da Teoria dos Prospectos pelo método TODIM se faz pela introdução dessa função de valor nas medidas de dominância de uma alternativa sobre a outra. Em um contexto multicritério, as perdas e os ganhos são definidos como diferenças entre os valores w estabelecidos na matriz de julgamentos, para todas as alternativas, dentro de um critério c em particular, conforme visto na Equação 3. 37