FACE RECOGNITION USING COMPLEX WAVELET TRANSFORM, CLUSTERING AND FUZZY INTEGRAL

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1 FACE RECOGNITION USING COMPLEX WAVELET TRANSFORM, CLUSTERING AND FUZZY INTEGRAL André Luiz Nogueira Instituto Federal de Sergipe Lagarto, Sergipe Junior Leal do Prado Instituto Federal de Sergipe Aracaju, Sergipe Resumo Face recognition is a problem of verification or identification of a face from an image. In identification, an input face is compared with faces from a database, which purpose is to identify the input face. In this article, the proposed algorithm is compared with other technique based on a complex wavelet transform. The proposed method is basically divided into four steps. The first uses a Complex Wavelet Transform for feature extraction of faces. The second step is the application of PCA to images obtained previously. Next Fuzzy Clustering is applied that determines the prototypes of each class. Finally, the last step is to use a Fuzzy Integral responsible for the fusion of classifiers. The experimental results were made using the Yale and Essex databases and show that the proposed algorithm is superior in performance compared to other technique. I. INTRODUÇÃO O reconhecimento de faces é uma subárea do reconhecimento de padrões, que vem recebendo uma atenção especial devido a suas aplicações comerciais, de segurança e militares. Os métodos para o reconhecimento de faces [15] dividemse basicamente em três categorias: 1) métodos baseados em características (locais); 2) métodos holísticos (globais); 3) métodos híbridos (utilizam as duas abordagem anteriores). Os métodos baseados em características, primeiro processam a face para identificar e depois extrair características faciais como olhos, nariz, boca, etc. Em seguida, calculam relações geométricas entre estes pontos, reduzindo a face de entrada a um vetor com características geométricas. Algoritmos baseados em características podem ser invariantes ao tamanho, orientação e/ou iluminacção, entretanto existem desvantagens como a detecção automática de características e escolha de quais características são importantes. Os métodos holísticos descrevem as faces utilizando características globais, ou seja, sem tentar localizar pontos individuais. Estas técnicas utilizam análise estatística, redes neurais e transformações lineares ou não. Tem como vantagem utilizarem toda face, sem destruir nenhuma informação processando exclusivamente determinados pontos. Entretanto esses métodos são sensíveis a variação de posição, escala, etc, o que restringe seu uso às imagens obtidas em ambientes controlados. A combinação dos métodos baseados em características e holísticos dá origem aos métodos híbridos. O algoritmo proposto é um método híbrido, pois combina um método baseado em característica, a Transformada Wavelet Complexa e um método holístico ou estatístico, a PCA. Uma imagem de q p pixels pode ser representada por um vetor em um espaço de dimensão qp. Essa dimensão pode ser muito alta comprometendo a robustez e a velocidade do reconhecimento. Um modo comum para resolver esse problema é utilizar técnicas para redução e seleção de características. Uma das mais populares é a Análise de Componentes Principais [2], [11]. A PCA projeta os dados originais em um subespaço de dimensão reduzida, preservando a maior parte da informação original. Além da PCA, outra abordagem vem sendo empregada no reconhecimento de faces envolve a Transformada Wavelet [8], [9], [11]. Nos trabalhos iniciais, a Transformada Wavelet era aplicada na compressão, redução de ruído e detecção de características de imagens. Recentemente, foi proposta a Transformada Wavelet Complexa de árvore dupla (TWC-AD) que supera a Transformada Wavelet (real), pois é aproximadamente invariante a deslocamentos e apresenta um desempenho superior na detecção de bordas de imagens [4], [5]. No reconhecimento de padrões, outra técnica utilizada a Análise de Agrupamentos Fuzzy [6], [7], cujo objetivo é classificar os dados de acordo com a similaridade entre eles e organizá-los em grupos. Considerando as diferentes performances dos classificadores, é desejável que sua fusão produza classificadores com desempenhos melhores do que aqueles obtidos utilizando os classificadores individualmente. Baseado em [10], a Integral Fuzzy pode ser usada para fusão de classificadores. O algoritmo proposto utiliza para extração de características das imagens a TWC e a PCA, já para a classificação as técnicas empregadas são Agrupamento Fuzzy e Integral Fuzzy. Diante de uma revisão bibliográfica recentemente realizada, foi constatado que a fusão dessas abordagens supracitadas em um único algoritmo, visando ao reconhecimento de faces, X Workshop de Visão Computacional - WVC

2 ainda não foi muito explorada. Comprova-se esse fato devido a uma reduzida quantidade de publicações no meio científico que utilizam essas técnicas integradas. Nesse ínterim, o presente artigo vem contribuir com alguns passos, nesta direção, e evidenciar a superioridade do algoritmo proposto quando comparada ao método apresentado em [3]. Nas próximas seções são apresentadas as ferramentas utilizadas no algoritmo proposto neste artigo. A. PCA A Análise de Componentes Principais [1], [2], [11] é usada para determinar um subespaço, cujos vetores da base correspondem à direção de máxima variância no espaço original. A PCA é capaz de transformar um espaço de dimensão M em um espaço de dimensão N (M >> N), preservando a maior parte dos dados originais. O algoritmo PCA é descrito a seguir. A base de vetores PCA é calculada a partir de um conjunto I, de imagens de treinamento. Primeiramente, as linhas das matrizes associadas às imagens são concatenadas formando um vetor e, feito isso, calcula-se a média desse conjunto. A seguir, subtrai-se a média de cada um dos vetores de I, obtendo I 1, I 2,..., I n. Esses vetores são arranjados em uma matriz X, um vetor por coluna. gráfico da Figura 2, tem-se uma oscilação o que dificulta a localização de singularidades. Todavia, quando aplicamos a mesma função à TWC e geramos um gráfico com a magnitude dos coeficientes Wavelets, temos o gráfico da Figura 3, cujo ponto de singularidade é bem mais fácil de ser determinado, já que o gráfico não apresenta oscilações. Na Figura 4, os dois primeiros gráficos são da mesma função: um deslocado em relação ao outro. Os dois últimos gráficos da Figura 4 foram obtidos aplicando a TWR aos dois primeiros gráficos. Pode ser observado que os dois últimos gráficos da Figura 4 são diferentes, ou seja, representações diferentes para a mesma função, o que não é desejável quando se está trabalhando com reconhecimento de padrões. Os dois gráficos da Figura 5, foram obtidos aplicando a TWC aos dois primeiros gráficos da figura 4. Nesse caso, observa-se que os gráficos são praticamente os mesmos, logo, um pequeno deslocamento não pertuba a representação do sinal após a aplicação da Transformada. X = [I 1, I 2,..., I n ]. (1) onde, M = XX T a matriz de covariância do conjunto de treinamento. Os componentes principais são calculados resolvendo a equação: R T (XX T )R = Λ. (2) onde Λ, é a matriz diagonal de autovalores e R é a matriz dos autovetores. O autovetor associado ao maior autovalor indica a característica de maior variância; o autovetor associado ao segundo maior autovalor é ortogonal ao primeiro e, assim sucessivamente. Os autovalores são ordenados e apenas N autovetores associados aos maiores autovalores são usados para definir o subespaço (PCA) que, consequentemente, terá dimensão N. No algoritmo proposto, a PCA é executada nas subimagens obtidas após a aplicação da TWC. B. Transformada Wavelet Complexa A Transformada Wavelet Real [11], [13] é uma poderosa ferramenta na resolução de problemas das ciências e engenharia. Entre eles podemos destacar: redução de ruído em sinais de áudio e imagens, compressão de sinais, detecção de objetos e reconhecimento de imagens. A TWR é sensível a oscilações e não é invariante a deslocamentos. A Transformada Wavelet Complexa [4], [5] surge como uma alternativa que supera a TWR, já que é menos sensível a oscilações e é aproximadamente invariante a deslocamentos. Na Figura 2, tem-se coeficientes obtidos após a aplicação da TWR na função apresentada na Figura 1. Nota-se que no Figura 1. Sinal Original Figura 2. Sinal obtido após aplicação da TWR Figura 3. Sinal obtido após aplicação da TWC X Workshop de Visão Computacional - WVC

3 Figura 5. Sinais obtidos após aplicação da TWC Uma abordagem para implementar a TWC é a chamada TWC de árvore dupla (TWC-AD) que emprega duas Transformadas Wavelets Discretas Reais (TWDR). A primeira determina a parte real e, a segunda, a parte imaginária da TWC-AD, ou seja, ψ(t) = ψ h (t) + jψ g (t), j 2 = 1. A TWC-AD-2D é caracterizada por seis Wavelets: ψ 1 (x, y) = φ(x)ψ(y) ψ 2 (x, y) = ψ(x)ψ(y) ψ 3 (x, y) = ψ(x)φ(y) ψ 4 (x, y) = ψ(x) φ(y) ψ 5 (x, y) = ψ(x)φ(y) ψ 6 (x, y) = φ(x) ψ(y) (3) onde ψ(x) = ψ h (x) + jψ g (x) e φ(x) = φ h (x) + jφ g (x) são funções Wavelet e escala em uma dimensão. Cada nível da Transformada está associada a oito subimagens, duas subimagens aproximações e seis subimagens detalhes, cujos coeficientes são correspondentes aos ângulos -75, -45,-15,75,45,15 conforme pode ser observado na Figura 7. Figura 4. Sinais Original (Originais), transladado e sinais obtidos após aplicação da TWR Figura 6. Imagem Original X Workshop de Visão Computacional - WVC

4 µ ik = ( c j=1 1 x k v i 2 A x k v j 2 A ) 1 m 1 (7) Figura 7. Subimagens obtidas após aplicação da TWC A TWC foi utilizada neste trabalho com objetivo de reduzir efeitos indesejáveis causados por variação de iluminação, o que poderia comprometer o reconhecimento. Outra característica importante é sua seletividade direcional que permite a detecção de bordas em diferentes resoluções. C. Agrupamento Fuzzy O agrupamento é uma técnica de classificação não supervisionada de padrões (dados) em grupos (clusters). Intuitivamente, padrões semelhantes devem estar no mesmo grupo e padrões distintos devem estar em grupos diferentes. O algoritmo c-means [6], [7] é utilizado para determinar agrupamentos e seus centros. A relação entre o dado e o agrupamento (centros) é feita através de um grau de pertinência que pode variar em [0, 1], em que 0 indica exclusão total desse dado do agrupamento e 1 indica inclusão total do dado no agrupamento. Quanto mais próximo do(s) centro(s) o dado estiver, maior será seu grau de pertinência. Os dados X = {x k k = 1,...n} são classificados minimizando uma função objetivo baseada em uma norma e nos centros dos agrupamentos. A função objetivo é uma soma ponderada dos erros quadráticos entre os grupos que é definida por n c J m (X, U, V ) = µ m ik x k v i 2 A (4) sendo que 1 m, onde k=1 i=1 V = {v 1, v 2,..., v c }, v i R n (5) é o conjunto dos centros dos agrupamentos e U = (µ ik ) é uma matriz em que cada elemento µ ik representa o grau de pertinência de x k no agrupamento i. Se x k v i 2 A > 0 i, k então U, V podem minimizar J m apenas quando m > 1 e v i = n (µ ik ) m x k k=1, 1 i c, (6) n (µ ik ) m k=1 1 i c e 1 k n. O algoritmo c-means foi utilizado para se determinar os centros de cada classe (ou grupo) que, posteriormente, foram usados no cálculo da função de pertinência µ ik. D. Integral Fuzzy Integrais Fuzzy [10], [12] são funcionais não-lineares definidos com relação a uma Medida Fuzzy. Um conjunto de funções: g : P (Y ) [0, 1] (8) (P (Y ) denota a família de todos os subconjuntos de Y ) é chamado uma Medida Fuzzy se as seguintes condições forem satisfeitas: 1) g( ) = 0, g(y ) = 1; 2) g(a) g(b), A B, A, B P (Y ); 3) lim g(a i ) = g( lim A i ). i i se {A i } i=1 é uma sequência de conjuntos mensuráveis, uma Medida g λ Fuzzy satisfaz a propriedade adicional: g(a B) = g(a) + g(b) + λg(a)g(b) para todo A, B Y, A B = e para algum λ > 1. O valor de λ pode ser determinado a partir da condição g(λ) = 1, resolvendo g λ (Y ) = 1 ( n ) (1 + λg i ) 1, λ 0 λ i=1 onde λ ( 1, ) e g i é o valor da função densidade. O cálculo da Integral Fuzzy com relação à Medida g λ -Fuzzy com os valores da função densidade g i. Estes valores podem ser interpretados como grau de importância de cada um dos classificadores. De acordo com [10], a Integral Fuzzy da função h calculada sobre Y com relação Medida Fuzzy g é definida por: h(y) g(.) = sup α [0,1] [min[α, g({y h(y) α})]]. (9) Y Quando os valores de h(.) são ordenados em uma sequência decrescente, a Integral Fuzzy de Sugeno é calculada como segue abaixo: h(y) g(.) = max n i=1[min(h(y i ), g(a i ))]. (10) Y onde A i = {y 1,..., y n } denota um subconjunto de elementos do universo de discurso. Os valores de g(a i ) assumidos pela Medida Fuzzy sobre o subconjunto de elementos correspondentes é determinado por: 1) g(a 1 ) = g({y 1 }) = g 1 2) g(a i ) = g i + g(a i 1 ) + λg i g(a i 1 ), 1 i n. X Workshop de Visão Computacional - WVC

5 A equação (10) não verifica a propriedade de extensão da Integral de Lebesgue, isto é, quando a medida é aditiva a expressão acima não retorna à integral no sentido de Lebesgue. Para contornar isso, [14] propuseram a chamada Integral de Choquet calculada da seguinte maneira: n h(y)dg(.) = [h(y i ) h(y i+1 )]g(a i )h(y n+1 ). (11) Y i=1 onde A i = {y 1,..., y n } denota um subconjunto de elementos do universo de discurso. No algoritmo proposto, os valores h(y ik ) da classe k no classificador i são calculados da seguinte forma: h(y ik ) = µ ij C k (µ ij )/N k. (12) B. Estágio 2: Teste Figura 8. Estágio 1 Os valores de g i foram obtidos a partir de g i = w ip i i p i (13) onde p i denota a taxa de reconhecimento de cada classificador para um conjunto de treinamento, os valores w 1, w 2,..., w 6 são pesos associados a cada classificador e foram obtidos experimentalmente. Após a escolha da imagem que será submetida ao reconhecimento, aplica-se a TWC, obtendo-se seis subimagens T 1, T 2,..., T 6. Cada subimagem é projetada no subespaço correspondente, isto é, T 1 é projetada em S1, T 2 em S2 e assim sucessivamente. O algoritmo c-means fornece a função de pertinência associada ao vetor em cada uma das classes e em cada subespaço. A Integral Fuzzy é responsável pela fusão das funções de pertinência. Na Figura 9 tem-se o diagrama do estágio 2. A seguir é descrito o algoritmo proposto em dois estágios. II. ALGORITMO PROPOSTO O algoritmo proposto para Reconhecimento de Faces Humanas baseado na TWC, PCA, Agrupamento Fuzzy e Integral Fuzzy divide-se em dois estágios: A. Estágio 1: Treinamento Primeiro são selecionadas C imagens de cada classe (pessoa) e, se a base de imagens possui k classes, são selecionadas Ck imagens. A cada imagem selecionada é aplicada TWC, obtendo-se seis subimagens I1, I2,..., I6. Seja CI1 o conjunto as subimagens I1, CI2 o conjunto das subimagens I2 e assim por diante. Depois de concatenar cada uma das linhas das matrizes associadas às subimagens obtidas na etapa anterior, é aplicada a PCA a cada um dos conjuntos CI1,..., CI6, obtendo-se os subespaços S1, S2,..., S6. Na última etapa, o algoritmo c-means é aplicado a cada um dos subespaços gerados anteriormente, obtendo-se os centros de cada grupo. Figura 9. Estágio 2 A seguir, temos o diagrama do algoritmo apresentado em [3]. X Workshop de Visão Computacional - WVC

6 Tabelas 3 e 4 temos d = 10, 20, 30, 40, r = 64 64, c = 2 e C = 3, 4, 5. Tabela. 1.Taxa de Reconhecimento do Algoritmo Proposto Figura 10. Diagrama do Algoritmo TWC+PCA III. RESULTADOS EXPERIMENTAIS O algoritmo proposto foi implementado utilizando-se o software Matlab 7.6 (R2008a)@, em um notebook LG, Intel Core i5, com 4G de memria RAM. Foram realizados testes utilizando-se 165 imagens da base Yale (divididas em 15 classes, com 11 imagens cada classe) e 1320 imagens da base Essex (divididas em 132 classes, com 10 imagens cada classe). Na Figura 11, tem-se uma amostra da base Yale e na Figura 12, uma amostra das imagens da base Essex. As imagens das duas bases foram redimensionadas para a resolução ,1 % 76,1 % 73,3 % 10 81,6 % 84,7 % 81,9 % 15 77,5 % 81,9 % 86,6 % Tabela. 2.Taxa de Reconhecimento do Algoritmo TWC+PCA 5 68,3 % 61,9 % 66,6 % 10 72,5 % 74,2 % 78,8 % 15 76,6 % 79 % 82,2 % Tabela. 3.Taxa de Reconhecimento do Algoritmo Proposto 10 78,3 % 84,7 % 83,3 % 20 79,1 % 87,6 % 91,1 % 30 82,5 % 90,4 % 93,3 % 40 86,6 % 90,4 % 94,4 % Figura 11. Base de imagens Yale Tabela. 4.Taxa de Reconhecimento do Algoritmo TWC+PCA Figura 12. Base de imagens Essex No algoritmo proposto, para cada imagem submetida ao reconhecimento, primeiro é aplicada a TWC, que gera as subimagens que serão projetadas no subespaço PCA; e para cada vetor, no subespaço PCA, é calculado o grau de pertinência em relação aos agrupamentos. Por fim, é realizada a fusão dos classificadores. Haverá sucesso se a imagem submetida ao reconhecimento e a imagem recuperada forem do mesmo indivíduo. Caso contrário, o reconhecimento terá falhado. Os resultados na tarefa de Reconhecimento de Faces Humanas foram obtidos selecionando alguns parâmetros como a dimensão do subespaço gerado pela PCA (d), a resolução da imagem obtida após aplicação da Transformada Wavelet (r), o número de centros de cada agrupamento (c) e o número de imagens do conjunto de treinamento (C). O algoritmo proposto é comparado com o algoritmo apresentado na Figura 10, nos dois algoritmos a distância utilizada foi a euclidiana. Nas Tabelas, 1 e 2 os parâmetros utilizados foram d = 5, 10, 15, r = 32 32, c = 2, C = 3, 4, 5 e, dessa forma foram submetidas ao reconhecimento 8, 7, 6 imagens. Já nas 10 73,3 % 74,2 % 78,8 % 20 78,3 % 84,7 % 84,4 % % 86,6 % 84,4 % % 86,6 % 84,4 % Os resultados apresentados nas Tabelas 5 e 6 foram obtidos utilizando a base de imagens Essex, com resoluo 16 16, c=2, d=10,20,30,40,50, C=3,4,5. Tabela. 5.Taxa de Reconhecimento do Algoritmo Proposto 10 97,6 % 98,4 % 98,4 % 20 98,3 % 99,2 % 99,2 % 30 98,9 % 99,2 % 99,2 % 40 98,9 % 99,2 % 99,2 % 50 98,9 % 99,1 % 99,2 % Tabela. 6.Taxa de Reconhecimento do Algoritmo TWC+PCA X Workshop de Visão Computacional - WVC

7 10 90,5 % 89,8 % 91,3 % % 94 % 95 % 30 93,9 % 94,8 % 94,5 % % 94,3 % 95,6 % 50 94,4 % 95,2 % 95,1 % [14] T. Murofushi, M. Sugeno, Measures and the Choquet Integral as an integral with respect to a Fuzzy Measure, Fuzzy Sets Syst., , [15] W. Zhao, R. Chellappa, P.J. Phillips, and A. Rosenfeld, Face Recognition: A Lit- erature Survey, ACM Computing Suverys, , IV. CONCLUSÃO O reconhecimento de faces humanas é dividido em três partes: aquisição dos dados, extração de características e tomada de decisão. Para extração de características, o algoritmo proposto utiliza a decomposição da imagem através da TWC, que permite descrever cada uma das faces em seis direções e a PCA, reponsável pela redução da dimensão dos dados obtidos após a aplicação da TWC. Já na tomada de decisão utiliza a função de pertinência obtida a partir do algoritmo c- means Fuzzy, que determina os representantes de cada classe, de forma que a distância entre os elementos de uma mesma classe e seus representantes seja minimizada. A integral fuzzy é responsável pela fusão dos classificadores. Em todos os testes realizados independente da base utilizada Yale ou Essex, da resolução da imagem (16 16, ou 64 64), da dimensão do subespaço PCA (5,10,15 ou 10,20,30,40,50) e do conjunto de treinamento (3,4,5). O algoritmo proposto superou o algoritmo apresentado em [3]. REFERÊNCIAS [1] A. M. Martinez and A. C. Kak, PCA versus LDA, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, , [2] B. A. Draper, K. Baek, M. Stewart and J. R. Bevedge, Recognition faces with PCA and ICA, Computer Vision and Image Understanding, , [3] B. Dharmendar, B. K. Naveen, M. Sunitha and K. Sunanda, Dual Tree Complex Wavelet Transform for Face Recognition Using PCA Algorithm, International Journal of Research and Computational Technology, 58-70, [4] C. C. Liu and D. Q. Dai, Face Recognition Using Dual-Tree Complex Wavelet Features, IEEE Transactions on Image Processing, , [5] I. W. Selesnick, R. G. Baraniuk and N. G. Kingsbury, The Dual-Tree Complex Wavelet Transform, IEEE Signal Processing Magazine, , [6] J. C. Bezdek, Pattern Recognition with Fuzzy Objective Function Algorithms, Plenum Press, 1-13, [7] J. C. Bedzdek and J. C. Dunn, Optimal Fuzzy Partitions: A heuristic for estimating the parameters in a mixture of normal distributions, IEEE Transactions on Computers, , [8] J. C. Goswami and A. K. Chan, Fundamentals of Wavelets: Theory, Algorithms and Applications, Wiley, [9] J. L. Water, A Primer on Wavelets and Their Scientific Applications, Chapman e Hall/CRC, [10] K. C. Kwak and W. Pedrycz, Face Recognition Using Fuzzy Integral and Wavelet Decomoposition Method, IEEE Tansaction on Systems, , [11] K. Kim, S. Y. Oh and H.C. Choi, Facial Feature Extraction Using PCA and Wavelet Multi-Resolution Image, Proceedings of the 6th IEEE International Conference on Automatic Face and Gesture Recognition, , [12] M. Grabisch, T, Murofushi and M. Sugeno, Fuzzy Measures and Integrals: Theory and Applications, Phy-Verlag, [13] P. C. Yuen, D. Q. Dai and G. C. Feng, Wavelet based PCA for Human Face Recognition, Image Analysis and Interpretation,IEEE Southwest Symposium, , X Workshop de Visão Computacional - WVC