Planejamento Estático da Expansão de Sistemas de Transmissão Utilizando um Novo Algoritmo Heurístico Construtivo

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1 Planejamento Estático da Expansão de Sistemas de Transmissão Utilizando um Novo Algoritmo Heurístico Construtivo Ivo Chaves da Silva Junior Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJF, Juiz de Fora, MG, Brasil. R. Constantino Paleta 30 - apt 1503 Centro , Juiz de Fora - MG Brasil. ivoj@terra.com.br Edimar José de Oliveira Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJF, Juiz de Fora, MG, Brasil. R Américo Lobo 2385, apt 301-Progresso , Juiz de Fora - MG - Brasil. edimar@lacee.ufjf.br José Luiz Rezende Pereira Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJF, Juiz de Fora, MG, Brasil. R.Santos Dumont 401, apt 802 Granbery , Juiz de Fora - MG - Brasil. jluiz@ieee.org Paulo Augusto Nepomuceno Garcia Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJF, Juiz de Fora, MG, Brasil. R.Américo Luz 810 Bairu Juiz de Fora, MG, Brasil. pgarcia@lacee.ufjf.br Resumo. Este artigo apresenta um novo algoritmo heurístico construtivo para a solução de problemas de planejamento estático da expansão de sistemas de transmissão. O algoritmo de otimização proposto utiliza como técnica de solução a metodologia primal-dual de pontos interiores. A rede de transmissão é representada pelo modelo DC de fluxo de carga. Nesta modelagem os circuitos candidatos a expansão estão incorporadas no sistema existente, ou seja, a representação da expansão é efetuada por dentro da matriz Hessiana e do vetor gradiente de solução. A expansão é incorporada ao problema de otimização através da função tangente hiperbólica comumente utilizada em trabalhos de redes neurais. A metodologia proposta é discutida e alguns exemplos com um sistema equivalente da região sul do Brasil são usados para ilustrar os conceitos introduzidos neste artigo. Palavras-chaves. Expansão de Sistemas de Transmissão, Algoritmos Heurísticos Construtivos, Pontos Interiores, Função Tangente Hiperbólica. 1. Introdução O problema do planejamento estático da expansão do sistema de transmissão consiste em determinar entre um conjunto pré-definido de circuitos candidatos à expansão, aqueles que devem ser construídos de forma a minimizar os custos de operação e de investimento no sistema elétrico, suprindo a demanda prevista para um horizonte de planejamento. Este é um problema de natureza discreta de difícil solução e que apresenta algumas particularidades: (i) vários pontos de mínimos locais, o que leva a grande parte dos algoritmos a convergirem em direção de uma solução ótima local; (ii) a natureza combinatória do processo de planejamento que normalmente leva ao fenômeno da explosão combinatorial referente às alternativas de investimento; (iii) a possibilidade da existência de sistemas elétricos não conexos. Em virtude dessa realidade, surgiram várias técnicas e algoritmos computacionalmente muito eficientes, mas que não garantem a solução ótima do problema. Esses algoritmos são denominados de heurísticos ou aproximados. Freqüentemente, heurísticas tem sido empregadas na resolução do problema da expansão da transmissão, uma vez que esses métodos permitem obter soluções de boa qualidade em um tempo computacional aceitável, porém não garantem a otimalidade das soluções obtidas. Na literatura podem-se distinguir três grandes grupos de algoritmos para a resolução do problema de expansão da transmissão:

2 Algoritmos Heurísticos Construtivos: Usam técnicas de otimização contínua. São robustos e encontram geralmente soluções de boa qualidade com pouco esforço computacional, porém raramente encontram as soluções ótimas globais, principalmente em relação a sistemas reais e/ou de grande porte (Garver, 1970; Monticelli, 1982; Pereira, 1985; Villasana, 1985; Romero; 1999). Algoritmos de Otimização Exata: Usam técnicas de decomposição matemática (Levi, 1991; Romero, 1998; Binato, 2000) e geralmente encontram soluções ótimas globais de sistemas de pequeno e médio porte. Para sistemas de maior porte estes algoritmos ainda podem apresentar problemas de esforço computacional e em alguns casos de convergência. Algoritmos Combinatoriais: Encontram soluções ótimas ou sub-ótimas mesmo de sistemas de maior porte, mas geralmente com esforço computacional bastante elevado e até proibitivo em alguns casos. Como exemplo, podem ser citados os algoritmos genéticos (Oliveira, 2002), simulated annealing (Romero, 1996), busca tabu (Romero, 2000), GRASP (Binato, 2001) etc. Considerando o baixo esforço computacional, a robustez e o fato de que muitas propriedades e resultados dos algoritmos baseados em heurísticas construtivas encontram grande utilidade no desenvolvimento de algoritmos mais complexos, este trabalho tem como objetivo a elaboração de uma nova proposta de algoritmo heurístico construtivo que tenha capacidade de encontrar soluções de melhor qualidade quando comparado com os heurísticos construtivos existentes. 2. Formulação do Problema Representando por E o conjunto de circuitos existentes na topologia base de um sistema, C o conjunto de circuitos candidatos à expansão e por F o conjunto de circuitos fictícios, o problema de otimização referente ao planejamento estático da expansão de sistemas de transmissão pode ser formulado como: Min c. g + c. r + c. PE sa. ng nr nc n n m m k k n= 1 m= 1 k= 1 g + r + f = d i i i j Ωi (1.1) (1.2) f f (, i j) E, C θ φ (, i j) F 0 g g 0 r r 0 x 20 f = γ θ (, i j) E f = γ θ (, i j) F FIC f = PE γ θ (, i j) C x e 1 PE = (, i j) C x e + 1 (1.3) (1.4) (1.5) (1.6) (1.7) (1.8) (1.9) (1.10) (1.11)

3 f φ γ (, i j) F (1.12) γ γ (, i j) F FIC (1.13) Onde: ng é o número de geradores. nr é o número de geradores artificiais, necessários para representar o corte de carga. nc é o número de circuitos candidatos. cn é o componente de custo linear de geração (US$/MW-ano). cm é o componente de custo do déficit de energia (US$/MW-ano). ck é o componente de custo da construção do circuito candidato k (US$/ano). gi é a unidade geradora na barra i (MW). gi é o limite máximo de geração na barra i (MW). ri é a unidade geradora artificial na barra i (MW). ri é o limite máximo da geração artificial na barra i (MW). PEk é o parâmetro de expansão do circuito candidato k. f é o fluxo de potência ativa no circuito i j (MW). f é o limite de fluxo de potência ativa no circuito i j (MW). γ é a susceptância do circuito i j. di é a demanda na barra i (MW). xk é a variável de controle do parâmetro de expansão do circuito candidato k. φ é a diferença angular máxima permitida para o circuito fictício i j. θ é a diferença angular entre as barras i j. γ FIC é a susceptância do circuito fictício i j. A função objetivo (1.1) corresponde a minimização dos custos de operação do sistema, dos custos do déficit de energia e dos investimentos referentes à expansão do sistema de transmissão. A equação do balanço de potência para a modelagem DC é dada pela equação (1.2). A restrição (1.3) corresponde aos limites de fluxo de potência ativa nos circuitos existentes e candidatos e a restrição (1.4) aos limites angulares máximos permitidos aos circuitos fictícios. As inequações (1.5), (1.6) e (1.7) representam as restrições de canalização das unidades geradoras, dos geradores artificiais e das variáveis de controle dos parâmetros de expansão. Os fluxos de potência ativa nos circuitos existentes, fictícios e candidatos à expansão são dados pelas equações (1.8), (1.9) e (1.10), respectivamente. É importante mencionar que a não-linearidade existente no termo PE. θ, Eq. (1.10), é tratada pela técnica de pontos interiores (McShane, 1989; Lusting, 1991). A equação (1.11) corresponde ao parâmetro de expansão, o qual será tratado em item subseqüente. A condição (1.12) indica que a diferença angular de um circuito fictício i j deve ser suficientemente maior que a máxima permitida a um circuito existente no caminho i j. Deste modo, as diferenças angulares entre os laços fictícios

4 não modificam as aberturas angulares dos circuitos existentes na topologia corrente (Pereira, 1985). Já a condição (1.13) tem como objetivo tornar o sistema conexo. 2.1 Parâmetro de Expansão (PE) O problema de planejamento da expansão do sistema de transmissão consiste basicamente em decidir entre um conjunto de circuitos candidatos à expansão quais circuitos devem ser construídos de modo a otimizar os recursos financeiros disponíveis. Esta decisão de construção ou não de determinados circuitos é representada pelo parâmetro de expansão, onde um valor nulo deste parâmetro significa a não construção de um determinado circuito e o valor unitário a construção. Assim, o parâmetro de expansão corresponde a uma variável discreta ou inteira no problema de planejamento. Entretanto, de modo a evitar as dificuldades peculiares da resolução de problemas de programação inteira (Goldbarg, 2000), adotou-se a mesma técnica proposta inicialmente por Garver (Garver, 1970), isto é, o parâmetro de expansão pode assumir valores contínuos dentro do intervalo [0,1], o que equivale a x [0,20]. Assim, o problema que originalmente é de programação inteira passa a ser um problema de programação contínua e de fácil resolução. Os valores contínuos que podem ser assumidos pelo parâmetro de expansão são indicativos interessantes na procura de boas propostas para valores inteiros. A função escolhida para representar o PE é a tangente hiperbólica, também empregada em trabalhos envolvendo redes neurais e inteligência artificial (Kovács,1966). A função tangente hiperbólica foi escolhida por possuir as seguintes características: (i) possui valor de derivada em todo o seu domínio; (ii) a função apresenta boa sensibilidade na representação dos dois estados de decisão (0-1); (iii) as propostas de expansão encontradas utilizando a função tangente hiperbólica como parâmetro de expansão apresentaram resultados mais satisfatórios quando comparadas com outras funções (reta, sigmóide e logaritmo sigmóide); A Fig (1) mostra o comportamento do parâmetro de expansão ( PE ) em função de x. A partir do comportamento da curva foram adotados os seguintes critérios: (i) para os circuitos candidatos a expansão tem-se 0 x 20, isto permite ao parâmetro de expansão assumir qualquer valor entre o intervalo [ 0,1]; (ii) para os circuitos candidatos selecionados a construção adota-se 11 x 20 e com isso tem-se PE = 1 durante todo o processo; (iii) para os circuitos candidatos não selecionados a construção adota-se 0 x 0.01, isto é, PE 0. Diante destes critérios, é possível representar as expansões do sistema de transmissão sem que ocorram alterações na estrutura da matriz de solução, ou seja, sem afetar a ordenação da matriz Hessiana. 1.5 x e 1 PE = tanh = p / x 0 x e x Figura 1. Região de Operação do Parâmetro de Expansão (PE) Algoritmo Heurístico Construtivo Proposto Em cada etapa, o algoritmo minimiza o custo de geração, o corte de carga e o investimento na transmissão. O processo termina quando forem adicionados circuitos candidatos suficientes de maneira que não existam cortes de carga no sistema elétrico, isto é, que o sistema opere adequadamente sem déficit de energia. O algoritmo é dividido em uma etapa contínua (decisão da expansão), uma etapa discreta (operação do sistema) e uma etapa de verificação. A etapa contínua tem como objetivo a obtenção dos valores dos parâmetros de expansão de todos os circuitos candidatos à expansão e dos fluxos de potência ativa dos mesmos. Com estes valores obtidos através

5 do FPO (1.1), com 0 x 20 para todos os circuitos candidatos, o próximo passo consiste em definir entre os possíveis circuitos candidatos quais devem ser construídos. A heurística de decisão adotada é a mesma empregada por Garver. Ou seja, o circuito candidato a expansão que transportar o maior fluxo de potência ativa é o circuito que deve ser construído, isto é, adicionado a topologia corrente (topologia base + circuitos adicionados). Na etapa discreta é imposto ao parâmetro de expansão, do circuito escolhido na etapa contínua, o valor unitário que corresponde à construção do circuito, isto é, 11 x 20. Aos demais circuitos candidatos são impostos valores nulos, 0 x 0.01, que correspondem a não construção dos mesmos. Com os valores discretos, dos parâmetros de expansão, obtidos é verificado se o sistema elétrico, com as expansões realizadas, esta operando sem corte de carga. Portanto, se o sistema estiver operando adequadamente, isto é, com um valor de corte de carga menor que uma tolerância ( ε ),considera-se o plano de expansão viável para o sistema de transmissão e o processo termina. Caso contrário, voltase para a etapa contínua para procurar o próximo circuito candidato a ser adicionado à topologia corrente. Neste caso os limites dos circuitos candidatos voltam a assumir o intervalo 0 x 20, exceto aqueles que já foram incluídos (11 x 20 ). Como o plano de expansão é construído através da adição de um único circuito a cada passo do processo de resolução é possível que existam circuitos irrelevantes adicionados. Assim, o plano de expansão é submetido a uma nova etapa, denominada de etapa de verificação (Monticelli, 1982). Esta etapa tem como objetivo tentar melhorar o plano de expansão obtido através das etapas contínuas e discretas. Assim, os circuitos adicionados são colocados em ordem decrescente de custo e é simulada a retirada de cada um destes. Os circuitos retirados que não provocam cortes de carga no sistema são eliminados definitivamente do plano de expansão, restando apenas os circuitos que fazem parte da solução final, isto é, do plano final de expansão. O fluxograma do algoritmo é mostrado na Fig. (2). Entrada de Dados Topologia Base Etapa Contínua Definição do PE Continuo Etapa Discreta Definição do PE Discreto Não Plano de Expansão Viável? r ε? Sim Etapa de Verificação Plano de Expansão Final Figura 2. Fluxograma do Algoritmo Proposto. 3. Estudo de Casos Para ilustrar os resultados obtidos pela metodologia proposta serão considerados dois estudos de casos para o sistema equivalente da região sul do Brasil. Este sistema real é formado por 46 barras, 62 circuitos existentes na topologia base e 79 caminhos candidatos à expansão. Este sistema foi proposto inicialmente em (Monticelli, 1982) e vem sendo muito utilizado para validar os resultados de novos métodos para o problema de planejamento da transmissão. Os dados referentes ao sistema sul equivalente podem ser obtidos em (Binato, 2000). Os resultados encontrados pelo algoritmo proposto serão comparados com quatro algoritmos heurísticos construtivos encontrados na

6 literatura, são eles: Mínimo esforço (Monticelli, 1982), Mínimo Corte de Carga (Pereira, 1985), Villanasa-Garver (Villanasa, 1985) e Integrado (Romero, 1999). 3.1 Sistema Sul Equivalente Com Redespacho de Geração Inicialmente a análise para o sistema sul será conduzida para o caso com redespacho de geração, isto é, sem que sejam impostos valores de geração para cada unidade geradora. Para este caso, foi estipulada uma tolerância de corte de carga de 1MW e um número máximo de dois circuitos candidato por caminho. Portanto tem-se 158 circuitos candidatos e um número total de combinações possíveis de investimento no sistema de transmissão, ilustrando o problema da explosão combinatorial referente as alternativas de expansão. O plano de expansão obtido pelo algoritmo heurístico construtivo proposto para o sistema sul equivalente com redespacho de geração é apresentado na Tab. (1). Tabela 1. Plano de Expansão para o Sistema Sul com Redespacho. Circuitos adicionados pelo algoritmo proposto A solução obtida pelo algoritmo heurístico proposto, ilustrado pela Tab. (1), tem um custo total de expansão igual a US $ milhões de dólares. Em relação ao esforço computacional, o algoritmo proposto encontrou a solução ótima global em 17 iterações, sendo 8 iterações na etapa de decisão (contínua) e 9 iterações na etapa de operação (discreta). Foram gastos em média 20 iterações no método de pontos interiores em cada etapa e um tempo de processamento em torno de 47 segundos. É importante mencionar que na etapa de verificação não foi possível a retirada de nenhum dos circuitos do plano de expansão apresentado na Tab. (1). A Tab. (2) apresenta uma comparação entre os valores dos planos de expansão obtidos por cada um dos algoritmos heurísticos construtivos e o algoritmo proposto. Tabela 2. Comparação entre os Custos de Investimento. Sistema Sul Equivalente com Redespacho de Geração Heurísticos Construtivos Custo Total de Investimento (em milhões de dólares) Algoritmo de Mínimo Esforço Algoritmo de Mínimo Corte Algoritmo de Villanasa-Garver Algoritmo Integrado Algoritmo Proposto O custo de investimento obtido pelo algoritmo proposto foi o mesmo encontrado nos trabalhos (Romero, 1994 e 1998; Oliveira, 2000 e 2002). Esta topologia sempre foi considerada como sendo ótima global. É importante mencionar que as referências citadas acima fazem uso de algoritmos combinatoriais ou utilizam decomposição matemática. 3.2 Sistema Sul Equivalente Sem Redespacho de Geração Quando não é permitido o redespacho da geração, isto é, quando as unidades geradoras têm seus valores de geração pré-determinados, o esforço computacional é muito maior. Para este caso foi adotado um número máximo de três circuitos por caminho candidato e uma tolerância de corte de carga de 1 MW. Portanto, tem-se 237 circuitos candidatos e um número total de combinações possíveis de expansão para o sistema de transmissão. A melhor solução para este caso foi inicialmente publicada em (Romero, 1994) e posteriormente confirmada em (Binato, 2000) como sendo o plano de expansão ótimo global. O custo total deste plano ótimo de expansão é de US $ milhões de dólares, que corresponde a adição de 16 novos circuitos. O plano de expansão obtido pelo algoritmo heurístico construtivo proposto para o sistema sul equivalente sem redespacho de geração é apresentado na Tab. (3).

7 Tabela 3. Plano de Expansão para o Sistema Sul com Redespacho. Circuitos adicionados pelo algoritmo proposto A solução inicial obtida pelo algoritmo proposto tem um custo total de expansão de US $ milhões de dólares, com 17 circuitos adicionados. Entretanto, quando esta topologia passa pela etapa de verificação é apurado que a retirada do circuito não produz corte de carga no sistema, podendo este ser eliminado definitivamente do plano de expansão. Assim, a solução final encontrada pelo algoritmo proposto apresenta um custo total de investimento na transmissão de US $ Encontrando assim, o plano ótimo de expansão. A Fig (3) ilustra o sistema sul equivalente onde as linhas tracejadas representam as expansões realizadas e as linhas contínuas os circuitos existentes na topologia base. Figura 3. Sistema Equivalente da Região Sul Brasileira Sem Redespacho. O algoritmo proposto encontrou a solução em 35 iterações, sendo 18 iterações referentes à etapa de decisão (contínua) e 17 iterações na etapa de operação (discreta). Foram necessárias em média 25 iterações no método de pontos

8 interiores em cada etapa, sendo gasto um tempo de processamento em torno de 166 segundos. Na etapa de verificação foram gastos aproximadamente 2.5 segundos. Deste modo, o tempo total de CPU utilizado foi de aproximadamente de 169 segundos. Novamente, nenhum dos algoritmos heurísticos construtivos foi capaz de encontrar a solução ótima global para o caso sem redespacho. Os valores dos planos de expansão obtidos por cada um dos algoritmos heurísticos construtivos são apresentados pela Tab. (4). Tabela 4. Comparação entre os Custos de Investimento. 4. Conclusões Sistema Sul Equivalente sem Redespacho de Geração Heurísticos Construtivos Custo Total de Investimento (em milhões de dólares) Algoritmo de Mínimo Esforço Algoritmo de Mínimo Corte Algoritmo de Villanasa-Garver Algoritmo Integrado Algoritmo Proposto Este Trabalho apresentou um novo algoritmo heurístico construtivo para a resolução do problema da expansão de sistemas de transmissão. O algoritmo construtivo proposto apresenta dois fatores importantes que o diferem dos demais heurísticos construtivos: (i) utiliza como técnica de solução a metodologia primal dual de pontos interiores, permitindo assim a inclusão de não linearidades ao problema de planejamento; (ii) a expansão, modelada pela função tangente hiperbólica, é representada por dentro da matriz Hessiana de solução não havendo necessidade de reordenar a matriz a cada etapa do processo de resolução. Os resultados mostraram o excelente desempenho do algoritmo proposto quando comparado com os demais heurísticos construtivos, uma vez que as soluções encontradas pela metodologia proposta, para o sistema equivalente da região sul do Brasil, até então só haviam sido alcançadas através de algoritmos combinatoriais e algoritmos que utilizam decomposição matemática. 5. Referências Binato. S, 2000, Expansão Ótima de Sistemas de Transmissão através de Decomposição de Benders e Técnicas de Planos Cortantes. Tese de Doutorado, COPPE - Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, Abril. Binato S.; Oliveira G. C.; Araújo L., 2001, A Greedy Randomized Adaptive Search Procedure for Transmission Expansion Planning, IEEE on trans on PAS, Vol 16, Nº 2, May. Garver, L.L., 1970 Transmission Network Estimation Using Linear Programming, IEEE trans.on PAS, Vol.89, Nº7, September. Goldbarg M.C, Luna. H.P., 2000 Otimização Combinatória e Programação Linear, Editora Campus. Kovács Z. L., 1966, Redes Neurais Artificiais Fundamentos e Aplicações, Editora Acadêmica. Levi, V., Calovic, M. S., 1991, A New Decomposition Based Method for Optimal Expansion Planning of Large Transmission Networks, IEEE trans. on PAS, Vol. 6, Nº 3, August. Lusting I.J., Marten R.E. e Shamo D.F., 1991, Computation Experience with a Primal-Dual Interior Point Method for Linear Programming, Linear Algebra and its Applications 152: Mc Shane K.A., Monma C.L e Shamo D.F., 1989, The Implementation of a Primal-Dual Interior Point Method for Linear Programming. ORSA Journal on Computing 1: Monticelli, A., Junior, A. S., Pereira, M. V. F., Cunha, S. H., Parker, B. J., Praca, J. C. G., 1982, Interactive Transmission Network Planning Using a Least-Effort Criterion, IEEE trans. on PAS, Vol. 101, Nº 10, October. Oliveira, S.; Romero, R., 2002, Algoritmo Genético Paralelo Aplicado ao Planejamento da Expansão da Transmissão. Anais do XIII Congresso Brasileiro de Automática, Setembro. Pereira, M. V. F., Pinto, L. M. V. G., 1985, Application of Sensibility Analysis of Load Supplying Capability to Interactive Transmission Expansion Planning, IEEE trans. on Power Apparatus and Systems, Vol. 104, Nº 2, pp , February. Romero, R., Monticelli, A., 1994, A Hierarchical Decomposition Approach for Transmission Network Expansion Planning, IEEE trans. on Power Systems, Vol. 9, Nº 1, February. Romero, R.; Gallego, R. A.; Monticelli, A., 1996, Transmission System Expansion Planning by Simulated Annealing, IEEE Transaction on Power Systems. Romero, R.; Monticelli, A., 1998, Algoritmo de Branch and Bound Usado no Planejamento de Sistemas de Transmissão. Anais do XII Congresso Brasileiro de Automática, Setembro. Romero, R.; Rocha, C., 1999, Planificación de Sistemas de Transmisión Usando un Algoritmo Heurístico Construtivo, XII Congreso Chileno de Ingenieria Eléctrica.

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