CONTROLADOR LÓGICO PROGRAMÁVEL
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- Júlia Bergmann Martins
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1 Disciplina: Controladores Lógicos Programáveis CONTROLADOR LÓGICO PROGRAMÁVEL Introdução: Afinal o que é um CLP? A NEMA, National Electrical Manufacturers Association (entidade dos Estados Unidos da América), define um controlador lógico programável (CLP), como: um controlador programável é um equipamento eletrônico de funcionamento digital e que utiliza uma memória programável para o armazenamento interno de instruções para implementar funções específicas, tais como lógica, seqüenciamento, temporização, contagem e aritmética, para controlar por meio digital ou analógico as entradas /saídas de vários tipos de máquinas ou de um processo. Controladores lógicos programáveis, ou controladores programáveis, são considerados, hoje em dia, como computadores industriais especializados. O CLP aceita entradas tais como interruptores e sensores, por exemplo, avalia-as baseado em um programa (lógica), e altera os estados das saídas para controlar uma máquina ou processo. Professor Moacir Machado
2 Inicialmente os controladores lógicos programáveis foram usados para substituir a tradicional lógica de relé, porém, com a sua crescente funcionalidade é encontrado em muitas aplicações mais complexas. 1. UMA BREVÍSSIMA HISTÓRIA DO CLP O advento do CLP começou nas décadas de 1960 e 1970, para substituir os tradicionais controles por hardware por meio de fios e, desde então, é a opção predominante para controles industriais. Antes do CLP, a maioria do controle das máquinas era realizado por contatos de relés. O controle era realizado por meio da "lógica" de hardware através do posicionamento adequado de fios. Alterações à lógica do trabalho eram demoradas e também dispendiosas. Em 1968, a divisão Hidramática da General Motors especificou os critérios para a concepção do que se tornaria o primeiro controlador lógico programável. Eles solicitaram um sistema de estado sólido que: sobrevivesse ao ambiente industrial e pudesse ser facilmente programado pela unidade de engenheiros e técnicos, e que também pudesse ser reprogramado e reutilizado. A proposta vencedora foi de Bedford Associados - que introduziu o controlador digital Modular (Modicon). A Modicon ainda hoje é uma popular marca de CLP, e atualmente é propriedade da Schneider Electric. Outras marcas de fabricantes de CLP são: Allen-Bradley, Siemens, Omron, e GE. A indústria automotiva foi o grande início para os controladores lógicos programáveis (CLP). Eles queriam um método de programação que pudesse ser facilmente compreendida pelos seus engenheiros de controle e técnicos existentes à época. O resultado deste desejo foi uma linguagem de programação chamada Relay Ladder Logic (ou "escada lógica"). 2
3 O layout da Lógica Ladder é muito semelhante à leitura para os diagramas de comando que utilizam relés para controles. A Lógica Ladder é ainda hoje uma das mais populares linguagens para a programação de CLP, contudo muitas outras têm sido desenvolvidas ao longo dos anos. 2. COMPONENTES BÁSICOS DO CLP A utilização de Controladores programáveis tem crescido em todas as aplicações industriais de controle, devido à facilidade que eles trazem para realizar um controle, tais como: a facilidade de programação, a facilidade de instalação elétrica, a facilidade de instalação do equipamento e da facilidade de mudança. Os CLP abrangem uma ampla gama de tamanhos, mas todos contêm seis componentes básicos: 1. processador ou unidade central de processamento (CPU); 2. rack para montagem. 3. bloco de entrada; 4. bloco de saída; 5. alimentação; 6. unidade de programação, dispositivo, ou software utilizável em um PC. A Figura 1 apresenta o trilho para fixação do CLP no local da aplicação. A Figura 2 nos apresenta um tipo de CLP de pequeno porte. Figura1- Trilho DIN para montagem do CLP no painel elétrico. 3
4 Figura 2- Controlador Lógico Programável de pequeno porte e suas partes constituintes. Vamos começar com os componentes físicos explicando o que você vê ao olhar para um sistema CLP - e, em seguida, explorar o que se passa no interior de cada parte, e como os elementos se relacionam entre si. A maioria dos médios a grandes sistemas de CLP são montados de tal forma que os componentes individuais - CPU, Entradas / Saídas, Fonte de Alimentação- são módulos distintos que são mantidos juntos dentro de um rack. Em pequenos sistemas de CLP, todos estes componentes podem estar contidos em um módulo único. 4
5 2.1 Fonte de Alimentação A fonte de alimentação interna fornece corrente contínua para operar a lógica do processador e dos circuitos de entrada / saída dos módulos. As tensões de alimentação mais utilizadas são as tensões de 24V DC ou, 120 VCA. 2.2 Processador (CPU) O processador, unidade central de processamento, ou CPU é o "cérebro" do CLP. O tamanho e o tipo de CPU irão determinar coisas como: as funções de programação disponíveis, o tamanho da aplicação lógica que pode ser realizada, a quantidade de memória disponível, e a velocidade do processamento. 2.3 Conjunto de Entradas/saídas (Input/Output) As entradas transportam sinais a partir do processo para o controlador e que podem ser, por exemplo, interruptores e sensores de pressão, dentre outras possibilidades. Estas entradas são como os sentidos e são os sensores do CLP. Saídas são os dispositivos que o CLP utiliza para enviar as alterações para o mundo. Estes dispositivos são os atuadores do CLP e que podem mudar para ajustar ou controlar o processo. Motores, lâmpadas, relés e bombas são exemplos destes dispositivos. Diversos tipos de entradas e saídas podem ser conectadas a um CLP. Elas podem ser divididas em dois grandes grupos: analógico e digital. Entradas e saídas digitais são 5
6 aquelas que operam, devido a uma mudança denominada discreta ou binária, tal como: ligado / desligado, sim / não. Entradas e saídas analógicas mudam continuamente seu valor, ao longo de uma faixa variável, tal como a pressão e a temperatura. 2.4 Dispositivo de Programação O CLP é programado por meio de um dispositivo programador específico, ou um software em um computador, que pode carregar e alterar a lógica para o seu interior. A maioria dos modernos CLP são programados usando-se o software em um PC ou computador portátil. Sistemas mais antigos utilizam um dispositivo de programação personalizado. 3. OPERAÇÃO BÁSICA DE UM SISTEMA CLP O funcionamento de um CLP é simples e direto. O Processador ou a CPU compreende três processos: (1) escaneia ou " lê" os sinais de entrada - a partir de dispositivos de entrada - e atualiza a tabela das entradas, (2) executa ou "resolve" o programa lógico feito pelo usuário- e atualiza a tabela de saídas, (3) "escreve", nos dispositivos de saída. 6
7 Módulo de Entrada Dispositivo de Entrada 1 Tabela Imagem da Entrada Programa do Usuário Dispositivo de Saída Módulo de Saída 3 Tabela Imagem da Saída 7
8 1- Processador do controlador lógico programável efetua a leitura dos estados do módulo de entrada e a atualização da tabela imagem. 2 Processador do CLP executando continuamente o programa lógico do usuário, baseado na tabela imagem da entrada. 3 - Processador do controlador lógico programável atualizando continuamente a tabela imagem das saídas, baseado na solução do programa do usuário. 4 - Processador do CLP ativando ou desativando continuamente os estados dos módulos de saída de acordo com a tabela imagem das saídas. 3.1 Programa do CLP Para que um CLP seja útil, é preciso primeiro ter um programa ou lógica para a CPU executar. Um engenheiro de sistemas ou um técnico programador de CLP irá primeiro criar o programa lógico em um software rodando em um computador pessoal. Essa lógica de programação deve ser escrita em linguagem específica de programação, tal como: Lógica Ladder, Lista de Instruções, Gráfico de Função Seqüencial, ou qualquer uma das linguagens padronizadas pelo IEC. O programador irá, então, fazer o download do programa, denominado programa aplicativo, para o CLP. Isto é feito conectando-se temporariamente, através de um cabo, o PC ao CLP. Uma vez que o programa é instalado ou transferido para a CPU não é mais necessário que o PC permaneça ligado. 3.2 Varredura Básica Uma vez que o programa está na CPU, o CLP é posto para funcionar função também conhecida como "run"- e o CLP passa a executar o programa aplicativo repetidamente. 8
9 Além de executar o programa, a CPU lê regularmente o status dos dispositivos de entrada, processa estas informações segundo a lógica do programa aplicativo, e envia os dados para os dispositivos de saída. O sistema detecta o estado de entrada oriundo do mundo real (por exemplo: uma chave, um sensor de nível, um sensor de pressão, um sensor de proximidade, etc), traduz estes valores para outros valores que podem ser utilizados pela CPU, e escreve os valores de entrada para uma "tabela imagem" das entradas. Em seqüência o programa aplicativo é executado, e grava os valores para a "tabela imagem" de saída. O sistema de Saída, em seguida, converte o valor de saída para um valor adequado a uma mudança do mundo real (por exemplo: motor ligado, válvula aberta, etc). Este processo de leitura das variáveis de entradas (oriundas do mundo real), a execução lógica do programa e a escrita nas saídas é chamado de varredura (Scan ou Sweep) do CLP. A CPU continuamente Lê as entradas, Resolve a lógica do programa aplicativo, e 9
10 Escreve nas saídas (existem outras tarefas que a CPU executa - que será discutido mais tarde). É importante compreender a varredura, pois pode ditar o modo como um programador estrutura a lógica de programação. 3.3 Memória O programa de controle ou programa aplicativo é armazenado na memória, e assim como o CLP executa a lógica de controle ele pode também ler e armazenar os valores na memória. Os valores também podem ser utilizados e referenciados pelo programa aplicativo. 4. DISPOSITIVOS DE ENTRADA E SAÍDA DO CLP O conceito de I/O refere-se à entrada / saída do CLP. I/O é a informação que representa os dados que são recebidos a partir de dispositivos sensores e também representa os comandos que são enviados para os atuadores e dispositivos de indicação (do mundo real). O Sistema de I/O é o conjunto de elementos físicos do sistema de controle o qual pode fornecer ou utilizar os dados de I/O. Existem dois tipos principais de I/O: 1. Digital - dispositivo binário, o qual deve estar em um de apenas dois estados possíveis: ligado ou desligado. 2. Analógicos - dispositivos contínuos, que "sentem" e respondem a uma determinada faixa de valores. 4.1 I/O Digital 10
11 O dispositivo de entrada digital pode estar na condição de ligado ou desligado e não pode assumir qualquer outro valor. Por exemplo, sensores digitais de posição não indicam a localização exata de um objeto, mas somente se este objeto está dentro de uma determinada área de interesse. Dentre os dispositivos de campo utilizados como entrada para o CLP podemos citar as: chaves de pressão, chaves fim de curso, interruptores e fotosensores. Dentre os dispositivos de campo interligados a saída do CLP, podemos citar: relés, motor de partida, e válvulas solenóides. 4.2 I/O Analógica Os dispositivos de Entrada analógicos detectam variáveis contínuas. A informação que eles fornecem é dada dentro de uma faixa contínua de valores, e não somente uma indicação de ligado ou desligado. Como entradas analógicas típicas podem ser citadas a pressão, a temperatura e a velocidade, dentre outras. Os dispositivos de saída analógica respondem a uma série de valores de saída do controlador. As saídas analógicas mais comuns incluem velocidade de um motor, posição de uma válvula, pressão atmosférica, etc. Os módulos de I/O conectam o "mundo real" dos dispositivos de campo ao controlador. Eles convertem os sinais elétricos utilizados nos dispositivos de campo em sinais eletrônicos que podem ser utilizados pelo sistema de controle, traduzindo estes valores do mundo real para uma tabela de I/O interna ao CLP. Os módulos de I/O comunicam-se com a CPU do CLP de um dos três modos possíveis: Módulos Compactos de CPU + I/O localizados no mesmo rack ou estação- neste caso a comunicação tem lugar dentro do rack (prateleira) ou através da parte traseira do equipamento. 11
12 Módulos de expansão de I/O- são módulos que permitem que os módulos I/O estejam localizados nas mesmas prateleiras ou estações que a CPU do CLP, mas fisicamente separados do controlador. Dispositivo de rede - módulos que podem se comunicar com um controlador através de uma rede. As redes industriais são utilizadas para interligar dispositivos de campo com os controladores. As redes mais comuns são FieldBus, Profibus, e DeviceNet. SISTEMA DE CLP 5. PONTO DE CONTAGEM DE I/O E O TAMANHO DO O número de dispositivos de I/O utilizados dentro de um sistema de controle é chamado de "ponto de contagem". Dados oriundos de dispositivo Analógico requerem significativamente mais manipulação e processamento do que dados oriundos de dispositivo digital. Pontos de contagens digitais e analógicos são considerados separadamente. O número total de pontos digitais e analógicos é usado para dar uma indicação do tamanho de um sistema de controle. 6. LÓGICA LADDER A Lógica Ladder, ou Diagrama Ladder, é a mais comum das linguagens de programação utilizadas para programar um CLP. 12
13 A Lógica Ladder foi uma das primeiras abordagens utilizadas para a programação de CLP. Ela tomou emprestado a simbologia dos diagramas elétricos de relés o qual era de domínio dos eletricistas das plantas industriais. Os símbolos utilizados na Lógica Ladder consistem de um barramento de alimentação posicionado à esquerda e outro à direita. Já os circuitos individuais são conectados da esquerda do barramento de alimentação para o barramento de alimentação da direita. A lógica de cada circuito (ou degrau) é resolvido a partir da esquerda para a direita. Os símbolos desse esquema lembram uma escada - com duas calhas laterais e circuitos que lembram degraus em uma escada. A imagem acima tem um único circuito ou "degrau" da escada. 1. Se a Entrada 1 está energizada-ligada (ON) (ou verdadeiro) a alimentação (lógica) completa o circuito vindo do barrramento da esquerda para o barramento da direita, o que leva a Saída 1 para energizado-ligado (ON) (ou verdadeiro). 2. Se a Saída 1 está desenergizada-desligada (OFF) (ou falso) - então o circuito não é concluído e a lógica não flui para a direita - e a Saída 1 está desenergizada-desligada. (OFF). Existem muitos símbolos disponíveis na Lógica Ladder - incluindo Temporizadores, Contadores, Funções Matemáticas, e Movimentação de Dados de tal forma que qualquer condição lógica ou condição de malha de controle podem ser representados em Lógica Ladder. Com apenas uma porção de símbolos base - Contato Normalmente Aberto, Contato Normalmente Fechado, Bobina Normalmente Aberta, Bobina Normalmente Fechada, Temporizador, Contador muitas condições lógica podem ser representadas. 13
14 / Parte Básico da Logica Ladder: Contatos & Bobinas - Normalmente Abertos Com apenas o Contato Normalmente Aberto e a Bobina Normalmente Aberta é possível uma surpreendente variedade de condições lógicas básicas que podem ser representadas. Contato Normalmente Aberto. Este tipo de contato é usado para representar qualquer entrada para a lógica de controle - um interruptor ou sensor, um contato vindo de uma saída, ou apenas uma saída interna (virtual). Quando da resolução do programa aplicativo, uma determinada entrada pode ser levada para a condição de ligada (ON - nível lógico 1). Se ela estiver na condição de ligada (ON), o contato será fechado e permitirá o fluxo de alimentação (lógica) da esquerda para a direita. Por outro lado, se o estado da entrada for de desligado (OFF- nível lógico 0), o contato é aberto e não haverá fluxo de alimentação (lógica) da esquerda para a direita. Bobina Normalmente Aberta. Este símbolo é usado para representar qualquer saída discreta da lógica de controle. Quando da resolução do programa aplicativo, se a lógica à esquerda da bobina é VERDADEIRA, a saída é energizada-ligada (ON- nível lógico 1). 14
15 Resolvendo um degrau simples Suponhamos que uma chave é conectada a Entrada 1 do CLP, e uma lâmpada é conectada através da Saída 1. A lâmpada não brilha (está desligada) quando a Saída 1 está desenergizada-desligada (OFF), e brilhará quando a Saída 1 estiver energizadaligada (ON). Quando a Entrada 1 = OFF (nível lógico 0) o contato permanece aberto e a alimentação não flui da esquerda para a direita. A saída 1 permanece OFF (nível lógico 0) e a lâmpada não brilha. Quando a Entrada 1 = ON (nível lógico 1), então, o contato fecha, a alimentação flui da esquerda para a direita. A Saída 1 = ON (nível lógico 1) e a lâmpada brilha. / Parte Básico da Logica Ladder: Contatos & Bobinas - Normalmente Fechado Outro conjunto de contatos e bobinas básico, e que podem ser utilizados na Lógica Ladder, são os Contatos Normalmente Fechados e as Bobinas Normalmente Fechadas. Estes trabalham tal como os seus homólogos normalmente aberto, só que de modo contrário. Quando da resolução do programa aplicativo, se o sinal do mundo real, que está conectado à entrada do CLP, é = OFF (nível lógico 0) a alimentação (lógica) fluirá da 15
16 esquerda para a direita. Se o estado da entrada for ON (nível lógico 1) a alimentação (lógica) não fluirá da esquerda para a direita. Quando da resolução do programa aplicativo, se a lógica da bobina é o nível lógico 0, a alimentação será aplicada ao dispositivo de campo conectado à porta de saída do CLP. Se, por outro lado, a lógica da saída do CLP for nível lógico 1, significa que a alimentação não será aplicada ao dispositivo de campo conectado à porta de saída do CLP. OU 6.3 Básico da Lógica Ladder: O degrau da lógica E, e o degrau da lógica O Degrau da Lógica E A lógica E é uma condição lógica fundamental e que é facilmente representada na Lógica Ladder. Suponhamos que uma chave é conectada a entrada denominada Chave 1, uma segunda chave é conectada a entrada denominada Chave 2, e uma lâmpada é conectada através da saída denominada Lâmpada 1; de tal modo que a lâmpada está desligada quando Lâmpada 1 = OFF, e está ligada quando Lâmpada 1 = ON. Isto se assemelha a uma lâmpada em um corredor de uma casa onde dois interruptores, em ambas as extremidades do corredor, podem ligar / desligar a luz. 16
17 Para que a Lâmpada 1 ligue, a Chave 1 E a Chave 2 devem ambas estarem ON. Se a Chave 1 = OFF, a alimentação (lógica) flui do barramento a partir da esquerda, mas pára na Chave 1. A lâmpada 1 estará desligada (OFF) independentemente do estado da Chave 2. Se a Chave 1 = ON, a alimentação chega até a Chave 2, mas se a Chave 2 = OFF, a alimentação não pode mais fluir para a direita, e a Lâmpada 1= OFF. Por outro lado, se a Chave 1 = ON E a Chave 2 = ON, o fluxo de alimentação para a Lâmpada 1 é estabelecido e seu estado lógico = ON. A Lâmpada brilhará. O Degrau da Lógica OU A lógica OU é uma condição lógica fundamental e que é facilmente representada na Lógica Ladder. Suponhamos que uma chave é conectada a entrada denominada Chave 1, uma segunda chave é conectada a entrada denominada Chave 2, e uma lâmpada é conectada através da saída denominada Lâmpada 1; de tal modo que a lâmpada está desligada quando Lâmpada 1 = OFF, e está ligada quando Lâmpada 1 = ON. Neste exemplo, queremos que a luz acenda-se quando a Chave1 OU a Chave2 estiver ligada (ON). Se a Chave 1 = ON, a alimentação flui para a Lâmpada 1, ligando-a (ON). Se a Chave 2 = ON, a alimentação também flui até a Lâmpada 1, ligando-a (ON). Se a Chave 1 e a Chave 2 são ON, a Lâmpada 1 é ligada (ON). A única maneira da Lâmpada 1 estar desligada (OFF) é se a Chave1 e também a Chave 2 estiverem desenergizadasdesligadas (OFF). 17
18 6.4 Temporizadores & Contadores Básicos Muitas vezes queremos atuar em um programa de controle baseado não somente nos estados de entradas e saídas discretas. Às vezes necessitamos que uma ação ocorra depois de um determinado atraso, ou então contar o número de vezes que uma chave é acionada. Para realizar estas tarefas simples, dispomos de Temporizadores e Contadores. Temporizadores Básicos Um temporizador é simplesmente um bloco que tem uma entrada e uma saída que se altera baseada no tempo. Existem dois tipos básicos de temporizadores, o temporizador na energização (On-Delay Timer) e o temporizador na desenergização (Off-Delay Timer). 1. On-Delay Timer - este temporizador tem uma entrada (IN) e, quando acionado por esta entrada (nível lógico 1), espera um tempo pré-seletado para em seguida comutar a sua saída para ON (ou, em outras palavras, permite a lógica fluir após o retardo de tempo). No terminal denominado PT é onde colocaremos o fator que, multiplicado pela base de tempo do temporizador, nos dará o atraso de tempo desejado. 18
19 2. Off-Delay Timer - este temporizador tem uma entrada (IN) e, quando acionado por esta entrada (nível lógico 1), comuta imediatamente a sua saída para ON (nível lógico 1). Quando a entrada (IN) é desenergizada (vai para nível lógico 0) o temporizador ainda mantém a sua saída energizada (ON - nível lógico 1), e somente comutando-a para OFF (nível lógico 0) depois de transcorrido o tempo pré-seletado. No terminal denominado PT é onde colocaremos o fator que, multiplicado pela base de tempo do temporizador, nos dará o atraso de tempo desejado. Contador Básico Um contador básico realiza a contagem do número de eventos que ocorrem em uma entrada. Existem dois tipos básicos de contadores Contador Crescente (Up counter) e Contador decrescente (Down counter). 1. Contador Crescente (Up Counter) - como seu nome indica, a cada evento* ocorrido na entrada (CU) do contador, ele incrementa uma unidade em sua contagem. Depois de transcorridos tantos eventos quantos foram os eventos préseletados, a saída do contador é energizada (ON- nível lógico 1). No terminal denominado PV é onde colocaremos o total de eventos que desejamos que fosse contado. O terminal R do contador permite que a contagem seja reinicializada a qualquer tempo, bastando que a Entrada 4 seja energizada-ligada (ON nível lógico 1). 19
20 2. Contador Decrescente (Down Counter) neste tipo de contador, a cada evento* ocorrido na entrada (CD) do contador, ele decrementa uma unidade em sua contagem. Depois de transcorridos tantos eventos quantos foram o total de eventos pré-seletados, a saída do contador é energizada (ON- nível lógico 1). No terminal denominado PV é onde colocaremos o total de eventos que desejamos que seja decrementado. O terminal R do contador permite que a "decremento da contagem" seja reinicializada a qualquer tempo, bastando que a Entrada 7 seja energizada-ligada (ON nível lógico 1). evento*- será contado um evento a cada borda de subida do nível lógico 1 existente na entrada IN do contador. ligado desligado 20
21 7. COMUNICAÇÕES COM PL C Para controlar uma máquina ou processo, muitas vezes vários controladores ou dispositivos inteligentes devem trabalhar juntos para realizar tal tarefa. Para conseguirem trabalhar em conjunto, esses dispositivos devem se comunicar. Antes mesmo de o CLP começar a funcionar, é necessário transferir a configuração lógica de controle desenvolvida no PC para a CPU do CLP. Isto significa que uma comunicação entre os dois dispositivos deve ser estabelecida. Por esta razão, é importante que tenhamos uma compreensão, ainda que básica, de como se processa a comunicação do CLP. 7.1 Rede de Comunicações Industriais Uma rede de comunicações industriais é um sistema formado por dispositivos eletrônicos que estão ligados com a finalidade de compartilhar informações entre si. A rede pode ser composta por: CLP atuando como controlador, dispositivos de I/O, interfaces para o operador e computadores HMI/SCADA, além de muitos outros possíveis elementos. Cada elemento tem um endereço na rede o que possibilita somente um único nome ou rótulo para cada um dos diferentes dispositivos. Redes Industriais possibilitam comunicação bidirecional e em tempo real. Cada dispositivo tem componentes eletrônicos específicos para permitir a: transferência de dados entre os elementos; partilha de uma mesma mídia; comunicação segundo um mesmo protocolo. 21
22 Protocolos de Rede Industrial Os protocolos de rede estabelecem as regras que devem ser seguidas por dois ou mais dispositivos para compartilhar dados. Eles descrevem como os dispositivos estabelecem e mantêm as comunicações. Exemplos de protocolos de rede comunicação incluem DeviceNet, Profibus-DP, e Ethernet. Rede Determinística Muitas redes industriais são determinísticas. Se uma rede é determinística, isto significa que a comunicação ocorre dentro de um determinado intervalo de tempo. As redes industriais determinísticas existem porque muitos sistemas de controle exigem resposta em tempo real aos dados. 22
ü Na década de 1920 os dispositivos mecânicos foram substituídos pelos relés; ü O uso da lógica de relés dificultava modificações do processo;
O que são? CLP - CONTROLADOR LÓGICO PROGRAMÁVEL ü O CLP é um computador industrial, capaz de implementar funções de controle (sequência lógica, contagem e temporização), operações lógicas e aritméticas,
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