A PESQUISA SOBRE NÚMEROS RACIONAIS E DIVISÃO: REVISÃO BIBLIOGRÁFICA, ANÁLISE E PROPOSTA TEÓRICO-METODOLÓGICA

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1 A PESQUISA SOBRE NÚMEROS RACIONAIS E DIVISÃO: REVISÃO BIBLIOGRÁFICA, ANÁLISE E PROPOSTA TEÓRICO-METODOLÓGICA Regina da Silva Pina Neves Universidade Federal de Goiás reginapina@gmail.com Maria Helena Fávero Universidade de Brasília faveromh@brturbo.com.br Resumo: Os relatórios de avaliação oficiais do Ministério da Educação do Brasil apontam baixo desempenho dos alunos nas tarefas envolvendo a divisão e o número racional. Esses dados confirmam o consenso apontado nos estudos brasileiros e internacionais entre as décadas de 1980 e 1990 sobre as dificuldades de alunos e de professores em lidar com o conceito de número racional, com o algoritmo da divisão e com a lógica de sua notação (Saiz,1996, Bryant e Nunes 1997). Sendo assim, o presente trabalho tem como objetivo a pesquisa bibliográfica de estudos brasileiros e internacionais recentes centrados na divisão e no número racional, sua análise do ponto de vista teórico e metodológico, a identificação de possíveis aspectos consensuais e a elaboração de uma proposta metodológica para o ensino. Para tanto, analisamos 55 referências divididas em duas categorias: pesquisas sobre resolução de problemas e pesquisas de intervenção. Os resultados mostram que a maioria dos estudos assumiu como aporte teórico a teoria dos campos conceituais; trabalhou com estudantes do Ensino Fundamental; teve como objetivos descrever e analisar as dificuldades de estudantes e professores. Ademais, revelam o baixo número de pesquisas de intervenção. Palavras-chaves: Divisão; Números racionais; Regulações cognitivas. INTRODUÇÃO Em 1997, os Parâmetros Curriculares Nacionais já apontavam, na análise do desempenho em matemática de estudantes do Ensino Fundamental e Médio, dificuldades particulares com relação à divisão e os números racionais. Essas dificuldades também foram observadas nos relatórios oficiais do Sistema de Avaliação da Educação Básica SAEB e confirmam as dificuldades de alunos em lidar com o conceito de número racional, tomado como um procedimento simples de contagem dupla em situações estáticas de 1

2 parte-todo, com o algoritmo da divisão e com a lógica de sua notação (Saiz, 1996, Bryant e Nunes 1997). Esse documento já propunha, na década de 1990, ações para a prática docente. Quanto à divisão percebemos que a defesa era no sentido de permitir aos estudantes a compreensão de seus significados; das relações existentes entre as diferentes operações e o estudo reflexivo do cálculo, contemplando: o cálculo exato e aproximado, o mental e o escrito. No que se refere aos números racionais, que o trabalho docente deveria abordar a localização de números racionais na reta numérica e o desenvolvimento da compreensão de que esses números podem ser escritos nas formas decimal e fracionária, possibilitando que relações entre números nessas representações fossem estabelecidas. Além disso, defendia que os estudantes deveriam ser capazes de comparar e de ordenar não somente números naturais, mas também números inteiros e racionais. Ademais, destacava a necessidade de incentivar a criação de algoritmos alternativos e a análise dos algoritmos-padrão em situações diversas. Observamos, também, nesse documento, a ênfase ao desenvolvimento da capacidade de investigação nos estudantes, utilizando-se para isso de estratégias de obtenção, verificação e controle de resultados, assim como a atividade coletiva, visando à interpretação dessa atividade por meio da criação de estratégias de resolução. Considerando tais dados, descrevemos e analisamos nesse estudo levantamento bibliográfico de pesquisas brasileiras e internacionais centrados nesses dois tópicos. Para tanto, elaboramos análise do ponto de vista teórico e metodológico desta produção e identificamos possíveis aspectos consensuais no que se refere tanto à prática de ensino quanto ao processo de aquisição conceitual. MÉTODO Tomamos como referência nesse estudo as pesquisas sobre a divisão e o número racional, com referencial teórico e metodológico da Psicologia da Educação Matemática, desenvolvidas no período de 1999 a Para tanto, utilizamos como fonte de busca os seguintes bancos de dados: SciELO Scientific Electronic Library; OVID; Wilson; Web of Science; Banco de Teses CAPES; General Science Abstracts Full Text; Education Full Text; ERIC (via CSA); ERIC (via US Department of Education) e PsycINFO, a partir do 2

3 Portal da Capes. Depois de coletados, analisamos 29 artigos científicos publicados em periódicos internacionais e nacionais, 5 pesquisas publicadas em livros nacionais, 7 pesquisas apresentadas em congressos científicos, 10 dissertações de mestrado e 4 teses brasileiras de doutorado. As referências bibliográficas analisadas foram transformadas em tabelas, como proposto por Fávero e Gomes de Sousa (2001), formadas de linhas e colunas: a primeira coluna fornece um contador, a segunda, a referência; a terceira, o país; a quarta o referencial teórico; a quinta, os objetivos do estudo; a sexta, o método e a sétima, os resultados. As linhas separam um estudo de outro. Apresentamos a seguir, extratos destas tabelas para exemplificar nosso procedimento. RESULTADOS DA REVISÃO E DISCUSSÃO GERAL As primeiras análises revelaram duas grandes categorias de estudo, são elas: 1/ as pesquisas sobre resolução de problemas, que totalizaram 43 dos 55 estudos analisados e, 2/ as pesquisas de intervenção os 12 demais estudos. Nos parágrafos seguintes apresentamos os resultados e as análises para cada uma das categorias. A PRIMEIRA CATEGORIA DE ESTUDOS: AS PESQUISAS SOBRE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Nesta categoria predominaram as abordagens teóricas dos campos conceituais de Vergnaud (1990), dos subconstrutos dos números racionais de Kieren (1988) e da representação semiótica de Duval (1993). Observamos em todos os casos, fundamentação teórica bastante homogênea, que não propõe novas reflexões, nem em relação aos resultados obtidos. Apenas um estudo se refere exclusivamente à abordagem piagetiana e enfatizando que a gênese do conceito de fração está na partição de grandezas contínuas e que há estágios sucessivos na construção das diferentes noções fracionárias. Outros autores são referidos como Guy Brousseau (1986) e Hans Freudenthal (1991). 3

4 Os objetivos dos estudos desta categoria visavam identificar, descrever e analisar erros e estratégias de resolução em relação aos conceitos de divisão e de número racional, segundo um método qualitativo, envolvendo atividades escritas, seguida de entrevista clínica semi-estruturada. Tabela 1 Extrato da análise dos estudos da primeira categoria: a resolução de problemas. Nº Referência País Referencial teórico Objetivos Método Resultados 01 Neuman (1999) HOL Vergnaud Identificar estratégias utilizadas pelas crianças em problemas de divisão. 72 alunos, de 2ª a 6ª grades, foram submetidos a entrevistas clínicas, individuais e à resolução de 2 problemas de divisão. A maioria dos alunos de 2ª grade usou desenhos relacionados à situação descrita no problema. Os demais usaram cálculos e representações gráficas nos problemas de divisão partitiva. E representações gráficas, a partir de agrupamentos e subtrações sucessivas nos de divisão quotitiva. 02 Lautert e BRA Vergnaud Identificar como e quais 80 alunos, entre 5 e 8 anos, As crianças representaram seus Spinillo (1999) elementos da operação de foram igualmente divididos procedimentos de resolução, usando divisão são representados, em 4 grupos:jardim; as operações que já dominavam no em situações de divisão Alfabetização; 1ª série e 2ª e contexto escolar, exceto as do apresentadas oralmente submetidos a dois cálculos de jardim. Utilizaram diferentes formas em linguagem divisão lidos pelo de linguagem, tais como: matemática formal. pesquisador. Idiossincrática; Icônica e Simbólica.Nas resoluções, o quociente sempre foi representado e o resto nem sempre. Os estudos sobre divisão apontaram dados relacionados ao tipo de procedimento e registros adotados e à natureza dos erros indicando que: os estudantes apresentaram melhor desempenho em situação de divisão partitiva com quantidades contínuas; a noção de divisão precede o uso de procedimentos matemáticos formais; os algoritmos alternativos foram os mais utilizados; os estudantes não compreendem a lógica do algoritmo formal. As estratégias mais utilizadas por estudantes entre 5 e 7 anos foram a partição com contagem, a partição com adição e a adição; as mais utilizadas por estudantes entre 7 e 9 4

5 anos foram a multiplicação, a divisão partitiva, a divisão por correspondência e a subtração sucessiva, apontando dados compatíveis com os estudos de Piaget. Os estudos sobre os racionais indicaram a compreensão do significado parte-todo como a mais frequente nas resoluções competentes, tanto por parte dos estudantes quanto por parte dos professores. O consenso entre estes estudos aponta: a falta de compreensão, por parte dos estudantes, dos significados: quociente, medida, razão e operador multiplicativo; o uso pouco freqüente do registro fracionário e a opção pela conversão para o registro decimal ou natural, sendo que os melhores resultados foram obtidos com o sistema monetário; o tratamento dos números decimais como um conjunto numérico dissociado dos números fracionários; a criação de métodos alternativos em questões contextualizadas. A análise dos erros de estudantes e professores nos problemas envolvendo os racionais era, na sua maioria, consequência da generalização de regras de uma situação para outra, sem uma análise das condições que a validassem. Quando solicitados, os professores elaboraram problemas priorizando a fração com o significado de operador multiplicativo e o uso exclusivo de algoritmos formais para a resolução. Quando solicitados, os professores elaboraram prognósticos do desempenho de seus estudantes que não coincidiram com o desempenho efetivo dos mesmos. Quando solicitados os professores propuseram seqüências didáticas centradas apenas na demonstração de desenhos de figuras subdivididas em partes iguais, algumas das quais, destacadas, para o registro formal de frações, ou a mesma seqüência com o uso de um material concreto, como papel repartido. A SEGUNDA CATEGORIA DE ESTUDOS: AS PESQUISAS DE INTERVENÇÃO. O referencial teórico predominante nesta categoria é o mesmo já descrito e os seus principais objetivos eram: experimentar e propor novas abordagens de ensino visando o treinamento de professores. Tabela 2 5

6 Extrato da segunda categoria de estudos: as pesquisas de intervenção. Nº Referência País Referencial teórico Objetivos Método Resultados 01 Chahon (1999) BRA Bruner Analisar uma proposta 64 alunos foram divididos em 4 Os grupos experimentais Vergnaud de intervenção para o ensino de frações grupos (2 experimentais e 2 controle), e submetidos a uma apresentaram os maiores escores no pós-teste. baseada em metarregras. avaliação inicial e ao pós-teste. Os grupos experimentais foram submetidos à intervenção, por meio de 12 atividades ao longo de 10 sessões. As atividades que mais beneficiaram a nomeação e a identificação de equivalências entre frações foram as que empregaram material contínuo 02 Keijzer e HOL Freudenthal Analisar uma proposta Uma aluna, de 10 anos, participou O programa e seu projeto de Terwel (2001) de intervenção para o de 30 sessões (aulas) de ensino estimularam o progresso da ensino de frações. Intervenção baseada na proposta aluna. Esta, após 20 sessões da Matemática Realista. utilizou o ½ para estabelecer comparações e determinar a posição de outras frações na reta numérica, estabeleceu relações formais entre elas e passou a compará-las a partir do seu denominador. Os resultados indicam o uso do modelo experimental clássico, com grupo controle submetido à pré e pós-testes e grupo experimental submetido à pré-teste, intervenção e pós-teste; tarefas de diferentes naturezas; período de tempo variado para as intervenções e procedimento também variado: de aula expositiva a oficinas com utilização de materiais denominados manipuláveis. Além disso, apontaram: que as intervenções pautadas na resolução de problemas, definidos factíveis e significativos para os alunos e formulados a partir de experiências cotidianas, favoreceram a passagem de estratégias intuitivas às relações formais, tanto para a divisão quanto para os racionais; as intervenções pautadas em situações significativas com a utilização da manipulação de material com representação pictórica, seguida de formalização levaram os estudantes a estabelecer a relação parte-todo para quantidades discretas, utilizar o registro a/b, representar a situação-problema com quantidades 6

7 contínuas, dividir corretamente as áreas, utilizar a representação da fração imprópria com quantidades contínuas. Em geral, esses estudos indicaram a eficácia da intervenção, com base na diferença considerada significativa entre pré e pós-testes, evidenciando compreensão da relação entre as unidades e seus decimais e superando a compreensão restrita da relação parte-todo e compreendendo que se tratava de um número não-natural com representação própria, segundo o sistema de numeração decimal com subunidades. Os estudos que relataram intervenções junto a professores, não evidenciaram mudanças significativas em sua prática de ensino após a intervenção. CONSIDERAÇÕES FINAIS De maneira geral, os estudos analisados apontaram uma convergência teórica, predominando a referência à teoria dos campos conceituais e à dos subconstrutos dos números racionais. Do ponto de vista metodológico, a tendência geral é a análise qualitativa a partir da resolução de problemas, tendo alunos do Ensino Fundamental como sujeitos. Nesses estudos, os dados analisados foram, predominantemente, registros escritos seja de estudantes, seja de professores, com vistas à identificação de dificuldades de aprendizagem e, no caso dos professores, dificuldades de aprendizagem e/ou indícios da prática docente em sala de aula. Percebe-se nesses resultados, a opção metodológica em analisar produtos acabados - a aprendizagem, a não-aprendizagem, práticas mediadoras corretas, práticas mediadoras incorretas. Observamos, também, o número reduzido de estudos tendo como sujeito o formador de professor dos cursos de licenciatura em matemática e/ou pedagogia. Os resultados confirmam que a pesquisa mantém seu foco em professores do Ensino Fundamental Séries Iniciais e Finais. Ademais, notamos que essa opção ainda é feita, de forma estanque, ora investigando o professor que atua nas séries iniciais, ora o professor das séries finais. 7

8 Apesar da predominância da referência à teoria dos campos conceituais, apenas dois estudos apresentaram, como propõe Vergnaud (1990), uma interação entre os componentes do tripé situações, invariantes e representações para a construção de conceitos no campo conceitual em questão. Nele, os conceitos foram efetivamente abordados a partir da explicitação do conjunto das situações, por meio de problemas que contemplavam os cinco significados da fração, o conjunto de invariantes equivalência, ordem, objetos, propriedades e relações e o conjunto de representações a/b, com a e b naturais e b diferente de zero, pictórica e decimal. Os estudos que adotaram a Teoria dos Registros de Representação Semiótica não explicitaram como a teoria foi utilizada na compreensão dos conceitos em questão: houve citações aos registros, mas sem exemplificação. Apesar das diferentes denominações utilizadas nos estudos para qualificar o tipo de tarefa proposta situações significativas, problemas reais, entre outros, predominaram, nessas tarefas, tanto nos estudos na primeira categoria quanto nos da segunda, aquelas do tipo tradicional, em forma de pergunta, para as quais se espera uma resolução expressa pelo registro da operação correspondente, sem vinculação ao campo conceitual particular. Do mesmo modo, nos estudos da segunda categoria, predominou a intervenção desenvolvida em poucas horas com um procedimento fundamentado, sobretudo na explanação, em geral sintética e centrada apenas nos conceitos em questão, também, sem referência ao campo conceitual envolvido. Inferimos que o melhor desempenho dos alunos em divisão partitiva de quantidades revela um ensino que desconsidera situações de divisão por quotas. Ou seja, a escola insiste em abordar somente situações relacionadas ao modelo intuitivo do repartir quantidades, desconsiderando o modelo associado à idéia de medida de grandezas. A recusa de os sujeitos em utilizar o algoritmo formal da divisão e a preferência por desenvolver algoritmos alternativos revela que a escola trabalha tal algoritmo não na perspectiva da compreensão e sim, do manuseio de regras e procedimentos. Quanto aos números racionais, observamos que os conhecimentos adquiridos pelos alunos sobre o conjunto dos números naturais funcionam como obstáculos epistemológicos para a aprendizagem de outros conjuntos (números fracionários e números racionais). Esse 8

9 fato sinaliza para a necessidade de se trabalhar na escola a construção desses conceitos. Os estudos apontam, até mesmo, que o trabalho a partir de situações de medição ou de divisões não exatas pode contribuir nesse sentido, principalmente, porque auxiliam na passagem do uso de estratégias mais intuitivas para as formais. O melhor desempenho dos estudantes na resolução de problemas de frações com o significado parte-todo e o desconhecimento deles sobre os outros significados, aliado ao fato de os professores apresentarem, também, dificuldades de compreensão de todos os significados, em especial, o de razão, sinaliza que estudantes e professores apresentam problemas de ordem conceitual, possivelmente, não entendem que um mesmo número fracionário pode estar associado a diferentes situações e apresentado em diferentes representações. Tal fato tem relação direta ao modo de estudantes e professores lidar com o conhecimento matemático vendo-o de modo separado, em gavetas e não em interação a outros conceitos, como propõe a teoria dos campos conceituais. De modo geral, avaliamos que os dados dessa revisão evidenciam que as dificuldades de estudantes e de professores com os conceitos de divisão e número racional acontecem em função das relações que estes vêm estabelecendo com o conhecimento matemático, pautada apenas na aquisição e transmissão de saberes e não na construção de significados conceituais. Diante do exposto, defendemos a importância da compreensão da lógica do sistema numérico decimal para a compreensão da lógica do algoritmo da divisão e dos números racionais. Do mesmo modo que outros autores já apontaram, entendemos que o uso de atividades envolvendo os instrumentos de medidas e a articulação entre o uso de instrumentos de medida, a representação da seqüência numérica dos próprios instrumentos, a possibilidade de operar com essa seqüência e a sua notação, devem ser levados em conta nas pesquisas de intervenção que visam a aquisição de novas competências numéricas e, também, em situações de ensino (Nunes e Bryant, 1997). 9

10 REFERÊNCIAS BRASIL, Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília, DF, Brousseau, Guy. Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques. Recherches en Didactiques des Mathématiques, Paris, v.7, n.2, p , Bryant, Peter e Nunes, Terezinha. Crianças fazendo matemática. Porto Alegre: Artes Médicas, Duval, Raymond. Registres de représentation sémiotique et fonctionnements cognitifs de la pensée. Annales de didactique et Sciences Cognitives, vol. 5. IREM-ULP, Strasbourg, p.37-65, Fávero, Maria Helena e Gomes de Sousa, Célia Maria. A resolução de problemas em Física: revisão de pesquisa, análise e proposta metodológica. Investigações em Ensino de Ciências, v.6, n.2, p , FÁVERO, M. H. Regulações cognitivas e metacognitivas do professor: uma questão para a articulação entre a psicologia do desenvolvimento adulto e a psicologia da educação matemática. In: Simpósio Brasileiro de Psicologia da Educação Matemática,1.,2001, Curitiba. Anais...Curitiba: Editora da UFPR, 2001.P Fávero, Maria Helena. Desenvolvimento psicológico, mediação semiótica e representações sociais: por uma articulação teórica e metodológica. Psicologia: Teoria e Pesquisa, Brasília, v.21, n.1, p.17-25, Freudenthal, Hans. Revisiting Mathematics Education. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, Kieren, T. E. (1988). Personal Knowledge of rational numbers: its intuitive and formal developmemt. Em J. H. & M. B. (Orgs.). Number concepts and operations in the middle grades (pp ). New Jersey: Erlbaum. Saiz, Irma. Dividir com dificuldade ou a dificuldade de dividir. In: Cecília. Parra e Irma. Saiz.(Orgs.), Didática da matemática: reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre: Artes Médicas, P Vergnaud, Gerard. La théorie des champs conceptuels. Recherches en Didactique des Mathématiques, v.10, n.23, p ,