CONTROLE EM TEMPO REAL BASEADO EM OBSERVADORES DE ESTADO VIA INSTRUMENTAÇÃO VIRTUAL DE ALTO DESEMPENHO

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1 CONTROLE EM TEMPO REAL BASEADO EM OBSERVADORES DE ESTADO VIA INSTRUMENTAÇÃO VIRTUAL DE ALTO DESEMPENHO LORENA COSTA DE ALENCAR, GINALBER L. O. SERRA Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Maranhão Departamento de Eletroeletrônica Laboratório de Inteligência Computacional Aplicada à Tecnologia Av. Getúlio Vargas,, Monte Castelo, CEP: 653-5, São Luís, Maranhão, Brasil lorena_alencar@hotmail.com, ginalber@ifma.edu.br Introdução A utilização de sistemas de controle automático se encontra bastante difundida, desempenhando um papel vital no avanço da engenharia e da ciência [8]. Com a modernização dos processos industriais, torna-se necessária a utilização de controladores que garantem resultados com maior precisão. As variações desconhecidas e não mensuráveis dos parâmetros de um processo industrial comprometem o desempenho dos sistemas. A fim de alcançar e manter um nível aceitável de desempenho de um sistema de controle em malha fechada, metodologias de controle tem recebido considerável atenção da comunidade acadêmica e industrial. A necessidade de satisfazer requisitos cada vez mais rigorosos quanto ao desempenho de sistemas de controle, o aumento da complexidade dos sistemas e a facilidade de acesso aos computadores de grande porte ensejaram o desenvolvimento da teoria de controle moderno, iniciada por volta de 96, como uma nova forma de analisar e projetar sistemas de controle complexos. Esta nova abordagem é baseada no conceito de estados do sistema [8]. O esquema de controle adotado, baseado no espaço de estados, consiste na alocação de polos. Uma técnica na qual todos os polos de malha fechada são alocados nas posições desejadas de modo a garantir que a resposta do sistema apresente aspectos previamente estabelecidos pelo projetista, como especificações de resposta temporal, coeficiente de amortecimento, máximo de sobressinal, como também especificações de regime permanente. No entanto, essa metodologia requer que se tenha conhecimento de todas as variáveis de estado do sistema, mas nem sempre todos os estados estarão disponíveis para medição. Em vários sistemas de controle, é inviável tanto fisicamente quanto economicamente a instalação dos sensores que serão necessários para medir todas as variáveis de estado. Contudo, com o uso de projeto de sistemas de controle usando observadores de estado é possível reconstruir os estados não medidos ou os valores provenientes de pontos de difícil acesso no sistema, tendo como condição necessária para esta reconstrução apenas que todos os estados sejam observáveis []. Os observadores de estado foram inicialmente propostos e desenvolvidos por Luenberger, que continuou no decorrer dos anos aperfeiçoando a metodologia. A teoria dos observadores de estado encontra-se dentro da Teoria de Controle Moderno e tem sido estendida por vários campos de pesquisas para incluir sistemas variando no tempo, sistemas discretos e sistemas aleatórios []. As técnicas de controle por alocação de polos e de estimação de estados, por meio de observadores, serão aqui combinadas e aplicadas a um sistema térmico, fazendo-se sua identificação a partir dos dados experimentais de entrada e saída, ou seja, a tensão eficaz (Volts RMS) aplicada e a temperatura (graus Celsius). O comportamento dinâmico do sistema térmico será modelado e validado no espaço de estados. O sistema de controle por alocação de polos por meio do observador de estados será projetado e implementado para controle de temperatura do sistema térmico, em tempo real, por meio de uma plataforma de aquisição de dados baseada em instrumentação virtual/eletrônica de alto desempenho (LabView). Formulação do Problema a) Identificação no Espaço de Estados Para modelos no espaço de estados, é utilizada a seguinte estrutura paramétrica [9]: A(θ) = [ ] [ ] [ ] X X, B(θ) =, K(θ) = X X X X e C(θ) = [ ] () onde: X = Parâmetro a ser estimado na identificação. Seja o número de linhas com X s, onde X é um parâmetro a ser estimado na identificação, em A(θ) equivalente ao número de saídas. A estrutura geral pode ser definida pelo Teorema : Teorema Seja A(θ) inicialmente uma matriz pre-

2 enchida com zeros e uns ao longo da diagonal principal. Seja em seguida o número de linhasr,r,...,r p onde r p = n, sendo preenchidas com parâmetros. Tomando-se r = e seja C(θ) preenchida com zeros, e em seguida tendo um na coluna r i +. Seja B(θ) e K(θ) preenchidas com parâmetros. A parametrização é unicamente caracterizada pelos p números r i que são escolhidos pelo usuário. Seja E chamando v i = r i r i () v n = v...v p (3) O multi índice associado ao teorema. Tem-se que n = p v i () i= Pelo multi índice v n, definido anteriormente, entende-se uma coleção de p números v i sujeitos a) equação. Para um dado n e p, existem ( n multi índices diferentes. Observa-se que p a estrutura do teorema contém np+mn parâmetros independentemente dev n. A propriedade chave da parametrização canônica, dada pela equação, define que o vetor de estado correspondente x(t, θ) pode ser interpretado em um contexto puramente de entrada e saída. Isto pode ser visto como se segue: Com tempo fixo t e assumindo que u(s) = e(s) = para s t. Denotando as saídas correspondentes que são geradas pelo modelo para s t por ŷ θ (s t ). Dadas como saídas projetadas para tempos futuros s como calculados no tempo t. As equações no espaço de estados levam a Com ŷ θ (t t ) = C(θ)x(t,θ) ŷ θ (t+ t ) = C(θ)A(θ)x(t,θ). ŷ θ (t+n t ) = C(θ)A n (θ)x(t,θ) O(θ) = A matriz observável np n é Ŷ θ n(t) = C(θ) C(θ)A(θ). C(θ)A n (θ) ŷ θ (t t ). ŷ θ (t+n t ) A equação (5) pode ser escrita como (5) (6) (7) Ŷ θ n(t) = O n (θ)x(t,θ) (8) Pode-se verificar que o teorema tem uma propriedade fundamental: A matriz observável O n (θ) np n terá n linhas, que juntas constituem a matriz unitária, independentemente de θ. Assim, a equação (8) implica que as variáveis de estado correspondentes à estrutura do teorema são: x ri k (t,θ) = ŷ (i) θ (t+k t ). i =,...,p. k v i (9) Onde o (i) sobrescrito denota o i-ésimo componente de y. Essa interpretação das variáveis de estado como preditoras é discutida em detalhes em Akaike (97) e Rissanen (97). Pela relação descrita na equação (9), n linhas são escolhidas a partir do vetor np Ŷn(θ) na equação (8). Os índices dessas linhas são unicamente determinados pelo multi índice v n. A relação chave é dada pela equação (9). Isso mostra que as variáveis de estado dependem apenas das propriedades do modelo associado. Considerando agora dois valores θ e θ que são dados pelas mesmas propriedades de entrada e saída do teorema. Entãoŷ θ (t+k t ) = ŷ θ (t = k t ), uma vez que é calculado apenas a partir das propriedades de entrada e saída. Assim x(t,θ) = x(t,θ ). Agora, se θ corresponde a uma realização mínima, deve ser θ, e pelo Teorema 6.. de Kailath (98) existe uma matriz inversível T, tal que A(θ ) = TA(θ)T B(θ ) = TB(θ) C(θ ) = C(θ)T K(θ ) = TK(θ) Correspondendo à mudança de base () x(t,θ ) = Tx(t,θ) () Assim, a partir da equação () e pelo fato da observação anterior em que x(t,θ ) = x(t,θ), mostra que T = I n e, portanto, θ = θ. b) Controle por Alocação de Polos Baseado em Observadores de Estados Neste artigo, o problema de controle por alocação de polos baseado em observadores de estados apresenta a seguinte configuração: ẋ = Ax+Bu () y = Cx (3) u = Kx+K I ξ () ξ = r y = r Cx (5) onde: ξ=sinal de saída do integrador r=sinal de entrada de referência Dada a entrada de referência r(t) aplicada em t =, para t >, as equações acima podem ser combinadas e descritas sob a forma de uma única

3 equação matricial: [ẋ(t) ] = ξ(t) [ A C ][ ] x(t) + ξ(t) [ ] B u(t)+ [ ] r(t) (6) À medida que t tende para infinito pode-se escrever: [ẋ( ) ] = ξ( ) [ A C ][ ] x( ) + ξ( ) [ ] B u( )+ [ ] r( ) (7) Considerando que a entrada r(t) é suficientemente lenta para t >, subtraindo-se a equação (7) da equação (6), obtém-se: [ẋ(t) ẋ( ) ] ξ(t) ξ( ) = + [ A C [ ] B [u(t) u( )] ][ ] x(t) x( ) ξ(t) ξ( ) (8) Resultados computacionais Neste trabalho, o processo de aquisição de dados para identificação bem como a implementação do método de controle proposto são realizados em uma plataforma de controle virtual/eletrônica desenvolvida com base no software LabVIEW (Laboratory Virtual Instrument Engineering Workbench) e na controladora CompactRIO 973, ambos da National Instruments. Os principais módulos integrados na controladora e utilizados na plataforma são: NI 99(entrada analógica) e NI 963 (saída analógica). Dado que a aplicação será realizada em um processo térmico, a plataforma conta ainda com o sensor de temperatura LM 35. O qual fornece uma tensão proporcional à temperatura a qual está submetido (mv/ C) e um circuito atuador baseado no circuito integrado TCA 785, capaz de variar o ângulo de disparo de tiristores pela aplicação de uma tensão contínua [], conforme mostrado na figura. Assim, a equação (8) pode ser escrita da forma: ] [ ][ ] [ ] [ẋe (t) A xe (t) B = + u ξ e (t) C ξ e (t) e (t) (9) onde u e (t) = Kx e (t)+k I ξ e (t) () Definindo-se o vetor de erro e(t): [ ] xe (t) e(t) = ξ e (t) () As equações (9) e () resultam, respectivamente em: ė(t) = Âe+ ˆBu e () u e = ˆKe (3) onde [ ] [ ] A B [ ] Â =, ˆB = e ˆK = K KI C () A equação de estado de erro substituindo-se a equação (3) na (): Figura : Diagrama esquemático da plataforma de controle virtual/eletrônica de alto desempenho. Na figura é mostrada a plataforma de controle em tempo real do processo térmico [3]. ė = (Â ˆB ˆK)e (5) No sistema de controle por retroação de estado observado, a equação do observador é: x = (A K e C) x+bu+k e y (6) E a ação de controle se torna u = K x+k I ξ (7) Figura : Plataforma de controle do processo térmico.

4 a) Identificação do Processo Térmico X= 99 Y=.873 Esta etapa de identificação está baseada em dados experimentais de entrada e saída. Na Figura 3 é mostrado o sinal de tensão eficaz (Vrms) aplicado à entrada do sistema e a respectiva saída (Temperatura em C) obtida Figura 3: Conjunto de dados de entrada e saída do processo térmico. Este conjunto de dados, constituído de pontos a um tempo de amostragem de 7 milisegundos, foi utilizado para com o auxílio dos métodos de identificação anteriormente comentados obter as seguintes matrizes no espaço de estados: A=. C=.7869, B=.,.5 Atraso x tado a partir do diagrama de blocos apresentado na figura 6. A metodologia de controle por alocação de polos aliada ao conceito de observadores de estados foi computacionalmente desenvolvida na plataforma MATLAB/SIMULINK e aplicada ao processo térmico com o auxílio da plataforma de controle virtual/eletrônica Labview. Foram escolhidos os polos 7.68 e.375 por meio da determinação de parâmetros de resposta temporal como o tempo de acomodação e coeficiente de amortecimento. Em seguida, foram determinadas a matriz de ganho de retroação de estados, o ganho do integrador e a matriz do ganho do observador, expressas na equação (3). K = , KI = Processo Térmico Modelo Obtido Ke = 75.8 e e D = [] (8) Na figura é mostrada a validação do modelo obtido para o processo térmico. O atraso puro de tempo do processo térmico foi obtido aplicando-se correlação cruzada nos dados de entrada e saída, a partir do ponto de máximo do gráfico da figura 5 (valor de 99), com o tempo de amostragem de 7 milissegundos, fornecendo τd = s. Tensão Eficaz (Vrms).5 Figura 5: Função de correlação cruzada para estimação do atraso puro de tempo. (9) Os principais resultados obtidos são comparados nas figuras 7, 8, 9 e a fim de demonstrar a eficiência da metodologia proposta. 5 Tensão Eficaz (Vrms) Correlaçao Cruzada.5.5 Saída Temperatura (ºC) Tensão Eficaz (Vrms) Entrada Número de Amostras x Figura 7: Ação de Controle Figura : Validação do modelo obtido por identificação no espaço de estados. b) Implementação da Metodologia de Controle e Estimação de Estados O esquema do projeto de alocação de polos por meio de observadores de estado, pode ser represen- Os resultados obtidos levam a uma resposta com tempo de acomodação de. segundos sem ocorrência de sobressinal e ilustram que o controle ocorreu de forma eficiente, baseado em polos bem posicionados. Pode ser observado que os estados foram estimados de maneira coerente, onde x é igual a derivada de x que se comporta de maneira análoga à saída do sistema. Portanto, trata-se

5 Ki Processo Térmico B C A Observador K Figura 6: Esquema de Alocação de Polos com Observadores de Estado. Conclusões Estado x Temperatura ( C) 8 6 Referência Figura 8: Saída do Processo Térmico Figura 9: Estado Conforme proposto, foi realizada a implementação de uma estratégia de controle por alocação de polos baseada em observadores de estados em tempo real utilizando instrumentação virtual/eletrônica de alto desempenho. Com os resultados experimentais procura-se evidenciar a flexibilidade e eficiência da metodologia proposta para a estimação dos estados e controle do sistema de acordo com o desempenho desejado pelo projetista. A metodologia de controle utilizada se mostrou bastante adequada para o projeto de controle de processos térmicos, no qual se estabelece uma referência de temperatura a ser seguida pela planta. Os resultados de simulação analógica evidenciaram que trata-se de uma técnica de controle que permite respostas com um bom tempo de acomodação e sem altos valores de sobressinal, podendo ser implementada em diversos tipos de aplicação, pela possibilidade de relizar um controle no espaço de estados por meio de alocação de polos sem a necessidade de que esses estados estejam disponíveis para medição no sistema. Agradecimentos Estado x Figura : Estado de uma metodologia estável e com boas respostas tanto em simulação analógica quanto em aplicações de controle em tempo real. Os autores agradecem ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) e à Fundação de Amparo à Pesquisa e Desenvolvimento Científico do Maranhão (FAPEMA) pelo fomento à pesquisa. Referências. Artigos em Revistas e Anais e Capítulos de Livros D. G. Luenberger, Observing the state of a linear system. IEEE Military Eletronics, New York, (96). R. J. M. Santos, Controle Fuzzy Multiobjetivo de Sistemas Dinâmicos Não-Lineares com Atraso Puro de Tempo, Proceeding Series of the Brazilian Society of Computational and Applied Mathematics, vol., (3), DOI:.55/

6 Soares Pires, D.; de Oliveira Serra, G.L., Fuzzy digital PID controller design based on robust stability criteria, Industrial Informatics (IN- DIN), th IEEE International Conference on, vol., no., pp.65,659, () DOI:.9/IN- DIN C.H. Choi, Step Response Improvement by Pole Placement with Observer, System Theory, th Southeastern Symposium on, vol., no., pp.7,, (8). L. Bin, A new optimized pole placement strategy of grid-connected inverter with LCL-filter based on state variable feedback and state observer, Applied Power Electronics Conference and Exposition (APEC), Twenty-Eighth Annual IEEE, vol., no., pp.9,96, (3). R. Schmid, Robust Pole Placement With Moore s Algorithm, Automatic Control, IEEE Transactions on, vol.59, no., pp.5,55, (). W. Lei, Design of autopilot with Pole placement and State-Observer Feedback, Computer Science and Automation Engineering (CSAE), IEEE International Conference on, vol., no., pp.53,56, ().. Livros e Teses K. Ogata, Engenharia de Controle Moderno, Prentice Hall, (3). L. Ljung, System Identification - Theory For the User, nd ed, PTR Prentice Hall, Upper Saddle River, N.J., (999). Contato Lorena Costa de Alencar Graduanda em Engenharia Elétrica. Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Maranhão. Av. Getúlio Vargas,, Monte Castelo, CEP: 653-5, São Luís, Maranhão, Brasil. lorena_alencar@hotmail.com Telefones: (98) /(98) Prof. Dr. Ginalber Luiz de Oliveira Serra Professor e Pesquisador. Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Maranhão. Av. Getúlio Vargas,, Monte Castelo, CEP: 653-5, São Luís, Maranhão, Brasil. ginalber@ifma.edu.br Telefone: (98)