Aplicação do Método de Monte Carlo na Geração de Curvas S-N Probabilísticas para Ligações Rebitadas

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1 Aplicação do Método de Monte Carlo na Geração de Curvas S-N Probabilísticas para Ligações Rebitadas José Correia Abílio de Jesus Luís Silva João Silva Aluno Doutoramento ECT-UTAD Vila Real Professor Auxiliar ECT-UTAD Vila Real Bolseiro de Investigação FEUP Porto Mestre em Eng. Mecânica UTAD Vila Real SUMÁRIO Este artigo propõe um procedimento probabilístico, baseado no método de Monte Carlo, para geração com campo S-N probabilístico de ligações rebitadas. O método proposto integra os métodos locais da fadiga e a Mecânica da Fractura, para previsão da fase de iniciação e propagação de fendas de fadiga, suportado por análises de elementos finitos. As principais variáveis de entrada do modelo proposto são definidas na forma probabilística. Palavras-chave: Ligações Rebitadas; Curvas S-N; Métodos Probabilísticos; Elementos Finitos; Método de Monte Carlo. 1. INTRODUÇÃO Em Portugal, à semelhança do resto da Europa, existe um número significativo de pontes metálicas rebitadas antigas, algumas das quais são centenárias. Inspecções realizadas nestas estruturas têm revelado fissuração por fadiga nas ligações rebitadas. Com efeito, o nível de dano de fadiga nestas estruturas é susceptível de ser elevado. As ligações rebitadas são as localizações críticas das pontes uma vez que promovem a concentração de

2 tensões, principalmente na vizinhança dos furos dos rebites. O desenvolvimento de ferramentas probabilísticas para determinação da resistência à fadiga de ligações rebitadas é essencial para a condução de análises de risco nestas estruturas. Neste artigo propõe-se um procedimento para determinação do campo S-N probabilístico para uma ligação rebitada simples, recorrendo aos métodos locais da fadiga (relações deformação-vida), para previsão da iniciação de fendas de fadiga, e à Mecânica da Fractura, para previsão da propagação das fendas de fadiga. As propriedades básicas do material, tais como as relações deformação-vida e as taxas de propagação de fendas, são definidas na forma probabilística. Os dados deformação-vida do material base são correlacionados usando um modelo baseado na distribuição de Weibull. As taxas de propagação de fendas de fadiga são correlacionadas com o modelo de Paris, sendo adoptada uma distribuição estatística para os respectivos parâmetros, sendo esta escolha realizada de forma empírica. Também se propõe um modelo de elementos finitos 3D da ligação rebitada para avaliar a relação entre as tensões nominais aplicadas à ligação e as tensões/deformações locais elasto-plásticas, assim como os factores de intensidade de tensões para uma fenda de fadiga em crescimento. O modelo proposto permite ter em conta o efeito do pré-esforço instalado no rebite e atrito, nas tensões/deformações locais, assim como nos factores de intensidade de tensões. O valor do pré-esforço e atrito também são considerados no modelo de previsão, na forma probabilística. Todos os parâmetros de entrada do modelo proposto são combinados através da técnica de Monte Carlo, resultado curvas S-N na forma probabilística. O campo S-N probabilístico é comparado com resultados experimentais determinados para uma ligação rebitada de ferro pudelado construída com material da ponte metálica rebitada de Fão, que foi reabilitada recentemente. As propriedades básicas do material também foram avaliadas para o referido ferro pudelado. A comparação das previsões com os resultados experimentais mostra um desempenho muito satisfatório do procedimento probabilístico proposto. 2. DADOS EXPERIMENTAIS Nesta secção apresenta-se os dados experimentais usados para ilustrar a aplicação do procedimento probabilístico conducente ao campo S-N probabilístico de uma ligação rebitada. 2.1 A ponte metálica de Fão A ponte metálica de Fão (Fig. 1) é uma ponte rodoviária rebitada que atravessa o rio Cávado, em Esposende. Esta ponte foi inaugurada em 7 de Agosto de 1892, apresentando um comprimento total de 267 metros, dividido em 8 vãos de 33.5 metros cada, suportados em 7 pilares de alvenaria. O material usado na construção da ponte foi o ferro pudelado. 2.2 Ligação rebitada Recentemente a ponte de Fão foi reabilitada tendo sido substituídas algumas diagonais laterais. Essas diagonais foram usadas para construir uma série de ligações rebitadas simples, com corte duplo (ver. Fig. 2). Rebites novos de 22 mm de diâmetro foram cravados

3 em furos de 24 mm de diâmetro. 15 provetes da referida ligação rebitada foram testados em controlo de tensão, com razão de tensões nula (R=0), resultando a curva S-N representada na Fig. 3. No eixo das ordenadas representa-se a gama de tensão média, calculada na chapa central da ligação, na secção transversal que contém o eixo do rebite. A curva S-N média foi representada na Fig. 3, à qual está associada um coeficiente de determinação, R 2 =0.83. Este coeficiente de determinação é satisfatório, tendo em conta a elevada heterogeneidade apresentada pelos ferros pudelados. Ensaios de tracção realizados com provetes do material das diagonais revelaram uma tensão de cedência de 220±37 MPa, uma tensão de rotura de 359±29 MPa e uma deformação de rotura de 23±7%. Figura 1. Ponte de Fão - Esposende Figura 2. Ligação rebitada com corte duplo (dimensões em mm). 2.3 Dados deformação vida do ferro pudelado Visando a determinação das relações deformação-vida do ferro pudelado, foram realizados ensaios de fadiga de provetes lisos em controlo de deformação, de acordo com a norma ASTM E606 [1]. Foram testadas duas séries de provetes, nomeadamente para as razões de deformação -1 (14) e 0 (20). A Fig. 4a apresenta os resultados experimentais. O modelo probabilístico proposto por Castillo e Fernández-Canteli [2] para descrever o campo probabilístico deformação-vida foi usado para correlacionar os resultados experimentais. O modelo probabilístico apresenta a seguinte distribuição de probabilidade acumulada, do número de ciclos, N f, dada a amplitude de deformação, ε a : N f λ + δ = exp B + 1 ( log( 1 p) ) β ( ) log ε a C (1)

4 Gama de tensão efectiva, Δσ net [MPa] 1000 Δσ net = N f R² = Dados Experimentais Curva S-N média E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 Número de ciclos de rotura, N f Figura 3. Curva S-N experimental da ligação rebitada com corte duplo. Os parâmetros B e C na Eq. (1) podem ser estimados usando o método dos mínimos quadrados com restrições; os parâmetros λ, β e δ podem ser estimados usando o método da máxima verosimilhança. Com base nos métodos de ajuste referidos, resultaram os seguintes valores para os parâmetros: B= , C= , λ= , β=5.5814, δ= Na Fig. 4a representa-se os percentis correspondentes às probabilidades de rotura, p, iguais a 1%, 5%, 50%, 95% e 99%. A figura também representa a equação determinística proposta por Morrow [3], para efeitos de comparação. Esta curva é praticamente coincidente com o percentil 50%, para fadiga de longa duração; para fadiga de curva duração verifica-se algum desvio entre as curvas. A Fig. 4b representa as distribuições de probabilidade acumulada do número de reversões de rotura, dadas as amplitudes de deformação, ε a. Os ensaios em controlo de deformação foram também aplicados na avaliação do comportamento elasto-plástico cíclico do ferro pudelado. Em particular foram determinados o coeficiente e expoente de endurecimento cíclicos, da relação de Ramberg-Osgood [4], tendo em conta os dados conjuntos das duas séries de ensaios em controlo de deformação: K =713 MPa e n = Amplitude de deformação, εa Dados Experimentais p=0.01 p=0.05 p=0.5 p=0.95 p=0.99 Equação de Morrow Probabilidade acrumulada (% 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% ε a a) 1.0E E E E E E E+07 Número de reversões de rotura, 2N f 20% 10% b) 0% 1.0E E E E E E E+07 Número de reversões de rotura, 2Nf Figura 4. Resultados deformação-vida do ferro pudelado da ponte de Fão: a) campo probabilístico deformação-vida; b) distribuição de probabilidade acumulada.

5 2.4 Taxas de propagação de fendas de fadiga do ferro pudelado O presente estudo também procurou caracterizar as taxas de propagação de fendas de fadiga do ferro pudelado da ponte de Fão, com base em ensaios de provetes CT, de acordo com a norma ASTM E647 [5]. As taxas apresentadas neste artigo foram determinadas para a razão de tensões R=0. Ao todo foram testados 4 provetes, estando os respectivos resultados experimentais apresentados na Fig 5a. Esta figura mostra a evolução da taxa de propagação de fendas (da/dn) em função da gama do factor de intensidade de tensões ( K). Os dados experimentais foram correlacionados usando a lei de Paris [6], tendo resultado um coeficiente de determinação, R 2 = O valor do coeficiente C e expoente m da lei de Paris, estão incluídos na Fig. 5a, e representam valores médios, obtidos por ajuste da lei de Paris aos resultados experimentais disponíveis. da/dn (mm/ciclo) 1.0E E E E-05 a) da/dn= E-18ΔK R² = E E ΔK (N.mm 1.5 ) 0 Probabilidade aculumada Coeficiente C (x 1E-18) 10 b) 100 Figura 5. Taxas de propagação de fendas de fadiga: a) correlação dos resultados experimentais com modelo de Paris; b) distribuição de probabilidade acumulada do coeficiente da lei de Paris. De modo a ter em conta a variabilidade das taxas de propagação de fendas, assumiu-se que o coeficiente C da lei de Paris segue uma distribuição log-normal. O expoente m da lei de Paris foi considerado constante e igual ao valor médio experimental (m=4.8038). Em geral, as constantes C e m não devem ser consideradas simultaneamente como variáveis aleatórias, sob risco de produzirem estimativas inconsistentes das taxas de propagação de fendas. É comum correlacionar o expoente m com o coeficiente C, no entanto a dedução de tal correlação exige uma quantidade de resultados experimentais que não se dispõe neste estudo. Neste estudo assumiu-se o valor médio de C igual a E-18; considerou-se um coeficiente de variação igual a 75%. Na Fig. 5b ilustra-se a distribuição de probabilidade acumulada resultante para o coeficiente C. MODELO DE ELEMENTOS FINITOS DA LIGAÇÃO Um modelo de elementos finitos 3D da ligação rebitada foi proposto para calcular o factor elástico de concentração de tensões assim como o factor de concentração de tensões para uma fenda de fadiga. O modelo foi construído usando o ANSYS [7]. Pormenores acerca do modelo podem ser encontrados na referência [8]. O contacto entre as chapas e entre estas e o rebite foi modelado usando elementos finitos de contacto, tendo sido empregue a

6 tecnologia de contacto superfície flexível com superfície flexível. Foram adoptados os parâmetros do modelo de contacto propostos por defeito pelo ANSYS [7]. No entanto, para o factor de penalidade da rigidez, FKN, foi adoptado o valor 0.1, inferior ao valor unitário proposto por defeito pelo ANSYS. Na Fig. 6a ilustra-se a malha de elementos finitos da ligação; apenas ¼ da geometria foi modelada tirando-se partido dos planos de simetria existentes. Figura 6. Malha de elementos finitos da ligação ¼ da ligação modelada. Os rebites podem aplicar um pré-esforço nas chapas da ligação devido à deformação plástica e ao processo de arrefecimento a que são sujeitos. A aplicação do pré-esforço foi simulada, no modelo de elementos finitos, através da aplicação de uma variação de temperatura no rebite, antecedendo a tracção da ligação, e assumindo para o rebite propriedades de expansão térmica ortotrópicas: nula no plano transversal e não nula na direcção axial. O valor exacto do pré-esforço nos rebites é de difícil estimativa, pelo que foi considerado um factor de incerteza neste estudo, sendo traduzido de forma probabilística. Importa realçar que o pré-esforço nas ligações rebitadas não é tão significativo como nas ligações com parafusos de alta resistência. Na Fig. 7 apresenta-se a evolução do factor elástico de concentração de tensões na ligação rebitada, com o pré-esforço. O factor de concentração de tensões é definido como a razão entre a tensão máxima na superfície do furo da placa central e a tensão média actuando na secção transversal da placa central e que contém o eixo do rebite. Pode-se constatar uma influência significativa do pré-esforço no factor de concentração de tensões. A Fig. 7 também mostra o efeito do atrito no factor de concentração de tensões. O efeito do atrito é mais importante para tensões de pré-esforço mais elevadas. O valor real do coeficiente de atrito também difícil de estimar, pelo que este parâmetro do modelo também é tratado de forma probabilística. A tensão de pré-esforço foi modelada através da distribuição log-normal, com o valor médio de 25 MPa e coeficiente de variação de 40%. Para o coeficiente de atrito foi adoptada uma distribuição de densidade de probabilidade triangular, com um valor mínimo de 0.1, um valor máximo de 0.6 e um valor mais provável de Com base nas distribuições propostas, serão gerados valores aleatórios do pré-esforço e coeficiente de atrito; o factor de concentração de tensões é então obtido por interpolação dos valores presentes na Fig. 7. O modelo de elementos finitos também foi usado para determinar o factor de concentração de tensões numa fenda passante, a propagar na placa central, num plano perpendicular à solicitação e iniciando a partir da concentração de tensões. O factor de concentração de tensões foi calculado para vários comprimentos de fenda (a), recorrendo à técnica do fecho de fenda virtual (VCCT) [9]. Apesar da técnica VCCT determinar vários valores do factor de intensidade de tensões ao longo da espessura, foram usados neste estudo os respectivos

7 valores médios. A Fig. 8a mostra a evolução do factor de intensidade de tensões com o préesforço no rebite. O factor de intensidade de tensões foi normalizado pela tensão média na secção transversal da placa central, que contém o eixo do rebite. O valor do factor de intensidade de tensões, para qualquer nível de tensão e pré-esforço, foi estimado por interpolação/extrapolação dos valores da Fig. 8a. Os resultados do factor de intensidade de tensões apresentado na Fig. 8a foram obtidos para um coeficiente de atrito igual a 0.35, considerado o valor mais provável. A influência do atrito no factor de intensidade de tensões não foi avaliada neste trabalho. No entanto, esta influência é geralmente considerada menor do que no factor de concentração de tensões. Na Fig. 8b apresenta-se o campo de tensões na direcção da solicitação, para a geometria sem e com fendas. Para tornar mais clara a figura, apenas de representa a placa central, sem rebite. Para a geometria com fendas, ilustram-se os casos com a=1 mm e a =6 mm. Factor de Concentração de Tensões, 2.5 μ=0 μ=0.15 μ=0.35 μ=0.6 2 kt Tensão de pré-esforço no rebite [MPa] Figura 7. Evolução do factor de concentração de tensões com o pré-esforço no rebite e atrito. K/σ [mm 0.5 ] Sem pré-esforço 14 Tensão de pré-esforço = 9 MPa 12 Tensão de pré-esforço = 23 MPa a [mm] a) b) Figura 8. Factor de intensidade de tensões: a) evolução com o pré-esforço e comprimento de fenda; b) campo de tensões na direcção da solicitação para a ligação sem e com fendas (sem pré-esforço). PROCEDIMENTO PROBABILÍSTICO PARA ESTIMAVA DO CAMPO P-S-N DE LIGAÇOES REBITADAS Nesta secção apresenta-se um procedimento para estimativa o campo S-N probabilístico de ligações rebitadas. Os dados base necessários à aplicação deste procedimento foram apresentados nas secções precedentes, assim como os resultados para demonstração da qualidade/performance do procedimento. O procedimento assenta no pressuposto de que o

8 processo de fadiga envolve uma fase de iniciação de fendas e uma fase de propagação. Deste modo, a vida à fadiga pode ser avaliada através da equação seguinte: N f Ni + N p = (2) onde N f é o número de ciclos de rotura, N i é o número de ciclos de iniciação e N p é o número de ciclos de propagação da fenda até à rotura. O número de ciclos de iniciação é avaliado recorrendo aos métodos locais, usando informação deformação-vida do material base, tal como definido na forma probabilística, através da Eq. (1). A Mecânica da Fractura Linear Elástica é usada na estimativa do número de ciclos de propagação. A lei de Paris [6] é integrada desde um defeito inicial, a i, até um defeito final a f, resultando o número de ciclos de propagação da fenda: a f 1 N p = da C Δ m K a 1 (3) i O integral anterior é resolvido numericamente usando um processo incremental de propagação de fenda, e assumindo que a gama do factor de intensidade de tensões é constante em cada incremento de fenda. No presente estudo considerou-se incrementos de fenda reduzidos de a=0.01 mm. O modelo proposto nas Eqs. (2)-(3) requer a definição do comprimento inicial da fenda, a i, necessário ao cálculo do número de ciclos de propagação da fenda de fadiga. Vários critérios de iniciação têm sido considerados no intervalo mm, sendo o valor de 0.5 mm, uma definição habitual [8]. No procedimento proposto, o critério de iniciação é contabilizado de forma probabilística, tendo-se optado por uma distribuição de densidade de probabilidade triangular com valor mínimo de 0.1 mm, valor máximo de 1.0 mm e valor mais provável de 0.5 mm. O comprimento crítico da fenda, a f, pode ser estimado com base na tenacidade do material ou nas dimensões do componente. Neste estudo considerou-se como fenda crítica o valor de 10.5 mm, obtido com base na dimensão da secção resistente do componente. O critério da tenacidade ou dimensão da secção resistente do componente deve produzir resultados muito próximos, pois a fenda propaga rapidamente para grandes comprimentos de fenda. A Fig. 9 ilustra o procedimento proposto para determinação da vida à fadiga, N f, de ligações rebitadas, dada a gama de tensão efectiva, σ. Os parâmetros de entrada do modelo são definidos na forma probabilística, nomeadamente: tensão de pré-esforço, atrito, critério de iniciação (a i ) e o coeficiente C da lei de Paris. Adicionalmente, o modelo deformação-vida usado está definido na forma probabilística. As deformações locais são calculadas usando o modelo de Neuber [10], juntamente com a relação de Ramberg-Osgood do material [4]. O modelo probabilístico proposto consiste na simulação estatística de um modelo determinístico. As variáveis/parâmetros mais importantes do modelo determinístico são substituídos por variáveis aleatórias descritas por distribuições estatísticas adequadas,

9 baseadas em resultados experimentais e considerações empíricas. Adicionalmente, o modelo proposto recorre a um modelo probabilístico que descreve de forma conveniente os dados deformação-vida do material. A resposta do modelo, ou seja, a distribuição densidade de probabilidade do número de ciclos de rotura por fadiga, é calculada recorrendo à técnica de amostragem de Monte Carlo. São gerados valores aleatórios de cada parâmetro de entrada do modelo, de acordo com as respectivas distribuições estatísticas e é calculado o número de ciclos de rotura, com o modelo determinístico. Os valores aleatórios dos parâmetros de entrada do modelo são definidos através das distribuições de probabilidade acumulada do seguinte modo: são gerados valores aleatórios entre 0 e 1, os quais definem uma probabilidade acumulada (ordenada) à qual se faz corresponder o valor da variável aleatória (abcissa). Este processo é repetido preferencialmente durante um grande número de iterações, resultando a distribuição do número de ciclos de rotura. RESULTADOS E DISCUSSÃO A técnica de simulação de Monte Carlo foi usada para estimar o campo S-N probabilístico da ligação rebitada. Um total de simulações foi realizado para cada valor de gama de tensão efectiva seleccionada para obtenção do campo P-S-N. Na Fig. 10 apresenta-se o campo P-S-N gerado assim como os resultados experimentais. O campo P-S-N é representado através de curvas S-N que delimitam as probabilidades de rotura de 1%, 5%, 50%, 95% e 99%. Importa referir que todos os resultados experimentais caem entre os percentis de 1% e 99%. Também se pode constatar uma distribuição dos resultados experimentais numa forma quase simétrica em torno do percentil 50%. Estas duas observações mostram claramente a qualidade do procedimento proposto para estimativa do campo S-N probabilístico. Gama de tensão efectiva, Δσ net [MPa] 1000 Dados Exp. p=5% p=95% p=1% p=50% p=99% E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 Número de ciclos de rotura, N f Figura 9. Procedimento para estimativa da vida à fadiga de ligações rebitadas. Figura 10. Campo P-S-N da ligação rebitada. CONCLUSÕES Neste artigo foi proposto um procedimento para estimativa do campo S-N probabilístico de ligações rebitadas, que tem em conta as fases de iniciação e propagação de fendas de fadiga. Os diversos parâmetros de entrada do modelo, tais como as propriedades básicas do material, foram definidos na forma probabilística. Adicionalmente o atrito, pré-esforço no

10 rebite e critério de iniciação da fenda de fadiga, foram definidos na forma probabilística de modo a contabilizar a incerteza que estes parâmetros introduzem usualmente nas previsões. O campo S-N probabilístico foi calculado recorrendo à técnica de amostragem de Monte Carlo. O procedimento proposto foi aplicado a uma ligação rebitada simples com corte duplo construída com ferro pudelado extraído da ponte de Fão. O campo S-N probabilístico gerado mostrou ser bastante consistente com os resultados experimentais, demonstrando uma boa performance do procedimento proposto. AGRADECIMENTOS Os autores agradecem a Fundação para a Ciência e Tecnologia pelo apoio concedido através do projecto PTDC/EME-PME/78833/2006 e Bolsa de Doutoramento SFRH/BD/66497/2009. REFERÊNCIAS [1] American Society for Testing and Materials ASTM E606-92: Standard Practice for Strain Controlled Fatigue Testing em Annual Book of ASTM Standards, Vol , West Conshohocken, PA, 1998, p [2] Castillo, E.; Fernández-Canteli, A. A Unified Statistical Methodology for Modeling Fatigue Damage, Springer, 2009, 232 p. [3] Morrow, J.D. Cyclic plastic strain energy and fatigue of metals em Internal friction, damping and cyclic plasticity: ASTM STP 378, Philadelphia, PA, American Society for Testing and Materials, 1965, p [4] Ramberg, W.; Osgood, W.R. Description of stress strain curves by three parameters. Naca TN 402, National Advisory Committee for Aeronautics, [5] American Society for Testing and Materials ASTM E647: Standard Test Method for Measurement of Fatigue Crack Growth Rates em Annual Book of ASTM Standards, Vol , West Conshohocken, PA, 1999, p [6] Paris, P.C.; Erdogan, F. A critical analysis of crack propagation laws, Transactions of The ASME. Series E: Journal of Basic Engineering, Vol. 85, 1963, p [7] SAS - Swanson Analysis Systems Inc ANSYS. Houston, Versão [8] Silva, J.F.N. Comparação da resistência à fadiga entre ligações rebitadas e aparafusadas, Tese de Mestrado, Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro, Portugal, [9] Krueger, R. Virtual crack closure technique: History, approach, and applications, Applied Mechanics Reviews, Vol. 57, No. 2, 2004, p [10] Neuber, H. Theory of stress concentrations for shear strained prismatic bodies with arbitrary non-linear stress strain law, Journal of Applied Mechanics, Vol. 28, 1961, p