AVALIAÇÃO A PARTIR DE SIMULAÇÃO DO LIMITE SUPERIOR H DE UM GRÁFICO MULTIVARIADO DE SOMAS ACUMULADAS (MCUSUM)

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1 ISSN AVALIAÇÃO A PARTIR DE SIMULAÇÃO DO LIMITE SUPERIOR H DE UM GRÁFICO MULTIVARIADO DE SOMAS ACUMULADAS (MCUSUM) Elisa Henning (UDESC) Custodio da Cunha Alves (UNIVILLE) Andréa Cristina Konrath (FURG) Resumo O monitoramento efetivo e simultâneo de múltiplas características da qualidade de um processo produtivo depende de ferramentas estatísticas cada vez mais específicas. Assim, o objetivo deste trabalho é investigar a partir de simulação, a accurácia dos valores do limite superior h de um gráfico multivariado de somas acumuladas MCUSUM aproximados pelo Método da Equação Integral. Um estudo de simulação foi desenvolvido no ambiente GNU R e os valores de ARL produzidos foram comparados com os obtidos analiticamente por cadeias de Markov. Uma análise da distribuição dos valores do RL complementa este estudo. Os resultados indicam que o limite superior h aproximado pelo Método da Equação Integral retorna o que esperado em termos de ARL. Palavras-chaves: Controle Estatístico de Processo; Gráfico MCUSUM; Simulação.

2 1. Introdução Nas últimas décadas diversas áreas do setor produtivo vêm experimentando acelerados avanços tecnológicos e, desta forma, exigindo ferramentas estatísticas cada vez mais específicas para monitorar e avaliar a atual complexidade de seus processos. Este rápido crescimento em tecnologias de aquisição de dados e o uso de computadores para o monitoramento on-line de processos possibilitam, em tempo real, e com menores custos, o monitoramento simultâneo de várias características da qualidade ou variáveis de processo correlacionadas, como os procedimentos de gráficos de controle estatístico de processos multivariados (ALVES; HENNING; SAMOHYL, 2008). Os gráficos de controle amplamente aplicados ao monitoramento de processos são ainda, sem dúvida, os tradicionais gráficos que utilizam técnicas univariadas de controle estatístico de processos. Apesar de extremamente eficazes estas ferramentas não são indicadas em situações onde se faz necessário o monitoramento simultâneo de duas ou mais características da qualidade de um processo. Para estas situações ferramentas cada vez mais específicas devem ser utilizadas para detectar, identificar e analisar as causas significativas de variabilidade que afetam o comportamento de um processo de maneira imprevisível. Os gráficos de controle multivariados representam uma destas técnicas estatísticas emergentes utilizadas com sucesso para controlar simultaneamente várias características correlacionadas que indicam a qualidade de um único processo produtivo (ALVES; HENNING; SAMOHYL, 2008). Os principais gráficos de controle estatístico multivariado mais utilizados são: o gráfico T 2 de Hotelling (HOTELLING, 1947), o MCUSUM desenvolvido por Crosier (1988) e o gráfico MEWMA, por Lowry et al. (1992). Os gráficos MCUSUM e MEWMA têm como principal característica serem sensíveis a pequenas e persistentes mudanças no processo. Estes gráficos são desenvolvidos a partir de medições do resultado do processo para múltiplas variáveis. Estas medições são apresentadas, geralmente, para subgrupos de itens coletados, denominados na literatutura de subgrupos racionais. No entanto, em indústrias de processos (químicas, petroquímicas, de mineração e outras) podemos considerar um item como sendo uma porção de material coletado instantaneamente de determinada corrente ou de um lote 2

3 homogêneo de algum produto. Nestas situações é recomendável o monitoramento de processos mediante observações individuais (MONTGOMERY, 2004). O desempenho de um gráfico de controle é comumente avaliado através de parâmetros relacionados com a distribuição do tempo necessário para o gráfico emitir um sinal. O numéro médio de amostras coletadas até emissão de um sinal (ARL - Average Run Length), é um desses parâmetros. Num gráfico de controle o ARL 0 indica o número médio de amostras coletadas até a emissão de um sinal durante o período sob controle enquanto o ARL 1 representa o número médio de amostras coletadas até a emissão de um sinal que indique uma situação de fora de controle (ALVES; SAMOHYL, 2004). Além disso, com o avanço da tecnologia, programas computacionais comerciais tem possibilitado um maior desenvolvimento e implantação de métodos estatísticos multivariados na indústria como ferramentas de controle da qualidade. No entanto, pouca atenção tem sido direcionada às especificidades do desenvolvimento específico de gráficos de controle multivariados (ALVES, 2009), principalmente no tocante aos gráficos MCUSUM e MEWMA. Uma razão pode a que o cálculo das medidas de desempenho não é trivial, abrangendo técnicas sofisticadas e computacionalmente trabalhosas como cadeias de Markov. O objetivo deste estudo é investigar o desempenho de um gráfico MCUSUM com os limites aproximados pelo Método da Equação Integral (ALVES, 2009; ALVES; HENNING; SAMOHYL, 2011), uma opção computacional mais simples, a partir de um processo de simulação. O artigo está assim estruturado, na Seção 2 descreve-se o gráfico MCUSUM e as abordagens para o calcular suas medidas de desempenho; na Seção 3 descreve-se os procedimentos metodológicos; na Seção 4 apresentam-se os resultados obtidos e análise destes e, na Seção 5 estão as conclusões e considerações finais. 2 Gráfico de Controle MCUSUM O gráfico de controle multivariado mais conhecido e, atualmente utilizado para monitorar o vetor de médias de um processo, é ainda o tradicional gráfico T 2 de Hotelling. Neste gráfico, cada conjunto de dados ou cada valor é inserido individualmente e a sua relação com outros pontos é determinada apenas pelo gráfico (BERSIMIS; PSARAKIS; PANARETOS, 2007). Apesar de extremamente eficaz, não é a única ferramenta disponível para a análise estatística multivariada de processos industriais. Em alguns casos, outros tipos de gráficos de controle multivariados podem complementar ou substituir com vantagens este gráfico. É o caso dos 3

4 gráficos de controle multivariado com memória MCUSUM, objeto de estudo deste trabalho. Este gráfico acumula a informação mais recente com informações anteriores e, com isso, detecta pequenas mudanças dos parâmetros de um processo multivariado com um número médio de amostras até o sinal (ARL) bem menor do que fariam os gráficos T 2 de Hotelling, para um mesmo valor de ARL 0 (MONTGOMERY, 2004). O modelo de gráfico de controle univariado CUSUM (Soma Acumulada), de acordo com Alves e Samohyl (2004) oferece maior sensibilidade a pequenos e moderados desvios na média de um processo que passam despercebidos pelo gráfico de Shewhart. Os procedimentos de controle estatísticos multivariados baseados na filosofia CUSUM são discriminados em duas principais categorias: (i) procedimentos de controle que utilizam múltiplos gráficos de controle CUSUM univariados (abreviados por MCU), desconsiderando assim a correlação entre as variáveis e (ii) procedimentos de controle que utilizam um gráfico de controle CUSUM multivariado (abreviado por MCUSUM), isto é, utilizam a matriz de covariâncias das variáveis para obter uma aproximação do gráfico CUSUM em processos multivariados. O gráfico de controle multivariado de Soma Acumulada (MCUSUM - Multivariate CUSUM Control Chart) é um procedimento que utiliza a soma acumulada dos desvios de cada vetor aleatório previamente observado em relação ao valor nominal para monitorar o vetor de médias de um processo multivariado (ALVES, 2009). Este gráfico de controle foi proposto por Crosier (1988) a partir de dois procedimentos de controle. O primeiro procedimento baseado na raiz quadrada da estatística T 2 de Hotelling denominado de gráfico de controle CUSUM COT (CUSUM of T) consiste em reduzir as observações multivariadas a escalares. O segundo procedimento denominado MCUSUM (CUSUM de vetores) se constitui numa extensão multivariada do gráfico de controle CUSUM univariado onde as quantidades escalares são substituídas por vetores. Define-se C i como 1 C [( S X μ )' ( S X μ )], (1) i i 1 i o i 1 onde S i são as somas acumuladas expressas por i o 0, se Ci k; S k i (2) ( Si 1 Xi)(1 ), se Ci k, Ci com S o 0 e valor de referência k > 0, relacionado à magnitude de mudança. 4

5 A estatística Y i de controle a ser plotada no gráfico de controle MCUSUM é dada por Y S '. (3) i 1 i S i O método sinaliza uma situação fora de controle se Y i > H na equação (3). O valor de H intervalo de decisão (limite superior de controle) é escolhido a partir do desempenho de ARL para o gráfico de controle MCUSUM. Crosier (1988) demonstra que, de uma maneira geral, este procedimento tem desempenho de ARL (número médio de amostras coletadas até à emissão de um sinal) melhor do que o procedimento escalar. Além disso, ainda de acordo com o Croisier (1988), este tipo de gráfico de controle apresenta um desempenho de ARL superior em relação ao gráfico T 2 de Hotelling na detecção de deslocamentos no vetor de médias do processo. 2.1 Medidas de desempenho O desempenho de um gráfico de controle é comumente avaliado a partir do ARL. No entanto, poucos trabalhos que abordam a otimização dos parâmetros do gráfico de controle multivariado MCUSUM (ALVES, 2009). Cadeias de Markov, são aplicadas por Woodall e Ncube (1985), Crosier (1988), Pignatiello e Runger (1990) e Lee e Khoo (2006). Esta abordagem pode ser computacionalmente trabalhosa, dependendo do número de estados que tem a cadeia de Markov. Outra abordagem envolve o método da Equação Integral (PAGE, 1954). Extensões multivariadas do são propostas para o gráfico MEWMA (RIGDON, 1995) e para o gráfico MCUSUM (ALVES, 2009). Procedimentos de simulação também podem ser aplicados para determinar o ARL. Gera-se uma seqüência de observações de uma distribuição pré-especificada e seguidamente calculase o valor da estatística de controle até que ele fique fora dos limites de controle. O número médio de observações necessárias até à emissão de um sinal, isto é, o valor de ARL, varia de seqüência para seqüência. A estimativa para o ARL obtém-se repetindo o procedimento um elevado número de vezes ( ou mais para se obter uma estimativa precisa) e calculandose os valores de ARL. Para facilitar a implementação deste método, determina-se o ARL assumindo que as mudanças no valor médio em relação ao valor pretendido ocorrem no instante em que inicia o procedimento (ALVES, 2009). Este procedimento é recomendado 5

6 para checar a implementação de outras abordagens (HAWKINS; OLWELL, 1998), o que é feito neste trabalho. O uso do ARL como medida de desempenho é vista com ressalvas. Algumas razões apontam para o fato de que a distribuição do RL pode assumir características assimétricas (MONTGOMERY, 2004; KHOO; TEH; CHUAH; FOO; 2011). Assim o MRL (Median Run Length) aparece em alguns trabalhos como uma importante medida de desempenho a ser avaliada (LEE, KHOO, 2006; KHOO; TEH; CHUAH; FOO; 2011). Ressalta-se que a mediana é uma medida mais robusta a presença de valores extremos. 3. Procedimentos Metodológicos Neste trabalho investiga-se, a partir de simulação, a acurácia dos parâmetros do MCUSUM aproximados pelo Método da Equação Integral (ALVES, 2009; ALVES; HENNING; SAMOHYL, 2011). Um único cenário estudado abrange um gráfico MCUSUM planejado para p = 2 variáveis, ARL 0 = 200, h = 4,95, aproximado pelo método da equação integral com quadratura gaussiana, e valor de referência k = 0,5. Este MCUSUM foi delineado para detectar mudanças de δ = 1, ou seja um desvio padrão no vetor de médias do processo. O vetor de médias sob controle é (0,0 ) e a matriz de covariâncias é uma matriz identidade 0 (I). Foram simuladas N amostras com duas variáveis, com vetor de médias (0, ), δ=0; 0,25; 1 0,50; 0,75; 1,00; 1,25; 1,50; 1,75 e 2,00. Assim, a primeira simulação envolve a situação sob controle e serve para avaliar a condição do ARL 0, ou seja, se realmente, em média um alarme falso será emitido a cada 200 amostras. Nas demais avalia-se o valor do ARL 1, incluindo mudanças em apenas uma das variáveis. É aplicado então um gráfico MCUSUM (ALVES; HENNING; SAMOHYL, 2008) ao conjunto de dados simulado e armazenado o número da amostra em que é ultrapassado pela primeira vez o limite superior de controle. Esse procedimento é replicado vezes e calculadas a média (ARL), mediana (MRL), e desvio padrão (SDRL) dos valores armazenados. O SDRL irá auxiliar na análise da variabilidade dos valores de RL produzidos. Além das medidas descritivas, gráficos violin plots (ADLER, 2005) são construídos para que se possa melhor visualizar a forma da distribuição dos dados. Violin plots (ou apenas vioplot) é um método gráfico para análise de dados quantitativos. Pode ser visto como combinação do boxplot e de um gráfico de densidade Kernel. É um gráfico similar ao boxplot, com exceção 6

7 que também mostra a densidade de probabilidade dos dados. Especificamente, ele começa com o boxplot, com indicação da mediana e da distância interquartil, sendo então acrescentado um gráfico de densidade Kernel rotacionado, em cada lado do boxplot. Nestes gráficos há indicação da mediana e da distancia interquartil. Sua forma é semelhante à de um violino, daí o nome recebido (HINTZE, 1998). Os valores de ARL obtidos, e os de MRL, quando possível, serão comparados com os calculados pela abordagem markoviana (LEE; KHOO, 2006). Não foram encontrados valores de SDRL ainda para comparações. As simulações foram realizadas com o ambiente GNU R (R DEVELOPMENT CORE TEAM, 2010) e a as rotinas aplicadas estão no apêndice ao final deste trabalho. 4. Resultados Na Tabela 1 estão os valores de ARL, MRL e SDRL simulados resultantes de um MCUSUM com k = 0,5; h = 5,493, ARL 0 = 200 e δ=0; 0,25; 0,50; 0,75; 1,00; 1,25; 1,50; 1,75 e 2,00. Gráficos violin plot para δ = 0 (sob controle) e δ = 0,5; 1,0 e 1,5 estão nas Figuras 1 e 2. A linha vermelha tracejada corresponde ao valor do ARL. A análise conjunta dos valores tabelados e dos gráficos indica que a distribuição do RL é assimétrica. Na medida em que a mudança δ aumenta, a distribuição tende a ficar um pouco mais simétrica, com os valores de MRL mais próximos dos valores de ARL. Os valores de SDRL reforçam a assimetria da distribuição. Para valores menores de δ, a variabilidade é maior, conforme o coeficiente de variação CV calculado (Tabela 1). O coeficiente de variação corresponde a razão entre a média, neste caso o ARL, e o desvio padrão (SDRL). Em termos de ARL 0, verificou-se que o número de alarmes falsos é realmente o de planejamento (200). δ ARL MRL SDRL CV (em %) 0,0 200,30 141,00 192,3 96 0,25 84,56 61,00 75, ,50 29,48 23,00 22, ,75 15,17 13,00 9, ,00 9,84 9,00 4, ,25 7,30 7,00 3, ,50 5,78 5,00 2,

8 1,75 4,81 5,00 1, ,00 4,12 4,00 1,26 31 Tabela 1: Valores de ARL, MRL, SDRL e CV (em %) para um MCUSUM simulado k = 0,5; h = 5,493 e ARL 0 = 200. RL RL Figura 1: Gráfico Vioplot para o RL de um MCUSUM com k = 0,5; h = 4,93; ARL 0 = 200 e δ = 0 e 0,75. 8

9 RL RL Figura 2: Gráficos Vioplot para o RL de um MCUSUM com k = 0,5; h = 4,93; ARL 0 = 200 e δ = 1,00 e 1,50. Na Tabela 2 estão os valores de ARL simulados e calculados por cadeias de Markov (LEE, KHOO, 2006 p. 493) resultantes de um MCUSUM com k = 0,5; h = 5,493 e ARL 0 = 200. É também calculado o erro relativo percentual. Pode se observar, que os resultados estão muito próximos aos calculados pela abordagem markoviana, com o erro máximo inferior a 1%. δ ARL MCM Erro(%) 0,0 200,30 199,93 0,185 0,25 84,56 84,45 0,130 0,50 29,48 29,61 0,439 0,75 15,17 15,23 0,394 1,00 9,84 9,90 0,606 1,25 7,30 7,28 0,275 1,50 5,78 5,77 0,173 1,75 4,80 4,80 0,000 2,00 4,12 4,12 0,000 Tabela 2: Valores de ARL simulados (SIM) e a partir de Cadeias de Markov (LEE; KHOO, 2006, p. 493) e respectivos erros relativos percentuais, para um gráfico MCUSUM com k = 0,5; h = 5,493 e ARL 0 =

10 Um gráfico comparativo de log (ARL), com os valores de ARL da Tabela 1, resultantes da simulação (SIM) e a partir de Cadeias de Markov está na Figura 2. Praticamente não são percebidas as diferenças entre dois gráficos, o que já era esperado em virtude da magnitude dos erros. log(arl) SIM MCM Figura 3: Comparação entre os valores de ARL simulados, tabelados MEI (ALVES, 2009) e obtidos por cadeias de Markov (LEE; KHOO, 2006). 5. Conclusões e Considerações finais Neste trabalho avaliou-se o desempenho de um gráfico MCUSUM onde o limite superior h foi aproximado pelo Método da Equação Integral. A avaliação foi realizada a partir de procedimentos de simulação e os resultados comparados com os valores obtidos pela abordagem markoviana. Pode-se concluir que os resultados, de modo geral, são bons, pois no caso do ARL 0 alcançaram a taxa de alarmes falsos de projeto e para o ARL 1, quando comparados com os da literatura apresentaram erros inferiores a 1%. Este trabalho não acaba aqui, e são muitas as possibilidades de estudos futuros. Apenas um caso ( p = 2 variáveis, ARL 0 = 200 e δ =1) foi estudado. Há necessidade de se verificar os desempenho para outros valores de ARL 0, e mais variáveis, com p = 3 ou 4, por exemplo. Além disso, analisar o comportamento de gráficos planejados para detectar diferentes 10

11 magnitudes de mudança δ. Outras medidas descritivas, como os demais quartis e os coeficientes de assimetria e curtose complementariam a análise da distribuição do RL. Para finalizar, sugere-se explorar mais o MRL, e seu papel como medida de desempenho. Referências ADLER D. vioplot: Violin plot. R package version 0.2 (2005). Disponível em: Acesso em: 03 de abril de ALVES, C.C.; SAMOHYL, R.W. A utilização dos gráficos de controle CUSUM para o monitoramento de processos industriais. In: ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO, 24., 2004, Florianópolis, Anais..., Florianópolis, ALVES, C. C. Método da Equação integral com quadratura gaussiana para otimizar os parâmetros do gráfico de controle multivariado de somas acumuladas f. Tese (Doutorado em Engenharia de Produção) Centro Tecnológico, Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis. ALVES, C.C.; HENNING, E.; SAMOHYL, R.W. O desenvolvimento de gráficos de controle MCUSUM e MEWMA em ambiente R como um procedimento alternativo para análise estatística de processos multivariado. In: ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO, 28., 2008, Rio de Janeiro, Anais..., Rio de Janeiro, ALVES, C.C.; HENNING, E.; SAMOHYL, R.W. The Integral Equation Method with Gaussian Quadrature to optimize the parameters of the Multivariate Cumulative Sum (MCUSUM) Control Chart. Working Paper, NNQ (Núcleo de Normalização e Qualimetria), BERSIMIS, S.; PSARAKIS, S.; PANARETOS, J. Multivariate Statistical Process Control Charts: An Overview. Quality and Reliability Engineering International, v.23, p , 2007 CROSIER, R.B. Multivariate Generalizations of Cumulative Sum Quality-control Schemes. Technometrics, v.30, n.3, p , HINTZE, J.L.; RAY, D.N. Violin Plots: A Box Plots Density Trace Synergism. The American Statistician, v. 52, n. 2, p ,

12 KHOO, M.B.C.; THE, Y.T.; CHUAH, S.K.; FOO, T.F. A Comparison on the MRL performances of Optimal MEWMA and Optimal MCUSUM Charts. In: Proceedings of the International Conference on Advanced Science, Engineering and Information Technology. Malaysia, LEE, M.H.; KHOO, M.B. Optimal Statistical Designs of a Multivariate Cusum Chart based on ARL and MRL, International Journal of Reliability, Quality and Safety Engineering, V. 13, n.5, pp , LOWRY, C.A.; WOODALL,W.H.; CHAMP, C.W.; RIGDON, S.E. A Multivariate Exponentially Weighted Moving Average Control Chart. Technometrics, v.34, n.1, p.46-53, MONTGOMERY, D. C. Introdução ao Controle Estatístico da Qualidade. 4ª Ed. LTC, R DEVELOPMENT CORE TEAM. R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. Disponível em: Acesso em 10/12/2009 APÊNDICE: ROTINAS NO R Rotina da simulação no R library(mass) #matriz de covariâncias s=matrix(c(1,0,0,1),ncol=2) #vetor de médias sob-controle media=matrix(c(0,0),ncol=1) #vetor de médias considerado fora de controle N=2000 media1=matrix(c(0,0),ncol=1) #para alarmes falsos N=1000 media1=matrix(c(0,0.25),ncol=1) media1=matrix(c(0,0.50),ncol=1) N=200 # a partir daqui N=200 12

13 media1=matrix(c(0,0.75),ncol=1) media1=matrix(c(0,1.0),ncol=1) media1=matrix(c(0,1.25),ncol=1) media1=matrix(c(0,1.5),ncol=1) #simulaçao ponto=0 for (i in 1:20000){ x=mvrnorm(n=n, media, s) # variar o vetor de médias 1 o1=mcusum4(x,media1,mc=s,k=0.5,arl0=200) y=o1$estatistica.mcusum obs=1:nrow(x) pontos.s<-matrix(c(0),ncol=2,nrow=nrow(x)) for (n in 1:nrow(x)){pontos.s[n,1]=obs[n]} for (n in 1:nrow(x)){pontos.s[n,2]=y[n]} pontos.fora.s=subset(pontos.s,y>o1$h) pontos.dentro.s<-subset(pontos.s,y<=o1$h) ponto[i]<ifelse(nrow(pontos.dentro.s)>=nrow(pontos.s),na,pontos.fora.s[ 1,1])} ponto summary(ponto) 13