Exercícios para Fundamentos da Programação Utilizando Múltiplos Paradigmas

Transcrição

1 Exercícios para Fundamentos da Programação Utilizando Múltiplos Paradigmas Pedro Adão, Fausto Almeida, Ana Cardoso-Cachopo, Pedro Amaro de Matos (editores) Departamento de Engenharia Informática Instituto Superior Técnico Universidade Técnica de Lisboa

2 2

3 3 Preâmbulo O objectivo desta publicação é disponibilizar um conjunto de exercícios que permitam aos alunos da disciplina de Fundamentos de Programação da Licenciatura em Engenharia Informática e de Computadores do Instituto Superior Técnico consolidarem os conhecimentos adquiridos ao longo do semestre. Os exercícios estão divididos de acordo com os capítulos do livro adoptado na disciplina: Fundamentos da Programação Utilizando Múltiplos Paradigmas, de João Pavão Martins e Maria dos Remédios Cravo, editado pela IST Press em Sempre que tal foi considerado relevante, os exercícios foram subdivididos de acordo com o seu tipo. Chama-se a atenção dos alunos para a indicação do nível de dificuldade de 1 a 4, correspondendo o nível 1 a exercícios muito fáceis e o nível 4 a exercícios francamente difíceis. Esta informação é apresentada dentro de um quadrado cinzento antes do enunciado do exercício a que diz respeito. Alguns destes exercícios correspondem a exercícios propostos nas sebentas (a) Exercícios da cadeira de Introdução à Programação, Cláudia Antunes, Ana Cardoso Cachopo, João Cachopo, Francisco Couto, António Leitão, Inês Lynce, César Pimentel e H. Sofia Pinto, editados por Inês Lynce, 2002, e (b) Exercícios para Programação em Scheme: Introdução à Programação Utilizando Múltiplos Paradigmas, Departamento de Engenharia Informática, IST.

4 4

5 Conteúdo 1 Noções básicas Exercícios de revisão Exercícios de programação Abstracção Procedimental Exercícios de revisão Exercícios de programação Avaliação de Expressões Definição de Procedimentos Recursão Valores aproximados de funções Processos gerados por procedimentos Exercícios de revisão Exercícios de programação Estruturação de Procedimentos Exercícios de revisão Exercícios de programação Estrutura de Blocos Utilização de Nomes Locais Abstracção de dados Exercícios de revisão Exercícios de programação Caixas e ponteiros Tipo tempo Tipo data Complexos Listas Árvores Binárias Procedimentos de ordem superior Exercícios de revisão Exercícios de programação Procedimentos que recebem procedimentos Procedimentos que produzem procedimentos

6 6 CONTEÚDO 7 O desenvolvimento de programas Exercícios de revisão Exercícios de programação

7 Capítulo 1 Noções básicas 1.1 Exercícios de revisão 1. O que é um processo computacional? Qual a relação entre um programa e um processo computacional? 2. O que é um algoritmo? Explique cada uma das suas características: rigor, eficácia e garantia de terminação. 3. O que é um programa? Qual a sua relação com um algoritmo? 4. O que é a abordagem do topo para a base? Aplique-a à solução de um problema à sua escolha. 5. Em que consiste a abstracção? Qual a sua vantagem? 6. Explique em que consiste o ciclo lê-avalia-escreve. 7. O que são a sintaxe e a semântica de uma linguagem? Como se descrevem? 8. Dê um exemplo de cada um dos seguintes tipos de entidades existentes em Scheme: (a) Constante. (b) Procedimento primitivo. (c) Combinação. (d) Forma especial. 9. Diga o que é uma combinação, apresentando a sua sintaxe em notação BNF e explicando informalmente os símbolos não terminais que a compõem. 10. Quais os passos seguidos pelo Scheme na avaliação de uma combinação? 11. O que é um predicado? Dê um exemplo. 12. O que é uma definição recursiva? Quais as partes que a compõem? 13. Considere a operação de nomeação em Scheme. (a) Qual a sintaxe e a semântica da operação de nomeação? 7

8 8 CAPÍTULO 1. NOÇÕES BÁSICAS (b) Explique a razão de esta operação corresponder a uma forma especial. (c) Qual a necessidade da definição desta operação? 14. O que é um ambiente? 1.2 Exercícios de programação 1. (1) Instale o Scheme no seu computador seguindo as instruções do Manual de Sobrevivência em Scheme. 2. (1) Na janela de interacção do Scheme execute as seguintes acções: (a) Avalie a constante inteira correspondente ao seu número de aluno. (b) Avalie a cadeia de caracteres correspondente ao seu nome completo. (c) Calcule a diferença entre 2007 e o seu ano de nascimento. (d) Calcule a área de um círculo com diâmetro 10. (e) Calcule a razão entre a área de um quadrado com 10 de lado e a área de um círculo com diâmetro (1) Converta as seguintes expressões para a notação do Scheme: (a) (1 + 5) 6 12/3 (b) /5 (c) ( /3 2) (8/ ) 4. (2) Traduza as seguintes expressões para notação prefixa e calcule o seu valor utilizando o interpretador do Scheme. Mostre a árvore de avaliação para cada uma delas utilizando o modo de avaliação de expressões em Scheme. (a) ( )/(2 + 1) (b) (5 + 4) 3/2 1 (c) /4 5 6/(7 + 8) 5. (1) Suponha que as seguintes expressões são avaliadas pelo Scheme. Na linha imediatamente a seguir a cada uma delas diga o que é escrito pelo interpretador do Scheme (se a avaliação de alguma das expressões der origem a um erro, explique a razão do erro). (a) (+ 1 20) (b) (1 + 20) 6. (1) Considere uma máscara de papel feita a partir um círculo de papel de raio 5. Os dois olhos são círculos de raio 1 recortados, o nariz é um quarto de círculo de raio 3 recortado e a boca corresponde a meio círculo de raio 3, também recortado. Escreva uma expressão em Scheme para calcular a área ocupada pela máscara. (a) Escreva o código em texto corrido usando os valores apropriados. (b) Escreva o código usando a indentação elegante.

9 1.2. EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO 9 (c) Escreva o código definindo nomes Raio-Face, Raio-Olhos, Raio-Nariz, Raio-Boca para os raios dos círculos referidos. (d) Escreva o código utilizando os nomes Area-Face, Area-Olhos, Area-Nariz, Area-Boca, com os valores apropriados. (e) Avalie cada uma das respostas das alíneas anteriores quanto à legibilidade do código. 7. (1) Suponha que as seguintes expressões são avaliadas pela ordem apresentada. Diga o que é escrito pelo interpretador do Scheme. Se a avaliação de alguma das expressões der origem a um erro, explique a razão do erro. (a) (* 4 ( )) (b) (define a 5) (c) (+ a b) (d) (define b (* (+ 5 a) (+ 2 56))) (e) (+ a b) (f) a (g) (define a (+ a 2)) (h) a (i) + (j) 7.0 (k) (* 2 (/ 8 4)) (l) (+ 3 ) (m) (define a a) (n) a 8. (1) Diga qual o resultado de avaliar cada uma das seguintes formas. Se a avaliação de uma forma não produzir resultados escreva -nada-. Se a avaliação de uma forma produzir um erro, explique a sua razão. (a) (and (> 3 5) (/ 3 0)) (b) (and (/ 3 0) (> 3 5)) (c) (+ 8 (max 3 2)) (d) (define a 5)

10 10 CAPÍTULO 1. NOÇÕES BÁSICAS

11 Capítulo 2 Abstracção Procedimental 2.1 Exercícios de revisão 1. Diga qual a diferença entre uma função matemática e um procedimento em Scheme para o cálculo dessa função. 2. Explique o que são os parâmetros formais e o que são os parâmetros concretos, referindo, em particular onde aparecem os parâmetros formais e onde aparecem os parâmetros concretos e quando e como é que os parâmetros formais são associados com os parâmetros concretos. 3. Utilizando a notação BNF, apresente a definição de uma expressão lambda. Explique cada um dos constituintes da sua definição. 4. O que é um procedimento anónimo? Dê um exemplo. 5. Diga o que é abstracção procedimental e qual a sua vantagem. 6. Escreva as regras seguidas pelo Scheme para a avaliação de uma expressão. 7. O que é um ambiente local? Qual o significado de dizer que um nome está ligado num ambiente? 2.2 Exercícios de programação Avaliação de Expressões 1. (1) Avalie as seguintes formas. Se alguma das avaliações der origem a um erro, explique qual a razão do erro. (a) (3 1) (b) ((lambda (x) (+ 2 x)) 3) (c) ((lambda (x) ((lambda (y) (* y 2)) (+ x 3))) 4) (d) ((lambda (x) (+ x 3)) ((lambda (y) (* y 2)) 4))

12 12 CAPÍTULO 2. ABSTRACÇÃO PROCEDIMENTAL 2. (1) Diga qual o resultado de avaliar cada uma das seguintes formas. Considere que estas são fornecidas ao avaliador do Scheme pela ordem apresentada (e consequentemente cada forma é dependente das anteriores). Se a avaliação de uma forma não produzir resultados escreva -nada-. Se a avaliação de uma forma produzir um erro, explique a sua razão. (a) (define a 5) (b) (if (odd? a) (+ a 2) (* a 3)) (c) (lambda (x) (+ b x)) (d) ((lambda (x)(+ a x)) b) 3. (1) Considere o procedimento (define (cont n) (if (< n 0) 0 (+ 2 (cont (- n 3))))) Com base nas regras de avaliação, desenhe a árvore que representa o funcionamento deste procedimento com a avaliação de (cont 5). 4. (1) Considere o procedimento (define (proc n) (cond ((= n 0) 1) ((= n 1) 1) (else (+ 3 (proc (- n 3)))))) Com base nas regras utilizadas pelo interpretador do Scheme para avaliar uma combinação, desenhe a árvore que representa o funcionamento deste procedimento com a avaliação de (proc 3). 5. (1) Considere a seguinte interacção com o Scheme: > (define (f x) (+ x 2)) > (define (g x) (* 2 (f x))) > (define (h x) (f (* 2 x))) > (g 3) 10 > (h 3) 8 Com base nas regras utilizadas pelo interpretador do Scheme para avaliar uma combinação, desenhe as árvores que representam o funcionamento destes procedimentos com a avaliação de (g 3) e de (h 3).

13 2.2. EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO (2) Repare que o nosso modelo de avaliação permite a existência de combinações cujos operadores são expressões compostas. Use esta observação para descrever o comportamento do seguinte procedimento: 1 (define (a-plus-abs-b a b) ((if (> b 0) + -) a b)) 7. (2) Considere a seguinte interacção em Scheme: > (define (f1 x) (* x x)) > (f1 5) 25 > (define f2 f1) (a) Qual o valor de (f2 5)? Justifique a sua resposta. (b) Suponha que agora definia o procedimento f2, do seguinte modo: > (define (f2 x) (+ x 10)) Quais os valores de (f1 5) e de (f2 5)? Justifique a sua resposta. 8. (2) Considere a seguinte definição: (define f ((lambda (x) (lambda (y) x)) 1)). Diga quais os resultados da avaliação sequencial das seguintes expressões. Se alguma das expressões produzir um erro, explique a razão do erro. (a) (f 2) (b) (define g (f 3)) (c) (g 4) (d) (define h f) (e) (h 6) Definição de Procedimentos 1. (1) Escreva um procedimento anónimo que soma dois ao seu argumento. 2. (1) Escreva um procedimento anónimo para representar a função de um argumento (x) cujo valor é calculado por (x 32) 5/9. 3. (1) Escreva um procedimento anónimo para representar a função de dois argumentos (x e y) cujo valor é calculado por (x + 3 y) (x y). 4. (1) Escreva o procedimento dobro que devolve o dobro do seu argumento. 1 Exercício 1.4 de Abelson H., Sussman G. J., e Sussman J., Structure and Interpretation of Computer Programs, 2 a Edição, p. 21, 1996.

14 14 CAPÍTULO 2. ABSTRACÇÃO PROCEDIMENTAL 5. (1) Escreva o procedimento metade que recebe um número inteiro positivo e devolve um número racional que corresponde a metade do seu argumento. 6. (1) Escreva um procedimento horas->dias que recebe um inteiro correspondente a um certo número de horas e que devolve um número real que traduz o número de dias correspondentes ao seu argumento. > (horas->dias 48) 2.0 > (horas->dias 10) (2) Escreva o procedimento digitos->numero que recebe como argumentos três dígitos e produz o número inteiro de três algarismos constituído pelos seus argumentos e pela ordem em que aparecem. > (digitos->numero 3 2 8) (1) Escreva um procedimento area-circulo que calcula a área de um círculo cujo raio é r. Note-se que esta área é dada pela fórmula πr (2) Utilizando o procedimento area-circulo do exercício anterior, escreva um procedimento area-coroa que calcula a área de uma coroa circular de raio interior r 1 e raio exterior r (1) Defina o procedimento media que recebe dois argumentos que devem ser números e devolve o número real que corresponde à média dos seus argumentos. 11. (1) Escreva um procedimento sinal, que receba um inteiro e devolva 1, 1 ou 0, caso o número seja, respectivamente, maior, menor ou igual a zero. 12. (1) Escreva o procedimento intermedio que recebe três números e devolve o número com o valor intermédio. 13. (3) Escreva um procedimento quant->qual, que recebe um real, representando uma nota quantitativa de um aluno (entre 0 e 20), e a transforma numa constante do tipo cadeia de caracteres que corresponde a uma nota qualitativa, de acordo com a tabela Nota quantitativa Nota qualitativa 18 a 20 Muito Bom 14 a 17 Bom 10 a 13 Suficiente 5 a 9 Mediocre 0 a 4 Mau A nota recebida deverá ser convertida para um número inteiro, antes da conversão para a nota qualitativa.

15 2.2. EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO (1) Escreva um procedimento que recebe as notas de um aluno de uma disciplina C1 (nota do projecto, média dos trabalhos das práticas, nota do teste, e nota do exame final) e calcula a sua nota final de acordo com as seguintes regras: (a) A nota na disciplina será calculada por uma média ponderada da classificação obtida nas provas realizadas, com os seguintes pesos: projecto 25%; trabalhos de casa e aulas práticas 10%; teste 20%; exame final 45%. (b) Para obter aprovação na disciplina, a nota do exame terá de ser superior a 7,5 valores, a nota do projecto terá de ser superior a 9,5 valores e a média ponderada da disciplina terá de ser superior a 9,5 valores. O seu procedimento deve devolver a nota final da disciplina (um inteiro) no caso de o aluno ter sido aprovado ou zero no caso do aluno ter sido reprovado. 15. (1) Utilizando os procedimentos desenvolvidos nos exercícios 13 e 14, escreva um procedimento em Scheme que recebe as notas de um aluno da disciplina C1 (nota do projecto, média dos trabalhos das práticas, nota do teste, e nota do exame final) e calcula a sua nota qualitativa final. 16. (3) O procedimento primitivo round, quando a parte decimal do número a arredondar é 0.5, arredonda por excesso ou por defeito (em termos de valor absoluto), consoante a parte inteira seja ímpar ou par. Por exemplo, > (round 5.5) 6.0 > (round 6.5) 6.0 Escreva um procedimento arredonda que arredonda sempre por excesso (em termos de valor absoluto), quando a parte decimal do número é 0.5. Por exemplo, > (arredonda 5.5) 6.0 > (arredonda 6.5) 7.0 > (arredonda -6.5) (2) Escreva um procedimento cinco? que tem o valor verdadeiro se o seu argumento for 5 e falso no caso contrário. Não utilize o if, nem o cond, nem nem. 18. (2) Escreva um procedimento (entre? val x y) que devolve verdadeiro, no caso de val se encontrar entre x e y (x < val < y) e falso no caso contrário. 19. (2) Escreva o procedimento bissexto? para verificar se um ano é bissexto. Um ano é bissexto se for divisível por 4 e não for divisível por 100, a não ser que seja também divisível por 400. Por exemplo, 1984 é bissexto, 1100 não é, e 2000 é bissexto.

16 16 CAPÍTULO 2. ABSTRACÇÃO PROCEDIMENTAL > (bissexto? 2000) > (bissexto? 1900) 20. (2) Escreva o procedimento data-valida? para verificar se uma data é válida. O seu procedimento deve receber 3 inteiros, em que o primeiro representa o ano, o segundo, o mês, e o terceiro, o dia, e verificar se a data correspondente existe no calendário. Por exemplo, e não são datas válidas (porque 1998 não é bissexto e Abril só tem 30 dias, respectivamente) mas é uma data válida. > (data-valida? ) > (data-valida? ) > (data-valida? ) 21. (2) Se a, b e c representam as dimensões dos lados de um triângulo, escreva um procedimento triangulo? que devolve verdadeiro se os valores de a, b e c puderem corresponder a lados de um triângulo e falso no caso contrário. Note que a, b e c podem representar as dimensões dos lados de um triângulo se: (a) nenhum dos valores a, b e c for negativo ou nulo; (b) a soma de quaisquer destes valores for maior do que o terceiro (num triângulo, qualquer lado é menor do que a soma dos outros dois). 22. (2) Escreva o procedimento classifica que recebe três números correspondentes aos comprimentos dos lados de um triângulo e decide se o triângulo é equilátero, isósceles ou escaleno. 23. (2) Escreva um procedimento triangulo-rect?, que recebe três números inteiros positivos e determina se estes correspondem aos comprimentos dos lados de um triângulo rectângulo. O seu procedimento deverá satisfazer as seguintes condições: O procedimento devolve verdadeiro no caso dos valores recebidos corresponderem aos comprimentos dos lados de um triângulo rectângulo e falso em caso contrário. O funcionamento do procedimento é independente da ordem pela qual os valores lhe são fornecidos. O procedimento verifica se os valores fornecidos e correspondem a inteiros positivos, produzindo uma mensagem em caso de não corresponderem. Note que num triângulo rectângulo, o quadrado de um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois. 24. (2) Escreva o procedimento idade que recebe como argumentos seis números inteiros correspondentes a duas datas (um dia, mês, ano para cada data), sendo a primeira data correspondente à data de nascimento de uma pessoa e a segunda correspondente a uma data posterior, e devolve a idade (número de anos) dessa pessoa na segunda data.

17 2.2. EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO 17 > (idade ) 21 > (idade ) (3) Escreva o procedimento anterior? que recebe como argumentos seis números inteiros correspondentes a duas datas (um dia, mês, ano para cada data) e devolve verdadeiro se a primeira data for anterior à segunda e falso caso contrário. Não utilize o if, nem o cond, nem nem. > (anterior? ) > (anterior? ) 26. (2) Escreva o procedimento dias-p/-reveillon que recebe como argumentos dois números inteiros correspondentes a um mês e um ano e que devolve o número de dias desde o dia 1 do mês dado até ao final desse ano. 27. (3) Escreva um procedimento dias-entre-datas que recebe seis números inteiros como argumentos correspondentes a duas datas (um dia, mês e ano para cada data), sendo a primeira data anterior à segunda e o período que decorre entre as datas não superior a um ano, e devolve o número de dias depois da primeira data até à segunda data (inclusive). (dias-entre-datas ) 31 (dias-entre-datas ) (3) Escreva o procedimento proximo-29/2 que recebe como argumentos três números inteiros correspondentes a uma data (um dia, mês e ano) e devolve o ano da próxima ocorrência do dia 29 de Fevereiro depois da data recebida como argumento. Sugestão: Use o procedimento bissexto? definido na alínea 19. > (proximo-29/ ) 2000 > (proximo-29/ ) 2004 > (proximo-29/ ) (3) Escreva o procedimento numero-de-29/2s que recebe como argumentos seis números inteiros correspondentes a duas datas (um dia, mês, ano para cada data), sendo a primeira data anterior à segunda, e devolve o número de ocorrências do dia 29 de Fevereiro depois da primeira data e até à segunda (inclusive). Sugestão: Use o procedimento proximo-29/2 definido na alínea 28.

18 18 CAPÍTULO 2. ABSTRACÇÃO PROCEDIMENTAL 30. (3) Escreva o procedimento dias que recebe como argumentos seis números inteiros correspondentes a duas datas (um dia, mês, ano para cada data), sendo a primeira data anterior à segunda, e devolve o número de dias depois da primeira data e até à segunda (inclusive). Sugestão: Use os procedimentos definidos anteriormente Recursão 1. Suponha que em Scheme não existiam as operações aritméticas +, -, *, /, quotient e remainder nem os predicados <, >, =, odd? e even? mas que existem os procedimentos add1, sub1 e zero? que recebem como argumento um inteiro e devolvem, respectivamente, o seu sucessor, o seu antecessor, e o resultado de verificar se o número é 0. Neste exercício apenas poderá utilizar estas 3 operações e outras eventualmente definidas utilizando estas. (a) (b) (c) (d) (e) (1) Escreva um procedimento soma que recebe dois números inteiros positivos n e m, e devolve a soma dos dois. Sugestão: A soma de dois números n e m pode ser vista como n , m vezes. > (soma 8 2) 10 (1) Escreva um procedimento multiplica que recebe dois números inteiros positivos n e m, e devolve a multiplicação dos dois. Sugestão: A multiplicação de dois números n e m pode ser vista como n + n + + n, m vezes. > (multiplica 8 2) 16 (1) Escreva um procedimento menos que recebe dois números inteiros positivos n e m, e devolve a diferença dos dois. Sugestão: Use uma ideia semelhante ao exercício 1a. > (menos 8 2) 6 > (menos 2 8) -6 (2) Escreva um procedimento par? que recebe um número inteiro positivo n, e devolve se n for par e no caso contrário. > (par? 8) > (par? 5) (2) Suponha definido um procedimento menor? que recebe dois números inteiros positivos n e m, e devolve se o n for menor do que m e no caso contrário.

19 2.2. EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO 19 Escreva um procedimento quociente que recebe dois números inteiros positivos n e m, e devolve o quociente da divisão de n por m. No caso de m ser 0 deverá dar um erro. Relembre que o quociente da divisão de dois números inteiros positivos n e m é o maior inteiro r tal que r.m n. Sugestão: Utilize o procedimento menos definido anteriormente. > (quociente 8 2) 4 > (quociente 10 3) 3 2. (1) Escreva um procedimento somatorio que recebe um número inteiro positivo n, e devolve a soma de todos os números até n. > (somatorio 3) 6 > (somatorio 6) (1) Escreva um procedimento soma-quadrados que recebe um número inteiro positivo n, e devolve a soma do quadrado de todos os números até n. > (soma-quadrados 3) 14 > (soma-quadrados 5) (1) Escreva um procedimento factorial que recebe um número inteiro positivo n, e devolve o factorial desse número. > (factorial 0) 1 > (factorial 5) (1) Escreva um procedimento potencia que recebe dois números inteiros positivos b e n, e devolve a potência n de b, i.e., b n. Neste exercício não pode usar o procedimento expt. > (potencia 3 2) 9 > (potencia 2 4) (2) Um número d é divisor de n se o resto da divisão de n por d for 0. Escreva um procedimento numero-divisores que recebe um número inteiro positivo n, e devolve o número de divisores de n. No caso de n ser 0 deverá devolver 0.

20 20 CAPÍTULO 2. ABSTRACÇÃO PROCEDIMENTAL > (numero-divisores 20) 6 > (numero-divisores 13) 2 7. (2) Suponha definido um procedimento primo? que recebe um número inteiro positivo n, e devolve se o número for primo e no caso contrário. Escreva um procedimento numero-primos-menores que recebe um número inteiro positivo n, e devolve o número de primos menores ou iguais a n. > (numero-primos-menores 9) 4 > (numero-primos-menores 23) 9 8. (2) Suponha definido um procedimento primo? que recebe um número inteiro positivo n, e devolve se o número for primo e no caso contrário. Escreva um procedimento numero-divisores-primos que recebe um número inteiro positivo n, e devolve o número de divisores primos de n. No caso de n ser 0 deverá devolver 0. > (numero-divisores-primos 1) 0 > (numero-divisores-primos 20) 2 > (numero-divisores-primos 30) 3 9. (2) Escreva um procedimento soma-divisores que recebe um número inteiro positivo n, e devolve a soma de todos os divisores de n. No caso de n ser 0 deverá devolver 0. > (soma-divisores 20) 42 > (soma-divisores 13) (3) O logaritmo inteiro de um número n na base b é o maior número inteiro e tal que b e n. Escreva um procedimento logaritmo que recebe dois números inteiros positivos n e b, e devolve o logaritmo inteiro de n na base b. No caso de n ou b serem 0 deverá devolver 0. > (logaritmo 8 2) 3 > (logaritmo 7 2) 2

21 2.2. EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO (3) A raiz inteira de índice e de um número n é o maior número inteiro r tal que r e n. Escreva um procedimento raiz que recebe dois números inteiros positivos n e e, e devolve a raiz inteira de n de índice e. No caso de e ser 0 deverá devolver 0. > (raiz 8 3) 2 > (raiz 15 2) (4) Suponha definido um procedimento kesimo-factor-primo que recebe dois números inteiros positivos n e k, e devolve o seu k-ésimo factor primo de n. Escreva um procedimento kesimo-expoente que recebe dois números inteiros positivos n e k, e devolve o expoente do k-ésimo factor primo de n. No caso de n ter menos de k factores primos ou k ser 0, deverá devolver 0. > (kesimo-expoente 72 1) 3 > (kesimo-expoente 72 2) 2 Nos exercícios que se seguem poderá ser útil a utilização dos seguintes procedimentos sobre números inteiros: (remainder n m) devolve o resto da divisão de n por m. (quotient n m) devolve o quociente da divisão de n por m. 13. (3) Escreva um procedimento numero-digitos que recebe um número inteiro positivo n, e devolve o número de dígitos de n. > (numero-digitos 9) 1 > (numero-digitos 1012) (3) Escreva um procedimento soma-digitos que recebe um número inteiro positivo n, e devolve a soma de todos os dígitos de n. > (soma-digitos 9) 9 > (soma-digitos 1012) (3) Escreva um procedimento soma-digitos-pares que recebe um número inteiro positivo n, e devolve a soma de todos os dígitos pares de n. > (soma-digitos-pares 9) 0 > (soma-digitos-pares 1412) 6

22 22 CAPÍTULO 2. ABSTRACÇÃO PROCEDIMENTAL 16. (4) Escreva um procedimento digitos-impares que recebe um número inteiro positivo n, e devolve o número composto apenas pelos dígitos ímpares de n ou 0, se n não tiver dígitos ímpares. > (digitos-impares 94558) 955 > (digitos-impares 2468) (4) Escreva um procedimento muda-digito que recebe três números inteiros positivos n, k e d, e devolve o inteiro que resulta de substituir o dígito na posição k de n por d. > (muda-digito ) > (muda-digito ) (4) O espelho de um número inteiro positivo é o resultado de inverter a ordem de todos os seus algarismos. Escreva um procedimento espelho que recebe um número inteiro positivo n, e devolve o seu espelho. > (espelho 391) 139 > (espelho 45679) (4) Um número binário b n b n 1... b 1 b 0 pode ser transformado num número decimal usando a seguinte formula n i=0 b i2 i. Escreva um procedimento binario-decimal que recebe um número b escrito em binário e devolve a sua representação decimal. > (binario-decimal 1001) 9 > (binario-decimal 10000) (4) Um número decimal d pode ser transformado num número binário b n b n 1... b 1 b 0 através da seguinte recorrência: seja q 0 = d e q i = quociente(q i 1, 2) para i > 0, e b i = resto(q i, 2). Escreva um procedimento decimal-binario que recebe um número d escrito em base 10 e devolve a sua representação binária. > (decimal-binario 33) > (decimal-binario 156)

23 2.2. EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO Valores aproximados de funções 1. (2) Sabe-se que a seguinte fórmula permite calcular uma aproximação da função seno até um determinado número de termos: seno(x) = x(1 x2 x2 x2 (1 (1 ( )))) Defina um procedimento seno que corresponde ao método de cálculo anterior. O seu procedimento deverá receber o número para o qual se pretende calcular o seno e o número de factores a considerar. 2. (2) A função arctg pode ser aproximada através da fórmula arctg(z) = n=0 ( 1) n z 2n+1 2n + 1 = z z3 3 + z5 5 z Defina um procedimento que calcule o arctg de acordo com a fórmula acima. O seu procedimento deverá receber o número z para o qual se quer calcular o arctg bem como o número de termos da expressão a calcular. 3. (3) Suponha que o procedimento sqrt não estava definido em Scheme como um procedimento primitivo. A raiz quadrada de um número, x, pode ser calculada usando um método de aproximações sucessivas, chamado método de Newton, em que um valor aproximado para x, y, é sucessivamente melhorado utilizando a fórmula y+ x y 2. Por exemplo, para calcular 3, poderíamos efectuar os seguintes cálculos: Passo Aproximação Nova aproximação Considerando que uma primeira aproximação grosseira para x pode ser x, escreva um procedimento para calcular a raiz quadrada de um número. 4. (3) A constante e é um dos números mais importantes em Matemática, a par com os elementos neutros da adição (0) e da multiplicação (1), com a constante π e com a unidade imaginária i. O valor de e corresponde ao número real que é a soma da seguinte série infinita 1 e = n! = 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! +... n=0 Escreva um procedimento para calcular uma aproximação do número e, utilizando a série apresentada. A condição de paragem deve ser determinada por si e devidamente justificada.

24 24 CAPÍTULO 2. ABSTRACÇÃO PROCEDIMENTAL

25 Capítulo 3 Processos gerados por procedimentos 3.1 Exercícios de revisão 1. Explique os seguintes conceitos: procedimento e processo gerado por um procedimento. 2. Quais são as características de um processo recursivo? 3. Quais são as características de um processo iterativo linear? 4. Será que um procedimento recursivo pode gerar um processo iterativo? Justifique a sua resposta e dê um exemplo. 5. Considere a afirmação os procedimentos que geram processos iterativos são sempre melhores que os procedimentos que geram processos recursivos. Comente-a relativamente aos seguintes aspectos: (a) memória ocupada; (b) tempo gasto; (c) facilidade de escrita e leitura do programa. 6. Qual o interesse de estudar a ordem de crescimento de um processo? Compare as ordens de crescimento (temporal e espacial) entre processos recursivos lineares e iterativos lineares. 7. Diga o que significa a frase A ordem de crescimento do recurso R(n) é Θ(n). 8. Usando a definição da função Θ que define a ordem de crescimento de um processo, explique o que significa um processo ter ordem de crescimento polinomial. 3.2 Exercícios de programação 1. (1) Considere o seguinte procedimento (define (misterio x) (cond ((= x 0) (newline)) (else (display (remainder x 10)) (misterio (quotient x 10))))) Qual a função calculada pelo procedimento misterio? Sugestão: Siga o processo gerado por este procedimento para alguns inteiros. Depois admire o poder dos procedimentos recursivos.

26 26 CAPÍTULO 3. PROCESSOS GERADOS POR PROCEDIMENTOS 2. (1) Considere a definição do seguinte procedimento em Scheme que recebe inteiros superiores ou iguais a zero: (define (misterio?-aux b c) (cond ((zero? b) ) ((zero? c) ) (else (misterio?-aux (sub1 (sub1 b)) (sub1 (sub1 c)))))) (define (misterio? a) (misterio?-aux a (sub1 a))) (a) Explique qual a função matemática calculada pelo procedimento misterio?. (b) O processo gerado pelo procedimento misterio?-aux é iterativo ou recursivo? Justifique a sua resposta. 3. (1) Considere o seguinte procedimento: (define (misterio-aux n ac) (if (< n 10) (+ n (* ac 10)) (misterio-aux (quotient n 10) (+ (remainder n 10) (* ac 10))))) (define (misterio n) (misterio-aux n 0)) (a) Entre os procedimentos apresentados, misterio e misterio-aux, existe algum que seja um procedimento recursivo? Justifique a sua resposta. (b) Mostre a evolução do processo gerado pela avaliação de (misterio 149). (c) O procedimento misterio gera um processo recursivo ou iterativo? Justifique a sua resposta. 4. (2) Considere o seguinte procedimento (define (misterio x n) (if (= n 0) 0 (+ (* x n) (misterio x (- n 1))))) (a) Mostre a evolução do processo gerado pela avaliação de (misterio 2 3). (b) O procedimento apresentado é um procedimento recursivo? Justifique. (c) O procedimento apresentado gera um processo recursivo ou iterativo? Justifique. (d) Se o processo gerado era iterativo, transforme o procedimento de forma que gere um processo recursivo. Se o processo gerado era recursivo, transforme o procedimento, de forma a que gere um processo iterativo.

27 3.2. EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO (2) Suponha que as operações de multiplicação e potência não existiam em Scheme e que pretende calcular o quadrado de um número natural. O quadrado de um número natural pode ser calculado como sendo a soma de todos os números ímpares inferiores ao dobro do número. Com efeito: n (2n 1) n = = = = = = Note que o dobro de um número também não pode ser calculado recorrendo à operação de multiplicação. Escreva dois procedimentos que calculam o quadrado de um número natural utilizando o método descrito. (a) Um procedimento que dá origem a um processo recursivo linear. (b) Um procedimento que dá origem a um processo iterativo linear. 6. (2) Defina um procedimento recursivo que recebe três argumentos a, b e n e que devolve o valor de somar n vezes a a b, i.e., b + a + a + + a, n vezes. (a) Gerando um processo recursivo. (b) Gerando um processo iterativo. 7. Suponha que em Scheme não existiam as operações aritméticas +, -, quotient, * e / nem os predicados <, > e = mas que existem os procedimentos add1, sub1 e zero? que recebem como argumento um inteiro e devolvem, respectivamente, o seu sucessor, o seu antecessor, e o resultado de verificar se o número é 0. Neste exercício apenas poderá utilizar estas 3 operações e outras eventualmente definidas utilizando estas. (a) (b) (1) (Secção 2.2.3, Ex 1a) Escreva um procedimento soma, que gere um processo iterativo, e que recebe dois números inteiros positivos n e m, e devolve a soma dos dois. Sugestão: A soma de dois números n e m pode ser vista como n , m vezes. > (soma 8 2) 10 (1) (Secção 2.2.3, Ex 1b) Escreva um procedimento multiplica, que gere um processo iterativo, e que recebe dois números inteiros positivos n e m, e devolve a multiplicação dos dois. Sugestão: A multiplicação de dois números n e m pode ser vista como n + n + + n, m vezes.

28 28 CAPÍTULO 3. PROCESSOS GERADOS POR PROCEDIMENTOS (c) (d) (e) (f) (g) > (multiplica 8 2) 16 (1) (Secção 2.2.3, Ex 1c) Escreva um procedimento menos, que gere um processo iterativo, e que recebe dois números inteiros positivos n e m, e devolve a diferença dos dois. Sugestão: Use uma ideia semelhante ao exercício 7a. > (menos 8 2) 6 > (menos 2 8) -6 (2) (Secção 2.2.3, Ex 1d) Escreva um procedimento par?, que gere um processo iterativo, e que recebe um número inteiro positivo n, e devolve verdadeiro se n for par e falso no caso contrário. > (par? 8) > (par? 5) (1) Escreva um procedimento igual?, e que gere um processo iterativo, que recebe dois números inteiros positivos n e m, e devolve verdadeiro se o n for igual a m e falso no caso contrário. > (igual? 8 2) > (igual? 8 8) > (igual? 2 8) (1) Escreva um procedimento menor?, e que gere um processo iterativo, que recebe dois números inteiros positivos n e m, e devolve verdadeiro se o n for menor do que m e falso no caso contrário. > (menor? 8 2) > (menor? 8 8) > (menor? 2 8) (2) (Secção 2.2.3, Ex 1e) Escreva um procedimento quociente, que gere um processo iterativo, e que recebe dois números inteiros positivos n e m, e devolve o quociente da divisão de n por m. No caso de m ser 0 deverá devolver 0. Relembre que o quociente da divisão de dois números inteiros positivos n e m é o maior inteiro r tal que r.m n. Sugestão: Utilize os procedimentos menos e menor? definidos anteriormente.

29 3.2. EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO 29 (h) (i) > (quociente 8 2) 4 > (quociente 10 3) 3 (2) Escreva um procedimento resto, que gere um processo iterativo, e que recebe dois números inteiros positivos n e m, e devolve o resto da divisão de n por m. No caso de m ser 0 deverá devolver n. > (resto 8 2) 0 > (resto 10 3) 1 (2) Escreva um procedimento simetrico, que gere um processo iterativo, e que recebe um número inteiro n, e devolve o simetrico de n. > (simetrico 8) -8 > (simetrico -3) 3 8. (1) (Secção 2.2.3, Ex 3) Escreva um procedimento soma-quadrados, que gere um processo iterativo, e que recebe um número inteiro positivo n, e devolve a soma do quadrado de todos os números até n. > (soma-quadrados 3) 14 > (soma-quadrados 5) (1) (Secção 2.2.3, Ex 5) Escreva um procedimento potencia, que gere um processo iterativo, e que recebe dois números inteiros positivos b e n, e devolve a potência n de b, i.e., b n. > (potencia 3 2) 9 > (potencia 2 4) (2) Um número n é quadrado perfeito se existir um m tal que m 2 = n. Escreva um procedimento quadrado-perfeito?, que gere um processo iterativo, e que recebe um número n, e devolve verdadeiro se n for um quadrado perfeito e falso no caso contrário. > (quadrado-perfeito? 4) > (quadrado-perfeito? 8)

30 30 CAPÍTULO 3. PROCESSOS GERADOS POR PROCEDIMENTOS 11. (2) Um número n diz-se primo se os seus únicos divisores são o 1 e o próprio n. O número 1 não é primo. Um modo, pouco eficiente, de determinar se um dado inteiro é primo corresponde a dividi-lo sucessivamente por todos os inteiros menores que ele. Escreva um procedimento primo?, que gere um processo iterativo, e que recebe um número inteiro positivo n, e usando o método acima devolve verdadeiro se o número for primo e falso no caso contrário. > (primo? 53) > (primo? 21) 12. (3) Um número é livre de quadrados se não for divisível por nenhum quadrado perfeito para além de 1. Escreva um procedimento livre-quadrados?, que gere um processo iterativo, e que recebe um número n, e devolve verdadeiro se n for livre de quadrados e falso no caso contrário. > (livre-quadrados? 4) > (livre-quadrados? 50) > (livre-quadrados? 70) 13. (3) Um número n diz-se poderoso se para cada primo p, se p é divisor de n então p 2 também é divisor de n. Escreva um procedimento poderoso?, que gere um processo iterativo, e que recebe um número inteiro positivo n, e devolve verdadeiro se o número for poderoso e falso no caso contrário. > (poderoso? 100) > (poderoso? 36) > (poderoso? 75) > (poderoso? 2) 14. (2) (Secção 2.2.3, Ex 6) Um número d é divisor de n se o resto da divisão de n por d for 0. Escreva um procedimento numero-divisores, que gere um processo iterativo, e que recebe um número inteiro positivo n, e devolve o número de divisores de n. No caso de n ser 0 deverá devolver 0. > (numero-divisores 20) 6 > (numero-divisores 13) 2

31 3.2. EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO (2) (Secção 2.2.3, Ex 9) Escreva um procedimento soma-divisores, que gere um processo iterativo, e que recebe um número inteiro positivo n, e devolve a soma de todos os divisores de n. No caso de n ser 0 deverá devolver 0. > (soma-divisores 20) 42 > (soma-divisores 13) (3) (Secção 2.2.3, Ex 11) A raiz inteira de índice e de um número n é o maior número inteiro r tal que r e n. Escreva um procedimento raiz, que gere um processo iterativo, e que recebe dois números inteiros positivos n e e, e devolve a raiz inteira de n de índice e. No caso de e ser 0 deverá devolver 0. > (raiz 8 3) 2 > (raiz 15 2) (3) Um número n diz-se triangular se n = (m 1) + m para algum m. Escreva um procedimento triangular?, que gere um processo iterativo, e que recebe um número inteiro positivo n, e devolve verdadeiro se o número for triangular e falso no caso contrário. No caso de n ser 0 deverá devolver falso. > (triangular? 6) > (triangular? 8) 18. (3) Dois números n e m dizem-se primos entre si se não têm nenhum divisor em comum à excepção do 1. Escreva um procedimento primos-entre-si?, que gere um processo iterativo, e que recebe dois números inteiros positivos n e m, e devolve verdadeiro se os números forem primos entre si e falso no caso contrário. No caso de n ou m serem 0 deverá devolver falso. > (primos-entre-si? 4 10) > (primos-entre-si? 21 10) 19. (3) Um número n diz-se um divisor fraco de m se todos os factores primos de n também são factores primos de m. Escreva um procedimento divisor-fraco?, que gere um processo iterativo, e que recebe dois números inteiros positivos n e m, e devolve verdadeiro se n for um divisor fraco de m e falso no caso contrário. No caso de n ou m serem 0 deverá devolver falso.

32 32 CAPÍTULO 3. PROCESSOS GERADOS POR PROCEDIMENTOS > (divisor-fraco? 4 10) > (divisor-fraco? 10 4) > (divisor-fraco? 6 10) 20. (4) O máximo divisor comum de dois números n e m é o maior inteiro x tal que x é divisor de n e m. Escreva um procedimento mdc, que gere um processo iterativo, e que recebe dois números inteiros positivos n e m, e devolve o máximo divisor comum dos dois números. No caso de n e m serem ambos 0 deverá devolver 0. Se apenas um deles for 0 deverá devolver o outro. > (mdc 3 0) 3 > (mdc 12 20) 4 > (mdc 10 20) (4) O mínimo múltiplo comum de dois números n e m é o menor inteiro x tal que x é divisível por n e m. Escreva um procedimento mmc, que gere um processo iterativo, e que recebe dois números inteiros positivos n e m, e devolve o mínimo múltiplo comum dos dois números. No caso de n ou m serem 0 deverá devolver 0. > (mmc 4 6) 12 > (mmc 12 5) (3) Um número n é o n-ésimo primo se for primo e existirem n 1 números primos menores que ele. Escreva um procedimento nesimo-primo, que gere um processo iterativo, e que recebe um número inteiro positivo n, e devolve o n-ésimo número primo. No caso de n ser 0 deverá devolver 0. > (nesimo-primo 1) 2 > (nesimo-primo 10) (3) Um número p é primo de Mersenne se p é primo e 2 p 1 também é primo. Um número n é o n-ésimo primo de Mersenne se existirem n 1 primos de Mersenne menores que n. Os primeiros 10 primos de Mersenne são 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89. Escreva um procedimento nesimo-primo-mersenne, que gere um processo iterativo, e que recebe um número n, e devolve o n-ésimo primo de Mersenne.

33 3.2. EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO 33 > (nesimo-primo-mersenne 3) 5 > (nesimo-primo-mersenne 9) (3) Um número d é o k-ésimo divisor de n se for divisor de n e existirem k 1 divisores de n menores que d. Escreva um procedimento k-divisor, que gere um processo iterativo, e que recebe dois números inteiros positivos n e k, e devolve o k-ésimo divisor de n. No caso de n ser 0, ou k ser 0, ou n ter menos de k divisores deverá devolver 0. > (kesimo-divisor 20 3) 4 > (kesimo-divisor 20 6) 20 > (kesimo-divisor 20 7) (3) Um número p é o k-ésimo factor primo de n se p é primo e existem k 1 factores primos de n menores que p. Escreva um procedimento kesimo-factor-primo, que gere um processo iterativo, e que recebe dois números inteiros positivos n e k, e devolve o seu k-ésimo factor primo de n. No caso de n ter menos de k factores primos ou k ser 0, deverá devolver 0. > (kesimo-factor-primo 3 1) 3 > (kesimo-factor-primo 3 2) 0 > (kesimo-factor-primo 60 3) (4) (Secção 2.2.3, Ex 12) Escreva um procedimento kesimo-expoente, que gere um processo iterativo, e que recebe dois números inteiros positivos n e k, e devolve o expoente do k-ésimo factor primo de n. No caso de n ter menos de k factores primos ou k ser 0, deverá devolver 0. > (kesimo-expoente 72 1) 3 > (kesimo-expoente 72 2) 2 Nos exercícios que se seguem poderá ser útil a utilização dos seguintes procedimentos sobre números inteiros: (remainder n m) devolve o resto da divisão de n por m. (quotient n m) devolve o quociente da divisão de n por m. 27. (3) (Secção 2.2.3, Ex 13) Escreva um procedimento numero-digitos, que gere um processo iterativo, e que recebe um número inteiro positivo n, e devolve o número de dígitos de n.

34 34 CAPÍTULO 3. PROCESSOS GERADOS POR PROCEDIMENTOS > (numero-digitos 9) 1 > (numero-digitos 1012) (3) (Secção 2.2.3, Ex 14) Escreva um procedimento soma-digitos, que gere um processo iterativo, e que recebe um número inteiro positivo n, e devolve a soma de todos os dígitos de n. > (soma-digitos 9) 9 > (soma-digitos 1012) (3) Escreva um procedimento existe-digito?, que gere um processo iterativo, e que recebe um número inteiro positivo n e um dígito d, e devolve verdadeiro se o dígito d ocorrer em n e falso no caso contrário. > (existe-digito? 234 3) > (existe-digito? 538 7) 30. (4) (Secção 2.2.3, Ex 16) Escreva um procedimento digitos-impares, que gere um processo iterativo, e que recebe um número inteiro positivo n, e devolve o número composto apenas pelos dígitos ímpares de n. > (digitos-impares 94558) 955 > (digitos-impares 2468) (3) O dígito de posição k de um número n é o dígito na k-ésima posição de n a partir do dígito das unidades. Escreva um procedimento posicao, que gere um processo iterativo, e que recebe dois números inteiros positivos n e k, e devolve o dígito na posicao k de n. No caso de n ter menos de k dígitos ou k ser 0, deverá devolver 0. > (posicao ) 4 > (posicao ) (3) Um número é capicua se se lê igualmente da esquerda para a direita e vice-versa. Escreva um procedimento capicua?, que gere um processo iterativo, e que recebe um número inteiro positivo n, e devolve verdadeiro se o número for uma capicua e falso no caso contrário. Sugestão: Use o procedimento posicao definido na alínea 31

35 3.2. EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO 35 > (capicua? 12321) > (capicua? 1221) > (capicua? ) 33. (4) (Secção 2.2.3, Ex 17) Escreva um procedimento muda-digito, que gere um processo iterativo, e que recebe três números inteiros positivos n, k e d, e devolve o inteiro que resulta de substituir o dígito na posição k de n por d. > (muda-digito ) > (muda-digito ) (4) (Secção 2.2.3, Ex 18) O espelho de um número inteiro positivo é o resultado de inverter a ordem de todos os seus algarismos. Escreva um procedimento espelho, que gere um processo iterativo, e que recebe um número inteiro positivo n, e devolve o seu espelho. > (espelho 391) 139 > (espelho 45679) (1) Usando o procedimento espelho definido acima, reescreva de novo o procedimento capicua? definido na alínea (4) (Secção 2.2.3, Ex 20) Um número decimal d pode ser transformado num número binário b n b n 1... b 1 b 0 através da seguinte recorrência: seja q 0 = d e q i = quociente(q i 1, 2) para i > 0, e b i = resto(q i, 2). Escreva um procedimento decimal-binario, que gere um processo iterativo, e que recebe um número d escrito em base 10 e devolve a sua representação binária. > (decimal-binario 33) > (decimal-binario 156)

36 36 CAPÍTULO 3. PROCESSOS GERADOS POR PROCEDIMENTOS

37 Capítulo 4 Estruturação de Procedimentos 4.1 Exercícios de revisão 1. Diga o que entende por linguagem estruturada em blocos. Descreva a regra associada a esta estrutura, e diga qual a sua importância. 2. O que entende pelo domínio de um nome? 4.2 Exercícios de programação Estrutura de Blocos 1. (1) Considere as seguintes alternativas para definir um procedimento que calcula a função factorial. Alternativa 1: (define (factorial n) (if (>= n 0) (fact-aux n) (error "factorial: argumento negativo"))) (define (fact-aux n) (if (= n 0) 1 (* n (fact-aux (- n 1))))) Alternativa 2: (define (factorial n) (define (fact-aux n) (if (= n 0) 1 (* n (fact-aux (- n 1))))) (if (>= n 0) (fact-aux n) (error "factorial: argumento negativo")))

38 38 CAPÍTULO 4. ESTRUTURAÇÃO DE PROCEDIMENTOS (a) Compare estas duas alternativas quanto à garantia de que o factorial não é calculado com valores indevidos. Sugestão: Será que se pode avaliar directamente (fact-aux -1)? (b) Como se chama a estrutura definida pela alternativa 2? Qual a sua vantagem? 2. (1) Considere o seguinte procedimento que calcula m! n! (m > n), recorrendo à estrutura de blocos. Identifique as variáveis locais e não locais para cada um dos procedimentos. (define (quociente-de-factoriais m n) (define (iter m res) (if (= m n) res (iter (- m 1) (* m res)))) (iter m 1)) 3. (1) (Secção 2.2.3, Ex 2) Recorrendo à estrutura de blocos, escreva um procedimento somatorio que recebe um número inteiro positivo n, e devolve a soma de todos os números até n. O seu procedimento deve gerar um processo iterativo. > (somatorio 3) 6 > (somatorio 6) (1) (Secção 2.2.3, Ex 4) Recorrendo à estrutura de blocos, escreva um procedimento factorial que recebe um número inteiro positivo n, e devolve o factorial desse número. O seu procedimento deve gerar um processo iterativo. > (factorial 0) 1 > (factorial 5) (2) (Secção 2.2.3, Ex 7) Recorrendo à estrutura de blocos, escreva um procedimento numero-primos-menores que recebe um número inteiro positivo n, e devolve o número de primos menores ou iguais a n. O seu procedimento deve gerar um processo iterativo. Sugestão: Utilize o procedimento primo? definido na alínea 11 da Secção 3.2. > (numero-primos-menores 9) 4 > (numero-primos-menores 23) 9 6. (2) (Secção 2.2.3, Ex 8) Recorrendo à estrutura de blocos, escreva um procedimento numero-divisores-primos que recebe um número inteiro positivo n, e devolve o número de divisores primos de n. No caso de n ser 0 deverá devolver 0. O seu procedimento deve gerar um processo iterativo. Sugestão: Utilize o procedimento primo? definido na alínea 11 da Secção 3.2.

39 4.2. EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO 39 > (numero-divisores-primos 1) 0 > (numero-divisores-primos 20) 2 > (numero-divisores-primos 30) 3 7. (3) (Secção 2.2.3, Ex 10) O logaritmo inteiro de um número n na base b é o maior número inteiro e tal que b e n. Recorrendo à estrutura de blocos, escreva um procedimento logaritmo que recebe dois números inteiros positivos n e b, e devolve o logaritmo inteiro de n na base b. No caso de n ou b serem 0 deverá devolver 0. O seu procedimento deve gerar um processo iterativo. > (logaritmo 8 2) 3 > (logaritmo 7 2) 2 8. (3) (Secção 2.2.3, Ex 15) Recorrendo à estrutura de blocos, escreva um procedimento soma-digitos-pares que recebe um número inteiro positivo n, e devolve a soma de todos os dígitos pares de n. O seu procedimento deve gerar um processo iterativo. > (soma-digitos-pares 9) 0 > (soma-digitos-pares 1412) 6 9. (4) (Secção 2.2.3, Ex 19) Um número binário b n b n 1... b 1 b 0 pode ser transformado num número decimal usando a seguinte formula n i=0 b i2 i. Recorrendo à estrutura de blocos, escreva um procedimento binario-decimal que recebe um número b escrito em binário e devolve a sua representação decimal. O seu procedimento deve gerar um processo iterativo. > (binario-decimal 1001) 9 > (binario-decimal 10000) Utilização de Nomes Locais 1. Em relação às seguintes expressões utilizando o let, avalie o valor da expressão e transforme-a numa expressão equivalente utilizando o lambda. (a) (1) (let ((x 5) (y 3)) (* x y))

40 40 CAPÍTULO 4. ESTRUTURAÇÃO DE PROCEDIMENTOS (b) (1) (let ((x 4) (y 3)) (let ((z (* x y))) (+ z x))) (c) (2) (d) (2) (let ((x 5)) (let ((x 3) (y (* x 2))) (+ x y))) (let ((x 5) (y 12)) (+ x (let ((x (+ x y))) (+ x 3)))) 2. (2) Suponha que a tem o valor 5 no ambiente global. Diga qual o resultado de avaliar a seguinte expressão: (let ((a 3) (b (* a 4))) (+ a b)) 3. (2) Considere as seguintes expressões. São equivalentes? Justifique. (let ((x 8)) (let ((x 5) (y (+ x 4))) (+ x y))) (let* ((x 8) (x 5) (y (+ x 4))) (+ x y)) 4. Para cada uma das seguintes combinações envolvendo uma expressão lambda, calcule o seu valor e transforme-a numa expressão equivalente utilizando o let. (a) (1) (b) (1) ((lambda (x y) (+ (* 3 x) y)) 2 3) ((lambda (x) ((lambda (y) ((lambda (z) (* y z)) (+ x y))) 2)) 5)

41 4.2. EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO 41 (c) (1) (d) (2) ((lambda (x) ((lambda (y) (+ (* 2 y) x)) (+ x 3))) 5) ((lambda (x y) ((lambda (x) (+ (* 2 x) y)) (+ x y))) 6 2) (e) (2) ((lambda (x y) (+ x y ((lambda (z) (* 2 z)) (+ y 1)))) 5 2) 5. Para cada uma das seguintes séries, escreva um programa em Scheme que calcula o valor aproximado da série. O seu programa deve apresentar uma estrutura de blocos e deve evitar cálculos repetidos. Pode utilizar os procedimentos potencia e factorial sem os definir. (a) (2) (b) (2) (c) (2) (d) (2) = n=0 1 2 n = ( 1) n+1 1 n = ln(2) n=1 n=1 n=1 x n n! = ex 1 x2 2! + x4 4!... = ( 1) n+1 x 2n 2 (2n 2)! = cos(x)

42 42 CAPÍTULO 4. ESTRUTURAÇÃO DE PROCEDIMENTOS

43 Capítulo 5 Abstracção de dados 5.1 Exercícios de revisão 1. Diga o que é um tipo abstracto de informação. 2. Diga qual é a diferença entre tipos de informação elementares e tipos de informação estruturados. 3. Explique em que consiste a abstracção de dados, usando os termos barreiras de abstracção, encapsulação da informação e anonimato da representação. 4. Explique quais são as vantagens da abstracção de dados. 5. Compare a abstracção de dados com a abstracção procedimental. 6. Justifique a seguinte afirmação a abstracção de dados aumenta o poder expressivo da nossa linguagem de programação. 7. Quais são os quatro passos a seguir na definição de um tipo abstracto de informação? Explique em que consiste cada um deles. 8. Diga o que são operações básicas de um tipo abstracto de informação e quais os grupos em que estas são divididas. 9. Explique o que são as barreiras de abstracção criadas por um tipo de informação e quais os inconvenientes de não as respeitar. 10. Apresente a metodologia dos tipos abstractos de informação e explique porque é que esta metodologia garante a abstracão de dados. 11. Diga o que é o anonimato da representação e qual a sua importância. 12. Na criação de um tipo abstracto de informação, há dois tipos de representação a considerar. Diga quais são e descreva cada um deles. 13. Diga o que é uma árvore binária e quais são as suas operações básicas, classificando-as de acordo com os vários grupos de operações. 43

44 44 CAPÍTULO 5. ABSTRACÇÃO DE DADOS 5.2 Exercícios de programação Caixas e ponteiros 1. (1) Considere a seguinte estrutura de pares usando a notação de caixas e ponteiros(correspondente à variável Estr): Para cada uma das seguintes expressões escreva o seu valor (o qual pode ser um número inteiro, uma estrutura de pares ou pode originar um erro). No caso de a expressão originar um erro explique a razão do erro. (a) (car Estr) (b) (car (car (cdr Estr))) (c) (cdr (cdr (cdr Estr))) 2. (1) Represente as seguintes estruturas, usando a notação de caixas e ponteiros: (a) (1. 2) (b) (1. ("bom dia". 3)) (c) (1. (2. (3. 4))) (d) ((1. 2). ((3. (4. 5)). (7. 8))) Tipo tempo Suponha que desejava criar o tipo tempo em Scheme. Suponha que o tempo é caracterizado por um certo número de horas (um inteiro não negativo), minutos (um inteiro entre 0 e 59) e segundos (um inteiro entre 0 e 59). 1. (2) Especifique as operações básicas para o tipo tempo. 2. (1) Escolha uma representação interna para o tipo tempo usando pares. 3. (2) Escreva em Scheme as operações básicas, de acordo com a representação escolhida.

45 5.2. EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO (1) Supondo que a representação externa para os elementos do tipo tempo é h : mm : ss (em que h é um inteiro positivo que representa as horas, mm são dois dígitos que identificam os minutos e ss são dois dígitos que identificam os segundos) escreva o transformador de saída escreve-tempo para o tipo tempo. Por exemplo, > (escreve-tempo (faz-tempo )) 9:02:34 5. (1) Escreva o procedimento diferenca-segundos que calcula o número de segundos entre dois instantes de tempo. Este procedimento apenas deve produzir um valor se o segundo tempo for maior do que o primeiro, gerando uma mensagem de erro se essa condição não se verificar. > (diferenca-segundos (faz-tempo ) (faz-tempo )) (1) Escreva o procedimento diferenca-tempo que calcula a diferença entre dois instantes de tempo devolvendo o valor em termos de horas, minutos e segundos. Este procedimento apenas deve produzir um valor se o segundo tempo for maior do que o primeiro, gerando uma mensagem de erro se essa condição não se verificar. > (escreve-tempo (diferenca-tempo (faz-tempo ) (faz-tempo ))) 1:02:05 7. (2) Escreva o procedimento soma-tempos que calcula o tempo resultante da soma entre dois instantes de tempo. > (escreve-tempo (soma-tempos (faz-tempo ) (faz-tempo ))) 4:06:10 8. (2) Suponha agora que pretende representar os elementos do tipo tempo através de inteiros positivos com a forma hmmss, em que h é um inteiro não negativo que representa o número de horas, mm e ss são dois inteiros entre 0 e 59 cada um e que representam, respectivamente, os minutos e os segundos do tempo. Escreva em Scheme as operações básicas, de acordo com esta nova representação. 9. (1) Seria possível utilizar as operações definidas nos exercícios anteriores, 4 7, usando esta nova representação? Justifique Tipo data Suponha que desejava criar o tipo data em Scheme. Suponha que uma data é caracterizada por um dia (um inteiro entre 1 e 31), um mês (um inteiro entre 1 e 12) e um ano. Para cada data, deve ser respeitado o limite de dias de cada mês, incluindo o caso de Fevereiro nos anos bissextos. 1. (1) Especifique as operações básicas para o tipo data.

46 46 CAPÍTULO 5. ABSTRACÇÃO DE DADOS 2. (2) Escolha uma representação interna para o tipo data usando pares. 3. (1) Escreva em Scheme as operações básicas, de acordo com a representação escolhida. 4. (1) Supondo que a representação externa para um elemento do tipo data é d/m/a (em que d representa o dia, m o mês e a o ano) escreva o transformador de saída para o tipo data. Por exemplo, > (escreve-data (faz-data )) 5/9/ (2) Tendo em conta as operações básicas do tipo data, defina um procedimento anterior? que recebe como argumentos duas datas e tem o valor verdadeiro se a primeira data for anterior à segunda e falso em caso contrário. > (anterior? (faz-data ) (faz-data )) 6. (2) Tendo em conta as operações básicas do tipo data, defina um procedimento idade que recebe como argumentos a data de nascimento de uma pessoa e outra data posterior e devolve a idade da pessoa na segunda data. > (idade (faz-data ) (faz-data )) 2 > (idade (faz-data ) (faz-data )) Complexos Suponha que desejava criar o tipo número complexo em Scheme. Um número complexo é um número que é constituído por uma parte real e por uma parte imaginária. Um número complexo pode ser escrito sob a forma a + bi, em que a e b são números reais e i representa a unidade imaginária. Esta tem a propriedade i 2 = 1. Os reais a e b são chamados, respectivamente, a parte real e a parte imaginária de a + bi. Os números complexos podem ser representados geometricamente no plano complexo (representação rectangular ou cartesiana), representando-se a parte real, a, no eixo horizontal e a parte imaginária, b, no eixo vertical. 1. Defina as operações básicas para o tipo número complexo. 2. Escolha uma representação para números complexos baseada em pares. 3. Com base na representação escolhida, implemente as operações básicas para números complexos. 4. Com base na representação escolhida, escreva o transformador de saída para números complexos.

47 5.2. EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO Um número complexo diz-se um imaginário puro se a sua parte real for zero. Usando os resultados das alíneas anteriores, e a abstracção adequada, escreva um procedimento que recebe um número complexo e que decide se este é um imaginário puro. Por exemplo: > (im-puro? (cmp 2 3)) > (im-puro? (cmp 0 3)) 6. Considere as seguintes operações definidas sobre números complexos: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i Usando os resultados das alíneas anteriores, e a abstracção adequada, escreva procedimentos que somam e multiplicam números complexos. Por exemplo: > (escreve-cmp (cmp+ (cmp 2 3)(cmp 4 5))) 6+8i > (escreve-cmp (cmp* (cmp 2 3)(cmp 4 5))) -7+22i 7. Considere a seguinte representação alternativa para números complexos: R[a + bi] = (cons "complexo"(cons a b)). (a) Escreva as operações básicas e o transformador de saída com base nesta representação. (b) Quais as alterações a fazer nas operações imaginário puro e soma e multiplica complexos como consequência da alteração da representação. Justifique a sua resposta. 8. Suponha que por questões de segurança a representação de números complexos deveria ser encriptada. Supondo que existem funções de codificação (code que recebe um número real devolve a sua imagem encriptada) e de descodificação (decode, que recebe uma imagem encriptada e devolve o real correspondente) e de teste de imagem encriptada (code?), defina uma representação correspondente aos números complexos encriptados e com base nessa representação volte a escrever as operações básicas para números complexos. 9. Uma representação alternativa para o número complexo a + bi, conhecida por representação polar ou trignométrica (Figura 5.1), utiliza a distância do número complexo à origem do referencial, o módulo ρ = a 2 + b 2, e o ângulo θ que a linha que liga a origem do referencial ao ponto que representa o número complexo faz com a parte positiva do

48 48 CAPÍTULO 5. ABSTRACÇÃO DE DADOS y b ρ θ a x Figura 5.1: Representação polar de números complexos. eixo 0 x. Para o complexo a + bi, o valor de θ é dado por: arctg( b a ) se a > 0 arctg( b a ) + π se a < 0 e b 0 θ = arctg( b a ) π se a < 0 e b < 0 π 2 se a = 0 e b > 0 π 2 se a = 0 e b < 0 indefinido se a = 0 e b = 0 Com base nesta representação, podemos escrever: a + bi = ρ(cos(θ) + sen(θ)i) Escolha uma representação para números complexos em notação polar e escreva as operações básicas para complexos com base nessa representação. 10. Escreva as operações rect->polar e polar->rect que transformas as representações rectangular em polar e vice-versa Listas 1. (1) Escreva um procedimento ultimo que recebe uma lista não vazia, e devolve o último elemento da lista. > (ultimo (4 5 6)) 6 > (ultimo (1)) 1 2. (1) Escreva um procedimento produto-lista que recebe uma lista de números inteiros, e devolve o produto de todos os elementos da lista. Considere que o produto dos elementos de uma lista vazia tem o valor 1.Exemplo,

49 5.2. EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO 49 > (produto-lista (4 5 6)) 120 > (produto-lista ()) 1 3. (1) Escreva um procedimento conta-pares que recebe uma lista de números inteiros, e devolve o número de elementos pares na lista. > (conta-pares (4 5 6)) 2 > (conta-pares (3 5 7)) 0 4. (1) Escreva um procedimento conta-menores que recebe uma lista de números inteiros lst e um número inteiro n, e devolve o número de elementos da lista lst menores que n. > (conta-menores (4 5 6) 4) 0 > (conta-menores (3 5 7) 6) 2 5. (1) Escreva um procedimento numero-ocorrencias que recebe uma lista de números inteiros e um número inteiro n, e devolve o número de vezes que não ocorre na lista. > (numero-ocorrencias (4 5 6) 5) 1 > (numero-ocorrencias (3 5 7) 2) 0 6. (2) Escreva um procedimento todos-pares? que recebe uma lista de números inteiros, e devolve verdadeiro se a lista for constituída exclusivamente por números pares e falso no caso contrário. > (todos-pares? (4 5 6)) > (todos-pares? (4 4 6)) 7. (2) Escreva um procedimento ocorre-lista? que recebe uma lista de números inteiros e um número inteiro n, e devolve verdadeiro se o número n ocorrer na lista e falso no caso contrário. > (ocorre-lista? (3 2 4) 3) > (ocorre-lista? (3 2 4) 1)

50 50 CAPÍTULO 5. ABSTRACÇÃO DE DADOS 8. (3) Escreva um procedimento maximo-lista que recebe uma lista não vazia de números inteiros, e devolve o maior elemento da lista. > (maximo-lista (4 5 6)) 6 > (maximo-lista (7 3 6)) 7 9. (2) Escreva um procedimento quadrados-lista que recebe uma lista de números inteiros e devolve a lista que resulta de elevar todos os números da lista original ao quadrado. > (quadrados-lista (3 2 4)) (9 4 16) 10. (2) Escreva um procedimento substitui que recebe uma lista de números inteiros lst, um número inteiro v (velho) e um número inteiro n (novo), e devolve a lista que resulta de substituir em lst todas as ocorrências de v por n. > (substitui ( ) 4 5) ( ) 11. (2) Escreva um procedimento insere-no-fim que recebe uma lista lst e um número n, e devolve a lista que resulta de inserir o elemento n no final da lista lst. > (insere-no-fim 3 (3 2 4)) ( ) > (insere-no-fim 3 ()) (3) 12. (2) Escreva um procedimento remove-ultimo que recebe uma lista não vazia, e devolve a lista que resulta de remover o último elemento da lista. > (remove-ultimo (3 2 4)) (3 2) > (remove-ultimo (4)) () 13. (2) Escreva um procedimento junta que recebe duas listas, e devolve a lista que resulta de juntar a segunda lista no final da primeira. > (junta (3 2 4) (1 2 3)) ( ) > (junta () (4 5 3)) (4 5 3) > (junta (1 2 3) ()) (1 2 3)

51 5.2. EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO (2) Escreva um procedimento inverte que recebe uma lista, e devolve a lista que resulta de inverter a lista original. Sugestão: Utilize o procedimento insere-no-fim definido no exercício 11 ou os procedimentos ultimo e remove-ultimo definidos nos exercícios 1 e 12. > (inverte (3 2 4)) (4 2 3) 15. (3) Escreva um procedimento alisa que recebe uma lista, cujos elementos podem ser listas, e devolve a lista com todos os elementos atómicos da lista original. Sugestão: Utilize o procedimento junta definido no exercício 13. > (alisa ((((3))) 4 5 (8 (9)))) ( ) 16. (3) Escreva um procedimento sublistas que recebe uma lista, e conta o número total de sublistas que esta contém. > (sublistas (1 2 3)) 0 > (sublistas ((1) 2 (3))) 2 > (sublistas (((((1)))))) (2) Escreva um procedimento selecciona-pares que recebe uma lista de números inteiros, e devolve a lista com todos os números pares da lista original. > (selecciona-pares ( )) (4 2 4) > (selecciona-pares (7 3 5)) () 18. (2) Escreva um procedimento selecciona-menores que recebe uma lista de números inteiros e um número inteiro n, e devolve a lista com todos os números da lista original menores que n. > (selecciona-menores ( ) 4) (3 2) > (selecciona-menores (7 3 5) 1) () 19. (2) Escreva um procedimento selecciona-primos que recebe uma lista de números inteiros, e devolve a lista com todos os números primos da lista original. > (selecciona-primos ( )) (3 2) > (selecciona-primos ( )) ()

52 52 CAPÍTULO 5. ABSTRACÇÃO DE DADOS 20. (2) Escreva um procedimento remove-elemento que recebe uma lista de números inteiros e um número inteiro n, e devolve a lista que resulta de remover todas as ocorrências de n da lista original. > (remove-elemento ( ) 4) (3 2) > (remove-elemento (7 3 5) 1) (7 3 5) 21. (2) Escreva um procedimento altera-posicao que recebe uma lista, um número inteiro positivo p e um número inteiro n, e devolve a lista que resulta de alterar o elemento na posição p da lista para n. Caso a lista tenha menos de p posições deverá devolver a lista original. > (altera-posicao ( ) 4 10) ( ) > (altera-posicao ( ) 100 8) ( ) 22. (2) Escreva um procedimento posicoes-lista que recebe uma lista de números inteiros e um número inteiro n, e devolve a lista de todas as posições em que n ocorre na lista. > (posicoes-lista ( ) 4) (1 6) > (posicoes-lista ( ) 6) () 23. (2) Escreva um procedimento posicoes-dos-pares que recebe uma lista de números inteiros, e devolve a lista de todas as posições da lista em que ocorrem números pares. > (posicoes-dos-pares ( )) ( ) > (posicoes-dos-pares ( )) () 24. (2) Escreva um procedimento ordenada? que recebe uma lista de números inteiros, e devolve verdadeiro se a lista estiver ordenada de forma crescente e falso no caso contrário. > (ordenada? ( )) > (ordenada? ( )) 25. (3) Escreva um procedimento intercala que recebe duas listas, e devolve a lista que resulta de intercalar os elementos das duas listas. Se as listas não forem do mesmo tamanho, o que restar da lista maior deverá ser adicionado no fim.

53 5.2. EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO 53 > (intercala (3 2 4) (1 2 3)) ( ) > (intercala (2 3) ( )) ( ) 26. (2) Escreva um procedimento insere-ordenado que recebe uma lista ordenada de números inteiros e um número inteiro n, e devolve a lista que resulta de inserir o número n na posição certa na lista de modo a que o resultado continue uma lista ordenada. > (insere-ordenado ( ) 7) ( ) > (insere-ordenado ( ) 1) ( ) > (insere-ordenado ( ) 15) ( ) 27. (3) Escreva um procedimento parte que recebe uma lista de números inteiros lst e um número inteiro n, e devolve uma lista contendo na primeira posição a lista com os elementos de lst menores que n, e na segunda posição a lista com os elementos de lst maiores ou iguais a n. A ordem pela qual os elementos aparecem nas listas devolvidas é irrelevante. > (parte ( ) 3) ((1 2) (6 9 7)) > (parte ( ) 3) ((1 2) ( )) > (parte (9 12 5) 4) (() (9 12 5)) 28. (2) Escreva um procedimento capicua? que recebe uma lista de números inteiros, e devolve verdadeiro se a lista for uma capicua e falso no caso contrário. Sugestão: Utilize os procedimentos ultimo e remove-ultimo definidos nos exercícios 1 e 12. > (capicua? ( )) > (capicua? ( )) > (capicua? ( )) 29. (3) Escreva um procedimento capicua que recebe uma lista de números inteiros, e devolve a lista que se obtém construindo uma capicua com a lista original. Sugestão: Utilize o procedimento insere-no-fim do exercício 11. > (capicua ( )) ( ) > (capicua (1 2)) ( )

54 54 CAPÍTULO 5. ABSTRACÇÃO DE DADOS 30. (3) Escreva um procedimento remove-duplicados que recebe uma lista de números inteiros lst, e fica apenas com uma cópia de cada elemento de lst. A ordem pela qual os elementos aparecem na lista devolvida é irrelevante. Sugestão: Utilize o procedimento remove-elemento do exercício 20. > (remove-duplicados ( )) ( ) > (remove-duplicados ( )) ( ) > (remove-duplicados ( )) ( ) 31. (3) Escreva um procedimento elementos-repetidos que recebe uma lista de números inteiros, e devolve a lista com uma cópia de cada elemento que aparece repetido na lista. A ordem pela qual os elementos aparecem na lista devolvida é irrelevante. e remove-elemento dos exercí- Sugestão: Utilize os procedimentos ocorre-lista? cios 7 e 20. > (elementos-repetidos ( )) (3 4) > (elementos-repetidos ( )) () 32. (3) Escreva um procedimento conta-elementos que recebe uma lista de números inteiros, e devolve uma lista de pares em que cada par contém como primeiro elemento um elemento da lista e como segundo elemento o número de vezes que este aparece na lista. A ordem pela qual os pares aparecem na lista devolvida é irrelevante. Respeite as barreiras de abstracção, mas lembre-se que está a lidar com dois tipos estruturados, a lista e o par. e remove-elemento dos exercí- Sugestão: Utilize os procedimentos ocorre-lista? cios 7 e 20. > (conta-elementos ( )) ((3. 6) (4. 1) (5. 2) (9. 1) (12. 2)) 33. (2) Escreva um procedimento lista-inteiros que recebe um inteiro positivo n, e devolva uma lista com todos os inteiros entre 0 e n (a ordem pela qual os números aparecem na lista não é relevante). > (lista-inteiros 7) ( ) (a) O seu procedimento é um procedimento recursivo? Porquê? (b) O seu procedimento gera um processo iterativo ou recursivo? Porquê?

55 5.2. EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO 55 (c) Se o seu procedimento gera um processo iterativo, escreva um que gere um processo recursivo. Se gera um processo recursivo, escreva um que gere um processo iterativo. 34. (4) O Crivo de Eratóstenes é um algoritmo para calcular números primos que, segundo a tradição, foi criado pelo matemático grego Eratóstenes (c a.c.), o terceiro bibliotecário-chefe da Biblioteca de Alexandria. O algoritmo calcula os números primos inferiores a n. Para isso, começa-se por criar uma lista com todos os inteiros positivos de 2 a n e seleccionar o número 2. Enquanto o número seleccionado for menor que n: (a) removem-se da lista todos os múltiplos desse número; (b) passa-se ao número seguinte na lista. No final do algoritmo, quando o número seleccionado for superior a n, a lista apenas contém números primos. Escreva um procedimento que recebe um inteiro positivo n e calcula a lista de números primos inferiores a n de acordo com o Crivo de Eratóstenes. Sugestão: Defina um procedimento remove-multiplos que dado uma lista lst e um número inteiro n, remove da lista todos os múltiplos de n. > (lista-primos 20) ( ) > (lista-primos 100) ( ) Árvores Binárias Definições e Notação Nesta secção deve considerar os seguintes procedimentos sobre árvores binárias: (nova-arv) cria uma árvore vazia. (cria-arv r arve arvd) cria uma árvore binária com raiz r, árvore esquerda arve e árvore direita arvd. (raiz arv) dada uma árvore binária arv devolve a sua raiz. (arv-esq arv) dada uma árvore binária arv devolve a sua árvore esquerda. (arv-dir arv) dada uma árvore binária arv devolve a sua árvore direita. (arvore-vazia? arv) devolve verdadeiro se a árvore binária arv é vazia e falso no caso contrário. (arvore? arg) devolve verdadeiro se arg for uma árvore binária e falso no caso contrário. (arvores=? arv1 arv2) devolve verdadeiro se as árvores binárias arv1 e arv2 forem iguais e falso no caso contrário. Um nó de uma árvore a é a raiz de uma das sub-árvores de a. As raízes das sub-árvores esquerda e direita de um nó r dizem-se os filhos de r. Neste caso r diz-se o pai dos dois nós. Dois nós dizem-se irmãos se tiverem o mesmo pai. Uma folha de uma árvore é um nó sem filhos. A profundidade de um nó é o comprimento do caminho desde a raiz até ele. A profundidade de uma árvore é o comprimento do caminho desde a raiz até ao nó mais profundo. O nó d diz-se descendente de a se existir um caminho na árvore de a para d e a profundidade de a é menor que a profundidade de d. Um nó a diz-se ascendente de d se d for descendente de a.

56 56 CAPÍTULO 5. ABSTRACÇÃO DE DADOS O tamanho de um nó é o número de seus descendentes, incluindo o próprio. O tamanho de uma árvore é o tamanho da sua raiz. Suponha definidas as seguintes árvores binárias (define a1 (cria-arv 3 (cria-arv 2 (cria-arv 5 (nova-arv) (nova-arv)) (cria-arv 7 (nova-arv) (nova-arv))) (cria-arv 5 (cria-arv 1 (nova-arv) (nova-arv)) (cria-arv 6 (nova-arv) (nova-arv))))) (define a2 (cria-arv 10 (cria-arv 12 (nova-arv) (nova-arv)) (cria-arv 1 (cria-arv 8 (nova-arv) (nova-arv)) (cria-arv 2 (nova-arv) (nova-arv))))) (define a3 (cria-arv 5 (nova-arv) (cria-arv 10 (cria-arv 8 (nova-arv) (nova-arv)) (cria-arv 10 (nova-arv) (nova-arv))))) cujas representações gráficas são dadas por Exercícios 1. (1) Escreva um procedimento folha? que recebe uma árvore binária, e devolve verdadeiro se a árvore for uma folha e falso no caso contrário. > (folha? (arv-esq a1)) > (folha? (arv-esq a2)) 2. (1) Escreva um procedimento tamanho que recebe uma árvore binária, e devolve o número de nós da árvore. > (tamanho a1) 7

57 5.2. EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO (1) Escreva um procedimento soma-arvore que recebe uma árvore binária contendo números inteiros, e devolve a soma de todos os nós da árvore. > (soma-arvore a1) (1) Escreva um procedimento procura? que recebe uma árvore binária contendo números inteiros arv e um número inteiro n, e devolve verdadeiro se n ocorre num dos nós da árvore e falso no caso contrário. > (procura? a1 8) > (procura? a2 8) 5. (1) Escreva um procedimento todos-pares? que recebe uma árvore binária contendo números inteiros, e devolve verdadeiro se a árvore for constituída exclusivamente por números pares e falso no caso contrário. > (todos-pares? a3) > (todos-pares? (arv-dir a3)) 6. (1) Escreva um procedimento conta-pares-arvore que recebe uma árvore binária contendo números inteiros, e conta quantos números pares ocorrem na árvore. > (conta-pares-arvore a1) 2 7. (1) Escreva um procedimento numero-folhas que recebe uma árvore binária, e devolve o número de folhas da árvore. > (numero-folhas a1) 4 > (numero-folhas a2) 3 > (numero-folhas a3) 2 8. (1) Escreva um procedimento profundidade que recebe uma árvore binária, e devolve a profundidade da árvore. > (profundidade a2) 3 9. (2) Escreva um procedimento pai? que recebe uma árvore binária contendo números inteiros e dois números inteiros p e f, e devolve verdadeiro se p for pai de f na árvore e falso no caso contrário.

58 58 CAPÍTULO 5. ABSTRACÇÃO DE DADOS > (pai? a1 3 7) > (pai? a1 3 9) > (pai? a1 5 1) 10. (2) Escreva um procedimento filho? que recebe uma árvore binária contendo números inteiros e dois números inteiros f e p, e devolve verdadeiro se f for filho de p na árvore e falso no caso contrário. > (filho? a1 6 3) > (filho? a1 9 3) > (filho? a1 5 2) > (filho? a1 5 3) 11. (2) Escreva um procedimento irmaos? que recebe uma árvore binária contendo números inteiros e dois números inteiros n e m, e devolve verdadeiro se os números forem irmãos na árvore e falso no caso contrário. > (irmaos? a1 2 7) > (irmaos? a1 2 5) 12. (2) Escreva um procedimento ascendente? que recebe uma árvore binária contendo números inteiros e dois números inteiros a e d, e devolve verdadeiro se a for ascendente de d na árvore e falso no caso contrário. Sugestão: Utilize o procedimento procura? definido no exercício 4. > (ascendente? a1 3 6) > (ascendente? a1 3 9) > (ascendente? a1 2 5) > (ascendente? a1 3 5) 13. (2) Escreva um procedimento descendente? que recebe uma árvore binária contendo números inteiros e dois números inteiros d e a, e devolve verdadeiro se d for descendente de a na árvore e falso no caso contrário.

59 5.2. EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO 59 > (descendente? a1 6 5) > (descendente? a1 7 3) > (descendente? a1 2 5) 14. (2) Uma árvore binária diz-se própria se todos os seus nós têm dois filhos ou são folhas. Escreva um procedimento arv-propria? que recebe uma árvore binária, e devolve verdadeiro se a árvore for própria e falso no caso contrário. > (arv-propria? a1) > (arv-propria? a2) > (arv-propria? a3) 15. (2) Uma árvore binária diz-se perfeita se é própria e todas as suas folhas estão ao mesmo nível. Escreva um procedimento arv-perfeita? que recebe uma árvore binária, e devolve verdadeiro se a árvore for perfeita e falso no caso contrário. Sugestão: Utilize o procedimento profundidade definido no exercício 8. > (arv-perfeita? a1) > (arv-perfeita? a2) > (arv-perfeita? a3) 16. (3) Uma árvore binária diz-se balanceada se for própria e todas as suas folhas diferem no máximo de um nível. Escreva um procedimento arv-balanceada? que recebe uma árvore binária, e devolve verdadeiro se a árvore for balanceada e falso no caso contrário. Sugestão: Utilize o procedimento profundidade definido no exercício 8. > (arv-balanceada? a1) > (arv-balanceada? a2) > (arv-balanceada? a3) 17. (3) Escreva um procedimento maximo que recebe uma árvore binária não vazia contendo números inteiros, e devolve o maior elemento da árvore. > (maximo a1) 7

60 60 CAPÍTULO 5. ABSTRACÇÃO DE DADOS 18. (3) Escreva um procedimento minimo que recebe uma árvore binária não vazia contendo números inteiros, e devolve o menor elemento da árvore. > (minimo a2) (3) Escreva um procedimento mais-profundo que recebe uma árvore binária não vazia, e devolve o nó mais profundo da árvore. Caso existam vários à mesma profundidade deverá devolver o mais à esquerda na árvore. Sugestão: Utilize o procedimento profundidade definido no exercício 8. > (mais-profundo a1) 5 > (mais-profundo a2) (4) Escreva um procedimento profundidade-minima que recebe uma árvore binária não vazia contendo números inteiros e um número inteiro n, e devolve a profundidade mínima a que n ocorre na árvore. Caso o número não ocorra na árvore deverá devolver falso. Sugestão: Utilize o procedimento mais-profundo definido no exercício 19. > (profundidade-minima a1 5) 2 > (profundidade-minima a1 1) 3 > (profundidade-minima a1 9) 21. (2) Escreva um procedimento lista-folhas que recebe uma árvore binária, e devolve a lista com todas as suas folhas começando da mais à esquerda para a mais à direita. Sugestão: Utilize o procedimento junta definido no exercício 13. > (lista-folhas a2) (12 8 2) > (lista-folhas a3) (8 10) 22. (2) Escreva um procedimento espelha que recebe uma árvore binária e devolve uma nova árvore binária idêntica à recebida, mas em que em cada nível da árvore se trocou a árvore esquerda com a direita, mantendo-se a raiz. > (espelha a1) deve devolver a árvore cuja representação gráfica é

61 5.2. EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO (2) Escreva um procedimento substitui que recebe uma árvore binária contendo números inteiros e dois números inteiros v (velho) e n (novo), e devolve a árvore que resulta de substituir todas as ocorrências de v por n. > (substitui a1 5 8) deve devolver a árvore cuja representação gráfica é (2) Escreva um procedimento poda que recebe uma árvore binária, e devolve a árvore que resulta de remover todas as folhas da árvore. > (poda a2) deve devolver a árvore cuja representação gráfica é (4) Escreva um procedimento promove-irmao que recebe uma árvore binária contendo números inteiros, e que em cada uma das suas sub-árvores coloca o irmão maior como raiz da árvore direita. > (promove-irmao a2) deve devolver a árvore cuja representação gráfica é

62 62 CAPÍTULO 5. ABSTRACÇÃO DE DADOS 26. (4) Escreva um procedimento promove-descendente que recebe uma árvore binária contendo números inteiros, e que em cada uma das suas sub-árvores coloca o seu maior elemento na raiz. Nos casos em que há troca da raiz r por m, então r deverá ocupar o lugar onde m estava. Sugestão: Defina um procedimento substitui1 que recebe uma árvore arv e dois números v e n e substitui uma única ocorrência de v por n na árvore arv. > (promove-descendente a1) deve devolver a árvore cuja representação gráfica é (4) Uma árvore binária contendo números inteiros diz-se de procura se a sua raiz é maior que todos os elementos da sua sub-árvore esquerda, menor ou igual que todos os elementos da sua sub-árvore direita, e o mesmo se passa para todas as suas sub-árvores. Escreva um procedimento arv-procura? que recebe uma árvore binária, e devolve verdadeiro se a árvore for uma árvore binária de procura e falso no caso contrário. > (arv-procura? a1) > (arv-procura? a3) 28. (2) Escreva um procedimento existe-arv-procura? que recebe uma árvore binária de procura contendo números inteiros e um número inteiro n, e devolve verdadeiro se o número n ocorre num dos nós da árvore e falso no caso contrário. Nota: O seu procedimento deve tirar partido do facto de receber uma árvore binária de procura e não uma árvore binária qualquer. > (existe-arv-procura? a3 8) > (existe-arv-procura? a3 9) 29. (3) Escreva um procedimento insere-arvore-procura que recebe uma árvore binária de procura contendo números inteiros e um número inteiro n, e devolve a árvore binária de procura que resulta de inserir o número n na árvore. > (insere-arvore-procura a3 9)

63 5.2. EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO 63 deve devolver a árvore cuja representação gráfica é (2) Escreva um procedimento cria-arvore-procura que recebe zero ou mais números inteiros, e devolve uma árvore binária de procura criada a partir desses argumentos. O primeiro argumento, caso exista, deverá ser a raiz da árvore. > (cria-arvore-procura ) deve devolver a árvore cuja representação gráfica é

64 64 CAPÍTULO 5. ABSTRACÇÃO DE DADOS

65 Capítulo 6 Procedimentos de ordem superior 6.1 Exercícios de revisão 1. Diga quando é que em programação se diz que um objecto computacional é um cidadão de primeira classe. 2. Diga o que é um procedimento de ordem superior e quais são as suas vantagens. 6.2 Exercícios de programação Procedimentos que recebem procedimentos 1. (1) Escreva um procedimento anónimo que recebe um procedimento e um número e devolve o resultado de aplicar o procedimento ao triplo do quadrado do número. 2. O procedimento somatorio (define (somatorio calc-termo lim-inf proximo lim-sup) (if (> lim-inf lim-sup) 0 (+ (calc-termo lim-inf) (somatorio calc-termo (proximo lim-inf) proximo lim-sup)))) é apenas o mais simples de um vasto número de abstracções semelhantes que podem ser capturadas por procedimentos de ordem superior. Por exemplo, podemos usar o procedimento somatorio para somar os quadrados dos múltiplos de 3 entre 9 e 21: (somatorio (lambda (x) (expt x 2)) 9 (lambda (x) (+ x 3)) 21)

66 66 CAPÍTULO 6. PROCEDIMENTOS DE ORDEM SUPERIOR (a) (b) (c) (2) Diga o que fazem as seguintes utilizações desse procedimento: i. (somatorio (lambda (x) x) 4 add1 500) ii. (somatorio (lambda (x) (sqrt x)) 5 (lambda (x) (+ x 5)) 500) iii. (somatorio (lambda (x) (somatorio (lambda (x) x) 1 add1 x)) 1 add1 5) (2) Mostre como é que o procedimento somatorio poderia ser definido gerando um processo iterativo (em vez de gerar um processo recursivo, como faz actualmente). (2) Defina um procedimento piatorio que calcula o produto dos termos de uma função entre dois limites especificados. (d) (2) Mostre como definir o factorial em termos da utilização do procedimento piatorio. 3. A conversão de valores é uma operação comum em programação. Por exemplo, convertemse temperaturas em graus Farenheit para graus Centígrados, horas locais em Lisboa para horas locais em Nova Iorque, etc. (a) (b) (2) Escreva um procedimento converte que recebe o procedimento correspondente à função de conversão e o valor a converter e devolve o valor convertido. Por exemplo, se far-cent for o procedimento correspondente à função de conversão de graus Farenheit em Centígrados definido como (define (far-cent f) (/ (* 5 (- f 32)) 9)) a avaliação de (converte far-cent 32) tem o valor 0. (2) Escreva um procedimento lis-ny para converter uma hora local em Lisboa (um número inteiro entre 0 e 23) para a hora local em Nova Iorque (onde são menos cinco horas do que em Lisboa). Tenha cuidado com a passagem da meia noite. Utilize o procedimento converte da alínea anterior e o procedimento lis-ny para mostrar qual a hora em Nova Iorque quando são 3 da manhã em Lisboa. 4. (3) Escreva um procedimento nenhum-p? que recebe um número inteiro positivo n e um predicado p, e devolve verdadeiro se nenhum inteiro positivo menor que n satisfaz p e falso no caso contrário. > (nenhum-p? 87 (lambda (x) (= 0 (remainder x 100))) > (nenhum-p? 187 (lambda (x) (= 0 (remainder x 100))) 5. (1) Escreva os procedimentos dos exercícios 18 e 19 da secção (primos-entre-si? e divisor-fraco?) utilizando o procedimento nenhum-p?. 6. (1) Escreva os procedimentos dos exercícios 10, 11, 12 e 13 da secção 3.2 (quadrado-perfeito?, primo?, livre-quadrados?, poderoso?) utilizando o procedimento nenhum-p.

67 6.2. EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO (2) Escreva um procedimento conta-p que recebe um número inteiro positivo n e um predicado p, e devolve o número de inteiros positivos menores ou iguais a n que satisfazem p. > (conta-p 87 (lambda (x) (= 0 (remainder x 100))) 0 > (conta-p 487 (lambda (x) (= 0 (remainder x 100))) 4 8. (1) Escreva os procedimentos dos exercícios 6, 7 e 8 da secção (numero-divisores, numero-primos-menores e numero-divisores-primos) utilizando o procedimento conta-p. 9. (2) Escreva um procedimento soma-p que recebe um número inteiro positivo n e um predicado p, e devolve a soma de todos os inteiros positivos menores do que n que satisfazem p. > (soma-p 87 (lambda (x) (= 0 (remainder x 100))) 0 > (soma-p 487 (lambda (x) (= 0 (remainder x 100))) (1) Escreva os procedimentos dos exercícios 2 e 9 da secção (somatorio e soma-divisores) utilizando o procedimento soma-p. 11. (3) Escreva um procedimento nesimo-p que recebe um número inteiro positivo n e um predicado p, e devolve o n-ésimo elemento que satisfaz p. > (nesimo-p 4 (lambda (x) (= 0 (remainder x 100))) 400 > (nesimo-p 4 even?) (1) Escreva os procedimentos dos exercícios 22, 23, 24, e 25 da secção 3.2 (nesimo-primo, nesimo-primo-mersenne, k-divisor, e kesimo-factor-primo) utilizando o procedimento nesimo-p. 13. (3) Escreva um procedimento soma-digitos-p que recebe um número inteiro positivo n e um predicado p, e devolve a soma de todos os dígitos de n que satisfazem p. > (soma-digitos-p 97 (lambda (x) (< x 5))) 0 > (soma-digitos-p 1452 (lambda (x) (< x 5))) (1) Escreva os procedimentos dos exercícios 14 e 15 da secção (soma-digitos e soma-digitos-pares) utilizando o procedimento soma-digitos-p.

68 68 CAPÍTULO 6. PROCEDIMENTOS DE ORDEM SUPERIOR 15. (3) Escreva um procedimento existe-digito-p? que recebe um número inteiro positivo n e um predicado p, e devolve verdadeiro se ocorrer um dígito em n que satisfaça p e falso no caso contrário. > (existe-digito-p? 234 (lambda (x) (< x 5))) > (existe-digito-p? 558 (lambda (x) (< x 5))) 16. (1) Escreva o procedimento do exercício 29 da secção 3.2 (existe-digito?) utilizando o procedimento existe-digito-p?. 17. (4) Escreva um procedimento digitos-p que recebe um número inteiro positivo n e um predicado p, e devolve o número composto apenas pelos dígitos de n que satisfazem p. Se nenhum dos dígitos de n satisfizer p deve devolver 0. > (digitos-p 9558 (lambda (x) (< x 5))) 0 > (digitos-p 2458 (lambda (x) (< x 5))) (1) Escreva o procedimento do exercício 16 da secção (digitos-impares) utilizando o procedimento digitos-p. 19. (2) Escreva um procedimento conta que recebe uma lista e um predicado unário, e devolve o número de elementos da lista que satisfazem o predicado. > (conta (4 5 6) (lambda(x) (> x 5))) (1) Escreva os procedimentos dos exercícios 3, 4, e 5 da secção (conta-pares, conta-menores, e numero-ocorrencias) utilizando o procedimento conta. 21. (2) Escreva um procedimento todos? que recebe uma lista e um predicado unário, e devolve verdadeiro caso todos os elementos da lista satisfaçam o predicado e falso no caso contrário. > (todos? (4 5 6) (lambda(x) (> x 5))) > (todos? (4 5 6) (lambda(x) (>= x 4))) 22. (1) Escreva o procedimento do exercício 6 da secção (todos-pares) utilizando o procedimento todos?. 23. (2) Escreva um procedimento existe? que recebe uma lista e um predicado unário, e devolve verdadeiro se existir pelo menos um elemento da lista que satisfaça o predicado e falso no caso contrário.

69 6.2. EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO 69 > (existe? (4 5 6) (lambda(x) (> x 5))) > (existe? (4 5 6) (lambda(x) (>= x 4))) > (existe? (4 5 6) (lambda(x) (< x 4))) 24. (1) Escreva o procedimento do exercício 7 da secção (ocorre-lista) utilizando o procedimento existe?. 25. (2) Escreva um procedimento nem-todos? que recebe uma lista e um predicado unário, e devolve verdadeiro caso exista pelo menos um elemento da lista que não satisfaz o predicado e falso no caso contrário. > (nem-todos? ( ) even?) > (nem-todos? (2 4 6) even?) 26. (2) Escreva um procedimento transforma que recebe uma lista e um procedimento unário f, e devolve a lista que resulta de aplicar o procedimento a todos os elementos da lista. > (transforma ( ) (lambda(x) (- x 1))) ( ) > (transforma ( ) (lambda(x) (>= x 4))) ( ) 27. (2) Escreva os procedimentos dos exercícios 9 e 10 da secção (quadrados-lista e substitui) utilizando o procedimento transforma (este é apresentado na Página 207 do livro). 28. (2) Escreva um procedimento filtra que recebe uma lista l e um predicado p, e devolve a lista que resulta de ficar com todos os elementos da lista l que satisfazem o predicado p. > (filtra ( ) (lambda(x) (< 1 x 4))) (3 2) 29. (2) Escreva os procedimentos dos exercícios 17, 18, 19, e 20 da secção (selecciona-pares, selecciona-menors, selecciona-primos, e remove-elemento) utilizando o procedimento filtra. 30. (2) Escreva um procedimento posicoes-p que recebe uma lista e um predicado, e devolve a lista de todas as posições em que o elemento da lista satisfaz o predicado. > (posicoes-p ( ) (lambda(x) (< x 3))) (3 4 5) > (posicoes-p ( ) (lambda(x) (> x 4))) ()

70 70 CAPÍTULO 6. PROCEDIMENTOS DE ORDEM SUPERIOR 31. (2) Escreva os procedimentos dos exercícios 22 e 23 da secção (posicoes-lista e posicoes-dos-pares) utilizando o procedimento posicoes-p. 32. (2) Escreva um procedimento da-pares que recebe um procedimento, um valor e uma lista e que devolve uma lista de pares em que cada par contém o elemento da lista seguido do valor obtido da aplicação do procedimento ao valor e ao elemento da lista respectivo. > (da-pares (lambda (x y) (+ x y)) 3 ( )) ((2 5) (4 7) (3 6) (5 8) (6 9)) > (da-pares (lambda (x y) (* x y)) 2 ()) () > (da-pares (lambda (x y) (* x y)) 9 (1 3)) ((1 9) (3 27)) 33. (2) Escreva um procedimento de ordem superior chamado lista-de-a-n-pred que recebe dois números inteiros (de e ate) e um predicado aplicável a inteiros (pred) e que devolve a lista de todos os inteiros ente de e ate que satisfazem o predicado pred. Por exemplo: > (lista-de-a-n-pred 1 10 even?) ( ) > (lista-de-a-n-pred 1 10 (lambda (x) )) ( ) 34. (4) Usando o procedimento lista-de-a-n-pred e outros procedimentos de ordem superior, escreva um procedimento correspondente ao crivo de Eratóstenes. 35. (2) Escreva um procedimento conta-arvore que recebe uma árvore binária e um predicado p que se aplica a cada um dos nós da árvore, e conta quantos elementos da árvore satisfazem p. > (conta-arvore a1 odd?) 5 > (conta-arvore a1 (lambda (x) (> x 5))) (2) Escreva os procedimentos dos exercícios 2, 4, e 6 da secção (tamanho, procura?, e conta-pares-arvore) utilizando o procedimento conta-arvore. 37. (2) Escreva um procedimento conta-subarvore que recebe uma árvore binária a e um predicado p que se aplica a árvores, e conta quantas subárvores de a satisfazem p. > (define (dois-filhos? a) (and (not (arvore-vazia? a)) (not (arvore-vazia? (arv-esq a))) (not (arvore-vazia? (arv-dta a))))) > (conta-subarvore a1 dois-filhos?)

71 6.2. EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO 71 3 > (conta-subarvore a2 dois-filhos?) 2 > (conta-subarvore a3 dois-filhos?) (2) Escreva os procedimentos dos exercícios 7, 9, e 10 da secção (numero-folhas, pai?, filho?) utilizando o procedimento conta-subarvore. 39. (2) Escreva um procedimento aplica-f-arvore que recebe uma árvore binária e um procedimento f que se aplica à raiz de uma árvore, e devolve a árvore que resulta de aplicar o procedimento a todos os elementos da árvore. > (aplica-f-arvore a2 (lambda(x) (* x x))) deve devolver a árvore cuja representação gráfica é (2) Escreva o procedimento do exercício 23 da secção (substitui) utilizando o procedimento transforma Procedimentos que produzem procedimentos 1. (1) A composição de duas funções de um argumento, f(x) e g(x), é a função f(g(x)). Escreva um procedimento fn-composta que recebe como argumentos dois procedimentos correspondentes a funções de um argumento e que devolve o procedimento correspondente à composição dos seus argumentos. Por exemplo, com o seu procedimento, seria gerada a seguinte interacção: > (define (quadrado x) (* x x)) > (define (soma-6 y) (+ 6 y)) > ((fn-composta quadrado soma-6) 3) (a) (2) Escreva um procedimento fn-soma que receba como argumentos dois procedimentos correspondentes a funções reais de variável real, f e g, e devolva o procedimento correspondente à função correspondente à soma de f com g. Por exemplo, com este procedimento podemos gerar a interacção: > (define (f1 x) (+ x 3)) > (define (f2 y) (* y 10)) > ((fn-soma f1 f2) 12) 135

72 72 CAPÍTULO 6. PROCEDIMENTOS DE ORDEM SUPERIOR (b) (2) Podemos pensar numa generalização do procedimento do exercício anterior, fornecendo a operação a realizar entre as funções f e g. Por exemplo, se a operação for a adição, o procedimento corresponde ao anterior, devolvendo f(x) + g(x); no entanto, se a operação for a potência, o procedimento devolve f(x) g(x). Escreva um procedimento aplica-op que recebe como argumentos uma operação (aplicável a dois argumentos) e duas funções reais de variável real e que devolve o procedimento que corresponde a aplicar a operação fornecida às duas funções. Por exemplo, > (define (f1 x) (+ x 3)) > (define (f2 y) (* y 10)) > ((aplica-op + f1 f2) 12) 135 > ((aplica-op * f1 f2) 12) (2) Defina um procedimento funcao-i que recebe procedimentos para calcular as funções reais de variável real f, g e h e devolve um procedimento que se comporta como a seguinte função matemática: i(x) = 2f(x) 2 + 3g(x) 3 h(x 2 ) 4. (2) Escreva um procedimento nega que recebe como argumento um predicado de dois argumentos e que devolve o procedimento correspondente à negação do seu argumento. > ((nega >) 2 3) > ((nega >) 2 2) > ((nega <=) 4 5) 5. (2) Escreva o procedimento conjuncao que recebe dois predicados de um argumento cada, e devolve um novo predicado de um argumento que verifica se esse argumento satisfaz ambos os predicados recebidos originalmente. > (define par>5? (conjuncao even? (lambda (x) (> x 5)))) > (par>5? 4) > (par>5? 8) > (par>5? 9) 6. (a) (2) Escreva um procedimento faz-arredonda que recebe um inteiro n, e devolve um procedimento que recebe um argumento real e o arredonda para n casas decimais.

73 6.2. EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO 73 (b) (2) Utilize o procedimento faz-arredonda para definir o procedimento arredonda-3, que recebe um real e o arredonda para 3 casas decimais. > (arredonda ) (2) Escreva um procedimento que recebe um número e devolve um procedimento que recebe outro número e o multiplica pelo primeiro. > (define mult5 (cria-multiplicador 5)) > (mult5 2) (2) Considere as seguintes definições para um procedimento que devolve a primeira derivada de uma função: (define (derivada f) (lambda (x) (/ (- (f (+ x dx)) (f x)) dx))) (define dx ) Com base na definição anterior escreva um procedimento que recebe um procedimento correspondente a uma função e um inteiro positivo n (n >= 1) e devolve a derivada de ordem n da função. Lembre-se que a derivada de ordem n de uma função é a derivada da derivada de ordem n - 1. Utilize o procedimento derivada. 9. (2) Escreva um procedimento rasto que recebe uma cadeia de caracteres correspondendo ao nome de um procedimento, e um procedimento de um argumento. O procedimento rasto devolve um procedimento de um argumento que escreve no écran (usando o procedimento primitivo display) a indicação de que o procedimento foi avaliado e o valor do seu argumento, escreve também o resultado do procedimento, e devolve o valor de aplicar o procedimento original ao argumento recebido. Por exemplo, partindo do princípio que o procedimento quadrado foi definido, podemos gerar a seguinte interacção: > (define rasto-quadrado (rasto "quadrado" quadrado)) > (rasto-quadrado 4) Avaliação de quadrado, com o argumento 4 Resultado > 10. A sequência de Fibonacci (ou números de Fibonacci) é definida recursivamente do seguinte modo: 0 se n = 0 fib(n) = 1 se n = 1 fib(n 1) + fib(n 2) se n > 1

74 74 CAPÍTULO 6. PROCEDIMENTOS DE ORDEM SUPERIOR ou seja, depois dos dois termos iniciais, cada termo da sequência corresponde à soma dos dois termos anteriores. Sequências semelhantes à de Fibonacci, mas com termos iniciais diferentes, têm sido descobertas como transcrevendo vários aspectos da natureza. Um dos exemplos, a sequência de Lucas, em honra ao Matemático francês François Lucas ( ), corresponde à sequência 3, 1, 4, 5, 9,.... A sequência de Fibonacci pode ser generalizada a uma colecção de sequências, parametrizadas com base nos dois primeiros termos, a e b e definidas através da seguinte expressão: a se n = 0 F a,b (n) = b se n = 1 F a,b (n 1) + F a,b (n 2) se n > 1 Assim, F 0,1 (n) é uma expressão designatória correspondente ao n-ésimo termo da sequência de Fibonacci, F 3,1 (n), é uma expressão designatória correspondente ao n-ésimo termo da sequência de Lucas. (a) (b) (c) (2) Defina um procedimento que dê origem a um procedimento que calcula o n-ésimo termo da sequência generalizada de Fibonacci. O seu procedimento deve receber como argumentos os dois primeiros termos da sequência, produzindo um procedimento de um argumento que calcula o n-ésimo termo de uma sequência particular. O procedimento deve gerar um processo iterativo. (2) Use o procedimento do exercício anterior para gerar outro procedimento que calcula a sequência generalizada de Fibonacci cujos dois primeiros termos são o ano do seu nascimento e o seu número de aluno. Usando este procedimento, calcule o termo cuja posição corresponde a 10 somado ao mês do seu nascimento. Por exemplo, um aluno nascido em Março de 1988 e cujo número é deverá calcular o valor de F 1988,12345 (13). (2) Um dos aspectos interessantes associados às sequências de Fibonacci generalizadas corresponde ao facto de, independentemente dos valores de a e b, o limite da razão entre um termo e o anterior quando n tende para infinito é sempre o mesmo: F a,b (n + 1) lim = ϕ n F a,b (n) em que ϕ (leia-se Phi, o qual não deve ser confundido com o número π) é dado por ϕ = Phi é um número transcendente conhecido por proporção divina, proporção áurea ou número de ouro. A proporção divina foi recentemente glorificada no livro de Dan Brown, O Código da Vinci. Este número, frequentemente usado nas proporções das pinturas renascentistas, está envolvido com a natureza do crescimento. O número ϕ pode ser encontrado na proporção em conchas, seres humanos, e até na relação entre os machos e fêmeas de qualquer colmeia do mundo. Por esta

75 6.2. EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO 75 razão, os antigos consideravam que este número tinha sido utilizado pelo Criador do universo e chamavam-lhe a proporção divina. Esta proporção corresponde à relação que resulta quando uma linha é dividida de tal modo que o comprimento total da linha tem a mesma relação com o comprimento do segmento maior que o comprimento do segmento maior tem com o comprimento do segmento menor. Usando um método de aproximações sucessivas semelhante ao apresentado na Secção do livro, escreva um procedimento de ordem superior que calcule o valor da proporção divina com uma precisão de 10 casas decimais. O argumento do seu procedimento deverá ser um procedimento para o cálculo da sequência de Fibonacci. O seu procedimento deverá utilizar expressões let para evitar cálculos repetidos.

76 76 CAPÍTULO 6. PROCEDIMENTOS DE ORDEM SUPERIOR

77 Capítulo 7 O desenvolvimento de programas 7.1 Exercícios de revisão 1. Diga quais são as fases por que passa o desenvolvimento de um programa e o que se faz em cada uma delas. 2. Enuncie e explique cada um dos tópicos que são habitualmente focados na documentação de utilização que acompanha um programa. 3. Em programação podemos ter erros sintácticos e erros semânticos. Defina cada um deles e dê exemplos. 4. Durante o desenvolvimento de um programa, após a programação da solução, segue-se a fase de testes. Explique no que consiste a fase de testes. 5. O que é a depuração? Que tipos de depuração são efectuados nos programas e para que tipos de erros? 6. O que é a depuração da base para o topo? Qual a sua vantagem? 7. Comente a seguinte expressão: A documentação de um programa deve ser efectuada após o código terminado, para garantir que não existem erros nessa mesma documentação. 8. Escolha a única resposta correcta. A documentação de um programa: (a) Apenas deve ser escrita após o programa ter sido concluído. (b) É constituída por vários tipos de documentos. (c) Não pode ser alterada na fase de manutenção. (d) Deve ser evitada, sempre que possível, pois corresponde a um trabalho desnecessário. 9. Escolha a única resposta incorrecta. Em relação à metodologia de desenvolvimento de programas pode dizer-se que: (a) Na fase da programação da solução decide-se a representação para as estruturas de informação.

78 78 CAPÍTULO 7. O DESENVOLVIMENTO DE PROGRAMAS (b) A depuração lida com erros semânticos e erros sintácticos. (c) A fase de desenvolvimento da solução recorre a uma linguagem de programação. (d) A fase de testes nunca permite garantir a ausência completa de erros. 7.2 Exercícios de programação 1. (2) Sugira casos de teste para o procedimento seguinte: (define (saudacao hora) (cond ((> hora 12) "Boa tarde!") ((> hora 19) "Boa noite!") (else "Bom dia!"))) 2. (1) Com base nos casos de teste concebidos, explique qual o problema com o procedimento saudacao. 3. (2) Sugira casos de teste para o procedimento seguinte: (define (misterio a) (cond ((> a 0) ) ((< a 3) ) ((= a 1) (+ a 5)) (else (misterio (- a 2))))) 4. (1) Com base nos casos de teste concebidos, explique qual o problema com o procedimento misterio.