Departamento de Eletroeletrônica -COTUCA Circuitos Elétricos

Transcrição

1 Eletricidade Básica - Departamento de Eletroeletrônica -COTUCA Circuitos Elétricos

2 Sumário 1 NTRODUÇÃO 6 2 ARÁES ELÉTRCAS Sistema nternacional de Unidades Corrente Tensão Potência Energia Notação 8 3 CONCETOS BÁSCOS DE CRCUTOS ELÉTRCOS Definição: Fonte de Tensão ndependente Fonte de Corrente ndependente Fontes Dependente de Tensão e Corrente Elementos Ativos no Circuito Elementos Passivos no Circuito 10 4 RESSTÊNCA ELÉTRCA (LE DE OHM) Características dos Resistores Tipos de Resistores Código de Cores nterpretação do Código de Cores Casos Especiais de Código de Cores Exercícios 14 5 LES DE KRCHHOFF Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK) Lei das Tensões de Kirchhoff (LTK) Exercícios 17 6 ASSOCAÇÃO DE RESSTORES E RESSTÊNCA EQUALENTE Associação em Série de Resistores Associação em Paralelo de Resistores Associação Mista de Resistores Resistência Equivalente de Circuitos Contendo Fontes ndependentes Resistência Equivalente de Circuitos Contendo Fontes Dependentes e ndependentes Transformação Estrela-Triângulo Conversão de Triângulo para Estrela Conversão de Estrela para Triângulo Exercícios 26 7 DSOR DE TENSÃO E CORRENTE Divisor de Tensão Divisor de Corrente Exercícios 32 8 MÉTODO DE ANÁLSE DE MALHAS Definição das Malhas e Sentidos de Percurso Aplicação da LTK para as Malhas Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos Solução do Sistema de Equações Obtenção das Correntes e Tensões dos Ramos 35 2

3 8.6 Exemplo de Aplicação Definição das Malhas e Sentidos de Percurso Aplicação de LTK para as Malhas Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos Solução do Sistema de Equações Obtenção das Correntes e Tensões dos Ramos Análise de Malhas com Fontes de Corrente Exemplo de Aplicação Exercícios 41 9 MÉTODO DE ANÁLSE NODAL Seleção do Nó de Referência Aplicação da LCK aos Nós Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos Solução do Sistema de Equações Obtenção das Correntes e Tensões de Ramos Exemplo de Aplicação Seleção do Nó de Referência Aplicação da LCK aos Nós Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos Solução do Sistema de Equações Obtenção das Correntes e Tensões de Ramos Análise Nodal com Fontes de Tensão Exercícios SUPERPOSÇÃO Exemplo de Aplicação Exercícios CRCUTOS EQUALENTES DE THÉENN E NORTON ntrodução Circuito Equivalente de Thévenin Circuito Equivalente de Norton Exemplo de Aplicação Exercícios ndutores e Capacitores ndutor Associação de ndutores Capacitor Associação de Capacitores Exercícios ANÁLSE DE CRCUTOS SENODAS Fontes Senoidais Exemplo de Aplicação Exercícios FASORES O Conjugado de um Número Complexo Soma de Números Complexos Subtração de Números Complexos Multiplicação de Números Complexos Divisão de Números Complexos Exercícios 79 3

4 15 RESPOSTAS DOS COMPONENTES PASSOS A FONTES SENODAS Comportamento da Tensão e da Corrente em um Circuito Resistivo Comportamento da Tensão e da Corrente em um Circuito Puramente ndutivo Comportamento da Tensão e da Corrente em um Circuito Puramente Capacitivo mpedância e Reatância Exemplo de Aplicação Exercícios ASSOCAÇÃO DE MPEDÂNCAS Associação em Série de mpedâncias Associação em Paralelo de mpedâncias Transformação Estrela-Triângulo Conversão de Triângulo para Estrela Conversão de Estrela para Triângulo Exemplo de Aplicação Exercícios MÉTODO DE ANÁLSE DE MALHAS NO DOMÍNO DA FREQÜÊNCA Exemplo de Aplicação Exercícios MÉTODO DAS TENSÕES DE NÓ NO DOMÍNO DA FREQÜÊNCA Exemplo de Aplicação Exercícios TEOREMA DA SUPERPOSÇÃO Exemplo de Aplicação Exemplo de Aplicação Exercícios TRANSFORMAÇÃO DE FONTES CRCUTOS EQUALENTES DE THÉENN E NORTON NO DOMÍNO DA FREQÜÊNCA Exemplo de Aplicação Exercícios RESSONÂNCA Ressonância Série Ressonância Paralela Exemplo de Aplicação Exercícios POTÊNCAS E FATOR DE POTÊNCA Potência nstantânea Potência Complexa e Triângulo das Potências Correção do Fator de Potência Exemplo de Aplicação Exercícios CRCUTOS TRFÁSCOS EQULBRADOS Tensões Trifásicas Equilibradas Fonte de Tensão Trifásica Análise do Circuito Ligado em Y-Y Correntes de Linha em um Circuito Ligado em Triângulo ( ) Potência em Carga Trifásica Equilibrada Exemplo de Aplicação 135 4

5 24.7 Exercícios 136 João Marcio Buttendorff 5

6 1 NTRODUÇÃO Esta apostila foi escrita, baseada na literatura atual, a fim de auxiliar nas aulas de circuitos elétricos, apresentando um resumo dos principais tópicos abordados nesta cadeira. Dá-se especial ênfase às leis básicas, teoremas e técnicas clássicas. No próximo item são apresentados conceitos básicos indispensáveis para a assimilação dos conhecimentos que posteriormente serão apresentados. 2 ARÁES ELÉTRCAS 2.1 Sistema nternacional de Unidades O Sistema nternacional de Unidades, ou S, é adotado pelas principais sociedades de engenharia e pela maioria dos engenheiros do mundo inteiro. Neste sistema existem seis unidades principais, das quais as unidades para todas as outras quantidades físicas podem ser derivadas. A tabela 2.1 apresenta as seis unidades, seus símbolos, e a quantidade física que elas representam. Tabela 2.1 Unidades Básicas no S. Grandeza Unidade Símbolo Comprimento metro m Massa quilograma kg Tempo segundo s Corrente Elétrica ampère A Temperatura kelvin k ntensidade Luminosa candela cd As unidades derivadas comumente utilizadas em teoria de circuitos elétricos são apresentadas na tabela 2.2. Grandeza Unidade Símbolo Carga Elétrica coulomb C Potencial Elétrico volt Resistência ohm Condutância siemens S ndutância henry H Capacitância farad F Freqüência hetz Hz Força newton N Energia, Trabalho joule J Potência watt W Fluxo Magnético weber Wb Densidade de Fluxo Magnético tesla T João Marcio Buttendorff 6

7 2.2 Corrente A corrente em um componente do circuito é definida como a quantidade de carga elétrica que atravessa seus terminais por unidade de tempo. A unidade física utilizada é o ampère, simbolizado por A. dq i = (2.1) dt i = ampère (A), q = coulomb (C), t = segundos (s). 19 (O elétron possui carga de 1, C). 2.3 Tensão A tensão (diferença de potencial) entre dois pontos de um circuito é definida como a variação do trabalho realizado por unidade de carga para movimentar esta carga entre estes dois pontos. A unidade utilizada é o volt, simbolizado por. dw v = (2.2) dq v = volt (), w = energia (J), q = coulomb (C). 2.4 Potência Potência é a variação da energia (liberada ou absorvida) em função da variação do tempo. Nos circuitos elétricos ela é definida pelo produto entre tensão e corrente em dois terminais. A unidade utilizada é o watt (ou joule/s), simbolizado por W. dw dq dw p = v. i =. dq dt = dt (2.3) 2.5 Energia Energia é definida como a integral da potência ao longo do tempo. A unidade utilizada é o joule. Outra unidade bastante utilizada na prática é o watt-segundo (W.s) e demais unidades dela derivadas, tais como o kw.hora. t w = p. dt = v. i. dt t (2.4) 0 0 João Marcio Buttendorff 7

8 2.6 Notação É comum em análise de circuitos distinguir-se entre quantidades constantes e variáveis com o tempo através da utilização de letras maiúsculas e minúsculas. Por exemplo, uma corrente constante no tempo, ou contínua, de dez ampères deverá ser escrita =10A, enquanto uma corrente senoidal de mesma amplitude deverá ser escrita i=10a. 3 CONCETOS BÁSCOS DE CRCUTOS ELÉTRCOS 3.1 Definição: Um circuito elétrico pode ser definido como uma interligação dos seguintes componentes básicos: Fontes de tensão dependentes ou independentes; Fontes de corrente dependentes ou independentes; Resistores; Capacitores; ndutores. 3.2 Fonte de Tensão ndependente A fonte ideal de tensão é um elemento que mantém uma tensão especificada constante entre seus terminais para qualquer que seja a corrente que a atravesse. As fontes independentes podem ser do tipo contínua ou alternada. Uma bateria pode ser considerada como um exemplo de fonte de tensão contínua. A tensão fornecida pela concessionária de energia elétrica, por outro lado, é um exemplo de fonte de tensão alternada. Tensão Contínua Tensão Alternada Fig Fontes de Tensão. 3.3 Fonte de Corrente ndependente Uma fonte ideal de corrente é um elemento que é atravessado por uma corrente especificada, para qualquer que seja a tensão entre seus terminais. As fontes de corrente também podem ser do tipo contínuo ou alternado. João Marcio Buttendorff 8

9 Corrente Contínua Corrente Alternada Fig Fontes de Corrente. 3.4 Fontes Dependente de Tensão e Corrente São aquelas que estabelecem uma tensão ou corrente em um circuito cujo valor depende do valor da tensão ou da corrente em outro ponto do circuito. Não é possível especificar o valor de uma fonte dependente a menos que se conheça o valor da tensão ou corrente da qual ela depende. Como exemplo de fontes dependentes podem-se citar unidades geradoras, pois a tensão induzida no enrolamento do estator é função da corrente no rotor e, o transistor, onde a corrente de coletor é proporcional à corrente de base. =a.x =b.x Fonte de Tensão Fonte de Corrente Dependente Dependente Fig Fontes Dependentes. 3.5 Elementos Ativos no Circuito São fontes de tensão e corrente capazes de fornecer energia elétrica para os demais componentes do circuito. Em componentes ativos, deve-se definir se a potência está sendo fornecida ou absorvida pelo mesmo. Se a corrente estiver entrando no terminal positivo da fonte, diz-se que a fonte está absorvendo energia, resultando em uma potência negativa. Para o caso em que a corrente estiver saindo do terminal positivo, diz-se que a fonte está fornecendo potência, ou seja, a potência é positiva. Fornecendo Absorvendo Potência Potência P=. P=-(.) Fig Convenção para fontes. João Marcio Buttendorff 9

10 3.6 Elementos Passivos no Circuito São dispositivos capazes de absorver ou armazenar a energia elétrica fornecida pelos elementos ativos (fontes). Os resistores, indutores e capacitores são elementos passivos. Em componentes passivos, a corrente entra pelo lado de maior potencial (positivo) e sai do mesmo pelo lado de menor potencial. R - R C - C L - L Fig Convenção para elementos passivos. 4 RESSTÊNCA ELÉTRCA (LE DE OHM) Resistência é a propriedade dos materiais de se opor à passagem de corrente elétrica, mais precisamente, ao movimento de cargas elétricas. O elemento ideal usado como modelo para este comportamento é o resistor. A Fig. 4-1 mostra o símbolo do resistor. A letra R indica a resistência do resistor. R Fig Símbolo do resistor. A Lei de Ohm é uma homenagem a Georg Simon Ohm, um físico alemão que a formulou pela primeira vez no início do século XX. A lei de Ohm é a relação algébrica entre tensão e corrente em um resistor e é medida em ohms no sistema internacional (S). O símbolo de ohm é a letra grega Omega ( ). A equação (4.1) descreve esta lei. R. (4.1) Onde: = Tensão em volts (); = Corrente em ampères (A); R = Resistência em ohms ( ). A potência dissipada por um resistor consiste em calcular o produto da tensão entre os terminais do resistor pela corrente que o atravessa. A unidade da potência é watts (W). P. (4.2) Substituindo-se a equação (4.1) na (4.2) pode-se obter a equação da potência em função da corrente e da resistência e a potência em função da tensão e da resistência. João Marcio Buttendorff 10

11 P 2. R (4.3) 2 P (4.4) R O recíproco da resistência é chamando de condutância, representado pela letra G e medido em Siemens (S). Assim: 1 G = (4.5) R Exemplos 2.1: Calcule nos circuitos da Fig. 4-2 os valores das tensões nos resistores e as potências dissipadas nos mesmos. 1A 8R 1A 20R (A) (B) Fig. 4-2 Exemplos. Aplicando-se a Lei de Ohm aos circuitos, obtém-se: RA RA R RB RB R (4.6) P. P RA RA RA 8.1 8W P. P RB RB RB W (4.7) 4.1 Características dos Resistores Em geral os fabricantes de resistores fornece três parâmetros que caracterizam os mesmos: Resistência ôhmica; Percentual de tolerância; Potência. Resistência Ôhmica O valor específico da resistência do componente é indicada numericamente ou por código de cores. Os resistores são fabricados em valores padronizados. Os valores comerciais no Brasil são múltiplos de dez de: 1 1,2 1,5 1,8 2,2 2,7 3,3 3,9 4,7 5,6 6,8 8,2. Percentual de Tolerância Os resistores estão sujeitos a diferenças em seus valores decorrentes aos processos de fabricação. Estas diferenças se situam em 5 faixas de percentual: ± 20%, ± 10%, ± 5%, ± 2%, ± 1% de tolerância. João Marcio Buttendorff 11

12 Os três primeiros são considerados resistores comuns, enquanto os demais são chamados resistores de precisão. Deve-se notar que a tolerância pode ser tanto acima como abaixo do valor padrão do resistor. Potência A dissipação de potência do resistor indica a capacidade de suportar calor sem se danificar e sem que o valor se altere. O calor é produzido pela potência desenvolvida no resistor e pela capacidade do mesmo de transferir essa potência para as redondezas Tipos de Resistores Resistores de Filme de Carbono: Constituído por um corpo cilíndrico de cerâmica que serve como base para uma fina camada espiral de material resistivo (filme de carbono ou grafite em pó) que determina seu valor ôhmico. O corpo do resistor pronto recebe um revestimento que dá acabamento na fabricação e isola o filme de carbono da ação da umidade. As principais desvantagens dos resistores de carbono são o baixo percentual de precisão e a baixa dissipação de potência. Em geral apresentam tolerância de 5 e 10%, apesar de existir também 1 e 2%. Resistores de Carvão: São constituídos por um corpo de porcelana. No interior da porcelana são comprimidas partículas de carvão que definem a resistência do componente. Neste tipo de resistor os valores das resistências não são precisos. Resistores de Fio: Constituem-se de um corpo de porcelana que serva como base. Sobre o corpo é enrolado um fio especial (por exemplo, níquel cromo) cujo comprimento e seção determinam o valor da resistência. Nos resistores de fio obtém-se maior precisão, e maior dissipação de potência Código de Cores O valor ôhmico dos resistores e sua tolerância podem ser impressos no corpo do componente através de anéis coloridos. A cor de cada anel e a sua posição com relação aos demais anéis, corretamente interpretada fornece dados sobre o valor do componente. A disposição em forma de anéis permite a leitura do valor em qualquer posição do componente nterpretação do Código de Cores O código se compõe de três anéis usados para representar o valor ôhmico e um para representar o percentual de tolerância. Para uma correta leitura, os anéis devem ser lidos na seqüência correta, sendo que o primeiro é aquele que estiver mais próximo da extremidade. A Fig. 4-3 apresenta um resistor codificado por cores. 1 º - Unidade; 2 º - Dezena; 3 º - Número de zeros; 1º 2º 3º 4º 4 º - Percentual de tolerância. Fig Resistor codificado por cores. João Marcio Buttendorff 12

13 Cada cor representa um número, como segue: alor Tolerância Preto 0 Marrom 1% Marrom 1 ermelho 2% ermelho 2 Dourado 5% Laranja 3 Prata 10% Amarelo 4 Sem a quarta faixa 20% erde 5 Azul 6 ioleta 7 Cinza 8 Branco 9 Tabela 1 Código de cores. O código é interpretado da seguinte forma: Os dois primeiros anéis são números; O terceiro anel é o fator multiplicativo por dez, ou seja, n números de zeros que virão após os dois primeiros números; O quarto anel é a tolerância do valor da resistência. Exemplo: 1º anel amarelo = 4 2º anel violeta = 7 3º anel vermelho = 2 zeros (00) 4º anel dourado = 5% de tolerância. Resistor de 4700 Ohms ± 5%, 4,7k Ohms ± 5% ou 4k7 Ohms ± 5% Casos Especiais de Código de Cores Resistores de 1 a 10 Ohms: Para representar resistores de 1 a 10 Ohms, o código estabelece o uso da cor dourada no terceiro anel. Esta cor no terceiro anel indica a existência de uma vírgula entre os dois primeiros números ou também pode ser considerado como um fator de multiplicação de 0,1. Exemplo: Marrom, cinza, dourado, dourado = 18 x 0,1 = 1,8 Ohms ± 5%. Resistores abaixo de 1 Ohm: Para representar resistores abaixo de 1 Ohm, o código determina o uso do prateado no terceiro anel. Esta cor no terceiro anel indica a existência de um zero antes dos dois primeiros números ou um fator de multiplicação de 0,01. Exemplo: Marrom, cinza, prata, dourado= 18 x 0,01 = 0,18 Ohms ± 5%. Resistores de cinco anéis: Em algumas aplicações são necessários resistores com valores mais precisos, que se situam entre os valores padronizados. Nestes resistores, os três primeiros anéis são dígitos significativos, o quarto anel representa o número de zeros (fator multiplicativo) e o quinto anel é a tolerância. Exemplo: Azul, cinza, vermelho, laranja, marrom = Ohms ± 1%. João Marcio Buttendorff 13

14 4.2 Exercícios 1-) Determine a corrente e a potência dissipada nos resistores. 12 1k R (A) (B) Respostas: (A) =12mA e P=144mW; (B) =333,33mA e P=13,33W. 2-) Determine a tensão das fontes. 2A 50R 10A R P=200W (A) (B) Respostas: (A) =100; (B) =20. 3-) Determine a tensão sobre os resistores e a potência dissipada pelos mesmo. 3A 100R 100mA 2,2k (A) (B) Respostas: (A) =300 e P=900W; (B) =220 e P=22W. 5 LES DE KRCHHOFF Os comportamentos dos circuitos elétricos são governados por duas leis básicas chamadas Leis de Kirchhoff. Elas estabelecem relações entre as tensões e correntes entre os diversos elementos dos circuitos, servindo assim como base para o equacionamento matemático dos circuitos elétricos. Antes do enunciado das referidas Leis, torna-se, entretanto, necessário à introdução de algumas definições básicas: Nó: É um ponto de junção de dois ou mais componentes básicos de um circuito (ramos). Na Fig. 5-1 está representado um circuito simples composto de dois nós (nós 1 e 2); Ramo: É a representação de um único componente conectado entre dois nós, tal como um resistor ou uma fonte de tensão. Na Fig. 5-1, o componente dois (R2) conectado entre os nós 1 e 2 é um ramo do circuito. Malha: É qualquer percurso de um circuito que permita, partindo de um nó escolhido arbitrariamente, voltar ao ponto de partida sem passar mais de uma vez pelo mesmo nó. João Marcio Buttendorff 14

15 cc R1 R2 1k Fig Circuito com dois nós Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK) A lei das correntes de Kirchhoff estabelece que a soma das correntes que chegam a um nó é igual à soma das correntes que saem do mesmo nó. Considerando-se as correntes que chegam a um nó como positivas e as que saem como negativas, a Lei das Correntes de Kirchhoff estabelece que a soma algébrica das correntes incidindo em um nó deve ser nula. Baseado no enunciado da LCK e considerando-se o circuito mostrado na Fig. 5-1, pode-se escrever a seguinte equação para o nó marcado como 1: (5.1) 5.2 Lei das Tensões de Kirchhoff (LTK) A lei das tensões de Kirchhoff estabelece que a soma algébrica das tensões em qualquer malha de um circuito é sempre nula. R1 R2 R1 - R2 - cc R2 - R3 Fig Circuito com uma malha. Baseado no enunciado da LTK e considerando-se o circuito da Fig. 5-2, pode-se escrever a seguinte equação: cc R 1R 2R3 0 cc R 1 R2 R3 (5.2) Exemplo 3.1: Use as lei de Kirchhoff e a lei de Ohm para determinar o valor da corrente 1 no circuito da Fig João Marcio Buttendorff 15

16 R1=10R R2=50R 6A Fig Exemplo 3.1. Antes de iniciar a resolução do circuito, deve-se associar uma corrente ao ramo formado pelo resistor R 2. Como se têm duas correntes entrando no nó superior, formado por 1 e pela fonte de corrente (6A), será considerado que a corrente em R 2 está saindo do nó. Também deve-se acrescentar tensões desconhecidas aos resistores. O circuito passa a ser o apresentado na Fig R1 1 R2 Nó 1 2 6A Nó 2 Fig Circuito resultante. Aplicando a LCK ao nó 1 e considerando que as correntes entrando no nó são positivas e as que saem são negativas, obtém-se: (5.3) Aplicando a LTK a malha da esquerda e considerando o caminha percorrido no sentido horário, obtém-se: (5.4) R1 R2 R R Substituindo-se a lei de Ohm na equação (5.4). R. R (5.5) Substituindo-se a equação (5.3) na (5.5) e resolvendo-se as equações, obtém-se: 3A 1 2 3A (5.6) O resultado negativo de 1 representa que o sentido real da corrente é o contrário do sentido apresentado na Fig Outro detalhe importante neste exemplo consiste no fato que a corrente esta entrando no terminal positivo da fonte de tensão, o que resulta que a mesma está absorvendo potência ao invés de estar fornecendo potência para o circuito. João Marcio Buttendorff 16

17 Exemplo 3.2: Calcule no circuito da Fig. 5-5 as tensões sobre os resistores, a corrente da malha e a potência fornecida pela fonte de tensão. 3R 7R 24 R1 - R2 - R3-2R Fig Exemplo 3.2. Aplicando-se a LTK ao circuito, obtém-se: 24 0 R1 R2 R3 24 R1 R2 R3 (5.7) Substituindo a Lei de Ohm na equação (5.7) e resolvendo-se a equação, obtém-se a corrente do mesmo. R. R. R A (5.8) Aplicando a Lei de Ohm para cada resistor do circuito, determina-se a tensão sobre os mesmos. R R1 1 R R2 2 R R3 3 (5.9) A potência da fonte é obtida pelo produto da tensão fornecida pela mesma e pela corrente que circula por ela. P W (5.10) 5.3 Exercícios 1-) Calcule as grandezas desconhecidas indicadas nos circuitos abaixo A 2A 10A =? 20 =? 1 6 Respostas: =8A e =10. João Marcio Buttendorff 17

18 2-) Calcule a corrente e as quedas de tensão através de R1 e R2. R2 20R R1 10R Respostas: =1A; R1 =10 e R2 =20. 3-) Use a lei de Ohm e a lei de Kirchhoff para determinar o valor de R no circuito abaixo. R R 8R Resposta: R 4 4-) Calcule a corrente, as tensões nos resistores e a potência fornecida pela fonte. R1 - R2-24 3R 7R R3 2R Respostas: =2A, R1 =6, R2 =14, R3 =4 e P=48W. 5-) Para o circuito abaixo, calcule: a) As correntes da fonte e no resistor de 80; b) A tensão no resistor de 90; c) erifique que a potência fornecida pela fonte é igual à potência dissipada nos resistores. 30R 80R 1,6A 90R Respostas: a) =4A, 1 =2,4A; b) =144; c) P tot =768W. 6-) Dado o circuito, determine: a) O valor de a; b) O valor de b; c) O valor de o; d) As potências dissipadas nos resistores; e) A potência fornecida pela fonte. João Marcio Buttendorff 18

19 4R 50 a 20R b o 80R Respostas: a) a=2a; b) b=0,5a; c) o=40; d) P 4R =25W, P 20R =80W e P 80R =20W; e) P=125W. 7-) A corrente 0 no circuito é 4A. a) Determine a corrente 1; b) Determine as potências dissipadas nos resistores; 25R 0 5R 10R R 8R Respostas: a) 1 =2A; b) P 25R =400W, P 5R =320W, P 70R =280W, P 10R =360W e P 8R =800W. 8-) Determine no circuito abaixo a corrente 1 e a tensão. 54k 1-1,8k 5 1 6k Respostas: 1 =25uA e =-2. 9-) A corrente 1 no circuito abaixo é de 2A. Calcule: a) A tensão s; b) A potência recebida pela fonte de tensão independente; c) A potência fornecida pela fonte de corrente independente; d) A potência fornecida pela fonte de corrente dependente; e) A potência total dissipada pelos dois resistores R 5A 1 30R s Respostas: a-) s=70; b-) P=210W; c-) P=300W; d-) P=40W; e-) P=130W. João Marcio Buttendorff 19

20 6 ASSOCAÇÃO DE RESSTORES E RESSTÊNCA EQUALENTE A análise e projeto de circuitos requerem em muitos casos a determinação da resistência equivalente a partir de dois terminais quaisquer do circuito. Além disso, pode-se numa série de casos práticos solucionar o circuito a partir da associação dos resistores que compõem determinadas partes do circuito. Esta técnica é denominada de redução dos circuitos e será brevemente apresentada aqui, junto com as técnicas básicas de determinação da resistência equivalente. 6.1 Associação em Série de Resistores Neste caso, todos os resistores são percorridos pela mesma corrente, sendo que o terminal final do primeiro é conectado ao início do segundo e assim por diante, conforme mostra a Fig O resistor equivalente é o resistor que quando conectado aos terminais da fonte possui as mesmas características elétricas que a associação série dos resistores 1 a n, sendo n o número total de resistores em série. Portanto, para a fonte conectada aos resistores, a corrente no resistor equivalente será a mesma da associação série dos n resistores. R1 - R2 - R3 - Rn - R1 R2 R3 Rn Fig Circuito série. A Lei das tensões de Kirchhoff estabelece que a soma das tensões em um circuito fechado é igual a zero. Deduz-se daí que a soma das quedas de tensões em todo o circuito da Fig. 6-1 é igual a tensão da fonte. (6.1) R1 R2 R3... Rn Substituindo-se as quedas de tensões nos resistores pela Lei de Ohm, Obtém-se: R R R R (6.2) n R1 R2 R3 R n.(... ) (6.3) A resistência vista pela fonte de alimentação é a resistência equivalente (R eq ) do circuito. Desta forma, tem-se: R (6.4). eq João Marcio Buttendorff 20

21 Substituindo-se a equação (6.4) na (6.3) e dividindo-se ambos os lados da equação por, determina-se a equação da resistência equivalente do circuito. R R R R... R (6.5) eq A Fig. 6-2 apresenta o circuito equivalente da Fig n Req Fig Circuito equivalente. 6.2 Associação em Paralelo de Resistores Na Fig. 6-3 é mostrado um circuito paralelo na qual todos os resistores estão conectados em paralelo. Desta maneira, cada um dos resistores está conectado diretamente a fonte de tensão e, portanto a tensão sobre cada resistor é igual à tensão da fonte. Por outro lado, a corrente através de cada resistor é determinada pelo valor de cada um deles n R1 R2 R3 Rn Fig Circuito paralelo. A Lei das correntes de Kirchhoff estabelece que a soma das correntes que entram em um nó é igual à soma das correntes que saem do nó. Assim: n (6.6) A corrente que circula pela fonte de alimentação é a corrente total () do circuito. Desta forma, tem-se: (6.7) R eq Substituindo-se cada termo da equação (6.6) pela Lei de Ohm e substituindo-se a corrente total pela equação (6.7), obtém-se: João Marcio Buttendorff 21

22 ... (6.8) R R R R R e q n Dividindo-se ambos os lados da equação (6.8) por, obtém-se: (6.9) R R R R R eq n R eq R R R R n (6.10) Esta equação é usada para determinar o valor da resistência equivalente dos resistores conectados em paralelo. Deduz-se desta equação que o valor total da resistência é menor que o menor valor das resistências individuais. Para o caso particular de dois resistores em paralelo, pode-se utilizar a equação (6.11) para determinar a resistência equivalente. R eq R1. R2 R R 1 2 (6.11) 6.3 Associação Mista de Resistores No caso de haver partes do circuito que estão conectadas em série e partes que estão conectadas em paralelo deve-se aplicar sucessivamente as equações (6.5), (6.10) e (6.11) até que se obtenha a resistência equivalente nos terminais desejados. O exemplo a seguir ilustra este procedimento. Considere o circuito da Fig. 6-4 onde se deseja calcular a resistência equivalente a partir dos terminais a-b. a R2 R4 a R2 RA (A) R1 R3 R5 (B) R1 R3 b b a R2 a (C) R1 RB (D) R1 RC b b a (E) RD b Fig Associação mista de resistores. João Marcio Buttendorff 22

23 Pela Fig. 6-4, os resistores R 4 e R 5 estão em série, podendo-se determinar a resistência equivalente R A pela equação (6.5) (vide figura A). R R R (6.12) A 4 5 O circuito possuirá agora a forma mostrado na Fig. 6-4(B), onde observa-se que os resistores R A e R 3 estão conectados em paralelo, podendo ser associados utilizando-se a equação (6.11), resultando na resistência R B : R B R. A R3 R R A 3 (6.13) Após esta operação o circuito assumirá a forma mostrada na figura (C). Os resistores R B e R 2 estão agora em série e a resistência equivalente R C correspondente a estes dois é dada pela equação (6.5): R R R (6.14) C B 2 O circuito assume agora a forma mostrada na figura (D), onde os resistores R C e R 1 estão em paralelo e podem ser associados pela equação (6.11), resultando na resistência equivalente do circuito a partir dos terminais a-b, a qual é denominado de R D. R D R. C R1 R R C 1 (6.15) Deve-se salientar que a resistência equivalente está sempre relacionada a dois terminais específicos do circuito. Existe para cada par de terminais um valor de resistência equivalente diferente. Não existe, portanto, o conceito da resistência equivalente do circuito ou resistência total do circuito, mas sim uma resistência equivalente a partir de dois terminais do circuito. 6.4 Resistência Equivalente de Circuitos Contendo Fontes ndependentes Nos casos anteriores, a resistência equivalente foi determinada para um circuito (ou parte dele) onde não existiam fontes de corrente ou tensão. Mesmo quando houver fontes independentes, pode-se determinar a resistência equivalente a partir de um par de terminais. Neste caso a resistência equivalente será determinada anulando-se todas as fontes independentes do circuito. Para isso, as fontes de tensão serão substituídas por terminais em curto-circuito e as fontes de corrente por terminais em circuito aberto. Por exemplo, a resistência equivalente para o circuito mostrado na Fig. 6-5(A), será obtido a partir do circuito mostrado na Fig. 6-5(B), onde as fontes foram anuladas. João Marcio Buttendorff 23

24 a R2 R3 a R2 R3 (A) R1 cc (B) R1 b b Fig Resistência equivalente contendo fontes. 6.5 Resistência Equivalente de Circuitos Contendo Fontes Dependentes e ndependentes Neste caso deve-se, como no caso anterior anular as fontes independentes e, contudo, manter as fontes dependentes no circuito, uma vez que estas dependem de tensões e correntes do circuito. Deve-se calcular a resistência equivalente aplicando-se uma fonte de tensão aos terminais onde a resistência equivalente deve ser calculada e em seguida determinar a corrente da mesma. A resistência equivalente será a relação entre a tensão aplicada e a corrente. A fonte aplicada poderá ter um valor qualquer, devendo-se optar por um valor que simplifique o calculo (1, por exemplo). O exemplo a seguir ilustra este procedimento. Considere o circuito apresentado na Fig. 6-6 para o qual deseja-se determinar a resistência equivalente a partir dos terminais a-b. O circuito original é mostrado na Fig. 6-6(A) e o circuito utilizado para o cálculo da resistência equivalente é mostrado na Fig. 6-6(B). Neste caso foi aplicado aos terminais a-b uma tensão de 1. a 2R x - 3R a 2R x - 3R 4R 5.x R 5.x b (A) Fig Circuito exemplo. b (B) Aplicando-se a Leis das Tensões de Kirchhoff, obtém-se: 1 x 5. x = 0 x = 0,1667 (6.16) Aplicando-se a LCK no nó formado pela fonte de tensão e pelos resistores de 2 e 4, obtém: = 2Ω 4Ω 1 0,1667 = = 0,3333A 4 2 Assim, a resistência equivalente é obtida por: (6.17) João Marcio Buttendorff 24

25 R eq 1 = = = 3Ω (6.18) 0, Transformação Estrela-Triângulo Existem muitos casos práticos em que a resistência equivalente necessita ser determinada e não é possível utilizar as regras de associação série nem as de associação em paralelo. Nestes casos pode-se simplificar o problema utilizando as regras de conversão estrela-triângulo. A conexão de resistores em estrela é mostrado na Fig. 6-7(a), ao passo que a conexão em triângulo é mostrado na Fig. 6-7(b). A conexão em estrela também é denominada de conexão Y ou ainda conexão T. Por outro lado, a conexão triângulo também é denominada de conexão delta ou ainda conexão. R1 R2 Rc R3 Rb Ra (a) (b) Fig Equivalência entre a conexão (a) estrela e (b) triângulo Conversão de Triângulo para Estrela Quando o circuito original está na conexão triângulo, pode-se converter o circuito para estrela utilizando-se as seguintes relações: Rb. Rc R1 = R R R a b c (6.19) R R 3 2 Ra. Rc = R R R a b c Ra. Rb = R R R a b c (6.20) (6.21) A regra para a conversão triângulo-estrela é, portanto: cada resistor do circuito em estrela é o produto dos resistores dos dois ramos adjacentes do triângulo dividido pela soma dos três resistores do triângulo Conversão de Estrela para Triângulo Quando o circuito original está na conexão estrela, pode-se converter o circuito para triângulo utilizando-se as seguintes relações: João Marcio Buttendorff 25

26 R a R1. R2 R2. R3 R3. R1 = (6.22) R 1 R R b c R1. R2 R2. R3 R3. R1 = (6.23) R 2 R1. R2 R2. R3 R3. R1 = (6.24) R 3 A regra para a conversão estrela-triângulo é, portanto: cada resistor do circuito em triângulo é o produto dos resistores da estrela dois a dois dividido pelo resistor oposto da estrela. 6.7 Exercícios 1-) Calcule a tensão sobre cada resistor dos circuitos abaixo. R1 5R 1R 2R 110 R2 10R 115 R3 3R 4R 7R (a) (b) Respostas: (a) 1=25; 2=50 e 3=35 (b) 1=11,5; 2=23; 3=34,5 e 4=46. 2-) Um circuito paralelo é formado por uma cafeteira elétrica (15), um torrador de pão (15) e uma panela de frituras (12) ligados às tomadas de 120 de uma cozinha. Que corrente fluirá em cada ramo do circuito e qual é a corrente total consumida por todos os eletrodomésticos? Respostas: Caf =8A; Tor =8A; Pan =10A e tot =26A. 3-) Determine a resistência equivalente para o circuito abaixo: a) Como está desenhado; b) Com o resistor de 5 substituído por um curto-circuito; c) Com o resistor de 5 substituído por um circuito aberto. 3R 4R 5R 4R 10R 9R 4R 2R 1R Respostas: a) Req 10 ; b) Req 9,933 e c) Req 10,2. João Marcio Buttendorff 26

27 4-) Determine a resistência equivalente para os dois circuitos abaixo. 2R 7k 12R 24R 15k 30k 24k 30k 20k 6R Respostas: (A) Req 16 ; (B) Req 6k. 5-) Determine a resistência equivalente do circuito abaixo. 5R 10R 8R 20R 15R 6-) Determine para os três circuitos abaixo: a) A resistência equivalente; b) As potências fornecidas pelas fontes. Resposta: R eq =12,162. 8R 16R 6R 10R R 12R 4R 20R 15R 14R 10R 20 15R 48R 18R 6R 20R 8R (B) 6R (A) 6A 60R 15R 30R 48R 15R 10R 18R 10R Respostas: (A) Req 10 e P=40W; (B) Req 27 e P=768W; (C) R 24 e P=864W. eq (C) 7-) Determine o e g no circuito abaixo. João Marcio Buttendorff 27

28 12R 50R 30R 25A g 25R 30R o 60R Respostas: o=300 e g= ) Calcule a tensão x no circuito. 5k 60k 30 - x 1k 15k Resposta: x=1. 9-) A corrente no resistor de 9 do circuito abaixo é 1A, como mostra a figura. a) Calcule g; b) Calcule a potência dissipada no resistor de R 10R 5R 4R 1A g 32R 40R 25R 9R 2R 3R 1R Respostas: a) g=144; b) P=28,8W. 10-) Calcule a potência dissipada pelo resistor de 3k do circuito abaixo. 750R 15k 25k 192 5k 3k 5k Resposta: P=300mW. João Marcio Buttendorff 28

29 11-) Obtenha a resistência equivalente do circuito abaixo e utilize-a para encontrar a corrente. 12,5R 10R 120 5R 30R 15R 20R Respostas: R eq =9,632 e =12,458A. 7 DSOR DE TENSÃO E CORRENTE A solução de circuitos, ou partes dele, pode ser simplificada por meio da aplicação de técnicas conhecidas como divisor de tensão e divisor de corrente. As regras de aplicação dos divisores são obtidas a partir das regras de associação série e paralela de resistores vistas anteriormente, as quais por sua vez derivam diretamente das Leis de Kirchhoff. 7.1 Divisor de Tensão A regra do divisor de tensão se aplica a componentes (resistores) conectados em série, como no caso do circuito mostrado na Fig. 7-1(A), e destina-se a determinar a tensão sobre cada componente individual. A resistência equivalente vista pela fonte é mostrada na figura (B), sendo dada pela relação: R R R R R... R (7.1) eq n R1- R1 R2 R3 R4 Rn (A) R2- R3- R4- Rn- Req- Req (B) Fig Divisão de tensão entre resistores em série. Em um circuito em série a corrente em todos os componentes é a mesma, sendo dada pela equação: R ( R R R R... R ) eq n (7.2) João Marcio Buttendorff 29

30 Desta forma, a tensão sobre cada resistor será dada pelas seguintes equações:... R1. R. ( R R R R... R ) R1 1 R R2. R. ( R R R R... R ) R3 3 Rn R3. R. ( R R R R... R ) Rn. Rn. ( R R R R... R ) n n n n (7.3) (7.4) (7.5) (7.6) As equações anteriores permitem determinar diretamente a tensão sobre cada resistor a partir da tensão aplicada à associação. A regra é: a tensão sobre cada componente é a tensão aplicada aos terminais de entrada multiplicada pela resistência e dividida pela soma das resistências dos componentes. Ao aplicar-se a regra é fundamental observar que as polaridades das tensões e sentidos das correntes sobre os componentes são conforme mostra a Fig Divisor de Corrente Analogamente ao caso de resistências em série, a regra do divisor de corrente se aplica a componentes (resistores) conectados em paralelo, como no caso do circuito mostrado na Fig. 7-2, e destina-se a determinar a corrente que circula por cada componente individual. A resistência equivalente é mostrada na figura (B), sendo dada pela relação: R eq R R R R R n (7.7) R n R2 R3 R4 Rn (A) Req (B) Fig Divisão de corrente entre resistores em paralelo. João Marcio Buttendorff 30

31 A tensão em todos os componentes é mesma, sendo então determinada pela equação (7.8): 1.R eq R R R R R n (7.8) Desta forma, a corrente em cada um dos resistores será dada pelas seguintes equações: 1 1. R R1... R R R R R n (7.9) 2 1. R R... R R R R R n (7.10) 3 1. R R... R R R R R n (7.11) 4 1. R R... R R R R R n (7.12)... n 1. Rn R... R R R R R n n (7.13) As equações anteriores permitem, assim, determinar a corrente em cada resistor a partir da corrente total. A regra geral pode ser expressa da seguinte forma: a corrente em cada componente é a corrente de entrada multiplicada pela resistência equivalente e dividida pela resistência na qual deseja-se obter a corrente. Ao aplicar-se a regra é fundamental observar que as polaridades das tensão e sentidos das corrente sobre os componentes são conforme apresentado na Fig Para o caso particular de apenas dois resistores conectados em paralelo, podem-se obter as seguintes expressões: R 2 1. R R 1 2 (7.14) R 1 2. R R 1 2 (7.15) João Marcio Buttendorff 31

32 7.3 Exercícios 1-) Calcule através do método do divisor de tensão a queda de tensão através de cada resistor. R1 2k 10 R2 6k Respostas: R1 =2,5 e R2 =7,5. 2-) Calcule as correntes 1 e 2 utilizando divisor de corrente. t=18ma 1 2 3k 6k Respostas: 1=12mA e 2=6mA. 3-) Determine no circuito abaixo: a) O valor de o na ausência de carga. b) Calcule o quando RL150k. c) Qual é a potência dissipada no resistor de 25k se os terminais da carga forem acidentalmente curto circuitados? d) Qual a potência máxima dissipada no resistor de 75k? 25k k o RL Respostas: a) o=150; b) o=133,33; c) P=1,6W e d) P=300mW. 4-) Determine a potência dissipada no resistor de 6 do circuito abaixo. 1,6R 10A 16R 4R 6R Resposta: P=61,44W. João Marcio Buttendorff 32

33 5-) No circuito divisor de tensão da figura abaixo, o valor de o sem carga é 6. Quando a resistência de carga R L é inserida ao circuito, a tensão cai para 4. Determine o valor de R 2 R L. 40R 18 R2 RL o Respostas: R2 20 e R 26,67. 6-) Calcule no circuito divisor de tensão abaixo: a) A tensão de saída o sem carga; b) As potências dissipadas em R 1 e R 2 ; L R1 4,7k 160 R2 3,3k o Respostas: a) o=66 e b) P R1 =1,88W e P R2 =1,32W. 7-) Muitas vezes é necessário dispor de mais de uma tensão na saída de um circuito divisor de tensão. Assim, por exemplo, as memórias de muitos computadores pessoais exigem tensões -12, 6 e 12, todas em relação a um terminal comum de referência. Escolha os valores de R 1, R 2 e R 3 no circuito abaixo para que as seguintes especificações de projeto sejam atendidas: a) A potência total fornecida ao circuito divisor de tensão pela fonte de 24 deve ser de 36W quando o circuito não está carregado. b) As três tensões, todas medidas em relação ao terminal comum de referência, devem ser 1 =12, 2 =6 e 3 =-12. R R2 Comum R3 3 Respostas: R 1 4, R2 4 e R3 8. João Marcio Buttendorff 33

34 8-) Calcule a corrente no resistor de 6,25, no circuito divisor de corrente apresentado abaixo. 1142mA 0,25R 2,5R 1R 6,25R 10R 20R Resposta: =32mA. 8 MÉTODO DE ANÁLSE DE MALHAS A análise de malhas envolve sempre os cinco passos descritos a seguir. 8.1 Definição das Malhas e Sentidos de Percurso nicialmente devem ser determinadas quantas malhas contém o circuito. Para um circuito contendo b ramos (componentes) e n nós existirão sempre (b-n1) malhas, as quais permitirão escrever um número de equações independentes também igual a (b-n1). Uma vez identificadas às malhas, deve-se numerá-las e designá-las como 1, 2, 3... b-n1. Além disso, deve-se escolher um sentido de percurso para cada malha. A escolha do sentido não interfere com as equações que serão obtidas, mas é importante na determinação das correntes e tensões de ramo. Também nesta etapa serão definidas polaridades para as tensões nos ramos, as quais definem as correntes de ramo que serão consideradas positivas. 8.2 Aplicação da LTK para as Malhas Após a definição das malhas, deve-se percorrê-las de acordo com o sentido atribuído para cada uma delas, retornando-se ao ponto de partida após a malha ter sido percorrida. Pode-se adotar a seguinte convenção quanto às diferenças de potencial: quedas de potencial ao longo deste percurso serão consideradas positivas, ao passo que elevações de potencial serão consideradas negativas. Como resultado desta etapa haverá (b-n1) equações que representam os somatórios das tensões sobre os componentes que compõem cada malha, de acordo com a convenção adotada. 8.3 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos Considerando que as equações da etapa anterior foram escritas em função das tensões dos ramos e as incógnitas são correntes de malha, devem-se utilizar as relações de tensão-corrente (Lei de Ohm) para substituir as tensões dos ramos por relações envolvendo as correntes de malha. Como resultado desta etapa, obtém-se (b-n1) equações envolvendo as correntes de malha. Deve-se observar que existe uma relação tensão corrente para cada ramo (componente), existindo, portanto b relações deste tipo. João Marcio Buttendorff 34

35 8.4 Solução do Sistema de Equações Após a obtenção das equações de malha, deve-se utilizar algum método de solução de sistemas lineares para determinar as (b-n1) incógnitas. 8.5 Obtenção das Correntes e Tensões dos Ramos Depois de solucionado o sistema de equações e obtido as correntes das malhas, pode-se obter todas as correntes e tensões de ramo do circuito a partir das correntes de malha. Por exemplo, a corrente de ramo K, percorrido por um lado pela corrente de malha x e por outro pela corrente de malha Y do circuito conforme mostra a Fig. 8-1, pode ser obtida pela seguinte equação: k x y (8.1) Fig Tensão e corrente de ramo. Na equação (8.1), foi considerada como positiva a corrente de malha que circula no mesmo sentido que a corrente do ramo, ao passo que foi considerada negativa a que circula em sentido contrário. Deve-se também atentar que a equação pode ser obtida aplicando-se a LCK a qualquer um dos nós do ramo k. Considerando-se os sentidos associados, a tensão no ramo k será dada como:. R ( ). R (8.2) k k k x y k R k Resistência do ramo k (ohms, ) 8.6 Exemplo de Aplicação O método exposto será ilustrado por meio de um exemplo simples ilustrado na Fig. 8-2, onde todas as etapas citadas serão realizadas passo a passo. João Marcio Buttendorff 35

36 8.6.1 Definição das Malhas e Sentidos de Percurso Para o circuito da Fig. 8-2, existem n=4 nós e b=5 componentes. Desta forma, o número de malhas fechadas é (5-41)=2. Os sentidos adotados para os percursos das malhas serão todos no sentido horário, conforme mostra a Fig. 8-2, podendo no entanto ser escolhido um outro sentido. Na figura também são mostrados os sentidos considerados positivos para as quedas de tensão (polaridade das tensões) para os componentes. R1 - R2-1 R3 2 Malha 1 Malha 2 - R4 - Fig Circuito de exemplo Aplicação de LTK para as Malhas De acordo com convenção adotada, as equações para as malhas 1 e 2 são dadas pelas seguintes equações: 0 (8.3) R1 R3 R1 R3 (8.4) R3 R2 R Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos As relações tensão corrente para os ramos do circuito são estabelecidas baseadas nas equações (8.1) e (8.2) da forma que segue: (8.5) R1 1 (8.6) R2 2 R3 1 2 (8.7) (8.8) R4 2. R. R (8.9) R1 R R. R (8.10) R2 R R ( ). R (8.11) R3 R R. R (8.12) R4 R João Marcio Buttendorff 36

37 nserindo-se as relações tensão-corrente nas equações de malha, obtêm-se as equações em termos das correntes de malha. Equação da malha 1: R1 R3. R ( ). R ( R R ). R (8.13) Equação da malha 2: 0 R3 R2 R4 ( ). R. R. R R.( R R R ) (8.14) Solução do Sistema de Equações Para a obtenção da solução serão considerados os seguintes valores: 20 R 1 2 R2 4 (8.15) R3 6 R4 3 Desta forma, o sistema de equações terá a seguinte forma: (8.16) Solucionando-se o sistema, obtém-se: 3,824 A 1 2 1,765 A Obtenção das Correntes e Tensões dos Ramos A partir das correntes de malha podem-se obter as correntes e tensões em todos os ramos: R1 1 3,824 A (8.17) R2 2 1, 765A (8.18) R ,8241, 765 2, 059A (8.19) R4 2 1, 765A (8.20). R 3, , 684 (8.21) R1 1 1 João Marcio Buttendorff 37

38 . R 1, , 06 (8.22) R2 2 2 ( ). R (3,8241,765).6 12,354 (8.23) R R 1, , 295 (8.24) R4 2 4 Uma vez conhecidas as correntes e tensões nos ramos pode-se também determinar as potências em cada um dos componentes bem como a potência total dissipada no circuito. 8.7 Análise de Malhas com Fontes de Corrente A análise de malhas, sendo um método geral de análise, pode também ser empregada quando o circuito contiver fontes de corrente, sejam elas dependentes ou independentes. As fontes de corrente impõem uma determinada corrente num ramo, não sendo, contudo possível determinar à tensão da mesma antes de solucionar o circuito. Na realidade a presença de uma fonte de corrente não altera praticamente nada no método de análise descrito anteriormente. Estas características devem ser consideradas quando do estabelecimento das equações do circuito. Considerando que a fonte de corrente está inserida entre as malhas x e y conforme a Fig. 8-3, observa-se que a tensão da fonte aparecerá nas equações de ambas as malhas que possuem a fonte de corrente em comum. Como não há uma relação entre a corrente da fonte e a sua tensão pode-se manter a tensão k da fonte como uma incógnita a ser determinada. Por outro lado, devido à presença da fonte, as correntes das malhas x e y estão relacionadas pela seguinte relação: (8.25) x y Fig Fonte de corrente entre duas malhas. Desta forma, foi acrescentada uma incógnita ao sistema de equações, mas também foi acrescentada uma equação, sendo ainda possível solucionar o circuito. João Marcio Buttendorff 38

39 Também se pode eliminar a tensão da fonte do sistema de equações isolando-se a tensão k na equação da malha x, por exemplo, e substituindo-a na equação da malha y. Desta forma, elimina-se a equação de uma das malhas do sistema. Caso a fonte de corrente estiver inserida num caminho por onde apenas uma malha passa, significa que a corrente da malha está determinada pela própria corrente da fonte. Neste caso pode-se desconsiderar a equação desta malha e estabelecer o seguinte valor para a corrente da malha, conforme mostra a Fig. 8-4: x (8.26) Fig Fonte de corrente em uma única malha. 8.8 Exemplo de Aplicação O exemplo mostrado na Fig. 8-5 ilustra o procedimento. R1=6 R2= R3=2 1 =20-2 Malha 1 Malha 2 R4=4 - f =6A - Fig Análise de malha com fonte de corrente. Para este circuito, as equações das malhas são as seguintes: Malha 1: 0 (8.27) Malha 2: R1 R3 f R1 R3 f (8.28) R2 R3 R4 f 0 As relações tensão corrente no circuito são as seguintes: João Marcio Buttendorff 39

40 (8.29) R1 1 (8.30) R2 2 R3 1 2 (8.31) (8.32) R4 2. R. R (8.33) R1 R R. R (8.34) R2 R R ( ). R (8.35) R3 R R. R (8.36) R4 R A equação adicional considerando a fonte de corrente é: 2 1 (8.37) Substituindo-se as equações (8.29) a (8.36) obtém-se finalmente as equações do circuito. Deve-se notar que a tensão da fonte de corrente aparece como uma incógnita a mais, havendo também uma equação a mais (equação (8.37)). Malha 1: R1 R3 f. R( ). R ( R R ). R f f (8.38) Malha 2: 0 R2 R3 R4 f. R( ). R. R R.( R R R ) f f (8.39) As equações (8.37), (8.38) e (8.39) são portanto as equações básicas do circuito, sendo as incógnitas 1, 2 e f. Substituindo os valores nas equações, obtém-se: f f (8.40) Resolvendo-se o sistema acima, obtém-se finalmente a solução: 3,2 A 1 2 f 2,8A 51,2 (8.41) João Marcio Buttendorff 40

41 8.9 Exercícios 1-) Determine as correntes no circuito abaixo utilizando o método das correntes de malha. 4R 1R R 3 2 6R 1R 3R Respostas: 1=3A; 2=1A e 3=2A. 2-) Calcule a corrente em cada resistor, utilizando o método da corrente de malha. 2R 4R R Respostas: 1=2A; 2=-1A e 3=3A. 3-) Calcule as correntes 1 e 2 e a corrente através da fonte de 20, usando o método da corrente de malha. 1R R Respostas: 1=2A; 2=5A e 20 =-3A. 4-) Use o método das correntes de malha para determinar: a) As potências associadas às fontes de tensão. b) A tensão o entre os terminais do resistor de 8. 2R 6R 4R 40 8R o 6R 20 Respostas: a) P 40 =224W e P 20 =16W; b) o=28,8. 5-) Calcule as correntes nas malhas do circuito abaixo. João Marcio Buttendorff 41

42 10R 3R 2R 100 5A 50 6R 4R Respostas: 1 =1,75A, 2 =6,75A e 3 =1,25A. 6-) Use o método das correntes de malha para determinar a potência dissipada no resistor de 2 do circuito a seguir. 3R 8R 30 2R 5R 16A 6R 4R Resposta: P=72W. 7-) Use o método das correntes de malha para determinar a potência dissipada no resistor de 1 no circuito abaixo. 2R 2A 2R 10 2R 6 1R Resposta: P=36W. 8-) Determine pelo método das correntes de malha: a) As correntes de ramo a, b e c. b) Repita o item (a) se a polaridade da fonte de 64 for invertida. 3R 4R 40 a 45R b c 64 2R 1,5R Respostas: a) a=9,8a, b=-0,2a e c=-10a; b) a=-1,72a, b=1,08a, c=2,8a. 9-) Use o método das correntes de malha para determinar: a) A potência fornecida pela fonte de corrente de 30A. João Marcio Buttendorff 42

43 b) A potência total fornecida ao circuito pelas fontes. 4R 3,2R 600 5,6R 16R 424 0,8R 30A Respostas: a) P=-312W; b) 17,296kW. 10-) Use o método das correntes de malha para determinar a potência total fornecida pelas fontes ao circuito. 6R 10R 12R 110 3R 12 4R 70 2R Resposta: P=1,14kW. 11-) Use o método das correntes de malha para determinar a potência dissipada nos resistores do circuito abaixo. 3R 9R 18 2R 3A 6R 15 Respostas: P 3R =1,08W, P 2R =0,72W, P 9R =51,84W e P 6R =34,56W. 12-) O circuito da figura abaixo é um a versão em corrente contínua de um sistema de três fios para distribuição de energia elétrica. Os resistores R a, R b e R c representam as resistências dos três condutores que ligam as três cargas R 1, R 2 e R 3 à fonte de alimentação 125/250. Os resistores R 1 e R 2 representam cargas ligadas aos circuitos de 125 e R 3 representa uma carga ligada ao circuito de 250. a) Determine 1, 2 e 3. b) Calcule a potência dissipada em R 1, R 2 e R 3. c) Que porcentagem da potência total fornecida pelas fontes é dissipada nas cargas? d) O ramo R b representa o condutor neutro do circuito de distribuição. Qual seria a conseqüência desagradável de uma ruptura do condutor neutro? (Sugestão: Calcule João Marcio Buttendorff 43

44 1 e 2 e observe se as cargas ligadas a este circuito teriam uma tensão de trabalho de 125) Ra=0,2R 1 Rb=0,4R 2 Rc=0,2R R1=9,4R 3 R2=19,4R R3=21,2R Respostas: a) 1 =117,758, 2 =123,9, 3 =241,658; b) P R1 =1,475kW, P R2 =791,3W, P R3 =2,755kW; c-) 96,3%; e) 1 =79, 2 = ) Determine o e o no circuito abaixo. 3R 1R o 2R o 2R 2.o 16 Respostas: o=33,78 e o=10,67a. 14-) Aplique a análise de malhas para encontrar o no circuito abaixo. 5A o 1R 2R 8R 4R Resposta: o= ) Utilize a análise da malhas para obter o no circuito abaixo. João Marcio Buttendorff 44

45 6 2R 4R o 1R 12 5R 3A Resposta: o=-1,733a. 9 MÉTODO DE ANÁLSE NODAL A análise nodal envolve sempre os cinco passos descritos a seguir: 9.1 Seleção do Nó de Referência nicialmente deve ser selecionado um nó qualquer do circuito como nó de referência, em relação ao qual todas as tensões serão medidas. O potencial deste nó será assumido como zero, motivo pelo qual ele muitas vezes também é denominado de nó de terra. Em seguida os demais nós são numerados de 1 a (n-1), sendo n o número total de nós do circuito incluindo o nó de referência. As demais tensões dos nós serão designadas como 1, 2, 3... n Aplicação da LCK aos Nós Após a escolha do nó de referência e numeração dos nós restantes, deve-se aplicar a Lei de Kirchhoff para os (n-1) nós. A LCK não necessita ser aplicada para o nó de referência, uma vez que resultará numa equação a mais do que o necessário. Deve-se adotar uma convenção de sinal de acordo com o sentido das correntes em relação aos nós. Geralmente, considera-se que correntes que entram no nó são consideradas positivas, enquanto que correntes que saem são consideradas negativas. Como resultado desta etapa haverá (n-1) equações que representam os somatórios das correntes que incidem e saem dos (n-1) nós. 9.3 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos Uma vez que as equações da etapa anterior foram escritas em função das correntes de nós e as incógnitas são tensões de nó, deve-se utilizar as relações de tensão-corrente para substituir as correntes de nós por relações envolvendo as tensões de nó. Como resultado desta etapa, obtém-se (n-1) equações envolvendo as tensões de nó. Deve-se atentar que existe uma relação tensão-corrente para cada ramo, existindo, portanto b relações deste tipo. João Marcio Buttendorff 45

46 9.4 Solução do Sistema de Equações Após a obtenção das equações de nó, deve-se utilizar algum método de solução e determinar as (n-1) incógnitas. Caso o circuito seja composto apenas de resistores, obtémse um sistema de (n-1) equações algébricas onde os coeficientes são obtidos a partir das resistências do circuito. 9.5 Obtenção das Correntes e Tensões de Ramos Deve-se observar para o fato que, após solucionado o sistema de equações, pode-se obter todas as correntes e tensões de ramo do circuito a partir das tensões de nó. Por exemplo, a tensão do ramo k, conectado entre os nós x e y do circuito conforme a Fig. 9-1, pode ser obtida pela seguinte equação: k xy x y (9.1) k x Rk y Fig Tensão e corrente de ramo. Considerando-se os sentidos associados, a corrente no ramo k que circula do nó x para o nó y será dada como: x y k (9.2) Rk R k Resistência do ramo k (ohms) 9.6 Exemplo de Aplicação O método exposto será ilustrado por meio de um exemplo simples ilustrado na Fig. 9-2, onde todas as etapas citadas serão realizadas. b a R2 R1 1 R Fig Circuito de exemplo. João Marcio Buttendorff 46

47 9.6.1 Seleção do Nó de Referência Para o circuito mostrado na Fig. 9-2 existem 3 nós, sendo que o nó inferior será escolhido como nó de referência (terra). As tensões nos outros dois nós serão denominados 1 e 2. As correntes nos resistores R 1, R 2 e R 3 serão denominadas 1, 2 e Aplicação da LCK aos Nós Aplicando-se a LCK para os nós 1 e 2 e considerando-se como positivas as correntes que entram no nós, obtém-se: Nó 1: 0 (9.3) a b a b Nó 2: (9.4) b 2 3 b Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos Considerando os sentidos das tensões e correntes associados aos resistores (Ramos) do circuito, obtém-se: (9.5) R1 R (9.6) R (9.7) R3 R3 Substituindo-se as equações (9.5), (9.6) e (9.7) nas equações (9.3) e (9.4), obtém-se o seguinte sistema de equações em termos das resistências e fontes de corrente: 1 1. R R R R R a b 1 a b (9.8) b R2 R3 R2 R2 R3 b (9.9) Solução do Sistema de Equações A solução do sistema será realizada considerando os seguintes valores numéricos: João Marcio Buttendorff 47

48 a 5A 3A b R 1 2 R2 4 R3 8 Com os valores dos resistores e das fontes de corrente, o sistema de equações assumirá a seguinte forma: 0, 75. 0, , 25. 0, Solucionando-se o sistema, obtém-se: 6, ,571 2 (9.10) Obtenção das Correntes e Tensões de Ramos A partir das tensões dos nós 1 e 2 obtém-se por meio das equações (9.5) a (9.7) as correntes de ramo: 6, ,429 A (9.11) R1 2 6,85712, ,429 A (9.12) R2 4 12, ,571A (9.13) R3 8 As tensões sobre os ramos serão dadas pelas seguintes equações: R ,857 (9.14) R ,85712,571 5, 714 (9.15) R ,571 (9.16) O sinal negativo da tensão R2 que aparece na solução significa que a tensão que efetivamente existe sobre este componente possui polaridade contrária ao sentido assumido como positivo. Da mesma forma, a corrente negativa significa que o sentido que efetivamente existe é contrário aquele considerado positivo. Com a determinação de todos as tensões e correntes do circuito, pode-se também determinar a potência dissipada em cada um dos resistores e nas fontes de corrente. 9.8 Análise Nodal com Fontes de Tensão A análise nodal, sendo um método geral de análise, pode também ser empregada quando o circuito contiver fontes de tensão sejam elas dependentes ou independentes. As João Marcio Buttendorff 48

49 fontes de tensão impõem uma determinada diferença de potencial entre dois nós, não sendo possível determinar a corrente da mesma antes de solucionar o circuito. Estas características devem ser consideradas quando do estabelecimento das equações do circuito. Existem diversas formas de considerar o efeito das fontes de tensão, sendo que uma delas é descrita a seguir. Considerando que a fonte de tensão está conectada entre os terminais x e y conforme a Fig. 9-3, observa-se que a corrente da fonte aparecerá nas equações de ambos os nós do circuito onde a fonte está conectada. Como não há uma relação entre a corrente da fonte e a sua tensão, pode-se manter a corrente k como uma incógnita a ser determinada. Por outro lado, as tensões dos nós x e y estão relacionados da seguinte forma. (9.17) x y k k x y x y Fig Fonte de tensão entre dois nós. Desta forma, foi acrescentada uma incógnita ao sistema de equações ( k ), mas também foi acrescentada uma equação (9.17), sendo ainda possível solucionar o circuito. Caso a fonte de tensão estiver conectada entre o nó x e o nó de terra, significa que a tensão do nó está imposta, podendo-se neste caso desconsiderar a equação deste nó e estabelecer o seguinte valor para a tensão do nó: x (9.18) O exemplo mostrado na Fig. 9-4 ilustra este procedimento. a 2A 3 R3=10R =2 1 1 R1 f 1 R2 2R 4R b 7A Fig Análise nodal com fonte de tensão. As equações dos nós para este circuito são: Nó 1: 0 (9.19) a f f a Nó 2: João Marcio Buttendorff 49

50 0 (9.20) 3 2 f b 2 3 f b As relações tensão corrente são: (9.21) R1 R (9.22) R2 R (9.23) R3 A equação adicional considerando a fonte de tensão é: 1 2 (9.24) Substituindo-se as relações (9.21) a (9.23) obtém-se finalmente as equações do circuito. Deve-se observar que a corrente da fonte de tensão aparece como uma incógnita a mais, havendo também uma equação a mais (equação (9.24)). 1 3 R R f 2 1 f a R 1 R 3 R3 a f a (9.25) 2 3 R R f R R R f b f b b (9.26) Substituindo-se os valores nas equações, obtém-se o seguinte sistema: 0, 6. 0, ,1. 0, f f (9.27) Resolvendo-se o sistema, obtém-se as incógnitas desconhecidas: f 4,8A João Marcio Buttendorff 50

51 9.9 Exercícios 1-) Calcule as correntes e as tensões nos resistores utilizando a análise nodal. R1 12R R3 3R 84 R2 6R 21 Respostas: 1=60; 2=24; 3=3; 1=5A; 2=4A e 3=1A. 2-) Obtenha as tensões nodais do circuito abaixo. 1 6R 2 1A 2R 7R 4A Respostas: 1=-2 e 2= ) Determine pelo método das tensões de nó: a) 1, 2 e 1. b) A potência fornecida pela fonte de 15A. c) A potência fornecida pela fonte de 5A. 5R 15A R 15R 2R 2 5A Respostas: a) 1 =60, 2 =10, 1 =10A; b) P=900W; c) P=-50W. 4-) Use o método das tensões de nó para determinar o valor de no circuito abaixo. 6R 2R 4R 4,5A 1R 12R 30 Resposta: =15. 5-) Determine pelo método das tensões de nó a tensão 1 e a potência fornecida pela fonte de 60 no circuito abaixo. João Marcio Buttendorff 51

52 60 10R 4A 1 20R 80R 30R Respostas: 1 =20 e P=180W. 6-) Determine pelo método das tensões de nó: a) As correntes nos ramos. b) A potência total consumida no circuito. 8R 18R 10R 128 a 48R c b 20R d e 70 Respostas: a) a=4a, b=2a, c=2a, d=3a, e=-1a; b) P=582W. 7-) Use o método das tensões de nó para determinar 1 e 2 no circuito abaixo. 25R 2,4A 1 125R 250R 2 375R 3,2A Respostas: 1 =25 e 2 =90. 8-) Use o método das tensões de nó para determinar o no circuito. 800R 20R o 40R 75 50R 6A 200R Resposta: o=40. 9-) Use o método das tensões de nó para determinar 1 e 2 no circuito abaixo. 4R 80R R 1 2 3A 5R Respostas: 1 =100 e 2 = ) Use o método das tensões de nó para determinar a potência dissipada no circuito abaixo. João Marcio Buttendorff 52

53 4A 15R 25R 30 31,25R 50R 50R Resposta: P=306W. 1A 11-) Encontre o no circuito abaixo. 1R 4A 2.o o 8R 2R 4R Resposta: o=-4a. 12-) Determine 1 e 2 no circuito abaixo. 8R o - 1 3A 2 2R 1R 12 4R 5.o Respostas: 1 =-10,91 e 2 =-100, ) Utilize a análise nodal para encontrar o no circuito abaixo. 3R 5R o 2R 3 1R 4.o Resposta: o=1,11. João Marcio Buttendorff 53

54 10 SUPERPOSÇÃO O princípio da superposição estabelece que quando um circuito contiver mais de uma fonte independente, a resposta do circuito pode ser obtida da resposta individual do circuito a cada uma das fontes atuando de forma isolada. Desta forma, pode-se determinar a resposta individual do circuito considerando-se as fontes uma a uma e, ao final, somar algebricamente as respostas individuais. A utilização do princípio da superposição pode, em muitos casos reduzir a complexidade do circuito e facilitar a solução. Para a resolução de circuitos utilizando o princípio da superposição deve-se levar em consideração os seguintes passos: 1. Desligar todas as fontes independentes do circuito, exceto uma. Fontes de tensão são substituídas por curtos-circuitos e fontes de corrente por circuitos abertos. Fontes dependentes não devem ser alteradas. 2. Repetir o passo 1 até que todas as fontes independentes foram consideradas. 3. Determinar a resposta total somando-se as respostas individuais de cada fonte. As tensões e correntes de cada ramo serão a soma das tensões e correntes individuais obtidas. Deve-se observar o sentido das correntes e tensões nas respostas individuais Exemplo de Aplicação Considere o circuito da Fig. 10-1, onde existe duas fontes independentes. Deseja-se calcular a corrente a e a potência dissipada no resistor de 4. 5R 30R 10R a 10A 20R 4R 15 Fig Circuito de exemplo. nicialmente será considerado apenas o efeito da fonte de corrente, sendo a de tensão substituída por um curto-circuito. O circuito equivalente é apresentado na Fig R 30R 10R a' 10A 20R 4R Fig Circuito equivalente para a fonte de corrente. Solucionando-se o circuito obtém-se a corrente a =2,703A. Esta corrente é considerada positiva, pois coincide com o sentido arbitrado como positivo. João Marcio Buttendorff 54

55 Considerando-se agora o efeito causado pela fonte de tensão, obtém-se o circuito apresentado na Fig R 30R 10R a'' 20R 4R 15 Fig Circuito equivalente para a fonte de tensão. Resolvendo-se o circuito, obtém-se uma corrente a =-1,014A. A corrente tem um valor negativo pelo fato de que neste caso a fonte de tensão impõe uma corrente que circula no sentido contrário ao assumido como positivo. Desta forma, pelo princípio da superposição, a corrente total que circula no resistor será: = a a ' a'' a = 2,703 1,014 = 1,689 A A potência dissipada no resistor será: (10.1) P = R. a 2 P = 4.(1, 689) = 11, 41W 2 (10.2) 10.2 Exercícios 1-) Use o teorema da superposição para encontrar no circuito abaixo. 8R 6 4R 3A Resposta: =10. 2-) Determine a tensão o usando o teorema da superposição. 3R 5R 2R o 8A 20 Resposta: o=12. João Marcio Buttendorff 55

56 3-) Determine o valor da corrente, usando o princípio da superposição. 2R 6R 8R 4A Resposta: =0,75A. 4-) Determine a corrente do circuito apresentado abaixo. 24 8R 4R 4R 12 3R 3A Resposta: =2A. 5-) Dado o circuito abaixo, utilize a superposição para determinar o. 4A o 4R 3R 2R 12 10R 5R 2A Resposta: o=0,1111a. 6-) Utilize a superposição para obter a tensão x no circuito abaixo. 20R x 10 2A 4R 0,1.x Resposta: x=12,5. 7-) Determine x no circuito abaixo pelo método da superposição. João Marcio Buttendorff 56

57 2R x 1R 5.x 10 2A 4R Resposta: x=-0,1176a. 8-) Determine o no circuito abaixo. 2R 3R 4A o 1R 5.o 5R 20 4R Resposta: o=-0,4706a. 11 CRCUTOS EQUALENTES DE THÉENN E NORTON 11.1 ntrodução Em muitos casos práticos existe a necessidade de determinar a tensão, corrente e potência em apenas um ramo (componente) do circuito. Assim, não existe a necessidade de determinação das tensões e correntes em todos os ramos do circuito. Neste contexto, os teoremas de Thévenin e Norton permitem que seja determinado um circuito equivalente simples a partir de dois terminais, o qual pode substituir uma rede complexa e simplificar a resolução Circuito Equivalente de Thévenin A idéia do circuito equivalente de Thévenin está ilustrada na Fig A figura (A) representa qualquer circuito constituído por fontes e resistores; as letras a e b indicam os terminais na qual se tem interesse em obter a tensão, corrente ou potência. O circuito equivalente de Thévenin aparece na figura (B). Como se pode ver na figura, o circuito equivalente de Thévenin é constituído por uma fonte independente de tensão, Th, e um João Marcio Buttendorff 57

58 resistor, R Th, que substituem todas as fontes e resistores do circuito. Esta combinação em série de Th e R Th é equivalente ao circuito original no sentido de que, se ligarmos a mesma carga aos terminais a e b dos circuitos, ela será submetida à mesma tensão e será atravessada pela mesma corrente. Esta equivalência existe para todos os valores possíveis de resistência da carga. Circuito Resistivo Contendo Fontes a b Th RTh (A) (B) Fig (A) Circuito genérico; (B) Circuito equivalente de Thévenin. a b Para se obter a tensão de Thévenin em um ponto do circuito, basta calcular a tensão nos terminais a e b quando estes estão em aberto. Th (11.1) ab A resistência equivalente de Thévenin (R Th ) é a resistência equivalente do circuito obtida a partir dos terminais a e b, com todas as fontes independentes consideradas nulas. Para isto, substituem-se as fontes de tensão por um curto-circuito e as fontes de corrente por circuitos abertos Circuito Equivalente de Norton O circuito equivalente de Norton é constituído por uma fonte independente de corrente em paralelo com uma resistência, conforme mostrado na Fig O valor da corrente da fonte é a corrente que circula do terminal a para b quando estes são curtocircuitados (Corrente de Norton, N ). A resistência de Norton (R N ) é aquela obtida dos terminais a e b quando todas as fontes são anuladas. Como a resistência a partir de dois terminais só possui um valor, a resistência de Thévenin e Norton são, portanto, idênticas, bastando que esta seja determinada para um dos circuitos equivalentes (R Th =R N ). Circuito Resistivo Contendo Fontes a b N (A) (B) Fig (A) Circuito genérico; (B) Circuito equivalente de Norton. RN a b Uma alternativa para obter o circuito equivalente de Thévenin ou Norton, é utilizando-se técnicas de transformação de fontes. Uma transformação de fonte permite substituir uma fonte de tensão em série com um resistor por uma fonte de corrente em paralelo com o mesmo resistor, ou vice-versa. João Marcio Buttendorff 58

59 A equações (11.2) e (11.3) apresentam as relações para obter a corrente de Norton ou a tensão de Thévenin quando utiliza-se destas técnicas. Th N (11.2) RTh. R (11.3) Th N N 11.4 Exemplo de Aplicação O exemplo mostrado na Fig ilustra este procedimento. 25 5R 20R 3A 4R a 1 ab Fig Circuito de exemplo. b Para determinar o circuito equivalente de Thévenin do circuito da Fig. 11-3, calcula-se primeiramente a tensão de circuito aberto entre os terminais a e b. Observe que, quando não há nenhuma carga ligada aos terminais a e b, a corrente no resistor de 4 é zero, e portanto a tensão de circuito aberto, ab, é igual à tensão entre os terminais da fonte de corrente de 3A, 1. Para obter o valor de 1, basta resolver uma única equação de nó. Escolhendo-se o nó inferior como nó de referência e adotando-se os sentidos das correntes conforme a Fig. 11-4, obtém-se: 25 5R 2 20R 1 3A 4R a 1 ab Fig Sentido das correntes. b (11.4) Resolvendo-se a equação, obtém-se: 1 ab 32 João Marcio Buttendorff 59

60 Conforme apresentado anteriormente, a resistência de Thévenin é a resistência vista pelos terminais a e b com as fontes anuladas. Anulando-se as fontes, obtém-se o circuito equivalente da Fig R 4R a 20R RTh b Fig Resistência equivalente. Resolvendo-se o circuito equivalente pelo método das associações de resistores, obtém-se: RTh 8 Através da obtenção da resistência e tensão de Thévenin, pode-se montar o circuito equivalente. RTh=8R Th=32 Fig Circuito equivalente de Thévenin. Aplicando a transformação de fontes, determina-se o circuito equivalente de Norton. Th N RTh N 4A 32 8 N=4A RN=8R Fig Circuito equivalente de Norton Exercícios 1-) Determine o circuito equivalente de Thévenin e Norton do ponto de vista dos terminais a e b do circuito abaixo. João Marcio Buttendorff 60

61 4R a 10 6R b Respostas: Th =6; N =2,5A e R Th =R N =2,4. 2-) Determine o equivalente de Thévenin de Norton do circuito abaixo. 3R a 12 2R 5R b Respostas: Th =2,4; N =1,5A e R Th =R N =1,6. 3-) Determine o circuito equivalente de Thévenin de Norton do circuito abaixo. 3R a 12 2R 2R 5R b Respostas: Th =1,33; N =1,5A e R Th =R N =0,89. 4-) Determine o circuito equivalente de Thévenin do circuito abaixo do ponto de vista dos terminais a e b. 12R 5R 8R a 72 20R Respostas: Th =64,8 e RTh 6. 5-) Determine o circuito equivalente de Norton do circuito abaixo. b 2R a 15A 8R 10R 12R Respostas: N =6A e RN 7,5. b João Marcio Buttendorff 61

62 6-) Determine o circuito equivalente de Norton e thévenin do circuito abaixo em relação aos terminais a e b. 40R 5R 1,5A a 30 25R 60R 20R b Respostas: Th =45, N =1,5A e RTh ) Determine o circuito equivalente de Thévenin e Norton do circuito abaixo. 8A 12R 2R a 12 6R Respostas: Th =52, N -=8,67A e RTh 6. 8-) Obtenha o circuito equivalente de Thévenin para o circuito à esquerda dos terminais a- b. Determine, então, a corrente através do resistor RL, para RL=6, 16 e 36. b 4R 1R a 32 12R 2A RL Respostas: L =3A, L =1,5A e L =0,75A. b 9-) Determine o circuito equivalente de Norton. 8R a 4R 2A 5R 12 8R Resposta: N =1A e R N =4. b João Marcio Buttendorff 62

63 10-) Determine o circuito equivalente de Norton para o circuito apresentado abaixo. 2.x a 6R 10A 2R x Resposta: N =10A e R N =1. b 11-) Determine o equivalente de Thévenin para o circuito apresentado abaixo. 2.x 2R 2R a 5A 4R x 6R Resposta: Th =20 e R Th =6. b 12 ndutores e Capacitores ndutores e capacitores são elementos passivos que armazenam energia em circuitos elétricos. Os indutores armazenam energia em forma de campo magnético, enquanto os capacitores armazenam no campo elétrico ndutor O indutor é um componente passivo que se opõe a variações da corrente elétrica. Ele é composto basicamente por um enrolamento de fio condutor em torno de um núcleo, conforme apresentado na Fig Espiras Núcleo Fig ndutor. O comportamento dos indutores se baseia em fenômenos associados a campos magnéticos. O campo magnético criado em torno de um fio condutor tem a forma de anéis concêntricos com o condutor. A direção do campo (das linhas de força) pode ser João Marcio Buttendorff 63

64 determinada pela regra da mão direita. Esta regra estabelece que quando se toma com a mão direita um cabo condutor de corrente de tal forma que o polegar indique o sentido da corrente, os dedos restantes indicaram o sentido circular do campo magnético produzido. Sentido do campo Magnético Fig Campo criado pela corrente. Estes campos magnéticos são produzidos por cargas elétricas em movimento, ou seja, por corrente elétrica. Quando uma corrente elétrica varia com o tempo, o campo magnético produzido por esta corrente também irá variar. Um campo magnético variável induz uma tensão em um condutor imerso no campo. A tensão induzida está relacionada a corrente por um parâmetro chamado ndutância. A indutância é simbolizada pela letra L, medida em Henry (H). A Fig mostra o símbolo de um indutor. A tensão entre os terminais de um indutor é proporcional à taxa de variação da corrente que o atravessa e é dado pela equação (12.1): ( ). di( t) vl t = L (12.1) dt Onde: v L = Tensão em volts (); L = ndutância em Henry (H); i = Corrente em ampères (A); t = Tempo em segundos (s). L L Fig Símbolo do indutor. Duas observações importantes podem ser feitas a respeito da equação (12.1). Em primeiro lugar, quando a corrente é constante, a tensão entre os terminais de um indutor ideal é nula; em outras palavras, o indutor se comporta como um curto circuito para corrente contínua. Em segundo lugar, a corrente que atravessa o indutor não pode variar instantaneamente, ou seja, não pode sofrer uma variação finita em um tempo infinitesimal. De acordo com a equação (12.1), esta variação faria aparecer uma tensão infinita entre os terminais do indutor, o que é obviamente impossível. Assim, por exemplo, quando alguém abre um interruptor em um circuito indutivo, a corrente inicialmente contínua passa de um dos contatos do interruptor para o outro através do ar, este fenômeno é chamado de centelhamento. O centelhamento impede que a corrente diminua instantaneamente para João Marcio Buttendorff 64

65 zero. Ligar e desligar circuitos indutivos constitui um sério problema na engenharia, já que o centelhamento e os picos de tensão associados podem danificar os equipamentos. solando-se a corrente na equação (12.1), obtém-se a equação que determina o comportamento da corrente nos indutores. t 1 i ( t) =. v ( t). dt i (0) (12.2) L L L L t Associação de ndutores Assim como as combinações de resistores em série e em paralelo podem ser reduzidas a um único resistor equivalente, combinações de indutores em série e em paralelo podem também ser reduzidas a um único indutor equivalente. A Fig mostra indutores em série. L1 - L1 L2 - L3 - Ln - L2 L3 Ln Fig ndutores em série. Como a corrente é a mesma em todos os indutores e a Lei de Kirchhoff das tensões estabelece que a soma das tensões em um circuito fechado é igual a zero, obtém-se: = (12.3) L1 L2 L3... Ln Substituindo-se as quedas de tensões nos indutores representados pela equação (12.1) na equação (12.3), obtém-se: di di di di = L1. L2. L3.... Ln. (12.4) dt dt dt dt di = ( L1 L2 L3... Ln ). (12.5) dt Por outro lado, para o indutor equivalente existe a seguinte relação: di = (12.6) L. eq dt Substituindo-se a equação (12.6) na (12.5) e dividindo-se ambos os lados da equação por di dt, determina-se a equação da indutância equivalente para indutores ligados em série. João Marcio Buttendorff 65

66 L = L L L L (12.7) eq n A Fig apresenta o circuito equivalente da Fig Leq Fig Circuito equivalente. Quando dois ou mais indutores são ligados em paralelo, conforme apresentado na Fig. 12-6, todos estarão submetidos a mesma tensão, porém a corrente total do circuito será a soma das correntes individuais que atravessa cada indutor n L1 L2 L3 Ln Fig ndutores em paralelo. Aplicando-se a Lei de Kirchhoff das correntes, obtém-se: = n (12.8) Substituindo-se a equação (12.2) na equação (12.8), obtém-se: t 1 1 =. v ( t). dt i (0). v ( t). dt i (0) L t L L1 L L2 1 L t0 2 t v ( t). dt i (0).... v ( t). dt i (0) L L L3 L Ln 3 L t0 n t0 t t (12.9) = v t dt i i i i t L( ). L1(0) L2(0) L3(0)... Ln(0) L1 L2 L3 L (12.10) n t0 A corrente total em função da indutância equivalente e definida por: t 1 =. vl ( t ). dt ileq (0) (12.11) L eq t0 Substituindo a equação (12.11) na (12.10), obtém-se a indutância equivalente da associação paralela de n indutores. João Marcio Buttendorff 66

67 =... (12.12) L L L L L eq n L eq = L L L L n (12.13) A corrente inicial equivalente será dada pela soma de todas as correntes iniciais. i (0) = i (0) i (0) i (0)... i (0) = 0 (12.14) Leq L1 L2 L3 Ln Para o caso particular de dois indutores em paralelo, pode-se utilizar a equação (12.15) para determinar a indutância equivalente. L eq L1. L2 = L L 1 2 (12.15) 12.3 Capacitor Os capacitores são elementos passivos que tem a propriedade em um circuito elétrico de se opor a qualquer variação da tensão. Os capacitores são constituídos por duas placas metálicas, separadas por uma camada isolante. O isolante pode ser o ar ou qualquer outro material com características adequadas. A Fig apresenta o aspecto construtivo de um capacitor. A d A Fig Construção básica do capacitor. A capacitância de um capacitor é determinada por três fatores: Superfície das placas (Área); Distância entre as placas; Constante dielétrica ε, que é uma característica do tipo de isolação utilizada entre as placas. A capacitância em função dos três fatores mencionados é dada pela equação (12.16). C = ε. A (12.16) d Onde: A = Área, em metros (m); d = Distância, em metros (m); C = Capacitância, em Farads (F). João Marcio Buttendorff 67

68 Quando uma tensão é aplicada aos terminais de um capacitor, as cargas elétricas que existem no dielétrico não podem se mover de uma placa para outra, já que o dielétrico é um material isolante, mas são deslocadas em relação á sua posição de equilíbrio. Quando a tensão varia com o tempo, a posição das cargas também varia com o tempo, dando origem à chamada corrente de deslocamento. A corrente de deslocamento é proporcional à taxa de variação da tensão entre os terminais do capacitor e é determinado pela equação (12.17). ( ). dv( t) ic t = C (12.17) dt Onde: v = Tensão em volts (); C = Capacitância em Farads (F); C = Corrente em ampères (A); t = Tempo em segundos (s). Duas observações importantes podem ser feitas a respeito da equação (12.17). Em primeiro lugar, quando a tensão é constante, a corrente em um capacitor é nula; em outras palavras, o capacitor se comporta como um circuito aberto para corrente contínua. Em segundo lugar, a tensão entre os terminais de um capacitor não pode variar instantaneamente, ou seja, não pode sofrer uma variação finita em um tempo infinitesimal. De acordo com a equação, esta variação faria aparecer uma corrente infinita no capacitor, o que é obviamente impossível. solando-se a tensão na equação (12.17), obtém-se a equação que determina o comportamento da tensão nos capacitores. t 1 v ( t) =. i ( t). dt v (0) (12.18) C C C C t0 A Fig apresenta a simbologia comumente usada para representar os capacitores. Comum Comum Eletrolítico Eletrolítico ariável Fig Simbologia. Abaixo estão relacionados alguns tipos de capacitores. Capacitor de cerâmica: Consiste de um tubo ou disco de cerâmica de constante dielétrica na faixa de 10 a Uma fina camada de prata é aplicada a cada lado do dielétrico. Este tipo de capacitor é caracterizado por baixas perdas, pequeno tamanho e uma conhecida característica de variação de capacitância com a temperatura. Capacitor de papel: Consiste de folhas de alumínio e papel kraft (normalmente impregnado com graxa ou resina) enroladas e moldadas formando uma peça compacta. Os capacitores de papel são disponíveis na faixa de 0,0005µF a aproximadamente 2µF. João Marcio Buttendorff 68

69 Capacitor de filme plástico: É bastante similar ao capacitor de papel, na sua forma construtiva. Dielétricos de filme plástico, com poliéster ou polipropileno, separam folhas metálicas usadas como placas. O capacitor é enrolado e encapsulado em plástico ou metal. Capacitor de mica: Consiste de um conjunto de placas dielétricas de mica alternadas por folhas metálicas condutoras. O conjunto é então encapsulado em um molde de resina fenólica. Capacitor de vidro: É caracterizado por camadas alternadas de folhas de alumínio e tiras de vidros, agrupadas até que seja obtida a estrutura do capacitor desejado. A construção é então fundida em um bloco monolítico com a mesma composição do vidro usado como dielétrico. Capacitor eletrolítico: Consiste de duas placas separadas por um eletrólito e um dielétrico. Este tipo de capacitor possui altos valores de capacitância, na faixa de aproximadamente 1µF até milhares de µf. As correntes de fuga são geralmente maiores do que aos demais tipos de capacitores. Os capacitores variáveis geralmente utilizam o ar como dielétrico e possuem um conjunto de placas móveis que se encaixam num conjunto de placas fixas. Outro tipo de capacitor variável é o trimmer ou padder, formado por duas ou mais placas separadas por um dielétrico de mica. Um parafuso é montado de forma que ao apertá-lo, as placas são comprimidas contra o dielétrico reduzindo sua espessura e, conseqüentemente, aumentando a capacitância Associação de Capacitores Para os capacitores, também é possível obter um circuito equivalente para n capacitores associados em série, em paralelo ou mistos. A Fig apresenta a associação em série de capacitores ligados a uma fonte de tensão. C1 - C2 - C3 - Cn - C1 C2 C3 Cn Fig Circuito série. A Lei das tensões de Kirchhoff estabelece que a soma das tensões em um circuito fechado é igual a zero. = (12.19) C C C Cn Substituindo a equação (12.18) na (12.19), obtém-se: t 1 1 =. i ( t). dt v (0). i ( t). dt v (0) C t C C1 C C 2 1 C t0 2 t i ( t). dt v (0).... i ( t). dt v (0) C C C3 C Cn 3 C t0 n t0 t t (12.20) João Marcio Buttendorff 69

70 = i t dt v v v v t C ( ). C1(0) C 2(0) C3(0)... Cn(0) C1 C2 C3 C (12.21) n t0 O capacitor equivalente é definido por: t 1 =. ic ( t ). dt vceq (0) (12.22) C eq t0 Substituindo-se a equação (12.22) na (12.21) obtém-se a equação que determina a capacitância equivalente para a associação em série de n capacitores =... (12.23) C C C C C eq n C eq = C C C C n (12.24) A tensão inicial equivalente será dada pela soma de todas as tensões iniciais. v (0) = v (0) v (0) v (0)... v (0) (12.25) Ceq C1 C 2 C3 Cn Para o caso particular de dois capacitores, pode-se determinar a capacitância equivalente através da equação (12.26). C eq C1. C2 = C C 1 2 (12.26) Na Fig é mostrado um circuito paralelo na qual todos os capacitores estão conectados aos mesmos nós. Desta maneira, a tensão sobre cada capacitor é igual à tensão da fonte n C1 C2 C3 Cn Fig Circuito paralelo. Em um circuito paralelo, a corrente total da fonte de alimentação é igual à soma das correntes individuais. = n (12.27) Substituindo a equação (12.17) na (12.27) e dividindo-se ambos os lados da equação por dv dt, obtém-se a equação que determina a capacitor equivalente para o caso de capacitores conectados em paralelo. João Marcio Buttendorff 70

71 C = C1 C2 C3... C (12.28) eq n 12.5 Exercícios 1-) Determine o circuito equivalente do circuito abaixo do ponto de vista dos terminais a e b. 21H a 4H 15H 44H 12H 10H 25H b 1,2H Resposta: Leq=8,64H. 2-) Determine o circuito equivalente. 12mH 5mH 10mH 80mH 60mH 6mH 14mH 24mH Resposta: Leq=20mH. 15,8mH 3-) Calcule a indutância equivalente co circuito abaixo. 20mH 100mH 40mH 50mH 40mH 30mH 20mH Resposta: L eq =25mH. 4-) Determine o circuito equivalente do circuito capacitivo apresentado abaixo. 8uF 16uF 4uF 5uF 1,6uF 12uF 6uF Resposta: Ceq=6uF. João Marcio Buttendorff 71

72 5-) Determine o circuito equivalente. 8nF 18nF 12,8nF 40nF 5,6nF 32nF 8nF Resposta: Ceq=5nF. 6-) Calcule a capacitância equivalente vista nos terminais do circuito abaixo. 50uF 60uF 70uF 20uF 120uF Resposta: C eq =40uF. 13 ANÁLSE DE CRCUTOS SENODAS Até agora, limitamos nossas discussões a circuitos com fontes de tensão ou de corrente contínua. Neste item, será estudada a resposta em regime permanente de circuitos alimentados por fontes de tensão ou de corrente que variam com o tempo. Em particular, a fontes nas quais o valor da tensão ou da corrente varia senoidalmente. As fontes senoidais e seus efeitos nos circuitos constituem uma importante área de estudo, devido à geração, transmissão, distribuição e consumo de energia elétrica serem feitas na forma de tensões e correntes senoidais Fontes Senoidais Uma fonte de tensão senoidal (independente ou dependente) produz uma tensão que varia senoidalmente com o tempo. Uma fonte de corrente senoidal (independente ou dependente) produz uma corrente que varia senoidalmente com o tempo. Para iniciar os estudos dos circuitos senoidais, utilizaremos uma fonte de tensão, mas as observações também se aplicam a fontes de corrente. Pode-se expressar uma função senoidal através da função seno ou da função coseno. Embora as duas funções sejam equivalentes, não se pode usá-las ao mesmo tempo. A função que descreve o comportamento senoidal de uma fonte de tensão pode ser escrita como apresentada nas equações (13.1) e(13.2): ( ω φ ) v =.. p sen t (13.1) João Marcio Buttendorff 72

73 Onde: p ( ω φ ) v =.cos. t 90 (13.2) p = Tensão máxima ou tensão de pico em volts (); ω = Freqüência angular em radianos/segundos (rad/s); t = Tempo em segundos (s); φ = Ângulo de fase, ou ângulo que inicia a forma de onda. A Fig apresenta a forma de onda de uma fonte de tensão senoidal. p 0 π 2.π 3.π 4.π ω.t -p T Fig Tensão senoidal. Observe que uma função senoidal se repete a intervalos regulares. As funções que apresentam esta propriedade são chamadas de periódicas. Um dos parâmetros de interesse é o tempo necessário para que a função senoidal complete um ciclo, ou seja, passe uma vez por todos o valores possíveis. Este tempo é chamado de período da função e é representado pela letra T (s=segundos). O inversor de T é o número de ciclos por segundo, ou freqüência, da função senoidal, cujo símbolo é a letra f (Hz=Hertz). 1 f = (13.3) T Os coeficientes de t nas equações (13.1) e (13.2) são proporcionais a freqüência e representado pela equação (13.4). 2. π ω = 2. π. f = (13.4) T Outra característica importante de uma função senoidal é o valor rms ou eficaz. O valor rms de uma função periódica é obtido substituindo-se a função que descreve o comportamento periódico na equação (13.5) e resolvendo-se a mesma. t f 1. ( ) 2. rms = f t dt T (13.5) to Substituindo-se a equação (13.1) na equação(13.5), obtém-se: João Marcio Buttendorff 73

74 t f to ( p ( ω φ )) rms = sen t dt T rms rms rms π ( p ( ω )) rms = sen t dt π ( 2. ω. ) 2 p ω. t sen t =. π ( 2. π ) 0 ( 2.0) 2 p π sen sen =. π p = 2 π π 0 (13.6) Desta forma, o valor rms de uma função senoidal depende apenas da amplitude da função ( P =valor de pico). O valor rms tem uma propriedade interessante: dados uma carga resistiva equivalente, R, e um período de tempo equivalente, T, uma fonte senoidal com um certo valor de tensão rms fornece a mesma energia à carga R que uma fonte de tensão contínua com o mesmo valor. Assim, por exemplo, uma fonte de tensão contínua de 100 fornece a mesma energia em T segundos a uma carga resistiva que uma fonte de tensão senoidal de 100 rms Exemplo de Aplicação A figura abaixo apresenta o sinal obtido na tela de um osciloscópio. Deseja-se através deste sinal obter o valor de pico da tensão, de pico-a-pico, rms, freqüência e a equação da tensão no domínio do tempo t(ms) O valor de pico é medido desde o eixo de simetria da onda até um de seus picos, desta forma tem-se: = 20 p O valor de pico-a-pico expressa a amplitude da onda de um extremo a outro. = 40 pp O valor rms da onda é obtido em função do valor de pico e da equação (13.6). rms p 20 = = = 14, João Marcio Buttendorff 74

75 Para efetuar o cálculo da freqüência é necessário definir inicialmente o período da forma de onda. Analisando-se a figura, observa-se que a mesma termina um ciclo completo em um tempo T igual a 4ms, desta forma: 1 1 f = = = 250Hz 3 T 4.10 A equação no domínio no tempo é definida pela equação (13.1). Substituindo-se os valores, obtém-se: ( ω φ ) p ( π φ ) ( π ) ( ) v =. sen. t =. sen 2.. f. t p v = 20. sen t 0 = 20. sen 1570,8. t Na equação acima o ângulo φ foi substituído por zero devido à forma de onda iniciar seu ciclo exatamente na passagem por zero Exercícios 1-) Uma corrente senoidal tem uma amplitude de 20A. A corrente passa por um ciclo completo em 1ms. O valor da corrente em t=0 é 10A. Determine: a) Qual é a freqüência da corrente em hertz? b) Qual é a freqüência da corrente em radianos por segundo? c) Escreva uma equação para i(t) usando a função seno. Expresse φ em graus. d) Qual o valor eficaz da corrente? Respostas: a) 1kHz; b) 6,283krad/s; c) i(t)=20.sen.(6283.t30 ); d) ef =14,14A. 2-) Uma tensão senoidal é dada pela expressão v(t)=300.sen.(120.π.t30 ). Determine: a) O período da tensão em milisegundos. b) A freqüência em hertz. c) O valor da tensão em t=2,778 ms. d) O valor eficaz da tensão. Respostas: a) 16,667 ms; b) 60 Hz; c) 300; d) 212, ) Um sinal senoidal apresenta a seguinte equação: v(t)=110.sen.(120.π.t). Determine: a) O valor de pico da senóide; b) A freqüência; c) O período; d) A tensão eficaz. Respostas: a) 110; b) 60Hz; c) 16,67ms; d) 77,78. 4-) Um sinal alternado senoidal apresenta uma tensão de pico de 156 e um período de 20ms. Determine: a) A equação no domínio do tempo, sabendo que φ=0 ; b) O valor da tensão instantânea, para t 1 =0, t 2 =1ms, t 3 =10ms. Respostas: a) v(t)=156.sen.(314,16.t); b) v(t 1 )=0, v(t 2 )=48,20 e v(t 3 )=0. 5-) Determine a amplitude, ângulo de fase, período e freqüência da senóide. v(t)=12.cos.(50.t10 ). Respostas: p =12; φ=10 ; T=0,1257s e f=7,958hz. João Marcio Buttendorff 75

76 14 FASORES Fasor é um número complexo que representa a amplitude e fase de uma senóide. Senóides são facilmente expressas em termos de fasores, os quais são muito mais fáceis de serem trabalhados do que as funções seno e co-seno. Os fasores possibilitam uma análise simples de circuitos lineares excitados por fontes senoidais. As soluções destes circuitos podem ser impossíveis de serem determinadas de outra maneira. A idéia de resolver circuitos CA usando fasores foi apresentada por Charles Steinmetz em Antes de definirmos completamente os fasores, aplicando-se à análise de circuitos, precisamos nos familiarizar totalmente com os números complexos. Um número complexo Z pode ser escrito na forma retangular como: Z = R j. X (14.1) Onde R e X são números reais, enquanto que j = 1. O primeiro termo (R) do número complexo Rj.X denomina-se parte real e é representado sobre o eixo dos números reais. O segundo termo (j.x) é denominada parte imaginária e é representado em um eixo perpendicular ao primeiro, chamado eixo imaginário ou eixo dos números imaginários. Quando R=0 o número complexo se reduz a um número imaginário puro e de modo análogo quando X=0 o número complexo se reduz a um real puro. Dois números complexos R 1 j.x 1 e R 2 j.x 2 são iguais somente se R 1 =R 2 e X 1 =X 2. Como se vê na Fig o eixo dos números reais é perpendicular ao eixo imaginário. Os eixos se intersectam em um ponto comum chamado zero. Todo número complexo pode ser representado por um ponto no plano complexo e todo ponto no plano complexo representa um número complexo. Ao multiplicar um vetor por j obtém-se o efeito de girar o vetor de 90 no sentido positivo (anti-horário). j maginário Real -j Fig Eixos do plano complexo. A representação vetorial de um número complexo é por uma flecha e pela letra Z, cujo início está na origem das coordenadas e a extremidade no ponto que representa o número complexo no plano. Na Fig são mostradas as representações vetoriais dos números complexos Rj.X e R-j.X. j X Z=Rj.X j φ R φ R X Z=R-j.X -j -j Fig Representação vetorial de números complexos. João Marcio Buttendorff 76

77 Na Fig pode-se observar que a parte real de um número complexo é a projeção do vetor Z sobre o eixo horizontal (real) e a projeção sobre o eixo vertical (imaginário) constitui a parte imaginária do mesmo. Conforme o teorema de Pitágoras, pode-se calcular a magnitude do vetor Z, fazendo: 2 2 Z = R X (14.2) Onde: Z = Magnitude ou módulo de Z; R = Parte real do número complexo; X = Parte imaginária do número complexo. O sentido do vetor é definido através do ângulo de fase φ, que se mede em sentido anti-horário, tomando como referência o eixo horizontal. A equação matemática para o ângulo é dada por: tg φ = ( φ ) X = R X arctg R (14.3) Conhecendo-se o módulo de Z e o ângulo de fase, pode-se expressar o número complexo na forma polar, ou exponencial, como sendo:. Z = Z φ (14.4) Z j. Z e φ = (14.5) Por outro lado, se conhecermos Z e φ, pode-se determinar R e X. R = Z.cosφ (14.6) X = Z. senφ (14.7) Portanto, Z pode ser escrito como: j. φ ( ) Z = R j. X = Z φ = Z e = Z. cos φ j. senφ (14.8) 14.1 O Conjugado de um Número Complexo Dois números complexos são conjugados entre si se suas partes reais são iguais e as partes imaginárias são da mesma grandeza, porém de sinais contrários. O conjugado, cujo símbolo é Z, de um número complexo Z = R j. X será o número complexo Z = R j. X. Na Fig dá-se a representação vetorial de dois números complexos. Pode-se observar nesta figura que o conjugado Z do número complexo Z é a imagem de Z com relação ao eixo real. João Marcio Buttendorff 77

78 14.2 Soma de Números Complexos Somam-se números complexos somando as partes reais e imaginárias separadamente. Por exemplo, dados os números complexos: Z = R j. X Z2 = R2 j. X 2 Sua soma será: Z Z = ( R R ) j.( X X ) (14.9) O módulo do vetor resultante da soma e seu ângulo de fase (forma polar) são dados pelas equações (14.10) e (14.11). ( ) ( ) 2 2 Z = R R X X (14.10) φ X X 1 2 = arctg R 1 R 2 (14.11) 14.3 Subtração de Números Complexos Subtrai-se um número complexo de outro, subtraindo as partes reais e imaginárias separadamente. O resultado da subtração é dado pela equação (14.12). ( ).( ) Z Z = R R j X X (14.12) Multiplicação de Números Complexos A multiplicação de números complexos é similar à multiplicação algébrica comum, ou seja: Z. Z = ( R j. X ) ( R j. X ) = R. R j. R. X j. R. X j. X. X (14.13) Como j = 1 e 2 j = 1, obtém-se: ( ) ( ) Z. Z = R. R X. X j. R. X R. X (14.14) Uma alternativa é converter os números complexos para a forma polar. Após a conversão devem-se multiplicar os módulos e somar os ângulos. A equação (14.15) descreve este procedimento. Z. Z = Z. Z. φ φ (14.15) João Marcio Buttendorff 78

79 14.5 Divisão de Números Complexos Para dividir números complexos multiplica-se o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Quando se multiplica um número complexo por seu conjugado obtém um número real puro. 2 2 = = (14.16) Z. Z ( R j. X ).( R j. X ) R X Na equação (14.17) mostra-se a divisão de dois números complexos: ( R1 j. X1).( R2 j. X 2 ) ( ) ( ) Z1 R1 j. X1 = = Z R j. X R j. X. R j. X (14.17) Utilizando a regra de multiplicação de números complexos na equação (14.17), obtém-se: ( R1. R2 X1. X 2 ) j. ( R2. X1 R1. X 2 ) 2 2 ( ) ( ) Z1 = Z R X (14.18) Uma alternativa é converter os números complexos para a forma polar. Após a conversão devem-se dividir os módulos e subtrair os ângulos. A equação (14.19) descreve este método. Z = Z (14.19) Z2 Z φ φ Exercícios 1-) Determine os seguintes números complexos: (3 j4) a-) (2 j4).(3 j5) b-) [(5 j2).( 1 j4) 5 60 ] c-) 10 j j4 Respostas: a-) 0,565 42, 06 ; b-) 15,5j13,67; c-) 8,29j2,2. 2-) Transforme as seguintes senóides em fasores: a-) v( t) = 4. sen(30. t 50 ) b-) i( t) = 5. sen(30. t 10 ) c-) p( t) = 15. sen(100. t 50 ) d-) v( t) = 10. sen(377. t 20 ) 15. sen(377. t 60 ) e-) i( t) = 311. sen(377. t 5 ) 100. sen(377. t 10 ) f-) v( t) = 4. sen8. t 3. sen(8. t 10 ) g-) v( t) = 40. sen(50. t) 30.cos(50. t 45 ) João Marcio Buttendorff 79

80 Respostas: a-) = 4 50 ; b-) i( t) = 510 A; c-) P = W ; d-). = 19,42 29,53 ; e-) = 215,9311,88 A; f-) = 6,97 4,28 ; g-) = 64, 78 19,11 3-) Transforme as fasores abaixo para senóides. a-) = b-) = j.(5 j12) c-) = 6015 ; ω = 1 d-) = 6 j8; ω = 40 3 e-) = 0,5 j1, 2; ω = 10 f-) = g-) = Respostas: a-) v( t) = 10. sen( ω. t 210 ) ; b-) i( t) = 13. sen( ω. t 22,62 ) ; c-) v( t) = 60. sen( t 15 ) ; d-).10. sen(40. t 53,13 ) ; e-) i( t) = 1,3. sen(10. t 112,62 ) ; f-) v( t) = 40. sen( ω. t 60 ) ; g-) v( t) = 38,36. sen( ω. t 96,8 ) 3 15 RESPOSTAS DOS COMPONENTES PASSOS A FONTES SENODAS Nesta seção será abordado o estudo do comportamento da tensão e da corrente em circuitos contendo elementos passivos quando os mesmos estão submetidos a fontes de alimentações senoidais Comportamento da Tensão e da Corrente em um Circuito Resistivo O circuito resistivo da Fig é submetido a fonte de tensão senoidal representada por: ( ω φ ) v =.. p sen t (15.1) R Fig Circuito Resistivo. De acordo com a lei de Ohm, se a tensão aplicada aos terminais do resistor varia senoidalmente no tempo, representado pela equação (15.1), a corrente que atravessa o resistor será dada por: João Marcio Buttendorff 80

81 ( ω t φ ) v p. sen. i = = = p. sen( ω. t φ ) (15.2) R R As equações (15.1) e (15.2) contêm uma importante informação a de que um resistor não introduz nenhuma diferença de fase entre a corrente e a tensão. A Fig apresenta o comportamento da tensão e da corrente em um resistor. Dizemos que em um resistor a corrente e a tensão estão em fase, já que ambas atingem valores correspondentes de sua curva ao mesmo tempo (passam simultaneamente pelo pico, por exemplo). p p 0 -p -p Fig Comportamento da tensão e da corrente em um resistor Comportamento da Tensão e da Corrente em um Circuito Puramente ndutivo Para determinar a relação entre a tensão aplicada aos terminais de um indutor e a corrente que atravessa o mesmo, conforme apresentado na Fig. 15-3, vamos supor que a corrente é senoidal e usar a equação da tensão no indutor ( vl( t) = L. di( t) dt ) para calcular a tensão correspondente. Supondo que a corrente é dada por: i ( t) =. sen( ω. t φ) (15.3) L P L Fig Circuito indutivo. Substituindo a equação (15.3) na equação da tensão no indutor, obtém-se: di( t) vl( t) = L. dt dp. sen( ω. t φ) vl( t) = L. dt (15.4) Derivando em função do tempo, obtém-se: o v ( t) = ω. L..cos( ω. t φ) = ω. L.. sen( ω. t 90 φ) (15.5) L P P A equação (15.5) mostra que a tensão e a corrente estão defasadas de exatamente 90. Na verdade, a tensão está adiantada de 90 em relação à corrente, ou, o que na prática João Marcio Buttendorff 81

82 significa a mesma coisa, a corrente está atrasada de 90 em relação à tensão. A Fig ilustra este conceito de tensão adiantada em relação à corrente ou corrente atrasada em relação à tensão. Por exemplo, a tensão atinge o pico negativo exatamente 90 antes que a corrente atinja o pico negativo. A mesma observação pode ser feita em relação aos pontos em que as funções passam pelo zero no sentido crescente e em relação ao pico positivo. p p 0 -p -p Fig Comportamento da tensão e da corrente em um indutor. Aplicando-se a lei de Ohm nas equações (15.3) e (15.5), obtém-se: Z Z L L o L ω. L. P. sen( ω. t 90 φ) = =. sen( ω. t φ) L o ω. L. sen( ω. t 90 φ) = sen( ω. t φ) P (15.6) Convertendo a equação (15.6) para a forma polar, temos: Z Z L L o ω. L 90 φ = 1φ = ω. L 90 o (15.7) Ou: Z = j. ω. L (15.8) L Os termos j. ω. L na equação, representam a impedância do indutor no domínio da freqüência, medida em Ohms. Analisando a equação (15.8), pode-se observar que a impedância do indutor é diretamente proporcional à freqüência e a indutância. A Fig apresenta a variação da reatância com a freqüência. X L (Ω) f(hz) Fig ariação da reatância com a freqüência. João Marcio Buttendorff 82

83 15.3 Comportamento da Tensão e da Corrente em um Circuito Puramente Capacitivo Para determinar a relação entre a tensão aplicada aos terminais de um capacitor e a corrente que atravessa o mesmo, conforme apresentado na Fig. 15-6, vamos supor que a tensão é senoidal e usar a equação da corrente no capacitor ( ic ( t) = C. dv( t) dt ) para calcular a corrente correspondente. Supondo que a tensão é dada por: v ( t) =. sen( ω. t φ) (15.9) C P C Fig Circuito capacitivo. Substituindo a equação (15.9) na equação da corrente no capacitor, obtém-se: dv( t) ic ( t) = C. dt dp. sen( ω. t φ) ic ( t) = C. dt Derivando em função do tempo, obtém-se: (15.10) o i ( t) = ω. C..cos( ω. t φ) = ω. C.. sen( ω. t 90 φ) (15.11) C P P A equação (15.11) mostra que a tensão entre os terminais de um capacitor está atrasada de exatamente 90 em relação à corrente que o atravessa. Outra forma de descrever a relação é dizer que a corrente está adiantada de 90 em relação à tensão. A Fig mostra o comportamento da tensão e da corrente em um capacitor. p p 0 -p -p Fig Comportamento da tensão e da corrente em um capacitor. Aplicando-se a lei de Ohm nas equações (15.9) e (15.11), obtém-se: Z Z C C C P. sen( ω. t φ) = = o ω. C.. sen( ω. t 90 φ) C sen( ω. t φ) = o ω. C. sen( ω. t 90 φ) P (15.12) João Marcio Buttendorff 83

84 Convertendo a equação (15.12) para a forma polar, temos: Z Z C C 1φ = o ω. C 90 φ 1 90 = ω. C (15.13) Ou: Z C j = (15.14) ω. C Os termos j ω. C na equação, representam a impedância do capacitor no domínio da freqüência, medida em Ohms. Através da equação (15.14), pode-se observar que a impedância capacitiva é inversamente proporcional a freqüência e a capacitância. A Fig mostra a variação da impedância com a freqüência. X C (Ω) f(hz) Fig ariação da reatância em função da freqüência mpedância e Reatância Concluímos esta discussão do comportamento dos elementos passivos no domínio da freqüência com uma observação importante. Quando comparamos as equações (15.2), (15.6) e (15.12), observamos que todas são da forma: = Z. (15.15) Onde Z representa a impedância do elemento. Explicitando Z na equação (15.15), vemos que a impedância é a razão entre a tensão fasorial de um elemento do circuito e a corrente que o atravessa. Assim, a impedância de um resistor é R, a impedância de um indutor é j. ω. L e a impedância de um capacitor é j / ω. C. Nos três casos a impedância é medida em ohms. A impedância no domínio da freqüência é uma grandeza análoga à resistência, à indutância e à capacitância no domínio do tempo. A parte real da impedância é a resistência; a parte imaginária é chamada de reatância. Os valores de impedância e reatância de todos os elementos passivos são apresentados na tabela abaixo. João Marcio Buttendorff 84

85 Elemento mpedância (Z) Reatância (X) Resistor R - ndutor j. ω. L ω.l Capacitor j(1 ω. C) 1 ω.c Na Fig mostra-se um circuito que contém os três elementos passivos: resistor, indutor e capacitor. A impedância Z do circuito pode ser representada na forma retangular ou na forma polar. A impedância do circuito da Fig na forma retangular é dada por: Z = R j. X 1 Z = R j. ω. L ω. C Na forma polar a impedância é definida por: Z (15.16) = Z φ (15.17) Onde: Z = R X = R ω. L ω. C. 1 X ω L φ = arctg = arctg ω. C R R 2 (15.18) R L C j.ω.l -j/ω.c Fig Circuito de CA com R, L e C. Para converter da forma polar para retangular basta aplicar a equação (15.19). ( θ ) ( θ ) Z = Z.cos j. Z. sen (15.19) 15.5 Exemplo de Aplicação De acordo com o circuito a seguir, calcule v(t): João Marcio Buttendorff 85

86 v(t) i(t) C C=200uF i(t)=7.sen.(754.t15 ) Z nicialmente pode-se calcular a impedância capacitiva. C j j = = = j6, 631Ω = 6, Ω 6 ω. C Convertendo a corrente para a forma polar, obtém-se: = 7 15 A Assim, a tensão da fonte é obtida por: = Z. = 6, C = 46, É importante observa que os cálculos foram efetuados levando-se em consideração a corrente de pico, o que resulta na tensão de pico. Caso deseja-se obter a tensão eficaz da fonte basta dividir o valor obtido por 2. Assim: rms = 32, Convertendo a tensão da fonte para o domínio do tempo, tem-se: v( t) = 46, 417. sen(754. t 75 ) 15.6 Exercícios 1-) A corrente no domínio do tempo no indutor abaixo é 10.sen(10000.t30 )ma. Calcule: a) A reatância indutiva; b) A impedância do indutor; c) A tensão fasorial (forma polar); d) A expressão da tensão no domínio do tempo. Respostas: a) 200Ω; b) j200ω; c) 20mH P ; d) 2.sen(10000.t120 ). 2-) A tensão entre os terminais do capacitor abaixo é 30.sen(4000.t25 ). Calcule: a) A reatância capacitiva; b) A impedância do capacitor; c) A corrente fasorial (forma polar); d) A expressão da corrente no domínio do tempo. 5uF 0 Respostas: a) 50Ω; b) j50ω; c) 0,6115 A P ; d) 0,6.sen(4000.t115 )A João Marcio Buttendorff 86

87 3-) Sabe-se que a corrente em uma capacitância de C=30uF é i(t)=12.sen.(2000.t)a. Determine a tensão e construa o diagrama fasorial. Resposta: v(t)=200.sen.(2000.t-90 ) 4-) De acordo com o circuito a seguir, calcule v(t). v(t) i(t) L L=0,01H i(t)=5.cos.(2000.t)a 5-) Determine v(t) e i(t) no circuito abaixo: Resposta: v(t)=100.cos.(2000.t90 ) i 5R v(t)=10.sen(4.t) 0,1F v Respostas: i(t)=1,79.sen.(4.t26,56 )A e v(t)=4,47.sen.(4.t-63,43 ) 16 ASSOCAÇÃO DE MPEDÂNCAS As regras para combinar impedâncias em série, em paralelo ou mista são as mesmas dos circuitos resistivos. A única diferença está no fato de que para combinar impedâncias é preciso manipular números complexos Associação em Série de mpedâncias Para combinar impedâncias em série, basta somar as impedâncias individuais. O circuito da Fig define o problema em termos gerais. As impedâncias Z 1, Z 2,..., Z n estão ligadas em série entre os terminais a e b. Quando duas ou mais impedâncias estão ligadas em série, são atravessadas pela mesma corrente fasorial. a Z1 Z2 Zn ab b Fig mpedâncias em série. Aplicando-se a lei de Kirchhoff das tensões obtém-se: = Z. Z.... Z. (16.1) ab 1 2 n João Marcio Buttendorff 87

88 Assim, a impedância equivalente entre os terminais a e b será: ab Zeq = Zab = = Z1 Z2... Zn (16.2) A Fig apresenta o circuito equivalente. a ab Zeq b Fig Circuito equivalente Associação em Paralelo de mpedâncias A Fig apresenta um circuito com várias impedâncias em paralelo no domínio da freqüência. Observe que a tensão é a mesma entre os terminais de todas as impedâncias. A equação da impedância equivalente é obtida aplicando-se a lei das correntes de Kirchhoff. Desta forma: a 1 2 n Z1 Z2 Zn b Fig mpedâncias em paralelo. = n (16.3) Substituindo-se as correntes pela lei de Ohm para o domínio da freqüência, obtémse: =... (16.4) Z Z Z Z eq 1 2 n Dividindo-se por, obtêm-se: =... (16.5) Z Z Z Z eq 1 2 n Z eq = Z Z Z 1 2 n (16.6) Para o caso particular de duas impedâncias associadas em paralelo pode-se utilizar a equação (16.7): João Marcio Buttendorff 88

89 Z eq Z1. Z2 = Z Z 1 2 (16.7) 16.3 Transformação Estrela-Triângulo A transformação estrela triângulo discutida anteriormente, quando estávamos estudando circuitos puramente resistivos, também se aplica a impedâncias. A Fig apresenta três impedâncias ligadas em estrela (a) e o circuito equivalente em triângulo (b). Z1 Z2 Zc Z3 Zb Za (a) (b) Fig Equivalência entre a conexão (a) estrela e (b) triângulo Conversão de Triângulo para Estrela Quando o circuito original está na conexão triângulo, pode-se converter o circuito para estrela utilizando-se as seguintes relações: Z 1 Zb. Zc = Z Z Z a b c (16.8) Z Z 2 3 Za. Zc = Z Z Z a b c Za. Zb = Z Z Z a b c (16.9) (16.10) A regra para a conversão triângulo-estrela é, portanto: cada impedância do circuito em estrela é o produto das impedâncias dos dois ramos adjacentes do triângulo dividido pela soma das três impedâncias do triângulo Conversão de Estrela para Triângulo Quando o circuito original está na conexão estrela, pode-se converter o circuito para triângulo utilizando-se as seguintes relações: Z Z a b Z1. Z2 Z2. Z3 Z3. Z1 = (16.11) Z 1 Z1. Z2 Z2. Z3 Z3. Z1 = (16.12) Z 2 João Marcio Buttendorff 89

90 Z c Z1. Z2 Z2. Z3 Z3. Z1 = (16.13) Z 3 A regra para a conversão estrela-triângulo é, portanto: cada impedância do circuito em triângulo é o produto das impedâncias da estrela duas a duas dividido pela impedância oposta da estrela Exemplo de Aplicação A fonte de corrente senoidal da figura abaixo produz uma corrente i S =8.sen.( t)A a) Determine o circuito equivalente no domínio da freqüência; b) Determine a tensão da fonte e as correntes i 1, i 2 e i R ac 10R 1uF 40uH nicialmente deve-se obter a transformada fasorial da fonte de corrente. ac = 8 0 A A freqüência da fonte de corrente é dada por: ω = rad s ω = 2. π. f ω f = = = 31,831kHz 2. π 2. π (16.14) As impedâncias individuais dos indutores e capacitores podem ser obtidas em função da freqüência ou da freqüência angular. Z = j. ω. L = j.2. π. f. L Z Z L L L = j = j8ω 3 6 (16.15) 1 1 ZC = j. = j. ω. C 2. π. f. C Z Z C C 1 = j = j5ω 3 6 (16.16) João Marcio Buttendorff 90

91 A Fig apresenta o circuito equivalente no domínio da freqüência. 6R 8 0 A 10R -j5 j8 Fig Circuito equivalente no domínio da freqüência. Observando-se o circuito equivalente da Fig. 16-5, verifica-se que para determinar a tensão entre os terminais da fonte de corrente é preciso conhecer a impedância equivalente das impedâncias em paralelo.uma vez calculada a tensão fasorial, pode-se obter as três correntes fasorias. A impedância série, formada pelo resistor e indutor é dada por: ZS = 6 j8ω Para facilitar a resolução das impedâncias em paralelo, é preciso passar as mesmas para a forma polar, obtendo-se: Z = R X = 6 8 Z S S = L X L 8 θ = arctg = arctg R 6 θ = 53,13 Z S = 10 53,13 Ω (16.17) Z = 10 0 Ω R Z = 5 90 Ω C A impedância equivalente é obtida aplicando-se a equação (16.6). Z Z eq eq 1 1 = = Z Z Z , R S C = 5 36,87 Ω A tensão é dada por: = Z. = 5 36, eq = 40 36,87 S (16.18) (16.19) Assim, as correntes são obtidas por: João Marcio Buttendorff 91

92 ,87 = = = 4 36,87 A Z 10 0 R 40 36,87 = = = 4 90 A Z 10 53,13 S (16.20) (16.21) ,87 = = = 8 53,13 A Z 5 90 C As equações correspondentes no domínio do tempo são: v = 40. sen( t 36,87 ) i = 4. sen( t 36,87 ) A i = 4. sen( t 90 ) A i = 8. sen( t 53,13 ) A (16.22) (16.23) É importante observar que os resultados acima representam os valores de pico das tensões e correntes no circuito. Para obter os valores eficazes ou rms basta dividir os valores de pico por 2, ou calcular o valor eficaz da fonte de corrente e efetuar todos os cálculos novamente Exercícios 1-) Determine a impedância equivalente e a corrente da fonte do circuito abaixo. 24R 30 2kHz 1,59uF 2,55mH Respostas: Z eq =24-j18 e =0,8j0,6A. 2-) Determine no circuito abaixo: a) A impedância total do circuito; b) A corrente total da fonte; c) As correntes nos respectivos componentes Hz 30R 100mH 44uF Respostas: a-) 27,55j8,21; b-) 4-j1,192A e c-) R =4A; L =-j3,183a e C =j1,99a. João Marcio Buttendorff 92

93 3-) Um resistor de 20Ω é ligado em paralelo com um indutor de 5mH. Esta combinação em paralelo é ligada em série com um resistor de 5Ω e um capacitor de 25µF. a) Calcule a impedância do circuito para uma freqüência de 318,31Hz; b) Repita o item (a) para uma freqüência de 8k rad/s. Respostas: a) 9-j12Ω; b) 21j3Ω. 4-) O circuito do exercício anterior é ligado aos terminais de uma fonte cuja tensão é v(t)=150.sen.4000.t. Qual é a corrente de pico e eficaz no indutor de 5mH? Respostas: = 7, A e = 5 45 A. pk 5-) Três ramos, com impedâncias de 3j4Ω, 16-j12Ω e j4ω, são ligados em paralelo. Determine a impedância equivalente. Se o circuito for ligado a uma fonte senoidal cuja corrente é i(t)=8.sen.(ω.t)a, qual será a amplitude da corrente no ramo puramente capacitivo? Respostas: Z = 5 36,87 = 4 j3ω e =10A. eq 6-) Determine a tensão o (domínio do tempo) no circuito abaixo para i g (t)=0,5.sen.2000.t. ef 120R 40R ig 12,5uF 60mH o Resposta: v ( t) = sen(2000. t 45 ). o 7-) Determine a impedância de entrada do circuito abaixo para ω = 10 rad / s. 2mF 20R 2H 4mF 50R Resposta: Z = 32,38 j73, 76 8-) Determine a impedância de entrada do circuito abaixo. Considere que o circuito opera com ω = 50 rad / s. 2mF 0,2H 3R Zin 8R 10mF Resposta: Zin = 3, 22 j11, 07Ω João Marcio Buttendorff 93

94 9-) Determine a corrente. 2R -j4 12R j4 8R j3 j6 8R Resposta: = 3, 666 4, 204 A 10-) Determine no circuito abaixo. j4 -j R j5 5R 10R -j2 Resposta: = 6,364 3,802 A 11-) Determine S no circuito abaixo, para o = 2 0 A. -j2 s -j1 o 2R j4 j2 1R Resposta: s = 8, ) Calcule v(t) no circuito abaixo. João Marcio Buttendorff 94

95 50R 30R 50uF 60.sen(200.t) 0,1H v(t) Resposta: v(t)=17,14.cos(200.t). 17 MÉTODO DE ANÁLSE DE MALHAS NO DOMÍNO DA FREQÜÊNCA Pode-se também usar o método das correntes de malha para analisar circuitos no domínio da freqüência. O método é idêntico ao utilizado na análise de circuitos puramente resistivos. Na seção 8, discutiu-se as técnicas básicas do método das correntes de malha; a extensão deste método aos circuitos no domínio da freqüência é ilustrada no exemplo a seguir Exemplo de Aplicação Use o método das correntes de malha para determinar as tensões 1, 2 e 3 no circuito da Fig R 1 j2r 12R 1R ,66 108,43 -j16r 3 j3r Fig Circuito do exemplo. Como o circuito apresenta duas malhas, devem-se escrever duas equações para as correntes das malhas. O sentido de referência escolhido para as correntes das malhas 1 e 2 é o sentido horário, como se pode ver na Fig Uma vez conhecidas as correntes 1 e 2, é fácil calcular as tensões desejadas. Somando-se as quedas de tensões ao longo da malha 1, obtém-se: (1 j2). (12 j16).( ) = 150 (17.1) Ou (13 j14). ( 12 j16). = 150 (17.2) 1 2 João Marcio Buttendorff 95

96 Somando as tensões ao longo da malha 2, obtém-se: (12 j16).( ) (1 j3). = 77,98 j234,01 (17.3) Ou ( 12 j16). (13 j13). = 77,98 j234, 01 (17.4) 1 2 Desta foram: (13 j14). ( 12 j16). = ( 12 j16). (13 j13). = 77,98 j234, Resolvendo-se o sistema de equações acima, tem-se: = 26 j52a = 58,14 116,56 A 1 = 24 j58a = 62, , 48 A 2 (17.5) (17.6) Assim, as três tensões pedidas são: = (1 j2). = 2, 24 63, 43.58,14 116,56 = 130, 23 53,13 (17.7) 1 1 = (12 j16).( ) = (12 j16).( 26 j52 24 j58) = 20 53,13.6, , 43 = 126, 48 55,3 (17.8) = (1 j3). = 3,16 71,56.62, , 48 = 198,35 40,92 (17.9) Exercícios 1-) Determine i x (t) e v c (t) no circuito abaixo. 0,125F 3R - vc ix 5.cos(2.t10 )A 4H 10.cos(2.t-60 ) Respostas: i x (t)=9,903.cos(2.t-129,17 )A e v c (t)=39,612.cos(2.t140,83 ). 2-) Determine i(t) e v c (t) usando a análise de malhas. 4R 2H 10.sen(2.t) i(t) 0,25F v(t) 6.sen(2.t) Respostas: i(t)=4,122.sen(2.t14,032 )A e v c (t)=8,244.sen(2.t-75,968). João Marcio Buttendorff 96

97 3-) Use o método das correntes de malha para determinar a corrente fasorial g no circuito abaixo. j3 g -j3 5R 5 0 A j Resposta: = 3 90 A. g 4-) Use o método das correntes de malha para determinar a equação de i o (t) no circuito abaixo. v 1 (t)=60.sen.(40000.t90 ) v 2 (t)=90.sen.(40000.t180 ) 20R 1,25uF 1 125uH io(t) 2 Resposta: i o (t)=9,49.sen.(40000.t71,56 ) 5-) Use o método das correntes de malha para determinar as tensões 1, 2 e 3 no circuito abaixo R j2 1R j R 2 x 39.x -j16 Respostas: 1 = 78 j104 ; 2 = 72 j104 e 3 = 150 j ) Use o método das correntes de malha para determinar a corrente fasorial. 1R j2 33,8 0 3R 2R 0,75.x -j5 x Resposta: = 29, 07 3,95 A João Marcio Buttendorff 97

98 7-) Determine a corrente o no circuito abaixo usando a análise de malhas. 4R 5 0 A -j2 o j R -j2 Resposta: = 6,12 144, 78 A 8-) Utilize a análise de malhas para determinar a corrente o no circuito. o 80R o j60 20R j40 -j Resposta: o = 2,179 61, 44 A 9-) Determine o usando a análise de malha j2 6R o 8R j Resposta: o = 1,194 65, 45 A 10-) Determine a corrente das malhas do circuito abaixo. j4 3R 2R 3R j j1 -j6 Respostas: 1 = 4,67 20,17 A e 2 = 1, 79 37,35 A. João Marcio Buttendorff 98

99 18 MÉTODO DAS TENSÕES DE NÓ NO DOMÍNO DA FREQÜÊNCA Na seção 9, apresentaram-se os conceitos básicos do método das tensões de nó. Os mesmos conceitos podem ser usados para analisar circuitos senoidais no domínio da freqüência. O exemplo abaixo ilustra a solução de um circuito pelo método das tensões de nó Exemplo de Aplicação Use o método das tensões de nó para determinar as correntes de ramo a, b e c no circuito da Fig R j2 2 5R b 10,6 0 A 10R a -j5 c 82,36 24,07 Fig Circuito do exemplo. O circuito da Fig pode ser descrito em termos de duas tensões de nó. Como quatro ramos estão ligados ao nó inferior, ele é o mais indicado para ser escolhido como nó de referência. Somando as correntes no nó 1 ( 1 ), tem-se: = 10, j2 Ou 1 2 (18.1) (0,3 j0, 4). ( 0, 2 j0, 4). = 10, 6 (18.2) Somando-se as correntes no nó 2 ( 2 ), obtém-se: 82,36 24,07 = j5 5 1 j (18.3) Ou ( 0, 2 j0, 4). (0, 4 j0, 2). = 15,04 j6,72 (18.4) 1 2 Desta forma: (0,3 j0, 4). ( 0, 2 j0, 4). = 10, ( 0, 2 j0, 4). (0, 4 j0, 2). = 15,04 j6, (18.5) Resolvendo-se o sistema de equações acima, obtém-se: João Marcio Buttendorff 99

100 = 68, 4 j16,8 = 70, 43 13,8 1 = 68 j26 = 72,8 20,92 2 (18.6) Assim, as correntes de ramo são: 1 68, 4 j16,8 a = = = 6,84 j1, 68A = 7, 04 13,8 A (18.7) ,36 24, 07 72,8 20,92 82,36 24, 07 b = = 5 5 = 1, 44 j11,92 A = 12 96,89 A b (18.8) 72,8 20,92 j c = = = 5, 2 j13,6 A = 14,56 69,08 A (18.9) 18.2 Exercícios 1-) Determine i o (t) no circuito abaixo utilizando análise nodal. 10R v(t) - i(t) 20.sen(10.t-60 ) 1H 0,02F 4.sen(10.t-45 )A Respostas: i(t)=4,21.sen(10.t175 )A e v(t)=28,16.sen(10.t60,96 ). 2-) Utilize o método das tensões nos nós para obter a corrente no circuito abaixo. 5R 4R 2R 50 0 j2 -j Resposta: = 12,38 17, 75 A. 3-) Use o método das tensões de nó para determinar v(t) no circuito abaixo. As fontes senoidais são i S =10.sen(ω.t90 )A e v S =100.sen(ω.t), onde ω=50k rad/s. 20R is 5R v(t) 9uF 100uH vs Resposta: v(t)=31,62.sen(50000.t18,43 ). João Marcio Buttendorff 100

101 4-) Use o método das tensões de nó para determinar a tensão fasorial entre os terminais do capacitor. Considere que a tensão é positiva no terminal do lado esquerdo do capacitor. j3 g -j3 5R 5 0 A j Resposta: = 17,5 59, 02 5-) Use o método das tensões de nó para determinar o no circuito abaixo. C j40 60R R j20 o Resposta: = 15,8118, 43 o 6-) Use o método das tensões de nó para determinar v o (t) no circuito. v 1 (t)=10.sen.(5000.t143,13 ) v 2 (t)=8.sen.(5000.t) 0,4mH 50uF 1 6R vo(t) 2 Resposta: v o (t)=11,98.sen.(5000.t89,94 ). 7-) Determine ix(t) no circuito abaixo usando a análise nodal. 10R 1H 20.cos(4.t) x 0,1F 2.x 0,5H Resposta: i ( t) = 7,59.cos(4. t 108, 4 ) A 8-) Usando a análise nodal, determine v 1 e v 2 no circuito abaixo. x João Marcio Buttendorff 101

102 v1 0,2F v2 4R 10.sen(2.t) A 2R x 2H 3.x - Respostas: v 1 ( t) = 11,32. sen(2. t 60 ) e v 2 ( t ) = 33. sen (2. t 57,1 ). 9-) Determine 1 e 2 no circuito abaixo R A -j3 j6 12R Respostas: 1 = 25, 78 70, 48 e 2 = 31, 41 87,18 10-) Utilize a análise nodal para determinar v o no circuito abaixo. 20R 50uF 10mH 10.cos(1000.t) 20R o 4.o 30R o Resposta: v ( t) = 6,154.cos(1000. t 70, 26 ) o 19 TEOREMA DA SUPERPOSÇÃO Como os circuitos CA são lineares, o teorema da superposição pode ser aplicado da mesma maneira que aplica-se em circuitos CC. O teorema se torna importante se o circuito possuir fontes operando em freqüências diferentes. Neste caso, como as impedâncias dependem da freqüência, deve-se ter diferentes circuitos no domínio da freqüência para cada freqüência. A resposta total é obtida pela soma das respostas individuais no domínio do tempo Exemplo de Aplicação 1 Considere o circuito da Fig. 19-1, onde existem duas fontes independentes. Desejase obter a corrente (o) fornecida pela fonte de tensão. João Marcio Buttendorff 102

103 4R 5 0 A -j2 o j R -j2 Fig Circuito de exemplo. Seja: = ' o o o '' Na qual o e o são devidos à fonte de tensão e corrente, respectivamente. Considere o circuito da Fig para determinar o. 4R -j2 o' j R -j2 Fig Circuito equivalente para fonte de tensão. A combinação paralela das impedâncias j2 e 8 j10 e obtida por: j2.(8 j10) Z = = 0, 25 j2, 25Ω j2 8 j10 Assim, a corrente o será: o ' = = = 2,353 j2,353a 4 j2 Z (4 j2) (0, 25 j2, 25) (19.1) (19.2) Para determinar o,considere o circuito da Fig R 5 0 A 3 j10 -j2 o'' 2 8R 1 -j2 Fig Circuito equivalente para a fonte de corrente. João Marcio Buttendorff 103

104 Aplicando-se a análise de malhas no circuito, obtém-se: Malha 1: (8 j8). j2. j10. = 0 (19.3) Malha 2: j2. (4 j4). j2. = 0 (19.4) Malha 3: 3 = 5 (19.5) Solucionando-se o sistema de equações, obtém-se: = 2, 647 j2,941a 1 = 2, 647 j1,176 A 2 3 = 5A Desta forma, a corrente o, será obtida por: '' = = 2, 647 j1,176 (19.6) o 2 A partir das equações (19.2) e (19.6), pode-se estabelecer a corrente o como sendo: = ' '' = ( 2,353 j2,353) ( 2, 647 j1,176) o o o = 5 j3,529 = 6,12 144, 78 A o (19.7) 19.2 Exemplo de Aplicação 2 Determine v o no circuito da Fig usando o teorema da superposição. 2H 1R 4R 10.sen(2.t) 2.sen(5.t-90 )A o - 0,1F 5 Fig Circuito de exemplo. Como o circuito opera com três freqüências diferentes ( ω = 0 para a fonte de alimentação CC), uma maneira de se obter a solução é a utilização da superposição, a qual separa o problema em problemas de freqüência única. Portanto seja: v = v v v (19.8) o Na qual v 1 é devido à fonte CC de 5, v 2 é devido à fonte de tensão de 10.sen(2.t) e v 3 é devido à fonte de corrente de 2.sen(5.t-90 ) A João Marcio Buttendorff 104

105 Para determinar v 1, ajusta-se todas as fontes para zero, exceto a fonte de 5. Lembre-se que, em regime permanente CC, o capacitor é um circuito aberto, enquanto que o indutor é um curto-circuito. Existe uma maneira alternativa de se abordar este fato. Como ω = 0, j. ω. L = 0 e j / ω. C =. O circuito equivalente é apresentado na Fig R 4R 1-5 Fig Circuito equivalente para fonte CC. Aplicando-se divisor de tensão. 5.1 v1 = = (19.9) Para determinar v 2, ajusta-se para zero a fonte de tensão CC de 5, elimina-se a fonte de corrente e converte-se o circuito para o domínio da freqüência. O circuito equivalente é mostrado na Fig j4 1R 4R j5 Fig Circuito equivalente para fonte de tensão CA. A impedância paralela é obtida por: 4.( j5) Z = = 2, 439 j1,941 Ω 4 j5 Aplicando-se divisor de tensão, obtém-se: = = = 2, ,79 A 1 j4 Z (1 j4) (2, 439 j1,941) (19.10) (19.11) Passando para o domínio do tempo. v ( t ) = 2,498. sen (2. t 30,79 ) (19.12) 2 Para obter v 3, ajustamos as fontes de tensão para zero e transforma-se o restante do circuito para o domínio da freqüência. O circuito equivalente á apresentado na Fig João Marcio Buttendorff 105

106 1 1R 4R j A 3 - -j2 Fig Circuito equivalente para a fonte de corrente. A impedância paralela é obtida por: Z 1 4.( j2) = = 0,8 j1, 6Ω 4 j2 Aplicando-se divisor de corrente, obtém-se: 1 1 j10 j10 =.2 90 =.2 90 j10 (1 Z ) j10 (1,8 j1, 6) 1 = 2,328 77,9 A (19.13) (19.14) =.1 = 2,328 77,9 (19.15) 3 1 Passando para o domínio do tempo: v ( t ) = 2,328. sen (5. t 77,91 ) (19.16) 3 Substituindo-se as equações (19.9), (19.12) e (19.16) na equação (19.8), tem-se o comportamento da tensão v o (t). v ( t) = 1 2, 498. sen(2. t 30, 79 ) 2,328. sen(5. t 77,91 ) (19.17) o 19.3 Exercícios 1-) Determine o usando o teorema da superposição j2 6R o 8R j Resposta: o = 1,194 65, 45 A João Marcio Buttendorff 106

107 2-) Calcule v o no circuito abaixo usando o teorema da superposição. 8R 30.sen(5.t) 0,2F o 1H 2.cos(10.t)A Resposta: v ( t) = 4, 631. sen(5. t 81,12 ) 1, 051.cos(10. t 86, 24 ) o 3-) Usando o princípio da superposição, determine i x no circuito abaixo. 0,125F 3R x 5.sen(2.t10 )A 4H 10.cos(2.t-60 ) Resposta: i ( t) = 9,902.cos(2. t 129,17 ) A 4-) Calcule v o (t) no circuito abaixo usando o teorema da superposição. x 6R 2H 12.cos(3.t) 0,0833F o 4.sen(2.t)A 10 Resposta: v ( t) = 10 21, 45. sen(2. t 26,56 ) 10, 73.cos(3. t 26,56 ) o 5-) Determine i o usando o teorema da superposição. 20uF 50.cos(2000.t) 80R o 100R 40mH 2.sen(4000.t)A 60R 24 Resposta: i ( t) = 0,1 0, 217.cos(2000. t 134,1 ) 1,178. sen(4000. t 7,38 ) A o João Marcio Buttendorff 107

108 20 TRANSFORMAÇÃO DE FONTES A transformação de fontes no domínio da freqüência significa transformar uma fonte de tensão em série com uma impedância em uma fonte de corrente em paralelo com uma impedância, ou vice-versa. Quando parte-se de um tipo de fonte para outra, deve-se ter em mente a seguinte relação: = Z = (20.1) S S S. S S ZS Zs a a s s Zs b b Fig Transformação de fontes. 21 CRCUTOS EQUALENTES DE THÉENN E NORTON NO DOMÍNO DA FREQÜÊNCA Os circuitos equivalentes de Thévenin e Norton apresentados na seção 11 são técnicas analíticas que também podem ser aplicadas a circuitos no domínio da freqüência. Pode-se provar a validade destas técnicas usando os mesmos processos adotados da seção 11, com a única diferença que a impedância (Z) aparece no lugar da resistência (R). A Fig mostra a versão no domínio da freqüência de um circuito equivalente de Thévenin. Um circuito equivalente de Norton aparece na Fig As técnicas para determinar a tensão e a impedância de Thévenin são idênticas às usadas nos circuitos resistivos, exceto pelo fato de que no domínio da freqüência os cálculos envolvem a manipulação de números complexos. A mesma observação se aplica à corrente e à impedância de Norton. Circuito Linear No Domínio Da Freqüência a b Th ZTh Fig ersão no domínio da freqüência de um circuito equivalente de Thévenin. Circuito Linear No Domínio Da Freqüência a b N ZN Fig ersão no domínio da freqüência de um circuito equivalente de Norton. a b a b João Marcio Buttendorff 108

109 21.1 Exemplo de Aplicação Determine o circuito equivalente de Thévenin e Norton do circuito da Fig em relação aos terminais a e b. 10R -j40 a R ,69 Fig Circuito do exemplo. b Para obter a impedância de Thévenin e Norton, deve-se substituir as fontes de tensão por um curto e abrir as fontes de corrente. Desta forma, o circuito passa ser: 10R -j40 a 120R A impedância em série, formada pelo resistor e capacitor é dada por: ZS = 10 j40ω (21.1) Fazendo-se o paralelo da impedância em série com o resistor de 120Ω, obtém-se a impedância de Thévenin e Norton. (10 j40).120 ZTh = Z N = = 18,81 j31,13ω (10 j40) 120 b (21.2) Para determinar a tensão de Thévenin, que por sua vez é a tensão entre os terminais a e b, pode-se aplicar o método das correntes de malha (sentido horário). Assim: (130 j40). = , ,88 = = 1,32 109, 77 A 136, 01 17,1 (21.3) A tensão de Thévenin é a queda de tensão sobre a resistência de 120Ω mais a tensão da fonte. João Marcio Buttendorff 109

110 Th Th = ,69 = 120.(1,32 109, 77 ) , 69 = 158,81 109, , 69 = 154,39 2, 03 (21.4) A Fig apresenta o circuito equivalente de Thévenin. Th 18,81-j31,13 ZTh a 154,39-2,03 b Fig Circuito equivalente de Thévenin. Aplicando-se a transformação de fontes, determina-se o circuito equivalente de Norton. N 154,39 2, 03 Th = = = 4, 24 56,83 A R 36,37 58,86 Th A Fig apresenta o circuito equivalente de Norton. N 4,24 56,83 A ZN 18,81-j31,13 a (21.5) b Fig Circuito equivalente de Norton Exercícios 1-) Determine o circuito equivalente de Norton e Thévenin do ponto de vista dos terminais a e b. j30 a 16 A 0 25R -j50 15R b Respostas: R Th =R N =50-j25Ω; = 447,21 63,43 ; = 8 36,87 A. Th 2-) Determine o circuito equivalente de Thévenin e Norton do ponto de vista dos terminais a e b do circuito. N João Marcio Buttendorff 110

111 75 0 j40 -j22 b Respostas: R Th =R N =8,64j11,52Ω; = 60 36,87 ; = 4, A. 3-) A fonte de tensão senoidal do circuito abaixo gera uma tensão de 247,49.cos.(1000.t45 ). Determine: a) A tensão eficaz de Thévenin e a corrente eficaz de Norton; b) A impedância de Thévenin e Norton; c) Desenhe o circuito equivalente de Thévenin e Norton. Th 24R a N 100mH a v(t) 100R 100mH 10uF Respostas: R Th =R N =100j100Ω; = 247, 49 0 ; = 1, A. 4-) Determine o circuito equivalente de Thévenin do circuito abaixo do ponto de vista dos terminais a e b. Th b N x j10 10R a 2 45 A 20R 10.x -j10 Resposta: = e Z = 5 j5ω. Th Th b 5-) Determine o circuito equivalente de Norton do ponto de vista dos terminais a e b. x 6.x a A 2R j1 Resposta: = A e Z = 1,6 j3,2ω. N 6-) Obtenha o circuito equivalente de Thévenin nos terminais a e b do circuito abaixo. N b João Marcio Buttendorff 111

112 -j6 4R a b 8R j12 Resposta: = 37,95 220,31 e Z = 6, 48 j2, 64Ω Th Th 22 RESSONÂNCA A ressonância é a condição em um circuito RLC na qual as reatâncias capacitiva e indutiva são iguais em módulo, resultando, portanto, em uma impedância puramente resistiva Ressonância Série Considere o circuito RLC série mostrado na Fig R L s C Fig Circuito série ressonante. A impedância de entrada do circuito no domínio da freqüência é dada por: j Z = R j. ω. L (22.1) ω. C Ou: 1 Z = R jω. L ω. C (22.2) A ressonância ocorre quando a parte imaginária da função é nula, ou seja: 1 m( Z) = ω. L = 0 (22.3) ω. C João Marcio Buttendorff 112

113 O valor de ω que satisfaz esta condição é chamado de freqüência de ressonância ω. Portanto, a condição de ressonância é obtida por: o 1 ωo. L = ω. C 1 ωo = rad / s L. C Como: o (22.4) ω = 2. π. f (22.5) o o fo 1 = Hz (22.6) 2. π. L. C Observa-se na ressonância, que a impedância é puramente resistiva, portanto, Z = R. Em outras palavras, a combinação série LC opera como um curto-circuito e toda a tensão estará em R. Além disso, a tensão s e a corrente estão em fase; logo, o fator de potência é unitário Ressonância Paralela Considere o circuito RLC apresentado na Fig s R L C Fig Circuito ressonante paralelo. A impedância de entrada no domínio da freqüência é obtida por: 1 Z = 1 1 ω. C R j. ω. L j (22.7) Ou: Z = R j ω. L ω C (22.8) A ressonância ocorre quando a parte imaginária da equação (22.8) é nula. Assim: João Marcio Buttendorff 113

114 1. 0 ω. L ω C = (22.9) ω o. O valor de ω que satisfaz esta condição é chamado de freqüência de ressonância 1 = ωo. C ω. L o 1 ωo = rad / s L. C (22.10) Como: ω = 2. π. f (22.11) o o fo 1 = Hz (22.12) 2. π. L. C Observa-se que, na ressonância, a combinação LC paralela funciona com um circuito aberto: logo, toda a corrente passa através de R Exemplo de Aplicação Calcule a freqüência de ressonância no circuito abaixo. 1H p.sen( t) 0,2F 10R Fig Circuito exemplo. Passando o circuito para o domínio da freqüência, obtém-se: j p.sen( t) -j/0,2 10R Fig Domínio da freqüência. A impedância paralela formada pelo resistor e capacitor é definida por: João Marcio Buttendorff 114

115 Z p j10 = 2ω j (22.13) A impedância equivalente do circuito é dada por: Z eq ( 2 2 ω 10 ) j10 ω j = jω = 2ω j 2ω j (22.14) Multiplicando-se a equação (22.14) pelo conjugado do denominador, obtém-se: Z eq Zeq 2 ( ) ω j 2 ω 10 (2 ω j ) =. 2 ω j (2 ω j) ( 4ω 3 19ω ) 10 = j 2 2 4ω 1 4ω 1 (22.15) (22.16) Na ressonância a parte imaginária é nula. Desta forma, igualando-se a parte imaginária a zero, determina-se a freqüência de ressonância. ( 4ω 3 19ω ) 3 2 4ω 1 4ω = 19ω = 0 ω = 19 / 4 = 2,179 rad / s (22.17) 22.4 Exercícios 1-) No circuito RLC paralelo abaixo, seja R=8k, L=0,2mH, C=8uF e s=10.sen(.t). Determine a freqüência de ressonância em Hertz e a potência dissipada no resistor na ressonância. s R L C Respostas: f = 3,978kHz e P = 8, 25mW o 2-) No circuito RLC série abaixo, seja R=2, L=1mH, C=0,4uF e s=20.sen(.t). Determine a freqüência de ressonância em Hertz, a potência dissipada no resistor e a amplitude da corrente. João Marcio Buttendorff 115

116 R C s L Respostas: f = 7,957kHz, P = 100W e = 10A. 3-) Determine a freqüência de ressonância do circuito abaixo. o 2H s 0,1F 10R 2R Resposta: ω = 2 rad / s. 4-) Para o circuito abaixo, determine a freqüência para a qual v(t) e i(t) estarão em fase. o i(t) 1H 1F v(t) 1R 1H Resposta: ω = 0, 7861 rad / s o 5-) Para os circuitos abaixo, determine a freqüência de ressonância ω o. 2R 0,4F 6R 1H 20mH 2k 3uF 6uF (a) (b) Respostas: a-) ω o = 1,581 rad / s e b-) ω o = 5 krad / s. João Marcio Buttendorff 116

117 23 POTÊNCAS E FATOR DE POTÊNCA Nosso esforço na análise de circuitos CA esteve, até agora, concentrado principalmente no cálculo da tensão e da corrente. Neste capítulo, a análise da potência é o aspecto que enfocaremos. A análise da potência é da maior importância. A potência é a grandeza mais importante em concessionárias de energia, sistemas eletrônicos e sistemas de comunicação, pois esses sistemas trabalham com a transmissão de potência de um ponto a outro. Além disto, todo eletrodoméstico ou equipamento industrial todo ventilador, motor, lâmpada, ferro de passar, T, computador é classificado em função da potência, indicando quanta potência o equipamento necessita. Exceder a potência indicada pode danificar permanentemente o equipamento. A forma mais comum de energia elétrica é a energia CA em 60 ou 50Hz. A escolha de CA em vez de CC permitiu a transmissão de potência em alta tensão, da unidade geradora até o consumidor Potência nstantânea A potência instantânea p(t) entregue a qualquer dispositivo como função do tempo é dada pelo produto da tensão instantânea v(t) aplicada sobre o dispositivo e a corrente instantânea i(t) que o atravessa, como é apresentado na equação (23.1). Pela convenção de sinais adotados, uma potência positiva corresponde a uma transferência de energia da fonte para o circuito, e uma potência negativa significa que a fonte está drenando energia do circuito. p( t) = v( t). i( t) (23.1) Quando um circuito é puramente resistivo, conforme a Fig. 23-1, a tensão e a corrente estão em fase. Assim, a potência instantânea é dada por: p( t) =. sen( ω. t).. sen( ω. t) P [ ω ] p( t) =.. sen(. t) P P P. P p( t) =. 1 cos(2.. ) 2 P [ ω t ] 2 (23.2) i(t) v(t) R Fig Circuito resistivo. A Fig apresenta a potência instantânea em um circuito puramente resistivo. João Marcio Buttendorff 117

118 v(t) i(t) Fig Potência instantânea em um circuito resistivo. Observando o gráfico da Fig. 23-2, pode-se observar que a potência nunca chega a se tornar negativa. Em outras palavras, é impossível armazenar energia em um circuito puramente resistivo; toda a energia elétrica cedida ao circuito é dissipada como energia térmica. No caso de um circuito puramente indutivo alimentado por uma fonte de tensão senoidal, como o apresentado na Fig. 23-3, a corrente resultante estará 90 atrasada em relação a tensão, ou seja, para uma tensão do tipo v( t) =. sen( ω. t), a corrente resultante será i( t) =. sen( ω. t 90 ). P i(t) P v(t) L Fig Circuito indutivo. A potência instantânea neste tipo de circuito será dada por: p ( t) =. sen( ω. t).. sen( ω. t 90 ) L P P [ ] p ( t) =. sen( ω. t).. sen( ω. t).cos(90 ) cos( ω. t). sen(90 ) L P P p ( t) =. sen( ω. t)..cos( ω. t) L P P [ ω ω ω ω ] p ( t) =.. sen(. t. t) sen(. t. t) L P P P. P pl( t) =. sen(2. ω. t) 2 (23.3) Este resultado é apresentado graficamente na Fig. 23-4, onde nos intervalos em que tensão e corrente possuem a mesma polaridade, a potência é positiva, caracterizando transferência de potência da fonte para o circuito. Nos intervalos, em que tensão e corrente possuem polaridades diferentes, a potência é negativa, o que por sua vez caracteriza devolução de potência do circuito para a fonte. João Marcio Buttendorff 118

119 v(t) i(t) 0 P 0 -P Fig Potência instantânea em um circuito puramente indutivo. Para o caso de um circuito puramente capacitivo alimentado por uma fonte de tensão senoidal, como o apresentado na Fig. 23-5, a corrente estará 90 adiantada em relação à tensão, ou seja, para uma tensão do tipo v( t) =. sen( ω. t), a corrente resultante será i( t) = P. sen( ω. t 90 ). A potência instantânea será: p ( t) =. sen( ω. t).. sen( ω. t 90 ) C P P [ ] p ( t) =. sen( ω. t).. sen( ω. t).cos(90 ) cos( ω. t). sen(90 ) C P P p ( t) =. sen( ω. t)..cos( ω. t) C P P [ ω ω ω ω ] p ( t) =.. sen(. t. t) sen(. t. t) C P P P. P pc ( t) =. sen(2. ω. t) 2 P (23.4) i(t) v(t) C Fig Circuito capacitivo. Assim como nos circuitos puramente indutivo, nos circuitos capacitivos a potência média será zero, ou seja, não há dissipação de energia. A Fig mostra que a potência é alternadamente armazenada pelos elementos capacitivos e devolvida à fonte que alimenta o circuito, o que acontece com uma freqüência de 2.ω. Em outras palavras, quando a potência é positiva, a energia está sendo armazenada nos campos elétricos dos capacitores; quando a potência é negativa, os capacitores estão devolvendo esta energia. João Marcio Buttendorff 119

120 v(t) i(t) 0 P 0 -P Fig Potência instantânea em um circuito puramente capacitivo. Sabe-se, no entanto, que circuitos puramente indutivos ou capacitivos são circuitos muito particulares, raramente encontrados. Assim sendo, um caso mais geral é aquele em que uma tensão do tipo v( t) =. sen( ω. t) resulta em uma corrente i( t) =. sen( ω. t φ), P onde φ pode ser positivo ou negativo, correspondente à impedância indutiva ou capacitiva, respectivamente. Para o caso em que φ<0, ou seja, circuito indutivo têm-se: p( t) =. sen( ω. t).. sen( ω. t φ) P p( t) =.. sen( ω. t). sen( ω. t φ) P P P Aplicando-se a integral para calcular o valor médio da potência, obtém-se: P (23.5) P med 1 = T T med P P T 0 0 T p( t) dt 1 P =.. sen( ω. t). sen( ω. t φ) dt T 1 P = sen t sen t t sen dt {.. ( ω. ).[ ( ω. ).cos( φ) cos( ω. ). ( φ) ]} med P P T 0 T med P P T 0 2 {.. ( ω. ).cos( φ) ( ω. ).cos( ω. ). ( φ) } 1 P = sen t sen t t sen dt T 1 2 med = P. P. ( ω. ).cos T 0 P sen t T P P φ 2 P P 1 ( φ) sen( ω. t). sen( φ) dt 2..cos( ).. sen( φ) Pmed = sen (. t) dt sen(. t) dt T ω ω 2. T 0 0 T (23.6) P 1 =...cos( φ ) 2 med P P Onde φ é definido como a diferença entre o ângulo da tensão e da corrente, ou seja: φ = φ φ (23.7) v i A potência média também é chamada de potência ativa porque representa a parcela da potência que é dissipada, ou seja, convertida em outra forma de energia. João Marcio Buttendorff 120

121 A potência média também pode ser obtida em função dos valores eficazes da tensão e da corrente, fazendo: P ef = (23.8) 2 P ef = (23.9) 2 Substituindo a equação (23.8) e a (23.9) na(23.6), obtém-se: P =..cos( φ) (23.10) ef ef O produto de ef e ef recebe o nome de potência aparente ou potência complexa, cujo símbolo é S, sendo medido em voltampères (A). Quando trata-se de circuitos lineares, a fator pela qual a potência aparente deve ser multiplicada para obter a potência ativa é chamado fator de potência (FP), ou seja, o fator de potência é o termo que determina quanto da potência entregue à carga está sendo realmente utilizado. P ef. ef.cos( φ) FP = = (23.11) S. ef ef FP = cos( φ) (23.12) Neste ponto é importante lembrar que tal relação só é válida quando o circuito em estudo é linear. Quando estuda-se um circuito não linear, como por exemplo um retificador, cujas formas de onda da tensão e corrente típicas são mostradas na Fig. 23-7, deve-se levar em conta a taxa de distorção harmônica da corrente. Assim sendo, o fator de potência passa a ser dado por: FP = cos( φ) 1 TDH 2 (23.13) v(t) i(t) 0 Fig Tensão e corrente em um retificador de onda completa. Quando trata-se do FP, o sinal de φ é um dado importante porque revela se o circuito tem característica indutiva ou capacitiva, pois quando a corrente está atrasada, φ>0. Seja como for, o módulo do fator de potência estará sempre compreendido entre 0<FP<1. João Marcio Buttendorff 121

122 23.2 Potência Complexa e Triângulo das Potências Considere uma carga CA sendo alimentada por uma fonte senoidal. Convertendo a tensão e a corrente para a forma fasorial, obtém-se: = = ef ef φ φ i v (23.14) A potência complexa S absorvida pela carga é o produto da tensão pelo complexo conjugado da corrente, ou seja: *. ef φv. ef i S = = φ S =. φ φ ef ef v i S =..cos( φ φ ) j... sen( φ φ ) ef ef v i ef ef v i (23.15) Onde a parte real da equação representa a potência média P (W) e a parte imaginária representa a potência reativa Q (ar). Considere dois casos especiais da equação. Quando φv = φi, a tensão e a corrente estão em fase. sto significa que o circuito é puramente resistivo, resultando apenas a potência média (ativa). P =. (23.16) ef ef Quando φv φi = ± 90, tem-se um circuito puramente reativo, ou seja, a potência ativa é zero, resultando apenas a potência reativa Q. P =..cos(90 ) = 0 ef ef Q =.. sen(90 ) =. ef ef ef ef (23.17) Z. A potência complexa também pode ser expressa em termos da impedância da carga Z = ef ef * 2 ef. ef. ef. S = Z = Z 2 * ef ef * * ef. S = = Z Z (23.18) Como Z = R jx, a equação se torna: 2 S =.( R jx ) = P jq (23.19) ef Onde P e Q são as partes reais e imaginárias da potência complexa, ou seja: João Marcio Buttendorff 122

123 P = Re( S) =. R ef Q = m( S) =. X ef 2 2 (23.20) P é a potência média ou ativa e depende da resistência R da carga. Q depende da reatância X da carga, sendo chamada de potência reativa (ou de quadratura). A potência ativa P é a potência média, em watts, transmitida à carga. Esta é a única potência utilizada, sendo a potência que realmente é dissipada pela carga. A potência reativa Q é a medida da energia trocada entre a fonte e a parte reativa da carga. A unidade de Q é o volt-ampére reativo (AR) para distingui-la da potência real, cuja unidade é o watt. Os elementos armazenadores de energia não dissipam nem fornecem potência, mas trocam energia com o resto do circuito. Da mesma maneira, a potência reativa é transferia da fonte para a carga e da carga para a fonte. É uma prática padrão representar S, P e Q na forma de um triângulo, chamando de triângulo das potências. O triângulo da potência representa quatro itens a potência aparente/complexa, potência real, potência reativa e o ângulo do fator de potência. Dados dois destes itens, os outros dois podem ser facilmente obtidos do triângulo. Quando S está no primeiro quadrante, tem-se uma carga indutiva e um FP atrasado. Quando S está no quarto quadrante, a carga é capacitiva e o FP é adiantado. R jxl Z S(A) φ Q(Ar) P(W) (a) P(W) R -jxc Z φ S(A) Q(Ar) (b) Fig (a) Circuito indutivo e (b) Circuito capacitivo. Para a análise de circuitos ligados em paralelo, como por exemplo várias cargas ligadas a um mesmo alimentador (Fig. 23-9), pode-se determinar a potência complexa total fornecida através das equações (23.21), (23.22) e (23.23). ef ef 1 Z1 2 Z2 n Zn b Fig Potências em cargas ligadas em paralelo. João Marcio Buttendorff 123

124 PT = P1 P2... Pn (23.21) QT = Q1 Q2... Qn (23.22) S = P Q (23.23) 2 2 T T T Esses resultados, que também podem ser aplicados a circuitos ligados em série, significam que o triângulo de potência total pode ser obtido ligando-se os triângulos de potência de cada circuito independente de um vértice a outro Correção do Fator de Potência Como foi demonstrado, para circuitos lineares alimentados por fontes senoidais, o fator de potência é simplesmente definido como cos(φ), onde φ é o ângulo de defasagem entre tensão e corrente. Para uma carga puramente resistiva, tensão e corrente estão em fase, o que leva a um fator de potência unitário. Neste caso, a potência aparente e a ativa são iguais. No entanto, este tipo de carga não costuma ser encontrado com grande freqüência, principalmente entre os grandes consumidores (indústrias), cujas cargas, em geral possuem características indutivas. Esta componente indutiva preponderante deve-se ao grande número de motores normalmente encontrado nas indústrias. Sabe-se também que quando a potência elétrica é fornecida a grandes consumidores, as companhias que fornecem a energia impõem limites aos valores de FP. Desta forma, torna-se uma prática usual, aplicar técnicas de correção do fator de potência. Teoricamente, é possível fazer com que uma carga indutiva (ou capacitiva), seja vista pela rede como um resistor. sto é obtido através da inserção, no circuito, de elementos cujos valores, combinados à freqüência da rede provenham uma impedância de entrada com ângulo de defasagem nula Exemplo de Aplicação Uma carga elétrica é alimentada com 240 rms/60hz. A carga consome uma potência ativa de 8 kw com um fator de potência atrasado de 0,8. Determine: a) O ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente; b) A corrente eficaz; c) A impedância; d) A potência aparente; e) A potência reativa; f) A potência reativa capacitiva para obter fator de potência de 0,92; g) O valor da capacitância. Solução: a-) Como o fator de potência é atrasado, sabe-se que a carga é indutiva e que portanto o sinal da potência reativa é positiva. O ângulo de defasagem entre a tensão e corrente no circuito pode ser obtido diretamente pela equação (23.12). Assim: João Marcio Buttendorff 124

125 FP = cos( φ) 1 cos (0,8) 36,87 φ = = (23.24) b-) A corrente eficaz pode ser obtida pela equação (23.10) que leva em consideração a tensão eficaz, a potência ativa e o ângulo de defasagem. P =..cos( φ) ef ef ef ef P 8000 = =.cos( φ) 240.cos(36,87 ) ef = 41,67 A c-) A impedância da carga é obtida em função da tensão e corrente eficaz. Desta forma: (23.25) Z ef 240 = = = 5,76Ω (23.26) 41,67 ef O ângulo φ que representa a defasagem entre a tensão e a corrente, também representa o ângulo do módulo da impedância. Assim: Z = 5,76 36,87 Ω = 4,608 j3,456ω (23.27) d-) A potência aparente do circuito pode ser obtida em função da tensão e corrente eficaz ou através da equação (23.11). P FP = S P 8000 S = = FP 0,8 S = 10kA (23.28) e-) A potência reativa é determina por: Q =.. sen( φ) = ,67. sen(36,87 ) ef ef Q = 6kAr f-) Para um fator de potência de 0,92 a potência aparente será: P FP = S P 8000 S = = FP 0,92 S = 8,695kA (23.29) (23.30) A respectiva potência reativa é obtida através do teorema de Pitágoras (equação(23.23)). João Marcio Buttendorff 125

126 S = P Q Q = S P = Q 0,92 0, = 3,406kAr (23.31) Desta forma, a potência reativa capacitiva necessária para tornar o fator de potência 0,92 é obtida subtraindo-se a potência reativa inicial da potência reativa correspondente a 0,92. Q = Q Q0,92 = Q C C = 2,594kAr (23.32) A Fig apresenta o triângulo das potências. Através deste, fica visível o valor necessário da potência reativa capacitiva. φ S=10kA S=8,7kA P=8kW Q=2,6kAr Q=3,4kAr Qc=2,6kAr Q=6kAr Fig Triângulo das potências. g-) Para obter a capacitância necessária para obter fator de potência de 0,92, deve-se inicialmente determinar a reatância capacitiva. C QC 2594 = = = 10,808 A (23.33) 240 ef A reatância é obtida por: X C ef 240 = = = 22, 206Ω (23.34) 10,808 C Assim, a capacitância do capacitor é dada por: X C 1 = 2. π. f. C 1 1 C = = 2. π. f. X 2. π.60.22,206 C C = 119, 45µ F (23.35) João Marcio Buttendorff 126

127 23.5 Exercícios 1-) Determine as potências aparente, ativa e reativa de uma rede constituída por uma resistência de 15Ω, uma indutância L de 0,2H e uma capacitância de 30uF ligadas em série e alimentadas por uma fonte de 220/50Hz. Desenhe o triângulo das potências. Respostas: S=1,056kA; P=346W e Q=998Ar. 2-) Um motor de 10cv (potência no eixo) tem um rendimento de 85%, fator de potência de 0,8 e encontra-se ligado a uma rede de 220/50Hz. Calcule a capacitância que é necessária colocar em paralelo para compensar o deslocamento entre a corrente a tensão. Considere: 1cv = 736W Peixo Peletrica = η Resposta: C=427uF. 3-) Aos terminais de uma impedância cujo valor é Z=3j4Ω, aplica-se uma tensão =20j10rms. Calcule a potência aparente, ativa e reativa do circuito. Respostas: S=100A; P=60W e Q=80Ar. 4-) Calcule a potência ativa, reativa, aparente e o fator de potência para: v( t) = 100. sen( ω. t 45 ) i( t) = 4. sen( ω. t 15 ) Respostas: P=100W; Q=173,21Ar; S=200A e FP=0,5. 5-) Calcule a potência média absorvida por uma impedância Z = 30 j70ω quando = (valor de pico) é aplicada a ela. Resposta: P=37,24W. 6-) Determine a potência fornecida por cada uma das fontes e a potência média absorvida por cada um dos elementos passivos do circuito abaixo. 20R -j A 1 j Respostas: P 1 =367,8W, P 2 =160W, P 3 =0W, P 4 =0W e P 5 =-207,8W. 7-) Determine o fator de potência do circuito visto pela fonte. Calcule a potência média transmitida pela fonte. 6R 30 0 rms -j2 4R Respostas: FP=0,9734 e P=125W. João Marcio Buttendorff 127

128 8-) Quando conectado a uma linha de alimentação de 120rms, 60Hz, uma carga absorve 4kW com um fator de potência de 0,8 atrasado. Determine o valor da capacitância, necessária para aumentar o FP para 0,95. Resposta: C=310,5uF. 9-) Determine o valor da capacitância paralela necessária para corrigir uma carga de 140kAr e FP 0,85 atrasado para um FP unitário. Considere que a carga é alimentada por uma tensão de linha de 110 (rms), 60Hz. Resposta: C=30,69mF. 10-) Uma fonte de 120rms, 60Hz alimenta duas cargas conectadas em paralelo, como mostra a figura abaixo. a) Determine o fator de potência da combinação paralela; b) Calcule o valor da capacitância conectada em paralelo que irá aumentar o fator de potência para o unitário. Carga 1 Carga 2 24kW FP=0,8 Atrasado 40kW FP=0,95 Atrasado Respostas: a-) FP=0,8992 e b-) C=5,74mF. 24 CRCUTOS TRFÁSCOS EQULBRADOS Mesmo sendo uma função matemática especial, a forma de onda senoidal corresponde a forma de excitação mais usada nos circuitos reais. Neste item, serão estudadas as fontes de tensões senoidais polifásicas, já que estas são responsáveis pela quase totalidades da potência gerada. Dentre os circuitos polifásicos existentes, o mais importante é, sem dúvida alguma, o circuito trifásico. Este tipo de fonte possui três ou quatro terminais de conexão. Quando o sistema é equilibrado, a tensão entre esses terminais é igual em amplitude, porém defasadas em 120 entre si. Quando uma fonte trifásica alimenta uma carga, também trifásica e equilibrada, a potência drenada de cada fase do gerador será igual. Quando uma das tensões fornece potência instantânea nula a outras duas tensões deveram apresentar uma amplitude correspondente exatamente a metade da amplitude máxima, devido a defasagem entre as tensões. Dessa forma, pode-se concluir que a potência fornecida a carga nunca será nula. Esta é uma importante característica para máquinas girantes, como, por exemplo, motores elétricos, que apresentam torque mais constante e, portanto, menor vibração. Dentre outros benefícios, deve-se também lembrar que máquinas de geração trifásica são vantajosas em relação às monofásicas e a própria transmissão de energia na forma trifásica é muito mais econômica que na forma monofásica. A utilização de circuitos com um número maior de fases está limitada quase que inteiramente à alimentação de retificadores de grande potência. João Marcio Buttendorff 128

129 24.1 Tensões Trifásicas Equilibradas Um conjunto de tensões trifásicas equilibradas é constituído por três tensões senoidais de mesma freqüência e amplitude, defasadas entre si de exatamente 120. As três fases são quase sempre chamadas de A, B e C ou R, S e T; a fase A é tomada como fase de referência. As três tensões são conhecidas como tensão da fase A, tensão da fase B e tensão da fase C. Só existem duas relações possíveis entre a fase da tensão A e as fases das tensões B e C. Uma das possibilidades é a de que a tensão da fase B esteja atrasada de 120 em relação à tensão da fase A, caso em que a tensão da fase C estará adiantada de 120 em relação à tensão da fase A. Esta relação entre as três fases é conhecida como seqüência de fases ABC ou seqüência de fases positiva. A outra possibilidade é de que a tensão da fase B esteja adiantada de 120 em relação à tensão da fase A, caso em que a tensão da fase C estará atrasada de 120 em relação à tensão da fase A. Esta relação entre as fases é conhecida como seqüência de fases ACB ou seqüência de fases negativa. Em notação fasorial, os dois conjuntos possíveis de tensões de fase equilibradas são: AN BN CN = 0 ef = 120 ef = 120 ef (24.1) e AN BN CN = 0 ef = 120 ef = 120 ef (24.2) Onde ef representa a tensão eficaz da fonte. As equações (24.1) se aplicam à seqüência ABC ou positiva; as equações (24.2), à seqüência ACB ou negativa. A Fig mostra os diagramas fasoriais e as formas de onda das tensões representadas pelas equações (24.1). Na Fig. 24-1, a seqüência de fases corresponde à ordem dos índices quando a figura é percorrida no sentido horário. O fato de que um circuito trifásico pode ter duas seqüências de fases diferentes deve ser levado em consideração sempre que dois destes circuitos são ligados em paralelo; os circuitos só funcionarão corretamente se tiverem a mesma seqüência de fases. c A B C a b b A C B a c Fig Diagramas fasoriais e seqüência de fases. João Marcio Buttendorff 129

130 Outra característica importante de um conjunto de tensões trifásicas equilibradas é que a soma das três tensões é zero. Assim, tanto para as tensões das equações (24.1) como para as das equações (24.2). A B C = 0 (24.3) Se a soma das tensões fasoriais é zero, a soma dos valores instantâneos das tensões também deve ser zero. Assim: va vb vc = 0 (24.4) 24.2 Fonte de Tensão Trifásica Uma fonte de tensão trifásica é um gerador com três enrolamentos separados distribuídos ao longo da periferia do estator. Cada enrolamento constitui uma das fases do gerador. O rotor do gerador é um eletroímã acionado com velocidade angular constante por uma máquina motriz, como uma turbina a gás ou a vapor. A rotação do eletroímã induz tensões senoidais nos três enrolamentos. Os enrolamentos são projetados de tal forma que as tensões senoidais neles induzidas tem a mesma amplitude e estão defasadas de 120. A freqüência da tensão induzida pelo eletroímã rotativo é a mesma nos três enrolamentos, já que permanecem estacionários durante todo o processo. Na Fig. 24-2, onde apresenta-se um gerador simplificado, três bobinas estão igualmente distribuídas sobre o rotor do gerador, ou seja, estão deslocadas entre si em 120 mecânicos. mã Norte C B A A B C mã Sul Fig Gerador simplificado. Existem duas formas de ligar os enrolamentos de um gerador trifásico. Estas configurações, denominadas Y (estrela) ou (triângulo), são mostradas na Fig. 24-3, na qual os enrolamentos do gerador estão representados por fontes de tensão independentes. O terminal comum da ligação em Y é chamado de terminal neutro do gerador. O terminal neutro pode estar ou não disponível para conexões externas. João Marcio Buttendorff 130

131 A A a Neutro c b B c b a B C Ligação Estrela Ligação Triângulo Fig Ligações de um gerador trifásico. C Como as fontes e cargas trifásicas podem ser ligadas em Y ou em, os circuitos podem assumir quatro diferentes configurações: Fonte Y Y Carga Y Y 24.3 Análise do Circuito Ligado em Y-Y A Fig mostra um circuito Y-Y no qual foi incluído um quarto condutor ligando o terminal neutro do gerador ao terminal neutro da carga. A presença deste quarto condutor só é possível na configuração Y-Y (encontrada em instalações industrias, residências e prediais). an Za Neutro bn cn Zc Zb Fig Sistema trifásico Y-Y. Este circuito equilibrado trifásico pode ser substituído por circuitos equivalentes por fase. Conforme apresentado na Fig A corrente no condutor da fase A é a tensão gerada pela fonte an dividida pela impedância total da fase A (Za). Como as relações entre as tensões nas três fases são conhecidas, depois de resolver este circuito pode-se facilmente determinar as correntes e tensões nas outras duas fases. João Marcio Buttendorff 131

132 an Za Fig Circuito equivalente por fase. É importante observar que o circuito equivalente fornece o valor correto da corrente na linha das fases, mas não o valor correto da corrente no neutro. Em todas as situações nas quais o circuito equivalente para uma fase pode ser aplicada, as correntes de linha formam um conjunto equilibrado e a corrente no neutro, dada pela equação (24.5), é nula. A B C = 0 (24.5) Um outro parâmetro importante é a relação entre as tensões entre linhas (fase-fase) chamadas de tensões de linha e as tensões entre as linhas e o neutro (fase-neutro), chamadas de tensões de fase. amos determinar esta relação para os terminais da carga da Fig. 24-6, onde foram rotuladas como AB, BC e CA ; por convenção o primeiro índice é o nó em que a tensão é mais elevada. an ab Za Neutro bn Zb cn Zc bc Fig Tensões entre linhas e entre linha e neutro. As tensões entre linha e neutro (tensões de fase) são AN, BN e CN (equação (24.1)). Pode-se expressar as tensões entre linhas em termos das tensões entre linha e neutro usando a lei de Kirchhoff para tensões: = AB AN BN = BC BN CN = CA CN AN (24.6) Substituindo-se a equação (24.1) na (24.6), obtém-se as tensões de linha para um sistema trifásico equilibrado. = = AB ef ef ef = = BC ef ef ef = = CA ef ef ef (24.7) João Marcio Buttendorff 132

133 A equação (24.7) mostra que: 1. A amplitude das tensões de linha é igual a 3 vezes a amplitude das tensões de fase; 2. As tensões de linha formam um conjunto equilibrado de tensões; 3. As tensões de linha estão adiantadas de 30 em relação às tensões de fase. A Fig apresenta as tensões de linha e as tensões de fase de um sistema trifásico. ab bc ca an bn cn 0 Fig Tensões de linha e entre fase e neutro Correntes de Linha em um Circuito Ligado em Triângulo ( ) Quando uma carga (ou fonte) é ligada em, as correntes nos ramos do são as correntes de fase e as tensões entre os terminais dos ramos do são as tensões de fase. Como pode-se observar na Fig. 24-8, no caso da configuração em a tensão de fase é igual a tensão de linha. a A ab Z1 ca Z2 b B Z3 bc C c Fig Carga equilibrada ligada em triângulo. Para determinar a relação entre as correntes de fase (ramo) e as correntes de linha, consideraremos uma seqüência de fase positiva e chamaremos de ef o módulo da corrente de fase. Nesse caso: AB BC CA =. 0 ef =. 120 ef =.120 ef (24.8) João Marcio Buttendorff 133

134 Pode-se determinar as correntes de linha em termos das correntes de fase usando a lei de Kirchhoff para as correntes: = = = A AB CA ef ef ef = = = B BC AB ef ef ef = = = C CA BC ef ef ef (24.9) Comparando-se as equações, verifica-se que o módulo das correntes de linha é 3 vezes maior que o módulo das correntes de fase e que as correntes de linha estão atrasadas de 30 em relação às correntes de fase Potência em Carga Trifásica Equilibrada Nos sistemas trifásicos a potência em cada fase da carga será P f =U f. f (onde f representa tensão e corrente de fase), como se fosse um sistema monofásico independente. A potência total será a soma das potências das três fases, ou seja: P = 3. P = 3.. (24.10) f f f Lembrando que nos sistemas trifásicos ligados em estrela ou triângulo, temos as seguintes relações: Ligação estrela: Ligação triângulo: L = = L = f = 3. f 3. Assim, a potência total, para ambas as ligações, será: f f P = 3.. (24.11) Esta equação vale para a carga formada por resistências, onde não há defasagem entre a tensão e a corrente. Para as cargas reativas, ou seja, onde existe defasagem, como no caso dos motores de indução, esta defasagem tem que ser levada em consideração e a equação passa a ser: P = 3...cos( φ) (24.12) Onde e são, respectivamente, tensão e corrente eficazes de linha e cos(φ) é o ângulo entre a tensão e a corrente de fase. Os valores das potências reativa e aparente são obtidas diretamente pelas equações (24.13) e (24.14): Q = 3... sen( φ) (24.13) S = 3.. (24.14) João Marcio Buttendorff 134

135 24.6 Exemplo de Aplicação Um motor elétrico trifásico de 100cv/380 e rendimento de 93% apresenta um fator de potência de 0,9. Deseja-se aumentar o fator de potência para 0,95. Calcule a potência reativa necessária para elevar o fator de potência. A potência em W, que o motor fornece ao eixo é dado por: PM = = 73, 6kW A potência consumida pelo motor é obtida em função do rendimento do mesmo. Assim: P P = M = = 79,139kW η 0,93 A potência aparente e reativa que o motor necessita para operar com um fator de potência de 0,9 é obtida por: P cos( φ) = S S 0,9 0,9 P = = = 87,933kA cos( φ) 0,9 S = P Q ,9 0,9 Q = S P = Q ,9 0,9 0,9 = 38,33kAr Para que o mesmo motor opere com fator de potência de 0,95, as respectivas potências aparentes e reativas devem ser: P cos( φ) = S S 0,95 0,95 P = = = 83,304kA cos( φ) 0,95 S = P Q ,95 0,95 Q = S P = Q ,95 0,95 0,95 = 26, 012kAr Assim, a reatância capacitiva necessária para corrigir o fator de potência do motor será dada por: Q = Q0,9 Q0,95 = Q = 12,318kAr João Marcio Buttendorff 135

136 24.7 Exercícios 1-) A tensão de linha nos terminais de uma carga trifásica equilibrada tipo é 110. As impedâncias das três fases da carga são resistores de 3,667 em paralelo com indutores cuja reatância é 2,75. Qual é o módulo da corrente na linha que alimenta a carga? Resposta: =86,60A. 2-) Um gerador trifásico balanceado em com uma impedância de 0,4j0,3 por fase é conectado a uma carga balanceada, conectada em, com uma impedância de 24j19 por fase. A linha que une o gerador e a carga possui uma impedância de 0,6j0,7 por fase. Considerando uma seqüência positiva para as tensões da fonte e que an = , determine: a) As tensões de linha; b) As correntes de linha. Respostas: a-) 207,85 60, 207,85 60 e 207,85180 b-) 3,75 8,66 A, 3,75 128,66 A e 3,75111,34 A 3-) Uma tensão de linha de uma fonte balanceada conectada em Y é = Se a fonte está conectada a uma carga conectada em de Ω, determine as correntes de fase e linha. Considere a seqüência abc. Respostas: 9 60 A, A, 9 60 A, 9 60 A, 15,59 90 A, 15, A e 15,59 30 A 4-) Uma fonte balanceada, conectada em, com seqüência positiva, alimenta uma carga balanceada conectada em. Sendo a impedância por fase da carga 18j12 e = 22,5 35 A, determine AB e AB. a Respostas: A e 281,2 98,69 5-) Uma fonte de tensão trifásica de 100 (eficaz) alimenta uma carga equilibrada, mostrada na figura abaixo. Assume-se como referência a tensão AB (ângulo zero). Determine: a) A corrente fasorial AB ; b) A corrente de linha fasorial A. ab A a ab 4R 4R j3 j3 B 4R j3 C Respostas: a-) = 20 36,9 A ; b-) = 34,641 66,9 A. AB A João Marcio Buttendorff 136

137 6-) A fonte de tensão trifásica da figura abaixo alimenta uma carga cujo modelo por fase é dado pela figura a direita. Determine: a) A corrente de linha L com relação à tensão de linha AB (adote AB como tensão de referência, ou seja, ângulo igual a zero); b) A potência ativa e reativa fornecida para a carga. L 300ef (linha) A B 2,236R N 3 fases C j1 N Respostas: a-) = 70,7 24,1 A ; b-) P = 33,5kW e Q = 15kAr. L 7-) Uma carga balanceada conectada em estrela absorve uma potência total de 5kW com um fator de potência adiantado de 0,6 quando conectado a uma tensão de linha de 240. Determine a impedância de cada fase e a potência complexa total da carga. Respostas: Z=4,15-j5,53 e S=5000-j6667A. 8-) Um motor trifásico pode ser modelado como uma carga em Y balanceada. O motor drena 5,6kW quando a tensão de linha é 220 e a corrente de linha é 18,2A. Determine o fator de potência do motor. Resposta: FP=0, ) Um motor elétrico trifásico de 250cv/220 e rendimento de 95,4% apresenta um fator de potência de 0,89. Deseja-se aumentar o fator de potência para 0,93. Calcule a corrente nominal do motor, a potência reativa necessária para elevar o fator de potência e desenhe o triângulo das potências. Respostas: =568,716A e Q=22,583kAr. 10-) Duas cargas balanceadas são conectadas a uma linha de 240k, 60Hz, como apresentado na figura. A carga 1 drena 30kW com um fator de potência de 0,6 atrasado, enquanto que a carga 2 drena 45kAr com um fator de potência de 0,8 atrasado. Determine: a) As potências ativa, reativa e aparente absorvida pelas cargas; b) A corrente total de linha; c) A quantidade de kar do banco capacitivo conectados em paralelo com a carga para aumentar o fator de potência para 0,9 atrasado; d) A capacitância total dos capacitores. Carga Carga Balanceada 1 Balanceada 2 Respostas: a-) P=90kW; S=123,8kA e Q=85kAr; b-) João Marcio Buttendorff 137

138 Referências Bibliográficas ALEXANDER, C. K.; SADKU, M. N. O., Fundamentos de Circuitos Elétricos, Bookman Companhia Editora., Porto Alegre, NLSSON, J. W.; REDEL, S. A., Circuitos Elétricos, 6ª Edição, Editora LTC, Rio de Janeiro, 2003 NAH, M.; EDMNSTER, J., Circuitos Elétricos, 2ª. Edição, Bookman Companhia Editora, Porto Alegre, GUSSOW, M., Eletricidade Básica, 2 a Edição, Makron Books, São Paulo, João Marcio Buttendorff 138