MESTRADO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA

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1 MESTRADO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA PROGRAMAS DAS DISCIPLINAS

2 1º TRIMESTRE FUNDAMENTOS DE ECONOMIA Introdução ao mercado: procura e oferta; equilíbrio. Mercados de obrigações: tipologia; taxas spot, taxas forward e factores de desconto; fair value, yield-tomaturity e taxa de rendimento realizado; estimação da estrutura temporal de taxas de juro; medidas de risco de taxa de juro. Mercados Accionistas: caracterização; avaliação via direitos e via múltiplos. Teoria do consumidor: preferências e utilidade; conjunto de possibilidades de escolha; a escolha óptima; caracterização da procura individual e de mercado; aplicação à escolha intertemporal. Teoria do produtor: tecnologia e características da função de produção; custos; maximização do lucro. Análise da estrutura do mercado: concorrência perfeita (comportamento da empresa; equilíbrio de curto e longo prazo; eficiência); monopólio (escolha do monopolista e suas propriedades; monopólios naturais); oligopólio (modelos não cooperativos; coligações e regulação). Bibliografia indicativa: Nicholson, W. Microeconomic Theory, 7 th ed., Dryden, 1998; Walsh, C. Monetary Theory and Policy, The MIT Press, TÓPICOS DE ANÁLISE REAL Continuidade e diferenciabilidade em R^{n}. Equações diferenciais ordinárias. Bibliografia indicativa: S. K. Berberian, Fundamentals of Real Analysis, Springer- Verlag (1998). M. Ramos, Curso Elementar de Equações Diferenciais, Textos de Matemática do DMFCUL, 2ª. edição (2002). TEORIA DA MEDIDA Noções elementares: álgebras, sigma-álgebras, conjuntos borelianos, medidas. Teorema da extensão das medidas. Funções mensuráveis. Convergência quase sempre e convergência em medida. Integração. Teoremas da Convergência Monótona, de Fatou e da Convergência Dominada. Medidas produto e Teorema de Fubini. Teorema de Radon-Nikodym. Noções de Teoria das Probabilidades. Introdução aos Espaços de Hilbert. Bibliografia indicativa: M. Capinski, E. Kopp, Measure, Integral and Probability, Springer-Verlag, D. Williams, Probability with Martingales, Cambridge Mathematical Textbooks, 1995 (quarta edição). I. K. Rana, An Introduction to Measure and Integration, Graduate Studies in Mathematics, volume 45, American Mathematical Society, DERIVADOS E GESTÃO DE RISCO Forwards de Taxa de Juro e de Câmbio. Futuros Financeiros: taxas de câmbio; acções; índices; taxa de juro de curto prazo; obrigações; commodities. Swaps de Taxa de Juro e de Câmbio. Hedging de Activos e Passivos. Gestão de Aplicações e Financiamentos. Bibliografia indicativa: Hull, J., 2002, Options, Futures and other Derivatives, Prentice Hall, 5 th edition; Kolb, R. W., 2003, Futures Options and Swaps, Blackwell Publishing, 4 th Ed.

3 TEORIA DO RISCO Introdução. Revisão de alguns conceitos básicos envolvendo variáveis aleatórias, com modelos probabilísticos associados discretos, contínuos, mistos ou de mistura: funções de probabilidade, função geradora de momentos; independência, condicionamento e valor médio condicional. Os modelos de Bernoulli, Binomial, Poisson, Geométrico e Binomial Negativo, Normal, Gama, Beta, Pareto, etc. Revisão da noção de Processo Estocástico e algumas características do Processo de Poisson. Revisão de alguns resultados assintóticos; somas de variáveis aleatórias e o Teorema Limite Central. Alguns conceitos em Seguros sob uma perspectiva da Utilidade. Aversão ao risco. Modelos de Risco Individual a breve prazo. Aproximações e noção de VaR. Modelos de Risco Colectivo para um período simples. As Indemnizações Agregadas: modelos Poisson Composto e o Binomial Negativo. Modelos de Risco Colectivo para um período genérico. Noção de Ruína. Os Processos associados às indemnizações - o Processo do Número de Indemnizações e o Processo das Indemnizações Agregadas. O Coeficiente de Ajustamento e sua relação com a Probabilidade de Ruína. Aplicações da Teoria do Risco a problemas de Seguros. Distribuições associadas aos montantes de indemnização. Aproximações do Modelo Individual ao Modelo Colectivo. O Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ruína. Bibliografia indicativa: N. L. Bowers Jr, H. U. Gerber, J. C. Hickman, D. Jones e C. J. Nesbitt, Actuarial Mathematics, Society of Actuaries, Chicago, R. Kaas, M.J. Goovaerts, J. Dhaene & M. Denuit, Modern Actuarial Risk Theory, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht M. I. Fraga Alves, Teoria do Risco, Texto de apoio, Edições CEAUL, INVESTIMENTOS Preferências, Utilidade e Aversão ao Risco. Dominância Estocástica. Modelos Média- Variância. Fronteira eficiente de Markowitz. Portfólio Óptimo. Activo sem risco. Teorema da Separação. Modelo de Equilíbrio de Mercado: CAPM. Modelos Multifactores: Multibeta e APT. Avaliação de Performance de Portfólios. Security market line e alpha. Índices de Sharpe e Treynor. Estimação e Eficiência. Bibliografia indicativa: Danthine, J.-P., and J. Donaldson, 2002, Intermediate Financial Theory, Prentice Hall; Huang, C.-F., and R. Litzenberger, 1988, Foundations for Financial Economics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs; Ingersoll, J., 1987, Theory of Financial Decision Making, Rowman & Littlefield studies in financial economics. 2º TRIMESTRE PROGRAMAÇÃO Tópicos Gerais: sistemas de numeração; representação de números em sistemas computacionais. Programação: conhecimento geral e prática de uma linguagem de programação orientada por objectos, utilizando preferencialmente algoritmos associados a problemas matemáticos. Referência aos paradigmas de programação (procedimental, funcional, lógica, por objectos). Operações com vectores e matrizes (adição, multiplicação). Eliminação de Gauss. Algoritmos de pesquisa. Recursividade. Estruturas de dados ligadas: listas, filas, pilhas. Árvores e árvores binárias. Bibliografia indicativa: Pedro Guerreiro, Programação com Classes em C++, 2ª

4 edição, FCA. Pimenta Rodrigues, Pedro Pereira, Manuela Sousa, Programação em C++ - conceitos básicos e algoritmos, FCA. Pimenta Rodrigues, Pedro Pereira, Manuela Sousa, Programação em C++ - Algoritmos e estruturas de dados, FCA. D. M. Capper, Introducing C++ for Scientist, Engineers and Mathematicians, Springer Verlag. N. M. Josuttis, The C++ Standard Library: a Tutorial and Reference, Addison-Wesley. OPTIMIZAÇÃO Optimização uni-dimensional para equações não lineares: método de Newton; interpolação parabólica; método de Brent. Optimização multi-dimendional: método de Newton; convergência; quasi-newton methods; método de Powell; conjugate gradient methods; variable metric methods; method of simulated annealing. Bibliografia indicativa: Dennis, J. and R. Schnabel, 1996, Numerical Methods for Unconstrained Optimization and Nonlinear Equations, SIAM. CÁLCULO ESTOCÁSTICO EM FINANÇAS I Noções básicas de Teoria da Probabilidade. Teoria das Martingalas. Movimento Browniano. Construção do integral de Itô. Fórmula de Itô. Teorema da representação das martingalas. Teorema de Girsanov. Equações diferenciais estocásticas. Representação estocástica de soluções de equações com derivadas parciais. Bibliografia indicativa: D. Lamberton e B. Lapeyre, Stochastic Calculus Applied to Finance, Chapman and Hall/CRC, T. Mikosch, Elementary Stochastic Calculus with Finance in View, World Scientific, B. Oksendal, Stochastic Differential Equations and Applications, 5 a edição, Springer-Verlag, EQUAÇÕES COM DERIVADAS PARCIAIS Exemplos de problemas de Cálculo das Variações. 1ª e 2ª variações de Gateaux. Equação diferencial de Euler-Lagrange. Generalização ao caso de dimensão maior do que 1. Primeiros exemplos de equações com derivadas parciais. Condições iniciais e de fronteira. Equações lineares de 1ª ordem. Características - Equações de 1a ordem quase-lineares. A equação geral não linear de 1ª ordem em dimensão n = 2. Equações lineares e quase-lineares de 2ª ordem no caso n = 2. Características. Problema de Cauchy. Classificação das equações lineares de 2a ordem no caso n = 2. Redução das equações lineares de 2ª ordem hiperbólicas e parabólicas à forma canónica. Problemas de fronteira e problemas mistos. Métodos de Fourier. Método de separação de variáveis. Prolongamento par ou ímpar de uma função seccionalmente contínua definida num intervalo limitado de R - Aplicação do método de Fourier à resolução de problemas mistos para as equações do calor e das ondas e de problemas de fronteira para a equação de Laplace - Unicidade das soluções; princípio do máximo. Bibliografia indicativa: S. Godounov, Equations de la Physique Mathématique, Editions M.I.R., M. L. Krasnov, G. I. Makarenko e A. I. Kiselev, Problems and Exercises in the Calculus of Variations, Editions M.I.R., H. Sagan, Introduction to the Calculus of Variations, McGraw-Hill, W. Strauss, Partial Differential Equations, an introduction, John Wiley, M. C. Póvoas, Métodos Matemáticos da Física, Textos de Matemática do DM da FCUL, 2002.

5 3º TRIMESTRE CÁLCULO ESTOCÁSTICO EM FINANÇAS II Derivados financeiros. O problema da atribuição de um preço aos derivados financeiros. Cobertura dos riscos financeiros. Oportunidades de arbitragem. O modelo de Cox-Ross-Rubinstein. O problema da paragem óptima e as opções americanas. O modelo de Black-Scholes. Atribuição de preço e cobertura de riscos para as opções europeias. As opções americanas no modelo de Black-Scholes. Bibliografia indicativa: D. Lamberton e B. Lapeyre, Stochastic Calculus Applied to Finance, Chapman and Hall/CRC, A. Etheridge, A Course in Financial Calculus, Cambridge University Press, T. Björk, Arbitrage Theory in Continuous Time, Oxford University Press, OPÇÕES EXÓTICAS Digital options. Pay-later options. Compound options: distribuição normal bivariada. Chooser options: simples e complexas. Barrier options: reflection principle; first passage time distribution; time-change; single-barrier options. Lookback options: distribuição de extremos. Asian options. Simulação de Monte Carlo. Forward-start options. Correlation-dependent options. Quantos. Avaliação e Hedging de Produtos Estruturados. Bibliografia indicativa: Briys, E., M. Bellalah, H. M. Mai and F. De Varenne, 1998, Options, Futures, and Exotic Derivatives, Wiley; Hull, J., 2002, Options, Futures, and Other Derivative Securities, Prentice Hall; Zhang, P., 1998, Exotic Options: A Guide to Second Generation Options, World Scientific, 2nd edition. ANÁLISE E CONTROLO DE RISCOS Natureza e Dimensão do Risco. Razões para Controlo de Riscos: Casos Recentes e Regulamentação (Comitê de Basel). VaR com Distribuições Gerais e Paramétricas. VaR de Instrumentos Financeiros: acções e posições cambiais; obrigacções (mapping e bucketing); derivados. Métodos de Estimação do VaR: delta-normal; simulação histórica; stress testing; método de Monte Carlo. Estimação de Volatilidade: históricas e implied volatility. Métodos de Estimação do Risco de Crédito. Credit Rating Migration e Taxa de Recuperação. Risco de Crédito de Portfólios: Credit VaR. Derivados de Risco de Crédito. Bibliografia indicativa: Jorion, P., 2001, Value at Risk, Irwin, 2ª edição; Saunders, A. e L. Allen, 2002, Credit Risk Measurement, John Wiley, 2ª edição. 4º TRIMESTRE ECONOMETRIA DOS MERCADOS FINANCEIROS Inferência estatística. Análise de variância paramétrica e não paramétrica. Análise factorial de componentes principais: abordagem de Heath-Jarrow-Morton. Modelo de regressão linear múltipla: multifactor pricing models; Arbitrage Pricing Theory. Modelos de escolha qualitativa. Análise discriminante. Complementos ao modelo de regressão linear múltipla: transformações lineares; método de estimação da máxima verosimilhança; generalized method of moments; Kalman filters; aplicação a term structure models. Metodologia de Box-Jenkins: funções de autocorrelação e de

6 autocorrelação parcial e estacionaridade; modelos ARMA e sazonalidade; modelos ARIMA; cointegração. Modelos de heteroscedasticidade condicionada: modelos ARCH, GARCH e EGARCH; hipótese da normalidade da distribuição condicionada; distribuições t-student e GED como alternativa à distribuição normal. Modelos de volatilidade estocástica. Bibliografia indicativa: Campbell, J., A. Lo, and C. MacKinlay, 1996, The Econometrics of Financial Markets, Princeton; Greene, W., 2003, Econometric Analysis, Prentice Hall 5ª edição. MODELOS DA ESTRUTURA TEMPORAL DE TAXAS DE JURO Modelos de Equilíbrio: Vasicek, CIR, Longstaff-Schwartz, Langetieg, multi-factor CIR, Duffie-Kan; fundamental PDE; estimação; stochastic duration. Modelos HJM: taxas forward instantâneas; condição de não-arbitragem; especificação de Hull-White; Gaussian HJM model; avaliação de futuros e opções; calibração. Random field models. Market Models: lognormal LIBOR market model; caps, floors e collars; Black formula; Jamshidian model; swaptions. Credit risk models: firm value approach; reduced-form models. Bibliografia indicativa: James, J, and N. Webber, 2000, Interest Rate Modelling: Financial Engineering, Wiley; Musiela, M. and M. Rutkowski, 1998, Martingale Methods in Financial Modelling, Springer-Verlag; Rebonato, R., 1998, Interest-rate Option Models, John Wiley & Sons, 2nd edition. MÉTODOS NUMÉRICOS Esquemas às diferenças finitas para as equações com derivadas parciais: primeiras noções. Exemplos. Consistência, estabilidade e convergência. A condição espectral de von Newmann. Dissipação e dispersão. Exemplos. A equação do calor como problema modelo para as equações parabólicas. Métodos explícitos. A análise de Fourier. Métodos implícitos: o - método e o método de Crank-Nicholson. Aplicação do princípio do máximo. Programas para problemas parabólicos a uma variável de espaço: problemas de valor inicial e problemas de fronteira. Programas para problemas lineares hiperbólicos a uma variável de espaço. Implementação e comparação dos métodos de primeira e segunda ordem. Bibliografia indicativa: Ames, W.F., Numerical Methods for Partial Differential Equations, 3rd edition, Academic Press, Godunov, S., Riabenki, V., Schémas aux différences, Éditions Mir, Isaacson, E., Keller, H.B., Analysis of Numerical Methods, Dover Publications, New York, Morton, K.W., Mayers, D.F., Numerical Solution of Partial Differential Equations, Cambridge Univ. Press, Richtmyer, R.D., Morton, K.W., Difference Methods for Initial Value Problems, Wiley-Interscience, 1967, reprinted (1994), Keiger, New York. Mitchell, A.R., Griffits, D.F., The Finite Difference Method in Partial Differential Equations, Wiley- Interscience, New-York, Thomas, J.W., Numerical Partial Differential Equations: Finite Difference Methods, Springer-Verlag, DISCIPLINAS OPTATIVAS OPÇÕES FINANCEIRAS Terminologia e posições básicas. Estratégias de hedging e de especulação. Álgebra

7 das opções. Price bounds e paridade put-call. Valor intrínseco e valor tempo. Random Walk e Brownian Motion. Lema de Itô e fundamental PDE. Teorema de Feynman- Kac. Modelo de Black-Scholes. Risk-Neutral Valuation: teorema de Girsanov e change of numeraire. Volatilidade histórica e implícita. Modelo de Merton: acções com dividendos, índices e taxas de câmbio. Modelo de Black: stock versus futures style margining. Greeks e Dynamic Hedging de Opções. Opções Americanas: aproximação de Black; aproximação quadrática; árvores binomiais; diferenças finitas. Alternativas ao Modelo de Black-Scholes: stochastic volatility. Bibliografia indicativa: Baxter, M., and Rennie, 1996, Financial Calculus: An Introduction to Derivative Pricing, Cambridge University Press; Bjork, T., 1998, Arbitrage Theory in Continuous Time, Oxford University Press; Hull, J., 2002, Options, Futures, and Other Derivative Securities, Prentice Hall; Shreve, S., 2004, Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models, Springer. MERCADOS DE TAXA DE JURO Avaliação de obrigações com taxa de juro fixa e sem risco de crédito. Estrutura temporal de taxas de juro. Avaliação de obrigações com taxa variável e risco de crédito. Risco de taxa de juro: Duration e Convexidade. Imunização: clássica, activa, contingente, multi-período. Estimação da curva de taxas de juro: Nelson-Siegel, cubic-plines. Bibliografia indicativa: Fabozzi, F., 1993, Bond Markets Analysis and Strategies, 3rd Ed., Prentice Hall; Garbade, K. D., 1996, Fixed Income Analytics, The MIT Press; Martellini, L., Priaulet, P., Priaulet, S., 2003, Fixed Income Securities Valuation, Risk Management & Portfolio Strategies, Wiley Finance.