APÊNDICE DO CAPÍTULO 4. LEIS DE NEWTON DO MOVIMENTO

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1 APÊNDICE DO CAPÍTULO 4. LEIS DE NEWTON DO MOVIMENTO Escolhendo um referencial podemos descrever o movimento em relação a ele de uma partícula ou, em geral, de um corpo qualquer. Agora, desejamos saber o que determina tal movimento, porque o movimento do corpo é aquele que observamos e não algum outro. Experimentalmente se obtém que essa questão é mais facilmente tratada quando escolhemos um certo tipo de referencial, chamado inercial, e que relativamente a um tal referencial o movimento do corpo é determinado por influḙncias de outros corpos e pelas condições iniciais do movimento. Esse resultado experimental e outros necessários para determinar os movimentos dos corpos em consideração são chamados leis de movimento. São elas as trḙs leis de Newton do movimento. São apresentadas a seguir, não na forma original usada por Newton, mas em versões propostas posteriormente. 1. Primeira lei de Newton 1.1 Partícula isolada é qualquer partícula infinitamente afastada de qualquer outro corpo do universo. Na prática, é uma partícula tão afastada dos demais corpos do universo que podemos considerar que eles não influenciam o movimento dela. Tomaremos como exemplo de partícula isolada qualquer uma das estrelas fixas que observamos. 1.2 Referencial inercial é um referencial do qual alguma trinca de partículas isoladas não colineares é observada com cada partícula em repouso ou movimento retilíneo uniforme. Portanto, para verificar se um referencial é inercial, devemos primeiramente encontrar alguma trinca de partículas isoladas que não permaneçam sempre na mesma reta; a ressalva de não colinearidade será explicada posteriormente. Uma vez encontrada a trinca, determinamos os movimentos de suas partículas relativos ao referencial em exame. Se o movimento de cada partícula é com velocidade constante, o referencial se enquadra na definição de inercial; se alguma das partículas tem aceleração, o referencial não é inercial. 1.3 Nossa escolha natural para uma trinca de partículas isoladas não colineares é a de 3 estrelas fixas não colineares. Obviamente, as três são observadas em repouso de um referencial copernicano. Portanto, referenciais copernicanos são inerciais. Os referenciais terrestres não são inerciais, como podemos verificar observando as estrelas fixas no período de uma noite; todas elas estão em movimento circular e, portanto, aceleradas. No entanto, durante vários minutos as estrelas parecem imóveis, o que sugere que referenciais terrestres podem ser aproximadamente inerciais. De fato, uma análise mais detalhada confirma que, para os movimentos que estudaremos, os referenciais terrestres são inerciais em boa aproximação. 1.4 Todo referencial em repouso ou em movimento de translação retilíneo uniforme em relação a um referencial inercial é inercial. De fato, seja Ref um referencial inercial e Ref um referencial em movimento de translação com velocidade constanteurelativa aref. Nesse caso, sevéavelocidade de uma partícula relativa aref ev a velocidade da mesma partícula relativa aref, entãov = v u. Se v é constante, v é constante, pois u é constante por hipótese. Portanto, como as três partículas isoladas não colineares, usadas para verificar queref é inercial, têm velocidades constantes relativas a Ref, elas também têm velocidades constantes relativas aref, isto é, Ref é inercial. 1.5 Primeira lei de Newton. Toda partícula isolada permanece em estado de repouso ou movimento retilíneo uniforme, relativamente a qualquer referencial inercial. Essa lei pressupõe que existem partículas isoladas e referenciais inerciais; além disso, afirma que, relativamente a referenciais inerciais, toda partícula isolada tem velocidade constante, e não apenas as três partículas usadas para verificar que o referencial é inercial. 1.6 Se um referencial tem movimento de translação com velocidade u variável com relação a um 1

2 referencial inercial, ele não é inercial. Se um referencial tem movimento de rotação em relação a um referencial inercial, ele não é inercial. Suponhamos que o eixo de rotação seja fixo; existe então a possibilidade de serem observadas desse referencial três partículas isoladas em repouso no eixo de rotação, mas elas são colineares. 1.7 Em seguida enunciamos outras leis de movimento, além da lei da primeira lei de Newton. Em todas as leis de movimento pressupõe-se que o referencial utilizado é inercial, mesmo sem explicitamente enunciar tal suposição. 2. Segunda e terceira leis de Newton 2.1 Par isolado é um par de partículas isoladas dos demais corpos do universo, mas não isoladas uma da outra. 2.2 Lei da proporcionalidade das acelerações de um par isolado. Para qualquer par isolado de partículas i e j, com acelerações respectivas a i e a j, existem constantes positivas respectivas m i e m j, características das partículas do par, tais que a i = m j m i a j. (1) 2.3 A constante m i é chamada massa da partícula i e m j, massa da j. Notemos que, de acordo com essa lei, as acelerações de um par isolado têm sempre a mesma direção e sentidos opostos; além disso, a partícula do par com maior massa têm a aceleração de menor módulo. Para determinar univocamente as massas das partículas, cuja existência é garantida por essa lei, devemos escolher uma partícula padrão cuja massa, por definição é a unidade de massa. Formando um par isolado com a partícula padrão e uma partículaiqualquer, obtemos m i = a p a i m p, (2) onde m p é o símbolo da massa padrão, isto é, da unidade de massa adotada; por exemplo, m p = kg no SI. 2.4 Seja um sistema de N partículas; representamos as suas posições em um instante arbitrário por r 1, r 2,..., r N, e as respectivas velocidades por v 1, v 2,..., v N. Chamamos configuração do sistema no instante considerado a N-upla de vetores (r 1,r 2,...,r N ). Distribuição de velocidades do sistema é a N-upla de vetores (v 1,v 2,...,v N ). Estado do sistema é a 2N-upla de vetores (r 1,r 2,...,r N ;v 1,v 2,...,v N ). 2.5 Segunda lei de Newton. Qualquer partícula é parte de um sistema de N partículas com a propriedade de que a aceleração a i de cada partículaido sistema é dada por a i = 1 m i F i (i = 1,...,N), (3) ondem i é a massa da partícula ef i é um vetor determinado pelo estado do sistema. 2.6 O vetor F i é denominado força resultante, ou força total, sobre a partícula i; a força resultante é determinada pelo estado do sistema. Esse sistema de que trata a segunda lei é denominado sistema isolado, para expressar o fato de que as acelerações de suas partículas são determinadas apenas pelo seu estado, não importando o estado do restante do universo. Os sistemas infinitamente afastados dos demais corpos do universo são isolados nesse sentido; daí termos usado o mesmo adjetivo isolado nas definições anteriores de partícula isolada e par isolado. Embora o estado do sistema determine as forças resultantes sobre as partículas, nem sempre é necessário conhecer todas as variáveis do estado 2

3 para determinar essas forças; algumas poucas informações sobre o estado do sistema são muitas vezes suficientes para isso. 2.7 Dada uma partícula i de um sistema isolado, o sistema formado pelas demais partículas é chamado vizinhança da partículai. A força resultantef i sobre a partículaiédita força total sobre a partícula i exercida por sua vizinhança. 2.8 Suponhamos que seja possível formar um sistema isolado com cada partícula i e uma única partícula j da vizinhança. Nesse caso, pela segunda lei de Newton, a aceleração da partícula i é dada por a i = F ij /m i, onde F ij é um vetor determinado pelo estado do sistema constituído apenas pelas partículasiej. O vetorf ij é denominado força sobre a partículaiexercida pela partículaj. 2.9 Princípio da superposição. A força total sobre uma partícula exercida pela sua vizinhança é a soma vetorial das forças exercidas sobre a partícula pelas partículas da vizinhança. Em símbolos: F i = N j=1(j i) F ij, (4) onde devemos notar a necessidade da ressalva j i, já que a própria partícula i não pertence a sua vizinhança; isse fato costuma ser expresso dizendo que uma partícula não exerce força sobre ela mesma Seja uma parte da vizinhança de uma partícula. Força sobre a partícula exercida por uma parte de sua vizinhança é a soma vetorial das forças sobre a partícula exercidas pelas partículas dessa parte. É comum se referir à parte como um corpo da vizinhanca e designar a força que ela exerce por força exercida sobre a partícula pelo corpo da vizinhança. Usando esses termos podemos enunciar a seguinte consequência do princípio da superposição: a força sobre uma partícula exercida por sua vizinhança é a soma das forças exercidas sobre ela pelos diversos corpos que formam a vizinhança Notemos que, pela primeira lei de Newton, uma partícula isolada tem aceleração nula. Usando a segunda lei obtemos que a força total sobre a partícula é nula. Portanto, o isolamento da partícula, sua distância infinita dos demais corpos do universo, pode ser descrita dizendo que ela não tem vizinhança e que a força total sobre ela é nula Terceira lei de Newton. A força sobre uma partículaiexercida por uma partículaj tem mesmo módulo, mesma direção e sentido oposto à força sobre a partícula j exercida pela partícula i. Em simbolos: F ij = F ji. (5) Qualquer uma dessas forças pode ser chamada ação e, neste caso, a outra é chamada reação; daí tal lei também ser denominada lei da ação e reação. Notemos que a terceira lei é uma reformulação da lei da proporcionalidade das acelerações de um par isolado usando a definição de força e o princípio da superposição As forças F i que aparecem na segunda lei de Newton (3) são funções F i do estado do sistema isolado, de modo que as equações (3) podem ser escritas como a i = 1 m i F i (r 1,r 2,...,r N ;v 1,v 2,...,v N ) (i = 1,...,N). (6) Elas estabelecem relações entre posições, velocidades e acelerações. Dizer que elas são leis de movimento significa que os movimentos possíveis do sistema são os que satisfazem essas relações, isto é, aqueles movimentos cujas posições, velocidades e acelerações, a cada instante, satisfazem às equações (6). Uma condição inicial para o sistema é a imposição de que ele deve estar num estado dado em um instante especifico chamado instante inicial. O estudo das equações (6) nos permitem concluir que, dentre os movimentos possíveis existe um, e somente um, que obedece uma dada condição inicial. Desse modo fica resolvido o problema de determinar o movimento de um sistema sob forças dadas. Esse problema geral é dificílimo de resolver, exceto em situações simples e idealizadas. 3

4 3. As leis de Newton para corpos 3.1 Seja um sistema S com n partículas; as demais partículas do sistema isolado formam o que chamamos vizinhança do sistema S. Força sobre o sistema S exercida por um corpo de sua vizinhança é a soma das forças exercidas pelo corpo sobre as partículas de S. Força externa total sobre o sistema S é a soma das forças exercidas sobre ele por todos os corpos de sua vizinhança. Cada força sobre o sistema exercida por um corpo da vizinhança é chamada uma força externa sobre o sistema. Em geral, há forças sobre as partículas des exercidas pelas próprias partículas de S; elas são chamadas forças internas de S. A soma de todas as forças internas de S é nula, pois elas se cancelam aos pares de ação e reação, como determinado pela terceira lei de Newton. A soma das massas das partículas des é chamada massa do sistema S. 3.2 Como veremos posteriormente, existe um ponto associado ao sistemas cuja aceleração a é dada pela equação a = 1 M Fex (i = 1,...,N), (7) na qualm é a massa des ef ex é a força externa total sobres. Tal ponto é chamado centro de massa do sistemas. No caso em que o sistemas é um corpo rígido, o centro de massa é rigidamente ligado ao corpo. Consequentemente, se o movimento do corpo rígido está restrito a translações, a aceleração a do centro de massa é igual à aceleração de cada partícula do corpo rígido. Por isso, nos referimos à essa aceleração como aceleração do corpo rígido. A partir da equação (7) procuramos usar a aceleração do corpo rígido para determinar seu movimento de translação. Denominamos (7) segunda lei de Newton para o corpo rígido em translação. As situações em que o movimento de rotação do corpo rígido é significativo serão estudadas posteriormente. 3.3 Sejam dois sistemass A es B. Usando a terceira lei de Newton, enunciada para partículas, obtemos facilmente que a força F AB sobre S A exercida por S B e a força F BA sobre S B exercida por S A obedecem à relação F AB = F BA. (8) Qualquer uma dessas forças pode ser chamada ação e, neste caso, a outra é chamada reação. Denominamos a relação entre elas lei da ação e reação entre corpos, ou terceira lei de Newton para corpos. Obviamente, ela é válida no caso particular de corpos rígidos. 4. Forças 4.1 A força gravitacional em uma partículaiexercida por uma partículaj é dada por F ij = G m im j r i r j 2 r i r j r i r j. (9) Notemos que essa força não depende de todas as variáveis do estado (r i,r j ;v i,v j ), mas apenas das posiçõesr i er j. Se a partículaj estiver na origem dos eixos coordenados, F ij = G m im j r 2 i ˆr i. (10) 4.2 Seja uma esfera homogênea de massa M e raio R centrada na origem dos eixos coordenados e uma partícula de massameposiçãor( r > R). A força gravitacional sobre a partícula exercida pela esfera é F = G mm r 2 ˆr. (11) 4

5 4.3 Seja o caso da esfera ser a Terra e a partícula manter-se próxima à sua superfície. Então, devemos fazer na fórmula anteriorm igual à massam da Terra er igual ao seu raio R. Denotando porpa força gravitacional sobre a partícula, obtemos ou onde P = G mm R 2 ˆr. (12) P = mg, (13) g = G M ˆr. (14) R 2 Substituíndo os valores numéricos para M e R, obtemos g = 9,8(N/kg)ˆr. Naturalmente, g aponta para o centro da terra. Chamamos P peso da partícula. Peso de um corpo é a soma dos pesos de suas partículas. 4.4 Seja uma mola ideal com uma extremidade fixa na origem e a outra presa em uma partícula que se move apenas no eixo OX. A força elástica exercida pela mola sobre a partícula é dada por F = k(x x 0 )i, (15) onde k é uma constante positiva característica da mola, chamada sua constante elástica, xi é a posição da partícula e x 0 é o comprimento natural da mola; a diferença x x 0 é chamada elongação da mola. Notemos que o estado do sistema constituído por partícula e mola é dado pelas posições e velocidades da partícula e de todas as partículas da mola. Entretanto, para molas ideais, as únicas que consideraremos, a força elástica é determinada apenas pela posição da partícula (e da partícula na extremidade da mola presa na origem). Uma característica essencial de molas ideais é ter massa desprezível. 4.5 Seja um fio com uma extremidade fixa na origem e a outra presa em uma partícula. O fio é uma espécie de mola que exerce sobre a partícula uma força elástica dependente da elongação do fio. No entanto, desejamos considerar fios ideais, que se caracterizam por terem massas desprezíveis e elongações imperceptíveis, que os caracterizam como inextensíveis. Nesse caso, a força do fio sobre a partícula não pode ser determinada totalmente pelo estado do fio, pois é um estado que muda imperceptívelmente. Essa força, chamada tensão do fio sobre a partícula, tem valor diferente de zero somente se o fio está tenso, tem a direção do fio, sentido compatível com o fio estar tenso e módulo determinável em cada problema particular por meio da condição do fio ser ideal. 4.6 Sejam dois corpos em contato em um ponto. Esse contato é caracterizado por forças de ação e reação entre os corpos perpendiculares às superfícies em contato e exercidas nas partículas em contato nas superfícies; cada uma dessas forças é chamada força normal (nesse contexto normal significa, simplesmente, perpendicular). Em princípio, a força normal é determinada pelo estado dos corpos deformados pelo contato. No entanto, desejamos considerar corpos que se caracterizam por deformações imperceptíveis, isto é, rígidos. Nesse caso a força normal de um corpo sobre o outro não pode ser determinada totalmente pelo estado dos corpos em contato. Sabemos que ela é perpendicular às superfícies de contato, tem sentido do corpo que exerce a força para o que sofre; seu módulo é determinável em cada problema particular por meio da condição dos corpos serem rígidos. No contato entre os corpos eles também exercem ações e reações perpendiculares às força normais, que chamamos forças de atrito. Se essas forças forem desprezívels as superfícies em contato são ditas perfeitamente lisas ou, simplesmente, lisas. 4.7 As superfícies de contato entre dois corpos têm um plano tangente comum no ponto de contato perpendicular às forças normais entre elas. No ponto de contato as superfícies podem ter movimento relativo com velocidades nesse plano (velocidades perpendiculares ao plano provocariam a perda de 5

6 contato); esse movimento é dito de deslizamento de um corpo sobre o outro; nesse caso, as forças de atrito entre os corpos são ditas de atrito cinético. Denotemos por A e B os corpos em contato, e por v AB a velocidade de deslizamento de A relativa a B. Resultados experimentais para superfícies secas de diversos tipos de corpos mostram que a força de atrito cinéticof AB emaexercida porb tem mesma direção e sentido oposto av AB e, além disso, tem módulo dado aproximadamente por: f AB = µ c N AB, (16) onde µ c é uma constante característica das superfícies em contato chamada coeficiente de atrito cinético (cinético se refere ao fato de que as superfíces de contato tem movimento relativo) e N AB é a força normal sobre o corpoaexercida pelob. 4.8 Se no ponto de contato entre os corpos não há movimento relativo das superfícies, as força de atrito entre eles são ditas de atrito estático. Seja f AB a força de atrito estático sobre A exercida por B. Ela tem módulo, direção e sentido a serem determinados em cada problema particular por meio da condição de ausência de movimento relativo. Além disso, o módulo f AB da força de atrito estático tem valor máximo µ e N AB, onde µ e é uma constante característica das superfícies em contato chamada coeficiente de atrito estático, isto é, f AB µ e N AB, (17) Se a condição de ausência de movimento relativo requer uma força de atrito maior do que o valor máximo, a condição não pode ser satisfeita, ocorre movimento relativo e o atrito torna-se cinético. 5. Método de solução de problemas de dinâmica 5.1 Desejamos determinar a aceleração de uma partícula ou, em geral, de um corpo rígido em translação. O primeiro passo para isso é identificar claramente o corpo em questão. 5.2 Em seguida determinamos os corpos que influenciam o movimento do corpo identificado, isto é, que formam a vizinhança do corpo identificado. A determinação da vizinhança é feita a partir de dados experimentais sobre o corpo identificado e a vizinhança. 5.3 Cada parte da vizinhança determina uma força sobre o corpo identificado e cada força sobre o corpo identificado é exercida por alguma parte da vizinhança. Nenhuma força pode ser levada em conta se não for proveniente de alguma parte da vizinhança. Em particular não levamos em conta as forças exercidas pelo próprio corpo identificado, sejam elas exercidas sobre a vizinhança, seja elas exercidas sobre ele mesmo; essa últimas são forças internas do corpo identificado. Para explicitar a geometria das forças externas sobre o corpo identificado fazemos um diagrama vetorial das forças, sejam aplicadas em um único ponto, seja aplicadas nas partículas do corpo em que agem, conforme nosso interesse; um tal diagrama que podemos denominar diagrama do corpo identificado é também chamado diagrama do corpo livre. 5.4 Usando as forças externas sobre o corpo identificado, aplicamos a segunda lei de Newton para determinar a aceleração do corpo e, a partir dela, seus movimentos possíveis. As forças que por hipóteses simplificadoras não forem dadas em função do estado do sistema isolado, tais como tensões e normais, também são incógnitas relevantes. 5.6 Pode ser conveniente ou necessário considerar o movimento de vários corpos identificados. Nesse caso as forças de ação e reação entre os diferentes corpos tornam-se importantes e também a 3a lei de Newton deve ser usada. 6