NILO AMÉRICO FONSECA DE MELO

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1 DESENVOLVIMENTO DE UM MODELO DE ARMAZENAMENTO DINÂMICO DE DADOS PARA RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES ESPARSOS E SEU USO EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO NÃO LINEARES NILO AMÉRICO FONSECA DE MELO UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE - UENF CAMPOS DOS GOYTACAZES - RJ NOVEMBRO - 22

2 DESENVOLVIMENTO DE UM MODELO DE ARMAZENAMENTO DINÂMICO DE DADOS PARA RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES ESPARSOS E SEU USO EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO NÃO LINEARES NILO AMÉRICO FONSECA DE MELO Tese apresentada ao Centro de Ciências e Tecnologia da Universidade Estadual do Norte Fluminense, como parte das eigências para obtenção de título de Doutor em Ciências de Engenharia. Orientador: Prof. José Ramón Arica Chávez CAMPOS DOS GOYTACAZES - RJ NOVEMBRO - 22 ii

3 Ficha catalográfica feita na Biblioteca do CCT UENF MELO, Nilo Américo Fonseca. Desenvolvimento de um Modelo de Armazenamento Dinâmico de Dados para Resolução de Sistemas Lineares Esparsos e seu uso em Problemas de Otimização Não Lineares. / Nilo Américo Fonseca de Melo -- [ Campos dos Goytacazes ], 22., 174 f., enc.; 3 cm (CCT/UENF, D. Sc. Ciências de Engenharia - Engenharia de Produção, 22). Tese - Universidade Estadual do Norte Fluminense, CCT. Bibliografia: f Matrizes Esparsas. 2.Problemas Lineares Esparsos. 3. Programação não Linear. I. UENF.CCT II. Título. CDD iii

4 DESENVOLVIMENTO DE UM MODELO DE ARMAZENAMENTO DINÂMICO DE DADOS PARA RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES ESPARSOS E SEU USO EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO NÃO LINEARES NILO AMÉRICO FONSECA DE MELO Tese apresentada ao Centro de Ciências e Tecnologia da Universidade Estadual do Norte Fluminense, como parte das eigências para obtenção de título de Doutor em Ciências de Engenharia. Aprovada em 21 de novembro de 22. Comissão Eaminadora Prof. Carlos Alberto de Jesus Martinhon (Doutor, Eng. Sistemas) - UFF Prof. Geraldo Galdino de Paula Junior (Doutor, Eng. Sistemas) - UENF Profª. Gudelia Morales (Doutora, Eng. Sistemas) - UENF Prof. José Ramón Arica Chávez (Doutor, Eng. Sistemas) UENF Orientador iv

5 DEDICATÓRIA À minha filha Mariana. À minha companheira Éria. Aos meus pais, avós, irmãos e irmãs. v

6 AGRADECIMENTOS Ao professor José Ramón Arica Chávez, meu orientador, pela dedicação, incentivo e amizade demonstrada ao longo de todo o desenvolvimento deste trabalho. Aos professores do LEPROD/CCT/UENF, pelo auilio vi

7 Resumo da Tese apresentada ao CCT/UENF como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências de Engenharia DESENVOLVIMENTO DE UM MODELO DE ARMAZENAMENTO DINÂMICO DE DADOS PARA RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES ESPARSOS E SEU USO EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO NÃO LINEARES Nilo Américo Fonseca de Melo 21 de Novembro de 22 Orientador: José Ramón Arica Chávez Área de Concentração: Engenharia de Produção Neste trabalho, desenvolvemos um modelo dinâmico de armazenamento de dados para matrizes esparsas onde serão guardados somente os elementos não nulos da matriz. Tal modelo utiliza o conceito de lista duplamente encadeada de ponteiros e é aplicado para a resolução de sistemas lineares esparsos utilizando o processo de Eliminação Gaussiana. O modelo desenvolvido tem como principal característica a capacidade de alterar o seu tamanho de acordo com a criação ou eliminação elementos, durante os cálculos computacionais. Técnicas de pivotamento são utilizadas para garantir uma escolha adequada do elemento pivô. O processo de pivotamento é constituído pelo intercâmbio de linhas e colunas da matriz, de acordo com critérios para tentar manter a esparcidade da matriz e a precisão dos resultados. Os conceitos anteriores são aplicados para o desenvolvimento de algoritmo para resolução de problemas de otimização não lineares esparsos, utilizando o método seqüencial quadrático. vii

8 Abstract of the Thesis submitted to the CCT/UENF in partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Sciences. DEVELOPMENT OF A MODEL OF DYNAMIC STORAGE OF DATA FOR RESOLUTION OF SPARSE LINEAR SYSTEMS AND HIS USE IN NO LINEAR OPTIMIZATION PROBLEMS Nilo Américo Fonseca de Melo November 21, 22. Chair of Committee: José Ramón Arica Chávez Major Subject: Industrial Engineering In this wor, we developed a dynamic model of data storage for sparse matri where only the non-zero elements of the matri will be ept. Such a model use the concept of double lined list of pointers and it is applied for the resolution of sparse linear systems using Gaussian Elimination process. The developed model has as main characteristic the capacity to alter his size in agreement with the creation or elimination of elements, during the computer calculations. Pivotal techniques are used to guarantee an appropriate choice of the element pivot. The pivotal process is constituted by the echange of lines and columns of the matri, in agreement with criteria trying to maintain the sparsity of the matri and the precision of the results. The previous concepts are applied for the algorithm development for resolution of sparse no linear optimization problems, using the quadratic sequential method. viii

9 SUMÁRIO CAPÍTULO I - INTRODUÇÃO Objetivo Estrutura do presente trabalho...2 CAPÍTULO II - EXPLORANDO ESPARCIDADE Formas de Eplorar a Esparcidade Forma Clássica Forma Orientada a computador...5 CAPÍTULO III - MODELOS DE ARMAZENAMENTO Um Modelo Simples de Armazenagem de Dados Um Modelo de Armazenamento Dinâmico (Zlatev 1991) Armazenamento dos preenchimentos Procedimento de Coleta de Lio ( Garbage Collection ) Espaços Livres O uso de Lista Encadeada no modelo de armazenamento dinâmico Outros Modelos de Armazenamento Conceitos Preliminares Variáveis O Tipo Ponteiro da Linguagem Pascal Listas Lineares Encadeamento de Listas O Modelo de Armazenamento Proposto O cálculo da Eliminação Gaussiana no modelo proposto...52 CAPÍTULO IV - ESTRATÉGIAS DE PIVOTAMENTO Pivotamento para Matrizes Densas...67 i

10 4.2 Conceitos básicos para construção de estratégias de pivotamento para matrizes esparsas Grupo 1: Estratégias de pivotamento com mudanças a priori Grupo 2: Estratégias de pivotamento baseadas no uso da função de custo de Marowitz Grupo 3: Estratégias de pivotamento baseadas em uma minimização local de preenchimentos Escolha da estratégia de Pivotamento...89 CAPÍTULO V - MÉTODO SEQÜENCIAL QUADRÁTICO Descrição do Método MSQ Algoritmo Seqüencial Quadrático Básico (PSQ) Etensão do algoritmo básico PSQ incluindo Restrições de Desigualdade Função de Mérito Algoritmo de solução...13 CAPÍTULO VI TESTES E RESULTADOS NUMÉRICOS CAPÍTULO VII - CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANEXOS

11 SIGLAS CN Column Number (Número da Coluna) EG Eliminação Gaussiana FPO Fluo de Potência Ótimo CL Coleta de Lio K.K.T. Karush-Kuhn-Tucer MSQ Método Seqüencial Quadrático NZ Número de Elementos não Nulos (Non Zero) PSQ - Programação Seqüencial Quadrática RN Row Number (Número da Linha) i

12 1 CAPÍTULO I INTRODUÇÃO Eistem vários problemas que a sua formulação matemática envolve a resolução de grandes sistemas de equações lineares, do tipo A = b, onde muitos elementos da matriz A são nulos. Estes problemas são chamados de problemas de Grande Porte Esparsos. Eistem técnicas específicas para o armazenamento e a realização dos cálculos para evitar a manipulação destes elementos nulos. Uma classe de problemas que pode ser usada como eemplo de problemas de grande porte esparsos é a classe dos problemas de otimização de fluo em rede, onde podemos destacar os seguintes eemplos: Fluo de petróleo em uma rede composta de tubulações, poços e pontos de entrega; Fluo de informações em uma rede de computadores; Fluo de energia elétrica em uma rede composta de geradores, consumidores e cabos de transmissão. O problema de otimização do fluo de energia elétrica(carpentier-1962), também conhecido como Problema de Fluo de Potência Ótimo (FPO), foi a principal motivação para o desenvolvimento do modelo de armazenamento e o método de resolução de sistemas lineares de equações com matrizes esparsas, assim como

13 2 sua aplicação na resolução de problemas não lineares esparsos de grande porte aqui apresentados Objetivo O presente trabalho tem como objetivo o desenvolvimento e implementação de um modelo de armazenamento e de um algoritmo para resolver sistemas de equações lineares esparsos ( A = b ) utilizando esta estrutura, desenvolvendo-se, também, um método para resolução de problemas de otimização não lineares esparsos. O método utilizado neste trabalho para solução de problemas de programação não linear é baseado no Método Seqüencial Quadrático (MSQ). Neste método, o problema de programação não linear é resolvido através da formulação de uma seqüência de subproblemas quadráticos cujas soluções convergem a um ponto que satisfaz as condições de Karush-Kuhn-Tucer (K.K.T.) do problema original. 1.2 Estrutura do presente trabalho Neste trabalho, apresentamos o desenvolvimento de um modelo de armazenamento e um método para resolver sistemas de equações lineares, bem como a sua aplicação na implementação de um algoritmo para solução de problemas de otimização não lineares de grande porte utilizando o Método Seqüencial Quadrático. Está organizado em sete capítulos assim distribuídos: Capítulo 1: introdução. Capítulo 2: descreve as formas de eplorar a esparcidade (a Forma Clássica e a Forma Orientada a Objeto).

14 3 Capítulo 3: apresenta e compara vários modelos de armazenamento e manipulação de dados para matrizes esparsas, desenvolvendo-se um novo modelo baseado nas vantagens dos modelos apresentados. Capítulo 4: apresenta e compara as técnicas de pivotamento para matrizes esparsas. Capítulo 5: descreve o Método Seqüencial Quadrático e aplica o modelo de armazenamento de dados desenvolvido no capítulo 3 e as técnicas de pivotamento mostradas no capítulo 4 para adaptar tal método para o caso de problemas esparsos. Capítulo 6: detalha os resultados computacionais obtidos com a implementação aplicada a alguns problemas testes. Capítulo 7: discute as conclusões e as recomendações para o aprimoramento do algoritmo apresentado.

15 4 CAPÍTULO II EXPLORANDO ESPARCIDADE Seja A R mn (m n, m Ν, n Ν, ran( A) = n) uma matriz comum, ou seja, A não tem nenhuma propriedade ou estrutura especial (A não é necessariamente simétrica ou definida positiva). A matriz A é chamada de esparsa se muitos elementos aij A ( i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n) são iguais a zero. Nestes casos, o tempo computacional e o espaço necessário para o armazenamento dos dados do problema podem ser reduzidos quando alguma técnica de esparcidade é eplorada. Mais ainda: vários problemas esparsos só poderão ser resolvidos com sucesso se a esparcidade for eplorada. 2.1 Formas de Eplorar a Esparcidade Nos casos em que nenhuma propriedade particular da matriz eistem duas diferentes formas de tratar a esparcidade de uma matriz: é eplorada, - A forma clássica; - A forma orientada à computação.

16 Forma Clássica Na forma clássica de eplorar a esparcidade, tenta-se armazenar somente elementos não nulos na memória do computador e trabalhar somente com estes elementos durante os cálculos computacionais. Algumas variações da definição anterior podem ser encontradas em muitas aplicações. Por eemplo: além dos elementos nulos, em algumas aplicações evitam-se armazenar alguns elementos não nulos, como no caso dos elementos da diagonal principal da matriz triangular inferior L que se tornarão iguais a 1 durante o processo de Eliminação Gaussiana (EG). Deve-se ainda enfatizar que alguns elementos não nulos podem se tornar iguais a zero, durante os cálculos computacionais. Tais elementos são normalmente mantidos na memória do computador, quando utilizamos a forma clássica de eplorar a esparcidade. Isto significa que iremos trabalhar com alguns elementos nulos durante os cálculos computacionais o que implica um acréscimo no tempo computacional e no espaço necessário para o armazenamento dos dados. É evidente que a forma clássica de eplorar a esparcidade é influenciada pela precisão dos cálculos, onde os elementos da matriz (especialmente os elementos nulos) serão calculados utilizando aritmética eata e, mais ainda, todos os cálculos necessários durante o processo de solução do sistema serão eecutados da mesma maneira Forma Orientada a computador Na forma orientada a computador de eplorar a esparcidade, evita-se trabalhar com elementos não nulos de pequena magnitude. Torna-se óbvio que é preciso definir um critério apropriado para determinar se um elemento deve ser desprezado. Em geral, a definição de tal critério não é feita tão facilmente. Por

17 6 outro lado, algumas classes de problemas esparsos somente poderão ser tratadas nos computadores atuais se for utilizada a forma orientada à computação. Quando utilizamos computadores de aritmética aproimada, os cálculos computacionais não serão efetuados utilizando a aritmética eata. Nestes casos, elementos não nulos são produzidos enquanto cálculos eatos produziriam elementos nulos. Para ilustrar as afirmações anteriores, considere a solução do seguinte sistema de equações algébricas: nn n1 n1 A=b ( A R, b R, R, ran( A) = n) (2.1) Para resolver tal sistema iremos utilizar um processo conhecido como Eliminação Gaussiana (EG) onde os elementos da matriz A serão decompostos em duas matrizes triangulares n n L R n n U R processo EG são baseados nas seguintes fórmulas: e. Os cálculos efetuados durante o a = a - a (a ( s+ 1 ) ( s ) (s) (s) 1 ij ij is ss ) a ( s ) sj, s = 1,2,...,n - 1, i, j = s + 1, s + 2,...,n, (2.2) ( s ) (1) ass, aij = aij A, i, j = 1,2,...,n onde: s - estágio do processo de Eliminação Gaussiana já eecutado. Os elementos da matriz triangular inferior L são dados por: ( j ) aij =, j = 1,2,...,n - 1, i = j + 1, j 2,...,n (2.3) ( j a l ij + ) jj l ii = 1, i = 1,2,...,n, (2.4) l ij =, j = 2,3,...,n, i = 1,2,..., j - 1 (2.5)

18 7 Os elementos da matriz triangular superior U são dados por: u a ijs ( ) ij =, i = 1,2,...,n, j = i,i + 1,...,n, (2.6) u ij =, i = 2,3,...,n, j = 1,2,...,i - 1 (2.7) Pode-se observar de 2.2 que elementos ( s a 1 ) ij + podem ser não nulos apesar de ( s ) ( s ) ( ) a ij serem iguais a zero. Isto acontece quando is e a s sj são não nulos. O ( elemento a criado durante os cálculos da EG, enquanto s ) =, é conhecido ( s+ 1 ) ij como preenchimento ( fill-in ). a a ij Se os cálculos forem eecutados usando aritmética eata, então o produto LU será igual à matriz A. Contudo, geralmente os cálculos são eecutados com erros de arredondamento, desta forma temos: n L U = A + E, E R n (2.8) A matriz E é chamada de matriz de perturbação e contém a correção dos erros de arredondamentos gerados nos cálculos. Técnicas de pivotamento são normalmente utilizadas no intuito de tentar manter os elementos da matriz E os menores possíveis e tentar diminuir o número de preenchimentos durante os cálculos. Quando a aritmética aproimada é utilizada, então o ( s+1 ) a ij pode ser um elemento não nulo até mesmo quando o valor eato de ( s ) a 1 ij + deveria ser igual a zero (ou, em outras palavras, preenchimentos podem ser produzidos também por causa de erros computacionais, erros de arredondamento). Isto significa que se aplicarmos a forma orientada a computador então poderemos obter fatores L e U mais densos do que os obtidos com utilização da aritmética eata.

19 8 É óbvio que se o valor eato de ( s a 1 ) ij + é zero, enquanto o valor calculado é diferente de zero, então espera-se que o valor calculado seja, de alguma forma, pequeno. Desta forma poderá ser vantajoso atribuir valores nulos a ( s ) a + 1 ij quando estes forem menores do que um parâmetro definido. Isto significa que pequenos elementos serão removidos da memória do computador e não serão envolvidos nos cálculos. Estes elementos serão ditos eliminados ( dropped ) durante a EG. A maneira mais simples de eliminar um elemento poderá ser descrita a seguir. Seja T um número não negativo. Então um elemento obtido durante EG é considerado pequeno e desprezado se: ( s+1 ) aij T (s = 1,2,...,n - 1, i = s + 1,s + 2,...,n, j = s + 1,s + 2,...,n) (2.9) O parâmetro T, usado no critério acima, é chamado de tolerância de eliminação. Torna-se claro que a aplicação de uma tolerância de eliminação nos cálculos computacionais poder á conduzir a fatores imprecisos L e U. Então, se isto acontecer, uma aproimação = ( LU ) b da solução eata = A b será, normalmente, imprecisa. Algumas vezes é necessário tentar recuperar a precisão perdida pela eliminação e isto pode ser feito por um processo de refinamento iterativo conforme pode ser observado a seguir: r i 1 = b Ai, di = ( LU ) ri, i+ 1 = i + d, i i = 1,2,..., p - 1 (2.1) onde: r i vetor de resíduos; d i vetor de correções; p número de iterações definido por algum critério apropriado de parada, ver r i i Stewart (1973), Voevodin (1977), Wilinson (1963 e 1965);

20 9 A partir de uma solução aproimada 1 poderá ser calculada uma solução mais próima da solução eata, usando um critério de parada apropriado. Se a tolerância de eliminação T é suficientemente grande, então os fatores calculados L e U serão geralmente esparsos e algumas vezes mais esparsos do que os fatores calculados utilizando a forma clássica (sem a retirada de pequenos elementos). A forma clássica de eplorar a esparcidade poderá ser considerada como um caso particular da forma orientada a computação, obtida quando consideramos T = e aceitando a primeira aproimação 1 como solução final. Se um fator de eliminação T grande é utilizado na forma orientada à computação, então se espera que o armazenamento seja reduzido, porque muitos elementos serão desconsiderados durante os cálculos computacionais. Conseqüentemente, o cálculo computacional também será reduzido, isto porque a redução do tempo computacional para realizar a Eliminação Gaussiana é normalmente maior do que o aumento do tempo computacional gasto com acréscimos de iterações, com o refinamento interativo necessário para recuperar a precisão perdida com um fator de dropped T grande. Contudo, é bastante claro que a redução tanto do armazenamento quanto do tempo computacional será alcançada somente quando duas condições a seguir forem satisfeitas: - Muitos elementos serão retirados durante a EG. - O processo de refinamento iterativo é convergente e a taa de convergência é suficientemente rápida. Se estas duas condições não forem satisfeitas, é preferível utilizar a forma clássica. Eemplos comparando a forma clássica com a forma orientada a computação podem ser observados em Zlatev (1991), onde algumas formas de tratar a esparcidade são comparadas pelo espaço necessário para o armazenamento dos elementos dos fatores L e U e tempo computacional gasto nos cálculos. Os resultados lá encontrados demonstram que, para algumas classes de

21 1 matrizes, a forma clássica é mais eficiente do que a forma orientada à computação. Contudo, eistem classes de matrizes em que a forma orientada à computação consegue melhores resultados do que a forma clássica, ressaltando que alguns problemas esparsos somente podem ser tratados nos computadores atuais quando a forma orientada à computação é utilizada com um critério apropriado de eliminação T para eliminação de pequenos elementos não nulos.

22 11 CAPÍTULO III MODELOS DE ARMAZENAMENTO Nos casos de problemas com matrizes esparsas, uma questão importante na implementação de códigos computacionais é determinar a forma em que os elementos não nulos da matriz serão armazenados na memória do computador. Um modelo eficiente de armazenamento deve satisfazer a algumas eigências onde podemos destacar: - A redução da quantidade de informação a ser armazenada; - A simplicidade do modelo de armazenamento sob o ponto de vista do usuário; - A eficiência na eecução de diferentes operações básicas de Álgebra Linear; Tais eigências trabalham em direções opostas, sendo uma tarefa difícil encontrar um modelo que atenda, de forma satisfatória, tais requisitos. Eistem vários modelos de armazenamento dos elementos não nulos de uma matriz esparsa. seguir: Um modelo de armazenamento, observado em ZLATEV (1991), é descrito a

23 Um Modelo Simples de Armazenagem de Dados Seja uma matriz A esparsa e seja NZ o número de elementos não nulos de A. As informações sobre os elementos não nulos de A serão armazenados inicialmente em três vetores: um de números reais AORIG e dois de números inteiros RNORIG e CNORIG, de tamanho no mínimo igual a NZ. A notação usada nos nomes dos vetores será eplicada a seguir: - A letra A, utilizada no primeiro vetor, refere-se ao fato de que os elementos não nulos da matriz A serão armazenados no primeiro vetor. - RN é a abreviatura de Row Number (número da linha) e refere-se ao fato de que os números das linhas dos elementos da matriz A serão armazenados no vetor RNORIG. - CN é a abreviatura de Column Number (número da coluna) e refere-se ao fato de que os números das colunas dos elementos da matriz A serão armazenados no vetor CNORIG. - ORIG é a abreviatura de Original e refere-se ao fato de que os três vetores mencionados anteriormente (AORIG, RNORIG e CNORIG) irão armazenar os elementos não nulos da matriz original A, os seus números de linhas e seus números de colunas, respectivamente. Um dos modelos mais simples de armazenamento consiste no armazenamento dos elementos da matriz A nas primeiras NZ posições do vetor AORIG, sendo que a ordem em que estes serão estocados é arbitrária. Contudo, se um elemento a ij da matriz A é armazenado na posição K ( 1 K NZ ),ou seja, AORIG(K)= a ij, então os elementos da posição K dos vetores RNORIG e CNORIG deverão conter a linha e a coluna deste elemento: RNORIG(K)=i e CNORIG(K)=j. Somente os elementos não nulos da matriz A junto com o número de suas linhas e colunas serão armazenados nos vetores AORIG, RNORIG e CNORIG, respectivamente.

24 13 O modelo de armazenamento apresentado anteriormente pode ser utilizado em operações em que os elementos da matriz A permanecem inalterados durante operações básicas de álgebra linear. Operações deste tipo são ditas estáticas e o modelo de armazenamento para tais operações é também conhecido como modelo de armazenamento estático. Alguns eemplos de operações estáticas podem ser observados a seguir: - Cálculo do produto entre vetores e matrizes; - Cálculo do vetor residual do processo de refinamento iterativo ( r = b A ); - Cálculo da norma um de uma matriz; - Cálculo da Ma-norma de uma matriz. Se os elementos da matriz A variam durante a eecução de operações de álgebra linear, tais operações são ditas dinâmicas. Algumas operações dinâmicas que não produzem novos elementos não nulos (preenchimentos), conhecidas como operações simplesmente dinâmicas, podem ser eficientemente eecutadas utilizando o modelo de armazenamento apresentado anteriormente. Dentre estas operações podemos destacar: - Multiplicação de um vetor por uma constante; - Escalonamento de uma matriz. Contudo, algumas operações algébricas importantes não podem ser eecutadas utilizando o modelo de armazenagem descrito anteriormente. Dentre estas podemos ressaltar: - Eliminação Gaussiana; - Transformações Ortogonais. Normalmente, tais operações transformam alguns elementos nulos em elementos não nulos durante os cálculos, isto é, poderão aparecer preenchimentos

25 14 durante a performance destas operações, alterando o padrão de esparcidade da matriz. Estas operações são conhecidas como operações essencialmente dinâmicas. Nas operações onde os elementos não variam (operações estáticas) ou em que os elementos variam sem alteração do padrão de esparcidade (operações simplesmente dinâmicas), os modelos de armazenamento estático, como o apresentado anteriormente, são largamente utilizados pela sua simplicidade. Contudo, nas operações essencialmente dinâmicas, é necessário um modelo de armazenamento que facilite a inclusão de novos elementos imediatamente após a produção dos mesmos, ao qual denominamos dinâmico e será descrito a seguir. 3.2 Um Modelo de Armazenamento Dinâmico (Zlatev 1991) Durante operações de Álgebra Linear essencialmente dinâmica, preenchimentos poderão aparecer independente do algoritmo utilizado. O modelo de armazenamento deve facilitar o armazenamento destes elementos e, conseqüentemente, auiliar no próprio cálculo visando à redução do tempo computacional. Para facilitar a eplanação iremos considerar durante todo o trabalho a utilização da Eliminação Gaussiana como método de resolução de um sistema linear de equações do tipo: A = b, R n 1, A m n m 1 R, b R, m n, ran(a) = n, (3.1) Assuma que o modelo de armazenamento estático apresentado na Seção 3.1 é inicialmente utilizado para estocar os elementos da matriz A. Em outras palavras, os elementos da matriz A serão armazenados nas primeiras NZ posições do vetor de elementos reais AORIG, enquanto o número da linha e da coluna de cada elemento será armazenado nas posições correspondentes aos vetores de elementos inteiros

26 15 RNORIG e CNORIG, respectivamente. Considere como eemplo a seguinte matriz A com 12 elementos não nulos (NZ=12): A = (3.2) teremos: Usando o modelo de armazenamento estático anteriormente mencionado, Posição Vetor AORIG RNORIG CNORIG (3.3) Podemos observar que os elementos são armazenados sem obedecer a nenhuma ordem específica. O modelo de armazenamento dinâmico de Zlatev irá usar uma rotina de ordenação que, a partir do modelo estático apresentado anteriormente, irá reordenar os elementos dos vetores AORIG, RNORIG e CNORIG para realizar a Eliminação Gaussiana de forma eficiente, utilizando os seguintes vetores e matrizes: - ALU(NN) vetor de elementos reais de dimensão NN. Neste vetor encontraremos os elementos não nulos da matriz A, sendo que estes serão ordenados pelas linhas em que se encontram, ou seja, primeiro serão armazenados os elementos da primeira linha, em seguida serão armazenados os elementos da segunda linha e assim por diante. Os elementos não nulos da matriz A serão armazenados nas primeiras NZ posições;

27 16 - CNLU(NN1) vetor de elementos inteiros de dimensão NN1, onde será armazenado o número das colunas dos elementos do vetor ALU na mesma posição em que estes se encontram, ou seja, se um elemento a ij A é armazenado na posição K de ALU (ALU(K) = a ), onde 1 K NZ, então o número da coluna deste elemento será armazenado na posição K do vetor CNLU (CNLU(K) = j). ij - RNLU(NN) vetor de elementos inteiros de dimensão NN, onde serão armazenados os números das linhas dos elementos não nulos da matriz A ordenados por coluna, ou seja, primeiro serão armazenados os números das linhas dos elementos não nulos da primeira coluna, em seguida serão armazenados os números das linhas dos elementos não nulos da segunda coluna, e assim por diante. - HA(NHA,11) matriz de elementos inteiros de NHA linhas e 11 colunas, onde serão armazenadas informações adicionais para eecução da EG. As três primeiras colunas da matriz HA contêm informações sobre os vetores ALU e CNLU, sendo que a primeira coluna informa a posição no vetor ALU onde está armazenado o primeiro elemento não nulo da linha, ou seja, HA(i,1) contém a posição no vetor ALU do primeiro elemento não nulo da linha i. A terceira coluna informa a posição no vetor ALU onde está armazenado o último elemento não nulo da linha, ou seja, HA(i,3) contém a posição no vetor ALU do último elemento não nulo da linha i. A segunda coluna informa a posição do elemento que será comparado e calculado durante o estágio s da EG. Esta coluna inicia com a posição do primeiro elemento não nulo da linha e ao final do estágio esta coluna deverá mostrar as linhas da matriz A que ainda serão utilizadas na EG ( parte ativa das linhas da matriz A). As três colunas seguintes da matriz HA contêm informações sobre o vetor RNLU. A quarta coluna informa a posição no vetor RNLU onde está armazenado o número da linha do primeiro elemento não nulo da coluna em questão, ou seja, HA(i,4) contém a posição no vetor RNLU onde está armazenado o número da linha do primeiro elemento não nulo da coluna i. A seta coluna informa a posição no vetor RNLU onde está armazenado o número da linha do último elemento não nulo da coluna em questão, ou seja, HA(i,6) contém a

28 17 posição no vetor RNLU onde está armazenado o número da linha do último elemento não nulo da coluna i. A quinta coluna informa a posição do elemento que será comparado e calculado durante o estágio s da EG. Esta coluna inicia com a posição do número da linha do primeiro elemento não nulo da coluna e ao final do estágio esta coluna deverá mostrar as colunas da matriz A que ainda serão utilizadas na EG ( parte ativa das colunas da matriz A). As demais colunas da matriz HA contêm outras informações para facilitar a eecução da EG. Os parâmetros NN, NN1, NHA são tais que NN NZ, NN1 NZ e NHA N, onde NZ é o número de elementos não nulos da matriz A e N=n é a ordem da matriz A. Normalmente, os parâmetros NN e NN1 são maiores do que NZ, reservando espaços livres para o armazenamento de elementos nulos que, durante o cálculo, se tornaram não nulos (preenchimentos). O modelo de armazenamento dinâmico, descrito anteriormente, consiste em dois grupos de vetores. No primeiro grupo de vetores os elementos da matriz A, juntamente com os seus números de colunas, são ordenados pelas linhas nos vetores ALU e CNLU, sendo que a informação do primeiro e do último elemento de cada linha é armazenada nas três primeiras colunas da matriz HA. Os vetores ALU e CNLU, juntamente com as três primeiras colunas de HA, são conhecidos como Lista Ordenada por Linhas ou Estrutura Orientada por Linha. No segundo grupo de vetores, os números das linhas dos elementos da matriz A são ordenados pelas colunas no vetor RNLU, a informação do primeiro e do último elemento de cada coluna é armazenada nas três próimas colunas da matriz HA. O vetor RNLU, juntamente com as quarta, quinta e seta colunas de HA, é conhecidos como Lista Ordenada por Colunas ou Estrutura Orientada por Coluna Para eemplificar, considere a matriz (3.2) e os vetores AORIG, RNORIG e CNORIG da Tabela (3.3). A estrutura dinâmica correspondente seria a seguinte: POSIÇÃO ALU CNLU (3.4)

29 18 Nº LINHA Linha 1 Linha 2 Linha 3 Linha 4 Linha 5 Espaço Livre POSIÇÃO RNLU Nº COLUNA Coluna 1 Coluna 2 Coluna 3 Coluna 4 Coluna 5 Espaço Livre (3.5) LINHA COLUNA MATRIZ HA Informações sobre as posições iniciais e finais dos vetores ALU e CNLU Informações sobre as posições iniciais e finais dos vetores RNLU (3.6)

30 Armazenamento dos preenchimentos Conforme pode ser observado na seção anterior, o modelo de armazenamento dinâmico é muito mais compleo do que o modelo de armazenamento estático. A principal razão para utilizar o modelo dinâmico é a necessidade de armazenar os preenchimentos que irão surgir durante o processo de Eliminação Gaussiana ou outras operações de uma forma conveniente. O armazenamento de tais preenchimentos seria impossível se o modelo estático fosse utilizado. A seguir será eplicado como é feito o armazenamento destes preenchimentos utilizando um modelo dinâmico de armazenamento. Seja ( s ) aij um novo preenchimento criado na linha i e coluna j no estágio s de uma Eliminação Gaussiana(EG). A EG foi utilizada como eemplo, mas a mesma idéia pode ser aplicada para outras operações algébricas bastando que algumas modificações sejam feitas. O processo de armazenamento deste preenchimento é composto dos seguintes passos: 1. Fazer uma cópia dos elementos da linha i no espaço livre do vetor ALU, depois do último elemento armazenado; 2. Fazer uma cópia dos elementos correspondentes aos números das colunas dos elementos da linha i no espaço livre do vetor CNLU, depois do último elemento armazenado; 3. Atualizar o conteúdo das três primeiras colunas da linha i da matriz HA (HA(i,1), HA(i,2) e HA(i,3)). 4. Armazenar o novo elemento no final da cópia da linha i no vetor ALU e armazenar o número da coluna deste elemento na mesma posição no vetor CNLU. 5. A inclusão deste novo elemento no final da linha i irá provocar modificação do elemento HA(i,3), sendo necessário atualizar esta matriz.

31 2 6. As posições ocupadas, antes das operações acima, pelos elementos da linha i e pelos números de suas colunas são liberadas. Uma posição liberada é indicada colocando zero no vetor CNLU. Para eemplificar o processo descrito anteriormente, observe, passo a passo, as operações no estágio 1 da Eliminação Gaussiana da matriz (3.2). Neste estágio o elemento a 21 será eliminado e serão criados dois preenchimentos,nas colunas 4 e 5 da linha 2, conforme pode ser observado a seguir A = (3.7) Como o elemento a21 que estava armazenado na posição 3 da lista ordenada por linhas foi eliminado, o preenchimento gerado na coluna 4 da linha 2 pode ser armazena do nesta posição. POSIÇÃO ALU CNLU (3.8) Nº LINHA Linha 1 Linha 2 Linha 3 Linha 4 Linha 5 Espaço Livre Para o armazenamento do preenchimento criado na coluna 5 da linha 2 será preciso a realização de alguns passos: 1º passo: Criação de uma cópia da linha i no espaço livre dos vetores ALU e CNLU, depois do último elemento armazenado;

32 21 POSIÇÃO ALU CNLU Nº LINHA Linha 1 Linha 2 Linha 3 Linha 4 Linha 5 Cópia da Linha 2 Liv re (3.9) 2º passo: Atualizar matriz HA; LINHA COLUNA MATRIZ HA Informações sobre as posições iniciais e finais dos vetores ALU e CNLU Informações sobre as posições iniciais e finais dos vetores RNLU (3.1) 3º passo: Armazenar o preenchimento e o número de sua coluna nos vetores ALU e CNLU; POSIÇÃO ALU CNLU Nº LINHA Linha 1 Linha 2 Linha 3 Linha 4 Linha 5 Linha 2 (3.11) 4º passo: Atualizar o elemento HA(2,3); LINHA COLUNA MATRIZ HA Informações sobre as posições iniciais e finais dos vetores ALU e CNLU Informações sobre as posições iniciais e finais dos vetores RNLU (3.12)

33 22 5º passo: Liberar os espaços ocupados pelos antigos elementos nos vetores ALU e CNLU; POSIÇÃO ALU CNLU Nº LINHA Linha 1 Espaço Livre Linha 3 Linha 4 Linha 5 Linha 2 (3.13) O modelo de armazenamento é inicialmente compacto e ordenado. Contudo, a estrutura, geralmente, não permanece compacta após o início da EG. O que se mantém ainda compacta é a estrutura dentro de cada linha, ou seja, não eistem posições vagas entre dois elementos de uma mesma linha nos vetores ALU e CNLU. Podemos observar que os elementos das posições 4 e 5, que antes das operações da EG no estágio 1 eram ocupadas por elementos da linha 2, estão livres (o número dos elementos do vetor CNLU nestas posições é igual a zero). O fato de haver posições vagas entres as linhas depois do começo da EG indica que, antes de se fazer uma cópia da linha i no final da estrutura, pode ser vantajoso verificar se eiste posição vaga antes do primeiro (ou depois do último) elemento da linha i. Nestes casos o preenchimento é armazenado em uma destas posições vagas, a matriz HA é atualizada de forma conveniente. O número de cópias de linhas é normalmente reduzido quando se eplora posições livres antes do primeiro ou depois do último elemento das linhas como descrito anteriormente. Contudo, muitas cópias são realizadas, sendo que a capacidade dos vetores ALU e CNLU (NN e NN1) pode ser ecedida. Se isto acontecer, então é necessário compactar a estrutura destes dois vetores eecutando um procedimento chamado Coleta de Lio (CL), que será descrito na seção seguinte. Devemos enfatizar que, o fato de eplorar posições livres antes do primeiro e depois do último elemento da linha, irá reduzir, além do número de cópias das linhas, o número de procedimentos CL necessário para a EG. Este segundo efeito é freqüentemente mais importante e significativo do que a redução do número de cópias das linhas.

34 23 Um procedimento similar ao aplicado na lista ordenada por linhas (ALU, CNLU e as três primeiras colunas de HA) pode ser aplicado na lista ordenada por colunas (RNLU e quarta, quinta e seta colunas de HA) para acrescentar um preenchimento na estrutura, conforme pode ser descrito nos seguintes passos: 1. Fazer uma cópia dos elementos dos números das linhas dos elementos da coluna i no espaço livre do vetor RNLU, depois do último elemento armazenado; 2. Atualizar o conteúdo da quarta, quinta e seta colunas da linha i da matriz HA (HA(i,4), HA(i,5) e HA(i,6)). 3. Armazenar o novo elemento no final da cópia feita no vetor RNLU. 4. A inclusão deste novo elemento, no final da linha i, irá provocar modificação do elemento HA(i,6), sendo necessário atualizar esta matriz. 5. Liberar as posições ocupadas, antes das operações acima, pelos números das linhas no vetor RNLU (uma posição liberada é indicada colocando zero no vetor RNLU). Considerando ainda o estágio 1 da Eliminação Gaussiana da matriz (3.2), onde será criado um preenchimento no elemento a, podem-se observar, passo a passo, as alterações que o procedimento anterior irá provocar na lista ordenada por colunas. 24 1º passo: Criação de uma cópia dos números das linhas dos elementos da coluna 4 do vetor RNLU, depois do último elemento armazenado; POSIÇÃO RNLU Nº COLUNA Coluna 1 livre Coluna 2 Coluna 3 Coluna 4 Coluna 5 Cópia da Coluna 4 (3.14) Neste ponto pode-se observar que não eistem espaços livres no final da estrutura para o armazenamento do número da coluna do preenchimento que será

35 24 criado na segunda coluna, apesar deste espaço eistir no meio da estrutura. Será necessário compactar a estrutura para o armazenamento do preenchimento criado. 2º passo: Compactar a estrutura usando Coleta de Lio; POSIÇÃO RNLU Nº COLUNA Coluna 1 Coluna 2 Coluna 3 Coluna 4 Coluna 5 Cópia da Coluna 4 livre (3.15) 3º passo: Armazenar o preenchimento no final do vetor RNLU; POSIÇÃO RNLU Nº COLUNA Coluna 1 Coluna 2 Coluna 3 Coluna 4 Coluna 5 Cópia da Coluna 4 livre (3.16) 4º passo: Atualizar o elemento HA(4,6); LINHA COLUNA MATRIZ HA Informações sobre as posições iniciais e finais dos vetores ALU e CNLU Informações sobre as posições iniciais e finais dos vetores RNLU (3.17) 5º passo: Liberar os espaços ocupados pelos antigos elementos da coluna 4 no vetor RNLU;

36 25 POSIÇÃO RNLU Nº COLUNA Coluna 1 Coluna 2 Coluna 3 Espaço Livre Coluna 5 Cópia da Coluna 4 livre (3.18) Observando a criação do preenchimento no elemento a 25, pode-se observar que a lista ordenada por colunas e a matriz HA ficará da seguinte forma: POSIÇÃO RNLU Nº COLUNA Coluna 1 Coluna 2 Coluna 3 Espaço Livre Coluna 5 Coluna 4 (3.19) LINHA COLUNA MATRIZ HA Informações sobre as posições iniciais e finais dos vetores ALU e CNLU Informações sobre as posições iniciais e finais dos vetores RNLU (3.2) Conforme pôde ser observado na lista ordenada por linha, a lista ordenada por colunas também é compacta no início da EG, porém, geralmente, esta estrutura não permanece compacta após o início dos cálculos, ou seja, apesar de não eistirem posições vagas entre os elementos de uma mesma coluna, podem eistir posições vagas entre os elementos de duas colunas distintas. Como na lista ordenada por linhas, o número de cópias dos elementos de uma coluna para o final da lista pode ser reduzido, consideravelmente, quando as posições vazias no início e no fim de cada coluna são aproveitadas para a inclusão de um novo preenchimento. Contudo, muitas cópias podem ser ainda necessárias, o que pode eceder a capacidade do vetor RNLU. Se isto acontecer, então é necessário compactar novamente a estrutura, eliminando os espaços vagos entre as

37 26 colunas (procedimento de Coleta de Lio). Deve ser enfatizando que o aproveitamento de posições vazias no início e no fim de cada coluna pode não só reduzir o número de cópias das colunas, mas também o número de vezes em que o procedimento de Coleta de Lio será eecutado. Deve se ainda observar que os elementos pivôs a serão armazenados em ( s ) ss um vetor de números reais PIVOT de tamanho igual ou superior a N. As posições ocupadas pelo elemento pivô ( s a ss ) e por seus números de linha e coluna nos vetores ALU, RNLU e CNLU, respectivamente, serão liberados no início do estágio s da EG e poderão ser usados para armazenar preenchimentos. 3.4 Procedimento de Coleta de Lio ( Garbage Collection ) Quando um preenchimento ( s ) a ij é criado durante os cálculos da EG é necessário que partes dos vetores ALU e CNLU sejam copiados para o final destes vetores. Porém, se muitas cópias forem feitas pode não haver espaços suficientes para outras cópias. Por outro lado, podem eistir espaços livres entre elementos de diferentes linhas, isto porque depois dos elementos serem copiados para o final dos vetores, os espaços ocupados por estes serão liberados. Nestes casos, é necessária a compressão (compactação) da lista ordenada por linha, ou seja, eliminar espaços vagos no meio destas estruturas, criando, assim, espaços no final das listas e possibilitando que novas cópias necessárias sejam feitas. Este processo de compactação dos elementos das listas ordenadas é conhecido como Coleta de Lio (CL) ou Garbage Collection. Uma situação similar ocorre na lista ordenada por colunas. Quando um preenchimento é criado, partes do vetor RNLU serão copiadas para o final deste. Quando faltar espaço no final deste vetor, será necessário eecutar um processo de CL para compactar esta lista ordenada, possibilitando que novas cópias sejam feitas no final deste vetor. Para ilustrar o processo, considere que uma CL será feita em uma lista ordenada por linhas (vetores ALU e CNLU). Este processo será eecutado em dois

38 27 passos. No primeiro passo serão levantadas algumas informações para o segundo passo. O segundo passo será a compressão efetiva da estrutura em questão. Durante o primeiro passo, as posições dos primeiros elementos não nulos de cada linha são localizados no vetor ALU e marcados da seguinte forma: HA(i,1) = CNLU(HA(i,1)) e CNLU(HA(i,1)) = -i para i = 1, 2,..., N. O primeiro passo da CL na lista ordenada por linhas pode ser eecutado com compleidade de ordem N (O(N)), onde O(N) significa que o número de operações é definido por um polinômio onde a maior potência deste polinômio é N. No Eemplo (3.13), suponhamos que seja necessário fazer uma CL. Abaio podemos observar os vetores ALU e CNLU e a matriz HA antes e depois de ser eecutado o primeiro passo da CL. POSIÇÃO ALU CNLU Nº LINHA Linha 1 Espaço Livre Linha 3 Linha 4 Linha 5 Linha 2 Espaço Livre (3.19) LINHA COLUNA MATRIZ HA Informações sobre as posições iniciais e finais dos vetores ALU e CNLU Estrutura antes do primeiro passo da CL Informações sobre as posições iniciais e finais dos vetores RNLU

39 28 POSIÇÃO ALU CNLU Nº LINHA Linha 1 Espaço Livre Linha 3 Linha 4 Linha 5 Linha 2 Espaç o Livre (3.2) LINHA COLUNA MATRIZ HA Informações sobre as posições iniciais e finais dos vetores ALU e CNLU Informações sobre as posições iniciais e finais dos vetores RNLU Estrutura depois de fazer HA(i,1) = CNLU(HA(i,1)) POSIÇÃO ALU CNLU Nº LINHA Linha 1 Espaço Livre Linha 3 Linha 4 Linha 5 Linha 2 Espaço Livre (3.21) LINHA COLUNA MATRIZ HA Informações sobre as posições iniciais e finais dos vetores ALU e CNLU Informações sobre as posições iniciais e finais dos vetores RNLU Estrutura depois de fazer CNLU(HA(i,1)) = -i

40 29 Considere, agora, o segundo passo da CL. Seja NCNLU a última posição ocupada nos vetores ALU e CNLU (NCNLU NN, onde NN é o comprimento destes dois vetores). Considere a variável NEWPOS e assuma que NEWPOS = 1 no início do processo. Verifique os componentes CNLU(K) para K = 1, 2,..., NCNLU. Se CNLU(K) =, então a localização K está livre e nada é feito. Se CNLU(K) <, então uma nova linha começa na posição K do vetor ALU. Neste caso, os elementos armazenados na posição K dos vetores ALU e CNLU devem ser movidos para posição NEWPOS dos respectivos vetores. A matriz HA deve ser atualizada e a variável NEWPOS deve avançar para próima posição. As mudanças necessárias estão descritas abaio: ALU(NEWPOS) = ALU(K) CNLU(NEWPOS) = HA(-CNLU(K),1) HA(-CNLU(K),1) = NEWPOS HA(-CNLU(K),2) = NEWPOS + HA(-CNLU(K),2) K + 1 HA(-CNLU(K),3) = NEWPOS + HA(-CNLU(K),3) K + 1 NEWPOS = NEWPOS+1 (3.22) Se CNLU(K) > então, os elementos armazenados na posição K dos vetores ALU e CNLU devem ser movidos para posição NEWPOS dos respectivos vetores e a variável NEWPOS deve avançar para próima posição. Neste caso não é necessário atualizar a matriz HA. Tais mudanças podem ser observadas a seguir: ALU(NEWPOS) = ALU (K) CNLU(NEWPOS) = CNLU (K) NEWPOS = NEWPOS +1 (3.23) A seguir podemos observar os vetores ALU e CNLU e a matriz HA do Eemplo (3.13) depois de ser eecutado o segundo passo da CL.

41 3 POSIÇÃO ALU CNLU Nº LINHA Linha 1 Linha 3 Linha 4 Linha 5 Linha 2 Espaço Livre (3.24) LINHA COLUNA MATRIZ HA Informações sobre as posições iniciais e finais dos vetores ALU e CNLU Informações sobre as posições iniciais e finais dos vetores RNLU Estrutura depois de eecutar o 2º passo da CL No final deste processo, a estrutura estará totalmente comprimida e a última posição ocupada será NEWPOS 1. Neste caso, é esperado que tenhamos espaços livres suficientes no final da lista ordenada por linhas para se fazer a cópia da linha necessária, a qual não foi possível ser feita antes do início da CL (na verdade este foi o motivo de se realizar este processo de compactação). Se, mesmo depois do processo, não houver espaços livres suficientes no final da lista para a cópia de uma determinada linha, então, o programa deverá mandar uma mensagem de erro informando que o comprimento destes vetores é muito pequeno. A compleidade do segundo passo é de ordem NN (O(NN)), onde NN é o comprimento dos vetores ALU e CNLU. O processo de CL na lista ordenada por coluna é eecutado de forma semelhante. A única diferença significativa é que, durante o primeiro passo, as posições dos primeiros elementos contendo os números das linhas dos elementos não nulos de cada coluna são localizadas no vetor RNLU e marcadas da seguinte forma: RNLU(HA(j,4)) = -j e HA(j,4) = RNLU(HA(j,4)) para j = s, s+1,..., N (supondo que a CL deverá ser eecutada no estágio s).

42 31 No Eemplo (3.18) suponhamos que seja necessário fazer uma CL. Abaio podemos observar os vetores ALU e CNLU e a matriz HA antes e depois de ser eecutado o primeiro passo da CL. POSIÇÃO RNLU Nº COLUNA Coluna 1 Coluna 2 Coluna 3 Espaço Livre Coluna 5 Coluna 4 (3.25) LINHA COLUNA MATRIZ HA Informações sobre as posições iniciais e finais dos vetores ALU e CNLU Estrutura antes do primeiro passo da CL Informações sobre as posições iniciais e finais dos vetores RNLU POSIÇÃO RNLU Nº COLUNA Coluna 1 Coluna 2 Coluna 3 Espaço Livre Coluna 5 Coluna 4 (3.26) LINHA COLUNA MATRIZ HA Informações sobre as posições iniciais e finais dos vetores ALU e CNLU Informações sobre as posições iniciais e finais dos vetores RNLU Estrutura depois de fazer HA(j,4) = RNLU(HA(j,1))

43 32 POSIÇÃO RNLU Nº COLUNA Coluna 1 Coluna 2 Coluna 3 Espaço Livre Coluna 5 Coluna 4 (3.27) LINHA COLUNA MATRIZ HA Informações sobre as posições iniciais e finais dos vetores ALU e CNLU Estrutura depois de fazer RNLU(j) = -j Informações sobre as posições iniciais e finais dos vetores RNLU A seguir podemos observar o vetor RNLU e a matriz HA do Eemplo (3.18) depois de ser eecutado o segundo passo da CL. POSIÇÃO RNLU Nº COLUNA Coluna 1 Coluna 2 Coluna 3 Coluna 5 Coluna 4 Espaço Livre (3.28) LINHA COLUNA MATRIZ HA Informações sobre as posições iniciais e finais dos vetores ALU e CNLU Estrutura antes do primeiro passo da CL Informações sobre as posições iniciais e finais dos vetores RNLU