ALGUMAS CONSIDERAÇÕES SOBRE A TRAJETÓRIA DA DISCIPLINA DE ANÁLISE NO CURSO DE MATEMÁTICA DA UNESP DE RIO CLARO

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1 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES SOBRE A TRAJETÓRIA DA DISCIPLINA DE ANÁLISE NO CURSO DE MATEMÁTICA DA UNESP DE RIO CLARO Sílvio César Otero Garcia Universidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita Filho" silvioce@gmail.com Resumo: Essa pesquisa traz um panorama de como a disciplina de Análise foi incorporada historicamente ao curso de licenciatura em matemática da UNESP de Rio Claro, em outras palavras, como vêm se estruturando no que diz respeito aos seus objetivos, ementa e bibliografia. A metodologia de coleta de dados adotada, dentro da perspectiva de uma pesquisa qualitativa, é a análise de documentos. O estudo foi realizado através de grades curriculares, programas de disciplinas de Análise e Cálculo e diários de classe. Os resultados que obtivemos, em linhas gerias, mostraram que, os conteúdos trabalhados nos atuais cursos de Análise, bem como a sua seqüência, foram herdados dos primeiros cursos de Análise Matemática da década de cinqüenta e sessenta e não sofreram maiores transformações ao longo dos anos. Além disso, uma vez estabelecidas as disciplinas específicas de Análise na década de setenta, sua estrutura geral pouco se modificou até os dias de hoje. Palavras-chave: Análise Matemática; História da Matemática; História da Educação Matemática; Formação de Professores de Matemática. Introdução O modelo de licenciatura instituído no Brasil na década de trinta, o conhecido 3+1, constituía-se de três anos de formação específica e um ano de formação pedagógica, essa um conjunto de técnicas úteis para a transmissão do saber adquirido nos três primeiros anos. As mudanças ocorridas nas décadas de setenta, onde a formação do professor como educador é aprofundada, e oitenta, com a introdução das disciplinas integradoras aos currículos, não alteraram profundamente esse modelo, cuja essência ainda hoje é seguida pela maior parte das licenciaturas (GARNICA, 1997). As modificações propostas pelo Parecer CNE/CP 28/2001 e pelas Resoluções CNE/CP 01/2002 e CNE/CP 02/2002, que claramente apontam para a necessidade de se romper com o supracitado modelo, trouxeram (novamente) ao lume diversos discussões, dentre elas, a da formação específica do professor. Que conhecimentos avançados de uma disciplina devem ser conhecidos para se atuar em sala de aula? Em particular, que conhecimentos da chamada Matemática Acadêmica o futuro professor de Matemática deve 1

2 ter em sua formação inicial? Nosso objetivo aqui não é responder a essa questão, visto que o debate é bastante abrangente, entretanto, nossas inquietações estão em seu amálgama. Quando falamos em Matemática Acadêmica, falamos em disciplinas como Estruturas Algébricas, Espaços Métricos, Topologia e Análise. É sobre essa última que vamos nos debruçar. Qual o papel e a importância de uma disciplina de Análise para a atuação profissional do futuro professor de Matemática? Essa pergunta, de algum modo, está presente naquela outra que dissemos que não iríamos responder, apesar disso, é igualmente capciosa. Por que Análise Real na Licenciatura? Esse é o título do artigo de Moreira, Cury e Vianna (2005) e, é essencialmente a mesma questão que acabamos de colocar dita de outra forma. Nesse artigo os autores perguntam a trinta e um matemáticos de dezesseis das principais instituições universitárias ou de pesquisa do Brasil se a disciplina de Análise deveria ser obrigatória nos cursos de licenciatura em Matemática. Todas as respostas foram favoráveis. Talvez esse resultado não seja uma grande novidade, mas o que nos interessa de fato são as justificativas apresentadas. Essencialmente foram três, a disciplina de Análise: a) deve ser obrigatória por permitir ao licenciando um contato com a cultura matemática específica e por possibilitar o desenvolvimento do pensar matematicamente ; b) proporciona uma compreensão sólida e um aprofundamento de conceitos básicos da matemática escolar; c) desenvolve a percepção da matemática como um conjunto de conhecimentos que são úteis para se compreender melhor muitos fenômenos da natureza. Sobre a primeira classe de argumentos, os autores nos dizem que entre um professor de matemática da educação básica e um matemático profissional existem mais diferenças que semelhanças, pelo menos no que diz respeito a atuação profissional. Desse modo, a inclusão de disciplinas que desenvolvem concepções e práticas específicas de uma cultura matemática passa a ser discutível. Com relação a segunda, é perguntado: de que maneira tal compreensão e aprofundamento podem auxiliar o professor efetivamente na sua prática docente? Além disso, tratar o conhecimento da matemática avançada como condição indispensável para a formação de um bom professor de matemática reflete, de algum modo, a velha concepção do 3+1. Finalmente, os autores concordam com a percepção apresentada na terceira classe de argumentos, entretanto apontam que muitas outras disciplinas, como Cálculo, Equações Diferenciais ou Física, podem desenvolvê-la de uma forma até mais eficaz. 2

3 A pesquisa de Moreira, Cury e Viana (2005), assim, deixa claro que apesar de ser praticamente um consenso, a disciplina de Análise não tem atribuída a ela uma razão precisa que justifique a sua inserção nos currículos. Na realidade, acreditamos que um exame completo sobre a sua importância e relevância na formação do professor de Matemática abrangeria diversos outros estudos tais como: a) que conteúdos podem ser caracterizados como componentes da estrutura da disciplina; b) como as licenciaturas a têm trabalhado; c) qual o movimento existente na busca da separação dessa disciplina nos cursos de licenciatura e de bacharelado; d) como a aritmetização da Análise tem sido trabalhada, à luz da história, em cursos de licenciatura. E vários outros. Em todo caso, se o nosso objetivo for respondê-la, por onde começar? Certamente não são poucas as possibilidades. Acreditamos que um levantamento histórico que contemple a trajetória da disciplina de Análise, no que diz respeito a seus objetivos, conteúdo e bibliografia, em cursos de licenciatura em Matemática é um bom passo inicial e são os resultados de uma pesquisa com esse viés que ora apresentamos. Para isso, escolhemos como amostra o curso de Matemática da UNESP de Rio Claro. Realizamos a coleta e análise de grades curriculares e programas de disciplina do período de criação do curso até os dias atuais. Nessa, consideramos tanto as disciplinas cujos títulos traziam a palavra Análise quanto aquelas que tratavam de conceitos da Análise, essa a área da Matemática (no sentido atual). Sendo assim, nosso interesse também recaiu sobre disciplinas de Cálculo. Metodologia e Forma de Análise dos Resultados O nosso trabalho está inserido dentro da História da Educação Matemática (BARONI E NOBRE, 1999). Enquadra-se numa modalidade de pesquisa muito comum em Educação, denominada pesquisa qualitativa (ANDRÉ, 1995). Acreditamos ser essa adequada ao que nos propormos, pois não pretendemos apresentar uma visão única sobre o fato, mas sim levantar questões, trazer resultados, não sem, é claro, tomar um posicionamento pessoal. Existem três grandes grupos de metodologias para a coleta de dados em pesquisas qualitativas: a) a observação; b) o inquérito e c) a análise de documentos (BOGDAN e BYKLEN, 1994), (TUCKMAN, 2002). Adotamos a análise de 3

4 documentos como o nosso método de pesquisa central, isto é, os documentos são, por si só, o alvo de estudo. A nossa coleta foi realizada junto aos arquivos do curso de Matemática do Instituto de Geociências e Ciências Exatas da UNESP. A primeira etapa de nossa pesquisa foi entrar em contato com a sessão de graduação do referido instituto. Com informações obtidas nessa, encaminhamos um ofício à diretoria pedindo acesso a arquivos de interesse. Uma vez obtida tal autorização, iniciamos a coleta. Infelizmente, embora fosse esperado, nem todas as grades curriculares do curso foram encontradas, o mesmo se aplica aos programas de disciplinas. Para contornar esses problemas, coletamos também diários de classe. Relativamente a análise dos resultados, segundo Miles e Huberman (1994), essa é dividida em três: a) Redução dos dados; b) Apresentação dos dados; c) Conclusões. Seguimos essas etapas em nossa pesquisa. Primeiramente, não encontramos dificuldades no processo de redução, uma vez que nosso estudo documental é bastante dirigido e o foco da pesquisa está nas grades curriculares e nos programas da disciplina de Análise, ou em outros documentos que trouxessem as informações que procuramos. Desse modo, os documentos pesquisados por si só já foram os elementos que nos permitiram estabelecer as relações e obter as conclusões que desejamos. Com relação à apresentação, sabemos que essa, numa pesquisa qualitativa, pode ser feita de diversas formas, mas, como o nosso interesse, nessa etapa, é unicamente descritivo, procedemos apresentando uma análise da informação disponível e fornecendo uma visão de conjunto (FLORES, 1994). As conclusões foram obtidas durante todo processo de obtenção dos dados, redução e apresentação dos mesmos, uma vez que essas tarefas permitem que progressivamente se avance do descritivo para o explicativo e do concreto para o abstrato (FLORES, 1994). Salientamos, outrossim, que essa etapa não foi constituída apenas de uma justaposição das anteriores, na realidade, essas, bem como as conclusões obtidas no decorrer da pesquisa, foram o caminho para as nossas conclusões finais. Resultados da Pesquisa O curso de Licenciatura em Matemática da UNESP de Rio Claro começou a funcionar em 1959 na, então, Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Rio Claro posteriormente incorporada a UNESP em Em 1974 foi criada a licenciatura curta e 4

5 em 1975 a modalidade bacharelado, entretanto, a análise que realizamos diz respeito apenas a modalidade licenciatura plena. Entre 1959 e 1962, os futuros licenciandos tinham três anos de Análise Matemática, isso é, três disciplinas anuais consecutivas com esse nome, todas com carga horária semanal de seis horas, excetuando-se a do terceiro ano, com três. Essas disciplinas estavam sob responsabilidade das Cadeiras de Análise Matemática e Análise Superior, respectivamente. Posteriormente os nomes das disciplinas foram desvinculados aos nomes das cadeiras responsáveis. A estrutura de curso apresentada era basicamente a mesma do curso de Licenciatura em Matemática da PUC de Campinas, criado dezessete anos antes. Entretanto, ao contrário desse, os três cursos de Análise Matemática da UNESP tinham um forte apelo para o que hoje se chama de Análise, enquanto que os cursos da PUC, notadamente o do primeiro ano, eram mais parecidos com os atuais cursos de Cálculo (MAURO, 1999). Um motivo aparente para esse tratamento analítico no curso da UNESP é o seu objetivo na época: preparar profissionais de boa qualificação para trabalhar nas Universidades. A ementa da disciplina de Análise Matemática dada para o primeiro ano não difere muito dos cursos atuais de cálculo em uma variável e daqueles que tratam de séries e seqüências numéricas e de funções, a não ser, talvez, pela abordagem mais analítica, como dissemos anteriormente. Os conteúdos trabalhados iam de números reais a integrais impróprias, passando por alguns pontos como: infinitésimos e limites, derivada e diferencial, funções contínuas, fórmula de Taylor, aplicações geométricas e físicas da derivada, continuidade uniforme, seqüências e séries numéricas e de funções. Análise Matemática dada para o segundo ano continha conteúdos que normalmente hoje são vistos em disciplinas de cálculo em várias variáveis e equações diferenciais. Já para o terceiro ano, a disciplina tratava de funções de variáveis complexas e integração (a integral de Riemann como funcional, a classe das funções integráveis segundo Lebesgue, teoremas de convergência, relações entre a integrabilidade segundo Lebesgue e Riemann, funções e conjuntos mensuráveis). Nesse período, também, os licenciandos do terceiro ano do curso contavam com uma disciplina anual de Análise Superior, cujos tópicos abordavam teoria dos conjuntos, espaços métricos, topologia geral, noções de topologia algébrica e aplicações à análise (o teorema do ponto fixo de Banach e aplicações, o teorema de Baire e aplicações, introdução 5

6 aos espaços funcionais, o teorema de Áscoli), aproximando-se quase que completamente dos atuais cursos de Espaços Métricos e Espaços Topológicos. Em 1963, os três cursos de Análise Matemática e o de Análise Superior tiveram suas denominações alteradas, salvo pequenas diferenças em alguns anos, para: Cálculo Diferencial e Integral, Cálculo Avançado e Equações Diferenciais, Variáveis Complexas e Matemática Aplicada, Teoria dos Conjuntos e Topologia. As suas ementas não sofreram grandes modificações em relação às anteriores correspondentes. Em linhas gerais, esse quadro manteve-se praticamente inalterado até meados de Entretanto, achamos conveniente destacar alguns eventos particulares nesse período de dez anos. O programa de Cálculo Avançado e Equações Diferenciais de 1967, é o primeiro em cujo conteúdo a bibliografia é indicada. Para os tópicos de seqüências e séries numéricas e de funções, o livro indicado é Rudin (1964). Para funções de várias variáveis, diferenciação parcial, integrais múltiplas, integrais de linha e superfície, Widder (1961) e Buck (1965). As três obras citadas são referências comuns em cursos de Análise, corroborando a nossa observação anterior sobre o tratamento analítico dado aos cursos. Curiosamente esses três livros ainda podem ser vistos em programas de disciplinas atuais. Widder (1961), por exemplo, é uma referência bibliográfica para a disciplina Funções de Várias Variáveis do Mestrado Profissional em Matemática Universitária da instituição cujo curso de matemática cá apresentamos os resultados. No ano de 1963 a disciplina do terceiro ano da Cadeira de Análise Superior trazia tópicos de topologia geral, topologia algébrica, análise funcional e integral de Lebesgue. Esse último ponto aparecia anteriormente na disciplina de Análise Matemática dada para o terceiro ano do curso, sendo depois oferecido nas disciplinas optativas Medida, Integração e Probabilidade de 1967, Integração, de 1970 e Análise Real de O oferecimento dessas três optativas, bem como Introdução às Variedades Diferenciais em 1964, Espaços Métricos em 1967 e Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias em 1971, mostra uma possível tendência de algoritmização dos antigos cursos de Análise Matemática e Análise Superior, já que disciplinas com um tratamento mais rigoroso passaram a ser oferecidas como optativas. A partir de 1973, Cálculo Diferencial e Integral, Cálculo Avançado e Equações Diferenciais e Variáveis Complexas e Matemática Aplicada foram divididas cada uma em I e II, semestrais, tendo logo no ano seguinte suas denominações alteradas, e, então, o 6

7 primeiro ano do curso passou a contar com Cálculo Diferencial e Integral em uma Variável e Cálculo Diferencial e Integral em Várias Variáveis. O segundo ano tinha Cálculo Avançado no primeiro semestre e Equações Diferenciais no segundo. Já o terceiro, Variáveis Complexas e Matemática Aplicada, nessa ordem, em cada um dos semestres. O ponto interessante a se destacar nessa separação das disciplinas é que os conteúdos de funções de várias variáveis aos poucos deixaram de integrar o programa de Cálculo Avançado e Equações Diferenciais I (posteriormente Cálculo Avançado) e passaram a constar no programa de Cálculo Diferencial e Integral II (posteriormente Cálculo Diferencial e Integral em Várias Variáveis). Com isso, Cálculo Avançado passou a ser, de algum modo, a primeira disciplina específica obrigatória de Análise oferecida ao curso, já que além dos conteúdos de séries e seqüências terem sido deslocados para ela, o seu programa prevê uma revisão com maior rigor de alguns tópicos do cálculo do primeiro ano. Considerando-se esse movimento claro de separação entre as disciplinas de Análise e Cálculo, passaremos a falar, daqui por diante, apenas das específicas de Análise. No ano de 1973, foi oferecida, conforme já citamos, a optativa Análise Real, cujos tópicos tratavam fundamentalmente da teoria da medida de Lebesgue. Nesse mesmo ano, a optativa Análise no Rn dava um tratamento mais analítico aos conteúdos vistos em Cálculo Diferencial e Integral com Várias Variáveis. Tópicos de Análise, optativa oferecida em 1974, é a primeira disciplina específica de análise a trazer, de uma maneira geral, a estrutura de um curso de Análise nos moldes atuais. Seu programa tratava de números reais, limites, funções deriváveis, integral e relações entre derivação e integração. Figueiredo (1973) era o livro texto utilizado. Em 1977, novamente temos o oferecimento de Tópicos de Análise com algumas leves alterações de conteúdo programático e bibliografia recomendada. Em 1977 temos o oferecimento de Análise Matemática como obrigatória na grade curricular do curso de Licenciatura. Sua ementa não diferia muito da apresentada para Tópicos de Análise de 1974, sendo que seus objetivos, inclusive, eram os mesmos dessa e, em nenhum momento tocavam a questão da formação do professor de matemática, dizendo apenas da sua importância para a formação de um matemático. Os conteúdos trabalhados tratavam de seqüências e séries numéricas, funções reais, derivação, integração e seqüência e séries de funções. Novamente Figueiredo (1973) aparece como livro texto, e, pela primeira vez, Lima (1976). A partir de 1978 a disciplina, com pequenas alterações em 7

8 relação a de 1977, permanece cristalizada até 1993, sendo a única modificação nesse período a alteração de seu nome, em 1983, para Análise Real; objetivos, conteúdos e bibliografia não se alteram nem mesmo minimamente. Entre 1994 e 1995, Análise Real sofre algumas alterações em seu programa, porém mínimas, sendo a inclusão de Ávila (1993) como livro texto a única mais expressiva. Finalmente, em 1996, Análise Real, que contava com seis aulas semanais, desmembra-se em Análise Matemática I e Análise Matemática II, cada qual com quatro. O conteúdo conjunto ministrado em ambas era praticamente o mesmo da anterior Análise Real, sendo que a inclusão de um tópico sobre números reais foi a única alteração. Essas duas disciplinas de Análise, com exatamente os mesmos programas, são as que figuram até os dias de hoje na grade curricular do curso de Licenciatura em Matemática em questão. Observamos nesse recorte que a disciplina de Análise surgiu inicialmente como uma matéria optativa e depois foi incorporada ao currículo do curso analisado, também, os tópicos das disciplinas, pouco a pouco, caminharam para os que estão presentes até hoje na maioria dos cursos introdutórios de Análise dados tanto para licenciandos quanto para bacharelandos. Além disso, a partir de 1977 a disciplina pouco se modificou, mostrando que as mudanças de concepções sobre formação de professores, as novas tendências no ensino de matemática e os pareceres do Conselho Nacional de Educação nos últimos anos, pouco ou nada influenciaram essa disciplina Conclusões e Considerações Finais Os resultados que apresentamos nos permitem chegar às seguintes conclusões: a) os objetivos dos cursos de Análise pouco ou nada se alteraram ao longo dos anos, qualquer justificativa que contemplasse a questão da importância dessa disciplina para a formação do futuro professor de matemática simplesmente inexiste; b) os conteúdos trabalhados nos atuais cursos de Análise Matemática I e Análise Matemática II, bem como a sua seqüência, foram herdados dos primeiros cursos de Cálculo (Análise Matemática) da década de cinqüenta e sessenta e não sofreram maiores transformações ao longo dos anos; c) muitas das bibliografias utilizadas nos primeiros anos do curso ainda podem ser encontradas em ementas de disciplinas atuais, esse fato se torna mais evidente quando consideramos apenas as disciplinas específicas de Análise. 8

9 Em suma, uma vez estabelecidas as disciplinas específicas de Análise na década de setenta, sua estrutura geral, conteúdos e bibliografia não se alteraram profundamente até os dias de hoje, apesar das modificações políticas e filosóficas pelas quais passaram os cursos de formação de professores de matemática nesse período de quase quarenta anos. A nossa hipótese é que esse padrão encontrado no curso de Matemática do IGCE da UNESP de Rio Claro não é um fato isolado. Pretendemos prosseguir nossas pesquisas coletando dados de outros cursos, e a análise desses pode talvez confirmar tal hipótese. Em todo caso, mesmo a etapa aqui apresentada ainda não está concluída e muitos pontos até agora não nos parecem plenamente respondidos, como, por exemplo, em que medida os cursos iniciais de Análise Matemática foram perdendo seu caráter analítico e passaram a ter uma abordagem mais algorítmica ou quais livros-texto eram adotados pelos professores nos anos iniciais do curso. Para responder a essas e outras questões, pretendemos entrevistar professores que atuaram no curso durante os períodos de nosso interesse. Agradecimentos À Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo que financia esse projeto. Referências ANDRÉ, M.E.D.A. Etnografia da Prática Escolar. Campinas: Papirus, ÁVILA, G. Introdução à Análise. São Paulo: Editora Edgard Blücher, BARONI, R.L.S.; NOBRE, S. A Pesquisa em História da Matemática e suas Relações com a Educação Matemática. In: BICUDO, Maria Aparecida Viaggini. Pesquisa em Educação Matemática: Concepções e Perspectivas. São Paulo: Editora Unesp, p BOGDAN, R.; BIKLEN, S. Investigação Qualitativa em Educação: Uma Introdução à Teoria e aos Métodos. Porto: Porto Editora, BUCK, R. C. Advanced Calculus. New York: McGraw-Hill, FIGUEIREDO, D.G. Análise I. Rio de Janeiro: LTC, FLORES, J. Análisis de Datos Cualitativos: Aplicaciones a la Investigación Educativa. Barcelona: PPU,

10 GARNICA, A.V.M. Professor e Professor de Matemática: Das Informações que se Tem a Cerca da Formação que se Espera. Revista da Faculdade de Educação, São Paulo, n.1-2, p , jan LIMA, E. L. Curso de Análise. Rio de Janeiro: IMPA, CNPq, MAURO, S. A História da Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Rio Claro e suas Contribuições para o Movimento de Educação Matemática Dissertação (Mestrado) - Universidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita Filho", Rio Claro, MILES, M.; HUBERMAN, M. Qualitative data analysis. An expanded Sourcebook. London: Sage, MOREIRA, P.C.; CURY, H.N.; VIANNA, C.R. Por que análise real na licenciatura?. Zetetiké, Campinas, p.11-42, jun RUDIN, W. Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill, TUCKMAN, B. Manual de investigação em educação. Lisboa: Fundação Colouste Gulbenkian, WIDDER, D.V. Advanced Calculus, New York: Pretice-Hall,