Meta-heurísticas para Problemas de Otimização Combinatória

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1 Meta-heurísticas para Problemas de Otimização Combinatória Gerardo Valdisio Rodrigues Viana Faculdade Lourenço Filho FLF Universidade Estadual do Ceará- UECE Resumo A teoria da complexidade mostra que para os problemas classificados como NP-completos não são conhecidos algoritmos em tempo polinomial para resolvê-los de forma generalizada e exata. Para o tratamento destes problemas, existem algoritmos específicos que podem ser exatos não-polinomiais, pseudopolinomiais, aproximativos e heurísticos. Garey & Johnson (1979), em seu tradicional livro Computers and Intractability, apresentam uma extensa lista de problemas pertencentes a esta classe, cujo tratamento pelas técnicas de aproximação citadas produzem resultados considerados satisfatórios, não garantindo, entretanto, sua otimalidade, ou seja, a inexistência de soluções melhores. Grande parte destes problemas envolve os chamados problemas de decisão que buscam a existência de uma determinada estrutura que satisfaz a uma certa propriedade e os problemas de otimização que procuram dentre estas estruturas qual delas tem um valor máximo ou mínimo para uma dada função de avaliação aplicada a esses elementos. Neste trabalho, é dada uma definição formal de problema de otimização combinatória e uma descrição de meta-heurística que corresponde a uma das principais técnicas desenvolvidas para obter uma boa solução deste tipo de problema num tempo aceitável. Palavras-chave: Otimização Combinatória, Busca Local, Meta-heurísticas. 1 INTRODUÇÃO Técnicas de resolução de problemas de otimização combinatória, como programação dinâmica (MOREIRA & VIANA, 2011) e branch-and-bound (WINSTON, 1994) podem fornecer em tempo hábil soluções exatas para algumas aplicações; quando isto não é possível utilizam-se algoritmos aproximativos (VAZIRANI, 2011) com fatores de aproximação conhecidos ou heurísticas que consistem nos métodos projetados nas propriedades estruturais e nas características dos problemas que fornecem também soluções aproximadas, porém com complexidade reduzida em relação aos algoritmos exatos. Entre estas heurísticas podem ser citados os métodos construtivos, os de busca local e as meta-heurísticas (VIANA, 1998), que serão detalhados nas seções seguintes.

2 76 Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.9, n.1, 2013 Este trabalho está organizado assim, na seção 2 são apresentadas as definições básicas para entendimento dos problemas e métodos de resolução utilizados no texto; na seção 3 são descritas as principais meta-heurísticas através de seus conceitos básicos e classificação; na seção 4 são citadas outras meta-heurísticas clássicas e suas referências; por fim, na última seção é feita a conclusão do trabalho. 2 DEFINIÇÕES 2.1 Problema de Otimização Combinatória (POC) Dados: um conjunto finito E = { 1, 2,..., n } uma coleção de subconjuntos de E, F 2 E uma função c: F R (reais). Obter: S* e F satisfazendo uma das condições: c (S*) c (S), s F (para problema de maximização) c (S*) c (S), s F (para problema de minimização) sujeitas, ou não, a uma série de restrições. Nomenclatura: S configuração qualquer S* melhor configuração dentre todas as soluções em F (solução ótima) F espaço de configurações (ou de soluções viáveis) c função custo ou função objetivo Configuração é um arranjo dentro do espaço F formado, portanto, por elementos dos subconjuntos de E.

3 Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.9, n.1, Soluções Viáveis são aquelas configurações que satisfazem as condições impostas pelas restrições do problema, sendo, portanto, aquelas candidatas à solução ótima ou a melhor solução conhecida. Melhor corresponde ao maior valor (num problema de maximização) ou ao menor valor (num problema de minimização) da função objetivo, dentre todas as soluções possíveis. 2.2 Perturbação e Vizinhança Um procedimento que transforma uma configuração s i noutra s j, ambas soluções viáveis do problema, é chamado de perturbação (VIANA, 1998). denota-se s j = p (s i ), onde p é o procedimento de perturbação. na prática p deve fazer com que s j seja uma configuração ligeiramente modificada de s i, ou seja, deve promover alterações mínimas na estrutura da configuração de forma rápida. A geração de novas configurações, a partir de uma configuração s, define o conceito de vizinhança n(s) cujo tamanho k (número de vizinhos) depende de p e s. os elementos pertencentes a n(s) introduzem a noção de proximidade entre as soluções no espaço de configurações, no sentido de configurações parecidas, podendo a função objetivo aplicada a dois elementos da mesma vizinhança n(s) = { s 1, s 2,..., s k } terem valores discrepantes entre si, ou seja, s i s j porém c(s i ) # c(s j ), onde o símbolo # indica ordem de grandeza distinta.

4 78 Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.9, n.1, 2013 Figura 1 Vizinhança de uma configuração S i! Neste exemplo, diz-se que P é linear, e K = N(S) = # 8 " 1 $ & = 8 vizinhos. % No caso do procedimento P corresponder à troca de 2 bits de forma aleatória, então P seria! quadrática e K = N(S) = # " 8 2 $ & = 28 vizinhos. % 2.3 Algoritmos Gulosos A construção de uma solução gulosa (ZIVIANI, 2007) consiste em selecionar sequencialmente elementos de F, digamos S i, de modo que se S i+1 é melhor que S i, essa passa a ser a solução para todo i, caso contrário S i+1 será descartada. Daqui em diante, sem perda de generalidade, melhor significa menor (valor mínimo), considerando um problema de minimização.

5 Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.9, n.1, Um algoritmo guloso também é chamado de míope, pois somente enxerga em sua busca o vizinho que está mais próximo. Em geral, um algoritmo guloso encontra sempre a mesma solução para uma dada instância de um problema, exceto no caso de eventuais empates. O efeito da obtenção de uma solução gulosa é chamado de intensificação, no sentido que a tendência é encontrar um mínimo ou máximo local na vizinhança pesquisada. Considerando um problema de minimização para a Figura 2, diz-se que S* é um mínimo local para este espaço se c(s*) c(s i ), i {1,..., k}. Figura 2 Espaço com valores da função objetivo para algumas configurações 2.4 Aleatorização Para alcançar a diversidade nas soluções encontradas pode-se criar uma lista de candidatas e forçar uma escolha aleatória (WINSTON, 1994) a cada iteração. A qualidade da solução obtida depende da função de randomização utilizada e da cardinalidade da lista procedendo a troca da melhor solução encontrada parcialmente de forma gulosa, eventualmente este processo, chamado de diversificação pode levar a um mínimo global (solução ótima) ou na pior das hipóteses, numa solução melhor quando se alternam os processos de intensificação e diversificação, de modo que são comparados vários mínimos locais. A Figura 3 apresenta um exemplo que compara uma estratégia gulosa cuja solução corresponde a um máximo local devido ao critério de intensificação, e outra, não gulosa, ou seja, em algum momento permite mudanças (diversificação) que pode encontrar um máximo global.

6 80 Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.9, n.1, 2013 Figura 3 Intensificação x Diversificação - Fonte: (VIANA, 1998, p.92) 2.5 Busca Local Um espaço de busca é definido pelo conjunto de soluções S e por uma vizinhança N. De forma abstrata, este espaço pode ser visto como uma superfície de picos e depressões definidos pela função objetivo e pela proximidade (vizinhança) das soluções. A Figura 4 apresenta algumas regiões (espaços de busca) cada uma com o mínimo local de sua vizinhança. O objetivo de qualquer método é encontrar f * que corresponde a região que contém o melhor mínimo local dentre todas. A dificuldade existe porque o número de regiões pode crescer de forma exponencial, ou seja, se f i for o mínimo local da vizinhança N(S i ) então f * = {min f i, i,1 i m }. Figura 4 Espaços de Busca com indicação dos mínimos locais

7 Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.9, n.1, Um algoritmo de busca local é construído de forma a explorar o espaço de busca (AARTS, 1997). Uma solução inicial S 0 deve ser obtida a partir de algum método construtivo, ou seja, a partida do algoritmo deve ser feita pela construção de uma solução viável qualquer. Chama-se iteração a cada passo em que se busca uma melhoria sucessiva (iterativa) da solução atual no espaço de busca. A cada iteração deve ser selecionada uma solução qualquer da vizinhança; o critério de parada pode ser o primeiro ótimo local encontrado, ou seja, não existe vizinho melhor. Outro critério poderia ser um limite definido de iterações sem melhoria ; ou se for obtido uma solução melhor que uma alguma conhecida já praticada etc. Elementos de um algoritmo de busca local: Definição da vizinhança Estratégia de busca Simplificação da geração de vizinhos (procedimento de perturbação simples) Eficiência no cálculo da função objetivo, ou seja, evitar cálculos repetitivos e desnecessários. Dificuldades encontradas: Término do algoritmo de forma prematura (após encontrar o primeiro ótimo local) Sensível à solução da partida (S 0 ) Sensível à estratégia de busca

8 82 Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.9, n.1, 2013 Necessidade de um número grande de iterações para obter uma boa solução. Procedimentos úteis: Redução da vizinhança (seleção de subconjuntos de N(S) por algum critério) Repetir a busca local partindo de S 0 distintos, escolhidos de forma aleatória Considerar mais de uma vizinhança, dependendo do tamanho N(S). Selecionar boas rotinas de perturbação Todos os conceitos apresentados nesta seção são úteis para o entendimento das metaheurísticas definidas a seguir. Especificamente os procedimentos de perturbação, as estratégias de intensificação e diversificação e as técnicas de busca local são utilizadas na seção seguinte onde é evidenciado que as meta-heurísticas podem ser aplicadas a qualquer problema de otimização combinatória. 3 META-HEURÍSTICAS 3.1 Definição As meta-heurísticas são procedimentos destinados a encontrar uma boa solução de um problema, eventualmente a ótima, alternando procedimentos de intensificação e de diversificação com o objetivo de fugir (escapar) de ótimos locais (GLOVER & KOCHENBERGER, 2003). Diferenciam-se, entre si, pelo critério de escolha da solução inicial, da definição da vizinhança, da forma de seleção do vizinho e do critério de parada; pode-se dizer que uma de suas principais características é ser de uso geral, no sentido que podem ser adaptadas para resolver problemas diversos, diferentemente das heurísticas simples que são específicas para um dado problema. Outras características das meta-heurísticas: adaptam-se às instâncias especiais dos problemas alternam o uso da estrutura de dados em função dessas instâncias contêm boas técnicas para construir soluções iniciais.

9 Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.9, n.1, procedem melhoria das soluções parciais utilizando uma heurística de busca local (intensificação) fazem uma randomização controlada diversificam a busca de forma dinâmica, ou seja, a rotina de diversificação varia de acordo com a evolução do algoritmo utilizam funções de avaliação (função objetivo) de forma eficiente em geral, o tempo computacional necessário para obter uma boa solução é bem maior que as heurísticas simples, podendo ser controlado por número de iterações e/ou outros critérios de parada. 3.2 Classificação das meta-heurísticas Os procedimentos utilizados pelas meta-heurísticas e suas estratégias de busca permitem classificá-las assim: a) Meta-heurísticas Construtivas estabelecem estratégias para a construção de uma solução, geralmente gulosa, formada por um processo iterativo de modo a obter melhores resultados imediatos possíveis. Exemplo: GRASP (Greedy Randomized Adaptative Search Procedure) b) Meta-heurísticas de Busca de Entornos utilizam procedimentos que percorrem espaço de busca levando em consideração, em cada passo, a vizinhança da solução atual praticada. Uma estrutura de entorno grande tende a diminuir o desempenho de cada iteração (aumentando o tempo total de execução), por outro lado, se a diversificação é baixa pode conduzir a piores soluções. Deve-se então calibrar a MH de modo a utilizar um meio termo. Exemplos: VNS (Variable Neighbourhood Search), GLS (Guided Local Search), SA (Simulated Annealing) e TS (Tabu Search). c) Meta-heurísticas Evolutivas trabalham com uma população (conjunto de soluções) que evolui a cada iteração. Procura preservar as características que melhorem a qualidade média das soluções em cada geração sem comprometer a diversidade dentro da população. Exemplos: GA (Genetic Algorithms), MA (Memetic Algorithms) e SS (Scatter Search).

10 84 Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.9, n.1, 2013 d) Meta-heurísticas de Relaxação realizam alterações na modelagem original do problema a fim de construir um problema mais simples (relaxado) cuja solução pode ser encontrada com eficiência fornecendo informações para que a a solução do problema original seja obtida. Exemplo: Relaxação Langrangeana e) Meta-heurísticas Híbridas referem-se àquelas que se enquadram de forma intermediária entre mais de um tipo de meta-heurística (MH), em geral utilizam recursos de uma ou mais heurísticas. Algumas das MHs anteriores podem também ser assim classificadas. Exemplo: ACO (Ant Colony Optimization), Memetic Algorithm e Logic Fuzzy. 4 DESCRIÇÃO DAS PRINCIPAIS META-HEURÍSTICAS 4.1 Busca Tabu ( TS Tabu Search) É um procedimento heurístico utilizado para guiar um algoritmo de busca local a fim de encontrar boas aproximações para a solução ótima de qualquer problema de otimização combinatória (GLOVER & LAGUNA, 1997). Tem por base três princípios: 1. uso de um FILA para guardar o histórico da evolução do processo de busca 2. uso de um mecanismo de controle (TABU) que faz o balanceamento entre a aceitação ou não, de uma nova configuração, referentes às restrições e aspirações desejadas 3. incorpora procedimentos que alternam as estratégias de diversificação e intensificação. A Figura 5 apresenta o algoritmo para a meta-heurística Busca Tabu. Os procedimentos existentes realizam as seguintes funções: Generate Initial Solution gera uma solução inicial s de forma aleatória, considera-a como a melhor então conhecida.

11 Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.9, n.1, Generate_Admissible_Solutions gera uma vizinhança de s, denominando-a de A=N(s). Select_Best_Solution seleciona a melhor solução desta vizinhança A. Caso o tamanho N(s) seja elevado, pode ser explorada parte dela através de um parâmetro limitante do número de vizinhos nv N(s). Update_Memory_Structures atualiza a fila Tabu. Em geral, o tamanho desta fila varia de 7 a 14 elementos e tem por objetivo guardar as melhores soluções parciais encontradas durante a evolução do processo a fim de evitar que seja reutilizada uma região já explorada. Figura 5 Algoritmo Busca Tabu Fonte: (STÜTZLE, 1998, p. 28) 4.2 Têmpera Simulada ( SA Simulated Annealing) O termo origina-se do processo físico de temperamento que consiste em submeter certas metas inicialmente a altas temperaturas e reduzi-las gradualmente (variações de energia) até

12 86 Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.9, n.1, 2013 atingir o equilíbrio térmico, tornando-se consistentes e rígidos (van LAARHOVEN & AARTS, 1987). Para alternar os procedimentos de intensificação e diversificação num problema de minimização utilizam-se os testes (aceitação de uma nova solução S ): S melhor que S, ou seja, f (S') < f (S*) ou f (S) f (S') S é pior que S, porém µ = e T > random(0,1) Onde T é o parâmetro de controle de temperatura e µ é critério de Metropolis (VIANA, 1998) que corresponde a um fator de probabilidade de aceitação. Este critério estabelece que se o valor de T for alto (início) permitem muitos movimentos de diversificação e a medida que T reduz [T i = αt i-1, 0 < α < 1] a maioria destes movimentos serão rejeitados. Observa-se que se α é pequeno o resfriamento é rápido e em geral a solução não é boa. Se α é grande o processo torna-se lento comprometendo o tempo de execução. O valor inicial de T 0 pode ser calculado em função de η valores de f (S). JOHNSON et al. (1987) sugerem T 0 = 4.40ΔE +, onde ΔE + corresponde à média aritmética dos k termos em que ΔE > 0, sendo ΔE = f (S') f (S) e 1 k η. A Figura 6 apresenta o algoritmo para a meta-heurística Simulated Annealing. Figura 6 Algoritmo Simulated Annealing Fonte: (STÜTZLE, 1998, p. 30)

13 Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.9, n.1, Os procedimentos existentes realizam as seguintes funções: Generate Initial Solution gera uma solução inicial s de forma aleatória, considera-a como a melhor então conhecida. Generate_Random_Solution gera uma solução viável s de forma aleatória a partir de s. Accept_Solution aceita a solução atual de acordo com o critério de Metropolis que conforme citado anteriormente é uma probabilidade definida como segue: 4.3 Algoritmo Genético ( GA Genetic Algorithm) Baseia-se nos processos observados na evolução natural das espécies. Parte de uma população inicial de indivíduos (configurações iniciais do problema), faz a avaliação de cada um (valores da função objetivo), seleciona os melhores e promove manipulações genéticas

14 88 Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.9, n.1, 2013 (cruzamentos e mutações) que correspondem às pertubações, a fim de criar uma nova população (HOLLAND, 1975). Os AGs trabalham unicamente com os valores das funções objetivo, de modo que, claramente percebe-se que esta MH é de uso geral, ou seja, o que muda de uma aplicação para outra é a forma de cálculo da função objetivo e uma adaptação da estrutura de dados conveniente para armazenar as configurações (GOLDBERG, 1989). Os elementos necessários para construção de um algoritmo genético são: escolher a forma de representar os cromossomos (configuração de uma solução viável) gerar a população inicial (o tamanho da população é um parâmetro de entrada) avaliar os indivíduos da população [c(s)] reproduzir os melhores indivíduos (seleção) (uso de uma roleta viciada) realizar e definir cruzamentos (crossover) realizar e definir mutações (perturbações) A Figura 7 apresenta o algoritmo para a meta-heurística Algoritmo Genético. Os procedimentos existentes realizam as seguintes funções: Generate Initial Population gera uma população inicial POP de forma aleatória e calcula os valores da função objetivo para todos seus elementos. Local Search (p) localiza a melhor configuração dentro da população POP e seleciona os melhores elementos da população, eliminando os piores, redefinindo uma nova população p. Recombination recombina os elementos de p através de procedimentos conhecidos como cruzamentos, gerando uma nova população p. Mutation altera elementos de p através do processo de mutação que corresponde a uma perturbação, gerando uma nova população p. Local Search (p, p ) seleciona os melhores elementos de p e p, eliminando os piores, gerando uma nova população p. Selection ( p, p ) seleciona o melhor elemento de p e p, candidato a solução e atualiza a população p para a próxima geração (iteração).

15 Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.9, n.1, Figura 7 Algoritmo Genético Fonte: (STÜTZLE, 1998, p.32) 4.4 GRASP (Greedy Randomized Adaptive Search Procedure) Combina um método construtivo de busca local com um procedimento iterativo com iterações independentes (FEO & RESENDE, 1995). A fase construtiva é um processo iterativo também que parte de uma solução vazia e acrescenta elementos sem torná-la inviável criando um subconjunto dos elementos que causam menor aumento de custo (aspecto guloso da MH); a seguir seleciona-se aleatoriamente um elemento desse subconjunto, incorporando-o às soluções parciais (PITSOULIS & RESENDE, 2002). A Figura 8 apresenta o algoritmo para a meta-heurística GARSP. Os procedimentos existentes realizam as seguintes funções: Construct_Greedy_Randomized_Solution constrói uma solução para o problema usando um algoritmo guloso conhecido. Em geral os candidatos à solução s são gerados parte pela heurística gulosa e completada de forma aleatória.

16 90 Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.9, n.1, 2013 Local Search (s) localiza a melhor configuração s da vizinhança de s através de um procedimento de busca local. Figura 8 Algoritmo GRASP Fonte: (STÜTZLE, 1998, p.33) 4.5 Outras meta-heurísticas As meta-heurísticas aqui citadas e não referenciadas são facilmente localizada através de vários artigos e aplicações. STÜTZLE (1998) em seu trabalho descreve algumas delas: Colônia de Formigas (ACO Ant Colony Optimization) Decomposição (métodos construtivos + relaxação) Extreme Optimization FANS (Fuzzy Adaptive Neighborhood Search) Busca Local Guiada (GLS Guided Local Search) ILS (Iterated Local Search) RSO (Reactive Search Optimization) Busca Dispersa (SS Scatter Search)

17 Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.9, n.1, VNS (Variable Neighborhood Search) e suas variantes VND (Descent), BVNS (Basic), RVNS (Reduced) e GVNS (General). 5 CONCLUSÃO As meta-heurísticas são ferramentas importantes na resolução de problemas de otimização combinatória, em geral são os métodos que obtêm melhores resultados, com um tempo de execução um pouco mais dilatado que as heurísticas, mas certamente admissível para obter soluções bem aproximadas. Uma grande dificuldade do uso das MH é sua calibração, pois os parâmetros de entrada devem estar bem definidos para que a solução seja obtida em tempo rápido e com boa qualidade. O uso de programação paralela é um aliado na melhoria da performance das MHs especialmente em relação ao tempo de execução. Diversos trabalhos foram publicados para resolver problemas clássicos de otimização combinatória, parte deles usando paralelismo (VIANA, 1998). Novas MHs podem ser criadas utilizando novas ideias para balanceamento dos processos de intensificação e diversificação aliados a uma boa estratégia de busca. Metaheuristics for Combinatorial Optimization Problems Abstract The complexity theory shows that for problems classified as NP-complete are not known polynomialtime algorithms to solve them in a general and exact form. For the treatment of these problems there are

18 92 Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.9, n.1, 2013 specific algorithms that can be non-polynomial, pseudo-polinomial, approximate and heuristic. Garey & Johnson (1979), in his traditional book "Computer and Intractability", present a long list of problems belonging to this class whose treatment by approximation techniques mentioned produce satisfactory results, not guaranteeing, however, its optimality or if there is better solution. Most of these problems involve the so-called decision problems seeking the existence of a particular structure that satisfies a certain property and optimization problems which seek among these structures which one has a maximum or minimum value for a given evaluation function applied to these elements. In this article is given a formal definition of combinatorial optimization problem and a description of metaheuristics that correspond to one of the main techniques developed to obtain a good solution of this problemin an acceptable time. Keywords: Combinatorial Optimization. Local Search. Metaheuristics. Referências AARTS, E.H.L. and LENSTRA, J. K. Local Search in Combinatorial Optimization. USA: John Wiley & Sons, DASGUPTA, S., PAPADIMITRIOU, C. and VAZIRANI, U. Algorithms. McGraw-Hill Higher Education, FEO, T.A. and RESENDE, M.G.C. Greedy Randomized Adaptive Search Procedures. In Journal of Global Optimization, v.6, p , GAREY, M.R. and JOHNSON, D.S. Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness, USA: W.H. Freeman and Company, GLOVER, F. and KOCHENBERGER, G. Handbook of Metaheuristics. USA: Kluwer Academic Publishers, GLOVER, F. and LAGUNA, M.. Tabu Search. London: Kluwer Academic Publishers, GOLDBERG, D. E. Genetic Algorithms in Search, Optimization, and Machine Learning. USA: Addison-Wesley, HOLLAND, J. H. Adaptation in Natural and Artificial Systems. USA: The University of Michigan Press, JOHNSON, D.S, ARAGON, C.R., McGEOCH, L.A. and SCHEVON, C. (1987). Optimization by Simulated Annealing: an Experimental Evaluation. USA: AT&T Bell Laboratories. van LAARHOVEN, P.J.M. and AARTS, E.H.L. Simulated Annealing, Theory and Applications. USA: Kluwer Academic Publishers, 1987.

19 Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.9, n.1, MOREIRA, F.V.C. e VIANA, G.V.R. Técnicas de Divisão e Conquista e de Programação Dinâmica para a Resolução de Problemas de Otimização. Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho, v.8, n.1, p Fortaleza: FLF.EDU, PITSOULIS, L. and M. G. C. Resende. Greedy Randomized Adaptive Search Procedures Handbook of Applied Optimization, p England: Oxford University Press, STÜTZLE, T. G.Local Search Algorithms for Combinatorial Problems: Analysis, Improvements and New Applications. German: Technischen Universität Darmstadt, VIANA, G. V. R. Meta-heurísticas e Programação Paralela em Otimização Combinatória. Fortaleza: Edições UFC, VAZIRANI, V.V. Approximation Algorithms. Berlim: Springer-Verlag, WINSTON, W.L. Operations Research: Applications and Algorithms. USA: International Thomson Publishing, ZIVIANI, N. Projeto de Algoritmos com implementações em Pascal e C. São Paulo: Editora Thomson, Gerardo Valdisio Rodrigues Viana Bacharel em Engenharia Mecânica UFC Licenciado em Matemática UECE Mestre em Ciência da Computação UFC Doutor em Ciência da Computação UFC/USP valdisio.viana@uece.br