AED-II, 2011/2012 Trabalho prático 1

Transcrição

1 AED-II, 2011/2012 Trabalho prático 1 Prazos e formalidades Prazo de entrega: 02/Mar/2012. Devem entregar um único ficheiro PDF com o nome aed2-trab1-gxx.pdf, em que XX é o vosso número de grupo. Na primeira folha do documento deve aparecer os nomes e números dos alunos que constituem o grupo. A entrega deve ser feita por para fernando.lobo@gmail.com. O subject do deverá ser: aed2-trab1-gxx. Exercícios 1. Insertion Sort Escalabilidade empírica. a) Implemente o algoritmo Insertion Sort (provavelmente já o fez em AED-I) numa linguagem de programação à sua escolha. b) Teste o algoritmo em inputs gerados aleatoriamente de tamanho 2 10,2 11, 2 12,...,2 20, e meça o tempo de execução do algoritmo. (Nota: Não é necessário ir até n =2 20, caso o algoritmo se torne demasiado lento no seu computador. Pode terminar os testes quando as execuções do algoritmo começarem a exceder 5 minutos.) c) Repita a alínea anterior em inputs que correspondam ao melhor caso. d) Repita a alínea anterior em inputs que correspondam ao pior caso. e) Faça um gráfico com os resultados obtidos (tamanho do problema no eixo do x, tempo de execução no eixo do y). O que pode concluir? f) Altere o código do Insertion Sort de tal forma que para além de ordenar o array de input, o algoritmo retorne o número de vezes que a instrução A[i +1] = A[i] é executada (linha 6 do pseudocódigo dado na aula teórica). g) Repita as alíneas (b), (c), (d), com a versão modificado do algoritmo, registando desta vez o número de vezes que a instrução A[i + 1]= A[i] é executada, para cada tamanho de input, e para cada tipo de input (melhor caso, pior caso, aleatório). 1

2 h) Faça um novo gráfico com os resultados obtidos (tamanho do problema no eixo do x, número de execuções de A[i +1]=A[i]). O que pode concluir? i) Indique uma estimativa do tempo que o seu algoritmo demoraria a ordenar um array de (10 milhões) de números, assumindo que o input se encontra ordenado de forma aleatória. 2. Crescimento de funções. a) Imagine que tem à sua disposição 2 algoritmos, A e B. O tempo de execução do algoritmo A para resolver um problema de dimensão n é de 100n 2. O tempo de execução do algoritmo B para resolver o mesmo problema de dimensão n é de 2 n. A partir de que valor de n é que o algoritmo A é mais rápido do que o algoritmo B? 3. Complexidade assimptótica. a) Mostre que (n + a) b = Θ(n b ) para quaisquer constantes reais a e b, com b>0. b) 2 n+1 = O(2 n )? c) 2 2n = O(2 n )? d) Sejam f e g duas funções não negativas. Isto é, f(n) 0, g(n) 0, n. Mostre que se f(n) = O(g(n)), então g(n) = Ω(f(n)). 2

3 AED-II, 2011/2012 Trabalho prático 2 Prazos e formalidades Prazo de entrega: 16/Mar/2012. Devem entregar um único ficheiro PDF com o nome aed2-trab2-gxx.pdf, em que XX é o vosso número de grupo. Na primeira folha do documento deve aparecer os nomes e números dos alunos que constituem o grupo. A entrega deve ser feita por para fernando.lobo@gmail.com. O subject do deverá ser: aed2-trab2-gxx. 1. Indução matemática Prove por indução matemática que: a) n i=1 i = n(n +1)/2 b) n i=0 2i =2 n+1 1 c) n 1 i=0 ari = arn a, com r = 1 r 1 (soma dos n primeiros termos da progressão geométrica: a, ar, ar 2,..., ar n 1 ) 2. Recorrências: Método de substituição. Utilize o método de substituição nestas alíneas. a) Seja T (n) =T (n/2) + 1. Mostre que T (n) éo(lg n). b) Seja T (n) =2T (n/2) + n. Mostre que T (n) éω(n lg n). 3. Recorrências: Método da árvore de recorrência. a) Use o método da árvore de recorrência para determinar um bom limite assimptótico superior para a recorrência T (n) = 3 T (n/2)+ n. 1

4 b) Argumente, com o auxílio de uma árvore de recorrência, que a solução de T (n) =T (n/3) + T (2n/3) + n é Ω(n lg n). 4. Mais recorrências. a) Use o teorema Mestre para obter limites assimptóticos apertados para as seguintes recorrências: 1. T (n) =2T (n/4) T (n) =2T (n/4) + n. 3. T (n) =2T (n/4) + n. 4. T (n) =2T (n/4) + n 2. b) Sejam A e B dois algoritmos para resolver um determinado problema. O tempo de execução do algoritmo A é dado por T A (n) =7T (n/2) + n 2. O tempo de execução do algoritmo B é dado por T B (n) =dt(n/4) + n 2. Qual o maior valor inteiro que d pode assumir de forma a que o algoritmo B seja assimptóticamente mais rápido do que o algoritmo A? c) Use o teorema Mestre para mostrar que a solução da recorrência para a pesquisa binária, T (n) =T (n/2) + Θ(1), é T (n) =Θ(lg n). d) Suponha que tem à sua disposição os seguintes três algoritmos para resolver um problema de dimensão n: O algoritmo A resolve o problema dividindo-o em cinco sub-problemas de tamanho n/2, resolvendo cada um dos sub-problemas recursivamente e combinando as soluções em tempo linear. O algoritmo B resolve o problema dividindo-o em dois sub-problemas de tamanho n 1, resolvendo cada um dos sub-problemas recursivamente e combinando as soluções em tempo constante. O algoritmo C resolve o problema dividindo-o em nove sub-problemas de tamanho n/3, resolvendo cada um dos sub-problemas recursivamente e combinando as soluções em O(n 2 ). Qual a complexidade temporal de cada um destes algoritmos? Qual deles é assimptoticamente mais rápido? Justifique. 5. Divisão e Conquista: Exercício de aquecimento. a) Faça um algoritmo baseado no paradigma de divisão e conquista, para obter o valor máximo de um array de n elementos. b) Indique a recorrência para o tempo de execução do algoritmo. c) Resolva a recorrência. Qual a complexidade do algoritmo? 6. Escalabilidade empírica. a) Implemente o algoritmo Merge Sort dado na aula teórica. 2

5 b) Teste o algoritmo em inputs gerados aleatoriamente de tamanho 2 10,2 11, 2 12,...,2 20, e meça o tempo de execução do algoritmo. c) Faça um gráfico com os resultados obtidos (tamanho do problema no eixo do x, tempo de execução no eixo do y). Compare com os resultados do algoritmo Insertion Sort que obteve no trabalho prático da semana anterior. 3

6 AED-II, 2011/2012 Trabalho prático 3 Prazos e formalidades Prazo de entrega: 23/Mar/2012 até às 23:59. Os problemas devem ser submetidos via Mooshak. Devem ir a mooshak/ e registarem-se fazendo os seguintes passos: Seguir o link Register for online contest Escolher AEDII1112 na caixa contest, preencher grupox no campo nome (em que X é o vosso número de grupo) e o de um dos elementos do grupo. Depois do registo, recebem uma password no que indicaram. Devem partilhar essa password pelos elementos do grupo. Problema A: Pares Marafados Dado um array A com n inteiros distintos, pretende-se obter o número de pares marafados contidos no array. Um par (i, j) diz-se marafado se e só se: i<j A[i] > 2 A[j] Como exemplo, o array A = [8, 3, 9, 2, 5] tem 3 pares marafados. Implemente um algoritmo de complexidade Θ(n lg n) para resolver o problema. Pode fazê-lo em C ou Java. Formato para o Mooshak Input O input deverá ter o seguinte formato, n A1 A2... An 1

7 Na primeira linha aparece o número de elementos do array (n 80000). Nas restantes linhas aparecem os elementos do array, um por linha. O timeout é 1 seg. Output O output deverá apresentar o número de pares marafados, seguido de um caracter de fim de linha. Exemplo Input Output 3 Problema B: Ganhar dinheiro na bolsa Considere o seguinte problema relacionado com a bolsa. Dada uma sequência de valores correspondentes à cotação das acções da empresa Marafados Lda ao longo de um período de n dias consecutivos (um valor por dia), pretende-se saber qual teria sido a altura ideal para comprar e a altura ideal para vender, de modo a maximizar o lucro. Para efeitos deste exercício considere que as taxas de juro são nulas. Considere também que apenas pode comprar e vender uma vez ao longo do período de n dias. Como exemplo, para o seguinte input: cotaç~ao: dia: a resposta correcta deveria ser: comprar no dia 2, vender no dia 5, lucro = 4 Implemente um algoritmo de complexidade Θ(n lg n) para resolver o problema. Pode fazê-lo em C ou Java. Pode assumir que as cotações são números inteiros positivos. O timeout é 1 seg. 2

8 Formato para o Mooshak Input O input deverá ter o seguinte formato, n C1 C2... Cn Na primeira linha aparece o número de dias para os quais temos a cotação da acção (n 80000). Nas restantes linhas aparecem as cotações da empresa ao longo dos n dias. C1 é a cotação no 1 o dia, C2 é a cotação no 2 o dia,..., Cn é a cotação no n-ésimo dia. Output O output deverá apresentar o lucro máximo que se consegue obter, seguido de um caracter de fim de linha. Caso não seja possível obter qualquer lucro, o programa deverá escrever a frase no profit is possible, seguido de um caracter de fim de linha. Exemplo 1 Input Output 4 Exemplo 2 Input

9 Output no profit is possible 4

10 AED-II, 2011/2012 Trabalho prático 4 Prazos e formalidades Prazo de entrega: 30/Mar/2012 até às 23:59. Devem entregar um único ficheiro ZIP com o nome aed2-trab4-gxx.zip, em que XX é o vosso número de grupo. No ficheiro ZIP deve estar incluido um PDF com o nome aed2-trab4-gxx.pdf com as respostas às perguntas 1b e 1c. As respostas às perguntas 1a, 2a, 2c devem vir em ficheiros com os nomes p1a.java, p2a.java, p2c.java no caso de programarem em Java, ou p1a.c, p2a.c, p2c.c no caso de programarem em C. As perguntas 1d, 1e, 2b devem ser submetidas ao Mooshak. A entrega do ficheiro ZIP deve ser feita por para fernando.lobo@gmail.com. O subject do deverá ser: aed2-trab4-gxx. As submissões ao Mooshak apenas poderão ser efectuadas a partir de 26/Mar/2012. O timeout de todos os problemas no Mooshak é de 1 segundo. Os exercícios propostos esta semana são exercícios de aquecimento sobre programação dinâmica. Os problemas pedidos foram dados nas aulas teóricas sob a forma de pseudo-código. 1 Combinações Pretende-se fazer um algoritmo que calcule o valor de Comb(n, k), o número de combinações de n, k a k. a) Implemente um algoritmo de força bruta para resolver o problema, através da aplicação directa da fórmula recursiva: Comb(n, k) = 1 Comb(n 1,k 1) + Comb(n 1,k), se k = 0 ou n = k, caso contrário b) Meça o tempo de execução para n =50ek =1, 2, 3,... Pode parar quando o tempo de execução para um determinado valor de k exceder 5 minutos. 1

11 c) Faça um gráfico com os tempos obtidos na alínea anterior (k no eixo do x, tempo no eixo do y). d) Utilize programação dinâmica para resolver o mesmo problema. Submeta a sua implementação ao mooshak (Problema C). O input tem 2 linhas, a primeira contêm o valor de n e a segunda contém o valor de k. O output tem apenas uma linha contendo o valor de Comb(n, k) seguido de um caracter de fim de linha. Pode assumir que 0 n 50 e que 0 k n. e) Utilize a técnica de memoization para resolver o mesmo problema. Submeta a sua implementação ao mooshak (Problema D). O formato do input e output é idêntico ao da alínea anterior. 2 Subsequência comum mais longa a) Implemente o algoritmo para obter a subsequência comum mais longa entre 2 strings usando o método de força bruta. b) O mesmo da alínea anterior mas usando programação dinâmica ou memoization. Submeta a sua solução ao mooshak (Problema E). O input tem duas linhas, a primeira contêm uma string X e a segunda contém uma string Y.O comprimento das strings não excede os 1000 caracteres. O output deverá apresentar apenas o comprimento de uma subsequência comum mais longa entre X e Y, seguido de um caracter de fim de linha. Exemplo de input nocturno mosquiteiro Output 4 c) O mesmo da alínea anterior mas desta fazendo o output da subsequência comum mais longa. Com o input dado anteriormente o output tanto poderia ser otro como ouro. Esta versão não é para submeter ao mooshak. 2

12 AED-II, 2011/2012 Trabalho prático 5 Prazos e formalidades Prazo de entrega: 13/Abr/2012 até às 23:59. Devem entregar um único ficheiro ZIP com o nome aed2-trab5-gxx.zip, em que XX é o vosso número de grupo. No ficheiro ZIP deve estar incluido um PDF com o nome aed2-trab5-gxx.pdf com as respostas às perguntas 2c, 2d, 2e. A resposta à pergunta 2b deve vir num ficheiro com o nome p2b.java ou p2b.c consoante a linguagem de programação escolhida. As perguntas 1 e 2a devem ser submetidas ao Mooshak (problemas F e G, respectivamente) A entrega do ficheiro ZIP deve ser feita por para fernando.lobo@gmail.com. O subject do deverá ser: aed2-trab5-gxx. As submissões ao Mooshak apenas poderão ser efectuadas a partir de 04/Abr/2012. O timeout de todos os problemas no Mooshak é de 1 segundo. 1 Ganhar dinheiro na bolsa, outra vez! No trabalho prático n o 3 pediu-se um algoritmo de complexidade Θ(n lg n) para resolver o problema da bolsa. Desta vez, pretende-se um algoritmo de complexidade Θ(n) para resolver o mesmo problema. Implemente o dito algoritmo e submeta-o ao Mooshak. O formato do input e output é exactamente igual ao do problema que resolveram na ficha n o 3. Contudo, desta vez o limite máximo de dias é de n = NOTA: Apenas considerarei a resposta correcta se o algoritmo que fizerem for de complexidade Θ(n), independentemente de terem Accepted no Mooshak. 2 Ladrão de Gambelas O João Gamão vive nos arredores de Faro e ultimamente tem espalhado o terror pelas redondezas. Na noite passada conseguiu entrar na casa de férias da Madonna na Quinta do Lago. Dentro da casa encontrou vários objectos: um anel de diamantes, uma cópia do famoso quadro Les Demoiselles D Avignon de Picasso, uma aparelhagem Bose Wave, uma camisola do Real Madrid assinada pelo Cristiano Ronaldo, e 1

13 um vaso de porcelana da Vista Alegre. O João Gamão tem uma mochila com uma capacidade máxima de 20kg. Cada um dos objectos tem um valor e um peso, e a mochila não aguenta com todos eles. Objecto Valor Peso ========== ===== ==== anel 15 1 picasso 10 9 bosewave 8 3 ronaldo 5 4 vaso 9 6 O João Gamão pretende saber quais os objectos que deve levar de modo a maximizar o seu lucro. Reparem que se a mochila não tivesse limite de peso, ele poderia pura e simplesmente levar os objectos todos e dar à sola. Mas não é esse o caso. A mochila não aguenta com os objectos todos e o nosso João vai ter de decidir o que levar. a) Escreva um programa (em C ou Java) que leia a capacidade máxima da mochila e uma sequência de n objectos, cada qual com o seu valor e peso. O programa deve imprimir o valor associado à melhor combinação de objectos que pode ser colocada na mochila. Pode assumir que a capacidade máxima da mochila, bem como os valores e pesos dos objectos são inteiros positivos. Assuma ainda que o número máximo de objectos é inferior a 100 e que a capacidade máxima da mochila nunca poderá ultrapassar os 200kg. O programa desta alínea deve ser submetido ao Mooshak. b) Implemente uma variante do problema (esta variante não é para submeter ao mooshak) que para além de retornar o valor máximo do recheio que está na mochila, indique também quais os objectos que devem ser roubados. Por exemplo, para o caso do input dado anteriormente, o resultado deveria ser: 42 anel picasso bosewave vaso c) Qual a complexidade temporal e espacial do vosso algoritmo (versão submetida ao mooshak)? Justifique a resposta. d) Especifique uma estratégia greedy para este problema. Essa estratégia dá sempre a solução óptima? Justifique. (Não é necessário fazer o algoritmo, basta especificá-lo em linguagem corrente.) e) Especifique um algoritmo de força bruta para este problema. Qual a complexidade? Justifique. (Também não é necessário fazer o algoritmo, basta especificá-lo em linguagem corrente.) 2

14 Formato para o Mooshak Para o código submetido ao mooshak, o input deverá ter o seguinte formato, C n O1 V1 P1 O2 V1 P On Vn Pn em que C é a capacidade máxima da mochila em Kg (0 <C 200), n é o número de objectos (0 <n<100), O i é nome do i-ésimo objecto (uma palavra sem espaços com um máximo de 10 caracteres), e V i e P i são inteiros positivos que indicam respectivamente o valor e o peso do i-ésimo objecto. O output deve apresentar o valor máximo que pode ser colocado na mochila, seguido de um caracter de mudança de linha. Exemplo Input 20 5 anel 15 1 picasso 10 9 bosewave 8 3 ronaldo 5 4 vaso 9 6 Output 42 Dicas para a construção do algoritmo O problema do ladrão de Gambelas pode ser resolvido usando programação dinâmica porque exibe subestrutura óptima. Seja OPT uma solução óptima para o problema (pode haver várias). Temos n objectos: O 1,O 2,...,O n. OPT é um subconjunto destes n objectos. Consideremos O n,on-ésimo objecto. Duas coisas podem acontecer: 1. O n OPT, o que implica que a solução óptima é constituída pelo objecto O n mais o melhor subconjunto de objectos que se pode obter usando apenas os restantes n 1 objectos, mas desta vez sujeito à capacidade máxima da mochila ser de C P n, uma vez que o objecto O n pesa P n e está na mochila. Logo sobram apenas C P n Kg para os restantes objectos. 3

15 2. O n OPT, o que implica que a solução óptima é constituída pelo melhor subconjunto de objectos que se pode obter usando apenas os restantes n 1 objectos, sujeito igualmente à capacidade máxima da mochila ser C. O raciocínio exposto acima, mostra que a solução óptima para um problema pode ser definida em termos de soluções óptimas de subproblemas. Faltam apenas alguns detalhes (tais como os casos base) para obter uma formulação recursiva do problema e a subsequente implementação usando programação dinâmica. 4

16 AED-II, 2011/2012 Trabalho prático 6 Prazos e formalidades Prazo de entrega: 20/Abr/2012 até às 23:59. Não é necessário relatório. A submissão é feita via Mooshak a partir de 16/Abr/2012. O timeout no Mooshak é de 2 segundos. Palavra puxa palavra vinho vinha pinha pinta pista pasta casta casca tasca Considere o seguinte problema: É-lhe dado como input um dicionário com N palavras (todas com o mesmo número de caracteres), seguido de M pares de palavras. Cada par indica uma palavra de origem e uma palavra de destino. Para cada um dos M pares, pretende-se gerar como output o comprimento da sequência mais curta possível de palavras, desde a palavra de origem até à palavra de destino, de tal forma que duas palavras consecutivas da sequência só possam ser diferentes numa e numa só posição. Pode assumir que as palavras são constítuidas apenas por caracteres minúsculos de a..z, sem acentos e sem cedilhas. Se a palavra de origem ou de destino não existir no dicionário, o programa deve escrever palavra inexistente. Se ambas as palavras existirem mas não for possível obter uma sequência, o programa deve escrever sequencia inexistente (note bem, sequencia sem acento para evitar eventuais problemas com o Mooshak). a) Escreva um programa (em C ou Java) para resolver este problema. O programa deve ser submetido ao Mooshak (Problema H). O timeout é 2 segundos. b) Indique a complexidade do seu algoritmo em função de N e de M, e eventualmente também em função de outro parâmetro que considere ser relevante. Justifique a complexidade obtida. (Esta alínea deve ser respondida no próprio código submetido ao mooshak, em comentário logo ao início do ficheiro.) 1

17 Formato para o Mooshak Input O input deverá ter o seguinte formato. Na primeira linha aparece o número de palavras do dicionário, N. Segue-se uma sequência de N linhas, com uma palavra por linha. Segue-se uma linha com o número de pares de palavras, M, seguido de uma sequência de M linhas, em que para cada linha aparecem duas palavras (origem e destino) separadas por um espaço. Pode assumir que N<2000, M<100, e que as palavras do dicionário têm todas o mesmo tamanho, entre 3 e 20 caracteres. Output O output consiste em M linhas. Em cada linha deve aparecer a palavra de origem, seguida de ->, seguida da palavra de destino, seguido do caracter :, seguido de um espaço, seguido do comprimento da sequência mais curta de palavras desde a origem até ao destino. Se a palavra de origem ou de destino não existir no dicionário, o programa deve escrever palavra inexistente. Se ambas as palavras existirem mas não for possível obter uma sequência, o programa deve escrever sequencia inexistente Todas as linhas de output terminam com um caracter de fim de linha. Exemplo Input 11 cao sol pai mae mao nao sai sal mal pao aed 4 pai sol sal aed pai faz cao mae 2

18 Output pai->sol: 4 sal->aed: sequencia inexistente pai->faz: palavra inexistente cao->mae: 3 Por curiosidade, uma sequência mais curta de pai para sol seria: pai sai sal sol. E uma sequência mais curta de cao para mae seria: cao mao mae. Dicionário com algumas palavras de 5 letras Emhttp:// está um ficheiro com 1585 palavras, caso queiram usar para fazer testes. 3