ZEROS E PROPRIEDADES ASSINTÓTICAS DE POLINÔMIOS ORTOGONAIS DE SOBOLEV. Dissertação de Mestrado Pós-Graduação em Matemática Aplicada MAP - 085

Transcrição

1 unesp UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS DE COMPUTAÇÃO E ESTATÍSTICA ZEROS E PROPRIEDADES ASSINTÓTICAS DE POLINÔMIOS ORTOGONAIS DE SOBOLEV Flávia do Nascimento Cortes Dissertação de Mestrado Pós-Graduação em Matemática Aplicada MAP Rua Cristóvão Colombo, São José do Rio Preto - SP - Brasil Telefone: (017) Fax: (017)

2 Zeros e propriedades assintóticas de polinômios ortogonais de Sobolev Flávia do Nascimento Cortes Dissertação apresentada ao Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, Câmpus de São José do Rio Preto, São Paulo, para a obtenção do título de Mestre em Matemática Aplicada. Orientadora: Profa. Dra. Cleonice Fátima Bracciali São José do Rio Preto Fevereiro de 2004

3 Não podes ensinar nada a um homem; podes apenas ajudá-lo a encontrar a resposta dentro dele mesmo. Galileu Galilei

4 Aos meus pais, Célia e Vildo e a minha irmã, Telma, ofereço.

5 Ao meu esposo, Adriano e a minha lha, Beatriz, dedico.

6 Agradecimentos À Profa. Dra. Cleonice Fátima Bracciali, que tornou possível a realização deste e de outros trabalhos e que sempre esteve disposta a me atender com muita paciência e dedicação, pela amizade e companheirismo, desde a iniciação cientíca até a concretização deste trabalho e por tudo que as palavras não foram capazes de expressar. Ao Prof. Dr. Alagacone Sri Ranga, por todas as vezes que atendeu as minhas dúvidas, pelas discussões e contribuições, muito importantes para a realização deste trabalho. À Profa. Dra. Eliana Xavier Linhares de Andrade, pelo apoio constante. Aos meus pais que merecem minha eterna gratidão pelo apoio, incentivo, amor que sempre me deram e por tudo o que zeram para que eu chegasse até aqui. A minha irmã Telma, que sempre me acompanhou e me incentivou. Ao Adriano, a quem pude conar todas as minhas preocupações, pelo carinho, atenção, estímulo e paciência que sempre teve comigo, desde que nos conhecemos. Em especial a minha lha Beatriz, pelos momentos em que deixei de lhe dar atenção. A todos os meus amigos de Pós-Graduação, especialmente ao Cassius, Fernando, Roberto e Thais, pelo apoio e companheirismo. A todos os professores e funcionários que de alguma forma contribuíram para a realização deste trabalho. À FAPESP, pelo auxílio nanceiro. A Deus, por tudo.

7 Resumo O principal objetivo deste trabalho é estudar as propriedades dos zeros de polinômios ortogonais de Sobolev e o comportamento assintótico da razão entre estes polinômios e polinômios ortogonais relacionados. Estes estudos foram realizados para alguns exemplos de polinômios ortogonais de Sobolev associados aos produtos internos de Sobolev S 1 e S 2 dados por f, g S1 = f, g ψ0 +κ 1 f, g φ1 +κ 2 f, g ψ1 e f, g S2 = f, g ψ0 +κ 1 f, g φ0 +κ 2 f, g ψ1, onde f, g ψ = f(x)g(x)dψ(x), κ 1 e κ 2 são constantes e todas as medidas envolvidas são R simétricas. No caso do produto interno S 1 as medidas dψ 0 e dφ 1 são relacionadas entre si da forma dψ 0 (x) = (1 + qx 2 )dφ 1 (x) e no caso do produto interno S 2 as medidas dφ 0 e dψ 1 são relacionadas por dψ 1 (x) = qx 2 dφ 0(x), onde q é uma constante. Os exemplos considerados para os produtos internos de Sobolev S 1 e S 2 envolvem as medidas de Hermite e de Gegenbauer. Palavras-chave: polinômios ortogonais, polinômios ortogonais de Sobolev, zeros de polinômios, comportamento assintótico.

8 Abstract The main purpose of this work is to study the properties of the zeros of Sobolev orthogonal polynomials and the asymptotic behaviour of the ratio between these polynomials and the related orthogonal polynomials. These studies are carried out for some examples of Sobolev orthogonal polynomials associated with the Sobolev inner products S 1 and S 2 given by f, g S1 = f, g ψ0 +κ 1 f, g φ1 +κ 2 f, g ψ1 and f, g S2 = f, g ψ0 +κ 1 f, g φ0 +κ 2 f, g ψ1, where f, g ψ = f(x)g(x)dψ(x), κ 1 and κ 2 are real constants and the measures are R symmetric. For the inner product S 1 the measures dψ 0 and dφ 1 are related as dψ 0 (x) = (1 + qx 2 )dφ 1 (x), where q is a real constant. For the inner product S 2 the measures dφ 0 and dψ 1 are related as dψ 1 (x) = qx 2 dφ 0(x), where q is a real constant. We consider examples for the Sobolev inner products S 1 and S 2 regarding the measures of Hermite and Gegenbauer. Keywords: orthogonal polynomials, Sobolev orthogonal polynomials, zeros of polynomials, asymptotic behaviour.

9 Resumo O objetivo deste trabalho é estudar uma aplicação de polinômios conhecidos como polinômios para-ortogonais na solução do problema de análise de freqüência. Para isto, estudamos os polinômios de Szeg, que são polinômios ortogonais no círculo unitário e que são origem aos polinômios para-ortogonais. Estudamos casos especiais de polinômios paraortogonais, que através de uma transformação do círculo unitário para o intervalo real [-1,1] estão associados a certos polinômios ortogonais. Apresentamos também uma abordagem do problema de análise de freqüência utilizando esses polinômios em [-1,1]. Palavras-chave: Polinômios de Szeg, polinômios para-ortogonais, polinômios ortogonais, análise de freqüência

10 Abstract The purpose of this work is to study the application of some polynomials, known as paraorthogonal polynomials, in the solution of the frequency analysis problem. We study the Szeg polynomials that are orthogonal polynomials on the unit circle and give origin to the para-orthogonal polynomials. We study some special cases of para-orthogonal polynomials that are associate with certain orthogonal polynomials on [-1,1] through a transformation from the unit circle to the real interval [-1,1]. We also present an approach of the frequency analysis problem using these orthogonal polynomials on [-1,1]. Keywords: Szeg polynomials, orthogonal polynomials, para-orthogonal polynomials, frequency analysis