Análise Bayesiana de Modelos de Redes Sociais para Dados do Twitter no Espaço Bidimensional. Marcos Sousa Goulart

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1 Análise Bayesiana de Modelos de Redes Sociais para Dados do Twitter no Espaço Bidimensional Marcos Sousa Goulart Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Matemática Departamento de Métodos Estatísticos 2019

2 Análise Bayesiana de Modelos de Redes Sociais para Dados do Twitter no Espaço Bidimensional Marcos Sousa Goulart Dissertação de Mestrado submetida ao Programa de Pós-Graduação em Estatística do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Estatística. Orientadores: Ralph dos Santos Silva Marina Silva Paez Rio de Janeiro, RJ - Brasil 2019 ii

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4 CIP - Catalogação na Publicação G694a Goulart, Marcos Sousa Análise Bayesiana de Modelos de Redes Sociais para Dados do Twitter no Espaço Bidimensional / Marcos Sousa Goulart. -- Rio de Janeiro, f. Orientador: Ralph dos Santos Silva. Coorientadora: Marina Silva Paez. Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Estatística, modelos de espaços latentes. 2. relação unidirecional. 3. posições ideológicas. 4. política. I. Silva, Ralph dos Santos, orient. II. Paez, Marina Silva, coorient. III. Título. Elaborado pelo Sistema de Geração Automática da UFRJ com os dados fornecidos pelo(a) autor(a), sob a responsabilidade de Miguel Romeu Amorim Neto - CRB-7/6283. iv

5 Direi do Senhor: Ele é o meu Deus, o meu refúgio, a minha fortaleza, e nele confiarei. (Salmos 91:2) v

6 Agradecimentos Agradeço a Deus em nome do Senhor Jesus, pelos milagres realizados em minha vida, por me sustentar e me capacitar para enfrentar todos os obstáculos advindos deste difícil curso. Agradeço aos meus pais, por todo cuidado e amor que vocês têm para comigo e por sempre me ampararem nos momentos mais difíceis da minha vida, inclusive deste curso. Aos meus tios e primos, do Rio de Janeiro ou de outros estados, que perto ou longe, também me deram apoio nesta difícil jornada. Agradeço aos meus orientadores Ralph e Marina, por toda a atenção, calma e dedicação para comigo nesta dissertação, por retirar as minhas numerosas dúvidas e pelas correções que fizeram neste trabalho visando à sua melhoria. Agradeço à professora Mariane, por aceitar fazer parte da banca desta dissertação de mestrado e pelo curso de Inferência Estatística. Agradeço a estes e aos demais professores da pós-graduação em Estatística da UFRJ, que direta ou indiretamente me ajudaram e me proporcionaram uma base sólida e uma excelente formação. Agradeço ao professor Gustavo Ferreira, da ENCE, meu orientador de Iniciação Científica, cujo tema foi modelos de redes sociais, que me ajudou na maior parte da minha graduação, que me incentivou a prosseguir com os estudos e me ajudou muito a chegar até aqui. Agradeço também por fazer parte da banca desta dissertação de mestrado. Agradeço ao professor Luis Felipe Guedes da Graça, do Departamento de Sociologia e Política da UFSC, pelos comentários que contribuíram neste estudo. Agradeço a todos os meus colegas (quer sejam de Mestrado, quer sejam de Doutorado) que direta ou indiretamente me ajudaram, em especial, ao Márcio, que se formou comigo na ENCE e com quem tive oportunidade de reencontrar na Pós-Graduação em Estatística da UFRJ. Foi amigo de estudo neste meu período de Mestrado com o qual tive contato por boa parte do curso. Agradeço aos professores Lobão, meu orientador de graduação, e Luisa La Croix (ambos da ENCE), por ajudas e dicas que me auxiliaram muito neste curso de Mestrado. Certamente para a escolha de estágio em docência em Séries Temporais, eu me lembrei do curso que tive com o vi

7 Lobão na ENCE. Ao professor Eduardo Campos, que participou da minha banca de trabalho de conclusão de curso da graduação, da ENCE e que também me incentivou a prosseguir com os estudos. Por fim, agradeço à CAPES, pelo apoio financeiro dos meus estudos. vii

8 Resumo A análise de redes tem sido aplicada a diversas áreas do conhecimento, tal como no campo da política. As redes sociais têm apresentado impacto relevante nas campanhas eleitorais, e, assim, modelos de redes sociais têm sido desenvolvidos para estimar as posições ideológicas de políticos e partidos políticos, por exemplo. Barberá (2015), Souza et al. (2017) e Souza (2017) propuseram modelos com base em dados do Twitter e em relações unidirecionais em que o espaço latente é constituído de somente uma dimensão, definida como a ideologia e representado pelo antagonismo entre esquerda e direita. Trabalhos tais como o de Zucco (2009) definem uma segunda dimensão para representar a dicotomia entre oposição e governo a partir de modelos espaciais de votações nominais. O principal propósito desta dissertação é, por conseguinte, estender o modelo de Barberá (2015) para um espaço latente com duas dimensões. Será feito um estudo com dados artificiais a fim de se entender o processo de estimação e avaliar se há diferenças expressivas entre os modelos propostos. Em seguida, através de uma aplicação a um conjunto de dados reais, serão estimadas posições ideológicas em um espaço latente bidimensional no contexto brasileiro para deputados federais, senadores e atores políticos com conta no Twitter em julho de Palavras-chave: modelos de espaços latentes; relação unidirecional; posições ideológicas; política. viii

9 Abstract Network analysis has been applied to several areas such as politics. Social networks have presented a relevant impact in election campaigns, and thus social network models have been developed to estimate the ideological positions of politics and political parties, for instance. Barberá (2015), Souza et al. (2017) and Souza (2017) proposed models on the basis of Twitter data and unidirectional relationships in which the latent space only consists of one dimension, defined as the ideology and represented by the antagonism between left and right. On other side, Zucco (2009) define a second dimension to represent the dichotomy between opposition and government based on spatial models of roll-call voting. Therefore, the main purpose of this work is to extend the model of Barberá (2015) to a two-dimensional latent space. A study with artificial data will be conducted in order to understand the estimation process and to assess if there are significant differences between the proposed models. Then, through a real data application, ideological positions will be estimated in a two-dimensional latent space in the Brazilian context for federal deputies, senators and political actors with account on Twitter in July Keywords: latent space models; unidirectional relationship; ideological positions; politics. ix

10 Sumário 1 Introdução Objetivo Revisão de Inferência Bayesiana Teorema de Bayes Estimação Métodos de Monte Carlo via cadeias de Markov Metropolis-Hastings Amostragem de Gibbs Metodologia Especificação do modelo Distribuição a posteriori Estudo com dados simulados Dados gerados com uma constante de normalização Estimação com uma constante de normalização Estimação com duas constantes de normalização Dados gerados com duas constantes de normalização Estimação com uma constante de normalização Estimação com duas constantes de normalização Aplicação a dados reais Resultados para os atores políticos Resultados da primeira dimensão para os deputados federais e senadores Resultados da segunda dimensão para os deputados federais e senadores x

11 5.4 Resultados para os partidos Considerações finais 78 A Apêndice A 80 B Apêndice B 83 xi

12 Lista de Tabelas 4.1 Média e variância amostrais referentes aos dados simulados das distâncias entre os elementos de Φ e Θ na 1ª e na 2ª dimensão e sua soma Proporção de sucessos e fracassos em relação ao total para cada intervalo de distâncias Valores verdadeiros, estatísticas descritivas e intervalos de credibilidade de 95% da distribuição a posteriori Valores verdadeiros, estatísticas descritivas e intervalos de credibilidade de 95% da distribuição a posteriori Proporção de sucessos e fracassos em relação ao total para cada intervalo de distâncias Valores verdadeiros, estatísticas descritivas e intervalos de credibilidade de 95% da distribuição a posteriori Valores verdadeiros, estatísticas descritivas e intervalos de credibilidade de 95% da distribuição a posteriori Lista dos partidos cujos usuários e atores políticos do Twitter tiveram, em ambas as cadeias, pelo menos um de seus elementos de Φ ou de Θ com inicialização em -1 ou Estatísticas descritivas e intervalos de credibilidade de 95% da distribuição a posteriori Lista dos atores políticos com suas médias e desvios a posteriori Médias a posteriori e intervalos de credibilidade para os usuários (senadores e deputados federais) Médias a posteriori e intervalos de credibilidade para os deputados federais Médias a posteriori e intervalos de credibilidade para os senadores xii

13 B.1 Lista dos deputados ordenados por partido B.2 Senadores ordenados por partido B.3 Número de usuários que são deputados federais, senadores e o total por partido. 87 xiii

14 Lista de Figuras 4.1 Gráficos de dispersão de φ 1 contra φ 2 e de θ 1 contra θ Histogramas referentes aos dados simulados de φ 1, φ 2, θ 1 e θ Histogramas referentes aos dados simulados das distâncias entre Φ e Θ na 1ª e na 2ª dimensão e sua soma Histograma das probabilidades verdadeiras Frequências de sucessos e fracassos para cada intervalo de distâncias Boxplot de θ 1 versus φ 1, que foi construído a partir da ordenação de φ 1 pelos seus postos verdadeiros. Para cada elemento do vetor paramétrico φ 1 deste boxplot, consideraram-se apenas aqueles elementos do vetor paramétrico θ 1 que o seguem no Twitter Boxplot de θ 2 versus φ 2, que foi construído a partir da ordenação de φ 2 pelos seus postos verdadeiros. Para cada elemento do vetor paramétrico φ 2 deste boxplot, consideraram-se apenas aqueles elementos do vetor paramétrico θ 2 que o seguem no Twitter Gráfico da amostra da distribuição a posteriori de γ para as duas cadeias Gráficos da amostra da distribuição a posteriori de φ 3,1 e de φ 9,1 para as duas cadeias Gráficos da amostra da distribuição a posteriori de φ 9,2 e de φ 16,2 para as duas cadeias Gráficos de dispersão de α, β, φ 1, φ 2, θ 1 e θ Gráficos de dispersão dos postos de φ 1 e φ Gráficos de dispersão dos postos de θ 1 e θ Gráficos de dispersão das probabilidades e dos preditores não lineares Gráficos de γ 1 e de γ 2 após período de aquecimento e após a retirada das defasagens xiv

15 4.16 Gráficos da amostra da distribuição a posteriori de φ 3,1 e de φ 9,1 para as duas cadeias Gráficos da amostra da distribuição a posteriori de φ 9,2 e de φ 16,2 para as duas cadeias Gráficos de dispersão de α, β, φ 1, φ 2, θ 1 e θ Gráficos de dispersão dos postos de φ 1 e φ Gráficos de dispersão dos postos de θ 1 e θ Gráficos de dispersão das probabilidades e dos preditores não lineares Histograma das probabilidades verdadeiras Frequências de sucessos e fracassos para cada intervalo de distâncias Boxplot de θ 1 versus φ 1, que foi construído a partir da ordenação de φ 1 pelos seus postos verdadeiros. Para cada elemento do vetor paramétrico φ 1 deste boxplot, consideraram-se apenas aqueles elementos do vetor paramétrico θ 1 que o seguem no Twitter Boxplot de θ 2 versus φ 2, que foi construído a partir da ordenação de φ 2 pelos seus postos verdadeiros. Para cada elemento do vetor paramétrico φ 2 deste boxplot, consideraram-se apenas aqueles elementos do vetor paramétrico θ 2 que o seguem no Twitter Gráfico da amostra da distribuição a posteriori de γ para as duas cadeias Gráficos da amostra da distribuição a posteriori de φ 3,1 e de φ 9,1 para as duas cadeias Gráficos da amostra da distribuição a posteriori de φ 9,2 e de φ 16,2 para as duas cadeias Gráficos de dispersão de α, β, φ 1, φ 2, θ 1 e θ Gráficos de dispersão dos postos de φ 1 e φ Gráficos de dispersão dos postos de θ 1 e θ Gráficos de dispersão das probabilidades e dos preditores não lineares Gráficos da amostra da distribuição a posteriori de γ 1 e de γ 2 para as duas cadeias Gráficos da amostra da distribuição a posteriori de φ 3,1 e de φ 9,1 para as duas cadeias Gráficos da amostra da distribuição a posteriori de φ 9,2 e de φ 16,2 para as duas cadeias Gráficos de dispersão de α, β, φ 1, φ 2, θ 1 e θ Gráficos de dispersão dos postos de φ 1 e φ xv

16 4.38 Gráficos de dispersão dos postos de θ 1 e θ Gráficos de dispersão das probabilidades e dos preditores não lineares Gráficos da amostra da distribuição a posteriori de γ 1 e γ 2 para as duas cadeias Gráficos da amostra da distribuição a posteriori de φ 36,1 e φ 47,1 para as duas cadeias Gráficos da amostra da distribuição a posteriori de φ 106,1 para as duas cadeias Gráficos da amostra da distribuição a posteriori de φ 36,2 e φ 106,2 para as duas cadeias Médias a posteriori e intervalos de credibilidade de 95% para os deputados federais para a primeira dimensão (continua) Médias a posteriori e intervalos de credibilidade de 95% para os deputados federais para a primeira dimensão (continuação) Médias a posteriori e intervalos de credibilidade de 95% para os deputados federais para a primeira dimensão (conclusão) Médias a posteriori e intervalos de credibilidade de 95% para os senadores para a primeira dimensão Médias a posteriori e intervalos de credibilidade de 95% para os deputados federais para a segunda dimensão (continua) Médias a posteriori e intervalos de credibilidade de 95% para os deputados federais para a segunda dimensão (continuação) Médias a posteriori e intervalos de credibilidade de 95% para os deputados federais para a segunda dimensão (conclusão) Médias a posteriori e intervalos de credibilidade de 95% para os senadores para a segunda dimensão Gráfico das médias a posteriori dos usuários (senadores e deputados federais) Gráfico das médias a posteriori dos deputados federais Gráfico das médias a posteriori dos senadores xvi

17 Capítulo 1 Introdução Segundo Wasserman e Faust (1994) e Hoff et al. (2002), a análise de redes tem sido observada em diversas áreas do conhecimento, tais como ciências sociais e comportamentais, economia, marketing e engenharia industrial. Para Lazer (2011), a importância do estudo de redes se baseia na seguinte premissa: estar em uma boa posição dentro da rede aumenta as chances de sucesso (entende-se por sucesso um rótulo para o evento em que se tem interesse). Por exemplo, uma pessoa que esteja em contato com vários indivíduos com gripe tem maiores chances de contrair a doença que, nesse caso, seria o sucesso do que alguém que tenha contato com poucos. Ainda de acordo com Knoke e Kuklinski (1982), a estrutura de relações entre atores e a localização de atores individuais na rede trazem importantes consequências comportamentais tanto para as unidades individuais quanto para o sistema como um todo. Nesta dissertação, propõe-se o uso de redes para a estimação da posição ideológica de usuários de uma rede social (a saber, o Twitter1), com base em suas interações com atores políticos. Segundo Valente e da Silva (2010), as redes sociais têm apresentado impacto relevante nas campanhas eleitorais, pois têm servido para muitos políticos e partidos políticos promoverem a sua própria imagem, de forma a propiciar uma relação mais direta com os eleitores. De acordo com Valente e da Silva (2010), a rede social Twitter teve como momento decisivo de propagação a sua utilização na campanha do então candidato à presidência dos Estados Unidos, Barack Obama, nas eleições de Segundo Amaral e de Pinho (2018), desde que o Twitter foi utilizado nessa campanha eleitoral, muitos políticos voltaram suas atenções ao uso das novas tecnologias, principalmente das mídias sociais. No cenário atual, o presidente da República do Brasil, Jair Bolsonaro, foi eleito em 2018 contando com o uso eficiente das redes sociais. Conforme Volpatti e Lima (2018), Jair Bolsonaro 1https://twitter.com/ 1

18 empregou a estratégia conhecida, pelos teóricos americanos, como going public ( indo a público, em tradução livre), o qual se caracteriza pela utilização de uma comunicação direta com a sua rede de contatos pelas redes sociais. A relação direta com os eleitores foi estabelecida, por exemplo, por meio de mensagens exclusivas enviadas pelo próprio político e transmissões ao vivo (lives) no Facebook2 e Instagram3. Ainda segundo Volpatti e Lima (2018), o que se notou nas eleições de 2018 para presidência da República do Brasil foi a força da interatividade como mecanismo de ganho de confiança dos apoiadores e eleitores, havendo uma transformação na maneira como os políticos se relacionam e convencem as pessoas. O presidente eleito teve pouco tempo para sua propaganda eleitoral na televisão. Mas, mesmo assim, ele conseguiu conquistar um enorme número de seguidores, se tornando o candidato mais popular nas eleições de De acordo com Brant (2018), como o atual presidente da República Jair Bolsonaro, eleito em 2018, teve poucas agendas públicas na reta final da campanha, ele usou o Twitter como principal meio de comunicação e para divulgar propostas de governo, tendo ao todo 2,27 milhões de seguidores. Ainda conforme Brant (2018), outro político influente nesta rede social é o atual presidente dos Estados Unidos, Donald Trump, que se manifesta sobre diversos assuntos políticos, como imigração e eleições legislativas e é seguido por 55,6 milhões de pessoas. Conforme Kadushin (2013) e Souza (2017), um conceito bastante relevante para o entendimento de redes é o de homofilia. Esse princípio se caracteriza pela tendência que os indivíduos com características comuns (como traços sociodemográficos e comportamentais) têm de se associar entre si. Isto é, supõe-se que pessoas com atributos similares têm maior chance de estarem conectadas do que duas pessoas com atributos dissimilares. Vários estudiosos como Wu et al. (2011), Conover et al. (2012) e Barberá (2015) têm observado padrões de segregação homofílica consistentes com modelos em redes de interações entre usuários do Twitter, que será de fundamental importância no âmbito desta dissertação, pois dados dessa rede social serão utilizados aqui. Para uma rede social de r elementos, Fienberg et al. (1985), Hoff et al. (2002) e Souza (2017) definem uma matriz social Y como uma matriz de dimensão r r em que cada elemento é referente à variável aleatória Y i,j, com i, j = 1,..., r. Nos casos mais simples, essa variável é binária e indica a presença ou ausência de uma determinada relação de interesse (amizade, por exemplo) entre os elementos i e j. Para esse caso em que Y i,j é dicotômico, a matriz social Y possui, em sua formulação mais geral, a seguinte especificação: 2https:// 3https:// 2

19 1, se há a presença da relação direcional do elemento i para o elemento j; Y i,j = 0, caso contrário. (1.1) Um caso particular ocorre quando a direção da relação entre os elementos i e j não é importante. Nesse caso, a matriz social Y é simétrica, ou seja, Y i,j = Y j,i, i, j. Para essa situação, diz-se que a relação é não direcionada. Outro caso particular ocorre quando há o interesse em se estudar uma relação direcional entre elementos de dois subconjuntos distintos e cuja direção dessa relação seja dada do primeiro para o segundo. Para este contexto, há dois subconjuntos de indivíduos diferentes dentro de uma mesma rede social, assumindo-se que o índice i se refere ao primeiro subconjunto e o índice j, ao segundo, com i = 1,..., n e j = 1,..., m, em que r = n + m. Nesse caso, diz-se que a relação é unidirecional. Um modelo de redes sociais bastante utilizado que leva em conta o caso em que a relação é não direcionada e que tem sido base para muitas extensões é o modelo de distâncias latentes (Hoff et al., 2002), no qual se usa regressão logística para modelar a probabilidade de relação entre os indivíduos da rede. Sejam z i e z j os vetores de tamanho k que representam, respectivamente, as posições dos elementos i e j em um espaço euclidiano latente de dimensão k e z i z j, a distância euclidiana entre esses dois elementos da rede. Então, quanto menor for essa distância, maior será a probabilidade de conexão entre eles. Há, assim, o emprego do princípio da homofilia, que, conforme explicado anteriormente, é a tendência de indivíduos semelhantes se relacionarem entre si. Ainda segundo Hoff et al. (2002) e Souza (2017), é possível incluir covariáveis ao modelo, podendo-se defini-lo da seguinte forma: ( ) πi,j logit(π i,j ) = log = α + β x i,j z i z j, (1.2) 1 π i,j em que π i,j = P (Y i,j = 1 z i, z j, x i,j, α, β), Y i,j é referente à especificação dada na Equação 1.1, x i,j = (x i,j,1, x i,j,2,..., x i,j,l ) representa as L covariáveis avaliadas no par (i, j). Além disso, α (escalar), β (vetor) e z são os parâmetros e as posições a serem estimados. Barberá (2015) propõe um modelo similar ao modelo de distâncias latentes de Hoff et al. (2002), permitindo estimar as posições latentes de indivíduos com base em dados do Twitter. Para compreender a estrutura dos dados, é importante entender como é feita a interação entre usuários do Twitter. Cada usuário pode escolher seguir outro usuário, que não necessariamente precisa segui-lo de volta. No modelo proposto por Barberá (2015), o elemento Y i,j da matriz Y 3

20 informa se o usuário i segue ou não o ator político j no Twitter (Souza, 2017). Sendo assim, essa variável binária é definida, no presente trabalho, da seguinte forma: 1, se o usuário i segue o ator político j no T witter (i j); Y i,j = 0, caso contrário (i j), (1.3) em que os usuários são os deputados federais e senadores que possuem conta no Twitter. Com relação aos atores políticos, estes se referem, por exemplo, a partidos políticos, políticos e principais jornais e revistas que possuem conta no Twitter. Esse modelo é um bom exemplo de uso de relação unidirecional, em que um indivíduo com conta no Twitter e do primeiro subconjunto (chamado de usuário ) pode seguir ou não um indivíduo com conta no Twitter e do segundo subconjunto (chamado de ator político ). Segundo Barberá (2015), o Twitter é uma rede social válida para o estudo da interação entre usuário e ator político. Este é uma das redes sociais mais utilizadas pelos internautas no momento presente, possuindo na atualidade 326 milhões de usuários ativos mensalmente no mundo. A utilização massiva dessa rede social se deve em grande parte ao fato de ela restringir o tamanho de cada mensagem a 280 caracteres, chamada de tweet, facilitando, assim, por exemplo no contexto político, a comunicação dos chefes de Estado com seus eleitores. Uma das vantagens do Twitter é o fato de ele ser dinâmico, isto é, permitir, por exemplo, um usuário seguir um ator político em uma certa época e depois de um certo tempo mudar de ideia em resposta a eventos de campanha. No modelo de Barberá (2015), há a suposição de que o Twitter seja uma rede homofílica, havendo a tendência de usuários do Twitter preferirem seguir atores políticos com ideais similares aos deles. Nessa abordagem, θ i e φ j são as posições do usuário i e do ator político j em uma escala latente unidimensional e fazem alusão, respectivamente, aos vetores z i e z j da Equação 1.2. Utiliza-se nesse caso o espaço euclidiano latente unidimensional representado pelo antagonismo entre esquerda e direita em Souza (2017), isto é, θ i, φ j R. Analogamente ao modelo de distâncias latentes, a probabilidade de um usuário i seguir ou não um determinado ator político j também será função da distância euclidiana das posições ideológicas desses dois usuários comuns: d(θ i, φ j ) = γ(θ i φ j ) 2, em que γ é uma constante não negativa de normalização e que avalia o quanto a distância entre as posições latentes influencia na probabilidade de relação entre os elementos da rede. Sendo assim, quanto menor for a distância entre suas posições no espaço latente, maior será a propensão da relação de amizade unidirecional entre eles. Portanto, há a seguinte especificação para o modelo: 4

21 [Y i,j π i,j ] Ber(π i,j ) ( ) πi,j log = α i + β j γ(θ i φ j ) 2, 1 π i,j em que Y i,j é referente à especificação dada na Equação 1.3. Segundo Barberá (2015), Souza et al. (2017) e Souza (2017), o parâmetro α i mede o nível de interesse político do usuário i e β j, a popularidade do ator político j. É importante ressaltar a natureza latente (não-observável) de todas as componentes do preditor (α i, β j, θ i e φ j ). 1.1 Objetivo Nos trabalhos de Barberá (2015), Souza (2017) e em outros da literatura, o espaço latente é constituído de apenas uma dimensão, definida como a ideologia e representada pelo antagonismo entre esquerda e direita. Em Zucco (2009) e Zucco e Lauderdale (2011), uma segunda dimensão foi definida para representar a dicotomia entre oposição e governo a partir de votações nominais, nas quais os membros de uma instituição política podem ser favoráveis ou não a determinado projeto de lei e têm maior probabilidade de votar na alternativa política que esteja mais próxima de sua posição ideológica. De acordo com Souza et al. (2017), calcular posições apenas em um espaço latente poderia permitir que dimensões tais como oposição-governo e esquerda-direita fossem embaralhadas na representação dessa única dimensão. O principal propósito desta dissertação é, por conseguinte, estender o modelo de Barberá (2015) para um espaço latente com duas dimensões, seguindo a ideia de Zucco (2009) e Zucco e Lauderdale (2011), mas aplicando-o aos dados do Twitter. Far-se-á um estudo com dados artificiais e uma aplicação a dados reais do cenário político brasileiro, utilizando, em ambos os casos, o plano euclidiano bidimensional. No primeiro caso, serão propostos modelos a fim de se entender o processo de estimação e para avaliar se há diferenças expressivas entre eles. Neste último, o intuito é o de estimar posições ideológicas em um espaço latente no contexto brasileiro para deputados federais, senadores e atores políticos que possuíam conta no Twitter em julho de Além da Introdução, esta dissertação de mestrado é dividida em cinco capítulos e um apêndice. No Capítulo 2, é exposto um resumo sobre alguns conceitos de Inferência Bayesiana. No Capítulo 3, apresenta-se a formulação matemática referente à variação na caracterização do modelo de Barberá (2015), considerando-se o espaço latente como o plano euclidiano bidimensional. No Capítulo 4, compara-se o desempenho de alguns modelos no estudo com 5

22 dados artificiais. No Capítulo 5, é realizada a análise referente à aplicação a dados reais do Twitter. No Capítulo 6, relatam-se as conclusões, as futuras investigações e variações que podem ser exploradas a partir desta dissertação de mestrado. No Apêndice A, apontam-se os problemas de identificabilidade inerentes ao modelo proposto no Capítulo 3 e suas possíveis soluções. Por fim, no Apêndice B, reporta-se a lista dos deputados federais e senadores que são considerados na aplicação a dados reais do Twitter e o partido político ao qual cada um deles pertence. É importante fazer a ressalva de que, como essa lista é referente a julho de 2017, as siglas de alguns partidos políticos não existem mais e alguns políticos podem ter mudado de partido e/ou podem não ser mais deputados federais ou senadores. 6

23 Capítulo 2 Revisão de Inferência Bayesiana Aqui serão apresentados alguns conceitos referentes à Inferência Bayesiana. Todo o conteúdo referente a este capítulo foi baseado em Migon et al. (2014). 2.1 Teorema de Bayes O problema de inferência estatística pode ser descrito a partir de uma quantidade de interesse desconhecida (não observável) θ = (θ 1,..., θ d ) com seus valores possíveis em um conjunto Θ R d. Sob a abordagem bayesiana, essa quantidade pode ser sumarizada probabilisticamente por meio de sua distribuição a priori p(θ). Para auxílio da descrição da incerteza a respeito dessa quantidade não observável, considerase o vetor de quantidades aleatórias Y, o qual é relacionado a θ. Uma vez observados os dados, p(y θ) é uma função de θ, à qual se chama de função de verossimilhança. Após observar Y = y, há um incremento na informação a respeito de θ, sendo esta sumarizada agora por p(θ y), chamada de distribuição a posteriori. Tal distribuição é obtida por meio do teorema de Bayes, que fornece a regra de atualização de probabilidades sobre θ partindo de p(θ) e chegando a p(θ y). Tem-se, então, a seguinte formulação matemática: em que p(θ y) = p(y θ)p(θ), p(y) p(y) = Θ p(y θ)p(θ)dθ. Nos casos em que a distribuição a posteriori não possuir uma forma fechada com padrão 7

24 conhecido, pode ser mais interessante usar uma formulação matemática alternativa. Como p(y) não depende de θ, essa função no denominador é apenas uma constante no que diz respeito a p(θ y). Sendo assim, a forma alternativa do teorema de Bayes é dada por: p(θ y) p(y θ)p(θ), em que refere-se ao símbolo de proporcionalidade. 2.2 Estimação A distribuição a posteriori apresenta toda a informação necessária para inferência sobre o parâmetro de interesse θ, o qual se considera ser, nesta subseção, um escalar. No entanto, pode ser necessário resumir essa informação em poucos números. E o caso mais simples é o de estimação pontual, em que se deseja determinar um único valor de θ que sumarize a distribuição como um todo. Esse valor será expresso por ˆθ e chamado estimador pontual de θ. Então, a estimação pontual pode ser entendida como um problema de decisão. A cada regra de decisão δ(y) e a cada possível valor do parâmetro θ fica associada uma perda, que pode ser entendida como uma penalização ao se tomar a decisão δ quando o verdadeiro valor do parâmetro é θ. Essa função de perda é denotada por L(δ, θ) e assume valores em R +. Sendo assim, define-se o risco (ou perda esperada) como R(δ) = E θ y [L(δ, θ)] e, ao minimizá-lo, obtém-se ˆθ. As principais funções de perda utilizadas são: Função de perda absoluta: L 1 (θ, δ) = θ δ ; Função de perda quadrática: L 2 (θ, δ) = (θ δ) 2 ; e 1, se θ δ > ɛ ; Função de perda 0-1: L (θ, δ) = 0, se θ δ ɛ, sendo ɛ 0. Os estimadores pontuais vinculados a essas perdas são, respectivamente: a mediana a posteriori, a média a posteriori e a moda a posteriori de θ. Generalizações para o caso multivariado podem ser encontradas em Berger (1985), DeGroot (2004) e Ferguson (1967). Outra forma de resumir uma informação sobre um parâmetro é através da estimação intervalar. No caso bayesiano, pode-se expressar probabilisticamente a pertinência ou não de θ a um intervalo, que é chamado de intervalo de credibilidade. Quanto menor for o tamanho desse intervalo, mais concentrada é a distribuição de θ, havendo, assim, uma informação a respeito da 8

25 dispersão desse parâmetro. Por definição, C é um intervalo de credibilidade de 100(1 α)% para θ se: P (θ C y) 1 α, em que (1 α) é o nível de credibilidade. Então, no caso em que θ é escalar, o intervalo é usualmente da forma [c 1, c 2 ]. Nem sempre a distribuição a posteriori possui uma forma fechada com padrão conhecido. Para contornar esse percalço, em geral, recorre-se a métodos numéricos, como os de Monte Carlo via cadeias de Markov (MCMC, abreviação em inglês de Markov chain Monte Carlo), que, no contexto bayesiano, utilizam simulação estocástica para gerar amostras da distribuição a posteriori e, posteriomente, para concluir o processo inferencial. 2.3 Métodos de Monte Carlo via cadeias de Markov Os métodos MCMC têm como ideia central construir uma cadeia de Markov da qual seja fácil de simular e cuja distribuição de equilíbrio seja igual à distribuição de interesse. Essas técnicas são muito poderosas, pois elas podem ser aplicadas com sucesso a problemas de alta dimensionalidade. Considere, então, que θ 1,..., θ d possuem distribuição conjunta p(θ)1 = p(θ 1,..., θ d ) e que q(θ,θ ) define a distribuição condicional das transições do estado θ. Sendo assim, é possível construir uma cadeia com probabilidades de transição invariantes no tempo, em que cada estado pode ser obtido a partir de qualquer outro estado com um número finito de iterações, possibilitando-se alcançar distribuição de equilíbrio para um número suficientemente grande de iterações. Portanto, ao construir uma cadeia de Markov adequada, é possível realizar uma simulação de Monte Carlo de valores de p. Por isso, o método é chamado de MCMC. Dois métodos se destacam nesse campo de estudo: o algoritmo de Metropolis-Hastings e a amostragem de Gibbs Metropolis-Hastings Um método bastante empregado na construção de uma cadeia de Markov é o algoritmo de Metropolis-Hastings, que foi inicialmente proposto por Metropolis et al. (1953) e depois 1p(θ) é uma distribuição genérica qualquer. 9

26 estendido por Hastings (1970). Este é baseado na ideia de usar uma distribuição auxiliar e em esquemas de aceitação-rejeição. Considere q(θ,.) como núcleo arbitrário de transição, θ (0) como vetor de valores iniciais e que, na iteração j, a cadeia está no estado θ (j). Então, a posição da cadeia na iteração (j + 1), denotada por θ (j+1), é obtida da seguinte forma: 1. proponha um movimento da cadeia para o estado θ a partir de q(θ (j),.); e 2. aceite o movimento proposto com probabilidade α(θ (j), θ ) = mín { } 1, p(θ )/q(θ (j), θ ) p(θ (j) )/q(θ, θ (j) ) e, então, faça θ (j+1) = θ. Caso contrário, rejeite o movimento com probabilidade 1 α(θ (j), θ ) e faça θ (j+1) = θ (j). Esse movimento da cadeia pode ser feito em blocos para os parâmetros do modelo. Na prática, é bastante difícil encontrar núcleos apropriados q(θ,.) para modelos de alta dimensionalidade e, ao mesmo tempo, garantir probabilidades de aceitação suficientemente grandes. Sendo assim, a cadeia pode passar longos períodos de tempo em um mesmo estado. A desvantagem deste algoritmo é, portanto, que, dependendo da escolha da distribuição proposta, o número de valores rejeitados pode ser muito alto, fazendo com que a cadeia se mova pouco. Sob certas condições de regularidade (Tierney, 1994), a distribuição limite de θ (j) tende a p(θ) após um período chamado de aquecimento (e denominado período de burn-in ou warm-up, em inglês) no qual as N 0 iterações iniciais devem ser descartadas. Sendo assim, os passos 1 e 2 do algoritmo de Metropolis-Hastings devem ser realizados até alcançar a convergência e até obter o tamanho da amostra da distribuição a posteriori necessário para a inferência do modelo. A amostra resultante é, então, composta por M = N N 0 iterações, em que N é o número total de iterações realizadas. Uma das formas de monitorar a convergência em distribuição das cadeias é por meio de inspeção gráfica, na qual se observam as trajetórias de cadeias diferentes partindo de valores iniciais distintos. Quando o gráfico da cadeia tem uma aparência aleatória e estacionária, há indício de convergência. Depois de obter a amostra, os valores consecutivos θ (j), j = t, t + 1, t + 2,..., para algum t positivo, podem ser correlacionados. Apesar disso, uma amostra aleatória de tamanho s de θ pode ser formada retendo s valores sucessivos após a verificação da convergência. Para se 10

27 ter observações aproximadamente independentes, podem-se manter s valores defasados por l unidades. Este número de defasagens deve ser suficientemente grande para assegurar que a amostra final seja aproximadamente independente, podendo essa escolha ser baseada em um gráfico contendo a função de autocorrelação da cadeia. Após a obtenção da amostra final, a inferência sobre cada θ i pode ser feita a partir do método de Monte Carlo. Por exemplo, a média a posteriori da i-ésima componente de θ é estimada por (1/s) s k=1 θ i,k, em que θ i,k é referente ao k-ésimo valor da amostra final do parâmetro θ i. Além disso, a média a posteriori de uma função g da i-ésima componente de θ i é estimada por (1/s) s k=1 g(θ i,k). Por outro lado, o intervalo de credibilidade de 100(1 α)% para a i-ésima componente de θ, dado por [c 1, c 2 ], pode ser estimado por definir c 1 como o quantil amostral α 2 de {θ i,k, k = 1,..., s} e c 2 como o quantil amostral 1 α Amostragem de Gibbs Uma outra forma também muito utilizada na construção de uma cadeia de Markov é através do emprego da amostragem de Gibbs. Tal método foi proposto por Geman e Geman (1984) e popularizado por Gelfand e Smith (1990). Convém mencionar também que a amostragem de Gibbs é um caso particular do algoritmo de Metropolis-Hastings em que a probabilidade de aceitação do valor gerado é igual a 1 e as distribuições condicionais completas assumem o papel da distribuição proposta. Seja p i (θ i θ i ) a função de densidade condicional de θ i dados os valores de todos os outros componentes do vetor θ e considere que seja possível gerar dessa distribuição para cada i = 1, 2,..., d. Com base nessa formulação, o algoritmo se inicia a partir de valores iniciais escolhidos arbitrariamente θ (0) = (θ (0) 1,..., θ (0) d ) para todas as quantidades desconhecidas do modelo. Além disso, na j-ésima iteração, a cadeia se encontra no estado θ (j). Então, a posição da cadeia na iteração seguinte (j + 1) é obtida da seguinte forma: 1. gere θ 1 (j+1) de p 1 (θ 1 θ 2 (j),..., θ d (j) ); 2. gere θ 2 (j+1) de p 2 (θ 2 θ 1 (j+1), θ 3 (j),..., θ d (j) ); e 3. repetir sucessivamente o procedimento para i = 3, 4,..., d, em que, no último passo, θ d (j+1) é gerado de p d (θ d θ 1 (j+1),..., θ d 1 (j+1) ), obtendo-se o vetor θ (j+1) = (θ (j+1) 1,..., θ (j+1) d ). Sob certas condições de regularidade (Tierney, 1994), a distribuição limite de θ (j) tende a p(θ). Os passos 1, 2 e 3 do algoritmo de Gibbs devem ser executados até alcançar a convergência 11

28 e até obter o tamanho da amostra da distribuição a posteriori necessário para a inferência do modelo. Os procedimentos de análise de convergência das cadeias e de estimação via amostragem de Gibbs podem ser realizados similarmente ao método de Metropolis-Hastings, descrito na Seção

29 Capítulo 3 Metodologia Neste capítulo, será empregada uma variação na caracterização do modelo de Barberá (2015), considerando-se o espaço latente como o plano euclidiano bidimensional, sendo explicitada sua especificação na Seção 3.1 e sua distribuição a posteriori na Seção 3.2. Convém frisar ainda que o Apêndice A complementa este capítulo, havendo a exposição dos problemas de identificabilidade deste modelo no espaço latente bidimensional. 3.1 Especificação do modelo Similarmente a Barberá (2015), propõe-se um modelo em que cada elemento Y i,j da matriz Y é uma variável binária que informa se o usuário i segue ou não o ator político j no Twitter, sendo definida com a seguinte configuração: 1, se o usuário i segue o ator político j no T witter (i j); Y i,j = 0, caso contrário (i j), (3.1) em que os usuários são os deputados federais e senadores que possuem conta no Twitter. Com relação aos atores políticos, estes se referem, por exemplo, a partidos políticos, políticos e principais jornais e revistas que possuem conta no Twitter. Conforme mencionado anteriormente, propõe-se, nesta dissertação, estender o modelo de Barberá (2015) para o espaço euclidiano latente bidimensional. Sendo assim, há uma abordagem diferente para a configuração das posições do usuário i e do ator político j no espaço latente: θ i, φ j R 2, em que θ i = (θ i,1, θ i,2 ) e φ j = (φ j,1, φ j,2 ). Nessa caracterização, θ i,1 e φ j,1 referem-se, respectivamente, às posições do usuário i e do ator político j na primeira dimensão 13

30 do espaço latente. Ademais, θ i,2 e φ j,2 referem-se, respectivamente, às posições do usuário i e do ator político j na segunda dimensão do espaço latente. Além disso, outra contribuição desta dissertação é a inclusão de duas constantes de normalização não negativas: γ 1, relativa à primeira dimensão e γ 2, referente à segunda dimensão. Portanto, o modelo proposto é definido da seguinte forma: [Y i,j π i,j ] Ber(π i,j ) (3.2) ( ) πi,j η i,j = logit(π i,j ) = log = α i + β j γ 1 (φ j,1 θ i,1 ) 2 γ 2 (φ j,2 θ i,2 ) 2 (3.3) 1 π i,j π i,j = exp (η i,j) 1 + exp (η i,j ), (3.4) em que Y i,j é referente à especificação dada na Equação 3.1. Ademais, η i,j = logit(π i,j ) representa a função de ligação do modelo, sendo definido como preditor não linear. É interessante notar que, nessa formulação proposta, as distâncias entre as posições latentes nas duas dimensões, dadas por (φ j,1 θ i,1 ) 2 e (φ j,2 θ i,2 ) 2, podem ter, em princípio, uma contribuição diferente na probabilidade de relação entre os elementos da rede. Isso ocorre devido à inclusão das duas constantes de normalização γ 1 e γ 2 no modelo. 3.2 Distribuição a posteriori Assumindo-se independência entre usuários e atores políticos, condicionalmente aos parâmetros, tem-se a seguinte função de verossimilhança: p(y α, β, γ 1, γ 2, Θ, Φ) = n m i=1 j=1 π y i,j i,j (1 π i,j) 1 y i,j, (3.5) em que y representa a matriz de dados observados, α = (α 1,..., α n ), β = (β 1,..., β m ), Θ = (θ 1, θ 2 ), Φ = (φ 1, φ 2 ), θ 1 = (θ 1,1,..., θ n,1 ), θ 2 = (θ 1,2,..., θ n,2 ), φ 1 = (φ 1,1,..., φ m,1 ) e φ 2 = (φ 1,2,..., φ m,2 ). Por se utilizar uma abordagem bayesiana para inferência do modelo proposto, precisa-se especificar a distribuição a priori e obter a distribuição a posteriori, que é dada, a menos de uma constante normalizadora multiplicativa, pelo produto da função de verossimilhança pela distribuição a priori. A distribuição a priori atribuída aos parâmetros γ 1 e γ 2 é dada pela distribuição normal truncada no intervalo [0, ) com parâmetro de localização zero e escala σ 2. Esta proposta 14

31 é uma alternativa a priori utilizada em Barberá (2015), Souza et al. (2017) e Souza (2017), que possui uma probabilidade acumulada considerável em pontos vizinhos de zero e pode, por conseguinte, resultar em problemas de convergência. Para os elementos de α, Θ, β e Φ, propõem-se distribuições a priori normais. Sendo assim, as distribuições a priori escolhidas para as quantidades desconhecidas foram: γ 1 N + (0, σγ 2 1 ), γ 2 N + (0, σγ 2 2 ), α i N (µ α, σα), 2 θ i,k N (µ θk, σθ 2 k ), β j N (µ β, σβ 2) e φ j,k N (µ φk, σφ 2 k ), para i = 1, 2,..., n, j = 1, 2,..., m e k = 1, 2. Portanto, a distribuição a posteriori é dada por: p(α, β, γ 1, γ 2, Θ, Φ y) p(y α, β, γ 1, γ 2, Θ, Φ)p(α, β, γ 1, γ 2, Θ, Φ, µ, σ) = n m π y ij ij (1 π ij) 1 y ij i=1 j=1 n [ N (αi µ α, σα)n 2 (θ i,1 µ θ1, σθ 2 1 )N (θ i,2 µ θ2, σθ 2 2 ) ] i=1 m [ N (βj µ β, σβ)n 2 (φ j,1 µ φ1, σφ 2 1 )N (φ j,2 µ φ2, σφ 2 2 ) ] j=1 N + (γ 1 0, σ 2 γ 1 )N + (γ 2 0, σ 2 γ 2 ), (3.6) em que µ = (µ θ1, µ θ2, µ φ1, µ φ2 ) e σ = (σ 2 θ 1, σ 2 θ 2, σ 2 φ 1, σ 2 φ 2, σ 2 γ 1, σ 2 γ 2 ). Além disso, N (x µ, σ 2 ) representa a função de densidade de probabilidade da distribuição normal com média µ e variância σ 2 avaliada em x. Por fim, N + (w 0, τ 2 ) refere-se à função de densidade de probabilidade da distribuição normal truncada que assume apenas valores não negativos com parâmetros zero e τ 2 avaliada em w. Por fim, vale ressaltar que σ 2 γ 1 e σ 2 γ 2 são hiperparâmetros fixos. Devido aos problemas de identificabilidade (apresentados no Apêndice A), foram consideradas algumas restrições no modelo: µ α = 0, µ θ1 = 0, µ θ2 = 0, σ 2 θ 1 = 1 e σ 2 θ 2 = 1. Outras combinações de restrições foram testadas, mas, no estudo com dados artificiais do Capítulo 4, serão apresentados os resultados obtidos com apenas essas. Por exemplo, em uma das abordagens que não serão apresentadas no contexto desta dissertação de mestrado, fixaram-se os valores das constantes de normalização γ 1 e γ 2 e utilizaram-se distribuições a priori GI(ν 1, λ 1 ) e GI(ν 2, λ 2 ) para os hiperparâmetros σ 2 θ 1 e σ 2 θ 2, respectivamente, isto é, distribuições gama inversa em que ν 1 e ν 2 são os parâmetros de forma e λ 1 e λ 2, os parâmetros de escala. Averiguou-se que os resultados desta abordagem foram similares aos que serão apresentados no Capítulo 4. Segundo Barberá (2015), fixar hiperparâmetros das distribuições a priori alcança a identificação local, mas não a global. Isto é, ao fixar µ θ1 = 0, σ 2 θ 1 = 1, µ θ2 = 0 e σ 2 θ 2 = 1, todas as posições latentes inerentes à primeira dimensão podem, por exemplo, ser multiplicadas por 15

32 -1 sem alterar a verossimilhança (ou seja, a escala pode ser invertida). Isso implica, em tal caso, que a verossimilhança e a distribuição a posteriori são bimodais e que cada cadeia da posição latente da primeira dimensão pode convergir para uma moda diferente. Esse problema pode ser resolvido ao multiplicar os valores amostrados para a primeira dimensão de Θ e de Φ por -1 em uma das cadeias para que todas as cadeias produzam resultados similares. Uma solução alternativa é escolher valores iniciais para um conjunto de posições latentes que sejam consistentes com o sentido esperado. É importante mencionar ainda que, para o caso particular em que γ = γ 1 = γ 2, não é necessário impor a restrição σθ 2 2 = 1. Então, pode-se utilizar, nesse caso, uma distribuição a priori GI(ν, λ) para o hiperparâmetro σθ 2 2, isto é, a distribuição gama inversa em que ν é o parâmetro de forma e λ, o parâmetro de escala. Vale também destacar que, no caso específico de γ 2 ser igual a zero, há equivalência com o modelo de Barberá (2015), o qual, segundo Zucco e Lauderdale (2011), é caracterizado pelo colapso de duas dimensões em apenas uma no posicionamento dos indivíduos no espaço latente. De acordo com Zucco e Lauderdale (2011), a dificuldade de distinção entre as duas dimensões pode ocorrer devido à existência de uma coalizão governamental ideologicamente coerente. Serão utilizadas distribuições a priori truncadas para alguns parâmetros de cada dimensão de Φ para facilitar a identificação do modelo. Segundo Bakker e Poole (2013), definir o sinal de um parâmetro é uma restrição mais suave. Por outro lado, fixar dois pontos, por exemplo, é uma restrição mais rígida por fixar uma das distâncias. De fato, foram fixados alguns elementos de ambas as dimensões da matriz de parâmetros Φ e averiguou-se que os seus resultados foram similares aos obtidos pelo modelo com distribuições a priori truncadas para alguns parâmetros de cada dimensão de Φ. Então, preferiu-se utilizar o modelo mais flexível. Pelo fato de a distribuição a posteriori não possuir uma forma fechada com padrão conhecido, os métodos MCMC serão utilizados para obter amostras dessa distribuição a posteriori, permitindo a inferência sobre as quantidades desconhecidas do modelo. 16

33 Capítulo 4 Estudo com dados simulados Neste capítulo, são apresentados os principais resultados referentes ao estudo com dados artificiais, que têm por principal finalidade avaliar a estimação das posições latentes no espaço bidimensional. Outro objetivo deste estudo é representar uma situação real e similar à da aplicação que será analisada mais à frente no Capítulo 5. Para isso, os dados artificiais foram gerados a partir de dois modelos: no primeiro caso, considerou-se uma constante de normalização, com γ = γ 1 = γ 2 (Seção 4.1), e, no segundo caso, foram utilizadas duas constantes de normalização, γ 1 conjuntamente com γ 2 (Seção 4.2). Primeiramente realizou-se uma análise exploratória dos dados gerados e um estudo dos parâmetros. Posteriormente foram comparados os modelos propostos através de uma análise associada à estimação dos parâmetros e ao ajuste de dados artificiais, por meio da obtenção de suas probabilidades preditas. 4.1 Dados gerados com uma constante de normalização Nesta seção, gerou-se um conjunto de dados segundo o modelo proposto nas Equações 3.2, 3.3 e 3.4 e supôs-se que γ 1 = γ 2, ou seja, considerou-se apenas uma constante de normalização, com γ = γ 1 = γ 2 = 0, 3. Os demais parâmetros foram gerados das seguintes distribuições: α i N(0; 0, 2); β j N(1; 0, 2); θ i,k N(0; 1); φ j,k 0, 5N( 1, 5; 1) + 0, 5N(1, 5; 1), para i = 1,..., 200; j = 1,..., 20 e k = 1, 2. Esta última distribuição mistura bimodal de normais permite que seus pontos sejam aleatoriamente gerados de forma a possuir duas modas diferentes em cada eixo, possibilitando, assim, uma distinção entre dois grupos em cada eixo do espaço latente. A escolha de seus valores foi feita de modo a evitar a obtenção de uma matriz social esparsa, isto é, uma matriz com uma quantidade elevada de zeros. Note também 17

34 que n = 200 e m = 20, o que é equivalente a 200 usuários comuns e 20 atores políticos. Similarmente a Barberá (2015) e Souza (2017), foram impostas duas restrições a essa matriz: suas linhas não poderiam somar zero e suas colunas não poderiam ter soma menor do que 10. Sendo assim, cada usuário deveria seguir ao menos um ator político, que, por sua vez, deveria ser seguido por pelo menos 10 usuários, evitando-se, assim, a utilização de uma matriz social que tenham usuários com ínfimo interesse político e atores políticos com popularidade muito baixa. A partir dos valores verdadeiros dos parâmetros obtidos nesta simulação, realizou-se, então, uma análise exploratória dos vetores paramétricos φ 1, φ 2, θ 1 e θ 2 por meio de gráficos de dispersão e histogramas, os quais seguem nas Figuras 4.1 e 4.2. φ θ φ θ 1 Figura 4.1: Gráficos de dispersão de φ 1 contra φ 2 (à esquerda) e de θ 1 contra θ 2 (à direita). Pela Figura 4.1, observa-se que relativamente há um certo equilíbrio entre valores positivos e negativos para cada dimensão de Φ e Θ. Além disso, nota-se que pares de pontos associados às matrizes de parâmetros Φ e Θ foram gerados em cada quadrante do plano cartesiano, o que é desejável para a estimação do modelo. A Figura 4.2 apresenta os histogramas dos resultados simulados dos elementos dos vetores paramétricos φ 1, φ 2, θ 1 e θ 2. Primeiramente, nota-se um maior espalhamento dos valores gerados para a segunda dimensão da matriz de parâmetros Φ do que para a primeira dimensão. Isso é um indicativo de que possivelmente haverá maior dificuldade de estimar os parâmetros da primeira dimensão de Φ. Além disso, observa-se, aparentemente, que as distribuições amostrais associadas a θ 1 e θ 2 são semelhantes. A Figura 4.3 apresenta o histograma das distâncias obtidas entre os elementos de Φ e Θ na primeira dimensão, (θ 1 φ 1 ) 2, na segunda dimensão, (θ 2 φ 2 ) 2, e da soma entre as duas, 18

35 (θ 1 φ 1 ) 2 + (θ 2 φ 2 ) 2. A Tabela 4.1 apresenta a média e a variância dessas distâncias. Nota-se, Densidade φ 1 Densidade φ 2 Densidade Densidade θ θ 2 Figura 4.2: Histogramas referentes aos dados simulados de φ 1, φ 2, θ 1 e θ 2. Densidade Densidade Densidade (θ 1 φ 1 ) (θ 2 φ 2 ) (θ 1 φ 1 ) 2 + (θ 2 φ 2 ) 2 Figura 4.3: Histogramas referentes aos dados simulados das distâncias entre Φ e Θ na primeira dimensão, (θ 1 φ 1 ) 2, na segunda dimensão, (θ 2 φ 2 ) 2, e a soma entre as duas, (θ 1 φ 1 ) 2 + (θ 2 φ 2 ) 2. 19

36 Tabela 4.1: Média e variância amostrais referentes aos dados simulados das distâncias entre os elementos de Φ e Θ na primeira e na segunda dimensão e sua soma. Variável Média Variância Distância na primeira dimensão 2,77 13,75 Distância na segunda dimensão 3,76 17,66 Soma das distâncias 6,52 29,34 neste caso específico, que a média e a variabilidade das distâncias é maior para a segunda dimensão. A Figura 4.4 apresenta o histograma referente às probabilidades verdadeiras de se obter sucesso, π i,j, propostas na Equação 3.4. No contexto desta dissertação, o sucesso ocorre quando o usuário i segue o ator político j no Twitter. Observa-se a presença de muitas probabilidades próximas de zero. Segundo Souza (2017), com efeito, a maior parte das probabilidades geradas pela função de ligação logit estão em sua cauda inferior. Densidade Probabilidades verdadeiras Figura 4.4: Histograma das probabilidades verdadeiras. A Tabela 4.2 apresenta a proporção de sucessos e fracassos em relação ao total para cada intervalo de distâncias, que, neste caso, é referente à expressão (θ 1 φ 1 ) 2 + (θ 2 φ 2 ) 2. Por fim, a Figura 4.5 mostra a frequência de sucessos e fracassos para cada intervalo dessas distâncias. Percebe-se que há um predomínio de sucessos para distâncias pequenas, mas quanto mais se aumenta o valor da distância, maior é a supremacia dos fracassos sobre os sucessos. Esse resultado é o esperado, de acordo com a formulação do modelo, que segue o princípio da homofilia, ou seja, indivíduos mais próximos no espaço latente tendem a se associar com maior probabilidade. 20

37 Resultado semelhante também pode ser observado pelas Figuras 4.6 e 4.7. A Figura 4.6 mostra o boxplot de θ 1 versus φ 1, que foi construído a partir da ordenação de φ 1 pelos seus postos verdadeiros. Para cada elemento do vetor paramétrico φ 1 do boxplot associado à Figura 4.6, consideraram-se apenas aqueles elementos do vetor paramétrico θ 1 que o seguem no Twitter. A Figura 4.7 mostra o boxplot de θ 2 versus φ 2, o qual foi construído analogamente às condições da Figura 4.6. Observa-se, pela Figura 4.6, para os casos em que há sucesso, uma certa ascendência dos valores associados à primeira dimensão de Θ conforme se aumenta o valor associado à primeira dimensão de Φ. Pela Figura 4.7, verifica-se que isso também é satisfeito para a segunda dimensão de Θ e Φ. Tabela 4.2: Proporção de sucessos e fracassos em relação ao total para cada intervalo de distâncias. Intervalo Fracasso Sucesso 0 a 5 0, , a 10 0, , a 15 0, , a 20 0, , a 25 0, , a 30 0, ou mais 0, Frequência Sucesso Fracasso 0 a 5 5 a a a a a ou mais Intervalo Figura 4.5: Frequências de sucessos e fracassos para cada intervalo de distâncias. 21

38 θ φ (1), 1 φ (5), 1 φ (10), 1 φ (15), 1 φ (20), 1 Figura 4.6: Boxplot de θ 1 versus φ 1, que foi construído a partir da ordenação de φ 1 pelos seus postos verdadeiros. Para cada elemento do vetor paramétrico φ 1 deste boxplot, consideraram-se apenas aqueles elementos do vetor paramétrico θ 1 que o seguem no Twitter. θ φ (1), 2 φ (5), 2 φ (10), 2 φ (15), 2 φ (20), 2 Figura 4.7: Boxplot de θ 2 versus φ 2, que foi construído a partir da ordenação de φ 2 pelos seus postos verdadeiros. Para cada elemento do vetor paramétrico φ 2 deste boxplot, consideraram-se apenas aqueles elementos do vetor paramétrico θ 2 que o seguem no Twitter. Para a estimação do modelo explicitado no Capítulo 3, truncaram-se as distribuições a priori para dois parâmetros de cada dimensão de Φ. Então, foram considerados dois casos em separado: no primeiro, utilizou-se o modelo supondo uma constante de normalização, ou seja, 22

39 γ = γ 1 = γ 2 (Seção 4.1.1), e, no segundo, foram estimadas duas constantes de normalização (Seção 4.1.2). Em ambos os casos, utilizaram-se duas cadeias diferentes via MCMC e o monitoramento de convergência delas foi realizado por meio de inspeção gráfica, na qual se observaram suas trajetórias partindo de valores iniciais distintos. Também foram analisados gráficos de dispersão e os valores das correlações entre os valores verdadeiros e os valores estimados dos parâmetros, além da obtenção de intervalos de credibilidade para alguns parâmetros e da taxa de cobertura para os elementos das matrizes de parâmetros Θ e Φ. O intuito foi o de averiguar se os parâmetros eram bem estimados e se havia acurácia em suas estimações, isto é, se o verdadeiro valor do parâmetro estava dentro de seu intervalo de credibilidade. Também foram construídos gráficos de dispersão entre valores verdadeiros e valores ajustados pela média a posteriori para as probabilidades de o usuário i seguir o ator político j no Twitter e para os preditores não lineares com o objetivo de avaliar o ajuste do modelo Estimação com uma constante de normalização Neste caso, considerou-se o modelo com apenas uma constante de normalização, assumindose que γ = γ 1 = γ 2. Além disso, empregaram-se as seguintes distribuições a priori truncadas para os parâmetros em ambas as dimensões de Φ: φ 3,1 N + (0; 9), φ 9,1 N (0; 9), φ 9,2 N (0; 9) e φ 16,2 N + (0; 9). Vale ressaltar que as distribuições a priori destes elementos da matriz de parâmetros Φ foram truncadas porque estes são os valores extremos das duas dimensões. Para dados reais, é necessária a elicitação de prioris de acordo com o ponto de vista do especialista. É importante mencionar também que, ao considerar, por exemplo, distribuições a priori truncadas para alguns elementos do vetor paramétrico φ 1, podem ocorrer problemas de convergência. Por esse motivo, recomenda-se a utilização de distribuições a priori para alguns elementos de ambos os vetores paramétricos φ 1 e φ 2. Isso ocorre porque quando se restringe o domínio das distribuições a priori de alguns elementos de ambas as dimensões da matriz de parâmetros Φ, há uma maior contribuição para se evitar a ocorrência de problemas de rotação e reflexão do que quando se restringe o domínio das distribuições a priori de alguns elementos de apenas uma de suas dimensões. As distribuições a priori atribuídas ao parâmetro γ e aos hiperparâmetros foram: γ N + (0; 1000), µ β N (0; 1000), µ φ1 N (0; 1000), µ φ2 N (0; 1000), σα GI(0, 2 01; 0, 01), σβ 2 GI(0, 01; 0, 01), σ2 φ 1 GI(0, 01; 0, 01), σφ 2 2 GI(0, 01; 0, 01) e σθ 2 2 GI(0, 01; 0, 01). As outras prioris dos parâmetros foram mencionadas no Capítulo 3. É interessante notar que os seus hiperparâmetros foram escolhidos de tal forma que as distribuições 23

40 a priori sejam pouco informativas. No que diz respeito aos valores iniciais, segundo Barberá (2015) e Souza (2017), recomendase inicializar as cadeias de alguns elementos dos vetores paramétricos φ 1 e φ 2 com os valores -1 e 1 a fim de tentar evitar o percalço inerente à reflexão de escala, que se dá quando c 3 = 1, apresentado no Apêndice A ao se mencionar o problema de invariância à reflexão. Então, com relação à matriz de parâmetros Φ, utilizou-se o seguinte critério: quando o valor verdadeiro era maior ou igual a 1,5, inicializou-se com 1; quando o valor verdadeiro era menor ou igual a -1,5, inicializou-se com -1; e quando o valor verdadeiro estava entre -1,5 e 1,5, inicializou-se com zero. Vale ressaltar aqui que, no caso de dados reais, para explicitar estes valores iniciais, é necessária a ajuda do especialista. Para ambas as cadeias, foram feitas as seguintes inicializações para o vetor paramétrico φ 1 : φ (0) 2,1 = 1, φ (0) 3,1 = 1, φ (0) 9,1 = 1, φ (0) 11,1 = 1, φ (0) 13,1 = 1 e φ (0) 20,1 = 1. E, para ambas as cadeias do vetor paramétrico φ 2, foram adotados os seguintes valores iniciais: φ (0) 1,2 = 1, φ (0) 2,2 = 1, φ (0) 4,2 = 1, φ (0) 6,2 = 1, φ (0) 8,2 = 1, φ (0) 9,2 = 1, φ (0) 10,2 = 1, φ (0) 12,2 = 1, φ (0) 14,2 = 1, φ (0) 15,2 = 1, φ (0) 16,2 = 1 e φ (0) 17,2 = 1. Os valores iniciais para os outros parâmetros na primeira cadeia foram: γ (0) = 0, 29, = 0, 2, σα 2 (0) = 1 4, 75, σ2 (0) β = 1 5, 75, σ2 (0) φ 1 = σφ 2 (0) 2 = 1 1, 2 e. Utilizaram-se os seguintes valores iniciais para estes parâmetros na segunda µ (0) β = 0, 1, µ (0) φ 1 = 0, 3, µ (0) φ 2 σθ 2 (0) 2 = 1 0, 9 cadeia: γ (0) = 0, 31, µ (0) β = 0, 2, µ (0) φ 1 = µ (0) φ 2 σφ 2 (0) 1 = σφ 2 (0) 2 = 1 0, 8 e σ2 (0) θ 2 = 1 1, 1. = 0, 2, σα 2 (0) = 1 5, 75, σ2 (0) β = 1 4, 75, Foram geradas duas cadeias de tamanho por MCMC, sendo descartadas as primeiras iterações, que serviram como amostra de aquecimento. Além disso, utilizou-se uma defasagem igual a 800, obtendo-se ao todo uma amostra final de tamanho 700 para cada parâmetro (sendo 350 para cada cadeia). Para sua implementação, foi utilizado o programa JAGS (Just Another Gibbs Sampler, (Plummer, 2017)) e o pacote rjags (Plummer, 2016) do programa estatístico livre R (R Development Core Team, 2014), em que se emprega a amostragem de Gibbs. As Figuras 4.8, 4.9 e 4.10 mostram os gráficos da amostra da distribuição a posteriori para as duas cadeias dos parâmetros γ, φ 3,1, φ 9,1, φ 9,2 e φ 16,2, após período de aquecimento e após a retirada das defasagens. Percebe-se que há convergência das cadeias desses parâmetros. De fato, não se encontraram percalços quanto à convergência das cadeias dos outros parâmetros do modelo nem foi identificado problema de autocorrelação serial ao utilizar uma defasagem igual a 800. Observa-se também que, em todos os casos, não foram gerados valores próximos de zero para esses parâmetros via MCMC, o que indica que as distribuições a priori truncadas 24

41 funcionaram de forma adequada. A Tabela 4.3 mostra estatísticas descritivas da distribuição a posteriori e estimativas Figura 4.8: Gráfico da amostra da distribuição a posteriori de γ para as duas cadeias, após período de aquecimento e após a retirada das defasagens. A reta em preto representa o valor verdadeiro desses parâmetros, e as linhas tracejadas em azul representam o intervalo de credibilidade de 95% da distribuição a posteriori. Figura 4.9: Gráficos da amostra da distribuição a posteriori de φ 3,1 (à esquerda) e de φ 9,1 (à direita) para as duas cadeias, após período de aquecimento e após a retirada das defasagens. As retas em preto representam o valor verdadeiro desses parâmetros, e as linhas tracejadas em azul representam o intervalo de credibilidade de 95% da distribuição a posteriori. 25

42 Figura 4.10: Gráficos da amostra da distribuição a posteriori de φ 9,2 (à esquerda) e de φ 16,2 (à direita) para as duas cadeias, após período de aquecimento e após a retirada das defasagens. As retas em preto representam o valor verdadeiro desses parâmetros, e as linhas tracejadas em azul representam o intervalo de credibilidade de 95% da distribuição a posteriori. Tabela 4.3: Valores verdadeiros, estatísticas descritivas e intervalos de credibilidade de 95% da distribuição a posteriori. Parâmetro Valor verdadeiro Média Desvio padrão Mediana Lim. inf. Lim. sup. γ 0,30 0,34 0,08 0,34 0,21 0,51 µ β 1,00 0,99 0,13 0,99 0,75 1,29 µ φ1 0-0,23 0,28-0,23-0,81 0,31 µ φ2 0-0,30 0,37-0,29-1,02 0,40 σα 2 0,20 0,18 0,07 0,17 0,04 0,33 σβ 2 0,20 0,16 0,11 0,13 0,03 0,47 σφ 2 1 3,25 0,99 0,58 0,84 0,31 2,40 σφ 2 2 3,25 2,20 1,16 1,91 0,84 5,32 σθ 2 2 1,00 1,22 0,35 1,17 0,67 2,07 intervalares do parâmetro γ e dos hiperparâmetros do modelo. Observa-se que, dentre os parâmetros dessa tabela, apenas o valor verdadeiro do hiperparâmetro σφ 2 1 está fora do intervalo de credibilidade de 95%. A Figura 4.11 mostra os gráficos de dispersão entre os valores verdadeiros dos vetores paramétricos do modelo e seus valores estimados (pela média a posteriori), com a correlação 26

43 entre parênteses. Pode-se verificar que os parâmetros foram bem estimados, com exceção do vetor paramétrico α, para o qual se observa um leve problema de escala. Nota-se através dessa figura que a segunda dimensão de Φ e Θ é melhor estimada do que a primeira dimensão destas matrizes de parâmetros. Médias a posteriori de α Médias a posteriori de φ Valores verdadeiros de α (corr = 0,62) Valores verdadeiros de φ 2 (corr = 0,97) Médias a posteriori de β Médias a posteriori de θ Valores verdadeiros de β (corr = 0,64) Valores verdadeiros de θ 1 (corr = 0,70) Médias a posteriori de φ Médias a posteriori de θ Figura 4.11: Gráficos de dispersão de α, β, φ 1, φ 2, θ 1 e θ Valores verdadeiros de φ 1 (corr = 0,95) Valores verdadeiros de θ 2 (corr = 0,85) Médias a posteriori dos postos de φ Médias a posteriori dos postos de φ Valores verdadeiros dos postos de φ Valores verdadeiros dos postos de φ 2 Figura 4.12: Gráficos de dispersão dos postos de φ 1 e φ 2. 27

44 A Figura 4.12 mostra os gráficos de dispersão entre os valores verdadeiros dos postos dos vetores paramétricos φ 1 e φ 2 e seus valores estimados pela média a posteriori (quadrado), com as retas representando os seus intervalos de credibilidade de 95%. Percebe-se uma distinguibilidade maior dos postos dos elementos do vetor paramétrico φ 2 do que os postos dos elementos do vetor paramétrico φ 1. Nota-se também que todos os postos verdadeiros dos elementos desses vetores paramétricos estão dentro de seu intervalo de credibilidade de 95%. Médias a posteriori dos postos de θ Médias a posteriori dos postos de θ Valores verdadeiros dos postos de θ Valores verdadeiros dos postos de θ 2 Figura 4.13: Gráficos de dispersão dos postos de θ 1 e θ 2. Médias a posteriori das probabilidades Valores verdadeiros das probabilidades Médias a posteriori dos preditores não lineares Valores verdadeiros dos preditores não lineares Figura 4.14: Gráficos de dispersão das probabilidades (em azul) e dos preditores não lineares (em verde). 28

45 A Figura 4.13 mostra os gráficos de dispersão entre os valores verdadeiros dos postos dos vetores paramétricos θ 1 e θ 2 e seus valores estimados pela média a posteriori (quadrado), com as retas representando os seus intervalos de credibilidade de 95%. Observa-se que os postos dos elementos do vetor paramétrico θ 2 possuem uma menor variabilidade e uma maior distinguibilidade do que os postos dos elementos do vetor paramétrico θ 1, ao considerar os valores extremos desses vetores paramétricos. De fato, foram obtidas as porcentagens de elementos cujos postos verdadeiros estão dentro do intervalo de credibilidade de 95% e os seus valores foram de 95,5% e 95% para os vetores paramétricos θ 1 e θ 2, respectivamente. Obteve-se também a taxa de cobertura para as matrizes de parâmetros Θ e Φ, isto é, a porcentagem de vezes que o verdadeiro valor do parâmetro ou hiperparâmetro está dentro de seu intervalo de credibilidade. O valor obtido dessa taxa foi de 96,14%. A Figura 4.14 mostra os gráficos de dispersão entre os valores verdadeiros das probabilidades e dos preditores não lineares e seus valores estimados (pela média a posteriori). Percebe-se que, apesar de um leve problema de escala, em geral, as probabilidades tiveram uma boa predição. De modo geral, o ajuste dos preditores não lineares observados também foi satisfatório, havendo maior dificuldade de predição para valores pequenos, que, por sua vez, possuem menor separabilidade Estimação com duas constantes de normalização Neste caso, consideraram-se duas constantes de normalização distintas no modelo. Além disso, foram utilizadas as seguintes distribuições a priori truncadas para os parâmetros em ambas as dimensões de Φ: φ 3,1 N + (0; 9), φ 9,1 N (0; 9), φ 9,2 N (0; 9) e φ 16,2 N + (0; 9). Fixou-se σ 2 θ 2 = 1 e foram utilizadas as seguintes distribuições a priori para os parâmetros γ 1 e γ 2 : γ 1 N + (0; 1000) e γ 2 N + (0; 1000). Quanto aos valores iniciais de γ 1 e γ 2, considerou-se γ (0) 1 = γ (0) 2 = 0, 29 (para a primeira cadeia) e γ (0) 1 = γ (0) 2 = 0, 31 (para a segunda cadeia). Os valores iniciais e distribuições a priori especificados aos outros parâmetros foram idênticos aos do modelo utilizado na Seção Por fim, em ambos os modelos, tanto o procedimento de inferência quanto o número de iterações do MCMC, o período de aquecimento e a seleção da amostra foram feitos exatamente da mesma forma que na Seção As Figuras 4.15, 4.16 e 4.17 mostram os gráficos da amostra da distribuição a posteriori para as duas cadeias dos parâmetros γ 1, γ 2, φ 3,1, φ 9,1, φ 9,2 e φ 16,2, após período de aquecimento e após a retirada das defasagens. Percebe-se que há convergência das cadeias desses parâmetros. De fato, similarmente à Seção 4.1.1, não se encontraram percalços quanto à convergência das cadeias dos outros parâmetros do modelo 29

46 nem foi identificado problema de autocorrelação serial ao utilizar uma defasagem igual a 800. Nota-se também que não foram gerados valores próximos de zero via MCMC, mostrando que o Figura 4.15: Gráficos de γ 1 (à esquerda) e de γ 2 (à direita) após período de aquecimento e da retirada das defasagens. As retas em preto representam o valor verdadeiro desses parâmetros, e as linhas tracejadas em azul representam o intervalo de credibilidade de 95% da distribuição a posteriori. Figura 4.16: Gráficos da amostra da distribuição a posteriori de φ 3,1 (à esquerda) e de φ 9,1 (à direita) para as duas cadeias, após período de aquecimento e após a retirada das defasagens. As retas em preto representam o valor verdadeiro desses parâmetros, e as linhas tracejadas em azul representam o intervalo de credibilidade de 95% da distribuição a posteriori. 30

47 Figura 4.17: Gráficos da amostra da distribuição a posteriori de φ 9,2 (à esquerda) e de φ 16,2 (à direita) para as duas cadeias, após período de aquecimento e após a retirada das defasagens. As retas em preto representam o valor verdadeiro desses parâmetros, e as linhas tracejadas em azul representam o intervalo de credibilidade de 95% da distribuição a posteriori. Tabela 4.4: Valores verdadeiros, estatísticas descritivas e intervalos de credibilidade de 95% da distribuição a posteriori. Parâmetro Valor verdadeiro Média Desvio padrão Mediana Lim. inf. Lim. sup. γ 1 0,30 0,35 0,07 0,35 0,22 0,51 γ 2 0,30 0,41 0,08 0,40 0,28 0,58 µ β 1,00 1,00 0,13 0,99 0,75 1,28 µ φ1 0-0,23 0,28-0,23-0,77 0,33 µ φ2 0-0,24 0,36-0,23-0,93 0,41 σα 2 0,20 0,18 0,07 0,18 0,05 0,33 σβ 2 0,20 0,16 0,10 0,13 0,03 0,40 σφ 2 1 3,25 0,95 0,57 0,79 0,30 2,48 σφ 2 2 3,25 1,79 0,86 1,63 0,67 4,04 emprego das distribuições a priori truncadas para esses parâmetros foi adequado. A Tabela 4.4 mostra estatísticas descritivas da distribuição a posteriori e estimativas intervalares dos parâmetros γ 1 e γ 2 e dos hiperparâmetros do modelo. Semelhamente à Seção 4.1.1, observa-se que, dentre os parâmetros dessa tabela, apenas o valor verdadeiro do hiperparâmetro σφ 2 1 está fora do intervalo de credibilidade de 95%. 31

48 A Figura 4.18 mostra os gráficos de dispersão entre os valores verdadeiros dos vetores paramétricos do modelo e seus valores estimados (pela média a posteriori), com a correlação entre parênteses. Similarmente aos resultados da Seção 4.1.1, pode-se verificar, por essa figura, que os parâmetros foram bem estimados, com exceção do vetor paramétrico α, para o qual se observa um leve problema de escala. Nota-se ainda que a segunda dimensão de Φ e Θ Médias a posteriori de α Médias a posteriori de φ Valores verdadeiros de α (corr = 0,61) Valores verdadeiros de φ 2 (corr = 0,97) Médias a posteriori de β Médias a posteriori de θ Valores verdadeiros de β (corr = 0,65) Valores verdadeiros de θ 1 (corr = 0,71) Médias a posteriori de φ Médias a posteriori de θ Figura 4.18: Gráficos de dispersão de α, β, φ 1, φ 2, θ 1 e θ Valores verdadeiros de φ 1 (corr = 0,95) Valores verdadeiros de θ 2 (corr = 0,85) Médias a posteriori dos postos de φ Médias a posteriori dos postos de φ Valores verdadeiros dos postos de φ Valores verdadeiros dos postos de φ 2 Figura 4.19: Gráficos de dispersão dos postos de φ 1 e φ 2. 32

49 continua sendo melhor estimada do que a primeira. A Figura 4.19 mostra os gráficos de dispersão entre os valores verdadeiros dos postos dos vetores paramétricos φ 1 e φ 2 e seus valores estimados pela média a posteriori (quadrado), com as retas representando os seus intervalos de credibilidade de 95%. Observa-se uma distinguibilidade maior dos postos dos elementos do vetor paramétrico φ 2 do que os postos dos elementos do vetor paramétrico φ 1. Nota-se também que todos os postos verdadeiros dos elementos desses vetores paramétricos estão dentro de seu intervalo de credibilidade de 95%. Médias a posteriori dos postos de θ Médias a posteriori dos postos de θ Valores verdadeiros dos postos de θ Valores verdadeiros dos postos de θ 2 Figura 4.20: Gráficos de dispersão dos postos de θ 1 e θ 2. Médias a posteriori das probabilidades Valores verdadeiros das probabilidades Médias a posteriori dos preditores não lineares Valores verdadeiros dos preditores não lineares Figura 4.21: Gráficos de dispersão das probabilidades (em azul) e dos preditores não lineares (em verde). 33

50 A Figura 4.20 mostra os gráficos de dispersão entre os valores verdadeiros dos postos dos vetores paramétricos θ 1 e θ 2 e seus valores estimados pela média a posteriori (quadrado), com as retas representando os seus intervalos de credibilidade de 95%. Analogamente à Seção 4.1.1, verifica-se que os postos dos elementos do vetor paramétrico θ 2 possuem uma menor variabilidade e uma maior distinguibilidade do que os postos dos elementos do vetor paramétrico θ 1, ao considerar os valores extremos desses vetores paramétricos. No entanto, foram obtidas as porcentagens de elementos cujos postos verdadeiros estão dentro do intervalo de credibilidade de 95% e os seus valores foram de 95% e 96% para os vetores paramétricos θ 1 e θ 2, respectivamente. Obteve-se também a taxa de cobertura para as matrizes de parâmetros Θ e Φ, isto é, a porcentagem de vezes que o verdadeiro valor do parâmetro ou hiperparâmetro está dentro de seu intervalo de credibilidade. O valor obtido dessa taxa foi de 95,07%. A Figura 4.21 mostra os gráficos de dispersão entre os valores verdadeiros das probabilidades e dos preditores não lineares e seus valores estimados (pela média a posteriori). Similarmente à Seção 4.1.1, percebe-se que, apesar de um leve problema de escala, em geral, as probabilidades tiveram uma boa predição. De modo geral, o ajuste dos preditores não lineares também foi satisfatório, havendo maior dificuldade de predição para valores pequenos, que, por sua vez, possuem menor separabilidade. Ao realizar uma análise comparativa com a Seção 4.1.1, conclui-se que, para este caso específico, não houve diferenças significativas entre as estimativas pontuais e intervalares para os parâmetros dos dois modelos. O mesmo ocorre para o ajuste das probabilidades e dos preditores não lineares. Esse resultado é coerente com o esperado, já que os dados foram simulados com apenas uma constante de normalização. 4.2 Dados gerados com duas constantes de normalização Nesta seção, gerou-se um conjunto de dados segundo o modelo proposto nas Equações 3.2, 3.3 e 3.4 e supôs-se γ 1 = 0, 2 e γ 2 = 0, 4, ou seja, foram consideradas duas constantes de normalização, com γ 1 γ 2. Os demais parâmetros foram gerados das seguintes distribuições: α i N(0; 0, 2); β j N(1; 0, 2); θ i,k N(0; 1); φ j,k 0, 5N( 1, 5; 1) + 0, 5N(1, 5; 1), para i = 1,..., 200, j = 1,..., 20 e k = 1, 2. A escolha de seus valores foi feita de modo a evitar a obtenção de uma matriz social esparsa, isto é, uma matriz com uma quantidade elevada de zeros. Similarmente à Seção 4.1, foram impostas duas restrições: cada usuário deveria seguir ao menos um ator político, que, por sua vez, deveria ser seguido por pelo menos 10 usuários. 34

51 Evita-se, assim, a possibilidade de haver usuários com ínfimo interesse político e atores políticos com popularidade muito baixa. A Figura 4.22 apresenta o histograma referente às probabilidades verdadeiras de se obter sucesso, π i,j, propostas na Equação 3.4. Similarmente à Seção 4.1, observa-se, pela Figura 4.22, a presença de muitas probabilidades iguais ou próximas de zero. A Tabela 4.5 apresenta a proporção de sucessos e fracassos em relação ao total para cada intervalo de distâncias, que, neste caso, é referente à expressão (θ 1 φ 1 ) 2 + (θ 2 φ 2 ) 2. Por fim, a Figura 4.23 mostra a frequência de sucessos e fracassos para cada intervalo de distâncias. Analogamente à Seção 4.1, percebe-se que há um predomínio de sucessos para distâncias pequenas, mas quanto mais se aumenta o valor da distância, maior é a supremacia dos fracassos sobre os sucessos. Conforme mencionado anteriormente na Seção 4.1, esse resultado coincide com o esperado, pois indivíduos mais próximos no espaço latente tendem a se associar com Densidade Probabilidades verdadeiras Figura 4.22: Histograma das probabilidades verdadeiras. Tabela 4.5: Proporção de sucessos e fracassos em relação ao total para cada intervalo de distâncias. Intervalo Fracasso Sucesso 0 a 5 0, , a 10 0, , a 15 0, , a 20 0, , a 25 0, , a 30 0, ou mais 0,

52 maior probabilidade. Resultado similar também pode ser verificado pelas Figuras 4.24 e A Figura 4.24 mostra o boxplot de θ 1 versus φ 1, que foi construído a partir da ordenação de φ 1 pelos seus postos verdadeiros. Para cada elemento do vetor paramétrico φ 1 deste boxplot, consideraram-se apenas aqueles elementos do vetor paramétrico θ 1 que o seguem no Twitter. A Figura 4.25 apresenta o boxplot de θ 2 versus φ 2, o qual foi construído analogamente às condições da Figura Frequência Sucesso Fracasso 0 a 5 5 a a a a a ou mais Intervalo Figura 4.23: Frequências de sucessos e fracassos para cada intervalo de distâncias. θ φ (1), 1 φ (5), 1 φ (10), 1 φ (15), 1 φ (20), 1 Figura 4.24: Boxplot de θ 1 versus φ 1, que foi construído a partir da ordenação de φ 1 pelos seus postos verdadeiros. Para cada elemento do vetor paramétrico φ 1 deste boxplot, consideraram-se apenas aqueles elementos do vetor paramétrico θ 1 que o seguem no Twitter. 36

53 θ φ (1), 2 φ (5), 2 φ (10), 2 φ (15), 2 φ (20), 2 Figura 4.25: Boxplot de θ 2 versus φ 2, que foi construído a partir da ordenação de φ 2 pelos seus postos verdadeiros. Para cada elemento do vetor paramétrico φ 2 deste boxplot, consideraram-se apenas aqueles elementos do vetor paramétrico θ 2 que o seguem no Twitter Percebe-se, pela Figura 4.24, para os casos em que há sucesso, uma certa ascendência dos valores associados à primeira dimensão de Θ conforme se aumenta o valor associado à primeira dimensão de Φ. Pela Figura 4.25, verifica-se que isso também é satisfeito para a segunda dimensão de Θ e Φ. Analogamente à Seção 4.1, para a estimação do modelo explicitado no Capítulo 3, truncaramse as distribuições a priori para dois parâmetros de cada dimensão de Φ. Então, foram considerados dois casos em separado: no primeiro, utilizou-se o modelo supondo uma constante de normalização, ou seja, γ = γ 1 = γ 2 (Seção 4.2.1), e no segundo, foram estimadas duas constantes de normalização (Seção 4.2.2). Também foram utilizadas duas cadeias em ambos os modelos. Por fim, tanto o procedimento de inferência quanto o número de iterações do MCMC, o período de aquecimento e a seleção da amostra foram feitos exatamente da mesma forma que na Seção Estimação com uma constante de normalização Neste caso, considerou-se o modelo com apenas uma constante de normalização, assumindose que γ = γ 1 = γ 2. Utilizaram-se as seguintes distribuições a priori para os parâmetros γ e σθ 2 2, respectivamente: γ N + (0; 1000) e σθ 2 2 GI(0, 01; 0, 01). Com relação aos valores iniciais de 37

54 γ e σ 2 θ 2, considerou-se γ (0) = 0, 29 e σ 2 θ 2 (0) = 1 0, 9 (para a primeira cadeia) e γ(0) = 0, 31 Figura 4.26: Gráfico da amostra da distribuição a posteriori de γ para as duas cadeias, após período de aquecimento e após a retirada das defasagens. A reta em preto representa o valor verdadeiro desses parâmetros, e as linhas tracejadas em azul representam o intervalo de credibilidade de 95% da distribuição a posteriori. Figura 4.27: Gráficos da amostra da distribuição a posteriori de φ 3,1 (à esquerda) e de φ 9,1 (à direita) para as duas cadeias, após período de aquecimento e após a retirada das defasagens. As retas em preto representam o valor verdadeiro desses parâmetros, e as linhas tracejadas em azul representam o intervalo de credibilidade de 95% da distribuição a posteriori. 38

55 Figura 4.28: Gráficos da amostra da distribuição a posteriori de φ 9,2 (à esquerda) e de φ 16,2 (à direita) para as duas cadeias, após período de aquecimento e após a retirada das defasagens. As retas em preto representam o valor verdadeiro desses parâmetros, e as linhas tracejadas em azul representam o intervalo de credibilidade de 95% da distribuição a posteriori. Tabela 4.6: Valores verdadeiros, estatísticas descritivas e intervalos de credibilidade de 95% da distribuição a posteriori. Parâmetro Valor verdadeiro Média Desvio padrão Mediana Lim. inf. Lim. sup. γ - 0,23 0,07 0,22 0,11 0,37 µ β 1,00 1,00 0,14 0,99 0,73 1,28 µ φ1 0 0,02 0,39 0,03-0,76 0,70 µ φ2 0-0,33 0,53-0,30-1,46 0,71 σα 2 0,20 0,21 0,07 0,21 0,08 0,36 σβ 2 0,20 0,08 0,08 0,05 0,01 0,28 σφ 2 1 3,25 1,24 0,94 1,00 0,22 3,40 σφ 2 2 3,25 4,79 2,64 4,09 1,74 11,37 σθ 2 2 1,00 2,34 0,95 2,14 1,17 4,80 e σθ 2 (0) 2 = 1 (para a segunda cadeia). Os outros valores iniciais especificados aos parâmetros 1, 1 foram os mesmos mencionados na Seção 4.1. Além disso, foram empregadas as seguintes distribuições a priori truncadas para os parâmetros em ambas as dimensões de Φ: φ 3,1 N + (0; 9), φ 9,1 N (0; 9), φ 9,2 N (0; 9) e φ 16,2 N + (0; 9). Similarmente às Seções e 4.1.2, as distribuições a priori destes elementos da matriz de parâmetros Φ foram 39

56 truncadas porque estes são os valores extremos das duas dimensões. Para os outros parâmetros, usaram-se distribuições a priori idênticas às da Seção 4.1. As Figuras 4.26, 4.27 e 4.28 mostram os gráficos da amostra da distribuição a posteriori para as duas cadeias dos parâmetros γ, φ 3,1, φ 9,1, φ 9,2 e φ 16,2, após período de aquecimento e após a retirada das defasagens. Percebe-se que há convergência das cadeias desses parâmetros. De fato, similarmente à Seção 4.1.2, não se encontraram percalços quanto à convergência das cadeias dos outros parâmetros do modelo nem foi identificado problema de autocorrelação serial ao utilizar uma defasagem igual a 800. Observa-se também que não foram gerados valores próximos de zero para esses parâmetros via MCMC, indicando que as distribuições a priori truncadas funcionaram de forma adequada. A Tabela 4.6 mostra estatísticas descritivas da distribuição a posteriori e estimativas intervalares do parâmetro γ e dos hiperparâmetros do modelo. Observa-se que, dentre os parâmetros dessa tabela, apenas o valor verdadeiro do hiperparâmetro σθ 2 2 está fora de seu intervalo de credibilidade de 95%. Além disso, é interessante notar que o valor estimado pela média a posteriori para o parâmetro γ é de aproximadamente 0, 227 para o conjunto de dados que, na verdade, têm duas constantes de normalização. Médias a posteriori de α Médias a posteriori de φ Valores verdadeiros de α (corr = 0,60) Valores verdadeiros de φ 2 (corr = 0,98) Médias a posteriori de β Médias a posteriori de θ Valores verdadeiros de β (corr = 0,62) Valores verdadeiros de θ 1 (corr = 0,55) Médias a posteriori de φ Médias a posteriori de θ Figura 4.29: Gráficos de dispersão de α, β, φ 1, φ 2, θ 1 e θ Valores verdadeiros de φ 1 (corr = 0,90) Valores verdadeiros de θ 2 (corr = 0,89) A Figura 4.29 mostra os gráficos de dispersão entre os valores verdadeiros dos vetores paramétricos do modelo e seus valores estimados (pela média a posteriori), com a correlação 40

57 entre parênteses. Realizando uma análise comparativa com a Seção 4.1.2, pode-se verificar, por essa figura, que houve pequena piora para os vetores paramétricos β e θ 1, os quais possuem um leve problema de escala. Todavia, há maior importância em verificar se a ordenação dos vetores paramétricos estimados pela média a posteriori é semelhante à obtida pelos valores verdadeiros dos parâmetros e, de fato, constatou-se que isso é satisfeito neste modelo. Médias a posteriori dos postos de φ Médias a posteriori dos postos de φ Valores verdadeiros dos postos de φ Valores verdadeiros dos postos de φ 2 Figura 4.30: Gráficos de dispersão dos postos de φ 1 e φ 2. Médias a posteriori dos postos de θ Médias a posteriori dos postos de θ Valores verdadeiros dos postos de θ Valores verdadeiros dos postos de θ 2 Figura 4.31: Gráficos de dispersão dos postos de θ 1 e θ 2. A Figura 4.30 mostra os gráficos de dispersão entre os valores verdadeiros dos postos dos vetores paramétricos φ 1 e φ 2 e seus valores estimados pela média a posteriori (quadrado), com as 41

58 retas representando os seus intervalos de credibilidade de 95%. Percebe-se uma distinguibilidade maior dos postos dos elementos da segunda dimensão de Φ do que os postos dos elementos da primeira dimensão. Nota-se, porém, que todos os postos verdadeiros dos elementos do vetor paramétrico φ 1 estão dentro de seus intervalos de credibilidade de 95%. Ademais, o percentual de elementos cujos postos verdadeiros estão dentro do intervalo de credibilidade de 95% para o vetor paramétrico φ 2 é de 85%. A Figura 4.31 mostra os gráficos de dispersão entre os valores verdadeiros dos postos dos vetores paramétricos θ 1 e θ 2 e seus valores estimados pela média a posteriori (quadrado), com as retas representando os seus intervalos de credibilidade de 95%. Nota-se que os postos dos elementos do vetor paramétrico θ 2 possuem menor variabilidade e maior distinguibilidade do que os postos dos elementos do vetor paramétrico θ 1, ao considerar os valores extremos desses vetores paramétricos. No entanto, foram obtidas as porcentagens de elementos cujos postos verdadeiros estão dentro do intervalo de credibilidade de 95% e os seus valores foram de 93,5% e 93% para os vetores paramétricos θ 1 e θ 2, respectivamente. Obteve-se também a taxa de cobertura para as matrizes de parâmetros Θ e Φ, isto é, a porcentagem de vezes que o verdadeiro valor do parâmetro ou hiperparâmetro está dentro de seu intervalo de credibilidade. O valor obtido dessa taxa foi de 95,45%. Médias a posteriori das probabilidades Valores verdadeiros das probabilidades Médias a posteriori dos preditores não lineares Valores verdadeiros dos preditores não lineares Figura 4.32: Gráficos de dispersão das probabilidades (em azul) e dos preditores não lineares (em verde). A Figura 4.32 mostra os gráficos de dispersão entre os valores verdadeiros das probabilidades e dos preditores não lineares e seus valores estimados (pela média a posteriori). Percebe-se que, apesar de um leve problema de escala, em geral, as probabilidades tiveram uma boa 42

59 predição. De modo geral, o ajuste dos preditores não lineares observados também foi satisfatório, havendo maior dificuldade de predição para valores pequenos, que, por sua vez, possuem menor separabilidade Estimação com duas constantes de normalização Neste caso, consideraram-se duas constantes de normalização distintas no modelo. Além disso, foram utilizadas as seguintes distribuições a priori truncadas para os parâmetros em ambas as dimensões de Φ: φ 3,1 N + (0; 9), φ 9,1 N (0; 9), φ 9,2 N (0; 9) e φ 16,2 N + (0; 9). Além das restrições mencionadas no Capítulo 3, fixou-se σ 2 θ 2 = 1 e empregaram-se as seguintes distribuições a priori para os parâmetros γ 1 e γ 2 : γ 1 N + (0; 1000) e γ 2 N + (0; 1000). Para os outros parâmetros, usaram-se distribuições a priori idênticas às da Seção 4.1. Quanto aos valores iniciais, considerou-se γ (0) 1 = 0, 15 e γ (0) 2 = 0, 25 (para a primeira cadeia) e γ (0) 1 = 0, 3 e γ (0) 2 = 0, 5 (para a segunda cadeia). Para os outros parâmetros, os valores iniciais especificados foram os mesmos mencionados na Seção 4.1. Figura 4.33: Gráficos da amostra da distribuição a posteriori de γ 1 (à esquerda) e de γ 2 (à direita) para as duas cadeias, após período de aquecimento e após a retirada das defasagens. As retas em preto representam o valor verdadeiro desses parâmetros, e as linhas tracejadas em azul representam o intervalo de credibilidade de 95% da distribuição a posteriori. As Figuras 4.33, 4.34 e 4.35 mostram os gráficos da amostra da distribuição a posteriori para as duas cadeias dos parâmetros γ 1, γ 2, φ 3,1, φ 9,1, φ 9,2 e φ 16,2, após período de aquecimento e após a retirada das defasagens. Verifica-se que há convergência das cadeias desses parâmetros. 43

60 De fato, similarmente à Seção 4.2.1, não se encontraram percalços quanto à convergência das cadeias dos outros parâmetros do modelo nem foi identificado problema de autocorrelação Figura 4.34: Gráficos da amostra da distribuição a posteriori de φ 3,1 (à esquerda) e de φ 9,1 (à direita) para as duas cadeias, após período de aquecimento e após a retirada das defasagens. As retas em preto representam o valor verdadeiro desses parâmetros, e as linhas tracejadas em azul representam o intervalo de credibilidade de 95% da distribuição a posteriori. Figura 4.35: Gráficos da amostra da distribuição a posteriori de φ 9,2 (à esquerda) e de φ 16,2 (à direita) para as duas cadeias, após período de aquecimento e após a retirada das defasagens. As retas em preto representam o valor verdadeiro desses parâmetros, e as linhas tracejadas em azul representam o intervalo de credibilidade de 95% da distribuição a posteriori. 44

61 serial ao utilizar uma defasagem igual a 800. Observa-se ainda que não foram gerados valores próximos de zero via MCMC e que todos os valores verdadeiros dos parâmetros das Figuras 4.33, 4.34 e 4.35 estão dentro do intervalo de credibilidade de 95%, mostrando que o emprego das distribuições a priori truncadas para esses parâmetros foi adequado. Tabela 4.7: Valores verdadeiros, estatísticas descritivas e intervalos de credibilidade de 95% da distribuição a posteriori. Parâmetro Valor verdadeiro Média Desvio padrão Mediana Lim. inf. Lim. sup. γ 1 0,20 0,22 0,08 0,21 0,06 0,37 γ 2 0,40 0,49 0,07 0,49 0,35 0,63 µ β 1,00 0,99 0,15 0,99 0,66 1,29 µ φ1 0 0,02 0,61 0,04-0,79 0,78 µ φ2 0-0,22 0,34-0,21-0,88 0,43 σα 2 0,20 0,21 0,07 0,21 0,08 0,35 σβ 2 0,20 0,08 0,07 0,06 0,01 0,28 σφ 2 1 3,25 1,30 1,29 1,00 0,21 4,44 σφ 2 2 3,25 2,01 0,89 1,84 0,89 4,23 Médias a posteriori de α Médias a posteriori de φ Valores verdadeiros de α (corr = 0,60) Valores verdadeiros de φ 2 (corr = 0,98) Médias a posteriori de β Médias a posteriori de θ Valores verdadeiros de β (corr = 0,61) Valores verdadeiros de θ 1 (corr = 0,56) Médias a posteriori de φ Médias a posteriori de θ Figura 4.36: Gráficos de dispersão de α, β, φ 1, φ 2, θ 1 e θ Valores verdadeiros de φ 1 (corr = 0,90) Valores verdadeiros de θ 2 (corr = 0,89) 45

62 A Tabela 4.7 mostra estatísticas descritivas da distribuição a posteriori e estimativas intervalares dos parâmetros γ 1 e γ 2 e dos hiperparâmetros do modelo. Observa-se que os valores verdadeiros dos parâmetros dessa tabela estão dentro do intervalo de credibilidade de 95%, evidenciando acurácia em suas estimações. Além disso, observa-se que a probabilidade de γ 1 e γ 2 serem distintos é alta, indicando maior plausibilidade deste segundo modelo frente ao primeiro. A Figura 4.36 mostra os gráficos de dispersão entre os valores verdadeiros dos vetores paramétricos do modelo e seus valores estimados (pela média a posteriori), com a correlação entre parênteses. Similarmente aos resultados da Seção 4.2.1, pode-se verificar, por essa figura, que existe um leve problema de escala em α, β e θ 1. No entanto, há maior relevância em averiguar se a ordenação dos vetores paramétricos estimados pela média a posteriori é semelhante à obtida pelos valores verdadeiros dos parâmetros e constatou-se que, de fato, isso é satisfeito para este modelo. Percebe-se também que a segunda dimensão de Φ e Θ continua sendo melhor estimada do que a primeira dimensão destas matrizes de parâmetros. Médias a posteriori dos postos de φ Médias a posteriori dos postos de φ Valores verdadeiros dos postos de φ Valores verdadeiros dos postos de φ 2 Figura 4.37: Gráficos de dispersão dos postos de φ 1 e φ 2. A Figura 4.37 mostra os gráficos de dispersão entre os valores verdadeiros dos postos dos vetores paramétricos φ 1 e φ 2 e seus valores estimados pela média a posteriori (quadrado), com as retas representando os seus intervalos de credibilidade de 95%. Semelhantemente aos resultados da Seção 4.2.1, percebe-se uma distinguibilidade maior dos postos dos elementos do vetor paramétrico φ 2 do que os postos dos elementos do vetor paramétrico φ 1. Nota-se, no entanto, que todos os postos verdadeiros dos elementos do vetor paramétrico φ 1 estão dentro de seus intervalos de credibilidade de 95%. Além disso, foi obtida a porcentagem de 46

63 elementos cujos postos verdadeiros estão dentro do intervalo de credibilidade de 95% para o vetor paramétrico φ 2 e o valor foi de 85%. Médias a posteriori dos postos de θ Médias a posteriori dos postos de θ Valores verdadeiros dos postos de θ Valores verdadeiros dos postos de θ 2 Figura 4.38: Gráficos de dispersão dos postos de θ 1 e θ 2. Médias a posteriori das probabilidades Valores verdadeiros das probabilidades Médias a posteriori dos preditores não lineares Valores verdadeiros dos preditores não lineares Figura 4.39: Gráficos de dispersão das probabilidades (em azul) e dos preditores não lineares (em verde). A Figura 4.38 mostra os gráficos de dispersão entre os valores verdadeiros dos postos dos vetores paramétricos θ 1 e θ 2 e seus valores estimados pela média a posteriori (quadrado), com as retas representando os seus intervalos de credibilidade de 95%. Analogamente aos resultados da Seção 4.2.1, pode-se verificar que os postos dos elementos do vetor paramétrico θ 2 possuem 47

64 uma menor variabilidade e uma maior distinguibilidade do que os postos dos elementos do vetor paramétrico θ 1, ao considerar os valores extremos desses vetores paramétricos. No entanto, foram obtidas as porcentagens de elementos cujos postos verdadeiros estão dentro do intervalo de credibilidade de 95% e os seus valores foram de 94,5% e 93% para o vetor paramétrico θ 1 e para o vetor paramétrico θ 2, respectivamente. Obteve-se também a taxa de cobertura para as matrizes de parâmetros Θ e Φ, isto é, a porcentagem de vezes que o verdadeiro valor do parâmetro ou hiperparâmetro está dentro de seu intervalo de credibilidade. O valor obtido dessa taxa foi de 93,18%. A Figura 4.39 mostra os gráficos de dispersão entre os valores verdadeiros das probabilidades e dos preditores não lineares e seus valores estimados (pela média a posteriori). Similarmente à Seção 4.2.1, percebe-se que, apesar de um leve problema de escala, em geral, as probabilidades tiveram uma boa predição. De modo geral, o ajuste dos preditores não lineares também foi satisfatório, havendo maior dificuldade de predição para valores pequenos, que, por sua vez, possuem menor separabilidade. Ao realizar uma análise comparativa com a Seção 4.2.1, conclui-se que, para este caso específico, os parâmetros foram bem estimados, em ambos os modelos, havendo um leve problema de escala em α, β e θ 1. Não se constatam, portanto, diferenças muito significativas para as estimativas dos parâmetros e para o ajuste das probabilidades e dos preditores não lineares dos modelos, com exceção da segunda dimensão das matrizes de parâmetros Θ e Φ, para a qual se observa maior variabilidade no modelo da Seção Isso se deve ao fato de, neste caso, o modelo incluir apenas uma constante de normalização, impondo, assim, mesmo peso para as distâncias entre as posições latentes nas duas dimensões no cálculo da probabilidade. Por esse motivo, o primeiro modelo tem uma recuperação da estrutura de probabilidade dos dados inferior à do segundo modelo, o que influi diretamente na variabilidade das estimativas. Neste capítulo, foi considerado um conjunto limitado de dados artificiais, devido ao elevado tempo computacional associado a este caso bidimensional. Além disso, vários outros estudos simulados foram feitos para melhor entendimento do modelo e da estimação, mas que não serão apresentados nesse texto. Outrossim, avaliou-se como satisfatório o resultado do modelo com duas constantes de normalização, que permite uma ponderação diferente para as distâncias entre as posições latentes nas duas dimensões. No próximo capítulo, este modelo será aplicado a dados reais do Twitter. Espera-se, pois, que tal modelo tenha uma boa estimação, uma vez que, de acordo com a análise comparativa deste capítulo, ele mostrou ser mais flexível do que o modelo que contempla apenas uma constante de normalização. 48

65 Capítulo 5 Aplicação a dados reais O conjunto de dados utilizados neste capítulo foi empregado no trabalho de Souza (2017)1 e se refere aos deputados federais e senadores que estavam em exercício no início de julho de 2017 com conta ativa no Twitter nessa época. Nesse contexto, usuário ativo é o indivíduo que por meio de sua conta no Twitter enviou pelo menos uma mensagem (tweet) ao longo do ano de Cada ator político tinha de ser seguido por pelo menos 100 usuários comuns (deputados ou senadores conforme definição do Capítulo 3). Sobraram ao final 330 deputados, 71 senadores e 107 atores políticos, isto é, n = 401 e m = 107. Serão estimadas posições ideológicas para deputados federais, senadores e atores políticos em um espaço latente bidimensional, consistindo, portanto, em uma tentativa de interpretar e separar a estrutura latente dos dados do Twitter em duas dimensões. Imagina-se que as posições ideológicas estejam relacionadas com o antagonismo entre esquerda e direita e com a dicotomia entre oposição e governo. A priori definir-se-á o modelo imaginando a primeira dimensão como sendo o eixo esquerda-direita e a segunda dimensão como sendo o eixo oposição-governo. Vale ressaltar que se impõe, no contexto desta dissertação, independência entre os eixos, o que não necessariamente retrata a realidade. Sendo assim, os resultados obtidos na estimação devem ser interpretados com cautela. Para a estimação do modelo no espaço bidimensional, considerar-se-ão duas constantes de normalização γ 1 e γ 2 e as mesmas restrições do Capítulo 4, isto é, µ α = 0, µ θ1 = µ θ2 = 0 e σθ 2 1 = σθ 2 2 = 1. Além disso, para alguns elementos da rede, será empregada a distribuição a priori N (0; 9) para indivíduos que se supõem a favor da esquerda, levando em conta o eixo das abscissas. Outrossim, para alguns outros componentes da rede, usar-se-á a distribuição a priori N + (0; 9) para indivíduos que se supõem a favor da direita, levando em conta o eixo das 1Agradecimentos a Souza (2017) por disponilizar os dados 49

66 abscissas, e para indivíduos pró-governo, considerando o eixo das ordenadas. Para alguns elementos da rede, a escolha das distribuições a priori será baseada em resultados históricos. De acordo com análises dispostas em Power e Zucco (2011), o costuma se distinguir significativamente de outros grandes partidos como DEM, PSDB e (atual MDB), se posicionando à esquerda no eixo esquerda-direita. Vale ressaltar que a ex-presidente da República do Brasil, Dilma Roussef, do, teve seu afastamento em 17 de abril de 2016 e seu processo de impeachment terminou em 31 de agosto de Portanto, Michel Temer, do (atual MDB) já estava na presidência, cuja posse foi em 31 de agosto de Porém, como Michel Temer tinha pouco tempo no cargo de presidente da República do Brasil, o polo governo será referenciado à Dilma Roussef, pois o ficou por longo tempo no poder. As demais escolhas das distribuições a priori referentes ao eixo oposição-governo serão baseadas no trabalho de Zucco e Lauderdale (2011). O PSDB ora é considerado um partido de centro, ora é considerado um partido de direita, mas se percebe que, em geral, este partido tem migrado, ao longo dos anos, para a direita da escala. Sendo assim, muitos cientistas políticos têm adotado, nos últimos anos, uma classificação mais específica para este partido: centro-direita (veja, por exemplo, Moraes (2018)). Além disso, de acordo com os resultados expostos em Zucco e Lauderdale (2011) (baseados em modelos de votações nominais de 1989 a 2010), no primeiro eixo, o PCdoB fica à esquerda da escala e costuma se posicionar próximo do no segundo eixo ( oposição-governo ). Sendo assim, serão usadas as seguintes distribuições a priori truncadas para os elementos da primeira dimensão de Φ: φ 36,1 N (0; 9) (parâmetro associado a Alexandre Padilha, do, truncando-o a favor da esquerda ), φ 47,1 N (0; 9) (parâmetro associado a Geraldo Alckmin, do PSDB, truncando-o a favor da direita ) e φ 106,1 N (0; 9) (parâmetro associado a Manuela D Ávila, do PCdoB, truncando-o a favor da esquerda ). Para a segunda dimensão, atribuir-se-ão as distribuições a priori φ 36,2 N + (0; 9) (parâmetro associado a Alexandre Padilha, do, truncando-o a favor do governo ) e φ 106,2 N + (0; 9) (parâmetro associado a Manuela D Ávila, do PCdoB, truncando-o a favor do governo ). Para os outros parâmetros, empregar-se-ão distribuições a priori idênticas às do Capítulo 4. Além disso, utilizar-se-ão duas cadeias diferentes via MCMC. No que diz respeito aos valores iniciais, segundo Barberá (2015) e Souza (2017), recomendase inicializar as cadeias de alguns elementos dos vetores paramétricos φ 1 e φ 2 com os valores -1 e 1 a fim de tentar evitar o percalço inerente à reflexão de escala, que se dá quando c 3 = 1, apresentado no Apêndice A ao se mencionar o problema de invariância à reflexão. Serão adicionados também valores iniciais iguais a -1 e 1 para alguns elementos de Θ para facilitar a 50

67 convergência das cadeias e auxiliar na identificação do modelo. A Tabela 5.1 apresenta a lista dos partidos cujos usuários e atores políticos do Twitter têm, em ambas as cadeias, pelo menos um de seus elementos de Φ ou de Θ com inicialização em -1 ou 1. Para os outros elementos de Φ e Θ, inicializou-se em zero. A maioria destes valores iniciais foi escolhida tomando por base os trabalhos de Zucco (2009) e Zucco e Lauderdale (2011). Tabela 5.1: Lista dos partidos cujos usuários e atores políticos do Twitter tiveram, em ambas as cadeias, pelo menos um de seus elementos de Φ ou de Θ com inicialização em -1 ou 1. Partidos Primeira dimensão Segunda dimensão DEM 1 0 PCdoB -1 1 PDT PP 1-1 PPS 0 1 PR 1 0 PSDB 1 0 PSOL B 1-1 Com relação aos outros parâmetros, consideraram-se os seguintes valores iniciais para os parâmetros γ 1 e γ 2 : γ (0) 1 = γ (0) 2 = 0, 2 (para a primeira cadeia) e γ (0) 1 = γ (0) 2 = 0, 4 (para a segunda cadeia). Os outros valores iniciais, para ambas as cadeias, foram: µ (0) β = µ (0) φ 1 = µ (0) φ 2 = 0, σ α(0) 2 = σβ 2 (0) = 1 5 e σ2 (0) φ 1 = σφ 2 (0) 2 = 1 0, 3. Geraram-se duas cadeias de tamanho via MCMC. Posteriormente, realizou-se o monitoramento de convergência das cadeias por meio de inspeção gráfica, na qual se observaram as trajetórias de duas cadeias diferentes partindo de valores iniciais distintos. Descartaram-se as primeiras iterações, que serviram como amostra de aquecimento. Ademais, utilizou-se uma defasagem igual a 80 e obteve-se, assim, uma amostra final de tamanho 650 para cada parâmetro (sendo 325 para cada cadeia)23. 2Os cálculos foram realizados em um notebook Intel Core i3, 2.4GHz, 4 GB RAM, 64 bits, Windows 10, R (64-bit), JAGS 4.3.0, rjags 4-6, e o tempo de execução estimado foi de 13 horas. 3Visando reduzir o tempo computacional, foi empregado o pacote snowfall (Knaus, 2015) do programa estatístico livre R (R Development Core Team, 2014), que usa computação paralela, na qual o problema pode ser 51

68 Nesta dissertação, adotou-se como critério de seleção de modelos o critério de informação do desvio (DIC, abreviação em inglês de Deviance Information Criterion), proposto por Spiegelhalter et al. (2002). De acordo com ele, o modelo com melhor ajuste será aquele que apresentar o menor valor do DIC. O valor desse critério obtido para este modelo bidimensional foi de , 33. Com o mesmo tamanho de amostra de aquecimento, número de defasagens e tamanho de amostra final, obteve-se, via MCMC, o DIC para o modelo unidimensional (cujos resultados não serão apresentados por serem bem similares ao de Souza (2017)) e o valor foi de , 85, superior ao valor alcançado no modelo com duas dimensões. O modelo bidimensional, utilizado nesta dissertação, apresentou, portanto, o melhor ajuste segundo o critério DIC. Isso indica que a segunda dimensão (interpretada nesta dissertação como oposiçãogoverno ) tem uma influência relevante na probabilidade de um usuário qualquer seguir um certo ator político no Twitter. Figura 5.1: Gráficos da amostra da distribuição a posteriori de γ 1 (à esquerda) e de γ 2 (à direita) para as duas cadeias, após período de aquecimento e após a retirada das defasagens. As linhas tracejadas em azul representam o intervalo de credibilidade de 95%. As Figuras 5.1, 5.2, 5.3 e 5.4 mostram os gráficos da amostra da distribuição a posteriori para as duas cadeias dos parâmetros γ 1, γ 2, φ 36,1, φ 106,1, φ 36,2 e φ 106,2, após período de aquecimento e após a retirada das defasagens. Percebe-se que há convergência das cadeias desses parâmetros embora as cadeias apresentem autocorrelações significativas para defasagens grandes. De fato, não se encontraram percalços quanto à convergência das cadeias dos outros parâmetros do dividido em partes menores que podem ser executadas ao mesmo tempo. Para mais detalhes da importância do uso deste pacote conjuntamente com o JAGS, veja, por exemplo, Gregory (2017). 52

69 modelo. Observa-se também que, em todos os casos, não foram gerados valores próximos de zero para esses parâmetros via MCMC, mostrando que o emprego das distribuições a priori truncadas para esses parâmetros foi adequado. Figura 5.2: Gráficos da amostra da distribuição a posteriori de φ 36,1 (à esquerda) e de φ 47,1 (à direita) para as duas cadeias, após período de aquecimento e após a retirada das defasagens. As linhas tracejadas em azul representam o intervalo de credibilidade de 95% da distribuição a posteriori. Figura 5.3: Gráficos da amostra da distribuição a posteriori de φ 106,1 para as duas cadeias, após período de aquecimento e após a retirada das defasagens. As linhas tracejadas em azul representam o intervalo de credibilidade de 95% da distribuição a posteriori. 53

70 Figura 5.4: Gráficos da amostra da distribuição a posteriori de φ 36,2 (à esquerda) e de φ 106,2 (à direita) para as duas cadeias, após período de aquecimento e após a retirada das defasagens. As linhas tracejadas em azul representam o intervalo de credibilidade de 95% da distribuição a posteriori. Tabela 5.2: Estatísticas descritivas e intervalos de credibilidade de 95% da distribuição a posteriori. Parâmetro Média Desvio padrão Mediana Lim. inf. Lim. sup. γ 1 0,44 0,06 0,43 0,34 0,55 γ 2 0,29 0,07 0,28 0,19 0,44 µ β 0,73 0,12 0,73 0,48 0,97 µ φ1-0,02 0,14-0,01-0,31 0,25 µ φ2 0,05 0,20 0,06-0,36 0,42 φ 36,1-2,18 0,29-2,15-2,78-1,62 φ 47,1 1,77 0,31 1,74 1,24 2,45 φ 106,1-1,48 0,28-1,48-2,03-0,95 φ 36,2 1,38 0,48 1,35 0,43 2,39 φ 106,2 1,61 0,46 1,57 0,76 2,64 σα 2 2,67 0,22 2,66 2,27 3,15 σβ 2 0,82 0,13 0,81 0,60 1,12 σφ 2 1 1,12 0,29 1,08 0,64 1,86 σφ 2 2 1,06 0,46 0,97 0,42 2,12 54