7 Referências Bibliográficas

Transcrição

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6 8 ANEXO Demonstração da equação de Black & choles O modelo de Black & choles considera que o preço do ativo objeto () segue um processo estocástico de Movimento Geométrico Browniano. Conorme abordado no capítulo 3, um modelo geométrico browniano é um tipo de processo de Itô, logo, o Lema de Itô pode ser aplicado na derivação de uma variável que é unção do preço do ativo objeto. Uma variável (x) segue um processo de Itô quando: dx = a( x, t) dt b( x, t) dz onde dz segue um processo de Wiener. Através do Lema de Itô, uma unção G(x,t) pode ser derivada da seguinte maneira: dg = G x a G t 1 G b x G dt b dz x Logo, G tem uma taxa média de mudança: G G a x t G b x E uma taxa de variância: G x Considerando que num Movimento Geométrico Browniano: ds = ( μ ) dt ( σ) dz

7 11 Aplicando-se o Lema de Itô, tem se que: G G 1 G G dg = μ σ dt dz t σ Onde e G são aetadas pela mesma onte de incerteza (t). Black & choles assumem também que o preço do ativo tem distribuição de probabilidades log-normal, isto é, assume-se que o logaritmo natural do preço é normalmente distribuído, o que se adapta mais à realidade, uma vez que não existe preço negativo. Aplicando-se o Lema de Itô na unção G = ln, obtém-se: G 1 = G 1 = G t = 0 ubstituindo-se esses valores, tem-se que: σ dg = μ dt σdz Isto implica que a mudança de G no intervalo de tempo entre o momento presente t e o momento uturo T é normalmente distribuída, com média: μ σ ( T t) e variância: σ ( T t) O valor de G no momento t é ln e no momento uturo T é lnt, onde T é o preço do ativo no período T. Logo, tem-se durante o intervalo de tempo τ = T t :

8 113 ln T ln Logo: σ Θ μ τ, σ τ ln T σ ln Θ μ τ, σ τ onde Θ( a, b) é uma distribuição normal de média a e desvio-padrão b. O modelo visa preciicar o derivativo, que é um direito contingente de uma ação. O derivativo é unção de e t: ds = ( μ ) dt ( σ) dz Aplicando-se o Lema de Itô, obtém-se: d 1 = μ σ dt σ dz t Na versão discreta: Δ = ( μ ) Δt ( σ) Δz (1) Δ = t 1 μ Δ t σ ΔZ () Considerando-se que Δ e Δ são as variações de e em um curto intervalo de tempo Δ t. Black & choles utilizaram o procedimento de construir uma carteira composta por ativos e por derivativos () para eliminar o processo de Wiener. Esse artiício permite eliminar o risco, e trabalhar em um ambiente neutro ao risco, portanto, com a taxa livre de risco, mesmo que o ativo objeto não seja livre de risco. A carteira adequada consiste em:

9 114 - quantidade de papel derivativo () : -1; - quantidade de ativos: O sinal negativo indica venda e o sinal positivo indica compra, ou seja, o detentor da carteira está vendido no derivativo e comprado em endo Π o valor da carteira, tem-se que: Π = A mudança no valor da carteira ΔΠ no intervalo de tempo ΔΠ = Δ Δ Δt é: ações. (3) ubstituindo (1) e () em (3), obtém-se: ΔΠ = t 1 σ Δ t A expectativa do valor de uma opção de compra européia no vencimento, em um ambiente neutro ao risco, consiste na esperança do valor da opção de compra para cada possibilidade de preço do ativo na data do exercício, ou seja: E(max( T X,0)) Da avaliação neutra ao risco, o preço da opção de compra européia (call) consiste no valor, no vencimento, descontado à taxa livre de risco: call = e μτ E(max( X,0)) T Porém, considera-se que o ativo tem distribuição log-normal: ln T σ ln Θ μ τ, σ τ

10 115 endo g a unção densidade de probabilidade de T em um ambiente neutro ao risco modelado pela distribuição log-normal, tem-se que: call = e μτ ( X ) g( ) d T T T w ubstituindo-se T = e, converte-se a equação 4 em uma integral que envolve a distribuição normal ao invés da distribuição log-normal. Com as devidas adequações algébricas, obtém-se a equação de Black & choles: (4) μτ Call = N( d1) Xe N( d) Onde: ln d1 = ln d = X X σ μ τ σ τ σ μ τ σ τ = 1 N( d1) endo N(x) a unção cumulativa da probabilidade normal padronizada. O valor da opção de venda (put) pode ser deduzido de maneira similar, ou através da paridade entre a opção de venda e compra: Put = Xe μτ N( d) N( d1) endo os parâmetros d1 e d os mesmos da opção de compra.