INTERCEPTAÇÃO DE MÍSSEIS BALÍSTICOS: UMA APROXIMAÇÃO QUADRÁTICA

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1 XVIII Simpósio Nacional de Ensino de Física SNEF 2009 Vitória, ES 1 INTERCEPTAÇÃO DE MÍSSEIS BALÍSTICOS: UMA APROXIMAÇÃO QUADRÁTICA Lossian Miranda 1, Samya Thalyta Moreira 2 1 CEFET-PI/Coordenação de Matemática e Física/lossian@oi.com.br 2 CEFET-PI/Coordenação de Matemática e Física/samyathalyta_510@hotmail.com Resumo Neste trabalho mostraremos, usando a teoria elementar da função quadrática juntamente com as leis básicas da dinâmica clássica, o modelo mais simples da complexa teoria da interceptação de mísseis balísticos, inclusive, efetuando experimentos. Nosso problema básico consiste em calcular a velocidade com que deverá ser lançada uma segunda partícula tempos após ter sido lançada uma primeira, e de modo que as duas colidam em pontos escolhidos da trajetória da primeira partícula. Efetuaremos os cálculos das órbitas no espaço tridimensional supondo um campo de forças conservativo e constante. Tais hipóteses, apesar de serem bastante simplificadoras do real problema da interceptação, que considera a resistência do ar, a curvatura e a variação do campo gravitacional terrestres, constituem uma rica fonte de indagação para os alunos do ensino médio e das séries iniciais dos cursos superiores. Os resultados teóricos de nosso estudo nos permitirão construir através de sistemas massa-mola um dispositivo com dois lançadores de bolas maciças no qual observaremos o fenômeno em questão. Espera-se que os choques entre as bolas, mesmo em ambientes com sensível resistência do ar, ocorram caso os diâmetros das mesmas sejam suficientemente grandes. Dificuldades relacionadas à obtenção dos choques entre as bolas poderão ser afastadas com o uso de métodos numéricos, corrigindo as perturbações causadas pela resistência com o ar. Palavras-chave: lançamento balístico, função quadrática, lançador balístico.

2 XVIII Simpósio Nacional de Ensino de Física SNEF 2009 Vitória, ES 2 Introdução Apesar de o lançamento obliquo inserir-se na raiz da física moderna e de seu ensino básico, conforme atestam as obras inicialmente publicadas por Galileu Galilei, os livros didáticos brasileiros atuais não têm acompanhado os recentes desenvolvimentos da mecânica neste setor, tanto no plano teórico quanto no experimental. Em particular, quase nenhum destes livros faz referência à interceptação de partículas em seus vôos. Hodiernamente, vários países têm buscado desenvolver sistemas de defesa baseados na interceptação de mísseis, vulgarmente chamados escudos antimísseis. Durante as guerras do Golfo, Israel e EUA tentaram utilizar tais sistemas os quais só tiveram relativo sucesso na segunda delas, tendo havido, dizem os analistas, total fracasso dos escudos na primeira das guerras. A mídia tem divulgado maciçamente informações de caráter político e militar acerca destes escudos, mas os estudantes, mormente os do ensino básico, encontram-se totalmente alheios aos aspectos científicos que os cercam. É nosso objetivo apresentar, a partir de conhecimentos básicos, a saber, a teoria da função quadrática e as três leis de Newton, informações que fundamentam a construção destes sistemas de defesa. O lançamento balístico e a interceptação de mísseis Consideremos lançamentos balísticos submetidos a um campo gravitacional constante com aceleração gravitacional de intensidade g apontando para baixo em direção vertical. Nosso objetivo é estudar as condições em que ocorre choque entre duas partículas balisticamente lançadas, as quais chamarão de míssil e antimíssil. Sem perda de generalidade, consideremos o alvo a ser atingido pelo míssil na origem do sistema de coordenadas cartesianas. Sejam X 0 = (x 0, 0, z 0 ) a posição do primeiro lançador de mísseis e X 1 = (x 1, y 1, z 1 ) a posição do lançador de antimísseis. Supondo mais ainda que o plano que contém a trajetória do míssil contenha o eixo Ox e seja perpendicular ao plano Oxy. Seja v 0 = (v 0x, 0, v 0z ) a velocidade com o míssil é lançado, fazendo um ângulo θ = arctg(v 0z /v 0x ) com o eixo Ox sendo a orientação do sistema formado de modo que x 0 <0. Consideremos o marco inicial do tempo o momento do lançamento do míssil, na posição X 0 = (x 0, 0, z 0 ). As informações essenciais relativas ao lançamento do míssil, fora as já mencionadas, são as seguintes: O intervalo de tempo necessário para o míssil atingir a altura máxima é dado pela expressão t s = (v 0 senθ)/g, onde v 0 é o módulo do vetor v 0 ; O alcance é dado por x 0 = (2v 0 2 senθcosθ)/g;

3 XVIII Simpósio Nacional de Ensino de Física SNEF 2009 Vitória, ES 3 O intervalo máximo de tempo de vôo é dado por 2ts = (2v0senθ)/g. Seja R tal que 0<R<(2v 0 2 senθcosθ)/g e suponhamos que queiramos atingir o míssil com o antimíssil no ponto de intersecção da trajetória do míssil com o tubo cilíndrico bi-infinito cujo eixo é Oz e cujo raio é R. Este será o nosso ponto de choque entre as partículas que os mísseis representam, e o denotaremos por C. A localização deste ponto é C = (-R, 0, z 0 +v 0 senθ((2v 0 senθ)/g)-(r/v 0 cos θ))-(g/2)(2v 0 senθ/g-r/v 0 cos θ) 2 ). Denotaremos C = (-R, 0, h(v 0, θ)). Seja T número real positivo tal que T<2v 0 senθ/g, o instante de tempo, contado a partir do lançamento do míssil, em que será lançado o antimíssil. Busquemos a velocidade, ainda desconhecida, w com a qual deve ser lançado o antimíssil no instante T para que haja o choque entre o míssil e o antimíssil no ponto C = (-R, 0, h(v 0, θ)) pondo-se w como função de v 0, θ e T. Antes de tudo, convém observarmos que o tempo de vôo do míssil do ponto X 0 ao ponto C deve ser igual a T adicionado ao tempo de vôo do antimíssil, do ponto X 1 ao ponto C. O tempo de vôo do míssil, do ponto X 0 ao ponto C é dado pela expressão: 2v 0 senθ/g-r/v 0 cosθ = t m (t m, por notação) Portanto, o tempo de vôo do antimíssil, de X 1 a C é igual a: 2v 0 senθ/g-r/v 0 cosθ - T = t am (t am, por notação). A distância entre os pontos (x 1, y 1, 0) e (-R, 0, 0) é fornecida pela expressão: ((x 1 +R) 2 +y 1 2 ) 1/2. Seja α o ângulo que w faz com o plano Oxy

4 XVIII Simpósio Nacional de Ensino de Física SNEF 2009 Vitória, ES 4 Portanto, para o movimento do antimíssil temos as seguintes expressões: t am wcosα=((x 1 +R) 2 +y 1 2 ) 1/2 ; t am wsenα=h(v 0, θ)+(gt am 2 )/2-z 1. Em relação às duas últimas expressões, a primeira segue da análise do movimento do antimíssil na horizontal, e a segunda, do movimento na direção vertical. Dividindo-se os respectivos membros das duas últimas expressões teremos: tgα= (h(v0, θ)+(gtam 2 )/2-z1) / ((x1+r) 2 +y1 2 ) 1/2, daí segue a expressão a seguir: α = arctg((h(v0, θ)+(gtam 2 )/2-z1) / ((x1+r) 2 +y1 2 ) 1/2 ). Por outro lado, quadrando as acima citadas igualdades e somando os resultados teremos: t am 2 w 2 =(h(v 0, θ)+(gt am 2 )/2-z 1 ) 2 + (x 1 +R) 2 +y 1 2, a qual segue: w = t am -1 [(h(v 0, θ)+(gt am 2 )/2-z 1 ) 2 + (x 1 +R) 2 +y 1 2 ] 1/2 Portanto encontramos finalmente, o valor procurado do vetor w. Conclusão É possível calcular explicitamente a velocidade com a qual o antimíssil deve

5 XVIII Simpósio Nacional de Ensino de Física SNEF 2009 Vitória, ES 5 ser lançado para ocorrer o choque, seja qual for a velocidade do míssil. No entanto isto só será possível caso a diferença temporal entre os instantes dos lançamentos seja inferior a 2v 0 senθ/g. O módulo da velocidade com a qual o antimíssil deve ser lançado aumenta com o aumento da altura da base de lançamento do míssil. Analogamente, o módulo da velocidade com a qual o antimíssil deve ser lançado aumenta com o aumento da primeira e segunda coordenadas espaciais da base de lançamento do antimíssil. Referências ALONSO, M.; and E.J.FINN: Física, vol. 1, Mecânica, Fondo Educ. Interam. S.A., Madrid, 1970 H.Goldstein - "Classical Mechanics", 2ª edição(1980), Addison-Wesley J.B.Marion - "Dinâmica Clássica de las partículas y Systemas" - Reverté. K.R.Symon "Mechanics" Addison Wesleym 3ª ed. (1971 David Halliday, Robert Resnick e Jearl Walker. Fundamentos de Física, vol.1: Mecânica, 6 a edição, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A, Rio de Janeiro (2002); H. Moysés Nussenzveig. Curso de Física Básica 1-Mecânica, 3 a edição, editora Edgard Blücher Ltda, São Paulo (1981); Marcelo Alonso e Edward J. Finn. Física, um curso universitário, vol.i Mecânica, 2 a edição, editora Edgard Blücher Ltda, São Paulo (1972); Paul A. Tipler e Gene Mosca. Física, vol.i Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica, 5 a edição, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., São Paulo (2006). Tabela de tiro do obus de 105mm, Aberdeen, Maryland, abril-maio (1941); O Comprimento da Trajetória de um Projétil Antonia D. S. Bruno e J. Mauricio O. Matos, p.30. Revista Brasileira de Ensino de Física, março (2002); Movimento de um projétil: Um novo equipamento para laboratório de ensino. K.R. Juraitis, A. Tannous, S.M. Arruda, E.R.M. Juraitis, p.3. Revista Brasileira de Ensino de Física (1979); GALILEI, G. Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attenenti allá mecanica e i movimenti locali. In: Favaro, A. (Ed.)

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