FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO NELSON KAZUO NOJIMA

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1 FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO NELSON KAZUO NOJIMA PRECIFICAÇÃO DE DERIVATIVOS DE TAXAS DE JUROS UTILIZANDO O MODELO HJM MULTIFATORIAL COM ESTRUTURA DE VOLATILIDADE NÃO PARAMÉTRICA SÃO PAULO 213

2 NELSON KAZUO NOJIMA PRECIFICAÇÃO DE DERIVATIVOS DE TAXAS DE JUROS UTILIZANDO O MODELO HJM MULTIFATORIAL COM ESTRUTURA DE VOLATILIDADE NÃO PARAMÉTRICA Dissertação apresentada à Escola de Economia de São Paulo da Fundação Getulio Vargas, como requisito para obtenção do título de Mestre em Economia. Área de Concentração: Finanças Quantitativas Orientador: Prof. Dr. Afonso de Campos Pinto SÃO PAULO 213

3 Nojima, Nelson Kazuo. Precificação de derivativos de taxa de juros utilizando o modelo HJM multifatorial com estrutura de volatilidade não paramétrica / Nelson Kazuo Nojima f. Orientador: Afonso de Campo Pinto. Dissertação (mestrado) - Escola de Economia de São Paulo. 1. Taxas de juros. 2. Derivativos (Finanças). 3. Método de Monte Carlo. 4. Análise de componentes principais. 5. Taxas de juros - Modelos matemáticos. I. Pinto, Afonso de Campo. II. Dissertação (mestrado) - Escola de Economia de São Paulo. III. Título. CDU

4 NELSON KAZUO NOJIMA PRECIFICAÇÃO DE DERIVATIVOS DE TAXAS DE JUROS UTILIZANDO O MODELO HJM MULTIFATORIAL COM ESTRUTURA DE VOLATILIDADE NÃO PARAMÉTRICA Dissertação apresentada à Escola de Economia de São Paulo da Fundação Getulio Vargas, como requisito para obtenção do título de Mestre em Economia. Área de Concentração: Finanças Quantitativas Data da aprovação: / / Banca examinadora: Prof. Dr. Afonso de Campos Pinto (Orientador) EESP - FGV Prof. Dr. Alexandre de Oliveira EESP - FGV Prof. Dr. Marcos Eugênio da Silva FEA - USP

5 RESUMO Com o objetivo de precificar derivativos de taxas de juros no mercado brasileiro, este trabalho foca na implementação do modelo de Heath, Jarrow e Morton (1992) em sua forma discreta e multifatorial através de uma abordagem numérica, e, que possibilita uma grande flexibilidade na estimativa da taxa forward sob uma estrutura de volatilidade baseada em fatores ortogonais, facilitando assim a simulação de sua evolução por Monte Carlo, como conseqüência da independência destes fatores. A estrutura de volatilidade foi construída de maneira a ser totalmente não paramétrica baseada em vértices sintéticos que foram obtidos por interpolação dos dados históricos de cotações do DI Futuro negociado na BM&FBOVESPA, sendo o período analisado entre 2/1/23 a 28/12/212. Para possibilitar esta abordagem foi introduzida uma modificação no modelo HJM desenvolvida por Brace e Musiela (1994). Palavras-chave: Derivativos de taxas de juros, Modelo HJM, Monte Carlo, Análise de Componentes Principais.

6 ABSTRACT For the purpose of pricing interest rate derivatives in the Brazilian market, this work focuses on the numerical implementation of the Heath, Jarrow and Morton model (1992) in its multi-factor discrete form, which allows for great flexibility on the estimation of the forward rate curve under a volatility term structure based on orthogonal factors (PCA), thus facilitating the Monte Carlo simulation of its dynamics as a consequence of the independence of these factors. The volatility term structure is built in a non-parametric way based on synthetic buckets obtained via interpolation of historical data of BM&FBOVESPA DI Futures ranging from Jan/2nd/23 to Dec/28th/212. The Brace and Musiela (1994) adaptation of the HJM Model was adopted in this study. The following derivatives are priced: DI Futures, options on the IDI index, and options on DI Futures. Keywords: Interest rate derivatives, HJM Model, Monte Carlo, Principal Component Analysis.

7 DEDICATÓRIA Aos meus pais

8 AGRADECIMENTOS Em primeiro lugar gostaria de agradecer aos meus pais Harumi e Shigil (este in Memoriam) que sempre me incentivaram a estudar sem nunca poupar esforços, por sempre estarem presentes e, principalmente, pelos valores de vida que me transmitiram. Aos meus filhos Yuji e Emy pela compreensão pelas muitas horas de convívio familiar sacrificadas. A Alexandra, pelo seu incentivo, compreensão e carinho de sempre. Aos meus irmãos pela torcida. Agradeço ao meu amigo e orientador, Prof. Dr. Afonso de Campos Pinto, pelas idéias, sugestões e orientações que me foram dadas ao longo deste trabalho e, principalmente, pelo incentivo para que eu voltasse a estudar após o longo período que passei fora da academia. Ao Adhemar Kajita e ao Antônio Otte pelo apoio. Ao Aníbal Codina pelas inúmeras conversas e troca de idéias em relação ao mercado. Ao Cláudio Queiroz e ao Paulo Godoi pelo auxílio na obtenção dos dados da BMF&BOVESPA.

9 LISTA DE FIGURAS Figura 1 - Coeficientes de Acoplamento Figura 2 - Influência dos Componentes 2 e Figura 3 Comparativo do Coeficiente de Acoplamento com o período Figura 4 Comparativo da Influência dos Componentes 2 e 3 com o período Figura 5 - Volatilidade em dois períodos estáveis Figura 6 - Volatilidade em um período com crise x um período estável Figura 7 - Curva DI construida a partir das taxas fowrard entre prazos... 65

10 LISTA DE TABELAS Tabela 1 - Autovalores da Taxa Forward Tabela 2 - Calibração de γ(t) em 4/1/ Tabela 3 - Preços estimados em 5/1/212 e 6/1/212 Opções de Compra IDI Tabela 4 - Preços em 18/4/212 para calibração de γ(t) Tabela 5 Preços estimados das opções sobre DI Futuro em 19/4/ Tabela 6 - Estimativa de Preço de DI Futuro em 4/1/ Tabela 7 - Estimativa de Preço de DI Futuro em 3/2/ Tabela 8 - Tabela de taxas de ajuste de DI Futuro Tabela 9 - Tabela de taxas forward calculadas entre prazos Tabela 1 - Taxas forward entre prazos, continuamente compostas por dias úteis... 67

11 Sumário 1. Introdução Revisão Bibliográfica Arcabouço Teórico O Modelo HJM O Modelo HJM com parametrização Musiela A Forma Discreta do Modelo HJM O drift discreto livre de arbitragem O modelo multifator em tempo discreto Metodologia PCA e a estimação da volatilidade das taxas forward O tratamento dos dados de mercado históricos A simulação do modelo por Monte Carlo Resultados Dados Utilizados Opção de compra sobre o IDI Opções de venda sobre Contratos de DI Futuro Contrato de DI Futuro Performance computacional Conclusões REFERÊNCIAS APÊNDICES APÊNDICE A Comparativo de volatilidades entre períodos estáveis e com um período com quebra estrutural APÊNDICE B Exemplo de cálculo da taxa forward a partir do DI Futuro ANEXOS ANEXO A Teorema 2.1 em Brace e Musiela (1994)... 69

12 12 1. Introdução Muito se tem estudado e desenvolvido com relação a modelos para a precificação de derivativos de taxas de juros e hedging de portfólios utilizando estes derivativos e, embora muito também tenha sido aplicado, não existe um consenso no mercado em relação a um modelo largamente aceito e utilizado como ocorre com o modelo de Black e Scholes (1973) para renda variável. Isto decorre de vários fatores, entre outros porque muitos modelos não seriam tão eficazes ou porque seriam de utilização muito complexa, isto é, não possuem solução analítica e, portanto, exigiriam um tratamento numérico, ou ainda porque teriam uma implementação complexa em termos metodológicos. Além disso, em um passado recente, em alguns casos 1 sua utilização em larga escala era inviável, pela limitação da capacidade de processamento existente à época. Atualmente ainda se utiliza muito o modelo de Black (1976) para precificação de opções de taxas de juros, apesar de suas limitações e do surgimento de outros modelos mais abrangentes posteriormente. Possivelmente isto ocorre devido ao modelo de Black possuir solução analítica, tornando a sua implementação extremamente simples e pelo fato dos resultados obtidos serem considerados satisfatórios pelo mercado. Porém, apesar destes fatores, a preferência pela abordagem da estimação implícita como indicado por Rebonato (24), está baseada na esperança de que a visão de mercado esteja refletida na volatilidade implícita, a qual só será confiável se houver completude e eficiência informacional, o que nem sempre é verdade ou pode ser garantido. Assim, se há razões para duvidar, uma aplicação cega na direção da estimação implícita deveria ser fortemente questionada. Os modelos que surgiram posteriormente são baseados na construção da Estrutura a Termo da Taxa de Juros (ETTJ) e são primordialmente divididos em duas categorias, os modelos de equilíbrio geral e os modelos de não arbitragem. A abordagem de equilíbrio foi iniciada por Cox, Ingersoll e Ross 2 (1985), começando pela descrição de uma economia subjacente e pela assunção sobre a evolução 1 Quando o modelo exigia uma solução numérica. 2 Conhecido como modelo CIR.

13 13 estocástica de um ou mais fatores exógenos ou variáveis de estado na economia e sobre as preferências de um investidor representativo. Considerações de equilíbrio geral são usadas para endogenamente derivar a taxa de juros e o preço contingente de dívidas. A abordagem de arbitragem começa pela assunção sobre a evolução estocástica de uma ou mais taxas de juros e deriva o preço de todas as dívidas pela imposição da condição de que não há nenhuma oportunidade de arbitragem na economia (LONGSTAFF e SCHWARTZ, 1992). Como exemplos de modelos de não arbitragem podem-se citar: Brennan e Schwartz (1977), Ho e Lee (1986), Hull and White (199), Black, Derman e Toy (199) e Heath, Jarrow e Morton (1992), conhecido como modelo HJM, entre outros. Estes autores desenvolveram um framework geral que modela a dinâmica de toda a ETTJ e pelo seu caráter geral incorpora muitos dos modelos previamente desenvolvidos, considerados como casos particulares deste. O modelo HJM é um modelo multifator permitindo com isso capturar toda a dinâmica da ETTJ, diferentemente dos modelos desenvolvidos até então, que eram unifatoriais em sua grande maioria. Na equação diferencial estocástica do modelo HJM, poucas são as funções de volatilidade que permitiriam uma saída analítica, restando portanto, a implementação de métodos numéricos para sua solução. Aliado a isso, a complexidade e flexibilidade do modelo fez com que o modelo não fosse largamente utilizado, seja pela dificuldade em implementá-la ou seja pela necessidade de métodos trabalhosos para uso no dia-a-dia na calibração de seus parâmetros. A utilização de técnicas como a Análise de Componentes Principais (PCA do inglês, Principal Component Analysis) por um lado permite a redução do número de fatores, tipicamente três fatores para uma curva de juros, por outro lado a evolução da tecnologia possibilitou a utilização de computadores cada vez mais rápidos, permitindo a implementação e utilização do modelo HJM de maneira mais rápida e simples e a utilização de técnicas como simulação Monte Carlo de maneira eficiente. Existem várias maneiras para discretizar a equação diferencial estocástica (SDE do inglês, Stochastic Differential Equation) como podem ser vistos em Heath et al. (1992) e Glasserman (23), entre outros, e que utilizam o mesmo grid para as duas

14 14 dimensões de tempo do modelo, o tempo decorrido e a maturidade. Na abordagem deste trabalho, foi utilizado o prazo para maturidade no lugar da data de maturidade como argumento da taxa forward, seguindo a parametrização de Brace e Musiela 3 (1994) e foram utilizados dois grids em separado, um para o tempo e outro para o prazo, o que possibilitou uma flexibilidade maior na simulação. Existem também várias maneiras para avaliar o drift no tempo discreto. Neste trabalho iremos adotar a solução sugerida por Glasserman (23) que, dentre algumas possibilidades para aproximação do limite de tempo contínuo, escolheu aquela que preserva a propriedade martingal para o preço descontado de bonds. O objetivo deste trabalho é implementar o modelo HJM em sua forma discreta e multifatorial através de uma abordagem numérica e aplicá-lo ao mercado brasileiro. Devido à grande flexibilidade do modelo HJM no que se refere à sua aplicação e utilização, e, até por esta razão tem sido referenciado em muitos trabalhos como framework HJM. Trabalhos similares no Brasil e em outros mercados, modelam a ETTJ através do modelo HJM utilizando formas funcionais 4 para a volatilidade como, por exemplo em Renò e Uboldi (22), Driessen et al. (23) e em Dario e Fernández (29), calibrando os parâmetros das respectivas funções através da PCA. Neste trabalho, a estimativa da volatilidade a ser utilizada no modelo, será totalmente não paramétrica, ou seja, não será definida através de uma função contínua que represente a volatilidade, e sim em pontos específicos obtidos a partir de dados históricos, sendo cada ponto referente a uma maturidade e a um fator 5. A identificação dos fatores de volatilidade empírica será obtida por PCA, e, conforme analisado por Litterman e Scheinkman (1991), em geral, três fatores deverão ser suficientes 6 para a ETTJ, o que será confirmado neste trabalho. Um dos problemas encontrados no mercado financeiro brasileiro no que se refere ao estudo e aplicação de novos modelos, focando especificamente em renda fixa, é a baixa quantidade tanto da variedade de instrumentos financeiros e derivativos, quanto do volume de negociação que se traduz em dificuldades para avaliação e 3 Daqui para a frente nos referiremos como parametrização Musiela. 4 Informações referentes à escolha de formas funcionais para a volatilidade podem ser vistas em James e Weber (2) e Renò e Uboldi (22). 5 No caso de três fatores estes representam o nível, a inclinação e a curvatura conforme Litterman e Scheinkman (1991). 6 Soma dos fatores que representem de forma significativa a volatilidade, em geral mais do que 92%.

15 15 calibração dos modelos sendo estudados. Particularmente neste trabalho, uma das dificuldades encontradas foi a obtenção de pontos observáveis da expectativa de taxas de juros futuras em prazos fixos, pela falta de instrumento que sintetize esta expectativa nesta condição. Como estes pontos são necessários para a calibração da volatilidade histórica, foi utilizado um método de interpolação baseado em splines para obtenção destes vértices 7 sintéticos. No Brasil o derivativo de taxas de juros que é tido como referência para o mercado é o DI Futuro 8 negociado na BM&FBOVESPA que sintetiza a expectativa da taxa de juros futura. Dentre os derivativos, este é o de maior liquidez no mercado brasileiro. Os demais derivativos negociados na bolsa como a opção sobre DI Futuro e a opção sobre IDI 9 tem baixa liquidez atualmente. Assim foram utilizadas as cotações históricas do DI Futuro para a obtenção da volatilidade da taxa forward em prazos específicos e utilizá-las no modelo. Este trabalho está dividido em seis capítulos. O capítulo dois trata da revisão bibliográfica contextualizando o trabalho em relação aos estudos e técnicas já realizadas ao longo do tempo. No terceiro capítulo é apresentado o modelo HJM com a parametrização Musiela e a forma discreta do modelo para possibilitar sua abordagem numérica. O capítulo quatro apresenta a metodologia para a implementação do modelo, na qual são apresentadas as técnicas para o tratamento numérico por Monte Carlo, bem como para a calibração da volatilidade por PCA. No capítulo cinco são apresentados os resultados da aplicação do modelo em alguns derivativos do mercado brasileiro e o capítulo seis encerra com a conclusão do trabalho e possíveis extensões. 7 Pontos com prazos fixos pré estabelecidos p. e. 3, 6, 9, 18, 36 dias, ou em dias úteis, 21, 42, 63, Contrato Futuro de Taxa Média de Depósitos Interfinanceiros de Um Dia. 9 Índice da Taxa Média de Depósitos Interfinanceiros de um Dia.

16 16 2. Revisão Bibliográfica Heath, Jarrow e Morton (1992) desenvolveram um framework geral para modelar as dinâmicas de toda a curva da taxa forward. Nesse sentido muitos dos modelos que foram previamente desenvolvidos são casos particulares deste, como os modelos de Ho e Lee (1986) e Hull and White (199), entre outros. Um ponto chave do modelo é que a assunção de não arbitragem define o drift da SDE como função da volatilidade, porém, por sua característica torna o modelo não Markoviano. Além disso, uma das dificuldades encontradas para a sua aplicação no mercado é que o processo estocástico que o dirige é n-dimensional. Litterman e Scheinkman (1991) empregam uma pesquisa empírica para determinar os fatores comuns que afetam os retornos no passado sobre papéis do Tesouro americano. A análise sugere que a maior parte da variação do retorno sobre papéis de renda fixa pode ser explicada em termos de três fatores, ou atributos da yield curve, quais sejam, nível, inclinação e curvatura. Renò e Uboldi (22) descrevem a implementação de um modelo para a representação da estrutura a termo da taxa de juros desenvolvido dentro do framework proposto por Heath, Jarrow e Morton (1992). Indicam que o framework HJM é capaz de representar as principais características da estrutura a termo, excluindo as oportunidades de arbitragem, por construção. O modelo HJM é assim atraente por suas propriedades teóricas e por sua flexibilidade, embora sua calibração seja usualmente não trivial, e, através da PCA isto pode ser feito de maneira rápida e de fácil utilização. Os autores usam uma forma funcional para a volatilidade, cujos parâmetros são calibrados através de PCA sobre yield curves de taxas de juros de Euro. Soto (24) fez um estudo no mercado de títulos Espanhol com o objetivo de avaliar a performance de um tipo de modelo de taxas de juros baseado em análise de componentes principais para extrair fatores de risco. Sua análise empírica revelou que a estrutura a termo pode ser resumida pelos usuais três componentes principais cujo modelo é capaz de oferecer uma explicação balanceada dos choques na taxas de juros e dos retornos de títulos em termos de tempo e maturidade. Em contraste,

17 17 os modelos de um fator falham em capturar a dinâmica das taxas de curto e longo prazo e os modelos de dois fatores falham nas taxas de longo prazo. Ressalta o fato de que, em relação à estabilidade, o modelo deteriora significativamente se o modelo for estimado apenas com os dados mais recentes em contraste a utilizar amostras longas. Tamagushiku (26) investigou a performance do modelo HJM na precificação de opções de compra sobre bill futures negociados na Sidney Future Exchange, considerando um, dois ou três fatores. Os resultados mostram que o modelo com três fatores consistentemente apresenta um desempenho superior. Rebonato (24) mostra que o estado atual de modelagem se deve muito a como os modelos foram historicamente desenvolvidos na indústria, e salienta a importância do desenvolvimento tecnológico (tais como computadores mais rápidos e técnicas de Monte Carlo mais eficientes) ao orientar a direção da pesquisa teórica. Em suas conclusões discute a questão da calibração. A prática de mercado prevalente, como evidenciada pelas cotações apresentadas, indicam a preferência pela abordagem da estimação implícita. Parece haver razões suficientes, entretanto, para duvidar da eficiência informacional dos instrumentos plain-vanilla usados para modelar a calibração. O autor argumenta que as práticas geralmente aceitas para ajustar os parâmetros independentes de um modelo e assim recuperar os preços de hoje (os preços iniciais) de tantos instrumentos plain-vanilla quanto possíveis (na esperança de que a volatilidade implícita e correlações refletirão as visões de mercado ) devem logicamente contar com a completude ou a eficiência informacional do mercado. Se há razões para duvidar, uma aplicação cega na direção da estimação implícita deveria ser fortemente questionada. O autor também argumenta que se a volatilidade e correlações (i. e. a escolha das funções de volatilidade e correlações para calibrar um modelo) requeridas para atingir um objetivo de precificação coincidem com os valores obtidos através do método implícito, pode trazer mais conforto ao trader, mas não deveria ser considerado uma condição indispensável. Björk et al. (212) em seu trabalho foca na aproximação numérica na precificação de instrumentos financeiros no mercado de bonds, usando o modelo HJM. Consideram que na valorização de derivativos no mercado de bonds é importante o uso de modelos que são consistentes com a estrutura a termo inicial observada no mercado

18 18 e que o modelo HJM para as taxas foward tem esta propriedade, além de oferecer a liberdade para escolher a estrutura de volatilidade, por exemplo para ajustar para outros derivativos cotados no mercado. Esta abordagem do modelo HJM é particularmente apropriada para computação por Monte Carlo, desde que a alternativa de método em árvore leva, para o caso multifator, para árvores recombinantes com um custo computacional mais alto. Os autores propuseram a utilização do método de Euler para a simulação por Monte Carlo e desenvolvendo uma análise de erros bastante rigorosa, obtiveram uma fraca expansão de erros, oferecendo uma confiabilidade computacional no uso de modelos HJM multifatores mais complexos onde não são encontradas fórmulas explícitas. Krivko e Tretyakov ponderam que o modelo HJM tem solução fechada apenas para alguns casos especiais de funções para a volatilidade. Assim, a estimação através deste modelo usualmente requer uma aproximação numérica e, nesta direção, a abordagem comum em várias referências por eles analisadas (e. g. Heath et al. (1992), Bjork et al. (22) e Glasserman (23)) foi discretizar a equação de HJM considerando grids coincidentes para o passo de tempo t e para a maturidade T. A abordagem referente ao tempo no modelo HJM originalmente possui um tempo t representando o agora e um outro tempo T (absoluto) mais à frente, onde a taxa forward é representada por f(t, T). Brace e Musiela (1994) propuseram uma modificação de maneira a utilizar um tempo t representando o agora e um tempo futuro t + τ, relativo a agora. Este modelo é não Markoviano na taxa spot porque toda curva yield é necessária para lançar o modelo no instante inicial t. Assim, o modelo é Markoviano na curva yield toda, tornando a equação estocástica de dimensão infinita, conforme descrito em Da Prato e Zabczyk (1992), o framework natural para o desenvolvimento da teoria. Isto produz um espaço de estados convenientes porque as curvas forward são sempre definidas em R + e o processo de transição entre estas curvas forward é um processo Ornstein-Uhlenbeck de dimensão infinita, que é Gaussiano e Markoviano. A questão chave no modelo HJM é a escolha do drift que o torna livre de arbitragem. Mais precisamente, escolhe-se de maneira que torne martingal o preço descontado de bonds. Glasserman (23) pondera que há muitas maneiras que se pode considerar o drift discreto para aproximá-lo do limite contínuo. Das muitas possíveis

19 19 aproximações, escolheu uma que preserva a propriedade martingal para o preço descontado de bonds e esta é a que será utilizada neste trabalho. Caldeira (211) compara os principais métodos de interpolação da estrutura a termo da curva de juros. Os resultados encontrados mostram a superioridade dos modelos baseados em splines, modelos não paramétricos, em relação aos modelos paramétricos no que diz respeito ao ajuste da curva de juros, embora, a interpretação econômica dos fatores que compõe os modelos paramétricos e seu bom desempenho para fazer previsões da curva de juros faz com que recebam muita atenção. Para implementar um modelo HJM, é necessário conhecer a estrutura a termo da volatilidade σ(t, T), e, conforme demonstra Shreve (24), podemos utilizar dados históricos para estimá-la porque o mesmo processo de difusão σ(t, T) aparece tanto na equação diferencial estocástica (SDE) genérica da taxa forward, pelo modelo HJM, onde o movimento Browniano que dirige o processo está sob a medida real P, quanto na SDE livre de arbitragem, onde o movimento Browniano está na medida neutra ao risco P. Scherer e Avellaneda (22) através de um estudo sobre Brady Bonds de dívidas soberanas de países latino americanos utilizando PCA, mostraram em seu artigo a importância da variância explicada pela mudança nos fatores ao longo do tempo e que esta variação pode ser interpretada até certo ponto em termos de eventos de mercado. Em particular, investigaram a relação entre a evolução dos fatores de PCA com os movimentos do mercado em períodos de crise. Ferreira (211) em seu trabalho precificou opções de futuros de DI de um dia através do modelo HJM de um fator e volatilidade constante e comparou-as com os prêmios de referência divulgados pela BMF. De outubro de 29 a abril de 211 foram avaliadas as quatro séries principais de opções do tipo 2. O resultado obtido foi que a BM&FBOVESPA super apreçou as opções em comparação ao modelo, ressaltando que não foi possível obter amostras extensas para cada tipo de opção, uma vez que esse mercado possui baixíssima liquidez. O modelo foi implementado em árvore binomial.

20 2 Considerando a modificação proposta por Brace e Musiela (1994) parametrizando a taxa forward com prazo de maturidade no lugar da data de maturidade, este trabalho implementa o modelo HJM baseado no modelo discreto proposto por Glasserman (23) e considera ainda a utilização de grids de tempo e de prazo de forma independente. Já a calibração da volatilidade histórica foi obtida seguindo o método sugerido por Shreve (24), utilizando PCA e interpolando os vértices sintéticos com cubic spline conforme já mencionado.

21 21 3. Arcabouço Teórico A seguir será brevemente descrito o modelo HJM na sua forma original e a mudança proposta por Brace e Musiela (1994) com a introdução de um tempo relativo τ (prazo), bem como a abordagem utilizada para a discretização do modelo e assim possibilitar a simulação numérica por Monte Carlo O Modelo HJM O framework HJM se refere a uma família de modelos que modelam diretamente as dinâmicas da taxa forward instantânea, mais precisamente, o processo da taxa forward f(t, T) é modelada através de uma equação diferencial estocástica multivariada, na qual a dinâmica de todas as maturidades T estão representadas conforme a seguinte equação: df t, T = μ t, T, f(t, T) dt + σ n t, T, f(t, T) dw n t N n=1, t T, (1) i onde df(t, T) representa o diferencial em relação a t com T mantido constante e os processos W n são movimentos Brownianos independentes sob a medida real 1 P. O drift μ e as difusões σ n, n = 1,, N são funções da própria taxa forward f(t, T), porém daqui para a frente iremos omití-la para não carregar a notação. Assim μ(t, T) μ t, T, f(t, T) e σ n t, T σ n t, T, f t, T, i = 1,, N. Para efeito de simplicidade, vamos admitir por enquanto que o processo da taxa forward está sujeito a um único movimento Browniano. A questão chave no modelo HJM é a condição da não existência de oportunidades de arbitragem para a modelagem da estrutura a termo de zero-coupon bonds em todas as maturidades em (, T], para um dado T. Essa condição é garantida se existe um processo Θ(t) tal que 1 Medida de probabilidade no mundo real em contraponto à medida no mundo livre de risco.

22 22 μ t, T = σ t, T σ t, T + Θ t, t T T, (2) onde μ t, T e σ(t, T) são, respectivamente, o drift e a difusão da taxa forward, a T t função σ t, T é dado por σ t, T = σ t, v dv, e Θ(t) é o preço de mercado do risco (MPR do inglês, Market Price of Risk). A prova deste teorema pode ser encontrado, por exemplo, em Shreve (24). Assim, o processo da taxa forward satisfazendo a condição de não arbitragem no modelo HJM é df t, T = σ(t, T)σ t, T dt + σ t, T dw t, (3) t onde W t = Θ u du risco 11 P, e o drift é + W t é um movimento Browniano sob a medida neutra ao μ t, T = σ(t, T)σ t, T (4) i sob a medida neutra ao risco P. Para o caso geral com N fatores temos: N df t, T = σ n (t, T)σ n t, T n=1 N dt + σ n (t, T)dW n (t), t T. (5) i n= O Modelo HJM com parametrização Musiela O modelo HJM possui dois parâmetros de tempo, um é o tempo t agora e um outro tempo (absoluto) T à frente. Brace e Musiela (1994) propõe uma mudança no framework de tempo do modelo HJM de maneira que existe um tempo t agora e 11 Usando o Teorema de Girsanov para a mudança na medida de probabilidade. Demonstração em Shreve (24).

23 23 um tempo futuro t + τ relativo a agora. Isso produz um espaço de estados que são convenientemente úteis porque as curvas forward assim são sempre definidas em R +. O modelo da ETTJ proposto é baseado na família de taxas {r t, τ ; t, τ }, onde r t, τ representa a taxa na qual pode-se entrar em um contrato na data t, para emprestar ou tomar emprestado, por um curto período de tempo até a data t + τ, τ. Isto difere do introduzido por HJM, no qual r t, τ = f(t, t + τ), onde f(t, T) é a taxa forward analisada por HJM. Pelo Teorema em Brace e Musiela (1994), seja s t = s(t, ), e a t = a t,, onde a t, τ = s t, τ τ s t, u du. (6) i Se {r t, ; t } resolve 13 : dr t, τ = r t, τ + a(t, τ) dt + s t, τ dw t, τ (7) i onde W = {W t, t } é um movimento Browniano n-dimensional definido no espaço de probabilidade Ω, F t ; t, P, sendo Ω o espaço amostral e F uma σálgebra satisfazendo as condições de filtração F t ; t para a qual a medida de probabilidade P é definida. Seja B t, T o preço em t de um zero-coupon bond que paga 1 no vencimento T, sem nenhum pagamento intermediário, então pode-se afirmar que B t, T β(t) = E 1 β(t) F t, t T, onde 12 A prova deste teorema se encontra no ANEXO A. 13 A assim chamada mild solution conforme Da Prato e Zabczyk (1992).

24 24 B t, T = exp T t r t, u du e β t = exp t r s, ds. β(t) é o valor no tempo t de um investimento de valor 1 no tempo, continuamente reinvestido pela taxa spot instantânea r t,. Assim, sob a hipótese do Teorema 2.1 em Brace e Musiela (1994), os preços dos zero-coupon bonds em todas as maturidades são F t, P -martingais. Consequentemente, pode-se dizer que a equação (7) descreve a dinâmica livre de arbitragem da família de taxas forward {r t, τ ; t, τ }, e o drift conforme a equação (6) A Forma Discreta do Modelo HJM Uma solução analítica para o modelo HJM é possível somente para alguns casos especiais de volatilidade. Assim, em geral, uma avaliação utilizando o framework HJM requer uma solução numérica. Como observado por Krivko e Tretyakov (213), tanto quanto sabemos, é bastante escassa a literatura sobre tratamento numérico do modelo HJM. A abordagem mais comum, que pode ser vista em Heath et al. (1992), Jarrow (22), Björk et al. (212) e Glasserman (23), é utilizar grids de tempo t e de maturidade T coincidentes. Estes métodos diferem entre si na maneira como a aproximação é feita na integral do drift livre de arbitragem do modelo HJM. Todos eles utilizam o método do tipo Euler para discretização no tempo. Neste trabalho, a proposta é utilizar o modelo HJM com a parametrização Musiela e para a solução numérica, utilizar a abordagem proposta por Glasserman (23), porém, introduzindo uma modificação para trabalhar com dois grids de tempo separados, um grid de tempo t e um outro para o prazo de maturidade τ. Com a mudança da variável T (data de maturidade) para a variável τ (prazo), observa-se que no lugar de considerarmos maturidades em datas como p. ex.:

25 25 2/4/21, 1/6/211, 2/1/215,..., consideraremos prazos para maturidade de,25;.5; 1; 2; 5 anos, ou seja, f t, T = f(t, t + τ) r(t, τ), conforme visto na seção anterior. Com isso, ganharemos flexibilidade no modelo para calibração e simulação O drift discreto livre de arbitragem Como observado por Glasserman (23), a simulação da dinâmica da taxa forward pelo modelo geral HJM requer a introdução de uma aproximação discreta. Considerando inicialmente o modelo original f(t, T) (com o parâmetro T - data de maturidade) temos que, cada um dos dois argumentos de f(t, T) requer discretização. Para o primeiro argumento, estabelece-se um grid de tempo = t < t 1 < < t M, onde t é o tempo inicial da simulação e t M o tempo final. Considerando um tempo qualquer t i nesse grid, em geral não é possível representar toda a curva forward f t i, T, t i T T para um certo T. Então, para o segundo argumento, estabelece-se também um grid de datas de maturidades t i T < T 1 < < T J, onde T é a primeira data de maturidade a partir de t i e T J é a última data de maturidade da simulação, e aproxima-se a curva forward pelos seus valores apenas nessas maturidades. Em princípio, os grids de tempo e de datas de maturidade são diferentes, entretanto, assumindo-se que os dois grids são iguais, ou seja, se referem ao mesmo conjunto de datas, simplifica muito a notação com pouca perda de generalidade. Ou seja, para um dado t i, as correspondentes datas de maturidade T, T 1,, T J passam a ser t k, t k+1,, t k+j, (pontos do grid de t i ) onde t k é o primeiro vencimento após t i. Assim, se f(t i, t j ) denota a taxa forward discretizada para a data de maturidade t j referente ao tempo t i, j i, o correspondente preço em t i de um zero-coupon bond com valor 1 no vencimento t j será: j 1 B t i, t j = exp f t i, t l [ t l+1 t l ]. l=i Daqui para a frente utilizar-se-á a notação com chapéu para distinguir as variáveis e funções discretas das correspondentes contínuas.

26 26 Lembrando que no modelo HJM o drift é escolhido para torná-lo livre de arbitragem, mais precisamente para fazer com que o preço descontado de bonds sejam martingais, há muitas maneiras que se pode considerar na escolha do drift discreto para aproximá-lo do limite de tempo contínuo. Das possíveis aproximações, escolheu-se uma que preserva a propriedade martingal para o preço descontado de bonds. Seja B D t i, t j o preço descontado do zero-bond B t i, t j na data de hoje, t, calculado por: i 1 B D t i, t j = B t i, t j exp f t k, t k [ t k+1 t k ], k= t j t i, onde f t k, t k é a short rate no tempo t k, então, a versão discreta do drift HJM segundo a abordagem de Glasserman (23) é: μ t i 1, t j = 1 j σ t i 1, t l [t l+1 t l ] 2 2 t j +1 t j l=i j 1 2 (8) i σ t i 1, t l [t l+1 t l ]. l=i Ele assegura que o preço descontados dos bonds B D t i, t j são martingais. Além disso esse drift discreto é consistente com o correspondente drift no tempo contínuo. Seja h = t j +1 t j, j = 1,, J 1, onde J é o número de intervalos no grid de tempo t e, considerando uma data fixa t e uma maturidade T e fazendo i, j e h de maneira que h t e também h T, cada uma das somas em (8) pode ser i j aproximada para uma integral. Assim, a equação (8) é aproximada por: 1 2h T σ t, u du t 2 T h σ t, u du t T T σ t, u du t 2,

27 27 que é o drift no tempo contínuo, de (4): μ t, T = σ t, u T σ t, u du. t Um resultado similar é encontrado em um modelo com N fatores. Seja σ n o n-ésimo elemento de um vetor σ = σ 1,, σ N, o drift combinado, μ t i 1, t j, é dado por: μ t i 1, t j = μ n t i 1, t j N n=1 1 μ t i 1, t j = 2 t j +1 t j N n=1 j l=i σ n t i 1, t l t l+1 t l 2 N j 1 2 σ n t i 1, t l t l+1 t l. n=1 l=i Considerando agora a parametrização Musiela na dinâmica da taxa forward conforme a equação (7), onde r t, τ requer também a discretização de dois argumentos. Para o primeiro argumento, estabelece-se um grid de tempo = t < t 1 < < t M, onde t é o tempo inicial da simulação e t M o tempo final, e, para o segundo argumento, um grid de prazos para maturidade τ 1 < τ 2 < < τ J, onde τ 1 é o primeiro prazo da simulação e τ J é o último prazo da simulação, e, da mesma maneira, aproxima-se curva forward pelos seus valores apenas nestes prazos. Fazendo a(t i 1, τ j ) μ t i 1, t i 1 + τ j e s n(t i 1, τ j ) σ n t i 1, t i 1 + τ j, temos:

28 28 1 a t i 1, τ j = 2 τ j +1 τ j N n=1 j l= s n t i 1, τ l τ l+1 τ l 2 N j 1 2 (9) i s n t i 1, τ l τ l+1 τ l, n=1 l= a versão discreta multifator do drift com parametrização Musiela, onde s n é o nésimo elemento de um vetor s = (s 1,, s N), onde N é o número de fatores do modelo O modelo multifator em tempo discreto Considerando inicialmente um modelo com apenas com um fator e observando a equação (7), a dinâmica da taxa forward no modo discreto, com a parametrização Musiela segue a equação: r t i, τ j = r t i 1, τ j + r t i 1, τ j +1 r t i 1, τ j τ j +1 τ j + a t i 1, τ j t i t i 1 + s t i 1, τ j t i t i 1 Z i, (1) onde Z i ~N(,1), i = 1,, M e j = 1,, J. O modelo HJM multifator em tempo discreto, seguindo a parametrização Musiela, terá então a seguinte forma: r t i, τ j = r t i 1, τ j + r t i 1, τ j +1 r t i 1, τ j τ j +1 τ j + a t i 1, τ j t i t i 1 N + s n t i 1, τ j t i t i 1 Z in, n=1 (11) i

29 29 i = 1,, M e j = 1,, J onde Z i = Z i1, Z i2,, Z in são vetores aleatórios independentes com distribuição N(,1), s n o n-ésimo elemento do vetor s = (s 1,, s N), onde N é o número de fatores do modelo, e, conforme discutido na seção anterior, o drift terá a forma: 1 a t i 1, τ j = 2 τ j +1 τ j N n=1 j l= s n t i 1, τ l τ l+1 τ l 2 N j 1 2 s n t i 1, τ l τ l+1 τ l. n=1 l= O capítulo a seguir descreve a metodologia utilizada para a implementação e calibração do modelo.

30 3 4. Metodologia Este capítulo descreve os passos necessários para a implementação do modelo HJM na sua forma discreta, de maneira a possibilitar o tratamento numérico da dinâmica das taxas forward através de simulação por Monte Carlo, bem como o tratamento dos dados de mercado para calibração da volatilidade a ser utilizada no modelo PCA e a estimação da volatilidade das taxas forward A Análise de Componentes Principais (PCA) é uma das possíveis técnicas estatísticas através da qual podemos extrair a volatilidade subjacente de uma série histórica. Neste trabalho iremos utilizar esta técnica para extrair a volatilidade na série histórica das mudanças na taxa forward dos Certificados de Depósitos Interbancários (CDI) de um dia e utilizar estas volatilidades no modelo HJM. As taxas forward serão inferidas a partir dos contratos futuros de DI 14 de um dia negociados na BM&FBOVESPA, em algumas maturidades pré estabelecidas. O conceito teórico de PCA por ser bastante conhecido e registrado na literatura, não será detalhado aqui. Aplicações de PCA em taxas de juros podem ser obtidas, por exemplo, em Alexander (28). Podemos usar dados históricos para estimar a difusão σ(t, T) no modelo HJM porque o processo de difusão na dinâmica das taxas forward é o mesmo tanto sobre a medida no mundo real conforme a equação (1), onde os processos W n são movimentos Brownianos independentes sob a medida real 15 P, quanto no mundo neutro ao risco conforme a equação (5), onde onde W n t são movimentos Brownianos sob a medida neutra ao risco P. Em James e Webber (2) são discutidas algumas formas funcionais para a volatilidade em HJM. Os autores ponderam que é usual, na prática, para evitar a complexidade que σ(t, T) seja Markoviano e, nesta direção, há quatro abordagens 14 Depósitos interfinanceiros negociados entre instituições financeiras. 15 Medida de probabilidade no mundo real em contraponto à medida no mundo livre de risco.

31 31 distintas: formas funcionais padrão, funções Gaussianas gerais, funções para obtenção de taxas spot Markovianas e funções implícitas de preços de opções. As consequências da escolha da especificação da volatilidade são enormes. Uma especificação Gaussiana pode levar, para opções mais simples, a fórmulas explícitas. Uma especificação Markoviana provavelmente resultará em uma estimativa usando uma aproximação em árvore recombinante. No caso geral, quando σ(t, T) é não Markoviano, só será possível avaliar preços de derivativos, mesmo no caso de uma opção simples, via simulações complexas ou árvores não recombinantes. Várias formas funcionais padrão têm sido estudadas, como as indicadas a seguir, sendo as duas primeiras muito utilizadas na prática. 1. σ(t, T) σ, uma constante. Esta é uma volatilidade do tipo Ho and Lee. Flesaker (1993) testou tal forma em futuro de Eurodolar e futuro de opções e foi convincentemente rejeitada. 2. σ t, T = σe λ t T, σ, λ constantes. Esta é uma volatilidade do tipo Vasicek. É tratável mas irrealístico, embora tenha uma performance melhor que σ constante. (Gibson et al. (1995)). 3. σ(t, T) = σ r t 4δ 2 e δ(t t) / φ e δ(t t) 1 + 2δ 2, δ, φ constantes. Esta é uma função volatilidade do tipo CIR. 4. Vários: σ t, T = σf, σ f, σ σ 1 T t, σ σ 1 T t f. Estas várias formas funcionais foram comparadas por Amin e Morton (1994) e todas foram rejeitadas. As formas funcionais Markovianas para σ(t, T) são aquelas que resultam em taxas spot Markovianas e foram estudadas por Jeffrey (1995), Carverhill (1994) e Hull e White (1993) entre outros. Volatilidades da forma σ t, T = γ t, T f t (T), onde γ t, T

32 32 é implícito de caps e opções de swap e f t (T) é uma taxa de mercado em t com maturidade em T, utilizadas no modelo BGM 16, funcionam bem. Outros artigos já citados, como Renò e Uboldi (22), Driessen et al. (23) e em Dario e Fernández (29), também tratam a volatilidade através de formas funcionais. Neste trabalho, a estimativa da volatilidade a ser utilizada no modelo, será totalmente não paramétrica, ou seja, não será definida através de uma função contínua que represente a volatilidade, e sim em pontos específicos obtidos de dados históricos, sendo cada ponto referente a um prazo de maturidade e a um fator. A identificação dos fatores de volatilidade empírica será obtida por PCA, e, conforme analisado por Litterman e Scheinkman (1991), em geral, três fatores deverão ser suficientes 17 para a ETTJ. Para estimar a volatilidade através de PCA iremos utilizar o método sugerido por Shreve (24) descrito a seguir. Vamos assumir que σ t, T é da forma: σ t, T = σ T t min L, f(t, T) para alguma função não aleatória σ(τ), τ, e alguma constante positiva L 18. Escolhendo σ(t t) para coincidir com dados de mercado, a taxa forward evolve de acordo com o modelo: df t, T = μ t, T dt + σ T t min L, f(t, T) dw t. (12) i Suponha que observamos as taxas forward nos tempos no passado t 1 < t 2 < < t M < H, onde H representa o tempo hoje, e as taxas forward que observamos naqueles tempos referem-se aos prazos para maturidades τ 1 < τ 2 < < τ J (isto é, 16 Brace, Gatarek e Musiela 17 Soma dos fatores que representem mais do que 9% da volatilidade. 18 Limite superior para a taxa forward para prevenir a explosão da taxa que pode ocorrer quando t e T estão muito próximos. Neste trabalho será utlizado T t > 1 para prevenir este problema e evitar a estimação de L.

33 33 observamos f(t i, t i + τ j ) para i = 1,, M e j = 1,, J). Suponha alem do mais que δ é suficientemente pequeno de maneira que t i + δ < t i+1 para i = 1,, M 1 e t M + δ H. De acordo com o modelo (12) então f t i + δ, t i + τ j f t i, t i + τ j δμ t i, t i + τ j + σ τ j min L, f t i, t i + τ j W t i + δ W t i. (13) i Definindo D i,j = f t i + δ, t i + τ j f t i, t i + τ j δ min L, f t i, t i + τ j (14) e substituindo em (13) temos: D i,j δμ t i, t i + τ j min L, f t i, t i + τ j + σ τ j W t i + δ W t i δ. (15) i O primeiro termo do lado direito é pequeno em relação ao segundo porque tem o fator δ. Se definirmos X i = W t i + δ W t i δ, i = 1,, M, (16) a expressão que aparece no segundo termo de (15), que é uma variável aleatória, temos: D i,j σ τ j X i (17) i Como X 1, X 2,, X M são variáveis aleatórias normais e independentes, significa que podemos considerar D 1,j, D 2,j,, D M,j como observações independentes das taxas

34 forward tomadas nos tempos t 1, t 2,, t M relativas à maturidade τ j. A covariância empírica será dada por 34 C j1,j 2 = 1 M M i=1 A covariância teórica calculada a partir de (17), é D i,j 1 D i,j2. E σ τ j1 σ τ j2 X i 2 = σ τ j1 σ τ j2. Sendo D = D 1,1 D 1,2 D 2,1 D 2,2 D 1,J D 2,J D M,1 D M,2 D M,J, uma matriz M J correspondente às M observações e aos J prazos. Então a matriz de variâncias e covariâncias empírica C sobre as observações em D é dada por: C = C 1,1 C 1,2 C 2,1 C 2,2 C 1,J C 2,J C J,1 C J,2 C J,J = 1 M D D, que é simétrica e positiva semidefinida. Assim, podemos decompô-la em componentes principais (PCA) obtendo-se: C = λ 1 e 1 e 1 + λ 2 e 2 e λ J e J e J, onde λ 1 λ 2 λ J são os autovalores de C e os vetores coluna e 1, e 2,, e J são os autovetores ortogonais correspondentes e e j a transposta de e j. Assim, a melhor aproximação para σ é σ τ 1 σ τ 2 σ τ J = λ 1 e 1.

35 35 Para melhorar a aproximação para C podemos introduzir mais movimentos Brownianos (mais fatores) na equação da dinâmica da taxa forward, cada um com seu próprio vetor σ ( λ 2 e 2, λ 3 e 3, etc.). Como um passo final na calibração, pode ser introduzido uma função não aleatória γ(t) na evolução da taxa forward sob a medida neutra ao risco, fazendo df t, T = σ t, T σ t, T dt + γ t σ T t min L, f t, T dw t, (18) i onde σ t, T = γ t σ T t min L, f t, T e σ t, T = T σ t, v dv t T = γ t σ v t min L, f t, T dv. (19) i t Mesmo introduzindo γ(t), o modelo continua livre de arbitragem quando σ t, T em (18) é definido por (19). Tipicamente o valor de γ(t) é uma constante e esta constante é livre para fazer o modelo coincidir com os valores de mercado. Inicialmente assume-se γ(t) 1, obtêm-se os valores de σ T t e, posteriormente, alterando-se γ(t) e evoluindo a curva forward pelo modelo, calibra-se seu valor O tratamento dos dados de mercado históricos Esta seção descreve o tratamento dado às cotações históricas de mercado de futuros de DI de um dia negociados na BM&FBOVESPA (DI Futuro) que serão utilizados para o cálculo das mudanças na taxa forward ao longo do tempo t, em pontos específicos da curva, que chamaremos de prazos τ, e que correspondem aos prazos de maturidade de zero-bonds. O DI Futuro tem como ativo subjacente a taxa dos depósitos interfinanceiros de um dia de prazo, apurada pela Cetip, acumulada entre a data da negociação e o dia útil

36 anterior à data do vencimento do contrato futuro, e calculada conforme a equação abaixo: 36 T 1 DI1 T = 1 + tmdi ti i= 252 (T t ) 1, (2) i onde tmdi ti é taxa média de DI de um dia divulgada pela Cetip em t i, t t i < T, t é a data de negociação e T é a data de vencimento do contrato futuro. Assim, o DI Futuro reflete a expectativa de taxas forward de um dia, acumulados até o vencimento. Os vencimentos destes contratos ocorrem no primeiro dia útil dos quatro primeiros meses subsequentes ao da negociação e, a partir daí, nos meses que se caracterizam como início de trimestre (janeiro, abril, julho e outubro). No exterior são mais comuns os contratos futuros de juros onde o ativo subjacente é a taxa de um título que, no vencimento do contrato futuro, tem um prazo a decorrer até a maturidade do título, sendo as maturidades destes títulos padronizadas em prazos específicos. Pelas características dos contratos de DI Futuro descritas acima, temos cotações diárias destes futuros em datas de maturidades (vencimentos) específicas e, a cada dia que passa, o prazo para maturidade diminui um dia. Porém, para estimarmos a volatilidade sobre os dados históricos, precisaremos das taxas forward em prazos específicos e fixos (p. e., 1 mês, 2 meses, 6 meses, 1 ano, 2 anos, etc.). Assim, será necessário proceder de acordo com algum método para interpolar a cotação dos contratos vigentes, cujos prazos são móveis, para se obter uma cotação sintética equivalente nos prazos fixos necessários. Caldeira (211) avaliou os principais métodos de interpolação da estrutura a termo da curva de juros no Brasil. Os resultados encontrados mostram a superioridade dos modelos baseados em splines. Assim, utilizaremos um método baseado em cubic

37 37 splines para a interpolação 19 da curva de juros para os prazos requeridos. Este método é bastante conhecido e com diversas referências na literatura (e. g. Hazewinkel (21)), não sendo objetivo deste trabalho detalhar esta técnica. Finalmente, como os modelos desenvolvidos consideram que as taxas são continuamente compostas e, no modo discreto, continuamente compostas em base diária, convertemos as taxas compostas em taxa continuamente compostas equivalentes, através da relação r y = 252 ln(1 + i y ) (T t) 252 T t = ln(1 + i y ), (21) i onde i y é a taxa composta anual e r y é a taxa equivalente continuamente composta. Esta relação foi obtida a partir das seguintes relações para um bond: V T = V t (1 + i y ) (T t) 252 (22) i e V T = V t e r y (T t) 252, (23) i onde V T e V t são os valores do bond repectivamente em T e em t. Igualando (22) e (23) obtemos a equação (21). Similarmente, a relação para taxas de um dia será: r d = ln 1 + i d (T t) T t = ln 1 + i d, (24) onde r d e i d são as taxas diárias equivalentes. 19 Técnicas baseadas em cubic-spline têm a capacidade de se adaptar perfeitamente aos dados com a restrição de que a curva como um todo seja contínua e suave. Além disso, sabe-se que se existirem dois pontos muito distantes entre si, a curvatura da interpolação entre estes dois pontos pode ficar mais côncava ou convexa, dependendo dos valores dos pontos extremos. Assim, os pontos interpolados podem conter erros que irão afetar o modelo. Estes erros são inerentes a qualquer técnica de interpolação que se utilize. Infelizmente no Brasil, como não existem suficientes dados observáveis, muitas vezes é necessário recorrer a alguma forma de interpolação, como no caso deste trabalho.

38 A simulação do modelo por Monte Carlo Obtendo a taxa forward das cotações históricas interpoladas nos prazos específicos desejados e aplicando os métodos discutidos nas seções 4.1 e 4.2, estima-se a volatilidade por PCA para os N fatores (em geral 3 fatores são suficientes), para cada um dos prazos específicos (τ j ). Com a volatilidade estimada para cada um dos fatores e para cada prazo, calcula-se o drift discreto utilizando a equação (9) conforme discutido na seção 3.3. Finalmente, implementando a equação (11), simula-se por Monte Carlo a evolução da taxa forward e assim obtém-se a ETTJ para uma data t e para os prazos τ j específicos, e assim, estima-se os preços de derivativos de taxas de juros cujo valor depende da ETTJ considerada. O Quadro 1 abaixo apresenta um resumo dos passos a serem seguidos para a simulação. Passos para calibração do modelo e precificação de derivativos: Calcular a taxa forward a partir da série histórica do Futuro DI no período a ser utilizado para estimação da volatilidade, para os prazos τ i pré definidos; Utilizando PCA segundo o método discutido na Seção 4.1 obter a estrutura de volatilidade histórica para cada um dos componentes principais 2 (em geral três são suficientes) e para cada prazo τ i. Com a volatilidade estimada calcular o drift discreto para cada prazo τ i utilizando a equação (9) conforme discutido na Seção 3.3. Com a equação (11) simular por Monte Carlo a evolução taxa forward e assim precificar os derivativos de taxas de juros. No caso de opções, é necessário um passo adicional para calibrar o parâmetro γ(t) conforme discutido na Seção 4.1 (vide equação (18)). Quadro 1 - Passos para calibração e precificação de derivativos de taxas de juros 2 Cada uma das volatilidades referentes a um componente corresponderá a um fator no modelo HJM.