Uma desigualdade do tipo Trudinger-Moser em espaços de Sobolev com peso e aplicações

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1 Universidade Federal da Paraíba Universidade Federal de Campina Grande Programa Associado de Pós-Graduação em Matemática Doutorado em Matemática Uma desigualdade do tipo Trudinger-Moser em espaços de Sobolev com peso e aplicações por Francisco Sibério Bezerra Albuquerque João Pessoa - PB Abril/2014

2 Uma desigualdade do tipo Trudinger-Moser em espaços de Sobolev com peso e aplicações por Francisco Sibério Bezerra Albuquerque sob orientação do Prof. Dr. Everaldo Souto de Medeiros Tese apresentada ao Corpo Docente do Programa Associado de Pós-Graduação em Matemática - UFPB/UFCG, como requisito parcial para obtenção do título de Doutor em Matemática. Co-orientador: Prof. Dr. Claudianor Oliveira Alves João Pessoa - PB Abril/2014 ii

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6 Dedicatória Dedico este trabalho aos meus pais Giovane e Aurenir, ao meu irmão Robério eaminhaesposamariatereza.

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8 Agradecimentos Aos meus pais Giovane e Aurenir, pelas orações e torcida pelo meu sucesso e ao meu irmão Robério, pelo incentivo. ÀminhaamadaesposaMariaTereza(tetê),pelafielcompanhiaemotivaçãoqueme traz todos os dias. Ao meu orientador professor Everaldo Souto de Medeiros, pela amizadeepelacom- petência, eficiência e paciência com que conduziu este trabalho de tese. Ao meu co-orientador professor Claudianor Oliveira Alves, pelas valiosas sugestões bem como pela constante preocupação com minha formação. Ao professor João Marcos Bezerra do Ó, pela amizade, pelas valiosas contribuições dadas a este trabalho e, acima de tudo, pela forma tão comprometida com que coordena esse programa de doutorado. Ao professor Marco Aurélio Soares Souto, pela gentileza e paciência em me orientar num estudo dirigido sobre a disciplina de Teoria dos Pontos Críticos. Ao professor Uberlândio Batista Severo, pela amizade, pela participação em minha banca de segundo exame de qualificação e pelo valioso acompanhamento na disciplina de Tópicos em Análise sobre a teoria de Concentração-Compacidade em Aos professores Francisco Julio, José Valdo, Lucas Catão e Marcelo Furtado, por aceitarem o convite para a participação em minha banca e pelos valiososcomentários, elogios e sugestões. Aos professores do Depto de Matemática da Universidade Federal do Ceará-UFC, Ab-

9 dênago Barros e Antonio Caminha pelas cartas de recomendação epeloregularacompa- nhamento acerca do meu desempenho no curso. Aos professores do DM-UFPB e do DME-UFCG. Em especial, Henrique, Brandão, Lizandro, Miriam, Manassés, Fágner, Pedro, Fernando, Cleto, Daniel Pellegrino, Sales, Eduardo, Flávia, Flank, Marco Antonio e Horácio. Aos colegas de doutorado e amigos Marcêlo, Lindomberg, Alciônio, Jamílson, Gabriela, Ricardo Pinheiro, Maurício, Diego Araújo, Denílson, Joseílson, José Fernando, Aílton, Diego Ferraz, Gilcênio, Rainelly, Gílson, Luiz Alberto, Nacib, Yane, José Carlos, Marcius, Ricardo Burity, Esteban, Abiel e Cláudia. Ao secretário do doutorado, José Athayde Junior, pela eficiência e prestabilidade. Àminhainstituiçãodeorigem;aUniversidadeEstadualdaParaíba-UEPB, em especial ao Centro de Ciências Exatas e Sociais Aplicadas-CCEA no Campus VII em Patos, pela liberação das minhas atividades para esta capacitação. Por fim, ao meu colega de UEPB e amigo José Wilker de Lima Silva, pela motivação dada para que eu aplicasse para este programa de doutorado. viii

10 Sua sabedoria determina sua força Sua força determina sua resistência Sua resistência determina seu sucesso. Mike Murdock ix

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12 Notações Em todas as integrais, com excessão daquelas de outros trabalhos, omitiremos osímbolodxeusaremosc, C,C 0,C 1,C 2,... para denotar constantes positivas (possivelmente diferentes de uma linha para outra); C = C(α, β, a, b, c, d,...) denota uma constante positiva dependente dos valores α, β, a, b, c, d,...; B r denota a bola aberta de centrada na origem e raio r; B R \ B r denota o anel de raio interior r eraioexteriorr; Para qualquer subconjunto A, A c denota o complemento de A; A denota a medida de Lebesgue do conjunto A; o n (1) denota uma sequência de números reais convergindo para 0 quando n + ; p q significa que o número p émuitomaiordoqueonúmeroq; f(s) =o(g(s)) quando s 0 significa que lim s 0 f(s) g(s) =0; a.e.: Abreviação em inglês de almost everywhere para designar em quase todo ponto, ou seja, a menos de um conjunto de medida nula; indica o fim de uma demonstração; (PS) c :SequênciaPalais-Smalenonívelc;

13 ( u u = x, u ) denota o gradiente da função u : R; y u = 2 u x + 2 u denota o Laplaciano de u; 2 y2 X éodualtopológicodoespaçodebanachx;, denota o par de dualidade entre X e X; supp(u) denota o suporte de u; C 0 ( ) denota o conjunto de funções suaves com suporte compacto; C 0,rad (R2 )={u C 0 (R2 ):u éradial}; D 1,2 rad (R2 ) denota o fecho de C 0,rad (R2 ) sob a norma u 2 = ( u 2) 1/2 ; C k,γ (Ω) = {u C k (Ω) : D k u é γ-hölder contínua}; u L p (Ω) = ( Ω u p) 1/p ; L p (Ω) = {u :Ω R : u émensurávele u L p (Ω) < }; u L (Ω) = inf{c 0: {x Ω: u(x) >C} =0}; L (Ω) = {u :Ω R : u émensurávele u L (Ω) < }; W k,p (Ω) = {u L p (Ω) : D γ u L p (Ω), γ k}, ondeγ éummulti-índice; u W k,p (Ω) = u k,p = ( k i=0 Di u L p (Ω)) 1/p; W k,p 0 (Ω) denota o fecho de C 0 (Ω) sob a norma W k,p (Ω); H k (Ω) = W k,2 (Ω); H k 0 (Ω) denota o fecho de C 0 (Ω) sob a norma H k (Ω). xii

14 Resumo Este trabalho aborda uma classe de desigualdades do tipo Trudinger-Moser em espaços de Sobolev com peso em. Como aplicação destas desigualdades e usando métodos variacionais, estabeleceremos condições suficientes para aexistência, multiplicidadee não-existência de soluções para algumas classes de equações (esistemasdeequações) de Schrödinger elípticas não-lineares com potenciais radiais ilimitados, singulares na origem ou decaindo a zero no infinito e envolvendo não-linearidades com crescimento crítico exponencial do tipo Trudinger-Moser. Palavras-chave: Desigualdade de Trudinger-Moser; Espaços de Sobolev com peso; Equação de Schrödinger não-linear; Potenciais radiais ilimitados ou decaindo a zero; Crescimento crítico exponencial.

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16 Abstract This work addresses a class of Trudinger-Moser type inequalities in weighted Sobolev spaces in.asanapplicationoftheseinequalitiesandbyusingvariational methods, we establish sufficient conditions for the existence, multiplicity and nonexistence of solutions for some classes of nonlinear Schrödinger elliptic equations (and systems of equations) with unbounded, singular or decaying radial potentials and involving nonlinearities with exponential critical growth of Trudinger-Moser type. Keywords: Trudinger-Moser inequality; Weighted Sobolev spaces; Nonlinear Schrödinger equation; Unbounded or decaying radial potentials; Exponential critical growth.

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18 Contents Notations xi Introduction 1 1 A Trudinger-Moser type inequality in weighted Sobolev spaces Introduction and main results Preliminary results Proof of the main results Sharp constant and existence of extremal function On a class of nonlinear Schrödinger equations involving exponential critical growth in Introduction and main results Variational setting Proof of the existence theorem Proof of the multiplicity theorem A nonexistence result Onaclassofnonhomogeneous Schrödinger equations involving exponential critical growth in Introduction and main results Proof of the existence theorem Proof of the multiplicity theorem Proof of Proposition

19 4 On a class of gradient elliptic systems Introduction and main results A version of the improvement in the product space Variational setting Proof of the existence theorem Proof of the multiplicity theorem On a class of Hamiltonian elliptic systems Introduction and main results Variational setting Linking geometry Palais-Smale condition Estimate of the minimax level Approximation procedure Proof of the existence theorem On the Remark (Subcritical case) Final remarks 105 Bibliography 105 xviii

20 Introdução Seja Ω R N (N 3) éumdomíniolimitadoesuave. SabemosdoTeorema de Imersão de Sobolev (veja [2, Teorema 5.4]) que o espaço H 1 0(Ω) está imerso continuamente nos espaços de Lebesgue L p (Ω) para todo 1 p 2. =2N/(N 2). Equivalentemente, onde sup u p dx < +, para 1 p 2, (1) u D 1 Ω ( u D = Ω ) 1/2 u 2 dx éanormadedirichletouusualdoespaçoh 1 0(Ω). Ademais, o supremo (1) é infinito para p>2.diantedisso,depreendemososeguinte:oexpoente2 éa linhadedivisão entre a finitude e a infinitude de (1), sendo portanto chamado de expoente crítico, e sua potência correspondente, u 2,éotãoconhecidocrescimento crítico de Sobolev. Um fato curioso ocorre quando N =2. Neste caso, temos formalmente que 2 =, porém a imersão de H 1 0 (Ω) em L (Ω) não é válida. Para justificar tal fato, basta considerarmos o clássico contra-exemplo em que Ω=B 1 e u(x) = log(1 log x ), que por uma integração direta verifica-se que u H 1 0(B 1 ),masnoentantou L (B 1 ). Diante deste fenômeno, surge a seguinte questão: qual a função h(s) :R R + de maior crescimento possível de tal sorte que sup h(u)dx < +? u D 1 Ω Os primeiros trabalhos no sentido de responderem a essa questão são devidos a S.I. Pohozhaev [49], J. Moser [46] e N.S. Trudinger [64], que mostraram que tal crescimento maximal é do tipo exponencial. Mais precisamente, usando um argumento de

21 2 Introdução simetrização, Moser e Trudinger mostraram que se Ω éumdomíniolimitadoe suave, então existe C>0tal que. S α = sup u D 1 Ω e αu2 dx C Ω, para α 4π. (2) Ademais, em analogia com o caso Sobolev, eles mostraram que a constante 4π éa linha de divisão entre a finitude e a infinitude de S α esuapotênciacorrespondente,e 4πu2,éo crescimento maximal ou crítico, porém agora no intitulado sentido de Trudinger-Moser. Em símbolos, S α C Ω, para α 4π, S α =+, para α>4π. Nos últimos anos, generalizações das mais diversas da desigualdade (2) tem surgido motivadas principalmente pelo estudo de problemas elípticos envolvendo não-linearidades comportando-se no infinito como a função exponencial. Para citar alguns trabalhos, destacamos [1, 3, 4, 5, 21, 24, 32, 34, 35, 44]. Enunciados precisos das generalizações tratadas em alguns desses trabalhos, bem como suas respectivas aplicações, serão apresentados no primeiro capítulo da tese. Seguindo a mesma linha desses artigos, o presente trabalho de tese se propõe a estabelecer uma desigualdade do tipo obtida por Trudinger e Moser em (2) em todo o espaço Euclidiano eaplicá-laaoestudode problemas elípticos não-lineares no que concerne a obtenção de resultados de existência, não-existência, multiplicidade e comportamento assintótico de soluções para tais problemas. Este trabalho está organizado em cinco capítulos. No Capítulo 1 estabeleceremos alguns resultados de imersão envolvendo espaços de Sobolev com peso, bem como uma desigualdade do tipo Trudinger-Moser em tais espaços que será uma das principais ferramentas nas aplicações que se seguem nos demais capítulos da tese. Para isso, algumas definições iniciais se fazem necessárias. Sejam V,Q : R funções contínuas e 1 p<. Oconjunto L p ( ; Q) =. { } u : R : u émensurávele Q(x) u p < denota o espaço de Lebesgue com peso Q. Similarmente, definimos L 2 ( ; V ). Definimos o espaço vetorial H 1 rad (R2 ; V ). = D 1,2 rad (R2 ) L 2 ( ; V ),

22 Introdução 3 oqualmostraremosserumespaçodehilbertquandomunidodoproduto interno u, v H 1 rad ( ;V ) Associado ao produto interno (3) temos a norma u H 1 rad ( ;V ). = ( u v + V ( x )uv), u,v Hrad 1 (R2 ; V ). (3) ( ) 1/2. = u 2 + V ( x ) u 2, u Hrad 1 (R2 ; V ), (4) e, em todo o trabalho, H 1 rad (R2 ; V ) será denotado por E esuanorma(4)por. Voltando às funções V e Q, iremossuporqueasmesmassãoradialmentesimétricase satisfazendo as seguintes hipóteses na origem e no infinito: (V ) V C(0, ), V (r) > 0 eexistea> 2 tal que lim inf r + V (r) r a > 0. (Q) Q C(0, ), Q(r) > 0 eexistemb<(a 2)/2 e b 0 > 2 tais que lim sup r 0 Q(r) r b 0 < e lim sup r + Q(r) r b <. Os principais resultados deste capítulo são: Lema 1 Suponhamos que (V ) (Q) valem. Então as imersões E L p ( ; Q) são compactas para todo 2 p<. Teorema 1 Suponhamos que (V ) (Q) valem. Então, para quaisquer u E e α>0, temos que (e αu2 1) L 1 ( ; Q). Ademais,seα<α. = min{4π, 4π(1 + b0 /2)}, então existe C = C(α, a, b, b 0 ) > 0 tal que sup u E; u 1 Q( x )(e αu2 1) C. (5) Em seguida, motivados pelos trabalhos [34, 35, 44], obteremos o seguinte refinamento da desigualdade (5): Corolário 1 Suponhamos que (V ) (Q) valem. Seja (v n ) uma sequência em E com v n =1esuponhamosquev n vfracamente em E com v < 1. Então,paracada 0 <β<α (1 v 2 ) 1,amenosdesubsequência,vale sup Q( x )(e βv2 n 1) <. n N

23 4 Introdução Por fim, no intuito de explorarmos um pouco mais a desigualdade (5) noque tange aos estudos da optimalidade da constante α edaexistênciadefunçãoextremal, necessitaremos das seguintes condições adicionais sobre V ( x ) e Q( x ) na origem: (Ṽ ) existe a 0 > 2 tal que lim sup r 0 V (r) r a 0 < ; ( Q) Q C(0, ), Q(r) > 0 eexistemb<(a 2)/2 e 2 <b 0 0 tais que 0 < lim inf r 0 Q(r) r b 0 lim sup r 0 Q(r) r b 0 < e lim sup r + Q(r) r b <. Desta forma, o último resultado deste capítulo pode ser sumarizado como segue: Teorema 2 Suponhamos que (V ), (Ṽ ) e ( Q) valem. Então, S α = sup Q( x )(e αu2 1) < + (6) u E; u 1 se, e somente se, 0 <α α.ademais,osupremo(6) éatingidodesdeque0 <α<α. As demonstrações dos Teoremas 1 e 2 seguem basicamente os mesmos argumentos desenvolvidos por [21, 55] e contam com a ajuda da desigualdade clássica de Trudinger- Moser (2) e de uma versão singular da mesma devida a Adimurthi-Sandeep [4]. No Capítulo 2 estudaremos a existência, comportamento assintótico e multiplicidade de soluções fracas, bem como a não-existência de solução clássica para uma classe de problemas elípticos não-lineares da forma u + V (x)u = Q(x)f(u) em, (7) onde os pesos V,Q : R são funções radiais satisfazendo as condições (V ) e (Q) do Capítulo 1 eanão-linearidadef(s) tem crescimento crítico do tipo Trudinger-Moser (ou do tipo exponencial) a ser definido como segue: dizemos que f(s) tem crescimento crítico do tipo exponencial se existe α 0 > 0 tal que f(s) 0, α >α 0, (f α0 ) lim = s + e αs2 +, α <α 0. Assumiremos também que f(s) écontínuaesatisfaz: (f 1 ) f(s) =o(s) quando s 0;

24 Introdução 5 (f 2 ) existe θ>2 tal que (f 3 ) existem constantes R 0,M 0 > 0 tais que 0 <θf(s) =. s θ f(t)dt sf(s), s 0; 0 0 <F(s) M 0 f(s), s R 0 ; (f 4 ) existem ν>2 e µ>0 tais que F (s) µ ν s ν, s R. Observação 1 Oestudodoproblema(7) émotivadoportrabalhosrecentesfocadosna busca de soluções do tipo ondas estacionárias para EQUAÇÕES DE SCHRÖDINGER NÃO-LINEARES da forma i ψ t = ψ + W (x)ψ Q(x)ξ( ψ )ψ, (x, t) R2 R, ou EQUAÇÕES DE KLEIN-GORDON NÃO-LINEARES do tipo i 2 ψ t 2 = ψ +(W (x) m2 )ψ Q(x)ξ( ψ )ψ, (x, t) R, i.e., soluções da forma ψ(x, t) =exp( iet)u(x), ondee R, i = 1, m éum número positivo, W (x),q(x) são potenciais de valor real e ξ : R + R éumtermo não-linear. Tais equações surgem em vários ramos da Física-Matemática e Biologia- Matemática e tem sido extensivamete estudadas nos últimos anos. Entre outros trabalhos, citamos por exemplo [11, 15, 16, 34, 54, 59, 60, 61, 62] e suas referências. Os principais resultados deste capítulo são enunciados a seguir: Teorema 3 Suponhamos que (V ) (Q) valem. Se f satisfaz (f α0 ) (f 4 ),com [ ] (ν 2)/2 α0 (ν 2) µ> S α ν ν/2, ν onde S ν denota a melhor constante da imersão E L ν ( ; Q) estabelecida no Lema 1, então o problema (7) possui uma solução fraca positiva u em E. Ademais, se vale a hipótese adicional (Ṽ ), entãoexistemconstantesc 0,c 1 > 0 tais que u(x) c 0 exp ( c 1 x (a+2)/4), x.

25 6 Introdução Nosso resultado de multiplicidade é referente ao problema u + V (x)u = λq(x)f(u) em, (8) onde λ éumparâmetropositivo,eestáenunciadocomosegue: Teorema 4 Suponhamos que (V ) (Q) valem. Se f éímparesatisfaz(f α0 ) (f 4 ), então existe uma sequência crescente (λ k ) R + com λ k quando k tal que, para λ>λ k,oproblema(8) possui pelo menos k pares de soluções fracas em E. As principais ferramentas utilizadas para se demonstrar os Teoremas 3 e 4 são adesigualdadedotipotrudinger-moserestabelecidanoteorema 1 (bem como seu refinamento; Corolário 1) e o Teorema do Passo da Montanha em suas versões clássica sem a condição de Palais-Smale [54] e simétrica [28]. Com intuito de obtermos um resultado de não-existência de soluções para o problema (8), assumiremos a seguinte hipótese simultânea sobre V e Q: (VQ) V (x) lim x + x < e lim Q(x) > 0, com a< 2 <b. a x + x b Ademais, como consequência das hipóteses (f α0 ) com α<α 0, (f 2 ) e (f 4 ),segue-seque existe C 0 > 0 tal que, para qualquer p ν 1, f(s) C 0 s p, para todo s 0. (9) Com isso, obteremos o seguinte resultado de não-existência para o problema (8): Teorema 5 Suponhamos que (VQ) vale. Se f satisfaz (9), entãooproblema(8) não possui solução positiva de classe C 2 para λ grande. Observação 2 Observamos que na hipótese (VQ) não houve a necessidade de supor que V e Q fossem radialmente simétricas. Isso ficará claro na demonstração do Teorema 5. AdemonstraçãodoTeorema5estábaseadanaanálisedeumainequação diferencial ordinária advinda do problema (8) via propriedades envolvendo a média esférica. No Capítulo 3 estudaremos a existência e multiplicidade de soluções fracas para aseguinteclassedeproblemaselípticosnão-linearesenão-homogêneos da forma u + V (x)u = Q(x)f(u)+h(x) em, (10)

26 Introdução 7 onde o potencial V ( x ) satisfaz a hipótese (V ) do Capítulo 1, afunçãopesoq( x ) satisfaz a hipótese (Q) num primeiro momento, f(s) aindaapresenta crescimento crítico do tipo Trudinger-Moser e h E = E 1 éumapequenapertubaçãonãoidenticamente nula. Observação 3 Nesse caso, o estudo do problema (10) émotivadopelabuscadesoluções do tipo ondas estacionárias da seguinte classe de equações de Schrödingernão-lineares: i ψ t = ψ Q(x)ξ( ψ )ψ eiet h(x), (x, t) R, ou equações de Klein-Gordon não-lineares do tipo i 2 ψ t 2 = ψ +(W (x) m2 )ψ Q(x)ξ( ψ )ψ e iet h(x), (x, t) R. Os principais resultados deste capítulo são enunciados como seguem: Teorema 6 Suponhamos que (V ) (Q) valem. Se f satisfaz (f α0 ) (f 2 ),entãoexiste δ 1 > 0 tal que se 0 < h E 1 <δ 1,oproblema(10) possui uma solução fraca u h 0 em E. No intuito de estabelecermos um resultado de multiplicidade e observando que a hipótese (Ṽ ) implica que existem r 0 > 0 e C 0 > 0 tais que V ( x ) C 0 x a 0 para todo 0 < x r 0, (11) necessitaremos das seguintes condições adicionais sobre f(s): (f 3 ) existem constantes R 0,M 0 > 0 tais que 0 <F(s) M 0 f(s), s R 0 ; (f 4 ) existe β 0 > 0 tal que onde lim inf s sf(s) β e α 0s 2 0 > com 0 <r r 0 e r 0 dado em (11). 4 e 2m(r0), C 0 α 0 r0 2 se b 0 =0; b C 0 α 0 r b m(r) = 2C 0r a 0+2 (a 0 +2) 3,, se 2 <b 0 < 0,

27 8 Introdução Desta forma, o resultado de multiplicidade pode ser enunciado como segue: Teorema 7 Suponhamos que (V ) ( Q) e (Ṽ ) valem. Se f satisfaz (f α 0 ) (f 4 ),então existe δ 2 > 0 tal que se 0 < h E 1 soluções fracas não-triviais em E. <δ 2,oproblema(10) possui pelo menos duas As demonstrações dos Teoremas 6 e 7, assim como todo o capítulo, seguem as mesmas ideias utilizadas no recente trabalho de Furtado-Medeiros-Severo [38], valendo-se da desigualdade do tipo Trudinger-Moser estabelecida no Teorema 1 e seu refinamento em conjunto com o Teorema do Passo da Montanha [12] e o Princípio Variacional de Ekeland [36, 68]. Nos capítulos subsequentes, nosso objeto de estudo serão sistemas do tipo variacional, ou seja, sistemas de equações de Euler-Lagrange de algum funcional. No Capítulo 4 estudaremos a existência e multiplicidade de soluções fracas para a seguinte classe de sistemas elípticos do tipo gradiente (ou Lagrangeano) u + V (x)u = Q(x)f(u, v) em, onde os pesos V,Q : v + V (x)v = Q(x)g(u, v) em, (12) R são funções radialmente simétricas satisfazendo as condições (V ) e (Q) do Capítulo 1 econsideraremosasituaçãovariacionalquecaracteriza o sistema (12) como sendo do tipo gradiente, ou seja, iremos supor que (f(u, v),g(u, v)) = F (u, v), para alguma função F : R de classe C 1. Denotando w =(u, v) evisando uma analogia com o caso escalar, podemos reescrever o sistema (12) na forma matricial como segue w + V (x)w = Q(x) F (w) em, onde =(, ) e Q(x) F (w) =(Q(x)f(w),Q(x)g(w)). Consideraremos novamente ocasoemqueasnão-linearidadesf e g apresentam crescimento crítico do tipo exponencial no sentido da desigualdade de Trudinger-Moser. Mais precisamente: (F α0 ) existe α 0 > 0 tal que f(w) g(w) lim = lim = w + e α w 2 w + e α w 2 0, α >α 0, +, α <α 0.

28 Introdução 9 Além disso, assumiremos as seguintes condições: (F 1 ) f(w) =o( w ) e g(w) =o( w ) quando w 0; (F 2 ) existe θ>2 tal que 0 <θf(w) w F(w), w \{0}; (F 3 ) existem constantes R 0,M 0 > 0 tais que 0 <F(w) M 0 F (w), w R 0 ; (F 4 ) existem ν>2 e µ>0 tais que F (w) µ ν w ν, w. Os principais resultados deste capítulo são enunciados a seguir: Teorema 8 Suponhamos que (V ) (Q) valem. Se (F α0 ) (F 4 ) são satisfeitas, então osistema(12) possui uma solução fraca não-trivial w 0 em E E desde que [ ] (ν 2)/2 2α0 (ν 2) µ> S α ν ν/2. ν Nosso resultado de multiplicidade é referente ao problema w + V (x)w = λq(x) F (w) em, (13) onde λ éumparâmetropositivo,eestáenunciadocomosegue: Teorema 9 Suponhamos que (V ) (Q) valem. Se F éímpare(f α0 ) (F 4 ) são satisfeitas, então para qualquer k N dado existe Λ k > 0 tal que o sistema (13) possui pelo menos 2k pares de soluções fracas não-triviais em E E desde que λ>λ k. As demonstrações dos Teoremas 8 e 9 seguem as mesmas ideias de seus análogos escalares no Capítulo 2, com uma pequena ressalva que a ferramenta principal para se provar o Teorema 9, a saber, o Teorema do Passo da Montanha Simétrico, foi utilizada em uma forma mais geral, a qual pode ser encontrada em [12, 13, 57]. Finalmente, no Capítulo 5 estudaremos a existência de solução fraca para a seguinte classe de sistemas elípticos do tipo Hamiltoniano: u + V (x)u = Q(x)g(v) em, v + V (x)v = Q(x)f(u) em, (14)

29 10 Introdução onde as funções peso V,Q : R são radialmente simétricas, satisfazem as mesmas hipóteses do Capítulo 1 easnão-linearidadesf e g ainda apresentam crescimento crítico do tipo exponencial, porém não necessariamente com amesmaconstanteα 0 para ambas, ou seja, existem α 0 β 0 > 0 tais que f(s) 0, α >α 0, g(s) 0, α >β 0, lim = e lim = s + e αs2 s + +, α <α e αs2 0 +, α <β 0. Além disso, assumiremos que f, g : R [0, + ) são funções contínuas satisfazendo: (H 1 ) f(s) =o(s) e g(s) =o(s) quando s 0; (H 2 ) existe θ>2 tal que para todo s>0 0 <θf(s) =. s θ f(t)dt sf(s) e 0 <θg(s) =. θ 0 s 0 g(t)dt sg(s); (15) (H 3 ) existem constantes s 0,M 0 > 0 tais que para todo s s 0 0 <F(s) M 0 f(s) e 0 <G(s) M 0 g(s); (H 4 ) existem constantes ν>2 e µ>0 tais que F (s),g(s) µ ν sν, s 0. Observação 4 (i) Sistemas do tipo Hamiltoniano possuem inúmeras aplicações em ciências e, em especial, na Biologia. Por exemplo, a QUIMIOTAXIA, movimento dirigido que desenvolvem alguns seres vivos em resposta aos gradientes químicos presentes no seu ambiente, foi estudada por Keller-Segel [41] na década de 70 usando um sistema de equações parabólicas cujos estados estacionários devem satisfazer, sob certas hipóteses, a um sistema do tipo Hamiltoniano. Mais tarde, Gierer-Meinhardt [39] estudaram o processo de Ativação-Inibição de dois componentes químicos como um modelo de formação de padrão e também recaíram num sistema do tipo Hamiltoniano quando vistos em seus estados estacionários. Para maiores detalhes sobre estes e outros fenômenos naturais em que suas modelagens se dão por meio de sistemas do tipo Hamiltoniano, indicamos os livros de Murray [47, 48]. (ii) Torna-se natural pensarmos em considerar o funcional I(u, v) = ( u v + V (x)uv) Q(x)[F (u)+g(v)],

30 Introdução 11 de modo que, formalmente, (14) éosistemadeequaçõesdeeuler-lagrangeassociado ao funcional I. Nessadireção,aprimeiragrandedificuldadequesurgeno estudo do sistema (14) e, em geral, no estudo de sistemas do tipo Hamiltoniano, équeomesmotemacaracterísticadeserfortementeindefinido, ou seja, se o espaço onde o funcional I estiver definido for decomposto em soma direta de dois subespaços de dimensão infinita, então sua parte quadrática, ( u v + V (x)uv), será coerciva num deles e anti-coerciva no outro. Para maiores detalhes, recomendamos [20]. Outras dificuldades que naturalmente surgem no estudo dos problemas (7), (10) edossistemas(12), (14) são as já esperadas, a saber, uma possível perda de compacidade por estarmos trabalhando em domínio ilimitado e ocrescimentocríticodasnão-linearidadesenvolvidas. Oprincipalresultadodestecapítuloéoseguinte: Teorema 10 Suponhamos que (V ) (Q) valem. Se f e g satisfazem (15) e (H 1 ) (H 4 ), com [ ] (ν 2)/2 (α0 + β 0 )(ν 2) µ> 2 ν/2 S ν να ν, então o sistema (14) possui uma solução fraca não-trivial em E E. Visto que o funcional associado ao sistema (14) é fortemente indefinido, não podemos utilizar as versões clássicas dos teoremas do Passo da Montanha e do Ponto de Sela. Desta forma, a abordagem ao sistema (14) se dará por meio deumprocedimento de aproximação devido a Galerkin [37], seguindo as mesmas ideias utilizadas por de Figueiredo-Felmer [26], de Figueiredo-Miyagaki-Ruf [27] edefigueiredo-doó-ruf[25]. Por fim, destacamos que uma nova dificuldade surgirá no nosso problema em resposta à escolha de tal método de aproximação,a saber,a impossibilidade de usarmos um teorema de interseção (vide Proposição 5.9 em [54]). Com o intuito de não ficarmos recorrendo à Introdução edetornaroscapítulos independentes, enunciaremos novamente, em cada capítulo, os resultados acima, bem como as hipóteses sobre as funções em geral com mais detalhes.

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32 Chapter 1 ATrudinger-Mosertypeinequalityin weighted Sobolev spaces This chapter is devoted to establish some embedding results and a Trudinger- Moser type inequality in weighted Sobolev spaces. We point out that part of this chapter is contained in the published paper [7]. 1.1 Introduction and main results We recall that if Ω is a bounded domain in,theclassicaltrudinger-moser inequality (cf. [46, 64]) asserts that e αu2 L 1 (Ω) for all u H0 1 (Ω) and α > 0. Moreover, there exists a constant C = C(Ω) > 0 such that where sup e αu2 dx C, if α 4π, (1.1) u H 1 0 (Ω) 1 Ω ( u H 1 0 (Ω) = Ω u 2 dx) 1/2. Furthermore, (1.1) is sharp in the sense that, if α>4π, thenthesupremumin(1.1)is +. Relatedinequalitiesforunboundeddomainshavebeenproposed by Cao [21] and Ruf [55] (and by Tanaka [1], do Ó [32] and Li-Ruf [43] in general dimension). However in [1], [21] and [32] they assumed the growth e αu2 with α<4π, i.e. withsubcritical growth (see also Adams [2]). In [55], the author proved that there exists a constant

33 14 A Trudinger-Moser type inequality in weighted Sobolev spaces d>0 such that for any domain Ω, sup u 1,2 1 (e 4πu2 1)dx d, (1.2) where Ω ( 1/2 u 1,2 = ( u 2 + u )dx) 2. Ω Moreover, the inequality (1.2) is sharp in the sense that for any growth e αu2 with α>4π the supremum in (1.2) is +. Furthermore, he proved that the supremum in (1.2) is attained whenever it is finite. On the other hand, Adimurthi-Sandeep [4] extended the Trudinger-Moser inequality (1.1) for singular weights. More precisely, they proved that if Ω is a bounded domain in containing the origin, u H 1 0(Ω) and β [0, 2), thenthereexistsapositiveconstantc = C(α, β) such that e αu2 1 sup dx C Ω (1.3) u H 1(Ω) 1 x β 0 Ω if, and only if, 0 <α 4π(1 β/2). We remark that in the same work, the authors used the inequality (1.3) in order to study the corresponding criticalexponentproblem. Throughout, we consider weight functions V ( x ) and Q( x ) satisfying the following assumptions: (V ) V C(0, ), V (r) > 0 and there exists a> 2 such that lim inf r + V (r) r a > 0. (Q) Q C(0, ), Q(r) > 0 and there exist b<(a 2)/2 and b 0 > 2 such that Example lim sup r 0 Q(r) r b 0 < and lim sup r + Q(r) r b <. 1) In [11], Ambrosetti, Felli and Malchiodi considered the potentials V ( x ) and Q( x ) satisfying A 1 1+ x α V ( x ) A 2 and 0 <Q( x ) A 3 1+ x β for positive constants A 1,A 2,A 3,withα (0, 2) and β 0, whichverify(v ) and (Q) for β>1. Indeed,itjusttakesa = α ( 2, 0), b 0 =0and b = β. 2) Singular potentials of the form V (x) = x α and Q(x) = x β with 2(β +1)<α<0. Indeed,itjusttakesa = α and b = b 0 = β.

34 1.1 Introduction and main results 15 With the aid of inequalities (1.1), (1.3) and inspired by similar arguments developed in [21, 55], we establish in this work the following Trudinger-Moser type inequality in the functional space E. Theorem Assume that (V ) (Q) hold. Then, for any u E and α>0, we have that (e αu2 1) L 1 ( ; Q). Furthermore, if α<α. = min{4π, 4π(1 + b0 /2)}, then there exists C = C(α, a, b, b 0 ) > 0 such that sup Q( x )(e αu2 1) C. (1.4) u E; u 1 Remark Since the weight Q( x ) can assume a singular behavior (see Example 1.1.1) we refer the reader to [35] where the authors investigated the Trudinger-Moser type inequality with a singular weight for any domain Ω containing the origin as well as some applications. More precisely, they proved that if α>0, β [0, 2) is such that α/4π + β/2 < 1 and u L 2 (Ω) M, thenthereexistsaconstantc = C(α, M) > 0 (independent of Ω) suchthat e αu2 1 sup dx C (1.5) u L 2 (Ω) 1 Ω x β and the above inequality does not holds if α/4π + β/2 > 1. As in the paper [4], the authors also used the inequality (1.5) to study the corresponding subcritical and critical exponent nonhomogeneous problem. We also refer the reader to [5]foraTrudinger- Moser type inequality with a singular weight in high dimensions. The inequality (1.1) was improved by Lions in [44, Theorem I.6pp ]. More precisely, he proved that if (u n ) is a sequence of functions in H0 1(Ω) with u n L 2 (Ω) =1 ( ) 1 such that u n u 0weakly in H0(Ω), 1 thenforany0 <p<4π 1 u 2 L 2 (Ω) we have sup e pu2 n dx <. (1.6) n N Ω Recently, do Ó-Medeiros-Severo in [34, Lemma 2.6] established a version of the inequality (1.6) for the whole. They proved that if (u n ) is a sequence of functions in H 1 ( ) with u n 1,2 =1such that u n u 0weakly in H 1 ( ) with u 1,2 < 1, then for any 0 <p<4π ( 1 u 1,2) 2 1 we have sup n N ( ) e pu2 n 1 dx <. (1.7) Three years later, do Ó-de Souza in [35, Lemma 2.1] established a singular version of the inequality (1.7). Under the same conditions above on the sequence (u n ),they

35 16 A Trudinger-Moser type inequality in weighted Sobolev spaces proved that for all 0 <p<2π(2 β) ( 1 u 2 1,2) 1 and β [0, 2), wehave sup n N R2 e pu2 n 1 x β dx <. With the purpose to control the Palais-Smale sequences in our applications we establish the following improvement of the Trudinger-Moser inequality considering our variational setting. Corollary Assume that (V ) (Q) hold. Let (v n ) be in E with v n =1and suppose that v n vweakly in E with v < 1. Then,foreach0 <β<α (1 v 2 ) 1, up to a subsequence, it holds sup n N 1.2 Preliminary results Q( x )(e βv2 n 1) <. In this section, we establish some embeddings from E into the weighted Lebesgue space L p ( ; Q). We start by recalling a version of the Radial Lemma (see [62])due to Strauss [58]. Before let us to check that (E, ) is a Banach space. Proposition E is a Banach space with respect to the norm given in (4). Proof. First, it is standard to check that (E, ) is a linear space. Let (u n ) be a Cauchy sequence in E. Since the embedding E L 2 ( ; V ) is continuous, (u n ) is a Cauchy sequence in L 2 ( ; V ). Hence,thereexistsu L 2 ( ; V ) such that u n u in L 2 ( ; V ) and so, up to a subsequence, u n (x) u(x) a.e. x.analogously,since E D 1,2 rad (R2 ), (u n ) is a Cauchy sequence in D 1,2 rad (R2 ).Thus,thereexistsv D 1,2 rad (R2 ) such that u n v in D 1,2 rad (R2 ) and so, up to a subsequence, u n (x) v(x) a.e. x. Consequently, u(x) =v(x) a.e. x.therefore,u n u E in E. Lemma Assume that (V ) holds. u E, Then, there exists C > 0 such that for all u(x) C u x (a+2)/4, x 1. (1.8) Proof. By a standard density argument, it suffices to prove (1.8) for u C 0,rad (R2 ). Let ρ = x and ϕ : [0, + ) R be such that ϕ(ρ) =u( x ). Sincea> 2, onehas d [ ρ (a+2)/2 ϕ 2 (ρ) ] = a +2 dρ 2 ρa/2 ϕ 2 (ρ)+2ρ (a+2)/2 ϕ(ρ)ϕ (ρ) 2ρ (a+2)/2 ϕ(ρ)ϕ (ρ).

36 1.2 Preliminary results 17 It follows from (V ) that there exist R 0 > 0 and C 0 > 0 such that V ( x ) C 0 x a for x R 0. Then for ρ>r 0,theHölder sinequalityimpliesthat ρ (a+2)/2 ϕ 2 (ρ) 2 s (a+2)/2 ϕ(s) ϕ (s) ds Thus, we conclude that =2 ρ ρ ( 2 ρ ( 1 C0 π 1 C0 π ( ϕ (s) s )( s a/2 ϕ(s) s ) ds ) 1/2 ( ϕ (s) 2 sds B c ρ ρ ) 1/2 s a ϕ(s) 2 sds ) 1/2 ( ) 1/2 u 2 V ( x ) u 2 Bρ c ( u 2 + V ( x ) u 2). u(x) C u x (a+2)/4, x >R 0, which completes the proof. Next, we recall some basic embeddings (see Su-Wang-Willem [62, Lemmas 3 and 4]). Let A and define H 1 rad(a; V )= { u A : u H 1 rad( ; V ) }. Lemma Assume that (V ) (Q) hold and let 1 p<. Forany0 <r<r<, withr 1, i) the embeddings H 1 rad (B R \ B r ; V ) L p (B R \ B r ; Q) are compacts; ii) the embedding H 1 rad (B R; V ) H 1 (B R ) is continuous. In particular, as a consequence of ii) we have that H 1 rad (B R; V ) is compactly immersed in L q (B R ) for all 1 q<. We also need the following Hardy type inequality with remainder terms (see Wang-Willem [67, Theorem 2]). Lemma For all u H 1 0(B 1 ) B 1 u B 1 ( [ x 2 log 1 ) ] 2 u 2. x

37 18 A Trudinger-Moser type inequality in weighted Sobolev spaces From the previous lemmas we have: Lemma Assume that (V ) (Q) hold. Then the embeddings E L p ( ; Q) are compacts for all 2 p<. Proof. For the continuity of the embedding, it suffices to show that. ( u 2 + V u 2 ) S p = inf u E Q u (R p) > 0. 2/p 2 Otherwise, there exists (u n ) in E such that ( Q u n p =1 and lim un 2 + V u n 2) =0. (1.9) n By the hypotheses (V ) (Q), thereexistr 0 > 0 and C 0 > 0 such that Q( x ) C 0 x b for x R 0, V ( x ) C 0 x a for x R 0. Now for R>R 0,byLemma1.2.2,wehave B c R Q u n p C 0 = C 0 B c R B c R x b u n p C 1 u n p 2 x b a u n p 2 x a u n 2 B c R a+2 b a (p 2) x 4 V un 2. Since a> 2, b<(a 2)/2 <aand p 2, wehavethatb a (p 2)(a +2)/4 < 0. Thus, we obtain B c R Q u n p a+2 b a (p 2) C 1 R 4 un p a+2 b a (p 2) = C 1 R 4 on (1). (1.10) On the other hand, again by (Q) there exist 0 <r 0 <R 0 and C 0 > 0 such that Q( x ) C 0 x b 0 for 0 < x <r 0. (1.11) In what follows for 0 <r<min{r 0, 1/2} and p 2, wewillestimatetheintegral B r Q u n p.

38 1.2 Preliminary results 19 We distinguish two cases. Case 1. b 0 > 0. Itfollowsfrom(1.11)andLemma1.2.3that Q u n p C 0 r b 0 u n p C 0 r b 0 u n p B r B r B 1 C 2 r b 0 u n p/2 = C 2 r b 0 o n (1). Case 2. 2 <b 0 0. We choose δ>0 such that b 0 δ> 2 and take a cut-off function φ C 0 (B 1 ), 0 φ 1 in B 1 and φ 1 in B 1/2. Invoking (1.11) and the Hölder s inequality we get Q u n p B r C 0 x b 0 u n p B r ( = C 0 log 1 ) b0 δ ( u n φ δ b 0 x δ log 1 ) δ b0 u n p+b 0 δ x x B r x b 0 δ ( C 3 r δ log 1 ) [ δ b0 r B 1 x 2 ( log 1 ) ] δ b 0 2 u n φ 2 x Since u n φ H 1 0(B 1 ),Lemmas1.2.3and1.2.4implythat Hence, in any case Now writing 2 (B1 u n 2(p+b 0 δ) 2+b 0 δ ( Q u n p C 4 r δ log 1 ) δ b0 u n δ b 0 u n p+b 0 δ B r r ( = C 4 r δ log 1 ) δ b0 o n (1). r ) 2+b 0 δ 2 lim n Q u n p =0. B r (1.12) Q u n p = Q u n p + B r Q u n p + B R \B r using (1.10), (1.12) and i) from Lemma we get lim Q u n p =0, n B c R Q u n p, which is a contradiction with (1.9). This proves the continuity of the embedding. For the compactness, let (u n ) be a sequence in E be such that u n C. Withoutlossof.

39 20 A Trudinger-Moser type inequality in weighted Sobolev spaces generality, we may assume that u n 0 weakly in E. We need to prove that u n 0 strongly in L p ( ; Q) for all 2 p<. Asin(1.10),weget Q u n p a+2 b a (p 2) CR 4 un p a+2 b a (p 2) CR 4. B c R Since b a (p 2)(a +2)/4 < 0, givenε>0, forr>0 sufficiently large we have that B c R On the other hand, if b 0 > 0 then as in Case 1 we have Q u n p a+2 b a (p 2) CR 4 < ε 3. (1.13) B r Q u n p Cr b 0 u n p/2 Cr b 0. If 2 <b 0 0, similarlytothecase 2 we have for 0 <r<min{r 0, 1/2,δ} that ( Q u n p Cr δ log 1 ) δ b0 ( u n p Cr δ log 1 ) δ b0. B r δ δ In any case, B r Q u n p < ε 3, (1.14) for r>0 small enough. Now, by i) from Lemma 1.2.3, u n 0 strongly in L p (B R \B r ; Q) for all 1 p<. Thus,forn N large enough From (1.13), (1.14) and (1.15), we get and this finish the proof of lemma. B R \B r Q u n p < ε 3. (1.15) lim u n L n p ( ;Q) = lim Q u n p =0, n Remark Notice that lemmas and hold in fact for a 2 and b<a. 1.3 Proof of the main results Now we are ready to present the proof of the main results of this chapter. Proof of Theorem Recall that by hypothesis (Q), thereexist0 <r 0 <R 0 and C 0 > 0 such that Q( x ) C 0 x b for x R 0, Q( x ) C 0 x b 0 for 0 < x r 0. (1.16)

40 1.3 Proof of the main results 21 Let R>0 to be chosen later. We write 1) = 1) + Q(e αu2 1). (1.17) Q(e αu2 Q(e αu2 B R We are going to estimate each integral in (1.17). For the integral on B R,wehavetwo cases to consider: Case 1. b 0 0. Fromthesecondinequalityin(1.16)andthecontinuityofQ(r), there exists C>0such that 1) C. B c R Q(e αu2 e αu2 B R B R Let v H0(B 1 R ) defined by v(x) =u(x) u(r), for x B R. Then by the Young s inequality, for each ε>0given, there exists a constant C ε > 0 such that u 2 (x) (1 + ε)v 2 (x)+(1+c ε )u 2 (R). Thus, fixing { R max 1,R 0, [ (1 + C ε )C 2] } 2/(a+2), it follows from Lemma that u 2 (x) (1 + ε)v 2 (x)+(1+c ε )C 2 R (a+2)/2 u 2 (1 + ε)v 2 (x)+ u 2. Hence, 1) C B R Q(e αu2 B R e α[(1+ε)v2 + u 2 ] = Ce α u 2. (1.18) B R e α(1+ε)v2 Since v H 1 0(B R ), v H 1 0 (B R ) = v L 2 (B R ) u 1 and in this case α<4π, we can take ε>0 such that α(1 + ε) 4π. Then, from the classical Trudinger-Moser inequality (1.1) we get sup e α(1+ε)v2 v H0 1(B R); v H 1(B 0 R ) 1 B R C.

41 22 A Trudinger-Moser type inequality in weighted Sobolev spaces Thus, from (1.18), we obtain sup Q(e αu2 1) C(α). u E; u 1 B R Case 2. 2 <b 0 < 0. Since0 <r 0 <R 0 <R,wewrite B R Q(e αu2 1) = B r0 Q(e αu2 1) + C 0 x b 0 e αu2 + C B r0 C 0 x b 0 e αu2 + C B R B R \B r0 Q(e αu2 B R \B r0 e αu2 B R e αu2, 1) where we have used again the continuity of Q(r) and the second inequality in (1.16). By similar computations done above, we obtain x b 0 e αu2 = B R BR e αu2 x b 0 eα u 2 BR e α(1+ε)v2 x b 0. (1.19) Since in this case α<4π(1+b 0 /2), wecantakeε>0 such that α(1+ε) 4π(1+b 0 /2). Thus, since v H 1 0 (B R), v H 1 0 (B R ) = v L 2 (B R ) u 1 and b 0 (0, 2), thanks to inequality (1.3) sup v H 1 0 (B R); v H 1 0 (B R ) 1 BR e α(1+ε)v2 x b 0 C(α, b 0 ). Using this in (1.19) we obtain Therefore, in both cases we have sup x b 0 e αu2 C(α, b 0 ). u E; u 1 B R sup Q(e αu2 1) C(α, b 0 ). (1.20) u E; u 1 B R Next, we estimate the second integral in (1.17). It follows from the first inequality in (1.16) and Monotone Convergence Theorem that for any u E B c R Q(e αu2 1) C 0 C 0 BR c j=1 x b (e αu2 1) = C 0 α j j! B c R x b u 2j. B c R x b j=1 α j u 2j j!

42 1.3 Proof of the main results 23 By using Lemma we can estimate the last integral above as follows x b u 2j (C u ) 2j a+2 b j x 2 B c R B c R =2π (C u ) 2j R a+2 1+b j s 2 ds 2π ( a 2 b ) R a 2 2 b (C u )2j, 2 where we have used that b<(a 2)/2, j 1 and R>1. Thus, B c R for all u E. Furthermore, 2πC Q(e αu2 0 1) ( a 2 b ) (αc 2 u 2 ) j R a 2 2 b j! 2 j=1 2πC ( ) 0 = ( a 2 b ) e αc2 u 2 1 <, R a 2 2 b 2 sup u E; u 1 B c R Q(e αu2 1) C(α, a, b). (1.21) Therefore, from (1.20) and (1.21) we have that 1) C(α, a, b, b 0 ) sup u E; u 1 and the proof of theorem is finished. Q(e αu2 Using Theorem and following the same steps as in the proof of [34, Lemma 2.6] we present the Proof of Corollary inequality implies that Recall that if y, z and ε are positive numbers, the Young s y 2 =(y z) 2 + z 2 +2ε(y z) z ε (1 + ε2 )(y z) 2 + (1+ 1ε 2 ) z 2. Hence, we can use the Young s inequality again to get ) Q(e βv2 n 1) (Q 1/r 1 e β(1+ε2 )(v n v) 2 Q 1/r 2 e β(1+1/ε2 )v 2 Qr1 Qr2 1 ( ) Q e r 1 R r 1β(1+ε 2 )(v n v) ( ) Q e r 2β(1+1/ε 2 )v 2 1, r 2 2 where r 1,r 2 > 1 and 1/r 1 +1/r 2 =1. It follows from Theorem that the last integral above is finite and therefore it suffices to prove that ( ) e r 1β(1+ε 2 )(v n v) 2 1 <. sup n N Q

43 24 A Trudinger-Moser type inequality in weighted Sobolev spaces Since v n vweakly in E and v n =1,weconcludethat lim v n v 2 =1 v 2 < α n β lim β v n v 2 <α. n Consequently, for n N large, there exist r 1 > 1 sufficiently close to 1, ε>0 small enough and 0 <α<α such that r 1 β(1 + ε 2 ) v n v 2 α<α. Hence, invoking the Theorem 1.1.2, we obtain C > 0 independent of n such that Q ( ) ( ) e r 1β(1+ε 2 )(v n v) 2 1 = Q e r 1β(1+ε 2 ) v n v 2 ((v n v)/ v n v ) 2 1 C, and the corollary is proved. 1.4 Sharp constant and existence of extremal function In this section we are going to explore further properties of the Trudinger-Moser inequality (1.4) concerned with the sharpness and the existence of extremal function. Throughout the section, we need the following additional hypotheses on V ( x ) and Q( x ) at the origin: (Ṽ ) there exists a 0 > 2 such that lim sup r 0 V (r) r a 0 < ; ( Q) Q C(0, ), Q(r) > 0 and there exist b<(a 2)/2 and 2 <b 0 0 such that 0 < lim inf r 0 Q(r) r b 0 lim sup r 0 Q(r) r b 0 < and lim sup r + Q(r) r b <. Remark ) Observe that the singular potentials considered in the Example satisfy (Ṽ ) and ( Q); 2) Notice that (Ṽ ) implies that there exist r 0 > 0 and C 0 > 0 such that V ( x ) C 0 x a 0, for all 0 < x r 0. (1.22) The main result of this section is the following:

44 1.4 Sharp constant and existence of extremal function 25 Theorem Assume that (V ), (Ṽ ) and ( Q) hold. Then there holds S α = sup Q( x )(e αu2 1) < + (1.23) u E; u 1 if and only if 0 <α α. Moreover, the supremum (1.23) is attained provided 0 < α<α. In order to use similar arguments developed in [55] we need the followingversion of the Radial Lemma for functions in L 2 ( ; V ). Lemma Assume that (V ) holds. If u L 2 ( ; V ) is a radial non-increasing function (i.e. 0 u(x) u(y) if x y ), then one has u(x) C u L 2 ( ;V ) x (a+2)/2, x 1. Proof. Recall that from the hypothesis (V ) that there exists R 0 > 0 such that for some C 0 > 0, V ( x ) C 0 x a for x R 0. Then for ρ>0 such that ρ/2 >R 0,wehave(settingρ = x ) ρ u 2 L 2 ( ;V ) 2π V (s)u 2 (s)sds ρ/2 2πC 0 u 2 (ρ) = Cρ a+2 u 2 (ρ). ρ ρ/2 s a+1 ds Thus we conclude that u(x) C u L 2 ( ;V ) x (a+2)/2, x >R 0. Hence, the lemma is proved. (see [46]): In order to prove the sharpness of (1.23), we recall the Moser s function sequence M n (x, r) = 1 (2π) 1/2 (log n) 1/2, log r x (log n), 1/2 0, x >r, x r/n, r/n < x r, with 0 <r r 0 fixed and r 0 given in (1.22). We have the following estimate for M n :

45 26 A Trudinger-Moser type inequality in weighted Sobolev spaces Lemma Under the hypothesis (Ṽ ), where m(r) =2C 0 r a 0+2 /(a 0 +2) 3. Proof. It is easy to compute M n 2 1+ m(r) log n (1 + o n(1)), M n 2 = 1 2π r/n x r On the other hand, (1.22) and integration by parts give V ( x ) M n 2 C 0 x a 0 log n + C 0 2π x r/n 2π = 2C 0r a 0+2 (a 0 +2) 2 ( 1 n = 2C 0r a0+2 /(a 0 +2) 3 (1 + o n (1)) log n = m(r) log n (1 + o n(1)), 1 x 2 log n =1. x a 0 ( ) 2 log r x r/n x r log n ) a C 0r a (a 0 +2) 3 log n 2C 0r a0+2 1 (a 0 +2) 3 log n ( ) a n and thus M n 2 = M n 2 + V ( x ) M n 2 1+ m(r) log n (1 + o n(1)). Hence, the lemma is proved. Proof of Theorem Necessity. Byhypothesis( Q), thereexist0 <r 0 <R 0 and C 0 > 0 such that Q( x ) C 0 x b for x R 0, Q( x ) C 0 x b 0 for 0 < x r 0. (1.24) Let R>0 be large enough. We write 1) = 1) + Q(e αu2 1). (1.25) Q(e αu2 Q(e αu2 B R We are going to estimate each integral in (1.25). For the integral on B R,wehavetwo cases to consider: B c R

46 1.4 Sharp constant and existence of extremal function 27 Case 1. b 0 =0.Fromthesecondinequalityin(1.24)andthecontinuityofQ(r), there exists C>0such that 1) C. (1.26) Q(e αu2 e αu2 B R B R As in [46, 55], we use Schwarz symmetrization theory (see [42]) by defining the radially symmetric function u as follows: for all s>0 {x B R : u (x) >s} = {x B R : u(x) >s}. It follows from the properties of this construction that: u is a non-increasing function in x ; u H 1 0(B R ) and B R u 2 B R u 2 ; B R e α u 2 = B R e α u 2. Thus, we may assume that u in the second integral from (1.26) is non-increasing. Let u(r) u(r), if 0 r R; v(r) = 0, if r R. By Lemma 1.4.3, u 2 (r) =v 2 (r)+2v(r)u(r)+u 2 (R) v 2 (r)+cv 2 (r)r (a+2)/2 u 2 L 2 ( ;V ) +1+CR (a+2)/2 u 2 L 2 ( ;V ) [ ] = v 2 (r) 1+CR (a+2)/2 u 2 L 2 ( ;V ) + d(r). Hence [ 1/2 u(r) v(r) 1+CR (a+2)/2 u 2 L 2 ( ;V )] + d 1/2 (R) =. w(r)+d 1/2 (R). By assumption v 2 = u 2 1 u 2 L 2 ( ;V ) B R B R

47 28 A Trudinger-Moser type inequality in weighted Sobolev spaces and so ] 1/2 2 w 2 = [1+CR v (a+2)/2 u 2 L 2 ( ;V ) B R B R [ ] = 1+CR (a+2)/2 u 2 L 2 ( ;V ) v 2 B [ ][ R ] 1+CR (a+2)/2 u 2 L 2 ( ;V ) 1 u 2 L 2 ( ;V ) =1+CR (a+2)/2 u 2 L 2 ( ;V ) u 2 L 2 ( ;V ) CR (a+2)/2 u 4 L 2 ( ;V ) 1. Since u 2 (r) w 2 (r)+d(r), we get 1) C B R Q(e αu2 Taking into account that w H 1 0 (B R) and B R e αu2 Ce αd B R e αw2. w H 1 0 (B R ) = w L 2 (B R ) 1, we conclude that sup Q(e αu2 1) < +, u E; u 1 B R by the classical Trudinger-Moser inequality (1.1). Case 2. 2 <b 0 < 0. It was done in the proof of Theorem as well as the estimative of the second integral in (1.25). 2. Sufficiency. Nextwewillshowthat(1.23)doesnotholdifα>α.Setting M n (x, r) = 1 M n (x, r), M n then M n belongs to E with its support in B r and M n =1.FromLemma1.4.4,when x r/n, wehave M 2 n (x) 1 2π By hypothesis ( Q), log n 1+ m(r) (1 + o log n n(1)) =(2π) 1 log n (2π) 1 m(r)+o n (1). Q( x ) C 0 x b 0 for 0 < x r 0.

48 1.4 Sharp constant and existence of extremal function 29 Thus, for 0 <r r 0 we have Q(e αm 2 n 1) Q(e αm 2 n 1) B r/n Thus if b 0 =0( α =4π), then C 0 B r/n x b 0 ( ) e α[(2π) 1 log n (2π) 1 m(r)+o n(1)] 1 ) = C 0 (e α[(2π) 1 log n (2π) 1 m(r)+o n(1)] 1 x b 0 B r/n = πc 0 r 2+b 1 ( ) 0 e α[(2π) 1 log n (2π) 1 m(r)+o n(1)] 1 n 2+b 0 = Cn α(2π) 1 (2+b 0 ) e on(1) + o n (1). α>4π α(2π) 1 2 > 0 and we conclude that lim Q(e αm 2 n 1) = +. n Now, if 2 <b 0 < 0( α =4π(1 + b 0 /2)), then α>α =4π(1 + b 0 /2) = 2π(2 + b 0 ) α(2π) 1 > 2+b 0 α(2π) 1 (2 + b 0 ) > 0 and consequently we also obtain lim n concluding the first part of theorem. Q(e αm 2 n 1) = +, For the last part of theorem, we consider 0 < α < α. maximizing sequence, with u n 1. Let (u n ) E be a Then, up to subsequences, we can assume that u n u 0 weakly in E and, by Lemma 1.2.5, u n u 0 strongly in L p ( ; Q) for 2 p<. Usingtheinequality we estimate Q(e αu2 n e αu2 0 ) α Writing e x e y x y (e x + e y ), x, y R, (1.27) Qe αu2 n u 2 n u2 0 + α Qe αu2 0 u 2 n u 2 0 Qe αu2 n u 2 n u 2 0 = Q(e αu2 n 1) u 2 n u Q u R n u (1.28)

49 30 A Trudinger-Moser type inequality in weighted Sobolev spaces and taking r 1 > 1 sufficiently close to 1 such that r 1 α α (it is possible because we are assuming α<α )andr 2 2 such that 1/r 1 +1/r 2 =1,theHölder sinequality implies that Qe αu2 n u 2 n u 2 0 ( ( + ) 1/r1 ( Q(e r1αu2 n 1) Q u 2 n u 2 0 r 2 R ) 2 1/2 ( Q u n u 0 2 Q u n + u 0 2 ) 1/2 ) 1/r2 and likewise for the integral in (1.28) containing e αu2 0. Thus, it follows from the first part of theorem and Lemma that S α + o n (1) = Q(e αu2 n 1) = Q(e αu2 0 1) + on (1). Finally, since u 0 1,weseethatu 0 is the required extremal function. This completes the proof of the result. Remark The maximizer u 0 can be chosen unitary, i.e, u 0 =1.Indeed,since for instance if u 0 < 1, thensettingv 0 = u 0 / u 0,wewouldhave Q(e αv2 0 1) > Q(e αu2 0 1) = Sα, which is a contradiction.

50 Chapter 2 On a class of nonlinear Schrödinger equations involving exponential critical growth in This chapter is concerned with the existence, multiplicity and nonexistence of solutions for nonlinear elliptic equations of the form u + V ( x )u = Q( x )f(u) in, (2.1) when the nonlinear term f(s) is allowed to enjoy the exponential critical growth by means of the Trudinger-Moser inequality and the radial potentials V and Q may be unbounded, singular or decaying to zero. We point out that part of this chapter is contained in the published paper [6]. 2.1 Introduction and main results In the papers [62, 63], Su-Wang-Willem studied the existence of solutions for the problem u + V ( x )u = Q( x ) u p 2 u in R N u(x) 0 as x with 2 <p<2 =2N/(N 2) for N 3, 2 <p< for N =2and V,Q C(0, ) are radial potentials which are singular at the origin or vanish super-quadratically at infinity. It is natural to ask if this result is true, under a similar local condition on

51 32 On a class of nonlinear Schrödinger equations involving exponential critical growth in V ( x ) and Q( x ), whenweconsidernonlinearitieswithexponentialcriticalgrowthin dimension two. Explicitly, we assume the following hypotheses on V ( x ) and Q( x ): (V ) V C(0, ), V (r) > 0 and there exists a> 2 such that lim inf r + V (r) r a > 0. (Q) Q C(0, ), Q(r) > 0 and there exist b<(a 2)/2 and b 0 > 2 such that lim sup r 0 Q(r) r b 0 < and lim sup r + Q(r) r b <. Here, we are interested in the case where the nonlinear term f(s) has maximal growth on s which allows us to treat problem (2.1) variationally. Explicitly, in view of the classical Trudinger-Moser inequality, we recall that f(s) has exponential critical growth if there exists α 0 > 0 such that f(s) (f α0 ) lim = s + e αs2 0, α >α 0, +, α <α 0. We will assume that the nonlinearity f(s) is continuous and satisfies: (f 1 ) f(s) =o(s) as s 0; (f 2 ) there exists θ>2 such that 0 <θf(s). = θ s (f 3 ) there exist constants R 0,M 0 > 0 such that 0 f(t)dt sf(s), s 0; 0 <F(s) M 0 f(s), s R 0 ; (f 4 ) there exist ν>2 and µ>0 such that F (s) µ ν s ν, s R. We point out that the hypotheses (f α0 ) (f 4 ) has been used in many papers, see for instance [21, 24, 27].