ESTRUTURAS DE DADOS E ALGORITMOS HEAP BINÁRIA

Transcrição

1 ESTRUTURAS DE DADOS E ALGORITMOS 1 HEAP BINÁRIA Adalberto Cajueiro Departamento de Sistemas e Computação Universidade Federal de Campina Grande

2 HEAP BINÁRIA É uma árvore binária satisfazendo duas propriedades: 1. Shape property Estar completa até pelo menos seu penúltimo nível Se o seu último nível não estiver completo, todos os nós do último nível deverão estar agrupados à esquerda 2. Tipo de Heap Max heap: o valor de todos os nós é menor do que o nó pai. A raiz possui o maior elemento Min heap: o valor de todos os nós é maior do que o nó pai. A raiz possui o menor elemento 2

3 HEAP BINÁRIA (EXEMPLO) max heap Árvore binária completa completa esq dir Applet 3

4 HEAP BINÁRIA (REPRESENTACAO) Como árvore binária Como array 4

5 EXERCÍCIO 1 Desenhe a Max heap representada pelo vetor a seguir Posição Valor 5

6 EXERCÍCIO 2 A árvore binária a seguir pode representar uma max heap? Justifique

7 EXERCÍCIO 3 Qual o número mínimo de elementos de uma heap com altura h? h h = n ( h-1 ) + 1 = n 1(2 h - 1)/1 +1 = n 2 h = n 2 h = n 7

8 EXERCÍCIO 4 Qual o número máximo de elementos de uma heap com altura h? 40 h h = n 2 h+1-1 = n 8

9 EXERCÍCIO 5 Qual a altura de uma heap em função do número de elementos? Vendo os casos extremos (2 h e 2 h+1-1) 2 h n 2 h+1-1 h lg n h +1 h = lg(n) 9

10 HEAP BINÁRIA Qual o invariante de um Max heap? Qual a condicao necessária e suficiente para descrever o invariante de um Max heap? Como manter o invariante de um Max heap? Quão custoso é manter o invariante? 10

11 HEAP BINÁRIA Qual o invariante de um Max heap? Todo elemento pai é maior que seus elementos filhos Qual a condicao necessária e suficiente para descrever o invariante de um Max heap? A[Parent(i)] A[i], para todo i que não é raiz Como manter o invariante de um Max heap? A cada insercao e remoção, trocar elementos de forma a validar a propriedade Quão custoso é mander o invariante? Os elementos vão subindo ou descendo na heap => O(log n) 11

12 HEAP BINÁRIA (HEAPIFY) Processo de consertar uma heap para que ela preserve seus invariantes 12

13 HEAP BINÁRIA (HEAPIFY) 13

14 HEAP BINÁRIA (HEAPIFY) Qual a relação de recorrência? 14

15 EXERCÍCIO Ilustre a operacao Heapify considerando o seguinte array: 15

16 EXERCÍCIO O que acontece com o Heapify quando o elemento A[i] é maior que seus filhos? 16

17 EXERCÍCIO Qual a análise do pior caso da Heapify? O pior caso ocorre quando a árvore é dividida em 2/3 T(n) = T(2n/3) + O(1) Caso 2. Θ(log n) 42 2n/

18 HEAP BINÁRIA Como construir uma Heap a partir de um array qualquer? Qual o custo dessa construção? Por que não n? 18

19 EXERCÍCIO Utilize o build heap para construir a heap a partir do vetor <4,1,3,2,16,9,10,14,8,7>. 19

20 EXERCÍCIO Utilize o build heap para construir a heap a partir do vetor <4,1,3,2,16,9,10,14,8,7>. 20

21 EXERCÍCIO Utilize o build heap para construir a heap a partir do vetor <4,1,3,14,16,9,10,2,8,7>. 21

22 EXERCÍCIO Utilize o build heap para construir a heap a partir do vetor <4,1,10,14,16,9,3,2,8,7>. 22

23 EXERCÍCIO Utilize o build heap para construir a heap a partir do vetor <4,16,10,14,7,9,3,2,8,1>. 23

24 EXERCÍCIO Utilize o build heap para construir a heap a partir do vetor <16,14,10,8,7,9,3,2,4,1>. 24

25 BUILD HEAP (ANÁLISE) Qual a ordem de complexidade do Build Heap? Aproximação inicial: O(n.log n) Cálculo simples mas não é limite restrito (tight) Análise mais detalhada indica: Θ(n). Observe que heapify varia de acordo com a altura do nó (a maioria dos nós tem uma altura pequena). 25

26 HEAP BINÁRIA E se a Heap já estiver construída? Como funcionam as inserçoes e remoções na mesma? 26

27 HEAP BINÁRIA (INSERCOES) Insira o elemento na ultima posicao da heap. Mantenha o invariante da heap, considerando o novo elemento inserido inserir(20) Viola invariante Viola invariante 40 Invariante ok

28 EXERCÍCIO Insira os elementos 32, 45, 17, 2, 5 na heap seguinte. Mostre visualmente como a heap fica após cada operação

29 HEAP BINÁRIA (INSERCAO) Como seria o algoritmo de insercao na Heap? 29

30 HEAP BINÁRIA (INSERCAO) Como seria o algoritmo de insercao na Heap? Qual a diferença básica entre esse algoritmo e o Heapify? Qual a complexidade do algoritmo? 30

31 HEAP BINÁRIA (REMOCOES) Remocoes na heap acontecem sempre pelo elemento raiz (elemento máximo ou mínimo). Mova o ultimo elemento para a raiz Mantenha o invariante Remover maximo Viola invariante Viola invariante Invariante ok

32 EXERCÍCIO Aplique remover maximo 4 vezes e mostre visualmente como a heap fica após cada operação

33 HEAP BINÁRIA (REMOCAO) Como seria o algoritmo de remocao na Heap? Qual a complexidade do algoritmo? 33

34 HEAP BINÁRIA Heaps sao estruturas eficientes para armazenamento? É possível usar heaps para ordenar um conjunto de dados? Abordagens para o Heapsort: 1. Pega o conjunto de dados e vai inserindo em uma Min heap. Depois é só remover da heap (Abordagem 1) 2. Ordenar no próprio vetor de uma Max Heap (Abordagem 2 in-place) 34

35 HEAPSORT (ABORDAGEM 1) Inserir(4) Inserir(1) Inserir(3) 1 Inserir(2) Inserir(16) Inserir(9) Inserir(10)

36 HEAPSORT (ABORDAGEM 1) Inserir(14) Inserir(8) Inserir(7)

37 HEAPSORT (ABORDAGEM 1) Inserir(14) Inserir(8) Inserir(7) Depois disso é só remover todos os elementos da heap e eles estarão em ordem! 37

38 HEAPSORT (ABORDAGEM 2) Recebe um array completo e transforma-o em heap de forma in-place. Evita uso de memória extra. 38

39 HEAPSORT (ABORDAGEM 2) Considerando uma Max heap. Faça a análise! 39

40 HEAPSORT (ABORDAGEM 2) 40

41 HEAPSORT (ABORDAGEM 2) 41

42 EXERCÍCIO Use o heapsort (abordagens 1 e 2) para ordenar o vetor <4,1,3,2,16,9,10,14,8,7>. 42

43 CARACTERÍSTICAS Não é stable In place (Abordagem 2) Pior caso e caso médio similares Θ(n.log n) Uma boa implementação do quicksort é melhor 43

44 PRIORITY QUEUES Heapsort é tão bom quanto Mergesort e Quicksort (exceto para o pior caso) Entretanto, a estrutura tem uma enorme utilidade 44

45 PRIORITY QUEUES Uma fila de prioridades é uma estrutura de dados para manter um conjunto S de elementos, cada um com uma chave associada, em determinada ordem Maior chave deve estabelecer a ordem de acesso aos elementos. Operacoes suportadas: Inserir(chave) insere um novo elemento Maximo() retorna o elemento com maior chave Extract_max() remove o elemento com maior chave retornando-o em seguida. A heap suporta essas operações? 45

46 PRIORITY QUEUES Implementação em Java PriorityQueue Min heap genérica Elementos comparáveis ou trabalha com um Comparator Mudança de prioridade on the fly violam a propriedade da heap Implementar uma max-heap precisa apenas inverter o Comparator usado. 46

47 PRIORITY QUEUES Implementação em Java class NormalComparator<T extends Comparable<T>> implements Comparator<T>{ public boolean compare(t o1, T o2){ return o1.compareto(o2); } } class InvertedComparator<T extends Comparable<T>> implements Comparator<T>{ public boolean compare(t o1, T o2){ return o2.comparato(o1); } } queue = new PriorityQueue<Integer>(new NormalComparator<Integer>()); queue = new PriorityQueue<Integer>(new InvertedComparator<Integer>()); 47

48 PRIORITY QUEUES Implementação em Java class NormalComparator<T extends Comparable<T>> implements Comparator<T>{ public boolean compare(t o1, T o2){ return o1.compareto(o2); } } class InvertedComparator<T extends Comparable<T>> implements Comparator<T>{ public boolean compare(t o1, T o2){ return o2.comparato(o1); } } Quem vai funcionar como Max Heap? queue = new PriorityQueue<Integer>(new NormalComparator<Integer>()); queue = new PriorityQueue<Integer>(new InvertedComparator<Integer>()); 48

49 HEAP (IMPLEMENTACAO) Como implementar uma heap que guarda elementos contendo uma chave e dados satélites? Elementos devem ser objetos comparáveis (menor, maior, igual) Ou a heap deve trabalhar com um Comparator (mais incomum, mais reutilizável) Como considerar isso na interface da heap? 49

50 HEAP (IMPLEMENTACAO) public interface Heap<T extends Comparable<T>> { public boolean isempty(); public void insert(t element); public T extractrootelement(); public T rootelement(); public T[] heapsort(t[] array); public void buidheap(t[] array); public T[] toarray(); public int size(); } 50

51 HEAP (IMPLEMENTACAO) public class HeapImpl<T extends Comparable<T>> implements Heap<T> { protected T[] heap; protected int index = -1; protected Comparator<T> comparator; private static final int INITIAL_SIZE = 20; private static final int INCREASING_FACTOR = 10; } public HeapImpl(Comparator<T> comparator) { this.heap = (T[]) (new Comparable[INITIAL_SIZE]); this.comparator = comparator; } 51

52 REFERÊNCIAS Capítulo 7 52