Equação de Poisson. Paulo Matias. f (x, y) =

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1 Equação de Poisson Paulo Matias 12 de outubro de Introdução Foi desenvolvido, em linguagem C++, um programa sequencial de alto desempenho para resolver a equação de Poisson: 2 u (x, y) x u (x, y) y 2 = f (x, y) Um dos problemas físicos que podem ser descritos pela equação de Poisson é a determinação do potencial elétrico ϕ (x, y) dada a densidade de carga ρ (x, y), a permissividade elétrica ε, e as condições de contorno desejadas. Nesse caso, teríamos, na equação acima: u (x, y) = ϕ (x, y) ρ (x, y) f (x, y) = ε O programa discretiza o espaço 0 x 1, 0 y 1 em matrizes N N, e aprimora iterativamente a solução u (x, y) até que todas as mudanças efetuadas sejam inferiores a um parâmetro ɛ. 2 Problema adotado Neste trabalho, adotamos para f (x, y) o equivalente a uma densidade de carga negativa, com f (x, y) = 1, em 1 6 < x < 1 3, 1 6 < y < 1 3, e a uma densidade de carga positiva, com f (x, y) = 1, em 2 3 < x < 5 6, 2 3 < y < 5 6. As condições de contorno adotadas foram u (x, y) = 0 em x {0, 1} e y {0, 1}, o que é equivalente a dizer que as cargas estão dentro de uma caixa metálica quadrada aterrada. 3 Resultado A Figura 1 mostra a função u (x, y) obtida pelo programa para o problema adotado. A solução é condizente, pois indica um potencial elétrico negativo próximo 1

2 Figura 1: Função u (x, y) obtida com os parâmetros N = 800 e ɛ = à região com densidade de carga negativa, e um potencial elétrico positivo ao redor da região com densidade de carga positiva. Nota-se também simetria na distribuição do potencial elétrico ao longo do espaço, além de obediência às condições de contorno. 4 Avaliação de desempenho Todas as avaliações de desempenho foram realizadas em um Intel Core 2 Quad Q6600 (64 bits). Esse processador possui 8 MB de Cache L2, sendo que cada dois cores tem acesso a apenas metade (4 MB) desse cache. 4.1 Otimizações do compilador Foram utilizados os compiladores GNU C++ (g++) versão e Intel C++ (icpc) versão Foi utilizada sempre a opção -march=native com o g++, e as opções -ipo -xssse3 com o icpc. O grau de otimização (dado pela opção -O) foi variado, medindo-se os tempos de execução do programa resultante. Os dados coletados são apresentados na Figura 2, do maior tempo de execução para o menor. O programa com maior desempenho foi obtido com o compilador Intel C++, com grau de otimização -O3. 2

3 14 12 icpc -O0 g++ -O0 Cálculo Cálculo + gravação Tempo de execução (s) icpc -O1 4 g++ -O1 g++ -O3 g++ -O2 icpc -O2 icpc -O3 2 Figura 2: Tempo de execução com N = 200 e ɛ = para diversos níveis de otimização com o compilador GNU C++ (g++) e com o compilador Intel C++ (icpc). Os resultados são ordenados do maior para o menor tempo. 3

4 4 Cálculo Cálculo + gravação Tempo de execução (s) ɛ Figura 3: Tempo de execução para diversos valores de ɛ, com N = 200. Para valores de ɛ 10 6, o tempo de execução t pode ser descrito por uma função do tipo t = A + B log 10 (ɛ). 4.2 Inuência do parâmetro ɛ A Figura 3 avalia a inuência do parâmetro ɛ sobre o tempo de execução do programa. Observa-se que para valores de ɛ 10 6, a partir dos quais o resultado computado passa a ter estrutura similar à da Figura 1, o tempo de execução cresce linearmente com a queda de log 10 (ɛ). 4.3 Inuência de N A Figura 4 avalia a inuência de N sobre o tempo de execução do programa. Para N < 500, o tempo cresce aproximadamente com a potência 3.8. Para N = 500, quando as duas matrizes utilizadas pelo programa (u e f) chegam cada uma a aproximadamente 2 MB de memória ocupada, totalizando 4 MB, o Cache L2 disponível é preenchido. Isso leva o tempo de execução a entrar em outro regime de crescimento para N 500, passando a aumentar aproximadamente com a potência

5 10 3 Cálculo Cálculo + gravação 10 2 Efeito do Cache L2 Tempo de execução (s) N Figura 4: Tempo de execução para diversos valores de N, com ɛ = Para N < 500, o tempo cresce aproximadamente com a potência 3.8. Para N 500, o crescimento passa a ser com a potência 6.0, devido ao preenchimento completo do Cache L2 pelas matrizes. 5

6 5 Conclusão O programa implementado funcionou corretamente, e seu desempenho em função de seus parâmetros de entrada foi estudado. Ao se avaliar o aumento do tempo de execução com o crescimento do comprimento das matrizes utilizadas, foram observados efeitos interessantes no tempo de execução devido ao cache do processador. 6