AVALIAÇÃO DA TAXA DE COMPRESSÃO DE PROJEÇÕES DE TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA

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1 AVALIAÇÃO DA TAXA DE COMPRESSÃO DE PROJEÇÕES DE TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA Ionildo José Sanches Valdir Martins Eduardo Parente Ribeiro RESUMO: As imagens digitais geram uma grande quantidade de dados o que torna evidente a necessidade de se utilizar alguma técnica de compressão com objetivo de reduzir o tamanho do arquivo, facilitando assim o armazenamento e a transmissão. Os métodos que atingem altas taxas de compressão geralmente o fazem através de remoção da redundância e de detalhes poucos perceptíveis na visualização, o que implica em perda de informação. Imagens médicas, de uma maneira em geral, não devem sofrer perdas no processo de compressão. A compressão de imagem com wavelets tem mostrado bons resultados em estudos recentes. Neste trabalho foi utilizada a transformada wavelet de inteiros reversível que permite realizar a compressão sem perdas. Alguns filtros wavelets foram avaliados e comparados com outras técnicas de compressão sem perdas. PALAVRAS-CHAVES: compressão, senograma, tomografia, wavelet, lossless (compressão sem perda) INTRODUÇÃO A utilização da tomografia computadorizada (Comput(eriz)ed Tomography - CT) tornou-se um elemento indispensável de diagnóstico em hospitais e clínicas de todo o mundo. Nos últimos anos a CT tem se estendido também para aplicações industriais. Atualmente, no Brasil, a maior parte das imagens ainda são registradas e armazenadas em filme. Mesmo imagens de CT, que são inerentemente digitais, são transferidas para o filme depois que os técnicos a tenham otimizado para a visualização. Porém, várias instituições já adotam o conceito de PACS (Picture Archiving and Communications System - Sistema de Comunicação e Arquivamento de Imagens), o que facilita em muito o processo de diagnóstico médico. Devido ao grande volume de dados gerados pelas imagens de CT, torna-se imprescindível aplicar alguma técnica de compressão, com objetivo de facilitar o armazenamento e agilizar a transmissão, porém preservando a exatidão desses dados. Em tomografia computadorizada, o armazenamento dos dados originais que são as projeções do raio-x, chamados senogramas, é bastante desejável para utilização futura. Por exemplo, com os dados originais, pode-se comparar imagens antigas com novas tomografias da mesma região, mas que tenham sida realizadas com equipamentos diferentes e provavelmente diferentes algoritmos ou parâmetros de reconstrução. Através do processo de compressão de dados podemos reduzir a quantidade de dados necessários para representar uma determinada quantidade de informação. Vários métodos de compressão de dados sem perdas (reversíveis) e com perdas (irreversíveis) têm sido propostos na literatura nos últimos anos. Cada um desses métodos procura explorar determinadas 1

2 características da imagem. A escolha do método apropriado depende do conhecimento da teoria do método, bem como, um prévio conhecimento das características presentes na imagem. Desta maneira é possível alcançar maiores taxas de compressão. Entre os métodos de compressão de imagens temos a transformada wavelet que faz parte de uma teoria relativamente nova, tendo demonstrado que é uma ferramenta poderosa e vantajosa na área de compressão de imagens (Sanches, 2001). Neste trabalho, avaliamos o uso da transformada wavelet e para efeito de comparação, utilizamos o LJPG 1 (Lossless Joint Photographic Experts Group) (Huang e Smith, 1994), que é utilizado para compressão sem perdas de imagens, e o GZIP 2 (Gnu ZIP), que é utilizado para compressão de dados em geral. TOMOGRAFIA DE RAIO-X A tomografia computadorizada é um método de radiografia que foi introduzido em 1972 para aplicações neurológicas, mas rapidamente com o avanço da tecnologia, permitiu examinar outras partes do corpo também (Olson, 1995). A tomografia de raio-x tem desde então se estendido para aplicações industriais também. O termo tomografia é usado para se referir a qualquer método de obtenção de imagem do interior de um determinado corpo a partir de medidas realizadas externamente. Embora todas as técnicas de tomografia se utilizem do computador, o termo computerized tomography, ou somente CT, caiu no uso comum e até hoje se refere ao tomógrafo de raio-x, porém existem outras técnicas de tomografia baseadas em outros princípios físicos como ressonância magnética e emissão de pósitrons (Ribeiro, 1996). A tomografia consiste na reconstrução da imagem de uma fatia do interior do corpo a partir das medidas realizadas externamente ao corpo, que matematicamente são consideradas projeções. A imagem formada pelas projeções empilhadas é chamada de senograma devido a propriedade geométrica que faz com que cada ponto na fatia do objeto apareça como uma senóide na imagem projetada. Existem vários algoritmos e técnicas que permitem a reconstrução da imagem a partir das projeções obtidas (Olson, 1995; Jain, 1989; Herman, 1980). As técnicas que permitem a reconstrução da imagem, embora já bem desenvolvidas, continuam como um tópico de pesquisa. A figura 1 mostra, como exemplo, o senograma de uma CT, contendo 768 colunas e 90 linhas (cada linha é obtida após uma rotação de 2 graus da amostra, perfazendo assim 180 graus), As projeções foram obtidas utilizando um phantom de teste (objeto cilíndrico de acrílico contendo alguns furos no seu interior onde são adicionados diferentes elementos para análise). A imagem reconstruída a partir do senograma deste objeto pode ser observada na figura 2. Fig. 1 - Senograma antes da reconstrução ftp://prep.ai.mit.edu/pub/gnu/gzip 2

3 Fig. 2 - Imagem depois da reconstrução COMPRESSÃO DE IMAGENS A compressão de uma imagem é possível porque as imagens, em geral, apresentam um alto grau de coerência, que se traduz em uma redundância de informação quando codificada (Gomes e Velho, 1994). Por exemplo, tomando um pixel (picture element) qualquer de uma imagem, provavelmente, a cor desse pixel será igual a dos elementos vizinhos ou de uma outra região próxima na imagem, porque há uma grande probabilidade de todos eles pertencerem a um mesmo objeto da imagem. Caso isso não ocorra, provavelmente uma relação mais complexa existirá na imagem. Baseado neste fato, os métodos de compressão de imagens digitais visam produzir, através da redução ou eliminação de redundância, um código mais compacto que preserve as informações contidas na imagem. A redundância é uma característica que está relacionada a distribuição estatística da informação presente na imagem. Em uma imagem digital há, basicamente, três tipos de redundância de dados que podem ser identificadas e exploradas (Gonzalez e Woods, 1992): redundância de código, redundância interpixel e redundância psicovisual. Dependendo da área de aplicação, as informações que desejamos preservar podem ser de natureza objetiva ou subjetiva (Gomes e Velho, 1994). No primeiro caso o método de compressão deve permitir a recuperação exata dos dados da imagem original. Dizemos, nesse caso, que o processo é reversível (lossless), ou que temos uma compressão sem perda. Caso contrário, ele é chamado irreversível (lossy), e dizemos que temos uma compressão com perda, isto é, ele não permite a reconstrução exata dos dados originais. No caso particular da tomografia computadorizada, os senogramas, não devem sofrer perdas, pois isso afeta o processo de reconstrução para obtenção da imagem. Os recentes avanços das técnicas de compressão com perdas incluem diferentes métodos tais como a transformada discreta cosseno (DCT), quantização vetorial, transformada wavelet, redes neurais e codificação fractal. Apesar desses métodos poderem realizar altas taxas de compressão (tipicamente 50:1 ou maior), eles não permitem a reconstrução exata da versão original dos dados de entrada. Portanto, métodos com perdas são menos aceitos para certas aplicações como: imagens médicas digitais, imagens de satélite, dados sísmicos, imagens de alta fidelidade, arquivos executáveis, e assim por diante. Técnicas de compressão sem perdas, 3

4 todavia, permitem a reconstrução perfeita dos dados originais, mas as taxas de compressão são comparativamente baixas (de 2:1 a 4:1). TRANSFORMADA WAVELET Entre os métodos de compressão de imagens temos a transformada wavelet, que faz parte de uma teoria relativamente nova, e tem demonstrado que é uma ferramenta poderosa e vantajosa. Wavelets são funções bases com as quais se representa uma determinada função em múltiplos níveis de detalhe. Wavelets foram desenvolvidas independentemente em diferentes áreas, tais como: matemática, física, engenharia elétrica e geologia. Intercâmbios entre estas áreas têm ocorridos nos últimos vinte anos. A transformada wavelet direta mapeia os dados da imagem original para um outro domínio, sem fornecer nenhuma compressão dos dados em relação a imagem original. Neste novo domínio os dados são caracterizados por uma grande quantidade de valores iguais ou próximos de zero, que torna eficiente o uso de codificadores de entropia. A compressão é realizada pela quantização/limiarização e pela codificação dos coeficientes wavelets. A reconstrução da imagem é efetuada invertendo as operações do processo de compressão. Transformada Wavelet Reversível A transformada wavelet tinha até então seu uso limitado em aplicações de compressão de imagens com perdas. Recentemente, a transformada wavelet de inteiros (integer wavelet transform IWT), isto é, a transformada wavelet que mapeia valores inteiros para inteiros mantendo perfeita reconstrução do sinal de entrada, foi introduzida (Calderbank at al, 1997; Said e Pearlman, 1996; Zandi at al, 1995). Os métodos clássicos de compressão usando wavelets não permitem reconstruir exatamente a versão original da imagem, mesmo retendo todos os coeficientes resultantes da aplicação da transformada wavelet. Isso ocorre pelo fato de que os filtros utilizados na transformada wavelet geram coeficientes que são números reais (números com ponto flutuante) e têm que ser convertidos para números inteiros. Em muitos casos a aplicação da transformada, no sentido matemático, permite a reconstrução perfeita dos dados originais, porém na prática as operações de truncamento e/ou o armazenamento dos coeficientes com aritmética de precisão finita é que provocam a perda de informação e impede a sua exata recuperação quando se aplica a transformada inversa. Wavelets reversíveis são filtros lineares com arredondamento não linear os quais possibilitam a implementação de sistema de reconstrução exata utilizando aritmética de inteiros (Zandi at al, 1995). O lifting scheme (Calderbank at al, 1997) pode ser facilmente modificado para construir wavelets reversíveis. A transformada wavelet de inteiros pode ser desenvolvida, usando o lifting scheme, arredondando para o menor inteiro o resultado de cada passo lifting. Inicialmente aplicamos a transformada wavelet preguiçosa (lazy wavelet) seguido por um ou mais passos M usando os filtros p (k) and u (k). Finalmente, as amostras s (M) [n] se tornam os 4

5 coeficientes passa baixa s[n], enquanto as amostras d (M) [n] se tornam os coeficientes passa alta d[n] quando escalonado por um fator K. Os passos lifting dual e lifting primário são calculados respectivamente por d ( k ) s ( k ( k 1) ( k ) [ n] = d [ n] ( p [ m] s m ) ( k 1) ( k ) [ n] = s [ n] ( u [ m] d m ( k ( k ) 1) 1 [ n m]) [ n m]) + 2 ( 1 ) ( 2 ) A transformada inversa pode ser obtida aplicando os passos lifting dual e primário na ordem inversa em que foi aplicado a transformada direta e invertendo também os sinais. EXPERIMENTOS REALIZADOS E RESULTADOS O processo geral de compressão, descompressão e reconstrução da tomografia é ilustrado na figura 3. O senograma é comprimido e armazenado. Posteriormente pode ser descomprimido e reconstruído obtendo-se então a imagem da fatia do interior do corpo. Avaliamos apenas o processo de compressão, já que a descompressão retorna exatamente os dados originais (processo reversível). Neste trabalho estamos considerando apenas algumas transformadas wavelet de inteiros, ou seja, a transformada S ou (1, 1), S+P, (1, 3), (2, 6) e (5, 3), que possuem a propriedade de preservação de precisão (PPP). A PPP, permite manter o valor dos coeficientes num intervalo entre [ 2 q-1, 2 q-1 1], para q igual ao número de bits necessários para representar cada pixel da imagem, conforme mostrado em (Chao e Fisher, 1996). Sem esta propriedade, necessitaríamos utilizar um número maior de bits para representar os coeficientes transformados. Na fase de codificação, aplicamos a codificação aritmética (Nelson e Gailly, 1996). Fig. 3 - Esquema de compressão usado nos experimentos Para efeito de comparação, utilizaremos dois programas de compressão sem perda atualmente disponíveis. O primeiro é o GZIP que utiliza o algoritmo LZ77 (Ziv e Lempel, 1977). O LZ é um dos algoritmos mais comuns usados para a compressão de dados e imagens. Ele foi criado em 1977 por Abram Lempel e Jakob Ziv e, desde então, muitas variantes deste algoritmo 5

6 têm sido utilizadas em vários formatos de arquivos. Este método de compressão visa reduzir a redundância de codificação a partir do uso de dicionários de dados e não gera perdas. O segundo programa implementa o LJPG que é um padrão da ISO/ITU-T para codificação sem perdas de imagens estáticas. O LJPG usa modulação por código de pulso diferencial (DPCM). Trata-se de uma combinação linear dos pixels vizinhos, usados para prever o valor do próximo pixel. Utiliza também a codificação de Huffman ou Aritmética e um seletor automático para o PSV (Prediction Selection Value), onde seleciona o melhor PSV entre os disponíveis, ou então utiliza um PSV previamente selecionado (Huang e Smith, 1994). Para realização dos experimentos, utilizamos dez senogramas diferentes para testes. Os senogramas utilizados aqui são referentes a fatias de um dente humano, de um phantom de teste e outras imagens diversas. As informações fornecidas pelo tomógrafo industrial, que utilizamos para coletar as projeções para os experimentos, constituem-se de valores inteiros no formato binário. Estes valores variam de 0 a 65535, ou seja, 16 bits não sinalizados. Dessa maneira, cada senograma é armazenado no computador usando bytes. Imagens médicas reais de tomografia computadorizada foram utilizadas e os seus respectivos senogramas foram gerados por um programa simulador. Em outra fase dos experimentos, foram adicionados na imagem Abdom, determinadas quantidades de ruído, de forma aleatória, visando conhecer o comportamento dos programas de compressão com variados níveis de ruído. Resultados Com objetivo de explorar melhor a correlação dos dados das projeções, aplicamos a transformada nos bytes mais significativos e nos bytes menos significativos dos dados de entrada, onde cada informação constitui de dois bytes (16 bits). Os dados da tabela 1 são relativos a média do cálculo da entropia (em bits por pixel). aplicado nas duas imagens no qual o senograma foi dividido. TABELA 1 - COMPARAÇÃO DE DIFERENTES WAVELETS DE INTEIROS (BITS/PIXEL) Senogramas S (1, 1) (1, 3) (2, 6) (5, 3) S+P amost1 4,7993 4,9215 4,9619 5,1247 5,1604 amost2 4,8842 5,0028 5,1399 5,3542 5,3173 senogr1 5,1022 5,1432 5,3044 5,4450 5,5231 senogr2 5,0671 5,0937 5,2953 5,4654 5,5079 senogr3 4,4755 4,5603 4,5595 4,7518 4,6740 senogr4 5,0261 4,8820 5,1323 5,2249 5,2617 senogr5 4,7749 4,8496 4,8920 5,0867 5,0128 dente1 5,3005 5,3185 5,5226 5,7201 5,8055 dente2 5,0858 5,1802 5,3492 5,5841 5,6498 dente3 5,0964 5,1855 5,3280 5,5550 5,5873 média 4,9612 5,0137 5,1485 5,3312 5,3500 6

7 Nesse caso, a transformada que apresentou melhores resultados foi a transformada S. Os filtros com menos coeficientes apresentaram melhores resultados. Nestes testes os filtros longos não apresentaram bons resultados. TABELA 2 - COMPARAÇÃO EM TAMANHO (BYTES) ENTRE OS DIFERENTES MÉTODOS Senogramas S e CA S+P e CA LJPG GZIP Entropia amost amost senogr senogr senogr senogr senogr dente dente dente média Na aplicação da transformada wavelet usando os dados na sua forma original (16 bits) a transformada S+P apresenta melhores resultados para todos os senogramas (Sanches, 2001). Para uma avaliação mais detalhada do tamanho dos dados comprimidos, apresentamos a tabela 2. Nela temos os melhores resultados obtidos com a transformada wavelet de inteiros usando 8 e 16 bits após a aplicação da codificação aritmética (CA). Acrescentamos também os resultados obtidos com o LJPG e o GZIP. A coluna da entropia na tabela, corresponde ao tamanho do arquivo comprimido que pode ser obtido levando em consideração apenas a redundância de código baseado no cálculo da entropia de primeira ordem. Uma representação gráfica da tabela 2 é apresentada na figura 4. Fig. 4 - Gráfico comparativo dos resultados obtidos. 7

8 Os dados da tabela 3 representam os resultados dos programas de compressão sobre senogramas gerados por um simulador de senogramas, portanto, desprovidos de ruídos aleatórios que podem ser inseridos na imagens pelos equipamentos geradores. Pode-se notar que os métodos que não utilizam a transformada wavelet apresentam melhores ganhos. Isto pode ser explicado pelo alto grau de coerência entre os pixels das imagens. TABELA 3 - COMPARAÇÃO ENTRE DIFERENTES MÉTODOS TABELA 4 - COMPARAÇÃO ENTRE DIFERENTES MÉTODOS COM RUÍDO Os dados da tabela 4 são os resultados do cálculo de compressão dos programas de compressão utilizados sobre o senograma que teve ruídos aleatórios inseridos (Martins, 2002). O senograma possui bytes, mantendo sempre a mesma quantidade de bytes, independente da relação sinal/ruído. Pode-se notar que, a medida que o percentual de ruído cresce, as transformadas S e S+P sofrem menor perda na taxa de compressão do que os métodos GZIP e LJPG. O gráfico, da figura 5, mostra os resultados. Fig. 5 - Gráfico com o resultado da compressão sobre senogramas com ruído 8

9 CONCLUSÃO Neste trabalho avaliamos uma das inúmeras aplicações da transformada wavelet em processamento de imagens, mais especificamente na compressão de projeções de tomografia computadorizada. Uma vantagem de comprimir as projeções de CT, em vez das imagens já reconstruídas, é a preservação dos dados originais, podendo-se fazer, quando necessária, a reconstrução da imagem utilizando-se técnicas apropriadas. Os resultados obtidos neste trabalho mostraram que com a transformada wavelet é possível obter uma redução considerável no tamanho do arquivo. Na média, a taxa de compressão das projeções ficaram acima de 35%. Quando comparado com o algoritmo de propósito geral (GZIP), os resultados apontam para um ganho de 22,7%. Em relação ao LJPG, o ganho apresentado não foi significativo, porém existem vários aprimoramentos que podem ser realizados com objetivo de melhorar os resultados obtidos com a transformada wavelet. Avaliou-se também o desempenho dos métodos de compressão na presença de ruídos em diferentes proporções no senograma. Observou-se uma grande redução na taxa de compressão nas técnicas de uso geral, enquanto que as taxas de compressão com a transformada wavelet sofreram menores perdas. Como trabalho futuro, pretende-se avaliar o ganho obtido com a utilização de filtros que se adaptem melhor às características presentes nessas imagens. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Calderbank, R. C.; Daubechies, I.; Sweldens, W.; Yeo, B., Losless Image Compression using Integer to Integer Wavelet Transforms, In: International Conference on Image Processing (ICIP), v. 1, p , Chao, H.; Fisher, P., An Approach to Fast Integer Reversible Wavelet Transforms for Image Compression, Preprint, September, Gomes, J.; Velho, L., Computação Gráfica : Imagem, Rio de Janeiro, IMPA/ SBM, Gonzalez, R. C.; Woods, R. E., Digital Image Processing, Addison-Wesley Publishing Company, Herman, G. T., Image Reconstruction from Projections, Academic Press Inc., Orlando, Florida, Huang K.; Smith B., Lossless JPEG Codec Version 1.0, June, Jain, A. K., Fundamentals of Digital Image Processing, Prentice Hall, Martins, V., Compressão sobre Projeções de Tomografia Computadorizada: Um Estudo de Caso, Dissertação de Mestrado, UFPR, Curitiba, Agosto, Nelson, M.; Gailly, J. L., The Data Compression Book, M&T Books, 2 nd Edition, New York, Olson, T., Optimal Time-Frequency Projection for Localized Tomography, In: Annals 9

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